Eindige en oneindige getallen. Lezing in de reeks Oneindig 3 oktober 2007 / Studium Generale TU Delft. Tom Verhoeff

Transcriptie

1 Oneindig in Wiskunde & Informatica Eindige en oneindige getallen Lezing in de reeks Oneindig 3 oktober 007 / Studium Generale TU Delft Tom Verhoeff! Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde & Informatica c 007, T. TUE.NL /39 Oneindig in Wiskunde & Informatica c 007, T. TUE.NL /39 Oneindig in Wiskunde & Informatica Oneindig in Wiskunde & Informatica Eindige en oneindige getallen Er zijn DRIE soorten wiskundigen: zij die kunnen tellen en zij die dat niet kunnen Ik zal proberen in eindige tijd wat te vertellen over oneindig Wie waren er 5 jaar geleden bij in Maastricht? Wie kennen het Hilbert hotel al? Wie de Stelling van Goodstein? Belang van getallen: wetenschap, economie, maatschappij Meten Niet-wiskundige boeken over getallen: geschiedenis, filosofie, antropologie, psychologie, mystiek Natuurkunde: (on)eindigheid van ruimte en tijd Oneindig in de informatica : data(structuren), eindiging van reken processen t Wordt een heel verhaal, u moet wel eens wat voor lief nemen c 007, T. TUE.NL /39 Oneindig in Wiskunde & Informatica c 007, T. TUE.NL /39 Oneindig in Wiskunde & Informatica

2 Top tien van getallen (Clifford Pickover, 00) Getallen verzameld. 0. π Archimedes, Ludolph 3. e Napier, Euler 4. i Gauss Pythagoras γ Euler, Mascheroni 9. Ω onberekenbaar Chaitin 0. ℵ 0 oneindig Cantor N Natuurlijke getallen: 0,,,... Z Gehele getallen:...,,, 0,,, 3,... Q Rationale getallen:..., 7 3,...,,..., R Reële getallen:..., γ,..., C Complexe getallen:..., i,..., Keten van uitbreidingen: 355 3,...,..., e,..., π,..., Ω,... +i,... N Z Q R C c 007, T. TUE.NL 3/39 Oneindig in Wiskunde & Informatica c 007, T. TUE.NL 4/39 Oneindig in Wiskunde & Informatica Top tien van getallen (Clifford Pickover, 00) Getallen verzameld Alle getallen hebben wel wat, moeilijk te kiezen Over 0, π, e, i zijn hele boeken geschreven (populair) Niet over, of (voorzover ik weet) Ook nog interessant: φ = ( ) + 5 = Gulden Snede, Fibonacci Classificatie Vergelijk met biologische taxonomie Soms onenigheid over 0 N log = Mercator c 007, T. TUE.NL 3/39 Oneindig in Wiskunde & Informatica c 007, T. TUE.NL 4/39 Oneindig in Wiskunde & Informatica

3 Geneste verzamelingen van getallen Getallen als meetkundige punten: topologische structuur N Z Q R C i +i γ?... Ω log φ e π γ e π i i... i +i... ℵ 0 c 007, T. TUE.NL 5/39 Oneindig in Wiskunde & Informatica c 007, T. TUE.NL /39 Oneindig in Wiskunde & Informatica Geneste verzamelingen van getallen Getallen als meetkundige punten: topologische structuur Volgende verzameling omvat vorige Allemaal oneindig grote verzamelingen (... ) Clifford s Top Tien bevat geen getallen uit Z N, Q Z γ Q onbekend, vermoed wordt γ R Q ( irrationaal ) ℵ 0 C Topologische structuur: nabijheid Meetkundige lijn (R) en vlak (C): oneindig uitgestrekt, onbegrensd, zonder grens oneindig dichtgepakt (dichter dan Q) Punt(en) op oneindig toevoegen aan getallenlijn (animeren met Cabri) c 007, T. TUE.NL 5/39 Oneindig in Wiskunde & Informatica c 007, T. TUE.NL /39 Oneindig in Wiskunde & Informatica

4 "! Punt(en) op oneindig toevoegen +! Bewerkingen op getallen: algebraïsche structuur N : a+b (optellen), a b (vermenigvuldigen), a b (machtsverheffen) O! Z : a b (aftrekken: a = x+b ) Q : a/b (delen: a = x b ) R : b a (worteltrekken: a = x b ), log b a (logaritme: a = b x ) C : nulpunten van polynomen, bijv. x + = 0 O c 007, T. TUE.NL 7/39 Oneindig in Wiskunde & Informatica c 007, T. TUE.NL 8/39 Oneindig in Wiskunde & Informatica Punt(en) op oneindig toevoegen Bewerkingen op getallen: algebraïsche structuur Eenheidselement, nulelement, inverse, associatief, distributief Elk punt op de (horizontale rode) reële as correspondeert met één punt op (blauwe) halve cirkel zonder eindpunten Idem voor hele cirkel met gat Platte vlak is op te krullen tot bol: één punt op oneindig toevoegen Kan ook met één extra punt per richting: halve bol met kruiskap (projectieve vlak) Ordening Uitbreiding met doel bewerkingen gesloten te maken ofwel bepaalde (algebraïsche) vergelijkingen oplosbaar te maken Z (schulden, debet); Q (taart delen) Machtsverheffen in Z en Q: b N Machtsverheffen in R: b N a > 0 ( b N a 0) Delen in Q, R en C: b 0 Worteltrekken in R: a > 0 Logaritme in R: a > 0 en b > 0 Logaritme in C: a 0 en b 0 en b = c 007, T. TUE.NL 7/39 Oneindig in Wiskunde & Informatica c 007, T. TUE.NL 8/39 Oneindig in Wiskunde & Informatica

5 Potentieel oneindige processen (...) Oneindig bij limiet van rij (n ) π 4 = ±,, 3, 4,... 0 π = = lim n n e = ( + ), ( + ), ( + 3) 3,... e NIET: = ( e = lim + ) n n n NIET: ( + ) c 007, T. TUE.NL 9/39 Oneindig in Wiskunde & Informatica c 007, T. TUE.NL 0/39 Oneindig in Wiskunde & Informatica Potentieel oneindige processen (...) Oneindig bij limiet van rij (n ) Reële getallen als limiet van (potentieel) oneindige processen Het oneindige dat nooit actueel echt bestaat of bereikt wordt Bij e: algemene term n! Bijv. bij : kwadraat van kettingbreuk steeds dichter bij φ = Is ook = ( + ) ( lim + ) n = n n Dit leidt tot een topologisch oneindig Je kan er willekeurig dichtbij komen e log = ± Snelheid van nadering ook van belang c 007, T. TUE.NL 9/39 Oneindig in Wiskunde & Informatica c 007, T. TUE.NL 0/39 Oneindig in Wiskunde & Informatica

6 Oneindig bij limiet van reeks ( k= ) Fictieve oneindige getallen n n = k= k = n Topologisch: limiet Al dan niet onderscheid tussen en + = k= k = Algebraïsch: bestaat niet =? ofwel? + = = k = k= c 007, T. TUE.NL /39 Oneindig in Wiskunde & Informatica c 007, T. TUE.NL /39 Oneindig in Wiskunde & Informatica Oneindig bij limiet van reeks ( k= ) Fictieve oneindige getallen Paradox van Zeno Ook nog interessant (harmonische reeks): en H n = n k = n k= = lim n H n = γ = lim n H n log n π = k = k= k k= = Algebraïsch oneindig bestaat niet (in volle glorie): = x x niet eindig, want eindig plus is eindig x niet, want dan (schrapeigenschap) = 0 Eigenschappen opofferen (die gewone getallen wel hebben) c 007, T. TUE.NL /39 Oneindig in Wiskunde & Informatica c 007, T. TUE.NL /39 Oneindig in Wiskunde & Informatica

7 Echte oneindige getallen Kardinaalgetallen: aftelbaarheid Kardinaalgetallen als maat voor grootte van verzamelingen: 0,,, 3,..., ℵ 0,... Gelijkmachtigheid : correspondentie Ordinaalgetallen als maat voor rangorde: eerste, tweede,..., ω,..., ɛ 0,... Wel-geordende rij : lineair, elke deelrij heeft minimum N = { } N + = { } N even = { } Z = { } Q + = { N = ℵ } c 007, T. TUE.NL 3/39 Oneindig in Wiskunde & Informatica c 007, T. TUE.NL 4/39 Oneindig in Wiskunde & Informatica Echte oneindige getallen Kardinaalgetallen: aftelbaarheid Kardinaalgetallen vaak in populaire literatuur, daarom kort doen. Aftelbaar, overaftelbaar, Hilbert-hotel Ordinaalgetallen: ruggengraat van de moderne verzamelingsleer Informatica: onderzoek naar eindiging van rekenprocessen; datastructuren (samenpakking van informatie) Aftelbaar gelijkmachtig met N ℵ 0 = kleinste oneindige kardinaalgetal Volgorde niet van belang! Oneindig gelijkmachtig met echte deelverzameling Banach Tarski paradox: eenheidsbol is in 5 stukken te verdelen, waarvan eenheidsbollen te maken zijn c 007, T. TUE.NL 3/39 Oneindig in Wiskunde & Informatica c 007, T. TUE.NL 4/39 Oneindig in Wiskunde & Informatica

8 Kardinaalgetallen: overaftelbaarheid a V deelverzameling S a V ? complement van diagonaal Informatica: Eindiging van reken processen Termherschrijfsysteem: Begin met eindig rijtje over { a, b, c } Vervang herhaaldelijk deelrijtjes: aa bc bb ac cc ab V < V = V ℵ 0 = N = Z = Q < R = C = ℵ 0 = c Voorbeeld: bbaa bbbc bacc baab bbcb accb aabb aaac abcc abab Eindigt dit voor elk beginrijtje? c 007, T. TUE.NL 5/39 Oneindig in Wiskunde & Informatica c 007, T. TUE.NL /39 Oneindig in Wiskunde & Informatica Kardinaalgetallen: overaftelbaarheid Informatica: Eindiging van reken processen Diagonaalargument van Cantor D = { a V a S a } a D a S a D S a Machtsverheffen: B A = verzameling van alle afbeeldingen A B V = verzameling van alle deelverzamelingen van V : S V S V Dieter Hofbauer and Johannes Waldmann: Termination of {aa bc, bb ac, cc ab}. Inf. Process. Lett. 98(4):5 58 (00). Geldt voor elke V (niet noodzakelijk eindig of aftelbaar) Continuum c = ℵ 0 c 007, T. TUE.NL 5/39 Oneindig in Wiskunde & Informatica c 007, T. TUE.NL /39 Oneindig in Wiskunde & Informatica

9 Knikkerspel Knikkerspel Pak telkens een knikker: Verwijder m Eindigt dit? Na hoeveel zetten? Pak telkens een knikker: Als blauw, dan verwijderen Als wit, dan vervangen door één blauwe c 007, T. TUE.NL 7/39 Oneindig in Wiskunde & Informatica c 007, T. TUE.NL 8/39 Oneindig in Wiskunde & Informatica Knikkerspel Knikkerspel Gegeven een zak met een eindig aantal knikkers. Zolang de zak niet leeg is, halen we er telkens één uit. Dit eindigt na K stappen, als er initieel K knikkers zijn. Je hebt nu ook een onbeperkte voorraad (blauwe) knikkers Het aantal neemt niet altijd af Als je ook een blauwe door een witte zou vervangen, dan niet eindig Wat als je twee blauwe teruglegt voor een witte? c 007, T. TUE.NL 7/39 Oneindig in Wiskunde & Informatica c 007, T. TUE.NL 8/39 Oneindig in Wiskunde & Informatica

10 Knikkerspel 3 Knikkerspel analyse W witte knikkers B blauwe knikkers Spel. Eindigt na W + B stappen Spel. Eindigt na W + B stappen Pak telkens een knikker: Als blauw, dan verwijderen Als wit, dan vervangen door willekeurig eindig aantal blauwe c 007, T. TUE.NL 9/39 Oneindig in Wiskunde & Informatica Spel 3. Eindigt na ten hoogste ω W + B stappen W B c 007, T. TUE.NL 0/39 Oneindig in Wiskunde & Informatica Knikkerspel 3 Knikkerspel analyse Wat als twee blauwe terugleggen? 3 W + B stappen En N blauwe terugleggen (vaste N)? (N+) W + B stappen En nu N terugleggen in N-de stap? Als dat willekeurig u niet zint, Geen enkele eindige weegfactor is zwaar genoeg lees dan in N-de stap door N blauwe N < ω voor elke eindige N: ω (W ) + B+N < ω W + B Is elke dalende rij toch eindig? Zijn er goede rekenregels met ω? Vergelijk met lexicografische ordening op paren Ook met rode knikkers ( wit): ω R + ω W + B c 007, T. TUE.NL 9/39 Oneindig in Wiskunde & Informatica c 007, T. TUE.NL 0/39 Oneindig in Wiskunde & Informatica

11 Lottobalspel Bewerkingen op natuurlijke getallen 0 4 Opvolger ( erbij): a Optellen (herhaald erbij): b {}}{ a + b = a Vermenigvuldigen (herhaald optellen): a b = b {}}{ a + + a Pak telkens een N-genummerde lottobal: Vervang door willekeurig aantal met kleinere waarden d.w.z. (n) vervangen door (<n) (<n) (<n) a 0 = 0 a = a a b = a b + a a (b + c) = a b + a c Machtsverheffen (herhaald vermenigvuldigen): a b = a 0 = a = a a b = a b a a b+c = a b a c b {}}{ a a c 007, T. TUE.NL /39 Oneindig in Wiskunde & Informatica c 007, T. TUE.NL /39 Oneindig in Wiskunde & Informatica Lottobalspel Bewerkingen op natuurlijke getallen Verder generaliseren: onbeperkt aantal (genummerde) kleuren Om Stelling van Goodstein te formuleren moet je wat rekenen Als dat willekeurig u niet zint, Notatie a is niet standaard: turfje erbij lees dan in N-de stap door N kleinere waarden Eindigt dit altijd, en waarom? Wat gebeurt er met (0)? Komt niets voor terug! Nu op naar het ultieme spel : Stelling van Goodstein Bemerk de gelijkvormige eigenschappen voor en Optellen en vermenigvuldigen zijn commutatief a + b = b + a a b = b a Maar machtsverheffen niet: 3 = 8 9 = 3 Daarom ook twee inversen (linker en rechter: b a en log b a) c 007, T. TUE.NL /39 Oneindig in Wiskunde & Informatica c 007, T. TUE.NL /39 Oneindig in Wiskunde & Informatica

12 Decimale notatie Notatie in grondtal G Ieder natuurlijk getal is op unieke wijze te schrijven als Ieder natuurlijk getal is op unieke wijze te schrijven als som van machten van 0 met coëfficiënten < 0. som van machten van G met coëfficiënten < G. Voorbeeld met G = (binair ): Voorbeeld: = = = Voorbeeld met G = 3 (ternair ): = = = = c 007, T. TUE.NL 3/39 Oneindig in Wiskunde & Informatica c 007, T. TUE.NL 4/39 Oneindig in Wiskunde & Informatica Decimale notatie Notatie in grondtal G Coëfficiënten c i (kunnen 0 zijn; reden voor introductie 0) Exponenten i (in positiesysteem gecodeerd door positie) Binair: coëfficiënten 0 of Ternair: coëfficiënten 0, of Coëfficiënt 0: term weglaten (0 a = 0) N = Vergelijk: rijtje waarden < 0 k c i 0 i i=0 Coëfficiënt : coëfficiënt weglaten a = a Exponent 0: macht weglaten (c a 0 = c = c) Exponent : exponent weglaten (a = a) c 007, T. TUE.NL 3/39 Oneindig in Wiskunde & Informatica c 007, T. TUE.NL 4/39 Oneindig in Wiskunde & Informatica

13 Super-G-notatie met grondtal G Goodstein-rij van N > 0 en G. Noteer in grondtal G.. Herhaal met de exponenten. 3. Stop zodra alle getallen G. Voorbeeld: G = G = 3 = = = = = N = 8 G =. Schrijf N in super-g-notatie. 8 = +. Vervang hierin elke G door G = 8 3. Verminder met ; geeft nieuwe N. N = Verhoog G met. G = 3 5. Stop als N = 0, anders vanaf stap herhalen. c 007, T. TUE.NL 5/39 Oneindig in Wiskunde & Informatica c 007, T. TUE.NL /39 Oneindig in Wiskunde & Informatica Super-G-notatie met grondtal G Goodstein-rij van N > 0 en G Herhalen: elementair principe (kinderspelen, moppen) Herhaald machtsverheffen groeit heel hard Bij G = 0 gebeurt er pas wat vanaf 00 miljard : = 0 0+ Daaronder hetzelfde als notatie in grondtal 0 Dadelijk nog een groter voorbeeld Vraag (nog) niet hoe Goodstein hier op kwam of waar het toe dient c 007, T. TUE.NL 5/39 Oneindig in Wiskunde & Informatica c 007, T. TUE.NL /39 Oneindig in Wiskunde & Informatica

14 Goodstein-rij bij N = en G = Volgnr. N G (39 cijfers) (7 cijfers) (> cijfers) Stelling van Goodstein (944) Elke Goodstein-rij eindigt met N = 0. t Kan even duren: N = 3, G = eindigt na 5 stappen N = 4, G = eindigt na stappen c 007, T. TUE.NL 7/39 Oneindig in Wiskunde & Informatica c 007, T. TUE.NL 8/39 Oneindig in Wiskunde & Informatica Goodstein-rij bij N = en G = Stelling van Goodstein (944) Gaat natuurlijk verder na 4e waarde, maar rijst de pan uit De getallen doen duidelijk hun best oneindig groot te worden :-) Tussenresultaat voor N hoef je niet uit te rekenen, want je kan meteen van notatie in grondtal G naar G + ( geel geel ) G E = H G E H G + H met H = G E {}}{ 0 E = voor E Die doet t m, die hamert maar door... Aantal stappen groeit supersuperexponentieel met N Lijkt op Ackermann-functie Contrast met onbewezen vermoedens over tammere rekenprocessen: Tel getal bij zijn omkering op, tot palindroom ontstaat = = 707 9? Spelversie: Hercules en de Hydra (draak met vertakkende nekken) Als N even N/, als N oneven 3N + (Collatz) c 007, T. TUE.NL 7/39 Oneindig in Wiskunde & Informatica c 007, T. TUE.NL 8/39 Oneindig in Wiskunde & Informatica

15 Bewijsbaarheid van Stelling van Goodstein Ordinaalgetallen t/m ω Ordinaalgetal is verzameling van al zijn voorgangers : Stelling van Kirby en Paris (98): De Stelling van Goodstein volgt niet uit de Peano Axioma s. Gewone inductie is niet toereikend, Goodstein rij groeit te snel. Elk bewijs van de Stelling van Goodstein vergt (een vorm van) transfiniete inductie zoals met ordinaalgetallen. 0 = { } = { 0 } = { 0, } 3 = { 0,, }. N = { 0,,,..., N }. ω = { 0,,,... } ω is kleinste oneindige ordinaalgetal: N < ω voor alle N N c 007, T. TUE.NL 9/39 Oneindig in Wiskunde & Informatica c 007, T. TUE.NL 30/39 Oneindig in Wiskunde & Informatica Bewijsbaarheid van Stelling van Goodstein Ordinaalgetallen t/m ω Peano Axioma s (PA):. 0 N. a N a N 3. a N : a = 0 4. a = b a = b 5. 0 S ( a N : a S a S) N S Axioma 5: Inductie (basis, stap), vergelijk met omvallende rij dominostenen (begin, doortikken) Onvolledigheidsstelling van Gödel over PA (930): Er bestaan ware uitspraken, die onbewijsbaar zijn in PA Ruggengraat van de moderne verzamelingsleer correspondeert met < correspondeert met maximum nemen correspondeert met minimum nemen Maar nu met echte rekenkundige stelling die onbewijsbaar is in PA c 007, T. TUE.NL 9/39 Oneindig in Wiskunde & Informatica c 007, T. TUE.NL 30/39 Oneindig in Wiskunde & Informatica

16 Rekenen met ordinaalgetallen Meer oneindige ordinaalgetallen Opvolger ( erbij): α = α { α } Limiet : α A α,,... ω = α ω α Optellen (herhaald erbij) Vermenigvuldigen (herhaald optellen) Machtsverheffen (herhaald vermenigvuldigen) ω, ω +, ω +, ω +, ω +,..., ω 4, ω +,..., ω 3,..., ω 5,..., ω + ω, 4..., ω 4,..., ω 4, 5..., ω 5,..., ω + ω = ω..., ω + ω = ω 3..., ω ω = ω..., ω + ω = ω 3..., ω ω = ω 3 ω..., ω ω c 007, T. TUE.NL 3/39 Oneindig in Wiskunde & Informatica c 007, T. TUE.NL 3/39 Oneindig in Wiskunde & Informatica Rekenen met ordinaalgetallen Net als bij natuurlijke getallen, maar nu limiet erbij Meer oneindige ordinaalgetallen Tot ω : N N, e kwadrant van -dimensionale rooster = { 0, } = { 0,, } = 3 Ook ω keer iets herhalen: ω ω = ω {}}{ ω + Pas op met rekenen Niet alle regels gelden meer: + ω = ω ω + ω = ω {}}{ + = ω {}}{ + + = ω {}}{ + = ω = ω. ω 3... ω ω +... ω ω + ω Tot ω N in N-dimensionale rooster Alternatief: N samenpersen op stukje van Q[0, ): n n ω = ω + ω = ω ω {}}{{}}{ = ω Dan [ω, ω ) Q[, ) Niet commutatief; wel associatief en distribueert van links over + I.h.a. ω n n, dan ω c 007, T. TUE.NL 3/39 Oneindig in Wiskunde & Informatica c 007, T. TUE.NL 3/39 Oneindig in Wiskunde & Informatica

17 Normaalvorm voor ordinaalgetallen < ω ω Op naar epsilon nul Normaalvorm van α < ω ω : α = ω k c k + ω k c k + + ω c + ω c + c 0 waarbij k en alle c i eindig zijn. Vergelijk met decimale notatie : N = 0 k c k + 0 k c k c + 0 c + c 0 waarbij 0 c i < 0, maar nu onbegrensde coëfficiënten. 0,,..., ω,..., ω,..., ω,..., ω ω ω ω +,..., ω ω..., ω ω ω = ω ω+..., ω ω,..., ω ω,..., ω ωω..., ω ωωω,..., ω ωωω... } {{ } ω = ɛ 0 Zelfde structuur als eindige lijst natuurlijke getallen: [c k, c k,... c, c 0 ]. ɛ 0 is kleinste oplossing van α = ω α c 007, T. TUE.NL 33/39 Oneindig in Wiskunde & Informatica c 007, T. TUE.NL 34/39 Oneindig in Wiskunde & Informatica Normaalvorm voor ordinaalgetallen < ω ω Op naar epsilon nul Dit is al lastiger te tekenen Ingewikkelder dan -dimensionale structuur van N Lijsten : typische datastructuur in informatica bij rekenprocessen Oplossing voor lottobalspel : c i = aantal ballen met waarde i Lexicografische ordening op lijsten over N c k c {}}{ k c {}}{ k c c {}}{{}} 0 { Inbedden in (Q, <): k c k 0 In te bedden in R Elke verzameling kan wel-geordend worden (Zermelo, 904; niet uniek) Elke wel-geordende verzameling is isomorf met een ordinaalgetal Andere kleinste oplossingen: α = + α (ω) α = ω + α (ω ω = ω ) α = α voor α > 0 (ω) α = ω α voor α > 0 (ω ω ) α = α (ω) c 007, T. TUE.NL 33/39 Oneindig in Wiskunde & Informatica c 007, T. TUE.NL 34/39 Oneindig in Wiskunde & Informatica

18 Normaalvorm voor ordinaalgetallen < ɛ 0 Bewijs van Stelling van Goodstein Schrijf N in super-g-notatie. Normaalvorm van α < ɛ 0 : α = ω β k c k + ω β k c k + + ω β 0 c 0 waarbij k en alle c i eindig zijn en c i 0, en Vervang hierin iedere G door ω. Het resultaat f(n, G) is een ordinaalgetal < ɛ 0. α > β k > β k > > β 0 Bijvoorbeeld: f(, ) = ω ωω+ + ω ω+ + ω Vergelijk met super-g-notatie, maar nu onbegrensde coëfficiënten. Zelfde structuur als een boom met positieve natuurlijke getallen. Claim: Als N, G de opvolger in de Goodstein-rij bij N, G is, dan is f(n, G ) < f(n, G) Ordinaalgetallen zijn welgeordend : elke dalende rij eindigt. c 007, T. TUE.NL 35/39 Oneindig in Wiskunde & Informatica c 007, T. TUE.NL 3/39 Oneindig in Wiskunde & Informatica Normaalvorm voor ordinaalgetallen < ɛ 0 Bewijs van Stelling van Goodstein Boom bij ω ω+ + ω + ω + afgeleid van f(, 3) Dit hoeft u niet meteen te begrijpen Bomen : de ultieme datastructuur in de informatica N.B. De Goodstein-operatie is niet ordinaal-operatie Meer structuur dan lijsten, maar niet expressiever dan geneste lijsten Let op dat α > β k niet voor elke ordinaal α geldt Wel geldt i.h.a. α β k ; gelijkheid bij α = ɛ 0, want ɛ 0 = ω ɛ 0 c 007, T. TUE.NL 35/39 Oneindig in Wiskunde & Informatica c 007, T. TUE.NL 3/39 Oneindig in Wiskunde & Informatica

19 Samenvattend Filosofische (na)beschouwingen is geen getal (algebra), wel limiet (topologie) Kardinaalgetallen (aantal): 0,,, ℵ 0, ℵ, ℵ 0 = c,... Ordinaalgetallen (rangorde): 0,,, ω, ω +, ω, ω, ω ω, ω ωω... = ɛ 0, ɛ 0 +,... Grootte van het wiskundige universium van Brouwer : eindig met specifieke bovengrens Baire : eindig zonder specifieke bovengrens Borel : aftelbaar oneindig (ℵ 0, d.w.z. met heel N) Lebesgue : c = ℵ 0, gelijkmachtig met het continuum R Zermelo : alomvattend c 007, T. TUE.NL 37/39 Oneindig in Wiskunde & Informatica c 007, T. TUE.NL 38/39 Oneindig in Wiskunde & Informatica Samenvattend Filosofische (na)beschouwingen ℵ = eerstvolgende kardinaalgetal > ℵ 0 Verschil tussen ℵ en c = ℵ 0 is open Continuum Hypothese : c = ℵ Alternatief: ℵ < c Platonisme, formalisme, intuïtionisme, constructivisme Verzameling van alle functies R R heeft cardinaliteit c c = ( ℵ ) c 0 = ℵ 0 c = c > c c 007, T. TUE.NL 37/39 Oneindig in Wiskunde & Informatica c 007, T. TUE.NL 38/39 Oneindig in Wiskunde & Informatica