Rije e reekse Keuzeoderwerp Atheeum 5 wiskude B e B Mei 008 Remy va Berge Peter Mulder
Dit boekje gaat over rije e reekse. Wiskudige rije! Rije worde i de wiskude op verschillede maiere gedefiieerd. Met behulp va de wiskude kue we ee groot aatal vrage beatwoorde over rije e reekse. Hoe gaat de rij, 6, 9,, verder? E,,, 4, 7,? E 5, 0, 0, 40, 80,? Wat zou va deze rije de 40 ste term zij? Opgave 0. Beatwoord deze vrage. Maar je kut meer vrage stelle. Wat krijg je als je de eerste 00 terme optelt? Is er ee formule te make? Wat zij de toepassige? Op dit soort vrage zul je met behulp va dit stecil het atwoord kue vide.. De tores va Haoi Hierbove zie je de tores va Haoi. I dit oude spel is het de bedoelig dat je de hele stapel schijve, die u op de liker tore zit, verplaatst aar de rechtertore. Maar er zij regels:. je mag maar schijf tegelijk verplaatse;. ee grotere schijf mag ooit boveop ee kleiere schijf ligge. Late we begie met ee wat kleiere puzzel da degee hierbove: Opgave. Bedek zelf hoe je de tores va Haoi met schijve zou oplosse. Hoeveel stappe heb je miimaal odig?
Met schijve was het tamelijk simpel. Late we ees kijke wat we moete doe als we drie schijve hebbe. Dek maar eve mee, we gaa hier eve heel auwkeurig aar kijke: Als we deze schijve aar de rechtertore wille hebbe, da moete we dus zorge dat de oderste (grootste) schijf oderaa komt op de rechtertore. Om dit te kue doe, moete de adere schijve uit de weg. Ze moete dus eve op de middelste tore staa zodat de weg vrij is voor de grootste schijf. Begi Stap Stap Stap Stap 4 Stap 5 Bij stap 4 zie je de grootste schijf verplaatst worde. De Stap 6 stappe die daaraa vooraf gaa, zij de stappe die odig zij om de schijve op Stap 7 de middelste tore te krijge. Als het goed is heb je bij Opgave ook gevode dat je hier stappe voor odig hebt. Nadat je de grote schijf hebt verplaatst, ka je de stee weer daar boveop zette. Dat kost je weer zette. Bij elkaar hebbe we dus + + = 7 zette odig. Opgave. Ga op dezelfde maier aa de slag met ee tore met 4 schijve. Bedek eerst op papier hoeveel zette je odig hebt, schrijf het idee achter je zette op (eerst doe ik, dat kost zette, etc.) e probeer daara of het je ook lukt om de puzzel i dat aatal zette op te losse. Het uitprobere va je zette ka makkelijk op www.vayper.be/haoi_tore.htm.. Twee legedes Er bestaat ee legede over priesters i ee Brahma-klooster i Idia, die i hu klooster ee versie va dit spel hebbe met tores e 64 schijve. Sids zeer lage tijd zij de kloosterlige bezig met het verslepe va de schijve. Als ze hu opdracht vervuld hebbe, da zal de wereld te eide kome. Gee prettig vooruitzicht, de vraag is echter of wij dit og wel zulle meemake. Hiervoor moete we kue berekee hoeveel zette er odig zij om zo puzzel op te losse.
We kijke aar hoe we het aatal zette kue berekee. Telkes verplaatse we eerst alle stee behalve de oderste aar de middelste tore, da verplaatse we de grootste stee aar de rechter tore, e da zette we de rest er weer op. stee = zet stee: stee aar middelste tore grootste stee stee op grootste stee + + = stee: stee aar middelste tore grootste stee stee op grootste stee + + = 7 4 stee: stee aar middelste tore grootste stee stee op grootste stee 7 + + 7 = 5 Ezovoorts Opgave. Vul de volgede tabel verder i: Aatal stee 4 5 6 7 8 Miimaal aatal zette 7 5 Bij de berekeig va het aatal zette zie je telkes het atwoord terugkome i de berekeig va de volgede. Zo maier va berekee oem je ee recursieve berekeig. Hier ee ader voorbeeld va ee legede waari ee recursieve berekeig voorkomt: De Idiase koig Shirham wilde volges ee oud verhaal de uitvider va het schaakbord, Sissa be Dahir, rijkelijk beloe voor zij uitzoderlijke prestatie. Op de vraag va de koig welke beloig hij voor zij uitvidig zou wese, atwoordde de slimme Sissa: Majesteit, geef me ee graakorrel om op het eerste vakje te legge, twee om op het tweede vakje te legge, vier om op het derde vakje te legge, acht om op het vierde vakje te legge,e laat mij zo, O koig, elk va de vierezestig vakjes va het schaakbord bedekke. De koig was stomverbaasd over zo bescheide verzoek,iet meer da ee hadvol rijst voor deze geweldige uitvidig. 4
Opgave 4. a. Vul de volgede tabel i: Vakje 4 5 6 7 8 9 Aatal rijstkorrels 4 8 b. Bereke i keer het aatal rijstkorrels wat op het 64 ste vakje komt te ligge. c. Er gaa ogeveer 50 rijstkorrels i ee kubieke cetimeter. De oppervlakte va Nederlad bedraagt 4.58 km². De hoeveelheid rijst die op het 64 ste vakje moet kome te ligge ka heel Nederlad bedekke met ee laag rijst. Bereke de dikte va deze laag. Je ziet dat de getalle i zo recursieve berekeig explosief kue stijge. Dit biedt goede hoop voor het aatal zette wat de priesters va Haoi verwijderd zij va het eide va de aarde.. Recursieve formules We gaa weer terug aar de tores va Haoi. Ee formule voor het aatal zette bij ee tore va Haoi zou er (iformeel) zo uit kue zie: aatal zette bij stee = aatal zette bij stee + + aatal zette bij stee oftewel: aatal zette bij stee = x aatal zette bij stee + Bijvoorbeeld: aatal zette bij 4 stee = x aatal zette bij stee + = x 7 + = 5 Nu gaa we het wat wiskudiger opschrijve. Daarvoor voere we i dat aatal zette is wat odig is om stee te verplaatse. De recursieve formule wordt da: het Met allee deze formule ka je og iks uitrekee, omdat je iet weet waarmee je moet begie. Om te berekee heb je bijvoorbeeld odig, e die weet je iet, wat om die te berekee heb je weer odig. Wat we og odig hebbe is ee zogeaamde radvoorwaarde. I dit geval kue we als radvoorwaarde eme:. Dit beteket i het verhaal dat ik 0 zette odig heb om 0 stee va de liker aar de rechter tore te verplaatse. De totale beschrijvig va de recursie wordt u: Zo vergelijkig heet ee recursievergelijkig e bestaat dus altijd uit ee radvoorwaarde e ee recursieve formule. Met de accolade ervoor geef je aa dat de twee regels bij elkaar hore. Om te berekee begi je dus bij. Da krijge we de recursieve berekeig: 5
Opgave 5. Geef de recursievergelijkig voor berekeig va de rijstkorrels op het schaakbord. Schrijf ook voor dit geval uit hoe je zou moete berekee. Opgave 6. Gegeve zij de volgede recursievergelijkige: a. Bereke, e. b. Hoe ka je i éé keer berekee? (dus zoder eerst tot e met te berekee c. Hoe heet het verbad tusse e? d. Geef ee formule om i éé keer te berekee. e. Beatwoord de vrage b t/m d ook voor. f. Ka je dit ook doe met de vergelijkig voor? Zo ja, doe dat da. Ee formule waarmee je ee atwoord i éé keer ka berekee, i plaats va via recursie heet ee directe formule. Deze heb je dus gevode bij d e e. 4. Rekekudige e meetkudige rije Bij de recursievergelijkig hoort de directe formule Je ziet dat i de direct formule aa de rechterkat allee ee De recursievergelijkig va geeft de volgede rij getalle: voorkomt. Deze rij begit bij (het startgetal) e wordt telkes 7 groter (het verschil). Ee rij waarva het verschil telkes gelijk is, oeme we ee rekekudige rij. De directe formule va ee rekekudige rij is altijd ee lieaire formule. Wiskudige begie met soms bij 0 te telle e soms bij! Va ee rij wordt het startgetal da weer het 0-de getal geoemd e da weer het -ste getal. Wees daarop bedacht! Opgave 7. Geef de recursievergelijkig e de directe formule die hore bij de volgede rije: a. 6,, 6,, 6, b., 8, 4, 0, 4, c. De rekekudige rij met startgetal e verschil. 6
De rijstkorrels op het schaakbord zij ee voorbeeld va ee rij waarbij telkes wordt vermeigvuldigd wordt met hetzelfde getal. De rij zag er zo uit: Deze rij begit bij (weer het startgetal) e wordt telkes keer zo groot (de rede. De recursievergelijkig va deze rij is: e de bijbehorede directe formule is: Zo rij, waarva de rede telkes gelijk is, oeme we ee meetkudige rij. De bijbehorede directe formule is altijd expoetieel. Opgave 8. Geef de recursievergelijkig e de directe formule die hore bij de volgede rije: a. 6, 8, 54, 6, b. 4,, 6,, c. De meetkudige rij met startgetal 4 e rede,5. Opgave 9. Geef directe formules voor de volgede recursieve vergelijkige: Algemee formules Rekekudige rij Meetkudige rij Recursief: Direct: 5. Rije met de grafische rekemachie We doe dit telkes met als voorbeeld de tore va Haoi. Hier og ee keer de recursievergelijkig: Ee makkelijke maier om sel ee aatal terme i ee rij uit te rekee is als volgt: Typ de eerste waarde i e druk eter Gebruik daara As als. Elke keer als je Eter drukt, krijg je de volgede term. 7
Maar om u iees de 00 ste term te berekee, be je og steeds lag bezig. Daarvoor heeft je rekemachie ee adere fuctie. Stel eerst je rekemachie i op de mode Seq. Deze istellig vid je oder de kop Mode. Seq is ee afkortig voor sequece, Egels voor rij. Als je u op Y= drukt, zie je ee ader scherm da ormaal. Hier ka je de recursievergelijkig ivulle. Mi is de die hoort bij de startwaarde. Wij hebbe afgesproke dat dat eigelijk altijd 0 is. is de recursieve formule. Om i te voere gebruik je de u die bove de 7 op het toetsebord staat e de die je u krijgt als je op de X,T,θ, - kop drukt. Verder gebruik je gewoo haakjes. I os geval voere we hier i )+ Mi is de startwaarde. I os geval dus 0. Als je dit ivoert e op eter drukt, wordt dit automatisch veraderd i {0}. Als het goed is, ziet je scherm er u zo uit: Rechts zie je het resultaat als je op Table drukt. Je ka ook ee grafiek make, je krijgt da losse pute e je stelt je scherm als altijd i bij Widow. Als je meerdere recursievergelijkige i wilt voere, gebruik je v e w. Deze letters vid je ook terug bove de 8 e de 9. I het gewoe rekescherm ka je u makkelijk het aatal zette berekee wat de priesters odig hebbe om hu 64 stee te verplaatse. Je ziet hieraast hoe je dat doet voor stee. Opgave 0. Hoeveel jaar zoude de priesters er ogeveer over doe als ze stee per secode zoude verplaatse? Als je bedekt dat de huidige leeftijd va het heelal geschat wordt op.700.000.000 jaar, da zie je dat we os iet te veel zorge om deze legede hoeve te make Opgave. Gegeve is de recursievergelijkig Vul met behulp va de fuctie Seq de volgede tabel verder i: 0 0 0 0 7 7 8
6. Gauss e de schoolmeester Erges aa het eid va de achttiede eeuw vroeg ee schoolmeester aa de kidere i zij klas om alle getalle va tot e met 00 bij elkaar op te telle. Hij dacht dat ze hier wel eve zoet mee zoude zij maar tot zij verbazig was er ee leerlig die metee het atwoord gaf. Het jogetje dat zo sel ko rekee heette Carl Friedrich Gauss e werd later ee va de beroemdste wiskudige aller tijde. Opgave. Probeer zelf te achterhale hoe je op ee slimme maier tot e met 00 bij elkaar kut optelle. Probeer evetueel eerst de som va de getalle tot e met 0 op ee hadige maier uit te rekee. Noem de som (= optellig) va de eerste 00 getalle s (00). Door die som twee keer op te schrijve, de ee keer begied bij e oploped tot 00 e de adere keer begied bij 00 e afemed tot, wordt duidelijk hoe Gauss misschie te werk is gegaa: s(00) s(00) s(00) 00 0 99 0 98 0..... 98 0 99 0 00 0 Opgave. Bekijk het bovestaade schema auwkeurig e leg uit dat s (00) 00 0 5050 Als je het idee achter de methode va Gauss begrijpt, is het ook iet meer moeilijk om de som te bepale va adere rije getalle. De methode leet zich amelijk voor alle zogeaamde rekekudige rije. Opgave 4. Cotroleer of je og weet wat ee rekekudige rij precies is! Opgave 5. Reke op dezelfde maier als hiervoor de som va de volgede rij getalle a., 4, 6, 8, 0,,.., 000 (alle eve getalle tusse 0 e 000) b. 5, 0, 5, 0, 5,.. 5000 (alle vijfvoude tusse 0 e 5000) We kue deze methode va getalle optelle i zij algemeeheid gebruike voor rekekudige rije. 9
Opgave 6. Leg uit dat de methode om de som va de eerste terme va ee rekekudige rij te bepale, gebruik maakt va de volgede formule: s ( ( eerste term laatste term) Opgave 7. Bereke met behulp va de formule uit opgave 6 de som va de eerste 50 terme va de volgede rije: a. u ( ) met ) 5 b. u ( ) met ) 45 c. u ( ) 7 met ) 75 d., 5, 8,, 4, 7, e. 00, 94, 88, 8, 7. Nog meer rijstkorrels Het aatal rijstkorrels dat op het laatste vakje va het beroemde schaakbord kwam te ligge, ka Nederlad met ee behoorlijke laag bedekke, zoals je hebt bereked i ee va de vorige paragrafe. We gaa u ees bekijke hoeveel rijstkorrels i totaal op het hele schaakbord zoude moete ligge als de koig het verzoek va de uitvider va het schaakbord zou hebbe igewilligd. Om dit gemakkelijk te kue uitrekee, oderzoeke we eerst ees of we ee bepaalde formule kue afleide waar we gebruik va kue make. Allereerst bekijke we de som va de korrels op de eerste vakjes. We kue dit atuurlijk direct uitrekee: + + 4 = 7. Maar het gaat zoals je weet i de wiskude iet om atwoorde maar om methodes! Bekijk daarom auwkeurig het oderstaade schema: s() s() s() s() 4 4 8 8 A() A() A() A() A() A() A(4) A(4) I de eerste regel va het schema zie je de som va de eerste vakjes. I de tweede regel is diezelfde som vermeigvuldigd met, de rede va deze rij. Daara is de tweede regel va de eerste regel afgetrokke. Opgave 8. a. Leg uit dat hieruit volgt dat s ( ) A(4) A( ) b. Bereke op dezelfde maier ook s (4) e s (5) e cotroleer of deze atwoorde kloppe. c. Geef de ragummerformule of directe formule voor het aatal korrels A ( op het -de vakje. d. Bereke u de som va de korrels va alle 64 velde. 0
I het voorbeeld met het schaakbord, hebbe we ee slimme truc bedacht om de som va ee meetkudige rij te bepale. Deze methode kue we geeralisere. Bekijk de volgede meetkudige rij: u ( b r Opgave 9. a. Leg uit dat deze rij bestaat uit de terme ) b ) ) br br etcetera b. Ga u op dezelfde maier te werk als i het voorbeeld va het schaakbord om ee formule af te leide voor de som va de eerste drie terme met behulp va het schema hieroder: s() s() r r s() s() b b br br br br br br ) ) ) ) ) ) 4) 4) Je hebt u ee formule afgeleid voor de som va de eerste drie terme va ee meetkudige rij. Op dezelfde maier ku je ook ee formule afleide voor de som va de eerste 4 terme va ee meetkudige rij, voor de som va de eerste 5 terme, ezovoort. I zij algemeeheid vid je da de volgede formule: Bij ee meetkudige rij is de som s( va de eerste terme gelijk aa: eerste term eerstvo lg ede term s( oftewel rede s( ) r ) Opgave 0. Bereke met de formule de som va de eerste 0 terme va de volgede rije: a. u ( b. u ( 8 5 c. u ( 4 ) met ) d., 6,,,. e. 0., 0.9,.7,
8. Toepassige Opgave. Bij de 0 km rijde de schaatsers 5 rodjes va 400 meter. a. Be begit met ee rodje va 4 secode. Vervolges rijdt hij elke rode 0,5 secode lagzamer da de voorgaade rode. Bereke zij eidtijd. b. Bart begit met ee rodje va 6,5 secode. Vervolges rijdt hij elk rodje 0, secode seller da de voorgaade rode. Bereke de eidtijd va Bart Opgave. Iemad zet vaaf zij 5e verjaardag elk jaar 5000,- op ee spaarrekeig. De bak waarbij de spaarrekeig loopt geeft elk jaar 6% rete. De spaarder hoopt op deze maier ee flik bedrag te kue spare dat op zij 65e verjaardag wordt uitgekeerd. De eerste ileg va 5000,- is a 40 jaar gegroeid tot 5000,06 40 euro. De tweede ileg va 5000,- staat atuurlijk ee jaar mider op de rekeig e is a de spaarperiode gegroeid tot 5000,06 9. Als de spaarder zij vooreme trouw blijft e de bak geeft elk jaar 6% rete, da krijgt de spaarder op zij 65e verjaardag ee bedrag uitgekeerd va: 5000,06+5000,06 + + 5000,06 8 + 5000,06 9 + 5000,06 40 euro. a. Leg uit dat dit de som is va ee meetkudige rij. b. Bereke hoeveel euro de spaarder op zij 65e verjaardag va de bak krijgt uitgekeerd. De spaarder wil graag miljoe euro uitgekeerd krijge op zij 65e verjaardag. c. Hoeveel euro moet hij da elk jaar elk jaar ilegge?
Opgave. I de figure hierbove ligge de cirkels dicht tege elkaar, zodat ze zeshoekige rige vorme. De eerste, tweede e derde zeshoekige rig bestaa uit respectievelijk 6, e 8 cirkels. a. Uit hoeveel cirkels bestaa de vierde e de vijfde zeshoekige rig? b. Stel ee formule op voor het aatal cirkels i de -de zeshoekige rig. c. Bereke het aatal cirkels i ee figuur die uit 0 zeshoekige rige bestaat. Opgave 4. Ee gerucht doet op ee bijzodere maier de rode. Op de eerste dag kee drie mese het gerucht. De volgede dag vertelt elk va he het gerucht door aa twee mese die het og iet kee. Elke volgede dag doet ieder die het gerucht ket hetzelfde. a. Hoeveel mese hore het gerucht de tweede dag? b. Elke dag hoort ee bepaald aatal mese het gerucht. Deze getalle vorme de rij c(. Bereke de eerste vijf terme va deze rij. c. Wat voor ee rij is c(? Bedek de recursievergelijkig. d. Het aatal mese dat het gerucht op ee bepaalde dag ket vormt ook ee rij. Noem deze rij b(. Doe hetzelfde als bij b e c, maar da voor b(. e. Wat voor rij is b(? f. Bereke het aatal mese dat het gerucht ket a 0 dage.
9. Verschilrije Rije ku je op verschillede maiere bestudere. Bijvoorbeeld door aar de verschille tusse twee opeevolgede terme te kijke. Bekijk bijvoorbeeld de rij u ( Dit is de rij va de kwadrate: u ( 0) 0, ), ) 4, ) 9, ezovoort Late we u ees kijke aar de verschille tusse de opeevolgede terme door ee ieuwe rij te vorme die bestaat uit de verschille va de terme uit de rij u (. We oeme de verschilrij v (. Er geldt da: v(0) ) v() ) v() ) v() 4) ezovoort 0) ) ) ) 0 4 9 4 6 9 5 7 Of og algemeer: v ( ) De terme va de verschilrij doe vermoede dat dit de rij va de oeve getalle is. Opgave 5. Laat met behulp va de formules zie dat dit zo is. Maak daartoe de volgede berekeig af: v ( ) ( ).. Opgave 6. Bereke va de volgede rije de eerste drie terme va de verschilrij. a. u ( ( ) 6 b. u ( 5 c. u ( l( ) d. u ( ( ) We gaa u i het bijzoder kijke aar de verschilrije va rekekudige e meetkudige rije. Opgave 7. a. Laat met ee voorbeeld zie dat de verschilrij va ee rekekudige rij altijd ee costate rij is. b. Hoe volgt dit direct uit de recursieve formule va ee rekekudige rij? 4
Opgave 8. a. Bepaal de eerste vier terme va de verschilrij va de meetkudige rij 5 b. Laat zie dat de eerste drie terme va deze verschilrij ook groeifactor 5 hebbe. c. Bewijs u i zij algemeeheid dat de verschilrij va 5 ook ee meetkudige rij is, e wel met rede 5 e begiwaarde. De maier va opgave 8c kue we ook i zij algemeeheid toepasse om te late zie dat elke verschilrij va ee meetkudige rij weer ee meetkudige rij is met dezelfde rede. Stel u ( b r, dus ee meetkudige rij met rede r e begiwaarde b. We bepale u de verschilrij: v ( ) b r b r ( br b) r E dus is de verschilrij ee meetkudige rij met rede r e begiwaarde br-b. Opgave 9. Bepaal de verschilrij va de meetkudige rije: a. 5 b. c. u ( ) met u (0) 4 We hebbe u de verschilrij va ee aatal rije bepaald. Als je kijkt aar de verschilrij va ee rekekudige rij, da zij de verschille tusse opeevolgede terme costat. Dat is logisch wat ee rekekudige rij is eigelijk iet veel aders da de rij getalle die je krijgt als je allee gehele waardes ivult i ee lieaire fuctie. Rije kue atuurlijk ook va adere fucties zij afgeleid, bijvoorbeeld va kwadratische fucties. De rij k ( 7 is ee voorbeeld va zo rij. Dit is dus de rij 7, 0, 5,,,.. Opgave 0. a. Ga a dat dit iderdaad de eerste 5 terme va k ( 7 zij. b. Bepaal de eerste 4 terme va de verschilrij va k (. c. Bepaal ook ee algemee formule voor de verschilrij. d. Bepaal de verschilrij va de verschilrij! Wat valt je op? 5
Als je opgave 0 goed hebt uitgewerkt da is je waarschijlijk opgevalle dat de verschilrij va deze kwadratische rij ee rekekudige rij is. Dus de verschilrij va de verschilrij va ee kwadratische rij is ee costate rij! Opgave. Bepaal de verschilrij va de verschilrij va de rij k ( Opgave. a. Bepaal de eerste 8 terme va de rij k ( b. Bepaal vervolges de eerste 7 terme va de verschilrij va de verschilrij. c. Bepaal u de de eerste 6 terme va de verschilrij va de v erschilrij va de verschilrij! d. Wat is je vermoede over de verschilrije va derdemachtsrije? Opgave. Va ee rij staa hieroder de eerste 7 terme met daaroder ee deel va de verschilrij, daaroder ee stukje va de verschilrij va de verschilrij, ezovoort.: 4 5 6 7 0 5 a. Bereke de otbrekede getalle uit het schema zodat de oderste rij ee costate rij is. b. Bereke door va oderaf aar bove te werke de 8-ste e de 9-de term va de oorsprokelijke rij uit. c. Va welke graad is de oorsprokelijke rij? 56 Na de voorgaade opgave zal je wel duidelijk zij dat er ee algemee regel valt af te leide met betrekkig tot de verschilrije va rije die zij afgeleid va machtsfucties. Opgave 4. Formuleer voor jezelf die regel! Opgave 5. De rij m ( 6 0 9 7500 is ee 6-ste machtsrij, Hoe vaak moet je de verschilrij va de verschilrij eme voordat je ee costate rij krijgt? 6
Opgave 6. Ee 6-de machtsrij bestaat uit de volgede terme: 49 649 4 84 5 500 6 456 7 549 Bereke de 8-ste term va deze rij. 7
0. De rij va Fiboacci Leoardo di Pisa, alias Fiboacci (zoo va Boaccio) leefde aa het eid va de -de e aa het begi va de -de eeuw. Hij is vooral beked om de getallerij die zij aam draagt. Die (oeidige) rij begit met,,,, 5, 8,,, 4, 55,.. Het kemerk va dit rijtje is dat elk getal de som is va de laatste voorafgaade getalle. Met adere woorde, als we het -de getal aageve met f ( da is f ( f ( ) f ( ) Opgave 7. a. Bepaal ook de elfde e de twaalfde term va de rij va Fiboacci. b. Bepaal ook de eerste tie terme va de verschilrij. Wat valt je op? De rij gaf de oplossig voor ee probleempje dat Fiboacci i 0 formuleerde: Ee boer koopt op de markt i Pisa twee pasgebore koije: ee maetje vrouwtje. e ee De eerste maad bregt dit stel og gee kleitjes voort, maar a de tweede maad worde de eerste twee koije gebore: ee maetje e ee vrouwtje. Gedurede de daaropvolgede maade bregt dit eerste stel koije steeds twee koije va verschilled geslacht ter wereld. Maar ook de akomelige va dit stel gaa, adat ze ee maad oud zij, zich voortplate e brege elke maad ee stel koije ter wereld. 8
Het rijtje va Fiboacci:,,,, 5, 8,, geeft aa hoeveel koijepare de boer i de opeevolgede maade heeft, als er vauit wordt gegaa dat gee ekel stel doodgaat. Dit laatste gaa we i de volgede opgave bewijze. Opgave 8. Het aatal koijepare a maade zulle we aageve met f (. We wille u aatoe dat f ( f ( ) f ( ). Geef het aatal pasgebore koijepare a maade aa met p ( e het aatal iet-pasgebore pare a maade met g (. a. Leg uit dat geldt dat f ( p( g(. Ee maad later worde er p ( ) pare gebore. b. Leg uit dat geldt p ( ) g(. c. Leg uit dat f ( g( ) We hebbe dus de volgede relaties:... f ( p( f g( p( ) g( g( ) d. Bewijs met deze drie relaties dat f ( f ( ) f ( ). 9
Het probleem met de koije toot ee orealistische geealogie. Beter komt de Fiboaccirij tot zij recht i de geealogie va darre (maetjesbije. Ee maetjesbij heeft amelijk gee vader. Bij bevruchtig otstaat altijd ee vrouwtjesbij. Ee maetjesbij heeft dus moeder e grootouders e overgrootouders (wat de maelijke grootouder heeft gee vader). Je ziet zo het Fiboaccirijtje,,,,5, otstaa Ee ader elegat probleem waarbij de rij va Fiboacci wordt gegeereerd is het volgede Iemad wil ee stee pad aalegge. Daarvoor heeft hij de beschikkig over twee soorte stee. De ee soort is vierkat ( bij ) e de adere soort heeft afmetig bij. Het pad is eve breed als de breedte va ee vierkate stee. Hoeveel verschillede pade (patroe va legte ka hij legge met deze soorte stee? Opgave 9. a. Schets zelf ee pad va legte 7 met vierkate x-stee e twee rechthoekige x-stee. b. Hoeveel verschillede pade met legte 7 ku je make? We gaa i de opgave hieroder wat dieper op dit probleem i. Opgave 40. Late we eve afspreke dat we het aatal pade va legte aageve met a (. De laatste stee va ee pad va legte bestaat uit ee x-stee of ee x stee. a. Als die laatste stee ee x-stee is, da ka het overige deel va het pad op a ( ) maiere zij opgebouwd. Leg dat uit! b. Als de laatste stee ee x-stee is, da ka het overige deel va het pad op a ( ) maiere zij opgebouwd. Leg dit ook uit! c. Leg u uit dat a ( de rij va Fiboacci is. Opgave 4. Op hoeveel maiere ku je ee trap va trede opree, als je telke éé of twee trede tegelijk eemt? De rij va Fiboacci ket allerlei verrassede eigeschappe die og lag iet allemaal beked zij. Ee va die eigeschappe, amelijk dat de verschilrij wederom getalle uit de oorsprokelijke rij oplevert, heb je i ee va de voorgaade opgaves al kue otdekke. I de volgede opgave bekijke we og ee paar eigeschappe. 0
Opgave 4. Bewijs de volgede eigeschappe va de rij va Fiboacci. a. ) ( ) ( ) ( ) ( f f f f b. ) ( ) ( 4 ) ( ) ( f f f f
. Covergetie De Griek Zeo va Elea (ca. 490 v. Christus - ca. 40 v. Christus) was ee beroemde filosoof uit de oudheid. I Griekelad e met ame Athee werd i die tijd op ee relatief modere weteschappelijke maier kritisch agedacht over allerlei oderwerpe. Filosofe probeerde ee beeld te krijge va de wereld om he hee, discussieerde met elkaar over vele zake e bekritiseerde elkaars theorie. Zeo bedacht allerlei argumete om de uitsprake va ee adere filosoof, Parmeides die bewerige deed over de omogelijkheid va verscheideheid e veraderig, te verdedige. Beroemd e vooral berucht zij dies uiteezettige over de omogelijkheid va bewegig. Volges de redeerig va Zeo is het omogelijk om ee zekere afstad te overbrugge. Als je amelijk ee bepaalde afstad wilt overbrugge, moet je eerst de helft va die afstad overbrugge. Maar om dat te doe moet je eerst weer de helft va die afstad overbrugge e vervolges ook voor die helft eerst weer ee helft overbrugge. Ezovoort, ezovoort. Aagezie afstade volges Zeo oeidig vaak deelbaar zij, ka me dus omogelijk ee gegeve afstad aflegge! I de tijd va Zeo ko me dit soort argumete iet echt weerlegge, terwijl me, et als wij, toch uit ervarig wist dat ee bepaalde afstad wel degelijk te overbrugge is. Ee va de beroemdste voorbeelde die Zeo bedacht om zij bewerige kracht bij te zette, gaat over ee hardloopwedstrijd tusse Achilles e de schildpad. De schildpad krijgt ee voorsprog op Achilles. Waeer Achilles, adat de schildpad al is vertrokke, het put A bereikt, waar de schildpad kort tevore was, is de schildpad itusse bij put B aagekome. Arriveert Achilles vervolges bij dit put B, da is de schildpad itusse aagekome bij put C, ezovoorts. Coclusie: de achterstad wordt kleier, maar Achilles haalt de schildpad ooit i wat i de tijd dat hij de afstad die op ee zeker tijdstip tusse hem e de schildpad bestaat, heeft afgelegd, is de schildpad toch weer iets verder gekome. Dit is ee paradox, wat i werkelijkheid zou Achilles de schildpad atuurlijk wel ihale! De paradox wordt oder meer veroorzaakt door het feit dat de som va ee oeidig aatal stappe toch eidig is. Start de schildpad bijvoorbeeld met 000 meter voorsprog, e loopt Achilles tie keer zo sel als de schildpad, da is de schildpad 00 meter verder als Achilles die 000 meter heeft overbrugd. Als Achilels de resterede 00 meter heeft afgelegd, is de schildpad 0 meter verder, etcetera. Dus de voorsprog va de schildpad adert via de rij 000 00 0 0, 0,0 0,00 tot ul. We kue de som va al die te overbrugge afstade berekee dakzij de os imiddels bekede formules va wiskudige rije.
De terme va deze oeidige som vorme ee meetkudige rij met als eerste term 000 e rede 0,. We gebruike de formule voor de som va de eerste terme va ee meetkudige rij met rede 0,: s( e term ( ) ste term rede 000 000 0, 0, 000 ( 0,9 0, ) 000 0,9 ( 0, ) Als we steeds groter eme, da wordt 0, steeds kleier e adert steeds dichter tot 0. Kortom voor hele grote waardes va is 0, verwaarloosbaar klei e adert 000 ( 0, ) 0,9 aar 000 0,9 ( 0) 000 0,9 We zegge i de wiskude dat de rij s( covergeert (i dit geval aar 000 ) 0,9 000 Achilles haalt de schildpad i a ee afstad va meter. Dit is i 0,9 overeestemmig met de zituiglijke waaremig. Wat Zeo i zij verhaal suggereerde was dat de som va ee oeidig aatal terme ook oeidig moest zij. Wat iet het geval is, waarmee de paradox verklaard is. Opgave 4. Stel dat Achilles drie keer zo sel loopt als de schildpad e 50 meter voorsprog krijgt, wat is da de totale afstad die Achilles aflegt voordat hij de schildpad ihaalt? De paradox ka ook op ee adere maier worde doorzie: door aar het verloop va de tijd te kijke. Stel dat Achilles 5 meter per secode loopt e de schildpad 5 cm per secode, dus weer 0 keer zo lagzaam. We geve de schildpad u 5 meter voorsprog. Achilles bereikt da a secode de startpositie va de schildpad, die da weer 5 cm verder is. Over die 5 cm doet Achilles /00 secode. De schildpad is da ee halve millimeter verder e Achilles bereikt dat put vervolges i /0.000 secode. Zeo laat dus i feite de tijd stilstaa om de idruk te wekke dat Achilles de schildpad iet ihaalt. Hij zet eigelijk de video stil vlak voordat Achilles wit. De paradox blijkt ook om deze rede ee drogrede te zij. 000 I het bovestaade voorbeeld bleek de rij s ( ( 0, ) te covergere. 0,9 I de wiskude zegge we ook wel dat deze rij ee limiet heeft. 000 De rij s( ( 0, ) is de somrij va de meetkudige rij 0,9 000 0, met als eerste term ) 000 Ee drogrede is ee redde die schijbaar correct is maar bij adere bestuderig vals blijkt te zij
Misschie verwacht je dat de somrij va elke meetkudige rij ee limiet heeft maar dat is iet zo. Niet va elke meetkudige rij is de somrij coverget. I de volgede opgave gaa we dit voor ee aatal rije uitzoeke. Opgave 44. Bepaal va de volgede rije de formule voor de somrij e zoek vervolges uit of de somrij covergeert, dat wil zegge ee limiet heeft. a. 0,7 met als eerste term ) b. 0 7 met als eerste term ) 0 c. 000 0,999 met als eerste term ) 000 d. 0,00,00 met als eerste term ) 0,00 e. Welk vermoede ku je formulere over het wel of iet covergere va de somrij va ee meetkudige rij? f. Zal de somrij va ee rekekudige rij covergere, dek je? Algemee kue we dus stelle dat ee meetkudige rij als de rede r kleier is da. b r covergeert Va sommige rije is het iet direct duidelijk of er sprake is va covergetie. Bekijk bijvorbeeld de zogeaamde harmoische rij: oftewel de rij,,,,,.. 4 5 Het is duidelijk datdeze rij zelf covergeert. De terme worde steeds kleier e ligge steeds dichter bij 0 aarmate je groter kiest i de term. Je zou misschie deke dat de somrij va de harmoische rij ook covergeert. Het is iet dirrect duidelijk of dit zo is...?? 4 5 I de volgede opdracht ga je dit uitzoeke. Opgave 45. We gaa de somrij s ( va bestudere. a. Bepaal allereerst de eerste 4 terme va s (. b. Teke ee ette grafiek va de fuctie f ( x) op het iterval [0, 5] x c. Maak met behulp va de grafiek va f ( x) duidelijk dat geldt: x 5 dx 4 x 4
d. Leg i zij algemeeheid uit dat geldt:. dx x e. Bereke de itegraal uit opdracht d. f. Heeft de uitkomst va opgave e voor grote ee bovegres? g. Waarom volgt uit het voorgaade dat de somrij va de harmoische rij iet covergeert! Opgave 46. I deze opgave gaa we de rij u ( bestudere.! a. Bepaal de eerste 7 terme va de rij e teves hu som. Begi bij u (0). b. Waarhee covergeert de somrij? Heb je ee vermoede? Opgave 47. Gegeve is de recursievergelijkig u ( ) 4 4 a. Neem aa dat deze rij covergeert aar de limietwaarde L. Dat zou betekee dat voor hele grote waarde va de term steeds meer gaat lijke op L. Leg uit dat de limietwaarde da moet voldoe aa: L L 4 4 b. Los de bovestaade vergelijkig op e geef de limietwaarde L. c. Laat zie dat de formule 4 ( ) L) L aa de recursievergelijkig voldoet. d. Laat zie dat i zij algemeeheid geldt dat a ( ) L) L de directe formule is die voldoet aa de recursievergelijkig u ( ) a b met L b a e. Leg uit dat de rij uit opgave d allee ee limet heeft als a < Er zij og meer methodes om de limiet va ee rij te bepale, dat wil zegge te bepale of ee rij coverget is. Ee va die methodes maakt gebruik va zogeaamde webgrafieke. I de volgede paragraaf gaa we hier verder op i. 5
. Webgrafieke Va ee rij waarva de recursieve formule beked is, ku je elke term uitrekee als je de voorgaade term weet. Je begit bij de eerste term e bereket vervolges met behulp va de recursieve formule de volgede term. Welke rij op deze maier otstaat, hagt af va de gekoze begiwaarde. De begiwaarde bepaalt eveees of de rij wel of iet covergeert. Bekijk bijvoorbeeld de rij u ( ) 4 Neme we als begiterm de waarde 5 da blijkt deze rij te covergere aar ee bepaalde limiet. Opgave 48. Probeer met behulp va je rekemachie uit te zoeke aar welke waarde deze rij covergeert. Opgave 49. Zoek uit met je rekemachie of de rij covergeert als we begiwaarde kieze. E bij begiwaarde 6? Door lukraak te probere, kue we eigszis achterhale bij welke begiwaarde de rij covergeert. Met behulp va webgrafieke zulle we zie dat we wat makkelijker kue bepale waeer de rij ee limiet heeft. De bovestaade rij u ( ) is eigelijk afgeleid va de fuctie 4 f ( x) x x. 4 Je zou de rij ook kue verkrijge als je de begiwaarde 5 ivult i de fuctie, de uitkomst opieuw ivult, etcetera. 0) ) ) ) 5 etcetera f ( 0)) f ( )) f ( )) We gaa dit u i ee zogeaamde webgrafiek zette. Dit gaat als volgt: Opgave 50. a. Teke de grafiek va f ( x) x x 4 op het iterval [0, 6] b. Teke eveees de hulplij y = x c. Zet de begiwaarde 0)=5 uit op de x-as e trek met ee adere kleur ee verticale lij aar bove tot je de grafiek sijdt. 6
De y-waarde va dit put is ). Deze waarde ) moet je u weer als x-waarde uitzette om ) te kue bepale. d. Zoek u uit hoe je, door gebruik te make va de lij y = x steeds de volgede waarde va de rij kut verkrijge Als je i opgave 50 op de juiste maier te werk bet gegaa, heb je de volgede grafiek gekrege. Zo grafiek heet ook wel ee webgrafiek. Opgave 5. Aa de webgrafiek ku je zie dat de rij u ( ) 4 bij begiwaarde 5 covergeert e aar ee limiet loopt. a. Leg uit dat je deze limiet kut vide door de vergelijkig f(x) = x op te losse. b. Los de vergelijkig op. c. Bij oderdeel b. vod je twee oplossige. Zij beide oplossige limiete? 7
Opgave 5. Zoek uit hoe je ee webgrafiek kut tekee met je rekemachie. Opgave 5. Bepaal met behulp va de webgrafiek of de rij u ( ) 4 covergeert voor de volgede begiwaarde: a. b. 6 c. - d. Zoek u precies uit voor welke begiwaarde de rij gee limiet heeft e voor welke begiwaarde wel. Opgave 54. Teke de webgrafieke bij de volgede rije, bepaal bij welke begiwaarde de rij covergeert e bereke de evetuele limiet: a. u ( ) 0) b. u ( ) 0) c. u ( ) 0,5u ( 0) d. u ( ) 0) Opgave 55. I oderstaade figuur staat de grafiek va de fuctie f ( x) x Na keuze va ee startwaarde 0) is de rij 0), ), ), ), vastgelegd door u f ) ( =,,, ). ( u 8
a. Neem als startwaarde de begiwaarde -0,5. Teke op de x-as met behulp va ee webgrafiek de plaatse va ), ) e ). Er zij twee startwaarde waarbij de rij 0), ), ), ), costat is. b. Bereke deze startwaarde exact. Neem 0) = a. Er zij twee startwaarde a zodat de rij bestaat uit twee verschillede getalle a e b die elkaar afwissele; de rij wordt da a, b, a, b, a, met b a. c. Bereke beide waarde va a i drie decimale auwkeurig. Opgave 56. Gegeve is de fuctie f ( x). x I de figuur is rechthoek OPQR geteked met R(0, ) e P(b, 0) met b > 0. De grafiek va f verdeelt de rechthoek i twee dele met gelijke oppervlakte. a. Bereke b i twee decimale auwkeurig. Voor de rij v(0), v(), v(), geldt v( = f (v( )) met v(0) 0 e. b. Oderzoek voor welke waarde va v(0) de rij covergeert. Licht je atwoord toe, bijvoorbeeld met behulp va ee webgrafiek. Voor bepaalde startwaarde v(0) < 0 breekt de rij v(0), v(), v(), met v( = f (v( )) e af, omdat de terme iet meer gedefiieerd zij. c. Geef twee va dergelijke startwaarde. Licht je atwoord toe. 9