Videoles Discrete dyamische modelle
Discrete dyamische modelle Orietatie Algebraisch Algebraisch/ umeriek Numeriek
Maak de volgede rijtjes af: Puzzele met rijtjes a. 2 4 6 8 10 - b. 1 2 4 8 16 - c. 1 2 5 14 41 - d. 1 4 9 16-25 - e. 1 1 2 3 5 - f. 2 3 5 7 11 - g. 3 1 4 1 5 - h. 1 3 6 10 -
Atwoord: Puzzele met rijtjes a. 2 4 6 8 10
Atwoord: Puzzele met rijtjes a. 2 4 6 8 10 12 14 wat: a a 2 met a 2 (Recursieve formule) of a + 1 = + 1 = = 2 (Directe formule)
Atwoord: Puzzele met rijtjes b. 1 2 4 8 16
Atwoord: Puzzele met rijtjes b. 1 2 4 8 16 32 64 wat: a = 2 a met a = 1 (Recursieve formule) of + 1 1 a = 1 2 (Directe formule)
Atwoord: Puzzele met rijtjes c. 1 2 5 14 41
Atwoord: Puzzele met rijtjes c. 1 2 5 14 41 122-365 wat: a 3 a 1 met a 1 (Recursieve formule) + = = of 1 1 a 1 = (3 + 3) (Directe formule) 6
Atwoord: Puzzele met rijtjes d. 1 4 9 16-25
Atwoord: Puzzele met rijtjes d. 1 4 9 16-25 36 49 wat: a of = a ( + 1) + 1 2 2 (Recursieve formule) a = 2 (Directe formule)
Atwoord: Puzzele met rijtjes e. 1 1 2 3 5
Atwoord: Puzzele met rijtjes e. 1 1 2 3 5 8 13 21-34 wat: a = a + a (Recursieve formule) 1 1 + i Woord formule: ieuw getal is som twee vorige getalle Er bestaat ook ee Directe formule
Atwoord: Puzzele met rijtjes f. 2 3 5 7 11
Atwoord: Puzzele met rijtjes f. 2 3 5 7 11 13 17 23-29 wat: i Woord formule: ieuw getal is volgede priemgetal Er bestaat gee Directe formule e ook gee Recursieve formule
Atwoord: Puzzele met rijtjes g. 3 1 4 1 5
Atwoord: Puzzele met rijtjes g. 3 1 4 1 5 1 6 1 7 wat: i Woord formule: ieuw getal is vorige getal :3 +3 :4 +4 :5 +5 ez.
of Puzzele met rijtjes Atwoord: g. 3 1 4 1 5 9 2 6 5 wat: i Woord formule: ieuw getal is volgede decimaal va π
Atwoord: Puzzele met rijtjes h. 1 3 6 10
Atwoord: Puzzele met rijtjes h. 1 3 6 10 15 21 28-36 wat: a =a + met a =1 (Recursieve formule) +1 1 Verschil is 1, 2, 3, 4, ez. (Woordformule) ( 2 + ) a = ( Directe formule) +1 2
of Puzzele met rijtjes Atwoord: h. 1 3 6 10 12 6-17 -69 wat: 1 a = ( 4 + 10 31 2 + 54 24) +1 8 ( Directe formule)
of Puzzele met rijtjes Atwoord: h. 1 3 6 10 15 21 25 27 wat: a ="aatal maiere om oge te +1 gooie met drie dobbelstee" (Woord formule)
Puzzele met rijtjes Coklusie: Er zij altijd ee heleboel maiere om ee rijtje getalle af te make. Allee ligge sommige maiere mider voor de had da adere. We beperke os verder tot reekse va getalle die door ee recursieve formule worde beschreve.
Puzzele met rijtjes Recursieve formules kue i de GR worde igevoerd. bv. a = 3 a 1 2 met a0 = 1
Ekele bijzodere rije Rije e reekse 1. Rekekudige rij u = u + v 1 2. Meetkudige rij u = r u 1 3. 1e orde differetievergelijkig 4. Fiboacci reeks 5. Som rije u = au + b 1 u = u + u 1 2 S = S + u 1
Ekele bijzodere rije Rije e reekse 1. Rekekudige rij Voorbeeld 3,10,17,24,31,38 Recursieve formule Directe formule u = u + v 1 u = u + v 0
Bijzodere rije Rije e reekse 2. Meetkudige rij Voorbeeld 3,6,12,24,48,96 Recursieve formule u = r u 1 Directe formule u = u r 0
Bijzodere rije Rije e reekse 3. Lieaire differetievergelijkig va de 1e orde (Megvorm va meetkudige e rekekudige rij) Voorbeeld 2, 5, 14, 41,121.. Recursieve formule Directe formule (Bewijs komt later) u = au + b 1 u = P a + Q
Rije e reekse Gegeve de recursieve formule met u 0 =2 dus de rij 2, 5, 14, 41, 122 ez. u = 3 1 u 1 De Directe formule u = P + Q 3 is da te vide door 2 getalle i te vulle. u = 2= P 3+ Q 1 1 1 = 5= 3 + = = 2 2 1 (3 u = + 1) 2 2 u2 P Q P Q
Bijzodere rije 4. Fiboacci reeks Rije e reekse Lieaire differetievergelijkig va de 2 e orde Voorbeeld 1,1,2,3,5,8,13,21,34 Recursieve formule Directe formule de formule va Biet (Zoder bewijs) u u = u + u 1 2 1 + 1 1 1 2 2 2 2 ( 5) ( 5) = 5 5
Bijzodere rije Rije e reekse 5. Som rije Gegeve de rij u, u, u,... u 0 1 2 Wat is da de som S = u + u + u +... + u 0 1 2 Recursief geschreve S = S + u 1 maar bij Som rije wille we ee Directe formule!
Bijzodere somrije Rije e reekse a) Som va de rekekudige reeks b) Som va de meetkudige reeks c) Som va de lieaire differetievergelijkig va de 1e orde d) De harmoische reeks e) De reeks va Euler f) De reeks va Leibiz g) De halverigs reeks
Bijzodere somrije Rije e reekse Som va de rekekudige reeks Hoe tel je alle terme va ee rekekudige reeks bij elkaar op? Schrijf de reeks er omgekeerd oder! (blz. 116/117) Gegeve de rekekudige rij u Da geldt: 1 S = ( + 1) ( u + u ) 0 2
Bijzodere somrije Rije e reekse Som va de meetkudige reeks Hoe tel je alle terme va ee meetkudige reeks bij elkaar op? Schrijf de reeks er og ees oder maar da alles maal r. Trek ze va elkaar af. (blz. 121) Gegeve de meetkudige rij u = r u 1 Da geldt: S 1 r + 1 = u = 0 r u u 0 + 1 1 1 r
Tussedoor.. Rije e reekse Bewijs voor de directe formule voor de lieaire differetievergelijkig va de 1 e orde Als u = au + b 1 da ziet de rij er uit als: 2 0 0 0 u, au + b, a u+ ab + b, 3 2 0 a u + a b + a b + b,... ez. 0 2 3 1 u = u a + b (1 + a+ a + a... + a )
Tussedoor.. Rije e reekse Bewijs voor de directe formule voor de lieaire differetievergelijkig va de 1 e orde 1 0 0 a b b u = u a + b = ( u ) a + 1 a 1 a 1 a dus u = P a + Q
Bijzodere somrije Rije e reekse De harmoische reeks Defiitie: 1 1 1 1 1 S = + + + + +... 1 2 3 4 5 De harmoische reeks komt i allerlei probleme voor. Zoals De slak e de geit of Brugge bouwe
Bijzodere somrije Rije e reekse De harmoische reeks Defiitie: 1 1 1 1 1 S = + + + + +... 1 2 3 4 5 I de 14 e eeuw otdekte Nicole Oresme dat de som willekeurig groot ka worde! Maar dat duurt wél eve Als je de 20 wilt hale moet je 250 miljoe terme optelle. Als je de 100 wilt hale moet je 1,5 x 10 43 terme optelle. Over traag gesproke...
Bijzodere somrije Rije e reekse De harmoische reeks divergeert! Het bewijs va Nicole Oresme: S S 8 8 1 1 1 1 1 1 1 = 1 + + ( + ) + ( + + + ) 2 3 4 5 6 7 8 1 1 1 1 1 1 1 1 > 1 + + ( + ) + ( + + + ) = 1+ 3 2 4 4 8 8 8 8 2 Algemee: S > 1+ k 2 k 1 2
Bijzodere somrije Rije e reekse Defiitie: De reeks va Euler 1 1 1 1 1 S = + + + + + 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2... S Het was de broers Jakob e Joha Berouilli rod 1700 al beked dat deze reeks iet divergeert maar aar ee vaste waarde adert. Het duurde tot 1730 tot Euler aatoode: 1 1 1 1 1 1 = = + + + + +... = k 2 2 2 2 2 2 k = 1 π 1 2 3 4 5 6 2
Bijzodere somrije Rije e reekse De reeks va Gregory-Leibiz (E waarschijlijk al beked i Idie i de 14 e eeuw) S ( 1) 1 1 1 1 π = = 1 + + +... = 2k + 1 3 5 7 9 4 k = 0 k Voor berekeige va π is deze reeks iet geschikt. Het covergeert heel lagzaam.
Bijzodere somrije Rije e reekse De halverigs reeks Defiitie: 1 1 1 1 S = 1 + + + + +... 2 4 8 16 Dit is ee gewoe meetkudige reeks. 1 met =1 2 1 0 u = u u Volges de somformule voor meetkudige reekse adert de uitkomst aar S 1 2 1 2 + 1 1 () = lim = 2 1
Bijzodere somrije Rije e reekse is terug te vide i de Boom va Pythagoras
Bijzodere somrije Rije e reekse a) Som va de rekekudige reeks b) Som va de meetkudige reeks c) Som va de lieaire differetievergelijkig va de 1e orde d) De harmoische reeks e) De reeks va Euler f) De reeks va Leibiz g) De halverigs reeks