3 Rekenen aan lijnen

3 Rekenen n lijnen

Dit is een bewerking vn Meetkunde et coördinten Blok Lijnen, richtingen en wiers vn Ad Goddijn ten behoeve vn het nieuwe progr (014) wiskunde B vwo. Opgven et dit erkteken kun je zonder de opbouw n te tsten, oversln. * Bij opgven et dit erkteken hoort een werkbld. Inhoudsopgve 1 Lijnen et inproduct 1 Het inproduct nder bekeken 11 3 Hoeken 14 4 Projecties 1 5 Antwoorden 5 Eerste uitgve, pril 010 Colofon 010 ctwo Auteurs Leon vn den Broek, Dolf vn den Hobergh, Met edewerking vn Josephine Buskes, Richrd Berends, Gert Dnkers, Ad Goddijn, Sieb Kee, Dick Klingens Illustrties Wilson Design, Uden Op dit werk zijn de beplingen vn Cretive Coons vn toepssing. Iedere gebruiker is vrij het terilen voor eigen, niet-coerciële doeleinden n te pssen. De rechten blijven n ctwo.

1 Lijnen et inproduct Inproduct en loodrechte stnd 1. Bepl de lengte vn de drie vectoren in het pltje hiernst. Lt wortels in je ntwoord stn. b. Hoe bereken je de lengte vn de vector (,b)? De lengte vn (,b) is + b. Gegeven zijn de punten A(1,1), B(6,6) en C(0,-6).. Bereken: AB, BC en CA. Ter herinnering: et wordt de lengte vn vector bedoeld. AB AB CAB=15. b. Hoe kun je et dit gegeven de ndere hoeken vn driehoek ABC berekenen? De fstnd vn A(,b) en P(p,q) is gelijk n AP. Dus AP= ( p ) + (q b). 3 Wt kun je vn de kentllen vn twee vectoren zeggen die loodrecht op elkr stn? Lten we eens ls ene vector neen: (,3) en die vrg bentwoorden.. Zoek enkele vectoren (p,q) die loodrecht op (,3) stn. b. Bereken voor elk vn die vectoren (p,q) wt p+3q is. Opgve 3 geeft ons nleiding o bij twee vectoren, zeg (,b) en (p,q), te kijken nr de volgende uitdrukking: p + bq. Definitie We noeen p+bq het inproduct vn de vectoren (,b) en (p,q). We noteren het zó: (,b) (p,q). Dus (,b) (p,q)=p+bq. 1 Lijnen et inproduct 1

4. G n dt voor elke vector v geldt: v v L = 0. b. G n: ls (3,) (,b)=0, dn is (,b) een veelvoud vn (3,) L. c. G n: ls (,-1) (,b)=0, dn is (,b) een veelvoud vn (,-1) L. d. G n dt voor elke vector v 0 n: ls v w = 0, dn is w een veelvoud vn v L. Met v w bedoelen we: v stt loodrecht op w. Dus: v w =0 v w of v = 0 of w = 0. B b α O c A 5 Een nder bewijs In kls heb je gezien dt je de stelling vn Pythgors ook o kunt keren (zie pltje): ls + b = c, dn α=90. Zeg dt: A=( 1, ), B=( b 1, b ), O=(0,0).. Toon n: α is recht ( 1 b1 ) +( b ) = 1 + + b 1 + b. b. Toon n dt uit volgt: α is recht OA OB=0. We zullen nog zien dt je et het inproduct niet lleen kunt zeggen dt twee vectoren loodrecht op elkr stn. Het blijkt dt we et het inproduct de hoek tussen vectoren kunt berekenen. 6 Gegeven zijn de punten A(10,), B(-1,5) en C(1,0). Geef een pv vn de lijn door C loodrecht op lijn AB. Tip. Een richtingsvector vn die lijn stt loodrecht op. AB 7 Gegeven zijn de punten A(-,4) en B(4,).. G n dt elk punt vn lijn AB vn de vor (4+3t, t) is. We zoeken het punt T(4+3t, t) op lijn AB dt het dichtst bij O(0,0) ligt. Voor dt punt oet OT loodrecht op AB stn. b. Bereken de coördinten vn T. c. Wt is de fstnd vn O tot de lijn AB? Rekenen n lijnen

X A Vergelijking en norlvector 8 Teken twee punten A en O zols hiernst. Voor het punt X in de tekening geldt: AX OA.. Teken nog eer punten X wrvoor geldt: AX OA. b. Wt krijg je ls je lle punten X tekent et AX OA? O We bekijken bovenstnde in een ssenstelsel. Nee A=(,3) en B=(,-1). c. Teken de punten X et AX OA. De lijn die je krijgt noeen we k. d. Teken de punten X et BX OB. De lijn die je krijgt noeen we. Voor een punt X(x,y) geldt: AX OA AX OA=0 ( x,3 y) (,3)=0. e. Lt zien dt je de ltste vergelijking kunt schrijven ls: x+3y=13. Dit is een vergelijking vn lijn k. f. Bepl zo ook een vergelijking vn. X 9 In het pltje hiernst geldt: n PX oftewel n PX =0.. Nee het pltje over en teken de punten X et n PX =0. O n P Nee n =(-,5) en P=(3,4). De punten X(x,y) et n PX =0 voren een lijn. b. Teken die lijn in een ssenstelsel en bepl een vergelijking vn de lijn. G zo te werk ls in de opgve 8. k Gegeven een vector n 0 en een punt P. Dn is n ( p x) = 0 een vergelijking vn de lijn door P O n P loodrecht op n. n heet een norlvector vn de lijn. Als je de vergelijking n ( p x) = 0 et n =(,b) en x =(x,y) uitschrijft, krijg je iets vn de vor: x+by=c. Veronderstel ogekeerd dt je iets vn de vor x+by=c hebt. Dit is te schrijven in de vor n ( p x) = 0 voor zekere n en p. Hoe dt gt zie je in de volgende opgve. 1 Lijnen et inproduct 3

10 Bekijk de vergelijking x 5y=8. Een punt dt n deze vergelijking voldoet is bijvoorbeeld P(9,).. Lt zien dt n ( p x) = 0 et n =(,-5) te schrijven is ls x 5y=8. Bekijk de vergelijking 1x 5y=10. b. Zoek vectoren n en p zó, dt n ( p x) = 0 te schrijven is ls 1x 5y=10. De punten (x,y) die n de vergelijking x+by=c voldoen, liggen op een lijn loodrecht op de vector (,b). Voorbeeld Gegeven de punten A(,3) en B(-1,4). AB =(-3,1) is dn een richtingsvector vn lijn AB, dus (1,3) is een norlvector. Een vergelijking vn lijn AB is dus x+3y=c voor een of nder getl c. Door A of B in de vergelijking in te vullen vind je c. Je krijgt: x+3y=11. 11. Geef zols in bovenstnd voorbeeld een vergelijking vn de lijn door (1,-) en (3,4). Ook vn de lijn door (-10,7) en (15,). Gegeven zijn de punten A(,-1) en B(-3,5). b. Geef een vergelijking vn de lijn door A loodrecht op lijn AB. Tip. AB is norlvector vn de lijn. c. Geef een vergelijking vn de iddelloodlijn vn AB. Noot 1 Gegeven de punten A( 1, ) en B(b 1,b ), dn is (b,-b 1 + 1 ) een norlvector vn lijn AB.. Wro? Een vergelijking vn lijn AB is dus: (x 1,y ) (b,-b 1 + 1 )=0 (x 1 )(b ) +(y )(-b 1 + 1 )=0. b. Lt zien dt dit te schrijven is ls: (y )(b 1 1 )=(x 1 )(b ). Dit wordt wel de kruisproductvor vn de lijn door A( 1, ) en B(b 1,b ) genoed. Rekenen n lijnen 4

13 Zols bekend, liggen lle punten (x,y) die n een vergelijking vn de vor x+by = c (et 0 of b 0) voldoen, op een rechte lijn.. Welke bijzonderheid heeft de lijn ls =0 en b 0? En ls b=0 en 0? b. Wro is geëist dt 0 of b 0? c. Welke bijzonderheid heeft de lijn ls c=0 (en 0 of b 0)? 14 Gegeven de lijn k et vergelijking x 3y=10 en de lijn et vergelijking -4x+y=1, voor zeker getl.. Voor welke wrde vn zijn k en evenwijdig? n is de lijn et vergelijking -4x+y=b voor zekere getllen en b. b. Voor welke en b zijn de lijnen k en n hetzelfde? A y-s X Toepssingen 15 De stelling vn Thles Gegeven zijn de punten A(-r,0) en B(r,0), et r>0. We bekijken de punten X(x,y) wrvoor geldt: AX BX.. Lt et behulp vn het inproduct zien dt geldt: AX BX x + y = r. B b. Wt voor kroe voren de punten X kennelijk? x-s c. Verklr de titel vn deze opgve. y-s C 16 De iddelloodlijnen vn een driehoek gn door één punt Dit heb je wrschijnlijk in de onderbouw eetkundig bewezen. In deze opgve doen we het et lgebr. A B x-s De hoekpunten vn de driehoek noeen we A, B en C. O het rekenwerk te beperken, kiezen we het ssenstelsel hndig. We neen de x-s door de punten A en B en de y-s door C. De coördinten vn A, B en C zijn: (,0), (b,0) en (0,c). Een vergelijking vn de iddelloodlijn vn AB is: x=1+1b.. Wro is (-b,c) norlvector vn de iddelloodlijn vn BC? b. Lt zien dt -bx+cy=-1b +1c een vergelijking vn de iddelloodlijn vn BC is. De eerste coördint vn het snijpunt vn de iddelloodlijn vn BC en de iddelloodlijn vn AB is 1+1b. 1 Lijnen et inproduct 5

c. Lt et behulp vn b zien dt de tweede coördint vn dt snijpunt gelijk is n: c 1 + 1 b. c Odt deze uitdrukking syetrisch is in en b, is het duidelijk dt de iddelloodlijn vn AC hetzelfde snijpunt et de iddelloodlijn vn AB heeft. A y-s O C B x-s 17 De lijn vn Euler. Teken driehoek ABC et A(-10,0), B(6,0) en C(0,8). Teken vn deze driehoek het zwrtepunt Z, het snijpunt vn de iddelloodlijnen M en het hoogtepunt H. Als je netjes getekend hebt, lijken de punten Z, M en H op één lijn te liggen. In het volgende zullen we bewijzen dt dit voor elke driehoek het gevl is. We zullen ook nog zien dt MZ:ZH=1:. Gegeven een willekeurige driehoek ABC. We neen de ssen en de coördinten vn de punten ls in opgve 14. We hebben dr berekend dt het snijpunt vn de iddelloodlijnen (1+1b, b c 1 + 1 ) is. Dt is het iddelpunt c M vn de ogeschreven cirkel vn driehoek ABC.. Leid f dt het zwrtepunt Z=(+b, c). b. Geef een vergelijking vn de hoogtelijn uit B. De hoogtelijn uit C heeft vergelijking x=0. c. Lt zien dt het snijpunt vn de hoogtelijnen uit C en B gelijk is n H(0, - b c ). (Odt en b hierin syetrisch voorkoen, gt de hoogtelijn uit A ook door dit punt.) M Z H d. Lt (bijvoorbeeld et behulp vn vectoren) zien dt de punten M(1+1b, c 1 + 1 b ), Z(+b, c) en c H(0, - b c ) op één lijn liggen en dt MZ:ZH=1:. Rekenen n lijnen 6

Het snijpunt vn twee lijnen 18 De lijnen k et vergelijking x 3y=10 en et vergelijking 3x 8y=8 snijden elkr. Het snijpunt noeen we (,b). Dn geldt voor lle getllen p en q dt p( 3b 10)+q(3 8b 8)=0.. Wro? b. Kies p=3 en q=-, dn vind je: 7b 14=0, dus b=. G dt n. In b heb je p en q zó gekozen dt niet eer in de vergelijking voorkot. Zodoende vind je b, de tweede coördint vn het snijpunt. c. Hoe oet je p en q kiezen, opdt b niet eer in de vergelijking voorkot? Wt vind je voor? Uitgnde vn de vergelijkingen vn de lijnen k en kun je een nieuwe vergelijking ken: p(x 3y 10)+q(3x 8y 8)=0. Voor lle getllen p en q is dit de vergelijking vn een lijn. Die lijn gt door het snijpunt vn k en. d. Leg dt uit. e. Wt oet je voor p en q kiezen o de lijn x+y = 10 te krijgen? 19 G n of de volgende lijnen elkr snijden. Bereken het snijpunt in gevl ze elkr snijden.. k: 3x+4y= en : 4x 5y=-1 b. k: -3x+4y= en : 4x+5y=1 c. k: x+4y=1 en : 4x+5y=15 d. k: -3x+4y=1 en : 11x y=-6 e. k: -3x+4y=1 en : -11x+y=-6 0 We werken nog even et de twee lijnen vn opgve 19: k: 3x+4y= en : 4x 5y=-1. We cobineren die twee vergelijkingen ls volgt: p(3x+4y ) + q(4x 5y+1) = 0. Door voor p en q lle ogelijke getllen te neen (r niet beide 0), krijg je lle ogelijke lijnen door het snijpunt (,4) vn k en. We spreken vn een lijnenbundel.. Wt kun je voor p en q kiezen o de lijn k te krijgen? En o de lijn te krijgen? b. Wt kun je voor p en q kiezen o een lijn door de oorsprong te krijgen? 1 Lijnen et inproduct 7

Vn pv nr vergelijking en ogekeerd In prgrf 3 vn blok hebben we pretervoorstellingen vn lijnen bekeken, in deze prgrf vergelijkingen. Je kunt soepel overstppen vn het een op het nder. Voorbeeld (vn vergelijking nr pv) Gegeven de lijn et vergelijking -3x+4y=1. Je kunt twee punten vn de lijn berekenen, bijvoorbeeld (0,3) en (-4,0) en dn een pv geven vn de lijn door die twee punten; zie voorbeeld vn prgrf 3. Het kn ook zó: een punt vn de lijn is bijvoorbeeld (0,3). Verder is (-3,4) norlvector vn de lijn, dus (4,3) een richtingsvector. Een pv is dus: (x,y)=(0,3)+t(4,3). Voorbeeld (vn pv nr vergelijking) Gegeven de lijn et pv (x,y)=(-1,3)+t(-4,1). Vn die lijn is (1,4) een norlvector, dus is x+4y=c een vergelijking. Het getl c vind je door een punt vn de lijn in te vullen, bijvoorbeeld (-1,3); dit geeft c=11. Een vergelijking is dus x+4y=11. Voorbeeld: eliintie vn de preter Een ndere nier o vn een pv op een vergelijking over te stppen is het zogende eliineren vn de preter. Gegeven de lijn et pv (x,y)=(-1,3)+t(-4,1). Dn x=-1 4t en y=3+t. Uit de ltste vergelijking volgt t=y 3. Dt vul je voor t in x=-1 4t in; dn krijg je: x=-1 4(y 3). Dit kun je herschrijven ls: x+4y=11. 1. Vn vier lijnen is een vergelijking gegeven. Geef vn die lijnen een pv. 3x+4y= 4x 5y=-1 3x+4y=0 x=3 b. Vn drie lijnen is een pv gegeven. Geef vn die lijnen een vergelijking. (x,y)=(-3,3)+t(4,1) (x,y)=(0,)+t(4,-1) (x,y)=(4+3t, t) c. Eliineer de preter t in: (x,y)=(-1,)+t(-,3). d. Eliineer de preter t in: (x,y)=(4+t,t +1) Welke figuur hoort bij deze pv? Rekenen n lijnen 8

Het inproduct nder bekeken In de vorige prgrf hebben we het inproduct vn twee vectoren gedefinieerd. We bekijken er enkele eigenschppen vn en zien wt je eree kunt. De so vn twee vectoren is weer een vector. Je zou dro isschien verwchten dt het product vn twee vectoren ook weer een vector is, r dt is niet zo. Het inproduct vn twee vectoren is een getl. Dro heet het ook niet gewoon product. Inproduct is een fkorting vn inwendig product. 1 (1,)+(1,3)=(,5).. Bereken de drie inproducten: (1,) (1,-) (1,3) (1,-) (,5) (1,-) Wt is het verbnd tussen de drie uitkosten? 7 (1,)=(7,14). b. Bereken de twee inproducten: (1,) (1,-) (7,14) (1,-) Wt is het verbnd tussen de twee uitkosten? c. Wt heeft (1,-) (1,-) et de lengte vn (1,-) te ken? Eigenschppen vn het inproduct Voor lle getllen k en vectoren, b en c geldt: 1 b= b ( b + c )= b+ c en ( + b ) c= c + b c 3 (k ) b= (k b )=k( b ) 4 = Eigenschp 1 heet de couttieve eigenschp vn het inproduct en eigenschp heet de distributieve eigenschp. Couteren is verwisselen, distribueren is verdelen. Het inproduct nder bekeken 9

Gegeven zijn de vectoren en b zodt =3, b =4 en b=.. Bereken et behulp vn de eigenschppen vn het inproduct: ( + b ) b. b. Bereken ( + b ) ( + b ). Wt is dus de lengte vn + b? c. Bereken ook de lengte vn b. 3 en b zijn ls in de vorige opgve.. De vector c is keer zo lng ls en heeft dezelfde richting ls. Wt is c? b. De vector d is 3 keer zo lng ls b en zijn richting is tegengesteld n die vn b. Wt is d b? c. Druk ( + b ) ( b ) uit in en b. Eigenschppen vn het inproduct (vervolg) 5 Als de vectoren en b dezelfde richting hebben, is b = b. Als de vectoren en b tegengestelde richting hebben, is b =- b. In beide gevllen is b = b 6 ( + b ) ( b )= b Operking De verticle strepen in de uitdrukking b = b links en rechts vn het gelijkteken hebben verschillende betekenis: links ervn geven ze de bsolute wrde vn een getl n en rechts de lengte vn vectoren. Toepssingen 4 De iddelloodlijn vn AB In de vorige prgrf hebben we gezien dt een vergelijking vn een lijn geschreven kn worden ls: n ( x p) = 0, wrbij n een norlvector vn die lijn is en P een punt vn die lijn. 1. Lt zien dt ( b) ( x 1 b) = 0 een vergelijking vn de iddelloodlijn vn AB is. b. Herschrijf de vergelijking uit tot: 1 ( b) x = 1 b. Rekenen n lijnen 10

5 De iddelloodlijnen vn een driehoek gn door één punt (et vectoren) Gegeven driehoek ABC. Een vergelijking vn de iddelloodlijn vn AB is: 1 ( b) x = 1 b.. Schrijf zo ook vergelijkingen vn de ndere twee iddelloodlijnen vn de driehoek op. Het snijpunt vn de iddelloodlijnen vn AB en BC noeen we S. Dn: 1 ( b) s = 1 b en ( b c) s = b c. b. Leid hieruit f dt S ook n de vergelijking vn de iddelloodlijn vn AC voldoet. 1 1 A S B C=O 6 De hoogtelijnen vn een driehoek gn door één punt (et vectoren) Gegeven driehoek ABC. De hoogtelijn uit A en de hoogtelijn uit B snijden elkr in S. Voor het gek kiezen we de oorsprong O in C.. G n dt b x = b een vergelijking vn de hoogtelijn uit A is. b. Geef een vergelijking vn de hoogtelijn uit B en de hoogtelijn uit O. c. Lt zien dt uit b x = b en x = b volgt dt ( b) x = 0. d. Leg uit dt et c bewezen is dt de hoogtelijnen vn een driehoek door één punt gn. 7 De lijn vn Euler et vectoren Gegeven driehoek ABC. Het iddelpunt vn de ogeschreven cirkel vn de driehoek noeen we M, het zwrtepunt Z en het hoogtepunt H. Kies de oorsprong in M.. Wt volgt hieruit voor, b en c? We gn bewijzen dt h = + b + c. We lten de vector + b + c in M beginnen de noeen zijn eindpunt X. b. Lt zien et behulp vn een inproduct dt lijn AX loodrecht op lijn BC stt; gebruik. Net zo volgt dt BX loodrecht op AC en CX loodrecht op AB stt. Dus is X het hoogtepunt vn driehoek ABC. 1 c 3 Dus = 0, h = + b + c en z = ( + b + ). Dus: M, Z en H liggen op één lijn en MZ:ZH=1:. Het inproduct nder bekeken 11

Loodrechte projecties In het pltje hiernst is PQ de loodrechte projectie vn AB op lijn k. Het inproduct is ook nuttig o de lengte vn de projectie vn een vector op een lijn te berekenen. Hoe dt gt zie je in het volgende. 8 Bekijk het pltje et de vectoren v,w en k hiernst. De vectoren w en k stn loodrecht op elkr. Toon et eigenschppen vn het inproduct n: (v +w ) k =v k. In het vervolg zie je hoe het inproduct gebruikt kn worden o de hoek tussen vectoren te beplen. O α P A b 9 Gegeven twee vectoren en b (wrbij b 0 ). De loodrechte projectie vn A op OB noeen we P.. Lt zien dt b= p b= p b ; gebruik eigenschp 5 vn het inproduct. b. Druk p uit in en α. Als we opgve 9 en 9b cobineren, vinden we: α b Als α de hoek tussen de vectoren en b is, dn: b= b cosα 10 In de figuur bij opgve 9 ws hoek α scherp. Als α stop is, krijg je het volgende pltje: A P ϕ α O b Rekenen n lijnen 1

Nu geldt: b= p b=- p b.. Leg dt uit. b. Druk p uit in en ϕ. Als je en b cobineert vind je: b=- b cosϕ. Als we nu voor een stope hoek α fspreken dt: cosα=-cosϕ, wrbij ϕ=180 α (dus ϕ<90 ), dn vinden we ook in dit gevl dt b= b cosα. c. G dt n. ϕ α Afsprk Voor een stope hoek α definiëren we cosα=-cosϕ, wrbij ϕ=180 α. 11. G n dt de GR et bovenstnde fsprk werkt. Vergelijk bijvoorbeeld cos100 en cos80. b. Geef de excte wrden vn cos10, cos135 en cos150, zonder rekenchine. Het inproduct nder bekeken 13

3 Hoeken In de vorige prgrf heb je het volgende gezien. Als α de hoek tussen de vectoren en b is, dn: α b b= b cosα 1. Bereken in grden nuwkeurig de hoek tussen de volgende vectoren: (1,1) en (5,), (-1,) en (5,1), (1,7) en (1,-1). Definitie De grootte vn de hoek tussen twee snijdende lijnen is de grootte vn de twee niet-stope hoeken in het snijpunt. b. Bereken in grden nuwkeurig de hoek tussen de lijnen et pv (x,y)=(-1,3)+t(1,1) en (x,y)=(1,3)+t(4,1). Ook de hoek tussen de lijnen et pv (x,y)=(1,3)+t(-1,1) en (x,y)=(1,3)+t(4,1). c. Bereken de hoek tussen de x-s en de lijn et pv (x,y)=(1,3)+t(4,1). w (1,3) v. Teken op roosterppier de vector (1,3) en et hetzelfde beginpunt twee vectoren v en w die een hoek vn 45 et (1,3) ken; zie pltje. De lengte vn die vectoren ligt niet vst; k het tweede kentl vn v gelijk n 1 en k w even lng ls v. Wt denk je dt het eerste kentl vn v is? b. G et een berekening n dt (,1) een vector is die een hoek vn precies 45 et (1,3) kt. c. Welke vector is w? We zoeken een vector die een hoek vn 45 et de vector (1,5) kt. De lengte vn die vector ligt niet vst. We neen (o zo weinig ogelijk vribelen te Rekenen n lijnen 14

hebben) het tweede kentl gelijk n 1; het eerste kentl noeen we. d. G n dt +5=1 6 + 6. e. Los de vergelijking in d op. f. Geef lle vectoren die een hoek vn 45 et de vector (1,5) ken. 3 k q p k en zijn twee snijdende lijnen. Lijn p stt loodrecht op k en lijn q stt loodrecht op.. Toon n dt hoek tussen k en gelijk is n de hoek tussen p en q. De hoek tussen twee lijnen kun je dus ook beplen door de hoek tussen hun norlen te berekenen. b. Bereken de hoek tussen de lijnen x+3y=5 en 3x 4y=10 in grden nuwkeurig. c. Bereken de hoek tussen de lijnen y=x+3 en y=-x+3 in grden nuwkeurig. y-s q In de derde kls ben je ook l bezig geweest et vergelijkingen vn lijnen. Die hdden de vor: y=x+q. Het getl geeft de steilheid vn de lijn n. Als je vnuit een punt op de lijn 1 eenheid nr rechts gt, oet je eenheden ohoog gn o weer op de lijn te koen. (Als < 0, oet je olg gn.) In plts vn steilheid spreekt en ook wel vn helling of richtingscoëfficiënt. O x-s De lijn et vergelijking y=x+q snijdt de y-s op hoogte q en heeft helling. 3 Hoeken 15

4 Een lijn heeft helling.. Geef een richtingsvector vn die lijn. b. Geef een pv vn de lijn et vergelijking y=x+q. c. Door te vriëren krijg je lle ogelijke richtingen voor de lijn op één richting n. Welke? Elke lijn die niet evenwijdig et y-s is (of de y-s zelf is), heeft een vergelijking vn de vor y=x+q. 5 Gegeven de lijn k et vergelijking x+by=c.. Wt weet je vn de getllen, b en c ls k evenwijdig et de y-s is? b. Nee = en b=3. Wt is de richtingscoëfficiënt vn k? En wt is de richtingscoëfficiënt ls =-4 en b=5? c. Als b 0, is k niet evenwijdig et de y-s en heeft k dus een richtingscoëfficiënt. Druk die uit in de getllen, b en/of c. Helling en hellingshoek Er is een verbnd tussen de helling vn een lijn en de hoek die die lijn et de x-s kt. y-s x-s 6 Een lijn kt dezelfde hoek et de x-s ls zijn spiegelbeeld in de x-s.. Als k helling -H heeft, wt is dn de helling vn zijn spiegelbeeld in de x-s? En ls k richtingscoëfficiënt heeft? k spiegelbeeld Afsprk Een lijn k kt een hoek α et de x-s. De hellingshoek vn k is α ls k een positieve helling heeft en -α ls k een negtieve helling heeft. Zo heeft een lijn et helling 1 een hellingshoek vn 45 en een lijn et helling -1 een hellingshoek vn -45. Rekenen n lijnen 16

k y-s A 1 B C x-s In het pltje hiernst liggen de punten A en B op lijn k. Het verschil tussen de x-coördinten vn A en B is 1. b. Als k helling 1 heeft, hoe groot is dn het verschil tussen de y-coördinten? Bereken in dit gevl CAB in grden nuwkeurig. Hoek CAB is even groot ls de hoek vn k et de x-s. Afprk Als -90 <α<0, dn tnα=tn-α. c. G n dt de rekenchine ook volgens bovenstnde fsprk werkt. d. Geef de excte wrde vn tn-30, tn-45 en tn-60. e. Geef de richtingscoëfficiënt vn een lijn et hellingshoek -70 in twee decilen. Als lijn k helling heeft en α de hellingshoek vn k is, dn: tnα=. 7 Geef in grden nuwkeurig de hellingshoek vn:. de lijn et pv (x,y)=(-1,)+t(-,3) b. de lijn et vergelijking x+5y=10 Als twee lijnen et helling en n (beide 0) loodrecht op elkr stn, dn n=-1 8. Lt dt zien et behulp vn richtingsvectoren. b. Geef een vergelijking in de vor y=x+q vn de lijn door (4,-3) die loodrecht op de lijn y=-13x+7 stt. 3 Hoeken 17

9 De hellingshoek verdubbelen k is de lijn door O en het punt (4,).. Teken k in een rooster. b. Bereken de hellingshoek vn k. p is de lijn door O et een twee keer zo grote hellingshoek ls k. c. Teken p in hetzelfde rooster ls k. Het lijkt erop dt p door (3,4) gt. d. Bereken de hellingshoek vn de lijn door O en (3,4). Uit b en d kun je lleen r concluderen dt p ongeveer door (3,4) gt. Je kunt dt zeker weten door de cosinus vn de hoek tussen de vectoren (1,0) en (4,) en die tussen de vectoren (4,) en (3,4) te berekenen. e. Doe dt. f. Je kunt dt ook zeker weten door de vectoren (5,0) en (3,4) op te tellen. Leg uit hoe. In opgve 10 zullen we het volgende bewijzen. De lijn et helling heeft een twee keer zo 1 grote hellinshoek ls de lijn et helling. g. G n dt volgens het bovenstnde de lijn et richtingsvector (3,4) een twee keer zo grote hellingshoek heeft ls de lijn et richtingsvector (4,). h. Een lijn et hellingshoek 30 heeft helling 3 en een lijn et hellingshoek 60 heeft helling 3. Lt zien dt dit in overeensteing is et bovenstnde forule. Rekenen n lijnen 18

10 Het bewijs P Q O S R x-s Zie het pltje voor de gegevens. Bovendien is OS=1. De lijn OQ heeft dus helling.. Lt zien dt de driehoeken OQS en QRS gelijkvorig zijn. b. Druk de lengte vn RS en de coördinten vn R uit in. Q(1,) is het idden vn PR. c. Bepl dree de coördinten vn P en leid hieruit f dt lijn OP helling heeft. 1 d. Hoe ziet bovenstnd pltje eruit ls =1? Hoe zou je de forule dn oeten interpreteren? y-s O ϕ ϕ p x-s 11 Een bewijs et het inproduct In plts vn het bewijs et gelijkvorigheid in opgve 11, kunnen we ook een bewijs et het inproduct geven. In het pltje hiernst heeft k helling en hellingshoek ϕ: p heeft hellingshoek ϕ. k De helling vn p noeen we x.. Lt zien dt dn (1,x) (1,)=cosϕ (1,0) (1,)=cosϕ 1+ x 1+ en 1+ b. Lt zien dt uit volgt: 1+ x = 1+ x. c. Bereken nu x et behulp vn b, dt wil zeggen, druk x uit in. Tip. Kwdrteer beide knten. x 1 Zie het pltje hiernst voor de gegevens. Bereken x exct. 4 40 3 Hoeken 19

13 Een lijn heeft richtingscoëfficiënt 1. De hellingshoek vn die lijn noeen we α. De richtingscoëfficiënt vn een lijn et hellingshoek 1α noeen we.. Bender et je rekenchine. Schrijf je werkwijze op. We berekenen nu exct. b. Lt zien dt +3 =0. c. Bereken de oplossingen vn de kwdrtische vergelijking uit b exct. Het product vn de oplossingen is -1. En dt hd je l bij voorbt kunnen weten. d. Leg dt uit. e. Wt is? 14 k is de lijn et pv (x,y)=(3,0)+t(7,4). p en q zijn de lijnen die bestn uit de punten die even ver vn de x-s ls vn k liggen. Bereken pv's vn p en q, exct. q k p x-s 15 Een lijn et richtingscoëfficiënt wordt over 45 tegen de wijzers vn de klok in gedrid. 1+. Toon n dt zijn richtingscoëfficiënt wordt:. 1 Tip. Kijk nr opgve. b. De lijn et vergelijking x+3y=18 wordt o het punt (3,4) over 45 tegen de wijzers vn de klok in gedrid. Geef een vergelijking vn de lijn die je dn krijgt. Rekenen n lijnen 0

4 Projecties p k In prgrf hebben we gesproken over de loodrechte projectie vn een vector op een lijn. In het pltje hiernst is p de loodrechte projectie vn op de lijn k. In opgve 9 en 10 vn prgrf hebben we gezien dt b= p b en dt b = p b Dus: Voor de projectie p vn een vector op een lijn k geldt: p b =. b Hierbij is b een richtingsvector vn lijn k. y-s A B - O x-s - Voorbeeld Zie het pltje hiernst. is de lijn door de punten (-1,3) en (3,). Het vet getekende lijnstuk is de projectie vn lijnstuk AB op. (De gestippelde lijnen stn loodrecht op.) De lengte vn de projectie bereken je ls volgt. AB =(3,0), een richtingsvector vn is (4,-1). De lengte vn de projectie is (3,0) (4,-1) 1 1 = = 17 17 (4,-1) 17 1 A=(-,1), B=(4,) en k is de lijn 4x+3y=10.. Teken de situtie in een rooster en kleur de projectie vn lijnstuk AB op k. b. Bereken de lengte vn de projectie vn AB op k. Gegeven de lijnen k: x+y=14 en : x y=.. Bereken de coördinten vn snijpunt R vn k en. b. G n dt k en elkr loodrecht snijden. P is het punt (6,6). De loodrechte projectie vn P op k is Q en de loodrechte projectie vn P op is S. c. Bereken de excte oppervlkte vn rechthoek PQRS. 4 Projecties 1

P y-s k 3 Gegeven de lijn et pv (x,y)=(-1,3)+t(-4,1). Een punt vn is P(-1,3). Een norlvector vn is (1,4). De fstnd vn O tot is de lengte vn de projectie vn OP op een lijn et richtingsvector (1,4), bijvoorbeeld op de lijn k (zie hiernst, die projectie is vet getekend).. Bereken die fstnd. - O - A x-s De fstnd vn A(-,-) tot is de lengte vn de projectie vn AP op een lijn et richtingsvector (1,4). b. Bereken die fstnd. Gegeven is de lijn n et vergelijking 3x+4y=. Dn is (3,4) een norlvector vn n. Kies een punt Q op de lijn n. De fstnd vn A tot n is de lengte vn de projectie vn AQ op een lijn et richtingsvector (3,4). c. Bereken die fstnd. 4 Bereken de fstnd vn (3,-1) tot de lijn 4x 5y=6. 5 Een voorwerp et een gewicht vn 10N kn wrijvingsloos bewegen over een vlk V. Er wordt et een krcht vn 8N n getrokken. Als V scheef gehouden wordt, krijgt de trekkrcht tegenwerking vn de zwrtekrcht. Als de hellingshoek vn V groot genoeg is, zl het voorwerp olg glijden. We brengen het gebruikelijke ssenstelsel n: de positieve x-s nr rechts en de positieve y-s nr boven.. Nee n dt V helling heeft. Bereken de grootte vn de projectie vn de krcht vn 10N in de richting vn vlk V. Glijdt het voorwerp nr beneden? Tip. De richting vn V is (1,) en de krcht vn 10N wordt gegeven door (0,10). b. Nee nu n dt V helling 1 heeft. Mk een berekening zols in o te beplen of het voorwerp nr beneden glijdt. Rekenen n lijnen

We gn de kritische wrde vn de helling beplen, dt is het hellingsgetl vn V wrbij het voorwerp op het punt stt nr beneden te glijden. Noe die helling. c. Stel een vergelijking voor op en bereken hieruit. 6 Een schuit beweegt in de richting r =(,1) vn A nr B. Ze wordt voortgetrokken door een prd. De trekkrcht vn het prd wordt gegeven door de vector v =(5,1): zie het pltje hieronder. Voor de voortbeweging vn de schuit is lleen de grootte vn de projectie vn v op de richting wrin het schip beweegt vn belng. Bereken de grootte vn die projectie. Trekschuit Den Hg - Delft Aqurel zonder n Atls vn Stolk, 19 e eeuw. A De fstnd vn een punt tot een lijn 7 Gegeven de lijn k et vergelijking x+by+c=0 en het punt A( 1, ). De fstnd vn A tot k is de lengte vn de k P P loodrechte projectie vn AP op, wrbij P(p 1,p ) een (willekeurig) punt vn k is en de lijn door A loodrecht op k is.. Wt kun je zeggen vn p 1 +bp +c? b. Geef een richtingsvector vn. 4 Projecties 3

Rekenen n lijnen 4 De fstnd vn A tot k is ) ( ) ( ), ( 1 1,b,b p p. c. Leg dt uit. d. Lt zien dt je deze uitdrukking kunt schrijven ls 1 1 b p b p b + +. Volgens geldt: p 1 +bp =-c, dus: De fstnd vn A tot k is dus 1 b c b + + +. 8 Gebruik bovenstnde forule bij de volgende vrgen.. Bereken exct de fstnd vn (1,) tot de lijn et vergelijking 5x+y=0. b. Bereken de fstnd vn (3,-) tot de lijn et pv (x,y)=(-1,3)+t(3,1). c. Bereken de oppervlkte vn driehoek et hoekpunten (1,), (3,-) en (10,10). De fstnd vn punt ( 1, ) tot lijn x+by+c=0 is: 1 b c b + + +.

5 Antwoorden Prgrf 1 Lijnen et inproduct 1. 13, 5, 10. 50 = 5, 108 = 6 3, 5 b. Driehoek ABC is gelijkbenig, wnt AC=AB. ABC= ACB=1(180 15)=71. 3. (3,-), (-3,), (-6,4) b. 0 4. (,b) (-b,)=0 b. 3+b=0. Als =0, dn b=0, dn klopt het. Anders 3+b=0 b=-11, dus (,b)=(1,-11)=-1(-,3). c. b=0. Als =0, dn b=0, dn klopt het. Anders b=0 b=, dus (,b)=(1,) d. Nee n: v =(,b), w =(p,q) en p+bq=0. Er geldt 0 of b 0. Als 0, dn bq p b p = -, dus (p,q)= q (-b,). Als b 0, dn q = -, dus (p,q)= - (-b,). b 5. Dit volgt uit: c =( 1 ) +( b1 b ) ; = + en b = b 1 + b. b. ( 1 ) +( b1 b ) = 1 1 b + + b + 1 b 1 b. 6 Een richtingsvector vn k is AB =(-11,-3); een pv vn k is: (x,y)=(1,0)+t(11,3). 7. (4+3t, t)=(4,)+t(3,-1). p 1 AB =(6,-), een veelvoud vn (3,-1), dus (3,-1) is een richtingsvector vn lijn AB en (4,) is een punt vn lijn AB. b. OT loodrecht op AB OT (3,-1)=0 3(4+3t) 1( t)=0 t=1, dus T=(7,1). 8 b. De lijn door A loodrecht op OA. f. ( x,-1 y) (,-1)=0 4 x+1+y=0 x y=5. 9. Dt is de lijn door P loodrecht op n. b. Dt is de lijn door P loodrecht op n. Vergelijking : -x+5y=14 5 Antwoorden 5

10 b. Voor P kun je elk punt vn de lijn neen, bijvoorbeeld (5,10), dus n =(1,-5) en p =(5,10). 11. 3x y=5 ; x+5y=5 b. 5x+6y=4 c. 5x+6y=91 1. ( 1, b1 b ) is richtingsvector, dus ( 1, b1 b ) L = (b,-b 1 + 1 ) is norlvector. 13. Evenwijdig n de x-s; evenwijdig n de y-s b. Als =0 en b=0, krijg je geen lijn. Als c=0, voldoet elk punt n de vergelijking; ls c 0, voldoet geen enkel punt n de vergelijking. c. De lijn gt door de oorsprong (0,0). 14. Dn zijn (,-3) en (-4,) fhnkelijk, dus =6. b. =6 en b=-0 15. AX =(x+r,y) en BX =(x r,y) en AX BX (x+r,y) (x r,y)= x r + y =0 b. Een cirkel et iddelpunt O(0,0) en strl r. c. In en b is bewezen: de punten X et hoek AXB recht liggen op een cirkel et iddellijn AB. Dit is de stelling vn Thles. 16. Dt is BC. b. Een vergelijking is vn de vor: -bx+cy=p. Het getl p vind je door het idden vn BC, dt is (1b,1c) in de vergelijking in te vullen. c. Vul voor x=1+1b in in -bx+cy=-1b +1c ; dt geeft: -b(1+1b)+cy=-1b +1c cy=-1b +1c +1b+1b, dus cy=1c +1b; delen door c geeft het resultt. 17. Er geldt: 1 1 1 + b + = 3 3 3 z = c 1 3 ((,0)+(b,0)+(0,c)). b. Een norlvector vn de hoogtelijn is AC =(-,c). Een vergelijking vn de hoogtelijn is vn de vor: -x+cy=p. Het getl p vind je door bijvoorbeeld B=(b,0) in te vullen, dit geeft: -x+cy=-b. c. De hoogtelijn uit C is x=0. Dus vul x=0 in in -x+cy=-b. Dit geeft y=- b c. d. MZ = b (-5 5b, -5c ) en ZH = (- b, -c b c ), c dus MZ = ZH. Dus de punten M, Z en H liggen op één lijn en: MZ:ZH=1:. Rekenen n lijnen 6

18. 3b 10=0 en 3 8b 8=0, dus p( 3b 10)+q(3 8b 8)=p 0+q 0=0 b. 3( 3b 10)+-(3 8b 8)= 6 9b 30 6+16b+16=7b 14=0, dus b= c. p=8 en q=-3 (bijvoorbeeld), dn: 7 56=0, dus =8. d. Als je het snijpunt invult, vind je p 0+q 0=0, dus het snijpunt voldoet n de vergelijking. e. p = 1 7 4 en q = - 7 5 19. snijpunt (,4) b. snijpunt (-,4) c. snijpunt (0,3) d. De lijnen k en vllen sen, dus elk punt vn k is oplossing. e. geen snijpunt 0. p=1 en q=0; p=0 en q=1 b. Dn oet -p+1q=0 zijn, kies dus bijvoorbeeld p=6 en q=11. 1. (Er zijn veel ogelijkheden, bijvoorbeeld:) punt (,4), richtingsv. (4,-3), pv:(x,y)=(,4)+t(4,-3) punt (-3,0), richtingsv. (5,4), pv:(x,y)=(-3,0)+t(5,4) punt (0,0), richtingsv. (4,-3), pv:(x,y)=t(4,-3) punt (3,0), richtingsv. (0,1), pv:(x,y)=(3,0)+t(0,1) b. x 4y=-15; x+4y=8; x+3y=10 c. (1) x=-1 t en () y=+3t. Uit (1) volgt: t=-1 1x. Dit invullen in () geeft: y=+3(-1 1x). Vereenvoudigen geeft: 3x+y=1. d. t=x 4 invullen in y=t +1 geeft: y=(x 4) +1. De figuur hierbij is een prbool. Prgrf Het inproduct ndere bekeken 1. -3, -5, -8, -3+-5=-8 b. -3, -1, -1=7-3 c. (1,-) (1,-)= (1,-). ( + b ) b= b+ b =+16=18 b. ( + b ) ( + b )= + b + b=9+16+4=9 + b = 9 c. ( b ) ( b )= + b b=9+16 4=1 b = 1 3. 18 b. -48 5 Antwoorden 7

c. b 4. b is een norlvector vn de iddelloodlijn vn AB. Voor het idden M vn AB geldt: 1 + 1 = b. b. ( b) (x b) = ( b) x 1 ( b) ( + ) 1 1 b 1 1 = ( b) x ( b )=0 1 5. ( c) x = 1 c ; ( b c) x = b c 1 b. Uit volgt (trek de twee gelijkheden vn elkr f): ( 1 1 1 1 b) s ( b c) s = b ( b c ). Voor de linkerknt geldt: ( b) s ( b c) s = ( c) s Voor de rechterknt geldt: 1 1 1 1 ) b ( b c = 1 Dus: ( c) s = c 1. 1 1 1 c 6. De lijn et vergelijking b x = b heeft ls norlvector b en een punt vn de lijn is A. b. Vergelijking vn de hoogtelijn uit B: x = b en vergelijking vn de hoogtelijn uit O: ( b) x =0. c. Als b x = b en x = b, dn: b x x = b b = 0, dus ( b) x = 0. d. Nee n dt X het snijpunt vn de hoogtelijnen uit A en B is. Dn b x = b en x = b, dus ( b) x = 0. Dit ltste is een vergelijking vn de hoogtelijn uit O. Dus X ligt op de hoogtelijn uit O. 7. = b = c b. Een richtingsvector vn AX is x = b + c AX BC = ( b + c ) ( b c )= b c = 0. 8 (v +w ) k =v k + w k en w k =0, wnt w k. 9. b = d b wnt c b =0 ; d b = d b wnt d en b zijn gelijk gericht (eigenschp 5 vn het inproduct) b. d = cosα Rekenen n lijnen 8

10. d b =- d b wnt d en b zijn tegengesteld gericht (eigenschp 5 vn het inproduct) b. d = cosϕ c. -cosϕ=cosα 11. cos100 =-cos80 b. cos10 =-cos60 =-1, cos135 =-cos45 =-1 en cos150 =-cos30 =-1 3 Prgrf 3 Hoeken 1. 3, 91 en 17 b. 31, 59 c. 14. v =(,1) (1,3) (,1) 5 b. = = 1, klopt (1,3) (,1) 10 5 c. w =(-1,) (1,5) (,1) + 5 d. == = 1, (1,5) (,1) 6 + 1 kruislings verenigvuldigen geeft het resultt. e. +5=1 6 + 6 kwdrteren geeft: + 10 + 5 = 13 + 13 = 1 of =- 3. Beide voldoen n de oorspronkelijke vergelijking. Dus =11 of =-B. d. Veelvouden vn (11,1) of (-B,1), ooier: veelvouden vn (3,) of (-,3). 1 k C γ D β B A α E q 3. Zie pltje: α+β=90 (hoekenso driehoek ABD), γ+β=90 (hoekenso driehoek BCE); dus α=γ. b. α is de hoek tussen de norlvectoren (,3) en 6 (3,-4). Dn cosα=, dus α 109. 13 5 De hoek tussen de lijnen is dn 71. c. α is de hoek tussen de norlvectoren (,-1) en p 1 (1,1). Dn cosα=, dus α 63. 5 De hoek tussen de lijnen is dn 63. 4. (1,) b. Bijvoorbeeld: (x,y)=(0,q)+t(1,) c. De verticle (evenwijdig n de y-s). 5 Antwoorden 9

5. b=0 b. -B, K c. - b 6. H, - b. 1, tn CAB=1, CAB=63 1 d. - 3, -1, - 3 3 e. tn-70 =-,75, dus -,75 7. De richtingsvector (-,3) heeft hellingshoek α, dn tnα=-11, dus α=-56 b. Norlvector vn die lijn is (,5), dus richtingsvector (-5,). Als hellingshoek=α, dn tnα=-1, dus α=-68. 8. (1,n) (1,)=0 1+n=0. b. richtingscoëfficiënt=k, dus y=kx+q. Het punt (4,-3) oet op de lijn liggen, dus: -3=34+q, dus q=-64. Vergelijking y=kx 64. 9 b. 6,565.. d. 53,130.. e. cosinus hoek tussen (1,0) en (4,)= 4 18 = 3 ; cosinus hoek tussen (4,) en (3,4)= 0 = 3 18 5 f. De vectoren (5,0) en (3,4) zijn even lng; ls je optelt volgens de prllellogrethode krijg je een vector die de hoek tussen (5,0) en (3,4) iddendoor deelt (Eigenschp vn een ruit: digonl deelt hoeken iddendoor) g. Richtingscoëfficiënt bij richtingsvector (1,): =1 en bij richtingsvector (4,3): =1. =1 invullen in 1 geeft 1. h. 3 3 3 1 3 = = 3 3 3 = 1 3 ( 3 ) 3 1 3 O α α P Q β γ S R 10. α+β=90, hoekenso in driehoek OSQ. β+γ=90 (rechte hoek), dus α=γ. De driehoeken OQS en QRS hebben de hoeken gelijk; ze zijn dus gelijkvorig. b. OS SR=QS, dus =1 SR, dus R=( +1,0). c. RQ = (-,), dus P=(1,). d. Dn ligt P op de y-s en is de helling. De noeer vn wordt dn 0. 1 Een positief getl gedeeld door 0 wordt. Rekenen n lijnen 30

11 b. Uit de eerste regel vn volgt: (1) cosϕ () cosϕ 1+ x 1+ =1+x en uit de tweede: 1+ =1 D Als je () in (1) invult, krijg je: 1+ x = 1+ x. c. Kwdrteren geeft: 1+x+ x =1+x x+ x =x + x=x =(1 )x, dus x=. 1 O 40 x C 4 B x-s 4 3 1 Zie pltje: helling OC= =, dus helling OD= 40 5 3 5 15 x + 4 =. Mr ook helling OD=. Dus: 1 8 40 9 5 x + 4 15 =, dus x+4=75, dus x=51. 40 8 13. α=invtn1 53,, 1α 6,56, dus =tn6,56 0,5 b. = 1 3 3 1 1 = = 1 4 1, dus 1 +3 =0. c. Met bc-forule =1 of =-. d. De twee deellijnen vn de hoeken tussen de lijn et helling 1 en de x-s hebben beide de eigenschp, dt ls je de hellingshoek verdubbelt, je de lijn et helling 1 krijgt. Odt de deellijnen loodrecht op elkr stn, is het product vn de hellingen -1. lijn et helling 1 x-s e. =1, wnt α is positief, dus 1α ook, dus ook. 14 De hellingshoek vn p is de helft vn de hellingshoek vn k. Noe de richtingscoëfficiënt vn p:. Dn geldt: 4 = 4 4 = 14 = 3 of = -1 4 3 1 1 7 Dus = 3 4. 5 Antwoorden 31

p: (x,y)=(3,0)+t(4,3) en q: (x,y)=(3,0)+t(-3,4). 15. Noe de oorspronkelijke lijn k en de gedride lijn s. Een richtingsvector vn k is (1,). Als je k over 90 tegen de wijzers vn de klok in drit, krijg je de lijn et richtingscoëfficiënt (-,1). De vectoren (1,) en (-,1) zijn even lng, dus hun so (1,1+) is een richtingsvector vn s. De richtingscoëfficiënt vn s is 1+ dus:. 1 k y-s A - O - B x-s Prgrf 4 Projecties 1. Zie het pltje hiernst. De projectie is vet getekend. b. Een richtingsvector vn k is: (3,-4). AB = (6,1), dus (3,-4) (6,1) 14 de lengte vn de projectie is = = 5 4. (3,-4) 5. R(6,) b. norlvector k is (,1), norlvector is (1,-) en (,1) (1,-). c. PR =(4,0), richtingsvector k is (1,-), de projectie (4,0) (1,-) 4 vn PR op k heeft lengte = = 4 5 ; 5 (1,-) 5 richtingsvector is (,1), de projectie vn PR op (4,0) (,1) 8 3 heeft lengte = = 1 5. 5 (,1) 5 OppervlktePQRS= 1 3 5 5 = 6 5 (1,4) (-1,3) 11 3. De fstnd is = = 17 17 11. (1,4) 17 (1,4) (1,5) 1 b. = = 1 17 17 4 (1,4) 17 c. Bijvoorbeeld Q=(6,1), dn AQ = (8,3). (3,4) (8,3) 36 Afstnd= = = 7 5 1 (3,4) 5 5 4 Punt vn de lijn is P(4,), Het punt (3,-1) noeen we A. Dn AP = (-1,-3). (-1,-3) (4,-5) 11 De fstnd is = = 11 41 41 (4,-5) 41 5 4 Rekenen n lijnen 3

(0,10) (1,) 5. = 4 5 >8, dus glijdt nr beneden 5 b. 5 <8, dus glijdt niet nr beneden (0,10) (1, ) c. = 8 10 = 8 + 1 1+ Kwdrteren geeft: 100 = 64 + 64, dus =1 (5,1) (,1) 11 6 = = 5 5 1 (,1) 5 7. 0 b. (,b) ( 1 p1, p ) (,b) 1 + b ( p1 + p c. = (,b) (,b) b) 5 1+ 1 0 13 8. = = 1 6 5 + 1 6 b. Een vergelijking vn de lijn is: x 3y+10=0, 1 3 3 + 10 de fstnd is dn = 1 10 10 9. 10 c. We neen bijvoorbeeld ls bsis lijnstuk AB. De hoogte vn driehoek ABC is dn de fstnd vn C tot lijn AB. AB = (,-4). Een vergelijking vn lijn AB is: x+y=0. 10 + 1 10 De fstnd vn C tot lijn AB is: 5 = 6 5 De lengte vn lijnstuk AB= 5, dus oppervlkte driehoek ABC= 6 5 5 30. 1 = 5 Antwoorden 33