DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN

Inleiding DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN Stefaan Poedts Centrum voor mathematische Plasma-Astrofysica, KU Leuven Oefeningen Bruno, Liebrecht en Simon Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 3

Inleiding Motivatie Doelstellingen Belangrijke opmerking Differentiaalvergelijkingen: intro Motivatie Differentiaalvergelijkingen zijn belangrijk! fundamentele natuurwetten kunnen uitgedrukt worden als differentiaalvergelijkingen, bv. - gravitatie (wet van Newton) - quantum-mechanica (de Schrödingervergelijking) - elektromagnetisme (wetten van Maxwell) - relativiteit (wetten van Einstein) - de beweging van gassen en vloeistoffen (de Navier-Stokes vgln.) de bewegingen van planeten, computers, elektromagnetische straling (o.a. licht), de werking van GPS, het weer, enz. worden allemaal beschreven door differentiaalvergelijkingen Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 4

Inleiding Motivatie Doelstellingen Belangrijke opmerking Differentiaalvergelijkingen: intro Doelstellingen het leren opstellen van eenvoudige wiskundige modellen voor diverse problemen die met differentiaalvergelijkingen kunnen beschreven worden het bespreken van de eigenschappen van oplossingen van deze differentiaalvergelijkingen het voorstellen van enkele methoden die geschikt blijken voor het vinden van oplossingen of, in sommige gevallen, benaderingen ervan niet alleen geïnteresseerd in de oplossingen, ook in - eigenschappen en structuur van deze oplossingen - de manier waarop eigenschappen worden bepaald - de manier waarop eigenschappen worden toegepast om inzicht te krijgen in bepaalde problemen om ze op te lossen of gefundeerde voorspellingen te doen, zijn minstens even leerrijk Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 5

Inleiding Motivatie Doelstellingen Belangrijke opmerking Differentiaalvergelijkingen: intro Belangrijke opmerking wetenschappelijk onderzoek of een wetenschappelijke aanpak van een probleem begint én eindigt met wiskundige modellering dat is zo voor alle exacte en toegepaste wetenschappen, en dus ook voor bio-ingenieurswetenschappen De meeste wiskundige modellen zijn gebazeerd op differentiaalvergelijkingen In de opleiding tot bio-ingenieur komen Dvgln bijgevolg voor in nagenoeg alle andere cursussen, tenminste voor zover die een wetenschappelijke aanpak uitdragen Het BELANG van deze cursus is dus nauwelijks te overschatten! Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 6

Inleiding Motivatie Doelstellingen Belangrijke opmerking Differentiaalvergelijkingen: intro Differentiaalvergelijkingen Theorie 26 uren (2 weken: 2 2 uren/week + 9 weken: 1 2 uren/week) cursus: Differentiaalvergelijkingen, bij ACCO (uitgave 2010!) Oefeningen 26 uren (1 x 2 uren/week, vanaf volgende week!) opgaven uit cursus assistenten: Bruno, Liebrecht en Simon Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 7

Inleiding Motivatie Doelstellingen Belangrijke opmerking Differentiaalvergelijkingen: intro Differentiaalvergelijkingen: intro Examens en zo... Januari 2013: open boek examen: cursus en ook het gebruik van een PORTFOLIO toegestaan! Dit portfolio bevat: - vademecum van belangrijke formules - oplossingsmethoden en -strategieën (gestructureerd) - eventueel type- of voorbeeld-oplossingen van gemaakte opgaven door ieder van jullie ZELF samengesteld en handgeschreven! samenstelling: vijf opgaven - 1 of 2 theorie - of inzichtsvragen - 3 of 4 oefeningen voorbeeldvragen: zie cursus (appendix), lessen & Toledo! Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 8

Inleiding Motivatie Doelstellingen Belangrijke opmerking Differentiaalvergelijkingen: intro Differentiaalvergelijkingen : inhoud 1 Algemene inleiding 2 Complexe getallen en complexe analyse 3 Lineaire differentiaalvergelijkingen van de eerste en tweede orde 4 Lineaire differentiaalvergelijkingen van hogere orde 5 Reeksoplossingen van tweede-orde differentiaalvergelijkingen 6 Stelsels van eerste orde differentiaalvergelijkingen 7 Lineaire integraaltransformaties 8 Differentievergelijkingen en numerieke methoden 9 Partiële differentiaalvergelijkingen en Fourier-reeksen Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 9

Wiskundige modellen bouwen Motivatie : wiskundige modellering onderliggende principes (of wetten ) van het gedrag van onze natuurlijke omgeving betreffen vaak verbanden aangaande de snelheid (tempo, ritme) van gebeurtenissen bij wiskundig vertaling: - de verbanden worden vergelijkingen - de snelheden worden afgeleiden differentiaalvergelijkingen nodig om beter inzicht te krijgen en problemen op te lossen aangaande - de beweging van vloeistoffen en gassen - dissipatie van hitte in vaste voorwerpen - de voortplanting van seismische golven - de toename en afname van populaties, enz. differentiaalvergelijking die fysisch proces beschrijft = wiskundig model Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 10

Wiskundige modellen bouwen Motivatie : wiskundige modellering belangrijkste reden voor oplossen Dvgl is vaak iets te leren over het onderliggende fysische proces eerder geïnteresseerd in het wiskundige model zelf! - gevonden oplossing is vaak aanzet om model te verbeteren - nieuwe vergelijking oplossen en evtl. opnieuw aanpassen wiskundige model wordt steeds beter, maar ook ingewikkelder belang van Dvgln schuilt in het feit dat zelfs de meest eenvoudige vergelijkingen overeenstemmen met nuttige fysische modellen (vb. exponentiële groei en afname, veer-massa systemen,... ) inzicht in complexe natuurlijke processen wordt meestal verkregen door combinaties van basismodellen grondige kennis basismodellen aangewezen: vergelijkingen en oplossing(en) belangrijk voor oplossing van meer complexe problemen Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 11

Wiskundige modellen bouwen stel de tijd voor door t en de snelheid door v v zal functie zijn van t, m.a.w. v = afhankelijke variabele en t = onafhankelijke variabele keuze van eenheden is vrij arbitrair (meestal SI) we nemen aan dat v positief is in neerwaartse richting 2de wet van Newton: massa (m) versnelling (a) = netto kracht (F ) wiskundig: ma = F (m in kg, a in m/s 2, F in Newton) versnelling is de afgeleide van de snelheid zodat: F = m dv dt (1) Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 12

Wiskundige modellen bouwen krachten die op het vallende voorwerp ingrijpen: - gravitatiekracht = mg, met g = 9, 8 m/s 2 - kracht ten gevolge van de luchtweerstand, stel = γv (γ = weerstandscoëfficiënt) gravitatie altijd neerwaarts (in de positieve richting) weerstandskracht in opwaartse (negatieve) richting zodat: vergelijking (1) wordt: F = mg γv(t) m dv dt = mg γv(t) (2) Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 13

Wiskundige modellen bouwen m dv dt = mg γv(t) dit is een wiskundig model voor een vallend voorwerp in de atmosfeer dit model bevat drie constanten, nl. m, g, en γ - m en γ sterk afhankelijk van vallende voorwerp = parameters - waarde van g is dezelfde voor elk voorwerp oplossing: vind een functie v = v(t) die voldoet aan deze vgl. cf. vorig jaar: methode van scheiding van de veranderlijken (opgave!) voor m = 10 kg en γ = 2 kg/s Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 14

Wiskundige modellen bouwen Opgave 1: een vallend voorwerp DVGL: 10 dv = 98 2v(t) dt dv scheiding van de veranderlijken: 9, 8 0, 2 v = dt d( 0, 2v) integreren (substitutie): 5 9, 8 0, 2 v = dt uitwerken: ln 9, 8 0, 2 v = t/5 + C exponent nemen: herschrijven (met C = 5 e C ): 9, 8 0, 2 v = e C e t/5 v = 49 + C e t/5 Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 15

Wiskundige modellen bouwen m dv dt = mg γv(t) dit is een wiskundig model voor een vallend voorwerp in de atmosfeer dit model bevat drie constanten, nl. m, g, en γ - m en γ sterk afhankelijk van vallende voorwerp = parameters - waarde van g is dezelfde voor elk voorwerp oplossing: vind een functie v = v(t) die voldoet aan deze vgl. cf. vorig jaar: methode van scheiding van de veranderlijken (opgave!) voor m = 10 kg en γ = 2 kg/s: v(t) = 49 + C e t/5 (3) Maple-demo (ode-vb1.mws) Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 16

Wiskundige modellen bouwen 80 v 60 40 20 0 20 5 10 15 20 25 30 t Vijf verschillende oplossingen van vgl. (2) voor m = 10 kg, γ = 2 kg/s en v(0) respectievelijk gelijk aan -20, 10, 30, 70 en 90. Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 17

Wiskundige modellen bouwen beschouw populatie veldmuizen in een bepaald landbouwgebied als geen roofdieren tempo groei populatie dieren (gebruikelijke beginhypothese in populatiedynamica) t = tijd, p(t) = dieren in populatie met r de groeisnelheid dp dt = rp(t) (4) als t in maanden en r = 0, 5/maand elk lid in muizen/maand Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 18

Wiskundige modellen bouwen bijkomende complicatie: in zelfde gebied leven ook verschillende uilen stel: uilen eten samen 15 muizen per dag term toevoegen aan de differentiaalvergelijking : dp dt = 0, 5p(t) 450 (5) Merk op: roofterm = -450 ( 15 wegens t in maanden (30 d)) met scheiding van de veranderlijken (opgave!): Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 19

Wiskundige modellen bouwen Opgave 2: veldmuizen en uilen DVGL: scheiding van de veranderlijken: integreren (substitutie): 2 dp dt = p(t) dp p(t) 2 450 2 450 = dt dt dp/2 p(t) 2 450 = uitwerken: ln p(t) 450 = t/2 + C 2 exponent nemen: p(t) 2 450 = ec e t/2 herschrijven (met C = 2 e C ): p = 900 + C e t/2 Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 20

Wiskundige modellen bouwen p(t) = 900 + C e t/2 (6) met C willekeurige (integratie-)constante, te bepalen via BVW p(0) meer algemene vorm van deze vergelijking : dp dt met r = groeisnelheid en k = roofsnelheid = rp(t) k, (7) evenwichtsoplossing van vgl. (7) is natuurlijk p = k/r Maple-demo (ode-vb2.mws) Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 21

Wiskundige modellen bouwen p 1500 1000 500 0 500 1 2 3 4 5 6 t 1000 Vijf verschillende oplossingen van vgl. (5) voor p(0) respectievelijk gelijk aan 800, 850, 890, 910 en 950. Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 22

Wiskundige modellen bouwen Opmerkingen vgl. (7) lijkt sterk op vgl. (2) in beide gevallen is er een evenwichtsoplossing die toenemende oplossingen scheidt van afnemende oplossingen cf. Maple demo s: in vb 1: andere oplossingen convergeren naar evenwichtsoplossing in vb 2: andere oplossingen divergeren weg van evenwichtsoplossing evenwichtsoplossing komt in praktijk nooit voor! toch is de evenwichtsoplossing erg belangrijk om te begrijpen hoe de oplossingen van de differentiaalvergelijkingen zich gedragen! Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 23

Wiskundige modellen bouwen Opmerkingen beide modellen hebben natuurlijk hun beperkingen: - eerste model (2) is enkel geldig zolang het voorwerp een vrije val uitoefent, zonder botsingen, wind, enz. - populatiemodel (5) voorspelt negatieve aantallen muizen als p(0) < 900 en enorm grote aantallen als p(0) > 900 beide oplossingen worden na korte tijd onrealistisch, zodat deze modellen vrij snel onaanvaardbaar worden Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 24

Wiskundige modellen bouwen Wiskundige modellen bouwen om andere modellen op te stellen moet je begrijpen dat elk probleem anders is het construeren van een bevredigend wiskundig model is vaak het moeilijkste deel van het probleem stappen die (vaak) deel uitmaken van dit proces: Identificeer de afhankelijke en onafhankelijke variabelen en geef ze een naam (letter). De tijd is vaak de onafhankelijke veranderlijke. Kies eenheden om elke variabele te meten. Deze keuze is eigenlijk arbitrair maar sommige keuzes kunnen handiger zijn dan andere. Beklemtoon het onderliggende basisprincipe van het probleem, bv. een herkenbare fysische wet (zoals de wet van Newton) maar ook een meer speculatieve aanname gebazeerd op je eigen ervaring of op waarnemingen. Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 25

Wiskundige modellen bouwen Wiskundige modellen bouwen stappen die (vaak) deel uitmaken van dit proces (vervolg): Druk het principe of de natuurwet uit de vorige stap uit in termen van de variabelen die je gekozen hebt in stap 1. Dit is makkelijker gezegd dan gedaan! Het kan zijn dat je hiervoor fysische constanten moet invoeren (zoals in vb 1) en er benaderende waarden voor moet bepalen; hulpveranderlijken... Controleer of elke term in je vergelijking dezelfde eenheden heeft. Indien dit niet het geval is, is je vergelijking fout! Als dit wel het geval is, kan er natuurlijk nog iets anders fout zijn. In de problemen die we hier bespraken, was het resultaat van stap 4 een enkele vergelijking die het begeerde wiskundige model bepaalde. Voor meer complexe problemen kan het mathematische model echter ingewikkelder zijn en bijvoorbeeld zelfs uit meerder differentiaalvergelijkingen bestaan... zie later Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 26

Wiskundige modellen bouwen 5 min. PAUZE The whole point of mathematics is to solve differential equations! [from an electrical engineer (but former mathematician) [1986]] Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 27

Def.: Een differentiaalvergelijking, en meer bepaald een gewone differentiaalvergelijking is een vergelijking waarin een reële of complexe functie y van één reële veranderlijke x optreedt, samen met een aantal afgeleiden van deze functie. Ook x, de onafhankelijke variabele genoemd, mag voorkomen in de vergelijking. t (voor tijd ) vaak gebruikt als onafhankelijke variabele (cf. vbn) andere voorbeelden van differentiaalvergelijkingen : y (x) + 2y (x) + y(x) = 0, y (x) y(x) + cos(x) y(x) = sin(x), y (3) (x) + y (x) y(x) x = 1. Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 28

algemene vorm: φ(y (n) (x), y (n 1) (x),..., y (x), y(x), x) = 0, (8) waarbij φ een reële functie is van n + 2 veranderlijken de hoogste orde afgeleide n van y die optreedt = de orde als y (n) (x) expliciteerbaar, dan alternatieve vorm voor (8): y (n) (x) = F (y (n 1) (x),..., y (x), y(x), x), (9) = de normale vorm van vgl. (8) F is een functie van n + 1 veranderlijken Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 29

Voorbeeld: de normale vorm van y (x) y(x) + cos(x) y(x) = sin(x) y (x) = sin(x) y(x) cos(x) hier enkel differentiaalvergelijkingen die in normale vorm kunnen geschreven worden zoniet dubbelzinnigheden mogelijk, bv. is leidt tot de twee vergelijkingen y 2 (t) + t y (t) + 4y(t) = 0, y (t) = t + t 2 16y(t) 2 of y (t) = t t 2 16y(t) 2 Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 30

bedoeling = vgl. (8) of (9) oplossen, d.w.z. - alle oplossingen zoeken, d.w.z. alle y die voldoen aan vgl. (8) = algemene oplossing van de differentiaalvergelijking - één oplossing van de Dvgl vinden = particuliere oplossing - één (unieke!) oplossing, die ook nog aan bepaalde extra voorwaarden moet voldoen, meestal beginvoorwaarden, i.e. VWn van de vorm y(x 0 ) = y 0, y (x 0 ) = y 1,..., y (n 1) (x 0 ) = y n 1, waarbij x 0, y 0,..., y n 1 R Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 31

Voorbeeld y (x) = y(x) heeft als algemene oplossing y(x) = ce x, waarbij c C als volgt interpreteren: - de algemene oplossing = {y(x) = ce x c C} - een particuliere oplossing is y(x) = e x - als we echter eisen dat y(0) = 2, dan vinden we dat y(x) = 2e x Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 32

fundamentele vraag: kunnen we elke differentiaalvergelijking wel oplossen? - m.a.w. kunnen we altijd een oplossing vinden? - en kunnen we altijd alle oplossingen vinden? antwoord is positief, onder lichte voorwaarden op de vergelijking... Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 33

Bestaans- en éénduidigheidsstelling Stelling 1.1 : Als in de differentiaalvergelijking y (n) (x) = F (y (n 1) (x),..., y (x), y(x), x) de functie F en haar partiële afgeleiden F y, F y,..., F bestaan en y (n 1) continu zijn in een zeker open deel D van R n+1, en als (y n 1,..., y 1, y 0, x 0 ) een punt is van D, dan bestaat er één en juist één oplossing y(x) van y (n) (x) = F (y (n 1) (x),..., y (x), y(x), x) die voldoet aan de beginvoorwaarden y(x 0 ) = y 0 y (x 0 ) = y 1... y (n 1) (x 0 ) = y n 1. Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 34

Bestaans- en éénduidigheidsstelling Opm.: Partiële afgeleiden F y, F y,..., F als volgt interpreteren: de y (n 1) functie F is een functie van n + 1 veranderlijken. Noemen we deze (u 1,..., u n, u n+1 ), dan moeten F, F,..., F continu zijn. u 1 u 2 u n Voorbeeld: Bekijk de differentiaalvergelijking y (x) = y(x)y (x) + x 2, dan is dus F (y (x), y(x), x) = y(x)y (x) + x 2. In de veranderlijken (u 1, u 2, u 3 ) geeft dit F (u 1, u 2, u 3 ) = u 1 u 2 + u3 2 F. F is continu en ook = u 2 en F = u 1 u 1 u 2 zijn continu. Dus voldoet F aan de eisen van Stelling 1.1. Merk op: over F wordt niets geëist. u 3 Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 35

Bestaans- en éénduidigheidsstelling Dvgl van de n-de orde oplossen n integraties uitvoeren n integratieconstanten voorbeeld: y (n) (x) = 0 algemene oplossing: y(x) = c 1 x n 1 +... + c n 1 x + c n voor particuliere oplossing: integratieconstanten bepalen via BVWn Bijvoorbeeld BVWn : y(0) = 1, y (0) = 0,..., y (n 1) (0) = 0 c n = 1 en c 1 =... = c n 1 = 0 particuliere oplossing: y(x) = 1 Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 36

Gewone en partiële differentiaalvergelijkingen Systemen van differentiaalvergelijkingen De orde van differentiaalvergelijkingen Lineaire en niet-lineaire differentiaalvergelijkingen voornaamste doelstellingen van deze cursus : - het leren opstellen van eenvoudige wiskundige modellen voor diverse problemen die met Dvgln kunnen beschreven worden - het bespreken van de eigenschappen en de structuur van de oplossingen - het voorstellen van enkele (evtl. benaderende) oplossingsmethoden voor beter overzicht : eerst classificatiemethoden Dvgln Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 37

Gewone en partiële differentiaalvergelijkingen Systemen van differentiaalvergelijkingen De orde van differentiaalvergelijkingen Lineaire en niet-lineaire differentiaalvergelijkingen Gewone en partiële differentiaalvergelijkingen onbekenden in Dvgln kunnen reële of complexe functies zijn van één of van meerdere onafhankelijke variabelen - één onafhankelijke variabele enkel gewone afgeleiden in Dvgl gewone differentiaalvergelijking, cf. VBn begin les - meerdere onafhankelijke variabelen partiële afgeleiden in Dvgl partiële differentiaalvergelijking 2 u(x, t) vb.: golfvergelijking: t 2 = v 2 2 u(x, t) x 2, met v 2 fys. const. u(x, t) vb.: warmtevergelijking: = α 2 2 u(x, t) t x 2 met α 2 fys. const. Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 38

Gewone en partiële differentiaalvergelijkingen Systemen van differentiaalvergelijkingen De orde van differentiaalvergelijkingen Lineaire en niet-lineaire differentiaalvergelijkingen Sytemen van differentiaalvergelijkingen er kunnen meerdere onbekende functies voorkomen in een Dvgl ook classificatie volgens het aantal afhankelijk veranderlijken mogelijk twee of meer onbekende functies meer Dvgln nodig systeem van differentiaalvergelijkingen vb.: Lotka-Volterra systeem of de roofdier-prooi vergelijkingen: dx dt (t) = ax(t) αx(t)y(t), (10) dy (t) dt = cy(t) + γx(t)y(t), met x(t) en y(t) de resp. populaties van prooi- en roofdieren - constanten a, α, c en γ bepaald via empirische waarnemingen - hangen af van de specifiek bestudeerde soorten Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 39

Gewone en partiële differentiaalvergelijkingen Systemen van differentiaalvergelijkingen De orde van differentiaalvergelijkingen Lineaire en niet-lineaire differentiaalvergelijkingen De orde van differentiaalvergelijkingen de orde van een Dvgl is de orde van de hoogste afgeleide die in de vergelijking voorkomt voorbeelden: de twee voorbeelden in begin les waren van de eerste orde warmtevergelijking en golfvergelijking zijn partiële Dvgln van de tweede orde vergelijking y (t) + 2e t y (t) + y(t)y (t) = t 4 is een Dvgl van de derde orde voor y(t) Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 40

Gewone en partiële differentiaalvergelijkingen Systemen van differentiaalvergelijkingen De orde van differentiaalvergelijkingen Lineaire en niet-lineaire differentiaalvergelijkingen Lineaire en niet-lineaire differentiaalvergelijkingen cruciale classificatie van Dvgl : lineair of niet-lineair de gewone Dvgl φ(y (n) (x), y (n 1) (x),..., y (x), y(x), x) = 0, is lineair als φ een lineaire functie is van de variabelen y, y,..., y (n) voor partiële Dvgln geldt een gelijkaardige definitie de algemene lineaire gewone Dvgl is dus van de vorm a 0 (t)y (n) (t) + a 1 (t)y (n 1) (t) + + a n (t)y(t) = g(t) ( ) cf. de meeste voorbeelden tot nu toe: - de twee voorbeelden aan het begin van deze les - de golfvgl. en de warmtevgl. zijn lineaire partiële Dvgln Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 41

Gewone en partiële differentiaalvergelijkingen Systemen van differentiaalvergelijkingen De orde van differentiaalvergelijkingen Lineaire en niet-lineaire differentiaalvergelijkingen Lineaire en niet-lineaire differentiaalvergelijkingen een vgl. die niet van de vorm ( ) is, is een niet-lineaire vgl. voorbeelden: - y (t) + 2e t y (t) + y(t)y (t) = t 4 - oscillerend pendulum : hoek θ dat een oscillerend pendulum van lengte L maakt met de verticale richting voldoet aan de vergelijking d 2 θ dt 2 (t) + g sinθ(t) = 0 (11) L voor kleine θ(t) geldt : sinθ(t) θ(t) d 2 θ dt 2 (t) + g θ(t) = 0 (12) L = linearizatie van vgl. (11), goede benadering voor kleine θ(t)-waarden Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 42