4 Vectoren en zwrtepunten I Vectoren Uit: M.C.Escher Cleidocycli door Doris Schttschneider en Wllce Wlker * 1 De Nederlndse grficus en kunstenr M.C.Escher (1898-1972) is bekend om zijn vlkvullende tekeningen. Het ptroon vn vissen en kikkers links is geënt op een vlkvulling vn regelmtige driehoeken, de ndere twee op een vlkvulling vn vierknten. Om het hele vlk te vullen, hoefde hij mr een klein ntl tekeningen te mken en die over het hele vlk te verpltsen.. Hoeveel echt verschillende tekeningen heeft Escher miniml gemkt voor de vlkvulling links? En voor die in het midden? En voor de vlkvulling rechts? Om de vlkvulling geënt op de regelmtige driehoeken te krijgen, begin je met een tweetl gevulde driehoeken en die verplts je telkens. Als je het tweetl gevulde driehoeken (1) volgens de pijl verpltst, krijg je het gevulde tweetl (2). b. Geef op het werkbld de vulling n die je krijgt door het tweetl gevulde driehoeken hiernst volgens de pijl te verpltsen. Een verpltsing gt in een beplde richting over een beplde fstnd. Een pijl is het geschikte middel om zo'n verpltsing weer te geven. Hierbij is de lengte vn de pijl de fstnd wrover verpltst wordt. In het vervolg noemen we een verpltsing een vector. Ltijn: vector is drger, iemnd die iets vn de ene nr de ndere plts drgt. 1
Om vectoren vn getllen te onderscheiden, noteren we ze ls een letter met een pijl erboven, bijvoorbeeld v r. In het rooster zijn vier vectoren (verpltsingen) weergegeven door een pijl. De vector die punt A nr punt B verpltst, geven we n met AB Het is dezelfde verpltsing ls v r, dus v r = AB. c. Teken het punt D in het rooster op het werkbld zó, dt CD dezelfde vector voorstelt ls x r. Met -v r bedoelen we de verpltsing over dezelfde fstnd ls v r, mr dn in tegengestelde richting. d. Teken op het werkbld een pijl die de vector -v r voorstelt en ook een pijl die de vector - x r voorstelt. Met 2 v r bedoelen we de verpltsing over een twee keer zo grote fstnd ls v r, in dezelfde richting. Met x r + v r bedoelen we de verpltsing die je krijgt door eerst over v r te verpltsen, gevolgd door de verpltsing over x r (of ndersom). e. G n dt x r +v r = y r. r r f. Teken een pijl die de vector x + y voorstelt. r r Teken ook pijlen bij x + -y, 2v r en x r +2 y r. Meestl schrijven we x r r r r y, in plts vn x + - y. 2
Er zijn twee mnieren om bij twee vectoren x r en y r de r r somvector x + y te tekenen. Als je x r en y r in hetzelfde punt lt beginnen, dn krijg r r je x + y ls digonl vn het prllellogrm ABDC zols hierboven. Deze mnier noemen we de prllellogrmmethode. Het kn ook zo. Je lt de strt vn y r beginnen bij de kop vn x r. De pijl die wijst vn de strt vn x r nr de kop vn y r stelt r r de verpltsing x + y voor. Deze mnier noemen we kop-strtmethode. 2 Teken twee vectoren x r en y r zols hiernst. r r. Teken met de kop-strtmethode de vectoren x + y, x r r r r y en x + 2 y. b. Teken met de prllellogrmmethode de vectoren r r 2 x + y r r r r, -( x + y ) en x 2 y. * 3 Een minder fntsierijk tekenr wil een vlkvulling met driehoeken mken. Hij heeft er een tweetl gevuld.. Geef op het werkbld n welk tweetl driehoeken r r gevuld wordt bij verpltsing over 2 x y. b. Is het mogelijk lle driehoeken vn het rooster te vullen door verpltsingen vn de vorm k x r + m y r, wrbij k en m gehele getllen zijn? (Door voor k=2 en m=-1 te r r nemen krijg je bijvoorbeeld de vector 2 x y uit onderdeel.) 3
4. Bepl voor de vector p r in het rooster hiernst de getllen k en m zó, dt p r r r = k u + m v. b. Bepl voor q r in het rooster hiernst de getllen k en m zo dt q r r r = k u + m v r r 5 Door vectoren vn de vorm k u + m v (met k en m geheel) kn de vulling over lle roosterdriehoeken verpltst worden.. G n of dt ook kn met vectoren vn de vorm: r r k u + m w. b. Bepl voor de vector p r in het rooster hiernst de getllen k en m zó, dt p r r r = k u + m w. c. Bepl voor de vector q r in het rooster hiernst de getllen k en m zó, dt q r r r = k u + m w. * 6 Teken twee vectoren PR en PQ zols hiernst.. Teken de vector 2 PQ +11 PR. (Hoewel we niet fgesproken hebben wt k PR betekent ls k niet geheel is, zl wel duidelijk zijn wt er mee bedoeld wordt.) b. Teken de vector 2 PQ 11 PR. Er zijn getllen k en m zó, dt PS = k PQ + m PR. c. Zoek uit welke (gehele) getllen k en m zijn. Tip: teken lijnen door S evenwijdig n lijn PR en lijn PQ. In c hebben we de vector PS ontbonden ten opzichte vn het pr vectoren ( PQ, PR ). 4
7 Neem de figuur die hierboven stt over. Teken twee vectoren, één op lijn en één op lijn b, zó dt de som vn de vectoren die je getekend hebt de vector in het pltje oplevert. De twee vectoren die je getekend hebt in opgve 7, heten de componenten vn v r ten opzichte vn en b. (In opgve 6 hebben we de componenten vn de vector PS ten opzichte vn de lijnen PQ en PR bepld.) 8 Teken drie vectoren en een punt P zols hiernst. Je kunt het punt P in zes verschillende volgordes over de drie vectoren verpltsen. Hieronder is er één getekend volgens de kop-strtmethode. Teken de ndere vijf. Dt je in opgve 8 in lle zes de gevllen hetzelfde resultt krijgt, is een gevolg vn de volgende regels die voor het optellen vn vectoren gelden. Associtiewet Commuttiewet r r r r r r + (b + c ) = ( + b ) + c r r r r + b = b + 5
9 Teken twee vectoren zols hieronder. Teken de vector x r zó, dt r r r x + = b * 10 Het rooster hiernst vind je uitgebreider op het werkbld. Eén hokje in het rooster is grijs. De twee vectoren in het rooster noemen we x r en y r. Teken het ptroon vn grijze hokjes dt ontstt door dt ene grijze hokje over lle mogelijke vectoren vn de r r vorm k x + m y te verpltsen, wrbij k en m gehele getllen zijn. Als je voor k en m beide 0 neemt, krijg je de vector met lengte De vector 0. met lengte 0 geven we n met 0 r. r r r Er geldt: v + 0 = v voor elke vector v r. 11 Hieronder zijn vier vectoren getekend. Wt kun je over de som vn deze vier vectoren zeggen? * 12. Teken het punt wrnr P verpltst wordt over x r en zet er P 0 bij. b. r Teken r het punt wrnr P verpltst wordt over x + y en zet er P1 bij. Teken r ook r het punt dt je krijgt door P te verpltsen over x + 2y en zet er P 2 bij. c. Het punt P wordt r verpltst r over lle mogelijke vectoren vn de vorm x + k y wrbij k een willekeurig (niet noodzkelijk geheel) getl is. Kleur de punten wrnr P verschoven kn zijn. 6
13 De ene figuur hierboven is met fctor 2 uitvergroot tot de ndere. Dus: vector 1 is 2 r en vector 2 is 2 b r. Vector 3 kun je op twee mnieren schrijven, één keer met en één keer zonder hkjes. Doe dt. Voor elk getl k geldt: r r r r k ( + b ) = k + k b. Deze regel volgt dus uit gelijkvormigheid. 7
II Toepssingen 1 Ollie en Stn duwen een zwre kst. Ollie duwt drie keer zo hrd ls Stn. Ollie duwt tegen de linkerzijknt en Stn duwt tegen de voorknt vn de kst. De krchten vn Ollie en Stn kun je voorstellen door vectoren. De vector die bij het duwen vn Ollie hoort, is lnger dn de vector die bij het duwen vn Stn hoort.. Hoeveel keer zo lng? b. Teken in een bovennzicht heel precies de richting wrin de kst verschoven wordt. De vector die je in b getekend hebt, is de resultnte vn de vectoren bij de krchten vn Ollie en Stn. 2 Jp dobbert in een roeibootje op de Ms. De Ms heeft dr een stroomsnelheid vn 3 km/u.. Teken de stroomvector vn de Ms, dt is een pijl in de stroomrichting; mk hem 3 cm lng. Zo wordt het bootje verpltst ls Jp niet roeit. Jp gt met een snelheid vn 4 km/u roeien (dt wil zeggen: in stilstnd wter zou de boot een snelheid vn 4 km/u hebben). b. Teken de netto -verpltsingsvector vn het bootje ls Jp met de stroom mee roeit. 8
De verpltsingsvector die je getekend hebt, is de resultnte vn de vector bij de stroomsnelheid en de vector bij het roeien. c. Hoe lng heb je de vector gemkt? d. Teken de verpltsingsvector ls Jp tegen de stroom in roeit. Hoe lng is de vector nu? Hiernst zijn (verkleind) de vectoren getekend die de stroomsnelheid en de roeisnelheid weergeven ls Jp loodrecht op de richting vn de stroom roeit. e. Teken de resultnte vn de twee vectoren, de snelheidsvector vn het bootje. f. Bereken de snelheid vn het bootje. g. Bereken de hoek tussen de richting die het bootje opgt en de richting wrin de rivier stroomt in grden nuwkeurig. Als je niet weet hoe dt moet, lees dn eerst het volgende. Uit: Nollet, Leçons de Physique Experimentle, M.DCC.LIII. Intermezzo In de rechthoekige driehoek ABC: sin(α) = b cos(α) = b c tn(α) = c Voorbeeld In de driehoek hiernst is tn(α)= 14 31, met het rekenmchientje vind je dn: α 24,3. 14 shift tn ; zorg wel dt het mchientje 31 in de stnd DEG stt (MODE DEGREE). 9
3 Veerboot op de Ms Een veerboot vrt loodrecht de rivier over, doordt de veermn de boot schuin tegen de stroom in stuurt. De stroomsnelheid vn de rivier is weer 3 km/u en wordt weergegeven met een pijl s r vn 3 cm. De pijl u r dr loodrecht op is 3,75 cm lng.. Neem de figuur over en teken de vector v r r r r zó, dt s + v = u b. Bereken de lengte vn v r in één deciml en de hoek die v r met s r mkt in grden nuwkeurig. Welke snelheid moet de veerboot uit zichzelf mken? De lengte vn een vector v r noteren we met v r. In opgve 3 geldt: s r = 3. 4 Jgpd Vroeger werden schuiten vk voortgetrokken door een prd (of een mens) op een pd lngs het wter, het zogenmde jgpd. (Op de vorige bldzijde zie je een boot voortgetrokken door twee mensen, elk n een zijde vn het wter.) De krcht wrmee een prd op het jgpd de schuit hiernst voorttrekt, loopt niet in de richting wrin de schuit zich verpltst. De trekkrcht vn het prd geven we weer met de vector v r. Deze mkt een hoek vn 30 met de richting wrin de schuit zich verpltst.. Ontbind v r in een vector u r in de vrrichting en een vector w r in de richting dr loodrecht op. De component w r vn v r drgt niet bij n de snelheid wrmee de schuit beweegt. Hij wordt 'opgevngen'. De component u r beplt de snelheid vn de schuit. b. Bepl u r en w r ls v r = 2. 5 De twee vectoren r en b r hiernst zijn beide 2 lng. Neem de figuur over. r r. Teken + b. r r Wt is + b? r r b. Teken b. r r c. Wt is b? 10
6 Mieke lt hr beide hondjes uit, ieder hondje netjes n de lijn. De hondjes trekken even hrd. De richtingen wrin ze trekken, stn loodrecht op elkr. Mieke trekt even hrd terug.. Neem het pltje over en geef de krcht wrmee Mieke trekt n met een pijl. b. Hoeveel keer zo groot is de krcht wrmee Mieke trekt ls die wrmee elk vn de honden trekt? * 7 Vlootschouw Tijdens een onderdeel vn de vlootschouw zijn drie schepen in ctie. Schip A vrt met een constnte snelheid vn 5 mijl per uur, schip B vrt met een constnte snelheid vn 10 mijl per uur. Schip C heeft vn de leiding de opdrcht gekregen op elk moment precies midden tussen de schepen A en B in te vren (om esthetische redenen). A 0 en B 0 zijn de strtposities vn A en B; A 1 en B 1 de posities vn A en B n 1 minuut, enzovoort.. Zoek uit wr schip C zich n 1, 2, 3,... minuten bevindt. Geef die pltsen op het werkbld n met C 1, C 2, C 3,.... De plts C 0 is l ngegeven. Het ziet er nr uit dt schip C zich over een rechte lijn beweegt. We kunnen dit inzien door gebruik te mken vn vectoren. 11
Gezicht op Venlo vnuit het noorden (noniem ongeveer 1840) 8 In de figuur linksboven zijn de vectoren r en b r volgens de prllellogrmmethode opgeteld. De vector x r rechtsboven heeft hetzelfde strtpunt ls r en b r, en wijst nr het midden vn het prllellogrm. Zols bekend, delen de digonlen vn een prllellogrm elkr middendoor. Welke uitdrukking voor x r in r en b r volgt hieruit? In driehoek ABC is M het midden vn BC. Dn: AM = 1( AB + AC ). 9 Terug nr de vlootschouw. De verpltsing vn schip A in één minuut noteren we met x r en de verpltsing vn schip B in één minuut met de vector y r. We schrijven kort r voor C 0 A 0 C 0 B 0 = - r.. G n dt C 0 A 1 = x r r + en C 0 B1 = - r y r +. ; dn is 12
b. Druk C 0 C 1 uit in xr, y r en r. c. Druk vervolgens C 0 C 2, C 0 C 3..., enzovoort in xr en y r uit. d. Hoe kun je n de uitdrukkingen in c zien dt C over een rechte lijn beweegt? e. Neem n dt de hoek tussen de routes vn de schepen A en B 90 is. Met welke snelheid (exct) moet C dn vren? (A voer met 5 mijl per uur en B met 10 mijl per uur.) * 10 Een rollende knikker Een knikker die op een hellend vlk ligt, rolt nr beneden door werking vn de zwrtekrcht. Hoe kleiner de helling vn het vlk, hoe minder snel de knikker rolt. De zwrtekrcht werkt verticl. Hierboven zie je dezelfde knikker op twee verschillende hellingen. (De pltjes stn ook op het werkbld.) De zwrtekrcht is weergegeven door een vector.. Ontbind de zwrtekrchtvector in beide gevllen lngs de lijnen en b. Lijn b stt loodrecht op het vlk V wrlngs de knikker rolt. We noemen lijn b een norml vn V. Een vector die loodrecht op een vlk stt noemen we normlvector vn dt vlk. De component lngs b die je in getekend hebt is een normlvector vn V. De component in de richting vn b drukt op het vlk. We nemen n dt deze component geen invloed op de beweging vn de knikker heeft. (In de ntuurkunde zegt men: de rolweerstnd wordt verwrloosd). De component in de richting vn zorgt voor de beweging vn de knikker. Deze component is groter nrmte de helling vn het vlk groter is. 13
Hiernst is de helling vn het vlk wrop de knikker ligt 37. De lengte vn de zwrtekrchtvector is 12. b. Leg uit dt de hoek tussen de zwrtekrchtvector en lijn b ook 37 is en bender de component vn de zwrtekrchtvector lngs b in twee decimlen. De vector v r in het pltje hiernst is ontbonden in twee onderling loodrechte componenten x r en y r. Er geldt: x r = v r sin(α) en y r = v r cos(α). * 11 Ad wil zijn speelgoeduto een helling op trekken. De krcht wrmee hij trekt en de zwrtekrcht die op de uto uitgeoefend wordt, zijn weergegeven door pijlen.. Ontbind de zwrtekrchtvector in een component in de richting vn het hellend vlk en in de richting vn de normlvector vn het vlk. b. Vergelijk de lengte vn de pijlen. Krijgt hij de uto de helling op? (De rolweerstnd wordt verwrloosd.) In de eerste prgrf zijn we begonnen met een vlkvulling vn regelmtige driehoeken. We nemen nu een vlkvulling vn vierknten. N keuze vn een oorsprong en een ssenstelsel, kunnen we elk punt in het vlk ngeven door een tweetl getllen (getllenpr). We werken dn zogezegd met rechthoekscoördinten. Het getekende punt in het rooster bijvoorbeeld heeft rechthoekscoördinten (-2,1). Een verpltsing in het rooster geven we ook met een getllenpr. Zo geven we de getekende vector n met (3,-1). We noemen het pr (3,-1) de kentllen vn de vector. Dit is verwrrend, mr uit de context zl steeds blijken wt bedoeld wordt. 14
* 12 In het rooster hiernst zijn een ntl vectoren getekend. Verder is een roosterhokje zwrt gemkt.. Geef de kentllen vn de vier vectoren. Het r hokje r wordt verpltst over vectoren vn de vorm k v + m w, wrbij k en m gehele getllen zijn. b. Geef op het werkbld met zwrt n welke hokjes bereikt worden. c. Ontbind de vectoren r en b r in componenten in de richtingen vn v r en w r en geef de getllen k en m zó dt r r r r r r = k v + m w, respectievelijk b = k v + m w. 13 v r = (2,3) en w r = (-1,-2). Teken in een rechthoekig rooster de vectorenv r, w r en r r v + w. r r Wt zijn de kentllen vn v + w? b. Teken 2 v r. Wt zijn de kentllen vn 2 v r? c. Bereken v r en w r. Als v r = (,b) en w r = (c,d), dn v r r r + w = (+c,b+d) en k v = (k,kb) en v r = 2 2 + b. 14 Hiernst is een recht blok getekend. Voor het gemk noemen we de vectoren OA, OC en OH : x r, y r en z r. r r r. G n: AG = - x + y + z. b. Ontbind ook de volgende vectoren ten opzichte vn x r, y r en z r : OF, HB, BG, CH en AC. Schrijf deze vectoren dus ook ls combintie vn x r, y r en z r. Het midden vn rechthoek ABFE is P en het midden vn rechthoek BCGF is Q. c. Druk OP en OQ in x r, y r en z r uit. Hoe kun je hiermee ook PQ in x r, y r en z r uitdrukken? Door de ontbindingen vn AC en PQ te vergelijken, kun je goed zien dt lijn PQ en lijn AC evenwijdig zijn en dt lijnstuk AC twee keer zo lng is ls lijnstuk PQ. d. Leg uit hoe je dt kunt zien. 15
15 Kubus OABC.DEFG met A(3,0,0), C(0,3,0) en D(0,0,3) is opgebouwd uit 27 kubusjes met ribbe 1. Hierop zijn de punten P(1,1,3) en Q(2,3,1) getekend. 2 2 2 De lengte vn de vector (,b,c) is + b + c. 2 2 2 In formule: (,b,c) = + b + c.. Geef de kentllen vn vector PQ. Hoe kun je die vinden uit de coördinten vn de punten P en Q? b. In welk punt kom je ls je je vnuit (1,3,1) over vector (1,-1,2) verpltst? 16 Het blok hiernst is 4 hoog, 2 breed en 3 diep.. Geef de kentllen vn AG. b. Bereken AG. * 17 Evenwijdig n de y-s stt een verticle schutting. Het is herfst. Een hrde wind striemt de regen tegen de schutting. De richting wrin de regen vlt, wordt gegeven door de vector (1,2,-3). De windrichting is evenwijdig met het Oxy-vlk.. De verpltsingsvector vn de regendruppels is de resultnte vn de verticle vlvector en de horizontle windvector. Teken de vl-, wind- en verpltsingsvector in een ssenstelsel op het werkbld. Het gt drbij niet om de lengtes vn de vectoren, mr wel om hun richting. b. Teken op het werkbld de strook grond voor de schutting die droog blijft. c. De schutting is 3,75 m hoog. Bereken de breedte vn de strook die droog blijft in cm nuwkeurig. 16
d. De regendruppels komen op de grond met een snelheid vn 7 m/s. Bereken de windsnelheid in m/s in één deciml nuwkeurig. 18 In een ssenstelsel zijn negen kubussen gepltst. De kubussen hebben ribbe 2 en onderlinge tussenruimte 1. Drie hoekpunten zijn ngegeven: A, B en C. De lijn AB is evenwijdig n de y-s, de lijn BC is evenwijdig n de z-s en de lijn CA is evenwijdig n de x-s.. Geef de verpltsingsvectoren AB, BC en CA. b. Leg met behulp vn deze drie vectoren uit dt we met een onmogelijke figuur te mken hebben. 17
Weer negen kubussen met de ribben (vn lengte 2) evenwijdig n de ssen. Bekijk twee buren: in het midden vn het grensvlk vn de ene kubus zit een hoekpunt vn de ndere. c. Onderzoek of dit bouwsel mogelijk is op de mnier vn en b. d. Hoe zit het met het bouwsel hierboven? 18
III Op zoek nr evenwicht Iemnd heeft zeven blokken op elkr gestpeld. De stpel helt gevrlijk nr rechts over. Mr hij vlt niet om! Hoe dt te begrijpen is, dr gt deze prgrf over. 19 Het mobiel hieronder is in evenwicht. De zeven mss s zijn lleml even groot. De tweede situtie krijg je door twee vn de mss s in tegengestelde richting te verpltsen. De derde situtie krijg je door drn twee mss s tegengesteld n elkr te verpltsen over dezelfde fstnd en dt drn nog eens te doen. In de derde situtie zie je goed dt het mobiel inderdd in evenwicht is. G deze twee verpltsingen n. Schuifprincipe Het evenwicht wordt niet verstoord ls je twee mss s tegengesteld n elkr verpltst: of 19
Het schuifprincipe is ons uitgngspunt. Als je een blns tot je beschikking hebt, kun je experimenteel vststellen dt dit juist is. Uitgnde vn dit ntuurkundige principe, gn we wiskundig redeneren. De lengte vn de ophngtouwtjes is niet vn belng. * 20 Zoek uit wr je de mobielen moet ophngen opdt zij in evenwicht zijn. De mobielen stn ook op het werkbld. In plts vn één mss 2 eenheden te verpltsen, kun je ook twee mss s 1 eenheid verpltsen (in dezelfde richting). In het ltste mobiel vn de vorige opgve ws de fstnd tussen de linker en de rechter mss s 10. We verpltsen elk vn de linker mss s 3 pltsen nr rechts en elk vn de drie rechter mss s 2 pltsen nr links. Dn houden we evenwicht. Doen we dt nog een keer dn hngen lle vijf de mss s op dezelfde plts. Die plts verdeelt de oorspronkelijke fstnd in stukken die zich verhouden ls 6 : 4. 20
Het punt wr de stf met mss s moet worden opgehngen om de stf in evenwicht te krijgen, noemen we het zwrtepunt of mssmiddelpunt vn de stf met mss s. 2 6 b 21. An een mssloze stf hngen twee mss s vn grootte 2 en 6. Wr moet de stf worden opgehngen opdt hij in evenwicht is? b. An een mssloze stf hngen twee mss s vn grootte en b. Wr moet de stf moet worden opgehngen opdt hij in evenwicht is? In A en B bevinden zich twee mss's vn grootte en b. Het zwrtepunt Z vn de twee mss s ligt op lijnstuk AB, zodt AZ : BZ = b :. 3 7 22 An een mssloze stf hngen twee mss's vn grootte 3 en 7. Bepl de plts vn het zwrtepunt Z op twee mnieren:. door te schuiven b. door bovenstnde stelling toe te pssen. Nu we weten hoe we het zwrtepunt vn twee mss s kunnen beplen, gn we een systeem vn drie mss s op één lijn npkken. 1 2 3 23 An een mssloze stf hngen drie mss s vn grootte 1, 2 en 3 op onderling gelijke fstnden, en in deze volgorde.. Wr ligt het zwrtepunt? b. En wr ls je de mss s 2 en 3 vn plts verwisselt? Bij drie mss s kun je er eerst twee smennemen, en vervolgens het resultt vn die twee combineren met het derde mss. Bijvoorbeeld: 60 20 5 7 3 21
Het zwrtepunt vn 5 en 7 ligt op fstnd 25 vn 7. Dus vervngen we de situtie door: 25 20 12 3 Vervolgens beplen we het zwrtepunt vn 12 en 3, die een onderlinge fstnd 65 hebben: 15 36 We vinden het zwrtepunt vn de oorspronkelijke drie mss s op fstnd 36 vn het rechter mss. 24. G n dt je dezelfde plek vindt ls je begint met de mss s 3 en 5 smen te nemen. b. Ook ls je begint met de mss s 7 en 3 smen te nemen. Het kn nog nders. Splits de mss vn 7 in twee mss s vn 5 en 2: 60 20 5 5 3 2 c. Neem nu de twee mss s vn 5 smen en de mss s vn 2 en 3. Vind je weer hetzelfde zwrtepunt? Bij elk ntl mss s op een lijn vind je ltijd hetzelfde eindpunt, hoe je ook de tweetllen kiest je die je chtereenvolgens smenneemt. Dt betekent dt je terecht kunt spreken vn het zwrtepunt. Verderop zul je met behulp vn vectoren - begrijpen wrom je ltijd hetzelfde eindpunt vindt. 25 Bepl het zwrtepunt vn: 8 8 5 7 1 4 8 22
Hoe gt het ls de mss s niet op één lijn liggen? Ook dn verschuiven we mss s nr elkr toe, tot dt lles in een centrum smenklontert: ls dt punt weer ltijd hetzelfde is, mg dt het zwrtepunt heten. * 26 We bekijken een voorbeeld met drie mss s: 1, 2 en 3. 1 2 3 Voor het gemk hebben we een driehoekjesrooster ngebrcht, wrbij de fstnden tussen een tweetl mss s verdeeld is in 15 en.. Bepl op het werkbld het zwrtepunt door eerst de mss s 2 en 3 smen te nemen. b. Ook door eerst 1 en 2 smen te nemen. c. En door eerst 1 en 3 smen te nemen. In de ruimte gn we op net zo n mnier te werk. 8 2 2 27 In de hoekpunten vn een kubus bevinden zich de mss s 0, 2, 2, 2, 2, 4, 4 en 8, zols in de figuur hiernst. Bepl het zwrtepunt op twee mnieren. Als het goed is vind je twee keer hetzelfde punt. 2 2 4 4 23
De volgende bewering zl je niet verbzen. Het zwrtepunt vn een homogene bol is zijn middelpunt. Onder homogeen verstn we dt de bol "overl hetzelfde is". Preciezer: Als je twee congruente delen neemt vn de bol (bijvoorbeeld twee kubusjes), dn zijn die even zwr. Zie ook de volgende prgrf, bldzijde 28. De bewering is vn groot belng. Hij zegt dt we de mss vn een homogene bol ls in zijn middelpunt geconcentreerd mogen denken. Zo kunnen we doen lsof bijvoorbeeld de rde een puntmss is. (Weliswr is de rde beslist niet perfect homogeen, mr wel bij bendering.) Je zult het wel niet nodig vinden, mr we gn toch beredeneren dt het zwrtepunt vn een homogene bol zijn middelpunt is. Verdeel de homogene bol in heel veel, heel kleine stukjes, die symmetrisch ten opzichte vn het middelpunt liggen. We pssen het schuifprincipe toe. Twee stukjes die symmetrisch ten opzichte vn het middelpunt liggen verpltsen we beide nr het middelpunt: dt is over twee tegengestelde vectoren. Drdoor verndert het zwrtepunt vn de bol niet vn plts. Op die mnier doorgnd verpltsen we lle stukjes nr het middelpunt; dáár ligt dus het zwrtepunt. * 28 We bekijken het systeem vn Arde en Mn. Arde heeft mss 5,975 10 24 kg en Mn 7,343 10 22 kg. De strl vn Arde is 6371 km en de strl vn Mn is 1738 km. Hieronder stt een pltje op schl. Voor de fstnd Arde-Mn is 100 mm gekozen. In werkelijkheid is die 384400 km (tussen de middelpunten vn Arde en Mn). Wr ligt het zwrtepunt? Wt vlt je op? 24
29 Het komt voor dt Sturnus, Jupiter en Zon ngenoeg op een lijn liggen. Voor die situtie gn we het zwrtepunt vn het systeem bestnde uit deze drie beplen. Sturnus Jupiter Zon Sturnus heeft mss 568,5 10 24 kg, Jupiter 1900 10 24 kg en Zon 1978 10 27 kg. De strlen vn Sturnus, Jupiter en Zon zijn respectievelijk 115000 km, 138000 en 696500 km Sturnus stt 1427 10 6 km vn de Zon en Jupiter 778 10 6 km, gemeten vnf hun middelpunten. Ligt het zwrtepunt vn deze drie binnen Zon? 5 6 7 9 10 6 7 9 7 30 Anneke heeft chtereenvolgens de volgende cijfers voor wiskunde gehld: 7, 6, 5, 9, 9, 10, 6, 7, 7. Ze heeft de cijfers uitgezet op de getllenlijn. Bepl hr gemiddelde wiskundecijfer. Merk de nlogie op tussen het gemiddelde cijfer en het zwrtepunt. * 31 Op een tfel liggen drie gelijke blokken. Ze steken gedeeltelijk over de tfelrnd. Het zwrtepunt vn elk vn de blokken veronderstellen we in hun midden. Als het zwrtepunt vn de drie blokken tezmen mr boven het tfelbld ligt, ligt de stpel stbiel, nders kntelt hij vn tfel. Blijft deze stpel liggen? De figuur stt groter op het werkbld. Hoe ver kun jij een stpel blokken lten overhellen, zonder dt de stpel omvlt? Op internet kun je je tlenten testen: http://www.ngelfire.com/bc3/mechnic/applets/hfdst3/ Zwrtepunt.htm 25
32 Hoe groot is x ls de blns in evenwicht is? Blnsen in evenwicht brengen kn op: http://www.wlter-fendt.de/ph11nl/lever_nl.htm 26
IV Het belng vn het zwrtepunt Durf jij over een stlen kbel te fietsen, vijf meter boven de grond? Geen probleem in Technopolis te Mechelen. De truc is dt het zwrtepunt vn fiets-met-fietser onder de kbel zit. Foto: Technopolis, het Vlmse doe-centrum voor wetenschp en technologie Toelichting In een stbiele situtie is het zwrtepunt in zijn lgste positie. Bekijk de dwrsdoorsnede hieronder. kbel zwrtepunt Als de fiets vnuit de verticle (veilige) stnd nr links of rechts zou bewegen, gt het zwrtepunt omhoog. De rde zl het zwrtepunt onmiddellijk terugtrekken nr het lgste punt. 33 De rend steunt met zijn snvel op de punt vn een vinger. Hij kn best tegen een stootje: hij komt steeds weer in de toestnd vn de foto terug, tenminste. ls de stoot niet te heftig is. Wr ongeveer vermoed jij het zwrtepunt vn de rend? 34 De scheve toren vn Pis is 55 meter hoog en heeft een dimeter vn 15 meter. Hij stt 5 à 6 grden uit het lood. Hij mg nog wel wt schever zkken voordt hij omvlt. Dt gebeurt nmelijk ps ls zijn zwrtepunt buiten de voet vn de toren vlt. Veronderstel dt het zwrtepunt vn de toren in zijn middelpunt zit. Hoeveel grden uit het lood mg de toren dn hoogstens stn om niet om te vllen. 27
35 Een (nog ongeopende) wijnfles steekt in een stndrd. Het geheel is stbiel. Kun je dt verklren? Het zwrtepunt wordt ook wel mssmiddelpunt genoemd; in het Engels: centre of mss. Voor veel berekeningen kun je doen lsof lle mss vn het object in dt punt geconcentreerd is (en dus kun je de fmetingen vn het object vergeten). Als we bijvoorbeeld over de snelheid vn een object spreken, dn bedoelen we de snelheid wrmee het zwrtepunt vn dt object beweegt. Binnen het object zelf kn er vn lles bewegen of het object kn om zijn s drien; dt doet er niet toe. In de mechnic pssen we de wetten vn Newton toe op de zwrtepunten vn de objecten. 36 An weerszijden vn een veer bevinden zich twee mss s. We drukken de mss s nr elkr toe, zodt de veer gespnnen wordt. Wt gebeurt er met het zwrtepunt ls we de mss s loslten? 37 Een rket explodeert kort n de strt; de brokstukken vliegen lle knten op. Wt kun je zeggen vn de beweging vn het zwrtepunt? In prgrf 3 hebben we uitgelegd dt het zwrtepunt vn een homogene bol zijn middelpunt is. Precies dezelfde redenering gt op voor elk puntsymmetrisch lichm, zols een blk, een cilinder, een rugbybl, een dibolo, 38 Vn een mssieve kubus is het middelpunt ntuurlijk het zwrtepunt. Dt geldt ook voor een holle kubus (wrvn de wnden overl even dik zijn). Mr hoe zit het met een kubusvormig bkje zonder deksel? Dt heeft dus vijf (even dikke) wnden. Wr zit dn het zwrtepunt? 28
39 Een limondegls gls heeft de vorm vn een cilinder. De dimeter vn het gls is 8 cm en zijn hoogte is 12 cm. Deze mten zijn buitenmten. Het gls is overl even dik: 0,5 cm. De dichtheid vn gls is 3 kg/dm 3.. Op welke hoogte zit het zwrtepunt? Het gls wordt tot de rnd toe gevuld met wter (de dichtheid vn wter is 1 kg/dm 3 ). b. Op welke hoogte zit het zwrtepunt nu? P P' Hoe je in de prktijk het zwrtepunt vindt Elk voorwerp (plt of ruimtelijk) heeft precies één zwrtepunt Z. Mk een touwtje vst in een punt P vn het voorwerp en hng het ermee op. Het voorwerp gt zo hngen, dt het zwrtepunt Z zo lg mogelijk komt. Dus zó dt Z recht onder P komt te liggen. Kies nu een nder punt P' om het touwtje n vst te mken. Hng het voorwerp op en Z zl recht onder P' komen. We kennen nu twee lijnen wrop Z moet liggen. Wr je het ophngpunt P ook kiest. Het verlengde vn het touwtje gt ltijd door Z! 40 We hngen een houten rechthoek vn 40 bij 100 cm op n een touwtje. Het ophngpunt zit 10 cm vn twee rnden. Teken hoe de rechthoek gt hngen. Homogene puntsymmetrische figuren hebben hun zwrtepunt in het symmetriepunt. Nogl logisch! Dit kun je toepssen op een cirkel en een rechthoek. Mr hoe zit het met een gelijkzijdige driehoek? Het zwrtepunt zit ntuurlijk in het "midden", mr wr zit dt precies? Ergens op de hoogtelijn ntuurlijk (zie pltje). Nu hoeven we lleen nog mr de hoogte (boven de bsis) te weten. En dr kom je ls volgt gemkkelijk chter. Verdeel de gelijkzijdige driehoek in negen even grote gelijkzijdige driehoeken. 41 Op welke hoogte zit het zwrtepunt? Met ndere woorden; wt is de verhouding vn de twee stukken wrin het zwrtepunt de hoogtelijn verdeelt? 29
RAADSEL: Zes spijkers in blns Je hebt zeven identieke grote spijkers met een duidelijke kop. Sl een spijker in een plnkje. Lukt het je de ndere zes spijkers op de kop vn die spijker te lten blnceren? 30
V Met behulp vn vectoren A Z Wrom vind je ltijd hetzelfde eindpunt ls je mss s twee n twee smenneemt? De volgorde je drbij te werk gt, doet niet ter zke. Hoe kun je dt begrijpen? Drover gt deze prgrf. In prgrf 3 heb je de volgende stelling ontdekt. In de punten A en B bevinden zich de mss's en b. Het zwrtepunt Z ligt op lijnstuk AB, zo dt ZA : ZB = b :. Met vectoren lt zich dt fri formuleren. O B Stelling A en B bevinden zich de mss's en b. We kiezen een willekeurig punt O ls oorsprong. Het zwrtepunt Z is het eindpunt vn de vector OZ = Bewijs + b OA + b + b OB OZ = OA + b AB = OA + + b (1 b + b )OA + b OB = + b + b b (OB OA ) = + b OA + b + b OB A B * 42 In de punten A en B bevinden zich de mss's en b. Geef op het werkbld de plts vn het zwrtepunt n in de volgende gevllen.. = 0 en b = 6 b. = 1 en b = 5 c. = 2 en b = 4 d. = 3 en b = 3 e. = 4 en b = 2 f. = 5 en b = 1 g. = 6 en b = 0 O Merk op dt de keuze vn de oorsprong O er niet toe doet. 43. Hoe luidt de stelling ls we voor O het punt A kiezen? b. Hoe luidt de stelling ls we voor O het punt Z kiezen? 44 Gegeven zijn vijf mss s in een vlk (of in de ruimte, of op een lijn): 2, 3, 5, 7 en 10, op de pltsen A 1, A 2, A 3, 31
A 4 en A 5. Kies een oorsprong O. Om het zwrtepunt te vinden kunnen we (bijvoorbeeld) ls volgt te werk gn: - bepl het zwrtepunt Z 12 vn de mss s 2 en 3, - bepl het zwrtepunt Z 34 vn de mss s 5 en 7, - bepl het zwrtepunt Z 345 vn het systeem met mss 12 in Z 34 en mss 10 in A 5, - bepl het zwrtepunt Z vn het systeem vn mss 5 in Z 12 en mss 22 in Z 345. Welke vector OZ vind je, uitgedrukt in OA 1, OA 2, OA 3, OA 4 en OA 5? OZ is een soort gemiddelde vector vn OA 1, OA 2, OA 3, OA 4 en OA 5. Hoe "zwr" elk vn die vectoren in het gemiddelde meetelt, hngt f vn de grootte vn mss op de betreffende plts. We gn nu het lgemene gevl bekijken. Voor drie mss s Gegeven zijn drie mss s 1, 2, 3 op de pltsen A 1, A 2, A 3. We kiezen een willekeurig punt O ls oorsprong en berekenen de som vn de mss s: = 1 + 2 + 3. Dn vinden we het zwrtepunt Z ls volgt: OZ = 1 OA 1 + 2 OA 2 + 3 OA 3. A 1 z 12 A 2 Z O A3 Bewijs Stel dt we eerst de mss s 1 en 2 smennemen. Die twee kunnen we vervngen door het mss b = 1 + 2 in hun zwrtepunt Z 12 met OZ 12 = 1 OA b 1 + 2 b OA 2. Dit gecombineerd met mss 3 geeft het punt Z met OZ = b 3 OZ b+ 12 + OA b+ 3 = b ( 1 OA b+ b 1 + 2 OA b 2 ) + 3 3 3 OA b+ 3 = 1 OA 3 1 + 2 OA 2 + 3 OA 3. Omdt in het eindntwoord de drie mss s en de drie pltsen volkomen symmetrisch voorkomen, is de volgorde wrin de mss s zijn smengenomen kennelijk niet vn belng! 3 Voor vier mss s Gegeven zijn vier mss s 1, 2, 3, 4 op de pltsen A 1, A 2, A 3, A 4. 32
We kiezen een willekeurig punt O ls oorsprong en berekenen de som vn de mss s: = 1 + 2 + 3 + 4. Dn vinden we het zwrtepunt Z ls volgt: OZ = 1 OA 1 + 2 OA 2 + 3 OA 3 + 4 OA 4. Bewijs Eerst nemen we de mss s in A 1, A 2 en A 3 smen. Die kunnen we vervngen door mss b = 1 + 2 + 3 in plts Z 123, wrbij OZ 123 = 1 OA b 1 + 2 b OA 2 + 3 b OA 3. Dit nemen we smen met mss 4 in A 4. Dt geeft ons het zwrtepunt Z, wrvoor: OZ = b 4 OZ 4 + b 123 + OA 4 + b 4 = b ( 1 OA 4 + b b 1 + 2 b OA 2 + 3 4 b OA 3 ) + OA 4 + b 4 = 1 OA 1 + 2 OA 2 + 3 OA 3 + 4 OA 4. Weer is het ntwoord volkomen symmetrisch in de vier mss s en pltsen. Kennelijk is de volgorde vn smennemen niet vn belng. En zo gt dt door voor vijf, zes, mss s. Algemeen vinden we voor elk ntl mss s 1, 2,, n. op de pltsen A 1, A 2, A n het zwrtepunt Z ls volgt: Stelling De mss s 1, 2,, n bevinden zich op de pltsen A 1, A 2, A n. Het zwrtepunt noemen we Z, dn: OZ = 1 OA 1 + 2 OA 2 + + n Hierbij is = 1 + 2 + 3 + 4 + 5. OA n. We zien dt OZ een soort gemiddelde vector is vn OA 1, OA 2,, OA n. Hierbij beplt een mss op een plts hoe zwr die plts meetelt. Het doet er niet toe in hoeveel dimensies we werken. De punten mogen best op een rechte lijn liggen, mr dt hoeft niet. En ls drie punten een driehoek in de ruimte vormen, hoeft de gekozen oorsprong niet in het vlk vn de driehoek te liggen. De werkwijze met vectoren is dus lgemeen geldig. C 45 Bepl het zwrtepunt vn de mssloze driehoek ABC bij de volgende mss s in de hoekpunten: 33 A B
. in A: 1, in B: 1, in C: 2 b. in A: 1, in B: 4, in C: 5 c. in A: 1, in B: 1, in C: 1 46 Een medin vn een vierhoek is de verbindingslijn vn de middens vn twee overstnde zijden. Op de hoekpunten vn een mssloze vierhoek zitten gelijke mss s. Bewijs dt het zwrtepunt het snijpunt is vn de medinen. 47 Op de hoekpunten vn een mssloze vierhoek ABCD zitten gelijke mss s. We beplen (in gedchten) de zwrtepunten vn de driehoeken ABC, ABD, ACD en BCD. Bewijs dt het zwrtepunt vn deze vier zwrtepunten hetzelfde is ls het zwrtepunt vn hele vierhoek. Opmerking Het gestelde in opgve 29 is niet juist, ls de mss s in A, B, C en D verschillend vn grootte zijn. We hebben gezien dt je het zwrtepunt kunt vinden door dt stukje bij beetje te doen. En die stukjes mg je zelf kiezen. 1 2 * 48 Bepl op het werkbld het zwrtepunt vn de zes mss s hiernst. 2 1 2 1 49 In elk hoekpunt vn een mssloos viervlk zit eenzelfde mss.. Bepl op het werkbld de plts vn het zwrtepunt. b. Hoe hoog zit het zwrtepunt boven het grondvlk? 50 In elk vn de hoekpunten vn een vijfzijdige pirmide zit eenzelfde mss. 34
. Bepl de plts vn het zwrtepunt. b. Hoe hoog zit het zwrtepunt boven het grondvlk? 51 Een trppirmide bestt uit vier even dikke plkken vn 1 1, 2 2, 3 3 en 4 4. Op welke hoogte zit het zwrtepunt? In prgrf IV hebben we beredeneerd dt het zwrtepunt vn een homogene bol in het middelpunt zit. Met vectoren ziet de redenering er ls volgt uit. A O A' Kies het middelpunt ls oorsprong. Verdeel de homogene bol weer in heel veel, heel kleine stukjes, die symmetrisch ten opzichte vn het middelpunt liggen. Bij elk stukje A hoort een spiegelbeeld A'. In A en A' zitten even grootte mss's. We tellen lle vectoren OA en OA ' op. Omdt voor elke stukje A geldt dt OA + OA ' = 0, is de som vn l die vectoren 0. Dus het zwrtepunt is O: het middelpunt vn de bol. 35
52 Vier keer een vierzijdige pirmide met ribben vn lengte 1. De hoogte vn de pirmide noemen we h (Met de stelling vn Pythgors vind je dt h = 1 2.) 2 De mss s zitten in de hoekpunten, in elk hoekpunt hetzelfde mss (de ribben zijn mssloos).. Op welke hoogte boven het grondvlk bevindt zich het zwrtepunt? In de stfjespirmide zit het mss in de ribben. De cht ribben zijn even zwr. b. Op welke hoogte boven het grondvlk bevindt zich het zwrtepunt? De pirmide is nu gesloten: de vijf grensvlkken bestn uit pltwerk. Het mss vn een grensvlk is dus evenredig met de oppervlkte. Verder is de pirmide hol. c. Op welke hoogte boven het grondvlk bevindt zich het zwrtepunt? In het vierde gevl is de pirmide mssief. En homogeen. Met integrlrekening kn de plts vn het zwrtepunt bepld worden. Dt blijkt op hoogte 3 vn de hoogte boven het grondvlk te zitten. In de ppendix stt een fleiding zonder integreren. 36
VI Appendix Het zwrtepunt vn een homogene driehoek We willen het zwrtepunt vn driehoek 1 hebben. Leg er nog drie identiek exemplren bij, zols hieronder. Kies de oorsprong O en de vectoren en b zols in de tekening. B 2 b 1 4 3 O A De mss vn 1 noemen we 1 en de zwrtepuntsvector vn 1 noemen we z. Dn zijn de zwrtepuntsvectoren vn 2, 3 en 4: z + en - z + + b. De zwrtepuntsvector vn de grote driehoek is 2. z z + b, Er geldt: 2 z =3( z +( z + )+( z + b )+( - z + + b ) ) = 1 z+1 +1 b Dus z=2 +2 b. 37
Het zwrtepunt vn een homogeen driezijdig prism We kiezen de oorsprong in een vn de hoekpunten vn het prism, zie pltje We noteren OA, OB enzovoort met, b enzovoort. C B A O Het zwrtepunt vn het prism noemen we Z, dn is: z=2 +2 b+1 c. Het zwrtepunt vn een homogene driezijdige pirmide De inhoud vn een pirmide is 2 vn de inhoud vn het prism met hetzelfde grondvlk en gelijke hoogte. De driezijdige pirmide wordt door vlkken door de middens vn ribben verdeeld in twee kleinere pirmides en twee driezijdige prism's. We nemen de inhoud vn zo'n kleine pirmide ls inhoudseenheid, dn is de inhoud vn de grote pirmide 8 en de inhoud vn elk vn de twee prism's 3. C B A O 38
We kiezen één vn de hoekpunten vn de grote pirmide ls oorsprong. Het zwrtepunt vn de pirmide noemen we Z. Het zwrtepunt vn de kleine pirmide met hoekpunt C noemen we Z 1, het zwrtepunt vn de kleine pirmide met hoekpunt O noemen we Z 2, het zwrtepunt vn het prism met hoekpunt A noemen Z 3 en het zwrtepunt vn het prism met hoekpunt B noemen we Z 4. C 1 3 4 B A 2 Er geldt: z1 =1 c+1 z, z2 =1 z, z3 =1 +2 1 +2 1 b +1 1( c )= 5 12 +5 b +3 c, z4 =1 b +2 1( b )+2 1( c b )+1 1 b = 5 + 12 5 b+5 c. Dus z=7 z 1 +7 z 2 +I z 3 +I z 4 =7 z+ 7 32 + 7 32 b+ 7 32 c. Hieruit volgt dt z=3 +3 b +3 c. Met gelijkvormigheid volgt nu dt het zwrtepunt vn een homogene driezijdige pirmide op hoogte 3 vn de hoogte vn de pirmide boven het grondvlk ligt. Angezien elke pirmide in driezijdige pirmides met dezelfde top kn worden opgedeeld, geldt dit voor elke pirmide. O 39