Meetkunde I [B-KUL-G0N31B]

KU Leuven Meetkunde I [B-KUL-G0N31B] Notities Tom Sydney Kerckhove Gestart 24 september 2014 Gecompileerd 18 januari 2016 Docent: Prof. Wendy Goemans

Inhoudsopgave 1 Affiene meetkunde 4 1.1 Affiene ruimte....................................... 4 1.2 Affiene deelruimten.................................... 6 1.3 Parametervergelijkingen................................. 11 1.4 Affiene hypervlakken................................... 12 1.5 Rechten in A n....................................... 13 1.6 Barycentrische coördinaten................................ 16 2 Affiene Transformaties 19 2.1 Affiene invarianten.................................... 22 2.2 Dilataties.......................................... 25 3 Vlakke meetkunde 28 3.1 Ceva............................................ 28 3.2 Menelaos.......................................... 31 3.3 Pappus........................................... 32 3.4 Desargues......................................... 33 4 Derivaties 35 4.1 Afgeleide afbeelding.................................... 37 5 Orientaties en Volume 39 5.1 Volume........................................... 41 6 Euclidische meetkunde 43 6.1 Euclidische transformaties................................ 47 6.1.1 Orthogonale transformaties........................... 48 6.1.2 Euclidische invarianten en afstand....................... 50 6.1.3 Bestaan van isometrieën............................. 52 6.1.4 Deelruimten van de Euclidische ruimte..................... 53 7 Euclidische transformaties 55 7.1 Rotaties in E 2....................................... 55 7.2 Rotaties in E 3....................................... 56 7.3 Spiegelingen........................................ 56 7.4 Structuur van isometrieën................................ 59 8 Het vectorproduct in E 3 63 1

INHOUDSOPGAVE 2 9 Algemene theorie van krommen in E n 66 9.1 Krommen en vectorvelden langs krommen....................... 66 9.2 Herparametrisaties en de booglengteparametrisatie.................. 68 9.3 Congruente krommen................................... 70 9.4 Krommen en de afgeleide afbeelding........................... 71 10 Krommen in het Euclidisch vlak E 2 72 10.1 De complexe structuur van E 2.............................. 72 10.2 Het Frenet-apparaat voor booglengtegeparametriseerde vlakke krommen...... 72 10.3 Osculerende cirkel en evoluut.............................. 73 10.4 Spiraalbogen en het Lemma van Kneser......................... 74 10.5 Kromming van congruente krommen.......................... 74 10.6 Intrinsieke vergelijking.................................. 76 10.7 Kromming van reguliere krommen........................... 76 10.8 Globale studie van vlakke krommen........................... 76 10.8.1 Gesloten krommen................................ 77 10.8.2 Totale kroming en rotatieindex......................... 77 11 Krommen in de Euclidische ruimtee 3 79 11.1 Het Frenet-apparaat voor krommen in E 3........................ 79 11.2 Kromming en torsie van reguliere ruimtekrommen.................. 80 11.3 Kromming en torsie van congruente krommen..................... 81 11.4 Cilinderschroeflijnen en cirkelschroeflijnen....................... 82 12 Oppervlakken in E 3 83 12.1 Reguliere parametrisaties en patches.......................... 83 12.2 Omwentelingsoppervlakken en regeloppervlakken.................. 83 12.3 Vectorvelden en de shape-operator........................... 83 12.4 Meetkundige interpretiatie van de normale kromming................. 84 12.5 Gausskromming en gemiddelde kromming....................... 85 13 Geodeten 86 13.1 Krommingseigenschappen................................ 86 14 Algoritmen 87 14.1 Onderlinge ligging van twee affiene deelruimten bepalen............... 87 14.2 Parametervergelijkingen van een affiene deelruimte bepalen............. 89 14.3 Carthesische vergelijkingen van een affiene deelruimte bepalen........... 90 14.4 Som van twee affiene deelruimten bepalen vanuit Parametervergelijkingen..... 92 14.5 Doorsnede van twee affiene deelruimten bepalen vanuit parametervergelijkingen. 93 14.6 Doorsnede van twee affiene deelruimten bepalen vanuit Carthesische vergelijkingen 94 14.7 Doonsnede van twee affiene deelruimten bepalen vanuit zowel carthesische als parametervergelijkingen................................... 95 14.8 Vergelijkingen opstellen van een rechte......................... 96 14.9 Parametervergelijkingen omzetten naar Carthesische vergelijkingen......... 97 14.10 Carthesische vergelijkingen omzetten naar parametervergelijkingen......... 98 14.11 Het orthogonaal complement bepalen.......................... 99 14.12 De loodrechte euclidische deelruimte door een punt bepalen............. 100 14.13 De gemeenschappelijke loodlijn van twee rechten bepalen.............. 101 14.14 De afstand bepalen tussen een punt en een rechte................... 102 14.15 De afstand bepalen tussen twee rechten......................... 103

INHOUDSOPGAVE 3 14.16 De afstand bepalen tussen een punt en een hypervlak................. 105 14.17 Een isometrie classificeren................................ 106 15 Oefenzittingen 107 15.1 Oefenzitting 1....................................... 107 15.2 Oefenzitting 2....................................... 109 15.3 Oefenzitting 3....................................... 113 15.4 Oefenzitting 4....................................... 114 15.5 Oefenzitting 5....................................... 117

Hoofdstuk 1 Affiene meetkunde 1.1 Affiene ruimte Definitie 1.1. Een n-dimensionaal punt is een veeltal met n coördinaten. p = (p 1,p 2,...,p n ) Definitie 1.2. De optelling van twee punten is niet gedefiniëerd, maar de optelling van een punt en een vector is gedefiniëerd door ze beide als reële n-tallen te beschouwen en coordinaatsgewijs op te tellen. Definitie 1.3. Een n-dimensionale affiene ruimte A n bestaat uit n-dimensionale punten. A n = { {(p 1,p 2,...,p n ) p i R } Definitie 1.4. A 2 noemen we het affiene vlak. Definitie 1.5. Zij p A n een punt van de n-dimensionale affiene ruimte A n en zij v R n een n- dimensionale reële vector. Een koppel (p, v) noemen we een raakevector met aangrijpingspunt p en vectordeel v. v p = (p,v) Definitie 1.6. Twee raakvectoren v p = (p,v) en w q = (q,w) zijn gelijk als elk zowel hun aangrijpingspunten en vectordelen gelijk zijn. v p = w q p = q v = w 4

HOOFDSTUK 1. AFFIENE MEETKUNDE 5 Definitie 1.7. De rakende ruimte T p A n in een punt p aan een affiene ruimte A n is de verzameling van raakvectoren met p als aangrijpingspunt in A n. { {vp = (p,v) v R n} Het symbool T in de notatie van de rakende ruimte staat voor tangent. Definitie 1.8. De verzameling van alle raakvectoren v p aan punten p in een affiene ruimte A n noemen we de rakende bundel mt A n van die affiene ruimte A n. T A n = { v p p A n,v R n} = { (p,v) p A n,v R n} = A n R n Definitie 1.9. Zij v p en w p twee raakvectoren in de rakende ruimte T p A n van hetzelfde punt p, dan definiëren we de som v p + w p als volgt. v p + w p = (v + w) p Merk op dat de + verschilt van de +. + is de optelling voor raakvertoren en + is de optelling voor vrije vectoren. Verder zullen we deze beide als + schrijven. De som van twee raakvectoren met een verschillend aangrijpingspunt is niet gedefinieerd. Definitie 1.10. Zij v p een raakvector aan een punt p van de affiene ruimte A n en λ R een reëel getal, dan definieren we het scalair product λv p als volgt. λv p = (λv) p Stelling 1.11. Elke rakende ruimte T p A n in een punt p aan A n vormt een reële vectorruimte. Bewijs. We bewijzen de axioma s van een vectorruimte niet opnieuw. Ze gelden in R n, dus ze gelden in T p A n. Stelling 1.12. Voor elk willekeurig punt p van de affiene ruimte A n is de afbeelding van de raakvector op de vector een isomorfisme van de rakende ruimte in dat punt en de reële vectorruimte R n. ϕ p is dus een isomorfisme. ϕ p : T p A n R n : v p v Bewijs. Een isomorfisme is een bijectieve lineaire afbeelding. ϕ p is een bijectie. ϕ p is een injectie. v p,w p T p A n : ϕ p (v p ) = ϕ p (w p ) v p = w p

HOOFDSTUK 1. AFFIENE MEETKUNDE 6 ϕ p is een surjectie. v R n, v p T p A n : ϕ p (v p ) = v ϕ p bewaart de lineariteit: ϕ p (v p + w p ) = ϕ p ((v + w) p ) = v + w = ϕ p (v p ) + ϕ p (w p ) ϕ p (λv p ) = ϕ p (λv) p ) = λv = λϕ p (v p ) Stelling 1.13. Voor elke twee willekeurige punten p en q van de affine ruimte A n zijn de rakende ruimten isomorf. ψ is dus een isomorphisme. ψ pq : T p A n T q A n : v p v q Bewijs. ψ pq is een samenstelling van isomorphismen 1, en bijgevolg ook een isomorphisme. ψ pq = ϕp 1 ϕ p 1.2 Affiene deelruimten Definitie 1.14. Zij p een punt in de affiene ruimte A n in V een k-dimensionale deelruimte van R n met 0 k n. We noemen p + V de affiene deelruimte van A n met richting V en aangrijpingspunt p. p + V = { p + v A n v V } Definitie 1.15. Affiene ruimten met één dimensie noemen we affiene rechten. Definitie 1.16. Affiene ruimten met twee dimensies noemen we affiene vlakken. Definitie 1.17. Wanneer we spreken over n-dimensionale affiene ruimten noemen we n 1- dimensionale affiene ruimten affiene hypervlakken. Lemma 1.18. Zij p en q twee punten uit de affiene ruimte A n en V een lineaire deelruimte van R n. De volgende uitspraken zijn equivalent: 1. q p + V. 2. pq V 3. p + V = q + V (Het aangrijpingspunt van een affiene deelruimte is niet uniek.) 1 Zie het isomorphisme ϕ p (stelling??)

HOOFDSTUK 1. AFFIENE MEETKUNDE 7 Bewijs. Bewijs door circulaire implicaties. (1) (2) Als q p + V geldt, dan bestaat er een v V zodat q = p + v geldt. 2. pq = q p is danprecies v, en we toonden net dat v V geldt. (2) (3) Om de gelijkheid van deze twee verzamelingen aan te tonen bewijzen we de twee inclusies: x p + V : x q + V Kies een willekeurige x p + V. Er bestaat nu een v V zodat x = p + v geldt. 3. p + v = p + v + q q = q pq + v Omdat pq V geldt, geldt ook pq + v V 4. Noem nu pq + v = w, dan bestaat er dus een w V zodat x = q + w en zit x bijgevolg ook in q + V. x q + V : x p + V Hernoem p naar q en omgekeerd en kijk naar het vorige puntje. (3) (1) q zit steeds in q + V (tel bij q de nulvector op). Omdat p + V en q + V gelijk zijn zit q dus ook in p + V. Stelling 1.19. Twee affiene deelruimten p +V en q +W zijn gelijk als en slechts als de deelrruimten V en W gelijk zijn, en het verschil tussen p en q als vector in V = W zit. p + V = q + W V = W pq V Bewijs. Bewijs van een equivalentie. Kies willekeurige deelruimten V en W van R n en punten p en q uit de affiene ruimte A n. Als p + V = q + W geldt, dan zit q in p + V en geldt pq V. 5 We bewijzen nu beide inclusies om aan te tonen dat V en W gelijk zijn. x V : x W Kies een willekeurige v V. p + v p + V geldt en p + V = q + W, dus er bestaat een w W zodat q + w = p + v geldt. Vermits pq V geldt, zit w in V. 6. w = (p q) + v x W : x V Hernoem V naar W en omgekeerd en kijk naar het vorige puntje 2 Zie de definitie van affiene deelruimten. (Definitie 1.14) 3 Zie de definitie van affiene deelruimten. (Definitie 1.14) 4 De optelling is intern in een vectorruimte. 5 Zie lemma 1.18. 6 De optelling is intern in een vectorruimte.

HOOFDSTUK 1. AFFIENE MEETKUNDE 8 Dit is al bewezen in deel 3 van het vorige lemma. 7 Stelling 1.20. Twee affiene deelruimten p + V en q + W van R n zijn gelijk als en slechts als de deelrruimten V en W gelijk zijn, en hun doorsnede niet leeg is. p + V = q + W V = W p + V q + W Bewijs. Twee gelijke deelruimten zijn uiteraard gelijk. Hun doorsnede is dan ook niet leeg, want die is gelijk aan de volledige deelruimte. Stel dat de doorsnede van p +V en q +W niet leeg is, dan bestaat er een punt a in p +V q +W. a p + V q + W Dat betekent dat er twee vectoren v V en w W bestaan zodat het volgende geldt: a = p + v ena = q + W Nu geldt dat p + V en q + W gelijk zijn. 8 p + v = q + w q p = v w Definitie 1.21. Twee affiene deelruimten S = p +V en T = q +W van A n zijn parrallel als hun richtingen V en W gelijk zijn. V = W S T Definitie 1.22. Twee affiene deelruimten S = p + V en T = q +W van A n zijn zwak parrallel als de richting van de ene deelruimte een deel is van de richting van de andere. V W S T Definitie 1.23. Als twee affiene deelruimten S en T van A n niet parallel, noch zwak parallel zijn, dan zijn ze snijdend als ze niet disjunct zijn. S T 7 Zie lemma 1.18. 8 Zie lemma 1.18.

HOOFDSTUK 1. AFFIENE MEETKUNDE 9 Definitie 1.24. Als twee affiene deelruimten S en T van A n niet parallel, noch zwak parallel zijn, dan zijn ze kruisend als ze disjunct zijn. S T = Stelling 1.25. Zij S en T parallelle affiene deelruimten van A n, dan zijn ze ofwel gelijk, ofwel disjunct. S T S = T S T = Bewijs. Kies twee willekeurige parallelle affiene deelruimten S = p + V en T = q + W van A n. Stel dat de doorsnede S T niet leeg is, dan bestaat er een punt r in zowel S als in T. Er bestaat dan ook vrije vectoren v en w zodat p + v = r = q + w. 9. r is dus een element van p + V en bijgevolg zijn S en T gelijk. 10 Stelling 1.26. Zij S en T zwak parallelle affiene deelruimten van A n (S T ), dan is S ofwel een deel van T, ofwel is de doorsnede van S en T leeg. Bewijs. Kies twee willekeurige zwak parallelle affiene deelruimten S = p + V en T = q + W van A n (S T ) Stel dat de doorsnede S T niet leeg is, dan bestaat er een punt r in zowel S als in T. Er geldt nu zowel S = r + V als T = r + W. Omdat S zwak parallel is met T geldt V W 11 en bijgevolg nu ook S T Stelling 1.27. Zij S een affiene deelruimte van A n. Als q A n geldt, dan bestaat er een unieke deelruimte T van A n door q, parallel met S. Bewijs. Kies een willekeurige affiene deelruimte S = p + V van A n. Er bestaat een deelruimte T die aan bovenstaande beschrijving voldoet: T = q + V Deze deelruimte is uniek omdat de richting van deze deelruimte gelijk moet zijn aan V opdat ze parallel zou zijn met S en het aangrijpingspunt gelijk moet zijn aan q opdat ze door q zou gaan. Stelling 1.28. Zij S = p +V en T = q +W twee affiene deelruimten van A n. De doorsnede U = S T van S en T is ofwel leeg, ofwel ook een affiene deelruimte van A n met richting V W. Bewijs. Zij S = p + V en T = q +W twee willekeurige affiene deelruimten van A n. Zij U = S T de doorsnede van S en T. Stel dat de doorsnede U niet leeg is, dan bestaat er een punt r U. Nu geldt zowel S = r + V als T = r + W. Kies nu nog een punt x U in de doorsnede van S en T. x U v V, w W : x = r + v x = r + w v V, w W : x = r + v v = w v V W : x = r + v 9 Zie de definitie van affiene deelruimten. (Definitie 1.14) 10 Zie lemma 1.18. 11 Zie de definitie van zwak parallel (Definitie 1.22).

HOOFDSTUK 1. AFFIENE MEETKUNDE 10 Stelling 1.29. Zij S = p + V en T = q + W twee affiene deelruimten van A n. S T pq V + W Bewijs. Kies S = p + V en T = q + W twee willekeurige affiene deelruimten van een affiene ruimte A n. S T v V, w W : p + v = q + w v V, w W : p q = w v q p V + W Gevolg 1.30. Zij S = p +V en T = q +W twee affiene deelruimten van A n zodat V +W = R n geldt, dan is hun doorsnede niet leeg. EXTRA: bewijs Definitie 1.31. Zij S = p +V en T = p +W twee affiene deelruimten van A n door een gemeenschappelijk punt p, dan definieren we de som van affiene deelruimten als volgt: S + T = p + (V + W ) Merk op dat er in deze gelijkheid drie verschillende optellingen gebruikt worden die met hetzelfde symbool genoteerd worden. De eerste + is de som van twee affiene deelruimten, de tweede is de som van een punt met een vectorruimte en de derde is de som van twee vectorruimten. Stelling 1.32. De dimensiestelling. 12 Zij S = p + V en T = p + W twee affiene deelruimten van A n door een gemeenschappelijk punt p, dan geldt het volgende over de dimensies ervan: dims + dimt = dim(s T ) + dim(s + T ) Bewijs. Kies S = p + V en T = p + W twee willekeurige affiene deelruimten van een affiene ruimte A n door een gemeenschappelijk punt p. Blik terug op de dimensiestelling uit de lineaire algebra: dimv + dimw = dim(v W ) + dim(v + W ) Omdat S ent tenminste één punt gemeenschappelijk hebben geldt S T = p + (V W ). 13 Bovendien geldt S + T = p + (V + W ). 14 dim(s T ) + dim(s + T ) = dim(p + (V W )) + dim(p + (V + W )) = dim(v W ) + dim(v + W ) = dimv + dimw = dim(p + V ) + dim(p + W ) = dims + dimt Stelling 1.33. Zij S en T affiene deelruimten van A n. Er bestaat er een deelruimte T van T zodat S parallel is met T als en slechts als S zwak parallel is met T. 12 Één van de favoriete vragen om te bewijzen bij lineaire algebra. 13 Zie stelling 1.28. 14 Zie de definitie van de som van twee deelruimten (Definitie 1.31).

HOOFDSTUK 1. AFFIENE MEETKUNDE 11 Bewijs. Kies twee willekeurige affiene deelruimten S = p + V en T = q + W van A n. Als er een deelruimte T bestaat van T zodat S parallel is met T, dan heeft T als aangrijpingspunt q en richting V. Omdat T een deelruimte is van T, is V een deelruimte van W. Dat betekent precies dat S zwak parallel is met T. S T Als S zwak parallel is met T, geldt per definite dat V een deelruimte is vanw. Beschouw nu de affiene ruimte T met aangrijpingspunt q en richting V. Deze affiene deelruimte is een affiene deelruimte van T en S is parallel met T. 1.3 Parametervergelijkingen Definitie 1.34. Zij p + V A n een affiene deelruimte en {v 1,...,v k } een basis van V. Een willekeurig punt x A n behoort tot p + V als en slechts als er λ 1,..., λ k B bestaan zodat het volgende geldt: a x = p + λ 1 v 1 + + λ k v k We noemen deze vergelijking de parametervergelijkingen van p + V. a Zie lemma 1.18 op pagina 6. p + V x 1 = p 1 + λ 1 v 11 + + λ k v k1.. x n = p n + λ 1 v 1n + + λ k v kn Definitie 1.35. Zij p + V A n een affiene deelruimte en {v 1,...,v k } een basis van V. We kunnen nu de oplossingen van de parametervergelijkingen q = (λ 1,..., λ k ) beschouwen as een een punt van een k-dimensionale affiene ruimte. We noemen deze ruimte de coordinaatruimte van p + V. Stelling 1.36. Elke affiene deelruimte p + V A n is de oplossingsruimte van een lineair stelsel. Bewijs. Zijn p A n, p + V A n een affiene deelruimte door p en {v 1,...,v k } een basis van V. De parametervergelijkingen van p + V zijn nu gegeven door de volgende gelijkheid: Dit komt neer op volgend stelsel: p + V x = p + λ 1 v 1 + + λ k v k x 1 p 1 = λ 1 v 11 + + λ k v k1.. x n p n = λ 1 v 1n + + λ k v kn

HOOFDSTUK 1. AFFIENE MEETKUNDE 12 Dit is een niet-homogeen lineair stelsel in de onbekenden λ 1,..., λ k. Het punt x behoort tot p +V als en slechts als er getallen λ 1,..., λ k bestaan zodat het stelsel geldt, of meer specifiek, als het stelsel oplosbaar is. De matrix van het stelsel ziet er als volgt uit: v 11... v k1..... v 1n... v kn De uitgebreide matrix ziet er dan als volgt uit. v 11... v k1 x 1 p 1...... v 1n... v kn x n p n Het stelsel heeft nu oplossingen als en slechts als de rang van de matrix dezelfde is als de rang van de uitgebreide matrix. De matrix heeft rang k, want de kolommen (een basis) zijn onderling lineair onafhankelijk. Merk op dat de uitgebreide matrix ((k+1) n) als dimensies heeft, met k n. Opdat de rang van de uitgebreide matrix k zou zijn, moet de determinant van elke ((k +1) (k +1))-deelmatrix nul zijn. (anders had de uitgebreide matrix immers rang k + 1.) Er zijn nu n k voorwaarden opdat alle ((k + 1) (k + 1))-deelmatrices determinant nul hebben: x 1 p 1... x k p k x k+j p k+j v voor j = 1,..., n k : x p + V 11... v 1k v 1k+j.... = 0.. v k1... v kk v kk+j We kunnen deze determinanten allemaal ontwikkelen naar de eerste rij. We krijgen dan de n k carthesische vergelijkingen van p + V. p + V a 1,1 (x 1 p 1 ) + + a 1,k (x k p k ) + a 1,k+1 (x k+1 p k+1 ) = 0 a 2,1 (x 1 p 1 ) + + a 2,k (x k p k ) + a 2,k+2 (x k+2 p k+2 ) = 0..... a n+k,1 (x 1 p 1 ) + + a n k,k (x k p k ) + a n k,n (x n p n ) = 0 Deze vergelijkingen zijn bovendien lineair onafhankelijk. Tenslotte kennen we dan ook een stelsel voor V. a 1,1 x 1 + + a 1,k x k + a 1,k+1 x k+1 = 0 a V 2,1 x 1 + + a 2,k x k + a 2,k+2 x k+2 = 0..... a n+k,1 x 1 + + a n k,k x k + a n k,n x n = 0 Elke k-dimensionale affiene deelruimte is dus de oplossingsverzameling van een lineair stelsel van n k lineaire vergelijkingen. 1.4 Affiene hypervlakken Stelling 1.37. We hebben slechts één vergelijking nodig op een hypervlak te beschrijven. Bewijs. Inderdaad, er is maar één ((k + 1) (k + 1))-dimensionale deelmatrix van de uitgebreide matrix die p + V bepaalt: x 1 p 1 x 2 p 2... x n p n v H 1,1 v 1,2... v 1,n..... = 0. v n 1,1 v n 1,2... v n 1,n

HOOFDSTUK 1. AFFIENE MEETKUNDE 13 De vergelijking van H is dan van de volgende vorm: a 1 (x 1 p 1 ) + a 2 (x 2 p 2 ) + + a n (x n p n ) = 0 Het n-tal (a 1,..., a n ) is bovendien uniek bepaald, op de evenredigheidsfactor na, en wordt het richtingsgetal van H genoemd. Stelling 1.38. Twee hypervlakken zijn parallel als en slechts als hun richtingsgetallen evenredig zijn. Bewijs. Zij H een hypervlak met de volgende vergelijking: a 1 (x 1 p 1 ) + a 2 (x 2 p 2 ) + + a n (x n p n ) = 0 De richting van het hypervlak is de oplossingsverzameling van de volgende vergelijking: a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n = 0 Parallelle hypervlakken hebben dezelfde richting 15, dus hun richtingsgetallen moeten evenredig zijn. 1.5 Rechten in A n Definitie 1.39. Zijn p een punt van A n, en v R n een niet-nulvector, dan is L de rechte door p in de richting van < v >. L = p+ < v > Deze rechte heeft de volgende vergelijking als parametervergelijking. In coördinaten: L x = p + λv L i : x i = p i + λv i Stel nu dat v 1 niet nul is, dan geldt λ = x 1 p 1 v 1 en zijn dit dus de carthesische vergelijkingen van L: v 1 (x i p i ) = v i (x 1 p 1 ) Stelling 1.40. De rechte L = pq door twee punten p en q is precies p+ < pq >. De carthesische vergelijkingen van pq zijn dan de volgenden: (q 1 p 1 )(x i p i ) = (q i p i )(x 1 p 1 ) EXTRA: bewijs CLARIFY: ook parametervgl? Stelling 1.41. Door twee punten p en q van een affiene ruimte A n gaat een unieke rechte. 15 Zie definitie 1.21.

HOOFDSTUK 1. AFFIENE MEETKUNDE 14 Bewijs. Er gaat een rechte door p en q met p als aangrijpingspunt en de vectorruimte met pq als basis als richting. Deze rechte is bovendien uniek. De vergelijking zijn immers eigenlijk n eerstegraadsvergelijkingen. p en q zijn verschillend bovendien, dus elk van die eerstegraadsvergelijkingen hebben 1 oplossing. Definitie 1.42. De barycentrische coördinaten van een punt x ten opzichte van twee punten p en q zijn de λ 1 en λ 2 die aan volgende gelijkheid voldoen. x = λ 1 p + λ 2 q met λ 1 + λ 2 = 1 Definitie 1.43. Het barycentrum of het midden van twee punten is het punt met als barycentrische coördinaten ( 1 2, 1 2 ). Stelling 1.44. Zij L de rechte bepaald door twee punten p en q in A n. Voor elke punt x van de rechte L geldt dat x kan geschreven worden als een affiene combinatie is van p en q. x L λ 1, λ 2 R : x = λ 1 p + λ 2 q met λ 1 + λ 2 = 1 Bewijs. Als x op de rechte L ligt, dan bestaat er een λ zodat het volgende geldt: 16 x = p + λ(p q) = (1 λ)p + λq Kies nu λ 1 = 1 λ en λ 2 = λ. λ 1 + λ 2 = (1 λ) + λ = 1 Als x = λ 1 p + λ 2 q geldt met λ 1 + λ 2 = 1, kunnen we λ 1 in functie van λ 2 schrijven. x = (1 λ 2 )p + λ 2 q = p + λ(q p) Dit komt overeen met de parametervergelijking van L, dus x ligt op L. Definitie 1.45. Drie unten p, q en r van A n zijn colineair als ze op dezelfde rechte liggen. Stelling 1.46. Er bestaan drie niet-colineaire punten p, q en r in een affien vlak V. TODO: bewijs Definitie 1.47. De deelverhouding van drie colineaire punten p, q en r is een getal genoteerd als (p, q, r ) dat voldoet aan volgende gelijkheid. pr = (p,q, r ) pq 16 Zie definitie 1.39.

HOOFDSTUK 1. AFFIENE MEETKUNDE 15 We gebruiken ook wel de volgende notatie: (p,q, r ) = pr pq = r p q p = p r p q Dit zogenaamde delen door vectoren is enkel gedefinieerd voor colineaire punten. Stelling 1.48. Stelling van Thales Zij H 1, H 2 en H 3 drie parallelle hypervlakken van A n Zij L een rechte, niet zwak parallel met H 1. H 1 = p 1 + V H 2 = p 2 + V H 3 = p 3 + V L = p + W met W V Zij d i de doorsnede van p met H i. De deelverhouding (d 1,d 2,d 3 ) hangt niet af van L, enkel van de H i. Bewijs. De doorsneden van L met de H i zijn niet leeg. 17 L H i Uit de dimensiestelling 18 volgt dat de doorsneden L H i punten zijn, dus het is zinvol om van d i te spreken. diml + dimh i = dim(l H i ) + dim(l + H i ) 2 + (n 1) = dim(l H i ) + n 1 = dim(l H i ) We beschouwen nu twee willekeurige rechten L en L en bewijzen dat (d 1,d 2,d 3 ) gelijk is aan (d 1,d 2,d 3 ). d i = L H i De H i zijn parallel dus hun richtingsgetallen zijn gelijk. 19 De H i hebben dus de volgende carthesische vergelijkingen. 20 n Hi a j (x j (d i ) j ) = 0 j=1 De punten d i zitten respectievelijk in H i, dus die voldoen ook aan bovenstaande vergelijkingen voor x. n a j ((d i ) j (d i ) j ) = 0 j=1 n a j (d i ) j = j=1 n a j (d i ) j Noem nu de deelverhoudingen (d 1,d 2,d 3 ) en (d 1,d 2,d 3 ) respectievelijk λ en λ, dan gelden volgende gelijkheden.; 17 Zie gevolg 1.30. 18 Zie stelling 1.32. 19 Zie stelling 1.38. 20 Zie stelling 1.37. j=1 λ = d 3 d 1 d 2 d 1 en λ = d 3 d 1 d 2 d 1

HOOFDSTUK 1. AFFIENE MEETKUNDE 16 We gebruiken dit nu om λ 1 = λ 2 te bewijzen. d 3 d 1 = λd 2 d 1 en d 3 d 1 = λ d 2 d 1 0 = 0 0 = n j=1 a j ((d 3 ) j (d 3 ) j ) n j=1 a j ((d 1 ) j (d 1 ) j ) = n j=1 a j (((d 3 ) j (d 3 ) j ) ((d 1 ) j (d 1 ) j )) = n j=1 a j ((d 3 d 1 ) j (d 3 d 1 ) j ) = n j=1 a j (λ (d 2 d 1 ) j λ(d 2 d 1 ) j ) = λ n j=1 a j (d 2 d 1 ) j λ n j=1 a j (d 2 d 1 ) j = λ n j=1 a j (d 2 d 1 ) j λ n j=1 a j (d 2 d 1 ) j = (λ λ) n j=1 a j (d 2 d 1 ) j L is niet zwak parallel met H i en snijdt (L H i ) ligt d 2 niet in H 1. Bijgevolg geldt de volgende gelijkheid. n a j (d 2 d 1 ) j 0 λ moet dus gelijk zijn aan λ. j=1 EXTRA: illustratie voor stelling van thales? 1.6 Barycentrische coördinaten Definitie 1.49. We noemen k + 1 punten van een affiene ruimte A n affien afhankelijk als en slechts als ze in een l-dimensionale affiene deelruimte van A n liggen met een dimensie strikt kleiner dan k. Stelling 1.50. Criterium voor affiene afhankelijkheid De k + 1 punten p 0,...,p k van een n-dimensionale affiene ruimte A n zijn affien afhankelijk als en slechts als de vrije vectoren p 0 p i met i {1,..., k} lineair afhankelijk zijn. Bewijs. Zij V de vectorruimte opgespannen door de vrije vectoren p 0 p i, dan liggen de k + 1 punten p 0,...,p k allemaal in p 0 + V. V =< p0 p 1,..., p0 p k > i : p i p 0 + V Nu geldt dat de dimensie van p 0 + V kleiner of gelijk is aan k als en slechts als er slechts als de vrije vectoren lineair afhankelijk zijn. Als de punten p 0,...,p k affien onafhankelijk zijn dan is de dimensie van de affiene deelruimte waarin ze zich bevinden van dimensie groter of gelijk aan k. 21 De vrije vectoren p0 p 1,..., p0 p k zijn dan zeker lineair onafhankelijk. Het zijn immers k vectoren die een k dimensionale ruimte opspannen. 21 Zie definitie 1.49.

HOOFDSTUK 1. AFFIENE MEETKUNDE 17 Stel dat de vrije vectoren p0 p 1,..., p0 p k lineair onafhankelijk zijn, dan is de dimensie van V gelijk aan k. Als dan S = p 0 +W een affiene deelruimte is van dimensiel zodat alle punterp i erin liggen, dan liggen alle vrije vectoren p0 p 1,..., p0 p k ook isw. V moet dan een deelverzameling zijn van W. Bijgevolg is de dimensie van W groter of gelijk aan die van V. dimw dimv = k De punten kunnen dus nooit in een affiene deelruimte liggen met een dimensie die strikt kleiner is dan k. Ze zijn dus affien onafhankelijk. Gevolg 1.51. k + 1 affien onafhankelijke punten p 0,...,p k van A n bepalen een k-dimensionale affiene deelruimte D van A n. D = p 0 + < p0 p 1,..., p0 p k > We noemen dit de affiene deelruimte bepaald door de punten p 0,...,p k. TODO: bewijs Definitie 1.52. De barycentrische coördinaten van een punt x ten opzichte van k +1 punten p 0,...,p k zijn de λ 0,..., λ k R die aan volgende gelijkheid voldoen. x = k λ i k i p i i=0 met n λ i = 1 i=0 Definitie 1.53. Het barycentrum of het midden van k + 1 punten is het punt met als barycentrische coördinaten ( 1 k+1,..., 1 k+1 ). Stelling 1.54. Zij S de affiene deelruimte van A n bepaald door de affien onafhankelijk. punten p 0,...,p k en zij x nog een punt in A n. x zit in S als en slechts als er λ 0,..., λ k R bestaan zodat volgende gelijkheid geldt: k n x = λk i met λ i = 1 i=0 Bewijs. Een punt x ligt in S als en slechts als er µ i bestaan zodat de volgende gelijkheid geldt. Kies tenslotte de λ i als volgt: x = p 0 + i=0 n µ i (p i p 0 ) = 1 i=1 De som van de λ i is nu wel degelijk 1. n i=1 λ 0 = n µ i 1 i=1 λ i = µ i als i 0 µ i p 0 + n p i i=1

HOOFDSTUK 1. AFFIENE MEETKUNDE 18 Definitie 1.55. De parametervergelijkingen van de affiene deelruimte S van A n bepaald door k + 1 affien onafhankelijke punten p 0,...,p k wordt gegeven door volgende gelijkheid. S x = p 0 + n µ i (p i p 0 ) i=1

Hoofdstuk 2 Affiene Transformaties Definitie 2.1. Een afbeelding F noemen we een affiene transformatie als er een reguliere n n matrix A en een punt b bestaat zodat we F als volgt definieren: F : A n A n : p F (p) = Ap + b met det (A) 0 A noemen we het lineair deel van F en b het translatiedeel. Definitie 2.2. Zij F een affiene transformatie met lineair deel A = I n, dan noemen we F een translatie in de richting van b. F : A n A n : p F (p) = p + b EXTRA: translaties commuteren Definitie 2.3. Zij F een affiene transformatie als volgt, dan noemen we F een homothetie H p0,r met centrum p 0 en factor r. F : A n A n : p F (p) = p 0 + r ( p0 p) = rp + (1 r )p 0 EXTRA: homothetieen commuteren Stelling 2.4. Een affiene transformatie F : A n A n : p F (p) = Ap + b kan steeds ontbonden worden in een translatie t b en een lineaire transformatie A. De ontbinding is bovendien uniek. F = t b A Bewijs. Stel dat deze ontbinding niet uniek was, dan bestonden er t b, A, t d,c zodat F = t b A = t d C geldt. t b en t d zijn dan beide gelijk want F (0) = b = d geldt. Er moet dan ook voor alle p A n gelden dat Ap + b gelijk is aan Cp + b, dus A moet gelijk zijn aan C. Stelling 2.5. Elke affiene transformatie is een bijectie. 19

HOOFDSTUK 2. AFFIENE TRANSFORMATIES 20 Bewijs. Elke translatie is bijectief en heeft als inverse (t b ) 1 = t b. Elke affiene transformatie is de samenstelling van inverteerbare lineaire transformatie en een translatie: F = t b A Zowel t b als A zijn inverteerbaar, dus F is ook inverteerbaar. Definitie 2.6. Zij F = t b A een affiene transformatie en p A n een punt, dan definieren we de afgeleide afbeelding (F ) p in het punt p als de volgende lineaire afbeelding: (F ) p : T p A n T F (p) A n : v p (F ) p (v p ) = (Av) F (p) We definieren ook de afgeleide afbeelding F v op vrije vectoren: F : V V : v F (v) = Av Stelling 2.7. Zij F = t b A een affiene transformatie en p,q A n twee punten, dan geldt het volgende: F (p)f (q) = F ( pq) Bewijs. F (p)f (q) = F (q) F (p) = (Aq + b) (Ap + b) = Aq Ap = A(q p) = F ( pq) Stelling 2.8. De samenstelling F G van twee affiene transformaties F en G is opnieuw een affiene transformatie. Bovendien geldt (F G) = F G. Bewijs. Zij F = t b A en G = t d C twee affiene transformaties. (F G)(p) = F (Cp + d) = A(Cp + d) + b = ACp + Ad + b F G is dus een affiene transformatie met lineair deel AC en translatiedeel Ad + b. Tenslotte geldt dan ook het volgende: (F G) = AC = F G Stelling 2.9. De inverse F 1 van een affiene transformatie F is opnieuw een affiene transformatie. Bovendien geldt (F 1 ) = (F ) 1. Bewijs. Zij F = t b A een affiene transformatie. Zij H de affiene transformatie met lineair deel A 1 en translatiedeel A 1 b. H is nu de inverse van F. Kies namelijk een willekeurig punt p A n, dan geldt het volgende: (F H )(p) = F (A 1 p A 1 b) = (A 1 p A 1 b)a + b = A 1 pa A 1 ba + b = A 1 Ap A 1 Ab + b = p b + b = p

HOOFDSTUK 2. AFFIENE TRANSFORMATIES 21 Bovendien geldt ook het volgende: (F 1 ) = H = A 1 Stelling 2.10. De verzameling van affiene transformaties A(n, R) van n-dimensionale affiene ruimte, uitgerust met de samenstelling, vormt een groep. Bewijs. We bewijzen elke eigenschap van een groep. De bewerking is intern. Inderdaad. 1 De bewerking is associatief. Inderdaad, de samenstelling van affiene transformaties is associatief. Zij immers i, j en k drie affiene transformaties, respectievelijk van de vorm A i p + b i, A j p + b j, en A k p + b k i (j k) = A i (A j (A k p + b k ) + b j ) + b i = (i j) k Er bestaat een neutraal element. Beschouw de affiene transformatie F = I n + 0. Nu geldt voor elke affiene transformatie G het volgende: F G = G = G F Er bestaat voor elk element een invers element. 2. Definitie 2.11. De groep A(n, R), noemen we de affiene groep in dimensie n. Stelling 2.12. Zij p en q twee punten van A n en zijn {v 1,...,v n } een basis van T p A n en {w 1,...,w n } een basis van T q A n, dan bestaat er een unieke affiene transformatie F van A n zodat het volgende geldt: F (p) = q F v i = w i voor i {1,..., n} Bewijs. We bewijzen eerst de uniciteit en vervolgens het bestaan. Als er zo een unieke transformatie bestaat, is deze uniek. Stel dat er een transformatie F = t b A bestaat die aan de voorwaarden voldoet. Nu is Fv i gelijk aan Av i. Omdat elke lineaire transformatie uniek bepaal is door het beeld van een basis, is A uniek bepaald. Vervolgens moet er een b bestaan zodat de volgende gelijkheid geldt: q = F (p) = Ap + b Die b is dan gelijk aan q Ap. Omdat A uniek is is b ook uniek. 1 Zie stelling 2.8 op pagina 20. 2 Zie stelling 2.9 op pagina 20.

HOOFDSTUK 2. AFFIENE TRANSFORMATIES 22 Het bestaan is nu eveneen aangetoond. Kies namelijk A de unieke lineaire transformatie zodat Av i = w i geldt. Met andere woorden zodat de basis V afgebeeldt wordt op W. Kies vervolgens b zodat b = q Ap geldt, dan voldoet F aan de voorwaarden. Nog explicieter construeren we A als volgt: Zet de vectoren v i in de kolommen van een matrix V. Doe hetzelfde met de vectoren w i en de matrix W. Nu ziet A er als volgt uit: A = WV 1 Gevolg 2.13. Zij p en q twee punten van A n en zijv = {v 1,...,v k } lineair onafhankelijke vectoren in T p A n enw = {w 1,...,w k } lineair onafhankelijke vectoren int q A n die aan de volgende voorwaarden voldoet. Er bestaat dan een (niet noodzakelijk unieke) affiene transformatie F van A n. F (p) = q F v i = w i voor i {1,..., n} Bewijs. Omdat T p A n en T q A n n dimensies hebben, kan zowel V als W uitgebreid worden tot een basis van T p A n, respectievelijk T q A n. Zij α en β die basissen. Nu bestaat er dus een unieke affiene transformatie voor de specifieke α en β die aan de voorwaarden voldoet, 3 Merk op dat de α en β niet uniek zijn. Gevolg 2.14. 4 Zij {p 0,...,p k } en {q 0,...,q k } twee verzamelingen van k + 1 affien onafhankelijke punten in A n, dan bestaat er een affiene transformatie F van A n zodat F (p i ) = q i voor i {1,..., k}. Bovendien is F uniek als k = n. Bewijs. Beschouw de verzamelingen V = { p0 p 1,..., p0 p k } enw = { q0 q 1,..., q0 q k }. V enw bevatten nu elk k lineair onafhankelijke vectoren. 5 Er bestaat nu dus een affiene transformatie F die voldoet aan deze voorwaanden: F (p 0 ) = q 0 F ( p 0 p i ) = q 0 q i voor i {1,..., n} Bekijk nu F (p i ). F (p i ) = F (p 0 ) + F (p 0 )F (p i ) = F (p 0 ) + F ( p 0 p i ) = q 0 + q 0 q i Diezelfde affiene transformatie is dus de affiene transformatie die p i op q i afbeeldt. Als k gelijk is aan n is deze transformatie bovendien uniek. 6 = q i 2.1 Affiene invarianten 3 Zie stelling?? op pagina??. 4 Zie gevolg?? op pagina??. 5 Zie stelling??. 6 Zie stelling??.

HOOFDSTUK 2. AFFIENE TRANSFORMATIES 23 Definitie 2.15. We noemen een begrip of eigenschap affien invariant als ze bewaard blijft onder affiene transformaties. Stelling 2.16. Een affiene transformatie is affien invariant. Zij F = t b A een affiene transformatie. Zij S = p + V een affiene deelruimte van A n met dimensie k, dan is F (S) ook een affiene deelruimte van A n met dimensie k. Sterker nog: F (S) = F (p) + F (V ) Bewijs. Kies een willekeurig punt q = p + v van S: F (s) = A(p + v) + b = Ap + b + Av = F (p) + F (v) Stelling 2.17. De onderlinge ligging van affiene deelruimten is affien invariant. Zij F = t b A een affiene transformatie. Zij S = p + V en T = q + W twee affiene deelruimten, dan is de onderlinge ligging van F (S) = F (p) + F (V ) en F (T ) = F (q) + F (W ) gelijk aan de onderlinge ligging van S en T. Bewijs. We maken een gevalsonderscheid voor de verschillende mogelijkheden van onderlinge ligging. Stel dat S en T parallel zijn: Stel dat S en T zwak parallel zijn: S T V = W F (V ) = F (W ) F (S) F (T ) S T V W F (V ) F (W ) F (S) F (T ) Stel dat S en T snijden, dan bestaat er een punt x in de doorsnede van S en T. Er bestaan dus een v V en een w W zodat het volgende geldt: p + v = x = q + w F (p + v) = F (x) = F (q + w) F (p) + F (v) = F (x) = F (q) + F (w) Stel dat S en T kruisen, dan bestaat er geen punt x in de doorsnede, en zijn S en T niet zwak parallel. Omdat S en T niet parallel of zwak parallel zijn, zijn F (S) en F (T ) niet parallel, noch zwak parallel. Stel nu dat er een punt x in de doorsnede van F (S) en F (T ) zit zodat F (S) en F (T ) snijden, dan sneden S en T. Contradictie. Stelling 2.18. De affiene onafhankelijkheid is affien invariant. Zij F = t b A een affiene transformatie. p 0,...,p k A n zijn affien onfhankelijk als en slechs als F (p 0 ),..., F (p k ) A n affien onafhankelijk zijn.

HOOFDSTUK 2. AFFIENE TRANSFORMATIES 24 Bewijs. Deze stelling is equivalent met de volgende: p 0,...,p k A n zijn affien afhankelijk als en slechs als F (p 0 ),..., F (p k ) A n affien afhankelijk zijn. Kies dus k + 1 affien afhankelijke punten p 0,...,p k van A n. Dit betekent dat de vectoren p 0 p i lineair onafhankelijk zijn. 7 De affiene transformatie F gedraagt zich voor vectoren als een lineaire transformatie. Lineaire transformaties zijn lineair 8 en behouden bijgevolg lineaire afhankelijkheid. De vectoren F (p 0 p i ) zijn dus ook lineair afhankelijk. Dit houdt precies in dat de punten F (p 0 ),..., F (p k ) affien onafhankelijk zijn. Stelling 2.19. De colineariteit en deelverhouding van drie punten is affien invariant. Zij p, q en r colineaire punten van A n en F een affiene transformatie. Bewijs. (p,q, r ) = (F (p), F (q), F (r )) pr = λ pq Stel dat (p,q, r ) = λ geldt. Pas nu F toe op p, q en r. F (p)f (r ) = F ( pq) = F (λpq) = λ F (p)f (q) Stelling 2.20. Zij F : A n A n met n 2 een bijectie die collineaire punten afbeeldt op colineaire punten, dan is F een affiene transformatie. Geen bewijs EXTRA: Toch eens een bewijs proberen? Stelling 2.21. De barycentrische coordinaten zijn affien invariant Gegeven zijn k + 1 affien onafhankelijke punten p i van A n en een punt p in de affiene deelruimte bepaald door deze punten. Dde barycentrische coördinaten van p ten opzichte van de punten p i zijn invariant onder affiene transformaties. n F : F (p) = λ i F (p i ) Bewijs. Gegeven is het volgende: 9 i=0 k p = λ i p i met i=0 Kies nu een willekeurige affiene transformatie F: k λ i = 1 i=0 F : p Ap + b F (p) = A k i=0 λ i p i + b = k i=0 λ i Ap i + b = k i=0 λ i (Ap i + b) Merk op dat die laatste stap alleen maar geldt als de λ i sommeren tot 1. Opmerking 2.22. Dit is net het punt van affiene meetkunde. Ha,.. Ha,.. Get it? 7 Zie stelling 1.50. 8 duh! 9 Zie definitie??.

HOOFDSTUK 2. AFFIENE TRANSFORMATIES 25 2.2 Dilataties Definitie 2.23. Een affiene transformatie F van A n wordt een dilatatie genoemd als en slechts als er een λ R 0 bestaat zodat het volgende geldt. F = λi F : p λip + b Stelling 2.24. De samenstelling van twee dilataties F en G is een dilatatie. Bewijs. Zij F = λi en G = µi twee dilataties. (G F ) = µi λi = (µλ)i Noem µλ nu ν, dan zien we dat G F een dilatatie is. Definitie 2.25. De verzameling van dilataties van een affiene ruimte A n wordt genoteerd als Dil (A n ). Stelling 2.26. De verzameling van dilataties vormt een deelgroep van de verzameling affiene transformaties met de samenstelling als bewerking. Bewijs. We bewijzen elk deel van het criterium van een deelgroep. Het neutraal element van A(n, R): e A(n,R) : p Ip + 0 is een dilatatie. De samenstelling van twee dilataties is een dilatatie. 10 De inverse van een dilatatie is een dilatatie. Kies een dilatatie F = λi. De inverse affiene transformatie G van F is ook een dilatatie: G = 1 λ I Stelling 2.27. Een affiene transformatie F van A n is een dilatatie als en slechts als F ofwel een translatie is, ofwel een homothetie. Bewijs. Bewijs van een equivalentie Zij F een dilatatie, dan is F gegeven als volgt: F : p λp + b Als λ 1 is, is F een translatie. Als λ niet gelijk is aan 1, kies dan het punt p 0 = 1 1 λb. F is dan een homothetie: H p0,λ 10 Zie stelling 2.24. p A n : F (p) = λp + b = λp + (1 λ)p 0 = p 0 + λ p0 p = H p0,λ

HOOFDSTUK 2. AFFIENE TRANSFORMATIES 26 Zij F een translatie F : p p + b, dan is F een dilatatie met λ = 1. Zij F een homothetie F = H p0,r, dan is F een dilatatie met λ = r. Stelling 2.28. De afbeelding van een affiene deelruimte G van A n onder een dilatatie is een deelruimte H die parallel is met G. Stelling 2.29. Zij G = p + V een deelruimte van A n en F : p λp + b een dilatatie. De afbeelding H van G onder F is ook een deelruimte van A n. 11 Voor elk willekeurig punt x van д bestaat er een v V zodat x = p + v geldt. F (x) = λ(p + v) + b = (b + λp) + λv G Elke afbeelding van een punt x = p + v heeft dus een vrije vector λv die lineair afhankelijk is van v en dus ook in V zit. Omdat F een bijectie is, moet F (V ) = V gelden en is H dus parallel met G. H G Stelling 2.30. Een affiene transformatie F die elke affiene deelruimte G van A n afbeeldt op een parallelle affiene deelruimte is een dilatatie. Bewijs. Zij p A n een punt en {v 1,...,v n } een basis van T p A n. Er is gegeven dat elke affiene deelruimte van A n op een parallelle affiene deelruimte wordt afgebeeldt, dus de richting W van elke affiene deelruimte wordt op zichzelf afgebeelt. F (W ) = W We bewijzen nu dat F een diagonaalmatrix λi is in twee stappen: F is een diagonaalmatrix. Kies een richtingw =< v i >, dan geldt het volgende omdat het beeld vanv i lineair afhankelijk moet zijn opdat W op zichzelf afgebeeldt zou worden. F v i = λ i v i λ i mag hier niet nul zijn. Dit kunnen we voor elke vector uit de basis doen. We bekomen dan dat F ten opzichte van die basis een diagonaalmatrix is (ten opzichte van die basis). F = λ 1... λ n De elementen van de diagonaalmatrix F op de diagonaal zijn allemaal gelijk. Kies nu W =< n i=1 v i > Er bestaat dan een λ R zodat ook die vector op een veelvoud op zichzelf wordt afgebeeld: n n F v i = λ v i i=0 i=0 Omdat F een affiene transformatie is geldt echter ook het volgende: n n n F v i = F (v i ) = λ i v i i=0 i=0 i=0 Omdat {v 1,...,v n } een basis is, moet λ dus wel gelijk zijn aan elke λ i. 11 Zie stelling 2.16.

HOOFDSTUK 2. AFFIENE TRANSFORMATIES 27 Lemma 2.31. Zij F = t b een translatie en p, q twee verschillende punten op een rechte L in A n die niet in de richting van b ligt. Noem nu p = F (p) en q = F (q) en noem L de rechte door p parallel met L. Noem bovendien T de rechte door p en p en T de rechte door q parallel met T. Nu snijden L en T enkel in q. L T = {q} Bewijs. p ligt op F (L) en F (L) is evenwijdig met L. F (L) is dus de rechte door p evenwijdig met L. Omdat q op L ligt, ligt ook q op F (L), Omdat T is de richting van b ligt en T parallel is met T, ligt ook T in de richting van b en dus is het beeld van T onder F zichzelf. Anderzijds ligt q op T en q dus ook. L is echter niet parallel met T, dus L T = {q } q q T L L p T p Figuur 2.1: Illustratie van lemma 2.31. F Lemma 2.32. Zij F = H p0,r een homothetie en p en q twee verschillende punten op een rechte L in A n. Noem nu p = F (p) en q = F (q) en noem L de rechte door p parallel met L. Noem bovendien T de rechte door p 0 en p, en T de rechte door p 0 en q. Nu snijden L en T enkel in q. L T = {q} q T q L L p 0 T p p Figuur 2.2: Illustratie van lemma 2.31. Bewijs. EXTRA: bewijs Eigenschap 2.33. Examenvraag! Dilataties behouden hoeken. EXTRA: bewijs

Hoofdstuk 3 Vlakke meetkunde 3.1 Ceva Definitie 3.1. Een aantal rechten L 1,..., L k noemen we concurrent als de doorsnede van al de rechten niet leeg is. L 1 L k Lemma 3.2. Zij L 1, L 2 en L 3 drie rechten in A 2 met de volgende vergelijkingen: L i a i1 x 1 + a i2 x 2 = a i3 De rechten zijn evenwijdig of concurrent als en slechts als de volgende determinant nul is: a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 = 0 a 31 a 32 a 33 Bewijs. De drie rechten L 1, L 2 en L 3 hebben een niet-lege doorsnede als en slechts als het volgende geldt: ranд a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 = ranд a 11 a 12 a 21 a 22 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 Bovendien zijn de rechten evenwijdig als en slechts als de richtingsgetallen (a 11 a 12 ) (a 21 a 22 ) en (a 31, a 32 ) evenredig zijn. ranд a 11 a 12 a 21 a 22 = 1 a 31 a 32 Als de drie rechten L 1, L 2 en L 3 evenwijdig of concurrent zijn, dan is de volgende rang gelijk aan 1 of aan 2. ranд a 11 a 12 a 21 a 22 a 31 a 32 De determinant is dus 0. a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 = 0 a 31 a 32 a 33 28

HOOFDSTUK 3. VLAKKE MEETKUNDE 29 Als de determinant 0 is, is de rang van deze matrix kleiner dan 3. ranд a 11 a 12 a 21 a 22 < 3 a 31 a 32 Er zijn dus twee mogelijkheden. Ofwel is de rang 2 en zijn de rechten concurrent, ofwel is de rang 1 en zijn de rechten evenwijdig. EXTRA: concurrentie is affien invariant Stelling 3.3. Stelling van Ceva Zij a, b en c drie affien onafhankelijke punten in A 2 en zij a een punt op de rechte bc, verschillend van b, b een punt op de rechte ac verschillend van c en c een punt op de rechte ab, verschillend van a. Noem nu A = aa, B = bb en C = cc. A, B en C zijn concurrent als en slechts als volgende gelijkheid geldt: (a,b,c)(b,c, a)(c, a,b) = 1 b c a a b c Figuur 3.1: Stelling van Ceva voor de transformatie Bewijs. Er bestaat een affiene transformatie die a op de oorsprong (0, 0) afbeeldt, b op (0, 1) en c op (1, 0). Omdat de ligging van de punten a, b, c ten opzichte van de rechten affien invariant is, alsook de deelverhoudingen, volstaat het om de stelling te bewijzen voor de getransformeerde punten. 1 Dan bestaan er dus een λ, µ en ν uit R tussen 0 en 1 zodat de punten a, b en c als volgt getransformeerd worden. a = (λ, 1 λ) b = (µ, 0) c = (0,ν) 1 Zie stelling 2.21 op pagina 24.

HOOFDSTUK 3. VLAKKE MEETKUNDE 30 b c a a b c Figuur 3.2: Stelling van Ceva na de transformatie Omdat we extra informatie hebben over de punten a, b en c, namelijk dat a niet gelijk is aan b, b niet gelijk is aan c en c niet gelijk is aan a weten we het volgende over λ, µ en ν. λ 0 µ 1 ν 0 De vergelijkingen van A, B en C zijn dan de volgende: A B C x 1 x 2 1 0 0 1 = 0 (1 λ)x 1 λx 2 = 0 λ 1 λ 1 x 1 x 2 1 0 1 1 = 0 x 1 µx 2 = µ µ 0 1 x 1 x 2 1 1 0 1 = 0 νx 1 x 2 = ν 0 ν 1 A, B en C zijn nu concurrent als en slechts als de volgende determinant 0 is. 2 We bekijken nu de deelverhoudingen: 2 Zie stelling 3.2. (1 λ) λ 0 1 µ µ = 0 (1 λ)µ(ν 1) + λ(µ 1)ν = 0 ν 1 ν (a a c,b,c) = a b (b b a,c, a) = b c (c c b, a,b) = c a = 1 λ, λ 1 λ, λ = µ, 0 1 µ, 0 = 0, 1 ν 0,ν = λ 1 λ = µ µ 1 = ν 1 ν

HOOFDSTUK 3. VLAKKE MEETKUNDE 31 Deze impliceren dezelfde voorwaarde: λ 1 λ µ ν 1 µ 1 ν Bijgevolg is de stelling bewezen. CLARIFY: waarom? = 1 (1 λ)µ(ν 1) + λ(µ 1)ν = 0 Opmerking 3.4. De voorwaarde dat a b, b c en c a gelden zorgen ervoor dat de deelverhoudingen goed gedefinieerd zijn. Stel bijvoobeeld dat a = b geldt (zoals in figuur 3.3), dan is λ nul en (a,b,c) = λ 1 λ bijgevolg niet gedefinieerd. Als de rechten toch evenwijdig of concurrent zijn, dan moet één van de andere twee deelverhoudingen nul zijn. CLARIFY: waarom? b a c b a c Figuur 3.3: Stelling van Ceva zonder de voorwaarden: a b, b c en c a 3.2 Menelaos Stelling 3.5. Stelling van Menelaos Zij a, b en c drie affien onafhankelijke punten in A 2 en zij a een punt op de rechte bc, verschillend van b, b een punt op de rechte ac, verschillend van b en c een punt op de rechte ab, verschillend van a. a, b en c zijn collineair als en slechts als het volgende geldt over de deelverhoudingen: (a,b,c)(b,c, a)(c, a,b) = 1 c b a a c Figuur 3.4: Stelling van Menelaos voor de transformatie b

HOOFDSTUK 3. VLAKKE MEETKUNDE 32 b c a a c b Figuur 3.5: Stelling van Menelaos na de transformatie TODO: bewijs 54 3.3 Pappus Stelling 3.6. Stelling van Pappus Zij L en L twee verschillende rechten in A 2. Zij x, y en z drie punten op L en x, y en z drie punten op L die allemaal niet tot de doorsnede van L en L behoren. ((xy x y) (yz y z)) xz x z Bewijs. Voor twee rechten zijn er precies twee mogelijkheden. 1. De rechten snijden: L L = {p} Zij H 1 de homothetie met centrum p die x op y afbeeldt en H 2 de homothetie met centrum p die y op z afbeeldt. H 1 beeldt dan y op x af en H 2 beeldt z op y af. 3 Merk nu op dat H 1 en H 2 verwisselbaar zijn. 4 H = H 1 H 2 = H 2 H 1 Nu beeldt H x op z af en z op x. Dit betekent precies dat xz en zx parallel zijn. y x z p y x z Figuur 3.6: Stelling van Pappus voor snijdende rechten 2. De rechten zijn evenwijdig: L L Zij T 1 de translatie die x afbeeldt op y en T 2 de translatie die y afbeeldt op z. T 1 beeldt dan y 3 Zie lemma 2.32 op pagina 27. 4 Zie stelling 2 op pagina 19.

HOOFDSTUK 3. VLAKKE MEETKUNDE 33 af op x en T 2 beeldt z af op y. 5 Merk nu op dat T 1 en T 2 verwisselbaar zijn. 6 T = T 1 T 2 = T 2 T 1 Nu beeldt T x op z af en z op x. Dit betekent precies dat xz en zx parallel zijn. y x z z x y Figuur 3.7: Stelling van Pappus voor evenwijdige rechten 3.4 Desargues Stelling 3.7. Stelling van Desargues Zij a, b en c drie affien onafhankelijke punten en a, b en c drie affien onafhankelijke punten, beide in A 2. ((ab a b ) (ac a c ) (bc b c )) aa,bb en cc zijn concurrent of parallel Bewijs. We mogen ervan uitgaan dat de rechten aa en bb verschillend zijn (anders kunnen we de punten gewoon hernoemen om hetzelfde te bekomen). Er zijn dan nog twee mogelijkheden. 1. aa en bb zijn evenwijdig: aa bb Zij T de translatie die a op a afbeeldt, dan zal T b op b afbeelden. 7 T zal echter ook bc op b c afbeelden en ac op a c. De doorsnede van b c en a c is dan c en bijgevolg wordt c op c afgebeeldt door T. Dit betekent precies dat cc en aa evenwijdig zijn. b b c c a a Figuur 3.8: Stelling van Desargues voor evenwijdige rechten 2. aa en bb snijden: aa bb = {p} Zij H de homothetie die a op a afbeeldt, dan zal H b op b afbeelden. 8 H zal echter ook bc op b c afbeelden en ac op a c. De doorsnede van b c en a c is dan c en bijgevolg wordt c op c afgebeeldt door T. Dit betekent precies dat aa, bb en cc concurrent zijn. 5 Zie lemma 2.31 op pagina 27. 6 Zie stelling 2 op pagina 19. 7 Zie lemma 2.31 op pagina 27. 8 Zie lemma 2.32 op pagina 27.