Werkld TI-8: Over de hoofdstelling vn de integrlrekening. Inleiding We ekijken chtereenvolgens in onderstnde figuren telkens de grfiek vn een functie f met in het intervl [; ]. f ( ) = f ( ) = + y = 5 In elk vn de figuren is ook een verticle lijn m getekend. De oppervlkte vn het vlkdeel dt wordt ingesloten door de -s, de y-s, de grfiek vn de functie f en de lijn m, geven we n met F(), wrij de lijn m door het punt (, ) gt, wrij is. Zo is in de linker figuur F() gelijk n de oppervlkte vn het gekleurde driehoekje; we denken drij de lijn m door het punt (, ). Zodt in dit gevl: F () = = Opgve Bereken in de drie gevllen de wrde vn opvolgend F(), F(), F(), F(), F(). Hoe groot is in de drie gevllen F()? We zien dt de wrde vn F() fhnkelijk is vn (niet zo verwonderlijk overigens). Opgve Proeer in elk vn de drie gevllen een functievoorschrift voor F() te vinden; dus iets ls F() = 'uitdrukking in '. Is er drij een vernd tussen het functievoorschrift vn de functie F() en dt vn de functie f()? Zo j, welk vernd is dt dn? We doen vervolgens min of meer hetzelfde voor de functie f ( ) =. De oppervlkte vn het vlkdeel tussen de grfiek vn f, de positieve -s en de lijn m geven we ook nu n met F(). De wrden vn F(), F(), kunnen we (nog) niet direct erekenen. We geruiken drom de grfische rekenmchine (GR). Hoofdstelling integrlrekening (vs..) [] Copyright 7 PndD Softwre, Rotterdm
In de drie figuren hieroven is GR-erekening vn de wrde vn F(5) geïllustreerd. Zo'n erekening kun je ps uitvoeren ls de grfiek vn de functie f op het gewenste domein, en hier is dt [; 5], op het scherm vn de GR stt (instellen met [WINDOW]). De erekening zelf doe je met [CALC]7:Sf()d, wrij je eerst de LowerLimit (de linker grens vn het intervl; hier dus ) invoert, en drn de UpperLimit (de rechter grens vn het intervl; in dit gevl dus 5). De GR geeft dn een enderde uitkomst; hier is dt,667. De ecte wrde is. Opgve Neem onderstnde tel over en vul de ontrekende wrden in. Zet drij lle wrden die je met de GR vindt, om in ecte wrden (dt kn in lle gevllen!). F() F() 5 Je kn een functievoorschrift voor F() vinden. Doe dt! Is er ook hier een vernd tussen de functievoorschriften vn F() en f()? Zo j, welk vernd is dt dn?. Tellen We kunnen tellen zols in Opgve ook direct met de GR mken vi Lijsten (LIST), mits we op de juiste mnier in het [Y=] scherm de te geruiken oppervlktefunctie vstleggen (we zullen lter zien hoe dt precies moet). Deze oppervlktefunctie vinden we in het [MATH] menu ls 9:fnInt(. Hierin moeten we enkele prmeters, gescheiden door komm's, toevoegen: - de 'formule' vn de functie f(); - de vriele die ij de functie f hoort; dt is ijn ltijd de X; - de ondergrens vn de te erekenen integrl, meestl een getl; - de ovengrens vn de te erekenen integrl, eveneens meestl een getl. Het direct erekenen vn ijvooreeld vn de oppervlkte ij de functie f ( ) = + op het intervl [; ] geeft dn met geruikmking vn fnint op het rekenscherm vn de GR (>>>): Opgve Bereken nu, ter oefening, op de mnier ls hieroven stt, ook de oppervlkte ij de onderstnde functies op het drij vermelde intervl. Mk vn elke functie ook een schets vn de grfiek op het etreffende intervl. Hoofdstelling integrlrekening (vs..) [] Copyright 7 PndD Softwre, Rotterdm
. f ( ) = sin op [; ] c. h ( ) = sin op [; ]. g ( ) = op [; 9] d. k ( ) = op [-; ] Om geruik te kunnen mken vn de Lijsten vn de GR moeten we in het [Y=] menu twee functies definiëren: - de functie f ; hiervoor geruiken we meestl Y; - de oppervlktefunctie; deze pltsen we in Y, wrin we de Y- VARiele Y opnieuw geruiken. Merk op dt we voor de vierde prmeter vn fnint (dt is de ovengrens vn het intervl) hier de X geruiken! Kn je verklren wrom dit nodig is? Vooreeld. We geven ls vooreeld een toepssing met dezelfde functie f ls in Opgve, nmelijk f() = (zie de schermfdruk hieroven) We pltsen llereerst de te geruiken -wrden in lijst L (>>>): Dn kennen we n Lijst L de functie Y toe. Zet, om dt te doen, eerst de cursor op de nm L (het ovenste vkje) en typ dn chter 'L=' de uitdrukking Y(L) in het onderste deel vn het venster (>>>). N het drukken op [ENTER] worden de wrden erekend (>>>). In de lijst L stn dus voor =,,,,, de wrden vn F() = fnint(y,x,,).. Nottie en eigenschppen Voor de werkelijke oppervlkte vn het vlkdeel tussen de grfiek vn een functie f en de -s op het intervl [; ] schrijven we in het vervolg: f ( )d (Spreek uit ls: 'de integrl vn tot vn "ef-iks" "dee-iks" '.) Eigenschppen. Uit de figuur hiernst kunnen we fleiden: f ( )d = f ( )d f ( )d en c c f ( )d = f( )d + f ( )d Hoofdstelling integrlrekening (vs..) [] Copyright 7 PndD Softwre, Rotterdm
. Een 'ewijs' vn de hoofdstelling Voor de functie F() die ls functiewrden de oppervlkte geeft vn het vlkdeel dt egrensd wordt door de grfiek vn de functie f(), de -s, de y-s en een lijn m door het punt (, ) en loodrecht op de -s, geldt, op sis vn wt we gezien heen in Opgve en Opgve : F ( ) = f( ) Dt dit vernd estt is uiterrd niet toevllig. Als een klein eetje ngroeit met Δ = h tot + h, dn groeit F() een eetje n met ΔF. We heen dn, volgens de definitie vn de fgeleide vn een functie: F( + h) F( ) ΔF( ) df lim = lim = = F ( ) h h Δ Δ d Bekijk nu nevenstnde figuur. Drin is Δ F de oppervlkte vn een verticle strook tussen de punten en + h op de -s. Die oppervlkte is (ongeveer) gelijk n de reedte (h =Δ ) ml de 'gemiddelde' hoogte vn de strook (het dikke lijnstuk in de strook), zodt: Δ F = lengte vn het dikke lijnstuk Δ Dit is ook het gevl ls de grfiek vn de functie f geen rechte lijn is (g dt n!). De lengte vn het lijnstuk ndert tot f() ls h steeds kleiner gekozen wordt. Dus: ls Δ ndert ΔF tot, dn ndert tot f(). Δ Δ F In formule: lim = f ( ) Δ Δ Conclusie: de functie f is de fgeleide vn de functie F, of wel: f ( ) = F ( ) Hoofdstelling. En hieruit volgt dn de zogenoemde hoofdstelling vn de integrlrekening: f ( )d = F ( ) F ( ) wrij voor de functie F() geldt, dt F'() = f (). De functie F is een zogenoemde primitieve functie of kortweg primitieve vn de functie f. Als het functievoorschrift vn de functie f gegeven is, dn wordt 'het vinden' vn het functievoorschrift vn de functie F ook wel primitiveren genoemd. Opgve 5 In Opgve zijn we uitgegn vn de functies f ( ) =, f ( ) = + en f ( ) = 5. Bijehorende primitieve functies F zijn opvolgend: F( ) =, F( ) = + en F( ) =. Hoofdstelling integrlrekening (vs..) [] Copyright 7 PndD Softwre, Rotterdm
G dit n! Controleer nu met deze functies F de in Opdrcht gevonden wrden. Opgve 6 Gegeven is de functie f ( ) = sin+ cos. Wrom is de functie F ( ) = sin een primitieve functie vn de functie f? Wrom is ook de functie G ( ) = sin + 7 een primitieve functie vn f? Geef zelf nog een derde functie die ook een primitieve functie is vn de functie f. Hoeveel primitieve functies heeft de functie f dus? Afsprk. Als we vn een functie f (lleen) een primitieve functie F moeten opschrijven, dn noteren we dt ls volgt: f ( )d = F( ) + C We spreken het linker deel vn deze formule uit ls: 'een primitieve functie vn f()' of ook wel ls 'de oneplde integrl vn f() "dee-iks" '. Het getl C is hier de zogenoemde integrtieconstnte. Een integrl die voorzien is vn een onder- én ovengrens, heet wel eplde integrl. Opgve 7 In Opgve gingen we uit vn de functie F( ) =. G dit n! f ( ) =. Drij hoort een primitieve functie Vergelijk nu F(), F(), F(), F(), F(), F(), F() met de uitkomsten met die in de tel vn Opgve of die in het vooreeld n Opgve stn. Afsprk. We schrijven ij het integreren dt is het erekenen vn de integrl vk: f ( )d = [ F ( )] [ F ( )] stt drin dus voor F() F(). De functie f wordt soms integrnd (wt geïntegreerd moet worden) genoemd. Vooreelden. Willen we 8 7 d erekenen, dn schrijven we: d = [ ] = ( ) ( ) =.. sin d [-cos = ] = (-cos ) (-cos) = -(-) (-) = + =.. ( + )d = [ + ] = (6 + 6) ( + 8) = 8 = 68. 5. Integreren In de volgende opgve moeten de integrlen worden erekend zonder geruik te mken vn de GR. Indien gewenst mg de GR wel worden geruikt om het ntwoord te controleren. Opgve 8 Bereken de onderstnde integrlen; geef drij ecte ntwoorden. Werk je ntwoorden drij op dezelfde mnier uit ls in ovenstnde vooreelden. Hoofdstelling integrlrekening (vs..) [5] Copyright 7 PndD Softwre, Rotterdm
.. c. ( )d - d. 5 ( + )d 5 6 + d g. e. ( )d h. + d f. d i. + - cos( )d (sin sin )d 5 d 6. Vervolg integreren We ekijken nu de functie f ( ) = sin op het intervl [; ]. Berekening vn I sin d =, totl I = sin d geeft dn: I = sin d en vn I = [-cos ] = (-cos ) (-cos) = -(-) (-) = + = I = [-cos ] = (-cos ) (-cos ) = (-) () = Itotl = I + I = + ( ) = En dit ltste klopt ntuurlijk met: totl I = [-cos ] = (-cos ) (-cos) = (-) (-) = -+ = We zien dt de wrde vn de integrl I negtief is. Opgve 9 Verklr wrom sin d = -, dus negtief, is. Anwijzing: denk eventueel n de Riemnn-som wrop deze integrl geseerd kn worden. Verklr wrom sin d =. Uit Opgve 9 lijkt dus dt een integrl vn een functie die geheel onder de -s gelegen is, een negtieve wrde heeft. De wrde vn een dergelijke integrl geeft uiterrd geen oppervlkte weer! Om de oppervlkte ij zo'n functie te erekenen moeten we dus de solute wrde vn die functie eschouwen. Ligt de grfiek vn een functie oven én onder de -s, dn moeten we het integrtie-intervl splitsen. Voor de oppervlkte A vn het vlkdeel dt op het intervl [; ] gelegen is tussen de grfiek vn de functie f ( ) = sin en de -s, heen we: A= sin d + (- sin )d = sin d sind = (-) = Immers, op het intervl [; ] is sin = - sin. Bij de erekening vn oppervlktes ij functies is het dus n te evelen een schets vn de grfiek vn de functie te mken op het eschouwde intervl! Hoofdstelling integrlrekening (vs..) [6] Copyright 7 PndD Softwre, Rotterdm
Opgve Bereken de onderstnde integrlen zonder geruik te mken vn de GR (dus vi een primitieve vn de integrnd). G drij n of de erekende integrl een oppervlkte representeert. Zo niet, ereken dn eveneens de oppervlkte vn het vlkdeel ingesloten door de grfiek vn de integrnd en de -s op het eschouwde integrtie-intervl... ( )d c. - ( )d - d. - sin( )d - d Opgve Vn een zekere functie f is gegeven dt f ( )d = V onder- en ovengrens. Bewijs dn dt f ( )d = - V.. We verwisselen nu in de integrl de 7. Oppervlkte tussen twee grfieken We eschouwen nu de functies: f ( ) = + g ( ) = We willen drij de oppervlkte V erekenen vn het vlkdeel dt wordt ingesloten door de grfieken vn eide functies. Drtoe is het in de eerste plts noodzkelijk de -coördinten ( en ) vn de snijpunten A en B vn de grfieken te kennen. We lossen dus op: + = = ± + = = ± 5 zodt = 5 en = + 5. Opgve In vervolg op het ovenstnde. V f is de oppervlkte op het intervl [; ] vn het vlkdeel tussen de grfiek vn de functie f en de -s. V g is de oppervlkte op dt intervl tussen de grfiek vn g en de -s. In dit gevl is dn V = Vf Vg ; g dt n! Dn is: = ( + ) V ( ) ( ) d. Verklr deze uitdrukking. Bereken V met geruikmking vn de GR (ntwoord:,86). Hoofdstelling integrlrekening (vs..) [7] Copyright 7 PndD Softwre, Rotterdm
Als de grfieken vn de functies f en g elkr in meer dn twee punten snijden moeten we eenzelfde strtegie kiezen: we splitsen het integrtie intervl, mr nu in meerdere stukken, en op elk vn die stukken kijken we of de grfiek vn f oven die vn g ligt, of nders om. Vooreeld. Uitgnde vn de functies f ( ) = - + g ( ) = willen we de oppervlkte V vn het vlkdeel erekenen dt door de eide grfieken wordt ingesloten. Ook nu moeten we eerst de -coördinten,, c vn de snijpunten A, B, C erekenen. Door de vergelijking: + = te schrijven ls: - ( ) = ( ) 'zien' we dt: = -, =, c = - Opmerking. Uiterrd kunnen we die wrden (weliswr enderd) ook erekenen met de GR (vi [intersect]). V c = g ( ) f ( ) d + f ( ) g ( ) d c Voor V geldt nu: ( ) ( ) Opgve Geef een verklring voor de hieroven stnde formule vn V. Bereken V met geruikmking vn de GR (ntwoord:,9). Opgve Iemnd teken de grfiek vn de functie v ( ) = f( ) g ( ) Zie de schermfdrukken hiernst. Hij merkt drij op dt ook v ( )d de oppervlkte vn het edoelde vlkdeel V oplevert. Heeft deze persoon het ij het juiste eind? Verklr je ntwoord. Bereken v ( )d. Opgve 5 Bereken door geruik te mken vn primitieve functies (ect) de oppervlkte vn de eide vlkdelen die worden ingesloten door de grfieken vn de functies f ( ) = en g ( ) = +. Geef drij een volledig overzicht vn je erekeningen. 5 (Antwoord:,.) 6 Hoofdstelling integrlrekening (vs..) [8] Copyright 7 PndD Softwre, Rotterdm
8. Tot slot Opgve 6 Bereken de onderstnde integrlen door geruik te mken vn primitieve functies.. cos d c. d. + d d. d Opgve 7 Hiernst is de grfiek K getekend vn de functie f ( ) = en de lijn l met vergelijking y =. Het punt P is het snijpunt vn K met de -s. K heeft in het punt Q een top (de functie f heeft dr een mimum). Bereken de -coördinten p en q vn opvolgend P en Q. Door K, de lijn l en de verticle lijnen = p (door P) en = t (rechts vn P, dus met t > p) wordt een vlkdeel V met oppervlkte V(t) ingesloten. Bereken V(). Bereken de wrde(n) vn t wrvoor V() t =. Links vn de y-s ligt een gerceerd vlkdeel W met een 'onegrensde' omtrek. Onderzoek of W een egrensde oppervlkte heeft. Hoofdstelling integrlrekening (vs..) [9] Copyright 7 PndD Softwre, Rotterdm