Wiskunde voor bachelor en master Deel Basiskennis en basisvaardigheden c 205, Synta Media, Utrecht www.syntamedia.nl Uitwerkingen hoofdstuk 2 2... We bepalen de afgeleide van f() 5 met de definitie van f (): f( + ) f() lim 5( + ) 5 5 5 5 5 + 5 5 {neem f() 5} {haakjes uitwerken} {vereenvoudig} {deel teller en noemer door, dat mag want 0} Dus f() 5 f () 5. Dit klopt met het feit dat de grafiek van f een rechte lijn is met helling 5. Een toename in de -richting geeft een vijf maal zo grote toename in de y-richting. 2. Voor de constante functie f() 3 geldt: f( + ) f() lim 3 3 0 0 {neem f() 3} De verandersnelheid is overal 0: de functie verandert niet.
2 Uitwerkingen 2.. 3. Bepalen van de afgeleide van g() 2 2 met de definitie van g (): g( + ) g() lim [2( + ) 2 ( + )] [2 2 ] 2 2 + 4 + 2( ) 2 2 2 + 4 + 2( ) 2 (4 + 2 ) 4 {neem g() 2 2 } {haakjes uitwerken} {vereenvoudig} Dus g() 2 2 g () 4 4. Bepalen van de afgeleide van f() 3 : f( + ) f() lim ( + ) 3 3 3 + 3 2 + 3( ) 2 + ( ) 3 3 3 2 + 3( ) 2 + ( ) 3 32 + 3 + ( ) 2 3 2 {neem f() 3 } {haakjes uitwerken} {vereenvoudig} Dus f() 3 f () 3 2 5. Als P (t) de populatiegrootte van een bacteriekolonie op tijdstip t is, dan is P (t) de snelheid waarmee deze populatie op tijdstip t toeneemt. De eenheid van P (t) is het aantal bacteriën (dus gewoon een aantal, dimensieloos), de eenheid van P (t) is aantal (bacteriën) per seconde [/s].
Uitwerkingen 2.. 3 6. De afgelegde weg s van een voorwerp op tijdstip t (in seconden) is gelijk aan 3t 2 meter. De snelheid is v ds, de afgeleide van de afgelegde weg. dt De versnelling is a dv, de afgeleide van de snelheid. dt In het boek, paragraaf 2., is als voorbeeld de afgeleide van de functie f() 3 2 bepaald, met als resultaat f () 6. De constante speelt daarbij geen rol en precies als in het voorbeeld volgt dat de afgeleide van 3t 2 gelijk is aan 6t. De afgeleide van 6t is op zijn beurt gelijk aan 6 (vergelijk opgave ). We hebben dus: s 3t 2 m, v ds dt 6t m/s en a dv dt 6 m/s2 Op tijdstip t 4 geldt dan: s 3 4 2 48 m, v 6 4 24 m/s en a 6 m/s 2
4 Uitwerkingen 2.2. 2.2.. De afgeleide van f() 2 is f () 2. De raaklijn in het punt ( 2, 4 ) van de grafiek heeft helling f ( 2 ) 2 2. De vergelijking van deze raaklijn is van de vorm y + b. Invullen van het punt ( 2, 4 ) hierin geeft 4 2 + b, dus b 4 2 4. Conclusie: de raaklijn in ( 2, 4 ) wordt gegeven door y 4. Voor de raaklijn in (0,0) aan de grafiek vind je als helling f (0) 0. De vergelijking van deze raaklijn is dan van de vorm y b. Het punt (0,0) invullen levert b 0, dus de vergelijking is y 0. Conclusie: de raaklijn in (0,0) wordt gegeven door y 0 (dat is dus de -as). 2. Bepalen van de afgeleide van f() : f( + ) f() lim + ( + ) ( + ) ( + ) + ( + ) {neem f() } {gelijknamig maken} {uitwerken} {deel teller en noemer door } {neem de limiet} 2 2 Dus f() f () 2
Uitwerkingen 2.2. 5 De raaklijn aan de grafiek in (,) aan y heeft helling f () 2. De vergelijking van de raaklijn is dus van de vorm y + b. Invullen van het punt (,) hierin geeft + b, dus b 2 De raaklijn wordt gegeven door y + 2. In de onderstaande figuur is de grafiek van y grafiek. getekend met de raaklijn in (,) aan de 4 3 y 2 5 4 3 2 0 2 3 4 5 2 3 y + 2 4
6 Uitwerkingen 2.3. 2.3.. a. f() 7 f () 7 6 b. g() g () 0 c. f() 4 f () 0 d. h() 5 5 h () 5 6 5 6 e. g(t) t 3 t 3 g (t) 3t 4 3 t 4 f. f(t) t 0 f (t) 0t 9 2. a. f() 2 f () 2 2 2 b. g() 3 3 g () 3 3 3 3 c. v() 3 2 2 3 v () 2 3 3 2 3 2 3 2 d. u(t) t 4 t t 4 u (t) 4 t 4 4 4 t e. f(r) r 2 r r 2 2 f (r) 2 2 r 2 2 2 r r f. h() 3 3 2 h () 3 2 4 2 3 2 4 7 2 4 3. a. s t 2 ds dt 2t b. s 20 ds dt 0 c. s t 4 t 3 t 3 4 ds dt 3 4 t 4 3 4 3 4 t 3 d. s t t ds dt t 2 t 2 e. s t ds dt f. s t t t 2 ds dt 2 t 2 2 2 t 2 t 3 2t 2 t
Uitwerkingen 2.5. 7 2.5.. a. y 3t 3 + 4t 2 t cos t dy dt 9t2 + 8t cos t + t sin t b. y t 2 sin t dy dt 2t sin t + t2 cos t c. y 2 dy d 2 2 2 d. y 2 2 cos dy d 4 cos 22 sin e. y tan cos sin dy sin sin cos cos d sin 2 (sin2 + cos 2 ) sin 2 sin 2 of zo: y tan dy 0 tan d cos 2 tan 2 cos 2 tan 2 sin 2 f. y sin 2 sin sin dy cos sin + sin cos 2 sin cos sin 2 d 2. a. y (2 + )( ) 3 2 + 2 + dy d 2 + 2 23 2 + 2 (je krijgt dit resultaat ook met de quotiëntregel, maar dat is veel bewerkelijker) b. y ( + ) + dy d + 2 2 ( + ) 2 + 3 2 2 2 ( + ) 2 (de regel ( ) f is hierbij gebruikt) f f 2
8 Uitwerkingen 2.5. 2. c. y cos + sin dy (cos sin ) ( + sin ) cos cos d ( + sin ) 2 ( ) sin cos + sin cos sin sin2 cos 2 ( + sin ) 2 cos + sin cos sin (sin2 + cos 2 ) ( + sin ) 2 cos + sin cos sin ( + sin ) 2 cos ( + sin ) ( + sin ) ( + sin ) 2 (cos )( + sin ) ( + sin ) 2 cos + sin d. y tan sin cos sin cos dy sin d cos 2 sin cos 2 ( tan cos ) of met de quotiëntregel: dy d cos 2 sin tan cos sin 2 cos 2 sin sin sin 2 cos 2 sin cos2 sin cos 2 sin 2 sin cos 2 sin cos 2 e. y cos 2 + sin 2 dy d 0 f. y cos dy sin d cos 2 sin cos 2 3. a. y 2 dy d 2 (2 ) 2 22 2 + 2 2 + 2 + 2 b. y 2 dy d ( 2 ) + 2
Uitwerkingen 2.5. 9 4. a. f() 2 + f () 2 (2 + ) 2 2 2 b. De noemer 2 van de afgeleide is positief op 0,. De teller 2 is negatief voor 2 < en positief voor 2 >. Op 0, : negatief voor 0 < < en positief voor >. Dus op 0, geldt: f () > 0 (f stijgend) als > en f () < 0 (f dalend) als 0 < <. c. De grafiek van f (op 0, ) staat in de onderstaande figuur. De functie is dalend op 0, en stijgend op, en het minimum is f() 2 + 2 2. d. De helling van de raaklijn in (2,2 2 ) is f (2) 22 2 2 3 4. De vergelijking van de raaklijn heeft dus de vorm y 3 4 + b. Invullen van (2,2 2 ): 2 2 3 4 2 + b, dus b De vergelijking van de raaklijn is y 3 4 +. 7 6 5 y 2 + y 3 4 + 4 3 2 0 2 3 4 5 6
0 Uitwerkingen 2.5. 5. a. s t 2 cos t ds dt 2t cos t t2 sin t b. s 2 tan t ds dt 2 cos 2 t c. s t sin t ds dt 2 t sin t + sin t + 2t cos t t cos t 2 t d. s t cos t ds t t sin t t sin t cos t cos dt t 2 cos 2 t t 2 cos 2 t e. s t sin t ds dt cos t f. s cos t t t cos t t 2 cos t ds t 2 dt 2 t 2 2 cos t + t 2 sin t 3 cos t 2t 2 t sin t t t 3 cos t + 2t sin t 2t 2 t of met de quotiëntregel: 3 t cos t + 2t t sin t 2t 3 s cos t t t cos t t 2 ds dt sin t t 2 cos t 2 t 2 t 3 2t 2 sin t 3t 2 cos t 2t 3 2t t sin t + 3 t cos t 2t 3
Uitwerkingen 2.6. 2.6.. a. y ( 3 + ) 5 dy d 5(3 + ) 4 (de afgeleide van 3 + ) 5( 3 + ) 4 3 2 5 2 ( 3 + ) 4 b. y 2 + dy d 2 2 + (de afgeleide van 2 + ) c. y 2 2 + 2 2 + ( 2 + ) 4 (2 + ) 4 dy d 4(2 + ) 5 (de afgeleide van 2 + ) 4( 2 + ) 5 2 8 ( 2 + ) 5 d. y ( 2 ) 3 dy d 3(2 ) 2 (de afgeleide van 2 ) 3( 2 ) 2 2 6( 2 ) 2 e. y + 3 dy d 2 + 3 (de afgeleide van + 3 ) 2 + 3 32 3 2 2 + 3 f. y t t t t 2 t dy d 2 t 2 (t ) t 2 (t ) 2 2 t 2 2 t 2 t 2 (t ) 2 2 t 2 2 t 2 (t ) 2 t 2 3t 2 2(t ) 2 t t 3 t (t 3) t 2(t ) 2 2(t ) 2 Deze laatste opgave ging met de quotiëntregel (niet met de kettingregel)
2 Uitwerkingen 2.6. 2. a. y sin dy d cos 2 cos 2 b. K q2 + q dk dq 2q (q ) (q2 + ) (q ) 2 2q2 2q q 2 (q ) 2 q2 2q (q ) 2 c. V sin 2t t dv dt (cos 2t 2) t sin 2t t 2 2t cos 2t sin 2t t 2 d. y + sin 2 (2t) dy dt 2 sin(2t) (de afgeleide van sin 2t) 2 sin 2t cos 2t (de afgeleide van 2t) 4 sin 2t cos 2t 2 sin 4t e. s 2 at2 + (t 2 ) 4 ds dt at + 4(t2 ) 3 2t at + 8t(t 2 ) 3 f. y sin 2t + t 2 dy dt ( cos 2t 2)( + t2 ) ( sin 2t) 2t ( + t 2 ) 2 2 cos 2t 2t2 cos 2t 2t + 2t sin 2t ( + t 2 ) 2 3. a. V 3t 3 + 4t 2 + t cos t dv dt 9t2 + 8t + cos t t sin t b. H t 2 cos t dh dt 2t cos t t2 sin t c. y 2 (2) 2 dy d 2 (2) 2 2 (2) 2 2 2 d. y 2 2 cos 2 2 dy d 4 cos 22 + 2 2 ( sin 2 2 4) 4 cos 2 2 8 3 sin 2 2 e. y tan( ) dy d cos 2 ( ) tan 2 (de afgeleide van ) ( ) (in de eerste stap van deze berekening is de regel ( ) f f f 2 gebruikt) cos 2 ( ) tan 2 ( ) sin 2 ( ) Omdat sin( ) sin() geldt sin 2 ( ) sin 2 en kun je het antwoord schrijven als f. y sin 2 cos 2 dy 2 sin cos 2 cos sin 4 sin cos 2 sin 2 d sin 2.
Uitwerkingen 2.6. 3 4. a. P (t2 )(t + ) t Het kan ook zo: dp dt [2t (t + ) + (t2 ) ] t (t 2 )(t + ) t 2 (2t2 + 2t + t 2 )t (t 3 + t 2 t ) t 2 2t3 + 2t 2 + t 3 t t 3 t 2 + t + t 2 2t3 + t 2 + t 2 P (t2 )(t + ) t t3 + t 2 t t t 2 + t t dp dt 2t + + t 2 2t3 + t 2 + t 2 b. Q ( + sin 2 t) 3 dq dt 3( + sin2 t) 2 2 sin t cos t 6 sin t cos t ( + sin 2 t) 2 3 sin 2t ( + sin 2 t) 2 3( + sin 2 t) 2 sin 2t c. y sin + cos dy (sin + cos ) ( + cos ) sin sin d ( + cos ) 2 sin + sin cos + cos + cos2 + sin 2 ( + cos ) 2 sin + sin cos + cos + (cos2 + sin 2 ) ( + cos ) 2 sin + sin cos + cos + ( + cos ) 2 sin ( + cos ) + (cos + ) ( + cos ) 2 + sin + cos
4 Uitwerkingen 2.6. d. y tan cos dy d cos 2 cos tan sin cos 2 cos + sin cos sin + sin2 cos 3 cos 2 e. E (2t 4t) 3 (2t 2 t) 3 2 3 (t t) 3 8(t t) 3 Dus de dt 8 3(t t) 2 ( 2 t ) 24( t) 2 ( t ) 2 ( 2 t ) 24 t( t ) 2 ( t 2 ) f. y cos 2 dy sin 2 2 2 sin 2 d cos 2 2 cos 2 2 5. Deze opgave heeft betrekking op de functie f() sin sin 2 op het domein [0,2π]. De grafiek van deze functie is gegeven en staat onder aan de pagina. a. f() sin sin 2 f () cos sin 2 + sin 2 cos 2 cos 2 sin cos + sin 2(2 cos 2 ) 2 sin (cos 2 + 2 cos 2 ) 2 sin (3 cos 2 ) y sin sin 2 0 2 π π 2 π 2π
Uitwerkingen 2.6. 5 b. f () 0 2 sin (3 cos 2 ) 0 sin 0 3 cos 2 0 De vergelijking sin 0 heeft als oplossing kπ met k Z. Op het interval [0,2π] zijn dit de punten 0, π en 2π. In deze punten heeft de grafiek een horizontale raaklijn, maar dit levert geen maimum of minimum van de functie op [0,2π] (zie ook de grafiek). Een punt als (π,0) wordt wel een lokaal maimum genoemd, vlak in de buurt van π is het een maimum. De vergelijking 3 cos 2 0 lossen we als volgt op: cos 3 cos 2 0 {breng naar rechts en deel door 3} cos 2 3 {standaardvergelijking} cos 3 cos 3 3 geeft: cos 3 0,95537 + 2kπ of cos 3 0,95537 + 2kπ. Binnen het interval [0,2π] zijn dit 0,95537 en 2π 0,95537 ( 5,32787). cos 3 geeft: cos 3 2,8628+2kπ of cos 3 2,8628+2kπ. Binnen het interval [0,2π] zijn dit 2,8628 en 2π 2,8628 ( 4,0969). c. Als de functie een maimum of minimum heeft, dan is daar de afgeleide 0. Invullen van de gevonden -waarden van onderdeel b geeft als punten van de grafiek: (0,96, 0,77), (2,9, 0,77), (4,0, 0,77) en (5,33, 0,77). Het maimum is dus 0,77 en het minimum 0,77, zie de onderstaande aangevulde grafiek. Je kunt de coördinaten van de eerste top (, y) ook eact berekenen: Uit cos 3 volgt sin 2 3, want sin2 + cos 2 en ligt in het eerste kwadrant. 2 2 Dus geldt f() sin sin 2 sin 2 sin cos 3 3 2 3 2 2 3 3 4 3 3 4 9 3. Het eacte maimum is dus 4 9 3 0,77 en het eacte minimum is 4 9 3 0,77. 0,77 y sin sin 2 0 0,96 2 π 2,9 π 4,0 2 π 5,33 2π 0,77
6 Uitwerkingen 2.6. 6. a. p c V cv dp dv cv 2 c V 2 V 0 t + dv dt 0 (t + ) 2 b. p c V V 0 t + p c ( ) c t + 0 0 0c(t + ) t + Dus p dp 0c(t + ) en daaruit volgt dt 0 c. c. Op t 4 geldt V 0 4 + 2 en dus: dp dv c V 2 c 2 2 4 c Verder geldt op t 4: Dus dp dt dp dv dv dt 4 c 2 5 0 c dv dt 0 (4 + ) 2 0 25 2 5 Dit stemt overeen met het resultaat van onderdeel b. De behandeling van de algemene vorm: dz d dz dy dy d komt in deel 2 van de serie Wiskunde voor bachelor en master aan de orde.