Wiskunde voor bachelor en master Deel 1 Basiskennis en basisvaardigheden. c 2015, Syntax Media, Utrecht Uitwerkingen hoofdstuk 6

Transcriptie

1 Wiskunde voor bachelor en master Deel 1 Basiskennis en basisvaardigheden c 015, Syntax Media, Utrecht Uitwerkingen hoofdstuk a. x 3 9x = 0 x (x 9) = 0 x = 0 x 9 = 0 x = 0 x = 9 b. t 3 9t = 0 t(t 9) = 0 t(t 3)(t + 3) = 0 t = 0 t = 3 t = 3 c. r 3 = 5r r 3 5r = 0 r(r 5) = 0 r(r 5)(r + 5) = 0 r = 0 r = 5 r = 5 d. a 1 = 0 (a 1 )(a + 1 ) = 0 a = 1 a = 1 e. x + 7x + 1 = 0 (x + )(x + 3) = 0 x = x = 3

2 Uitwerkingen 6..1 f. h 7h + 1 = 0 (h 3)(h ) = 0 h = 3 h = g. x + 7x + 10 = 0 (x + )(x + 5) = 0 x = x = 5 h. h 7h + 6 = 0 (h 1)(h 6) = 0 h = 1 h = 6. a. x x 1 = 0 (x )(x + 3) = 0 x = x = 3 b. a + a 1 = 0 (a + )(a 3) = 0 a = a = 3 c. t 9 = 0 t = 9 t = 3 t = 3 d. t 8 = 0 t = 0 (t )(t + ) = 0 t = t = e. r 1 = 0 r = 1 r = 1 r = 1

3 Uitwerkingen f. 3x 1x 63 = 0 x x 1 = 0 (x 7)(x + 3) = 0 x = 7 x = 3 3. a. x 3 x x = 0 x 3 x 1x = 0 x(x x 1) = 0 x(x )(x + 3) = 0 x = 0 x = x = 3 b. 3x + 3x = 36 x + x = 1 x + x 1 = 0 (x + )(x 3) = 0 x = x = 3 c. x 15x = 5 x 15x 5 = 0 (x 18)(x + 3) = 0 x = 18 x = 3 d. x = x + 60 x = x + 30 x x 30 = 0 (x 6)(x + 5) = 0 x = 6 x = 5 e. (x 3x + )(x + 3x + ) = 0 (x 1)(x )(x + 1)(x + ) = 0 x = 1 x = x = 1 x =

4 Uitwerkingen 6..1 f. x = 3 x 3 = 0 (x + 3 )(x 3 ) = 0 (x + 3 )(x 3)(x + 3) = 0 x = 3 x = 3 Uit x 0 volgt x + 3 9, dus het deel (x + 3 ) = 0 heeft geen oplossing.

5 Uitwerkingen a. x x + = 0 (x ) + = 0 (x ) = x = x = x = + x = b. t 8t + 1 = 0 (t ) = 0 (t ) = t = t = t = + t = c. r = 6r + 1 r 6r 1 = 0 (r 3) 9 1 = 0 (r 3) = 10 r 3 = 10 r 3 = 10 r = r = 3 10 d. a + a + 1 = 0 (a + 1 ) = 0 (a + 1 ) = 3 geen oplossingen: een kwadraat is niet negatief e. x + 7x + 1 = 0 (x + 7 ) = 0 (x + 7 ) = 1 x + 7 = 1 x + 7 = 1 x = 3 x =

6 6 Uitwerkingen f. h 7h + 1 = 0 (h )(h 3) = 0 h = h = 3. a. x x = A (x ) = A (x ) = A + x = A + x = A + x = + A + x = A + b. x 8x = ω (x ) 16 = ω (x ) = ω + 16 x = ω + 16 x = ω + 16 x = + ω + 16 x = ω + 16 c. x = 6x + B x 6x + 9 = B + 9 (x 3) = B + 9 x = 3 + B + 9 x = 3 B + 9 d. x + ωx + 1 = 0 (x + ω) ω + 1 = 0 (x + ω) = ω 1 x + ω = ω 1 x + ω = ω 1 x = ω + ω 1 x = ω ω 1 e. x + x + h = 0 (x + ) + h = 0 (x + ) = h x + = h x + = h x = + h x = h

7 Uitwerkingen f. x px p = 0 (x p) p p = 0 (x p) = 3p x p = 3p x p = 3p x = p + p 3 x = p p 3 Voor p 0 geldt p = p en wordt het: x = p + p 3 x = p p 3 Voor p < 0 geldt p = p en wordt het: x = p p 3 x = p + p 3 Dit zijn dezelfde oplossingen, dus de eindoplossing is: x = p + p 3 x = p p 3 Je kunt p buiten haakjes halen en het ook schrijven als: x = p (1 + 3) x = p (1 3)

8 8 Uitwerkingen a. x x + = 0 {discriminant: ( ) 1 = 16 8 = 8} x 1, = ± 8 = ± x = + x = = ± b. x 8x + 1 = 0 {discriminant: ( 8) 1 1 = 6 56 = 8} x 1, = 8 ± 8 = 8 ± x = + x = = ± c. t = 6t + 1 {6t + 1 naar links} t 6t 1 = 0 {discriminant: ( 6) 1 1 = 36 + = 0} t 1, = 6 ± 0 = 6 ± 10 t = t = 3 10 = 3 ± 10 d. h + h + 1 = 0 {discriminant: = 1 = 3} De discriminant is negatief: de vergelijking heeft geen oplossingen. e. x + 7x + 1 = 0 {discriminant: = 1} x 1, = 7 ± 1 x = x = 3 = 3 1 ± 1 f. x 7x + 1 = 0 {discriminant: ( 7) 1 1 = 1} x 1, = 7 ± 1 x = 3 x = = 3 1 ± 1

9 Uitwerkingen a. 3t 3t + 1 = 0 {discriminant: ( 3) 3 1 = 9 1 = 3} De discriminant is negatief: de vergelijking heeft geen oplossingen. b. 3t + 3t + 1 = 0 {discriminant: = 9 1 = 3} De discriminant is negatief: de vergelijking heeft geen oplossingen. c. x + x 8 = 0 {deel door } x + x = 0 {discriminant: 1 1 = = 9} x 1, = 1 ± 9 x = 1 x = = 1 ± 3 d. x x 8 = 0 {deel door } x x = 0 {discriminant: ( 1) 1 = = 9} x 1, = 1 ± 9 x = x = 1 = 1 ± 3 e. x + 5x = 0 {discriminant: 5 1 = = 1} x 1, = 5 ± 1 = 1 ± 1 1 x = x = f. a + a 1 = 0 {discriminant: 1 1 = + 8 = 5} a 1, = ± 5 = ± 13 a = a = 1 13 = 1 ± 13

10 10 Uitwerkingen a. x + 6x + = 0 {deel door } x + 3x + 1 = 0 {discriminant: 3 1 = 9 8 = 1} x 1, = 3 ± 1 x = 1 x = 1 = 3 ± 1 b. x + x 6 = 0 {discriminant: 1 6 = = 9} x 1, = 1 ± 9 x = x = 1 1 = 1 ± 7 c. 3t t + = 0 {discriminant: ( ) 3 = 16 8 = 3 } De discriminant is negatief: de vergelijking heeft geen oplossingen. d. 5x 8x = 0 {discriminant: ( 8) 5 = = 1} x 1, = 8 ± 1 10 x = x = 5 = 8 ± 1 10 e. (x + 1) 6 x(x + 1) 5 = 0 {(x + 1) 5 buiten haakjes halen} (x + 1) 5 ((x + 1) x) = 0 {uitwerken} (x + 1) 5 (x x + 1) = 0 {merkwaardig product} (x + 1) 5 (x 1) = 0 {product is 0} x + 1 = 0 x 1 = 0 {x + 1 1, dus het eerste deel heeft geen oplossingen} x = 1 f. (x 1) 6 = x(x 1) 5 {x(x 1) 5 naar links} (x 1) 6 x(x 1) 5 = 0 {(x 1) 5 buiten haakjes halen} (x 1) 5 ((x 1) x) = 0 {uitwerken} (x 1) 5 (x x 1) = 0 {product is 0} x 1 = 0 x x 1 = 0 {standaard oplossen} x = 1 x 1, = ± 8 = ± x = 1 x = 1 x = 1 + x = 1

11 Uitwerkingen a. x + x = A {A naar links} x + x A = 0 {discriminant: A = A } x 1, = ± A = ± + A x = A x = A = 1 ± 1 + A Merk op dat + A > 0 voor alle waarden van A. De vergelijking heeft dus altijd twee verschillende oplossingen. b. x + Ax 6 = 0 {discriminant: (A) 1 6 = A + } x 1, = A ± A + = A ± A + 6 x = A + A + 6 x = A A + 6 = A ± A + 6 Merk op dat A + 6 > 0 voor alle waarden van A. De vergelijking heeft dus altijd twee verschillende oplossingen. c. 3x ωt ω = 0 {discriminant: ( ω) 3 ω = 16ω + 8ω = 6ω } x 1, = ω ± 6ω 6 x = ω x = 3 ω = ω ± 8ω 6 d. x 8x AB = 0 {deel door } x x AB = 0 {discriminant: ( ) 1 AB = AB} x 1, = ± AB = ± + AB x = + AB + x = AB + = ± AB + Merk op dat er geen wortels zijn als AB + < 0, dus als AB <.

12 1 Uitwerkingen a. x = x {kwadrateer, geen equivalentie} x = x {x naar links} x x = 0 x(x 1) = 0 x = 0 (voldoet) x = 1 (voldoet) b. x = x {substitutie x = y, dus x = y } y = y {y naar links} y y = 0 y(y 1) = 0 y = 0 y = 1 {x = y } x = 0 (voldoet) x = 1 (voldoet). Oplossen van de vergelijking x x + 10 = : a. x + 10 = y {kwadrateer, geen equivalentie} x + 10 = y {10 naar rechts} x = y 10 b. x x + 10 = {substitutie x + 10 = y, dus x = y 10, zie onderdeel a.} y 10 y = { naar links} y y 1 = 0 (y + 3)(y ) = 0 y = 3 y = {x = y 10} x = ( 3) 10 = 1 x = 10 = 6 c. Substitutie van x = 1 in x x + 10 = levert: 1 9 = en dat is onjuist. Substitutie van x = 6 in x x + 10 = levert: 6 16 = en dat is juist. De vergelijking heeft dus één oplossing, namelijk x = 6. Je had dit resultaat ook kunnen concluderen uit y = x + 10 y 0. Daaruit volgt dat y = 3 niet voldoet en blijft alleen y =, dus x = 6 over.

13 Uitwerkingen Oplossen van de vergelijking (x + 1) + x + 1 = : a. (x+1) +x+1 = {substitutie x+1 = y, equivalent met x = y 1 } y + y = { naar links} y + y = 0 (y 1)(y + ) = 0 y = 1 y = {x = y 1 } x = 0 x 3 b. (x + 1) + x + 1 = {haakjes uitwerken} x + x x + 1 = { naar links} x + 6x = 0 x(x + 3) = 0 x = 0 x = 3. a. t + t = 8 {substitutie t = y, dus t = y } y + y = 8 {8 naar links} y + y 8 = 0 (y )(y + ) = 0 y = y = {t = y } t = (voldoet) t = 16 (voldoet niet) b. t + t = 8 {substitutie t = y} y + y = 8 {zie onderdeel a.} y = y = {t = y} t = t = {t = heeft geen oplossingen} t = t = c. t 6 + t 3 = 8 {substitutie t 3 = y, equivalent met t = 3 y} y + y = 8 {zie onderdeel a.} y = y = {t = 3 y} t = 3 t = 3

14 1 Uitwerkingen d. t + t = 8 t + t 8 = 0 (t )(t + ) = 0 t = t = e. t 3 + t t = 8 {substitutie t t = y} y + y = 8 {zie onderdeel a.} y = y = {t t = y} t t = t t = {t t 0, dus het tweede deel heeft geen oplossingen} t t = {kwadrateer} t 3 = t = 3 Controle: ( 3 ) = ( 1 3 ) 1 = = + 1 = + = 8 f. (t ) + (t ) = 8 {substitutie t = y} y + y = 8 {zie onderdeel a.} y = y = {t = y} t = t = t = 0 t = 6 t = 0 t = 6 t = 6 5. Oplossen van de vergelijking x 1 = 1 x 1 : a. x 1 = 1 x 1 y 1 = 1 y 1 (y 1) = 1 y y = 0 {substitutie x = y} {kruislings vermenigvuldigen, y 1} y = 0 y = {voldoen beide, y = x } x = 0 x = x = 0 x = x =

15 Uitwerkingen b. x 1 = 1 x 1 {substitutie x 1 = y} y = 1 y {kruislings vermenigvuldigen, y 0} y = 1 y = 1 y = 1 {voldoen beide, y = x 1} x 1 = 1 x 1 = 1 x = 0 x = x = 0 x = x = 6. a. 1 x 3 x + = 0 {substitutie 1 x = y, equivalent met x = 1 y } y 3y + = 0 (y 1)(y ) = 0 y = 1 y = {x = 1 y } x = 1 x = 1 b. 3 (x + 1) 5 = 7 {kruislings vermenigvuldigen, x 1 } 7(x + 1) 5 = 3 {deel door 7} (x + 1) 5 = 1 9 {standaardvergelijking} 1 9 x + 1 = 5 9 = = x = x = c. x x + 1 = 0 { x + 1 naar rechts} x = x + 1 {kwadrateer} x = x + 1 x = Controle: = = = 0

16 16 Uitwerkingen d. 1 x 1 x + 1 = 1 6 {maal 6x(x + 1), x 0 en x 1} 6(x + 1) 6x = x(x + 1) {haakjes uitwerken} 6x + 6 6x = x + x x + x 6 = 0 (x )(x + 3) = 0 x = x = 3 e. 3x 3 1 x + 1 = 3x + 1 {maal x + 1 (altijd positief)} 3x 3 1 = (3x + 1)(x + 1) {haakjes uitwerken} 3x 3 1 = 3x 3 + x + 3x + 1 x + 3x + = 0 (x + 1)(x + ) = 0 x = 1 x = f. x + 1 = 5x x + 1 {kruislings vermenigvuldigen, voorwaarde: x > 1 } x + 1 = 5x 3x = 1 x = 1 3 (voldoet)

17 Uitwerkingen a. 8 x = 1 x {kwadrateren} 8 x = 1 x {maal } 3 x = x x + x 3 = 0 (x + 8)(x ) = 0 x = 8 x = Invullen van x = 8 geeft: 16 = en dat is onjuist. Invullen van x = geeft: = en dat is juist. Er is dus één oplossing, namelijk x =. b. x + x + = 0 {x + naar rechts} x = (x + ) {kwadrateren} 16x = x + 8x + 16 x 8x + 16 = 0 (x ) = 0 x = Invullen van x = geeft: + + = 0 en dat is onjuist. De vergelijking heeft geen oplossingen. Je had dit ook als volgt kunnen inzien: Omdat x onder het wortelteken voorkomt, moet x 0 gelden. Maar dan geldt x + x +, dus x + x + 0. c. x + 3 = x {kwadrateren} x + 6x + 9 = 16x x 10x + 9 = 0 (x 1)(x 9) = 0 x = 1 x = 9 Invullen van x = 1 geeft als resultaat: = 1 en dat is juist. Invullen van x = 9 geeft als resultaat: = 9 en dat is juist. De vergelijking heeft twee oplossingen.

18 18 Uitwerkingen d. x + 6 x 3 = 8 {x naar rechts} 6 x 3 = 8 x {kwadrateren} 6 x 3 = 6 3x + x x 3 + x 3x = 0 x(x + x 3) = 0 x(x )(x + 8) = 0 x = 0 x = x = 8 Invullen van x = 0 geeft als resultaat: = 8 en dat is juist. Invullen van x = geeft als resultaat: = 8 en dat is juist. Invullen van x = 8 geeft als resultaat: = 8 en ook dat is juist. De vergelijking heeft drie oplossingen.