Werktekst : Ee bos behere Berekeige met rije op het basisscherm Op ee perceel staa 3000 kerstbome. Ee boomkweker moet beslisse hoeveel bome er jaarlijks gekapt kue worde e hoeveel ieuwe aaplat er odig is. Hij zal iet alle bome i éé keer kappe wat da heeft hij de eerstvolgede jare gee opbregst. Hij besluit elk jaar 0% va de bome te kappe e er da weer 450 aa te plate. Hij plat dus meer da hij kapt om zij opbregst op termij te verhoge. Op het perceel is amelijk plaats voor 5000 bome.. Hoeveel bome staa er éé jaar later op het perceel? E twee jaar later? 2. Oderzoek hoe het aatal bome op dit perceel de volgede twitig jaar evolueert. Maak hierbij gebruik va de -kop va je reketoestel. 3. Ka de boomkweker zij beleid blijve voortzette of staat het perceel a ee tijd vol? 4. Op ee gegeve momet lijkt er ee evewicht te otstaa. Hoeveel bome staa er da op het perceel? Tabelle e grafieke Het aatal bome B hagt af va de tijd t (i jare). We volge de evolutie va het aatal bome jaar a jaar. We late de veraderlijke t allee atuurlijke getalle als waarde aaeme. Zo krijge we ee rij va getalle die de evolutie va het aatal bome beschrijft. Het is iet eevoudig om ee expliciete vergelijkig te vide voor deze rij. We kue de rij echter wel op ee adere maier beschrijve, amelijk aa de had va ee recursieve vergelijkig (syoieme: differetievergelijkig, recurrete betrekkig) met begivoorwaarde. Deze recursievergelijkig drukt B(t) uit i fuctie va B(t ). 5. Geef deze recursieve vergelijkig e begivoorwaarde. Je kut recursieve voorschrifte ook i je reketoestel ivoere. Hiervoor moet je eerst de juiste istelle. Druk op de -toets e kies op de vierde regel (va sequece, het Egels voor rij). Als je u de - toets idrukt, verschijt i het vester o.a. u() = i plaats va het bekede Y=. 6. Vul op de plaats va de recursieve vergelijkig i. Voor de rekemachie wordt de veraderlijke B dus u e de veraderlijke t wordt. u vid je bij e de veraderlijke verschijt bij de [θ]-toets. Stel ook de begiwaarde va i () e de begiwaarde va u (). Nu ku je ee tabel e ee grafiek va de recursieve vergelijkig late make. Voor de grafiek moet je og ee goed tekevester kieze. Hieroder zie je hoe dit gebeurt.
Met e geef je aa welke terme va de rij bereked zulle worde. e gebruik je om aa te geve welke terme geteked zulle worde. Met stel je i vaaf welk elemet va de rij het tekee moet starte. Omdat we u(0), het eerste elemet va de rij, ook wille late tekee, staat op. Omdat we alle terme va de rij wille late tekee, staat op. Met!" wordt de grafiek va de recursieve vergelijkig gemaakt. Met!# ku je, zoals bij fucties, over de grafiek lope. De istellige voor de tabel ku je aapasse met $%. De tabel wordt gemaakt als je op $% drukt. 7. Maak ee tabel e ee grafiek va de evolutie va het aatal kerstbome e cotroleer hiermee je de bevidige die je eerder deed (om de evewichtswaarde te cotrolere zul je eerst Max moete verhoge) Me ka aatoe (met zeer elemetaire middele, zie b.v. Uitwiskelig 20/3) dat het expliciete voorschrift va de rij gegeve wordt door B ( t) = 500 0.9 + 4500. 8. Voer dit expliciete voorschrift i i je rekemachie voor de rij v() (zoder de begiwaarde te specificere) e cotroleer aa de had va de tabel e de grafiek dat de rije u() e v() gelijk zij. LIST-commado s I het LIST-OPS-meu (OPS staat voor operatios ; %& ) vid je het commado '(. De oderstaade schermafdruk toot hoe je hiermee ee lijst kut make met (ee eidig aatal) terme va de rij. M.b.v. het pijltje rechts ku je de volgede terme va de rij zie. t 9. Maak ee lijst met het aatal bome dat jaar a jaar gekapt wordt i de eerste 30 jaar. 0. Hoeveel bome werde er i het totaal gekapt gedurede de eerste 30 jaar? Maak gebruik va het commado ') dat je i het LIST-MATH-meu vidt e waarmee je de som kut berekee va alle getalle i ee lijst.. Bekijk hoe de verschille tusse opeevolgede aatalle gekapte bome evoluere. Maak hiervoor gebruik va het commado %' uit het LIST-OPS-meu, waarmee je de verschille tusse opeevolgede elemete va ee lijst kut berekee. Uitbreidig: meer i verbad met het evewicht 2. Beteket het bereike va ee evewicht dat er iets meer veradert? 3. Ee evewicht beteket dat het aatal bome iet meer veradert. Gebruik dit om het evewicht op ee adere maier te berekee. 4. Op het momet dat de kleizoo de zaak overeemt, staa er 4500 bome op het perceel. Hij houdt dezelfde politiek aa als zij vader e grootvader: jaarlijks 0% va de bome kappe e 450 ieuwe bome plate. Hoe evolueert het aatal bome op zij perceel? 5. Door ee ogeval ka de kleizoo i ee bepaald jaar slechts 400 ieuwe bome aaplate. Daardoor raakt het systeem tijdelijk uit evewicht. De kleizoo blijft echter bij zij werkwijze. Hoe evolueert het aatal bome? 2
6. De achterkleizoo eemt de zaak over. Hij heeft bedekige bij de hadelswijze va zij voorvadere. Niet het hele perceel wordt beut. Er is immers plaats voor 5000 bome. Ku je er voor zorge dat het evewicht op 5000 komt te ligge door a. ee veraderig aa te brege i het aatal ieuwe bome dat aageplat wordt (e verder alles ogewijzigd te late) b. ee veraderig aa te brege i het percetage dat gekapt wordt (e verder alles ogewijzigd te late). 3
Werktekst 2: Vraag e aabod Het aabod: vergelijkig () I deze werktekst bestudere we ee product waarva de productietijd ogeveer éé jaar i beslag eemt. Het zou bijvoorbeeld kue gaa over ee ladbouwgewas dat vóór de witer gezaaid wordt e i de volgede zomer geoogst wordt of over varkes die vetgemest worde. Om te bepale of ze al da iet met de productie zulle starte, houde de producete (oder meer) rekeig met de prijs va het product. Omdat de productietijd ogeveer éé jaar bedraagt, beïvloedt de prijs op ee zeker ogeblik de grootte va het aabod ogeveer éé jaar later. We stelle de (totale) aagebode hoeveelheid (door alle producete same) over jaar voor door a e de prijs over jaar door p. Da hagt a af va p. We zulle er va uitgaa dat het verbad gegeve wordt door voor alle. a = 30 + 4 p De vraag: vergelijkig (2) De cosumete houde bij hu aakoop (oder meer) rekeig met de prijs va het product. We eme aa dat het hierbij gaat over de prijs op het momet va hu aakoop. We stelle de (totale) gevraagde hoeveelheid (door alle cosumete same) over jaar voor door v. We wete dat v afhagt va p. We zulle er va uitgaa dat het verbad gegeve wordt door voor alle. v = 50 5 p Het evewicht: vergelijkig (3) Ee laatste veroderstellig die we make, is dat elk jaar alles verkocht wordt dat aagebode wordt, d.w.z. dat voor alle. v = a Cocreet beteket dit het volgede. De hoeveelheid die aagebode wordt, ligt vast: het graa is vóór de witer geplat e moet i de volgede zomer geoogst e verkocht worde, de varkes zij vetgemest e het vlees diet op de markt aagebode te worde, Om er voor te zorge dat vraag e aabod i evewicht met elkaar kome, zal me de prijs late dale of stijge. Dat is iet voor alle producte ee realistische veroderstellig. Soms zal me er bijvoorbeeld de voorkeur aa geve de prijs iet te late dale, maar zal me voorrade opbouwe. Wij veroderstelle hier dus dat dat iet gebeurt, bijvoorbeeld omdat het ee bederfbaar of modegevoelig product betreft. Het begi: vergelijkig (4) We veroderstelle dat de prijs u 25 geldeehede bedraagt, m.a.w. p 0 = 25. 4
Hoe evolueert de prijs? Nu kue we oderzoeke hoe de prijs jaar a jaar evolueert: de prijs va u bepaalt het aabod va volged jaar om vraag e aabod volged jaar i evewicht te brege, wordt de prijs va volged jaar aagepast de prijs va volged jaar bepaalt het aabod over twee jaar om vraag e aabod over twee jaar i evewicht te brege, wordt de prijs over twee jaar aagepast We zulle i deze werktekst oderzoeke hoe de prijs evolueert. Recursieve vergelijkig Bij de werkwijze die hierbove geschetst is, oderzoek je de evolutie va de prijs door elk va de bovestaade vergelijkige om de beurt te gebruike.. Gebruik deze werkwijze om de prijs va volged jaar e over twee jaar te berekee. Je ka de prijsevolutie echter op ee efficiëtere maier oderzoeke door de eerste drie vergelijkige te combiere tot éé (recursieve) vergelijkig (differetievergelijkig) die ee rechtstreeks verbad geeft tusse p e p. 2. Stel deze recursieve vergelijkig op e geef de begivoorwaarde. 3. Cotroleer hiermee de prijs va volged jaar e over twee jaar. We zoude de evolutie va de prijs kue oderzoeke met de methode die we i werktekst hebbe lere kee. We zulle dat echter iet doe omdat we het u wille doe m.b.v. ee ieuwe grafische voorstellig (evetueel ka je de methode uit werktekst gebruike als cotrole achteraf). Webdiagram Zorg er vooreerst voor dat je rekemachie igesteld is op het werke met rije (m.b.v. ; ormaal is dat i orde). Stel daara, via [2d] [FORMAT], de machie i op het make va webgrafieke. Voer u de recursieve vergelijkig i (via ) e stel het tekevester i (via *&* ). 5
Als je da op!" drukt, krijg je het volgede scherm te zie. 4. Oderzoek welke rechte je hier ziet (houd rekeig met de istellige va het tekevester) e wat het verbad is met de recursieve vergelijkig. Druk u op!#. Je ziet dat er ee put aageduid is op de horizotale as (het zwarte blokje i de oderstaade schermafdruk; ee kippered blokje/kruisje op je machie). Er is ook tekst verschee, bijvoorbeeld de recursievergelijkig boveaa het scherm. 5. Wat zij de coördiate va het aageduide put? Wat is de betekeis va de adere stukjes tekst? Wat is het verbad met de recursieve vergelijkig e de begivoorwaarde? Druk 6 keer op!#. Je krijgt achtereevolges de volgede scherme. 6. Leg bij elk scherm uit wat je ziet. Wat beteket dit voor de evolutie va de prijs? Geef ook telkes ee wiskudige verklarig. 7. Voorspel hoe de figuur verder opgebouwd zal worde e cotroleer je voorspellig door de machie de tekeig daadwerkelijk te late vervolledige (druk hiervoor verschillede kere op!# ). 8. De prijs verloopt schommeled, de schommelige zij gedempt, e de prijs heeft limietwaarde 20. Hoe ka je deze drie aspecte va verloop uit de figuur afleide? 6
9. Hieroder zie je ee schermafdruk va het webdiagram va ee adere recursieve vergelijkig met begivoorwaarde (i hetzelfde tekevester). a. Wat is de begivoorwaarde? b. Beschrijf het verloop va de terme va de rij i woorde. 0. Maak ee webdiagram va de recursieve vergelijkig met begiwaarde uit de vorige werktekst. 7
I deze werktekst wille we late zie dat recursieve vergelijkige raakpute hebbe met ee thema dat i veel klasse odertusse ee vaste stek verworve heeft: matrixmodelle voor migratie, groei va ee populatie met leeftijdsklasse, We gaa er i de oderstaade werktekst va uit dat je reeds vroeger met overgagsmatrices hebt lere werke. De atwoorde vid je achteraa. Werktekst 3: Recursief migrere I ee zeker gebied woe 3 000 000 mese. Het gebied bestaat uit ee cetraal gelege grote stad met daaromhee ee uitgestrekt plattelad. Op dit ogeblik woe er 000 000 mese i de stad e 2 000 000 op het plattelad. We geve deze begisituatie weer m.b.v. de kolommatrix s(0) 000 000 s X (0) = p(0) = 2 000 000 p Mese verhuize va de stad aar het plattelad e omgekeerd. De verhuisbewegige, gemete over periodes va 0 jaar, worde weergegeve door de oderstaade migratiematrix P: va s p 0,9 0,2 s 0, 0,8 p aar De bevolkig i stad e plattelad a periodes va 0 jaar geve we weer door s( ) X ( ) = p( ).. Laat aa de had va ee matrixberekeig zie dat s( ) = 0,9 s( ) + 0, 2 p( ) p( ) = 0, s( ) + 0,8 p( ) De uitdrukkig hierbove is ee stelsel va twee (gekoppelde) recursieve vergelijkige: de waarde va s e p a ee aatal periode wordt uitgedrukt i fuctie va de waarde va s e p éé periode eerder. Om de waarde va s a periodes te kee heb je zowel de waarde va s als die va p a periodes odig. 2. Voer de twee recursieve voorschrifte uit de vorige vraag i i je rekemachie. Laat ee tabel e ee grafiek make die de evolutie va de bevolkig va de stad e het plattelad weergeve. Beschrijf de evolutie va de bevolkig i stad e plattelad i woorde. 3. Waag, op basis va het atwoord op de vorige vraag, ee gefudeerde gok voor ee expliciet voorschrift voor s( ). I je voorstel moge og parameters voorkome. 4. Geef, gebruik maked va je atwoord op de vorige vraag, ee expliciet voorschrift voor p( ). 5. Bepaal de waarde va de obekede parameter(s) i de uitdrukkige uit vraag 3 e 4 door je gefudeerde gok i te vulle i het stelsel recursieve vergelijkige. 6. Bepaal op dezelfde maier ee expliciete formule voor evolutie va de bevolkig i stad e plattelad voor ee gebied waarva de begipopulatie e de overgagsmatrix gegeve worde door 2 500 000 X (0) = 500 000 e 0,8 0,3 P = 0, 2 0,7. 8
I de werktekst hebbe we voor het bepale va de expliciete voorschrifte sterk gesteud op de grafiek die door de rekemachie geteked werd. Voor 2 2-migratiematrices volstaat dat. I dat speciale geval krijg je amelijk altijd expliciete voorschrifte waarva het rechterlid de vorm c g + b aaeemt. De waarde va de parameters ka je eevoudig bepale. Voor adere 2 2-matrixmodelle e voor grotere matrixmodelle is het i het algemee iet meer mogelijk op basis va de grafiek de vorm va het expliciete voorschrift te rade. Me ka aatoe dat bij 2 2-Lesliematrices e bij de matrix uit de volgede paragraaf het rechterlid va het expliciete voorschrift va de vorm c g + c2 g2 is. De grodtalle g e g 2 zij da de eigewaarde va de matrix. Bij 2 2-migratiematrices is g ee va de eigewaarde e is de adere eigewaarde steeds gelijk aa. Wie hier meer over wil wete, verwijze we aar Uitwiskelig 9/. Maar je hebt i de werktekst gemerkt dat je g ook kut bepale zoder dat te wete. Je ka de bad met recursieve voorschrifte og op ee adere maier legge da i de werktekst. De gekede formule X ( ) = P X ( ) drukt de bevolkig i stad e plattelad op ee zeker tijdstip uit i fuctie va de bevolkig i stad e plattelad éé periode eerder. We hebbe dus te make met ee recursief voorschrift. Het verschil met de recursieve voorschrifte die we vroeger bekeke, is dat het recursieve voorschrift u iet ee rij va getalle beschrijft, maar ee rij va kolomvectore. Voor ee stelsel va twee gekoppelde recursieve vergelijkige biedt de rekemachie og ee ader type grafiek. Kies via +! de istellig,. Voor elke waarde va teket de machie da het put ( s( ), p( )) (i machietaal : ( u( ), v( )) ; vadaar de aam). Met!# ku je de evolutie va de bevolkig volge. Het hoeft iet te verwodere dat de pute op ee rechte ligge: de totale bevolkig blijft immers costat. 9
. Schrijf X ( ) = P X ( ) voluit. Atwoorde 2. De oderstaade schermafdrukke toe hoe het met de rekemachie i zij werk gaat. Vergeet iet te cotrolere of de grafiekoptie TIME igesteld is. We zie dat de bevolkig i de stad vertraagd toeeemt va 000 000 i het begi aar 2 000 000 op lage termij. De bevolkig op het plattelad daalt vertraagd va 2 000 000 i het begi aar 000 000 op lage termij. 3. Op basis va de limietwaarde (2 000 000), de begiwaarde ( 000 000) e het vertraagd stijgede verloop, lijkt s( ) = 000 000 g + 2 000 000, met g ee getal tusse 0 e, ee veratwoorde gok.) 4. Maak gebruik va het feit dat de totale bevolkig steeds uit 3 000 000 persoe bestaat. Je vidt p( ) = 000 000 g + 000 000. 5. Als je de uitdrukkige ivult i het eerste recursieve voorschrift, vid je 000 000g + 2 000 000 = = 0,9 ( 000 000g + 2 000 000) + 0,2 (000 000g + 000 000). g Na vereevoudigig geeft dit g = 0,7, waaruit we afleide dat g = 0,7 Het tweede recursieve voorschrift klopt daarmee metee ook. 6. s( ) = 00 000 0,5 + 2 400 000 e p( ) = 00 000 0,5 + 600 000 0
De recursieve vergelijkige die we tot u toe otmoet hebbe ware hoofdzakelijk va de vorm t = at + b, die we kue omwerke tot t a t = b. I deze ieuwe vorm is het likerlid ee lieaire combiatie va t e t. Daarom spreke we i dit verbad va lieaire recursieve vergelijkige. I de volgede werktekst oderzoeke we ee recursievergelijkig die iet lieair is e late we zie dat de wereld va de iet-lieaire recursieve voorschrifte veel gevarieerder is da die va de lieaire. Werktekst 4: De wodere wereld va de recursievergelijkig t = at ( t ) We oderzoeke recursieve voorschrifte va de vorm t = at ( t ), waarbij a ee getal voorstelt. Nieuw bij deze recursievergelijkig is dat i het rechterlid ee product staat va twee factore die t bevatte.. Welke lije zal je te zie krijge op ee webdiagram? Neem a = 2,5. 2. Maak ee webdiagram va de rij met begiwaarde 0, e beschrijf het verloop erva i woorde. Verklaar wat je vaststelt zoveel mogelijk op basis va het recursieve voorschrift. 3. Oderzoek de stabiliteit va de twee (!) evewichtsposities. We eme u a = 3,5. 4. Bereke met de had het verloop va de rij met begiwaarde 5 7. 5. De oderstaade schermafdruk toot het spiewebdiagram va de rij met begiwaarde 5. Geef ee 7 verklarig voor wat er misloopt. 6. Oderzoek met de had e met de rekemachie het verloop va de rij met begiwaarde 3 7. Noem f ( x) = 3,5 x( x) e f 2 ( x) = f ( f ( x)). 7. De oderstaade figuur toot de grafiek va f 2 e de eerste bissectrice. Je ka arekee dat de sijpute optrede bij de x-waarde 3 7, 5 7 e 6. Het is gee toeval dat dit de getalle zij uit de 7 vrage 5 e 6. Geef ee goede verklarig! 8. Oderzoek e verklaar het verloop va de rij met begiwaarde 0.. Je moet ver geoeg i de rij gaa (ogeveer tot ragummer 40) om te zie wat er te zie is.
Atwoorde. De rechte y = x (zoals steeds) e de parabool y = ax( x). 2. Helemaal i het begi stijgt de rij, daara schommelt de rij. De schommelige worde steeds kleier e de limietwaarde is 0,6. Om dit vast te stelle; ku je gebruik make va ee tabel e/of ee webdiagram (izoome om het verloop te zie voor terme met ee groter ragummer!). De limietwaarde ka je vide door het sijput te bepale va de parabool met de eerste bissectrice. Het feit dat de rij (a ee aaloopperiode) gedempt schommeled verloopt, houdt verbad met het feit dat de raaklij i het sijput richtigscoëfficiët 0,5 heeft. Als de terme zeer dicht bij de limietwaarde geaderd zij, kue we de parabool vervage door de raaklij. E ee rechte met richtigscoëfficiët tusse e 0 zorgt voor ee gedempt schommeled verloop.) 3. De parabool e de eerste bissectrice hebbe twee sijpute, die dus twee evewichtswaarde oplevere: 0 e 0,6. Als we ee begiwaarde eme i de omiddellijke omgevig va 0,6, da covergeert de rij(gedempt schommeled) aar 0,6 (verklarig: dek aa de redeerig met de raaklij bij de vorige vraag!). Dit evewicht is stabiel (of: aatrekked). Als de begiwaarde exact gelijk is aa 0, da zij alle terme va de rij gelijk aa 0. Neme we echter ee begiwaarde i de omiddellijke omgevig va 0 maar iet exact gelijk aa 0, da covergeert de rij iet aar 0. Als het systeem uit evewicht gebracht wordt, keert het dus iet terug aar zij evewicht. Dit evewichtsput is iet stabiel (of: afstoted). 4. De rij is costat. 5. De machie werkt met ee decimale beaderig va de breuk e start bijgevolg met ee begiwaarde die iet exact gelijk is aa 5. Omdat het evewicht iet stabiel is, rake de terme die de machie 7 bereket steeds verder va de echte (evewichts)waarde verwijderd. Na ee groot aatal stappe levert dit zichtbare verschille op. 6. De terme va de rij eme afwisseled de waarde 3 7 e 6 7 aa. We zegge dat zo rij periode 2 heeft. Nu doe er zich gee probleme voor bij de berekeig met de rekemachie. 7. De recursievergelijkig die we bestudere, kue we schrijve als t = f ( t ). De x-waarde waarvoor f ( x) = x geve aa welke begiwaarde ee costate rij oplevere. Dat hebbe we hierbove geregeld gebruikt om evewichtspute te bepale. De fuctie f 2 komt tevoorschij waeer we t uitdrukke i fuctie va de term die twee plaatse voordie staat: t = f ( t ) = f ( f ( t )) = f ( t ). 2 2 2 De x-waarde waarvoor f 2 ( x) = x geve os dus de begiwaarde va de rije waarvoor t0 = t2 = t4 = t6 =... Vazelfspreked geldt da ook t = t 3 = t 5 = t 7 =... We krijge da m.a.w. ee rij met periode 2. Dat verklaart waarom 3 7 e 6 7 va de partij zij. Als de begiwaarde 5 is, zij alle 7 terme va de rij aa elkaar gelijk. Da klopt de voorwaarde hierbove atuurlijk ook. 2
8. Na ee aaloopperiode kome dezelfde vier getalle steeds terug: (afgerod) 0,87500, 0,38282, 0,82694 e 0,50088. Het klopt iet helemaal, wat ee aatal decimale veradere og. Maar aarmate je verder gaat i de rij blijve meer e meer decimale gelijk. De rij covergeert als het ware aar ee stel limietgetalle met periode 4. We kue dit stel terugvide op de maier va vraag 7. Noem f 4 ( x) = f ( f ( f ( f ( x)))) (ee veeltermfuctie va graad 6!). De sijpute va de eerste bissectrice met de grafiek va f 4 bepale de rije met periode (hoogstes) 4. De oderstaade figuur (liks) toot de grafiek. Als we de gepaste dele uitvergrote (zie bijvoorbeeld de middelste e de rechtse figuur), zie we dat er i het totaal 7 sijpute zij. We kee reeds drie va deze sijpute, amelijk deze met x-coördiaat 3 7, 5 7 e 6. E voor de 7 overige vier verwachte we de periodiek terugkerede waarde uit de rij hierbove te zie. Dat klopt effectief. De oderstaade figuur toot dat voor éé va deze vier. Wat experimetere leert dat er gee rije zij die op de lage duur steeds meer lijke op de rij met periode 2 uit vraag 6, terwijl heel veel rije op de lage duur steeds meer lijke op de rij met periode 4. De verklarig daarvoor is dezelfde als die voor het al da iet stabiel zij va ee evewicht. De raaklije aa de grafiek va f 4 i de bewuste vier sijpute met de eerste bissectrice hebbe allemaal dezelfde richtigscoëfficiët, amelijk (afgerod) 0, 03, i absolute waarde kleier da. Daarom is dit stel va 4 aatrekked. De raaklije aa de grafiek va f 2 i de pute met eerste coördiaat 3 7 e 6 7 hebbe (beide) richtigscoëfficiët,25, i absolute waarde groter da. Het stel va 2 is daarom afstoted. Het is overiges iet moeilijk om aalytisch aa te toe dat de vier (resp. twee) raaklije dezelfde richtigscoëfficiët hebbe e om de richtigscoëfficiët va de twee raaklije aalytisch uit te rekee.). 3
Ee differetiaalvergelijkig oplosse m.b.v. ee recursief voorschrift I de voorgaade werktekste hebbe we recursieve voorschrifte vooramelijk lere gebruike om veraderigsprocesse te beschrijve. Typisch hierbij was dat we uit gegeves over het veradere va ee grootheid (e over de begiwaarde erva) afgeleid hebbe hoe de grootheid zelf evolueert. I het voorbeeld va de kerstbome was gegeve dat elk jaar 0% va de bome gekapt worde e dat er elk jaar 450 ieuwe bome geplat worde. Op basis hierva (e op basis va de begiwaarde) werd bereked hoe het aatal bome evolueert, werd ee grafiek gemaakt e werd tot slot ee formule opgesteld voor het aatal bome i fuctie va de tijd. Er is i de wiskude og ee ader istrumet dat heel veel gebruikt wordt om veraderigsprocesse te beschrijve, amelijk ee differetiaalvergelijkig. Ook bij ee differetiaalvergelijkig gebruik je gegeves over het veradere va ee grootheid om te achterhale hoe de grootheid zelf evolueert. Het grote verschil is dat je de tijd bij ee recursief voorschrift opvat als ee discrete veraderlijke (de tijd eemt allee gehele waarde aa) terwijl je de tijd bij ee differetiaalvergelijkig als ee cotiue veraderlijke opvat (de tijd eemt ook iet-gehele waarde aa). De selheid waarmee de grootheid veradert, wordt i het cotiue geval weergegeve door de afgeleide va die grootheid aar de tijd. We wille late zie dat je ee differetiaalvergelijkig (beadered) kut oplosse m.b.v. ee recursief voorschrift. Werktekst 5: De verspreidig va ee virus I deze werktekst oderzoeke we de verspreidig va ee virus i ee gebied met 00 000 mese. Het virus veroorzaakt ee ziekte die iet erstig is, maar wel zeer besmettelijk. Wie besmet wordt, wordt eerst ziek maar bouwt algauw ee afweer tege de ziekte op. Iederee die ooit besmet werd, blijft drager va het virus e blijft adere besmette, maar heeft daar verder gee last meer va. Noteer met y(t) het aatal mese dat drager is va het virus op tijdstip t. Op dit ogeblik zij 5000 mese drager va het virus, d.w.z. y (0) = 5000. De selheid waarmee het virus zich op tijdstip t uitbreidt bie de bevolkig va dit gebied wordt gegeve door y ( t). We gaa er va uit dat deze selheid everedig is met het product va twee factore: y( t ), d.w.z. het aatal mese dat drager is va het virus (logisch: als meer mese drager va het virus zij, zij er ook meer besmetters ); 00000 y( t), d.w.z. het aatal mese dat og gee drager is va het virus (ook logisch: als de meeste mese reeds besmet zij, zij er wel veel besmetters maar slechts weiig potetiële slachtoffers). Meer bepaald zulle we veroderstelle dat voor elk tijdstip t 7 y '( t) = 5 0 y( t) (00000 y( t)). Om te wete hoe het aatal dragers va het virus evolueert, moet je de fuctie y( t ) kee. De uitdrukkig hierbove ku je opvatte als ee vergelijkig met de fuctie y( t ) als obekede. I deze vergelijkig komt de obekede fuctie zelf voor tezame met haar afgeleide. Ee dergelijke vergelijkig wordt ee differetiaalvergelijkig geoemd. We zulle deze differetiaalvergelijkig i deze werktekst iet oplosse (i de betekeis dat we gee formule zulle vide voor y i fuctie va t), maar we zulle er wel i slage om beaderede waarde voor y te berekee. 4
. Verklaar de volgede beaderede gelijkheid: y(0.) y(0) y (0). 0. 2. Gebruik de differetiaalvergelijkig voor t = 0 e de beaderede formule uit de vorige opgave om ee beaderede waarde voor y (0.) te berekee. 3. Zoek op ee gelijkaardige maier ee beaderede waarde voor y (0.2). De beaderede waarde die je bereked hebt voor y (0.) e y (0.2) oeme we y e y 2. De exacte waarde va y (0) oeme we y 0. Op dezelfde maier als i de vorige vrage ku je beaderede waarde vide voor y (0.3), y (0.4), y (0.5), y (0.6),... Deze beaderede waarde oeme we y 3, y 4, y 5, y 6, 4. Geef ee recursief voorschrift voor deze rij va beaderede waarde. 5. Maak ee grafiek bij dit recursieve voorschrift e beschrijf i woorde hoe het virus zich verspreidt oder de bevolkig. Het groeimodel i de werktekst is ee voorbeeld va logistische groei. De beaderede methode die we gebruikt hebbe om de differetiaalvergelijkig op te losse, ka voor heel veel differetiaalvergelijkige toegepast worde. y(0 + h) y(0). Omdat y (0) = lim, is h 0 h 2. Uit 7 Atwoorde y(0 + h) y(0) y (0) als h voldoede klei is. Neem h = 0.. h y '(0) = 5 0 y(0) (00000 y(0)) volgt de beaderede formule y(0.) y(0) 7 5 0 y(0) (00000 y(0)). 0. Hieruit vid je dat 8 2 y(0.) 5 0 y(0) +.005 y(0) = 5023.75. 8 2 3. Je vidt y(0.2) 5 0 y(0.) +.005 y(0.) 5047.60.... Ee subtiliteit: i de vorige vraag ko je je basere op de exacte waarde va y (0), terwijl je u slechts kut steue op ee beaderede waarde va y (0.). 4. Voorhee vod je je het recursieve voorschrift: 8 2 5 0 8 2 = 0 +.005 0 e 2 = 5 0 +.005 8 2 y = 5 0 y +.005y. y y y y y y. Op dezelfde maier vid 5. De oderstaade schermafdrukke geve ee goed tekevester e ee goede grafiek. Het duurt wel eve vóór de grafiek er staat: ogeveer twee miute met ee gewoe TI83. Bemerk dat de grafiek geteked wordt voor tijdstippe va 0 tot 88 (Max verwijst aar de maximale waarde va, iet va de tijd!) I het begi stijgt het aatal dragers verseld. Op het tijdstip dat de helft va de bevolkig drager geworde is, vertoot de grafiek ee buigput. Na dit tijdstip stijgt het aatal dragers vertraagd om te stabilisere rod 00 000. 5