Hoofdstuk 3 N gekoppelde oscilltoren 3.1 De bewegingsvergelijkingen We beschouwen ls een systeem vn N gekoppelde oscilltoren vn N puntmss s M die onderling met veren gekoppeld zijn, zols ngegeven in figuur 3.1. Alle veren hebben een gelijke veerconstnte K en evenwichtslengte. De uitwijking x j (t) vn de j de puntmss wordt gemeten vnf de evenwichtpositie x j (t) =. De bewegingsvergelijking voor mss j is te schrijven ls: Mẍ j = K(x j+1 x j ) + K(x j 1 x j ) met j =, 3,..., N 1 en j 1, N (3.1) Voor het eerste en ltste deeltje, die ieder één nste buur missen, mr wel met een veer vst zitten n een wnd, geldt: Mẍ 1 = K(x x 1 ) Kx 1 (3.) Mẍ N = Kx N + K(x N 1 x N ) (3.3) Figuur 3.1: Een systeem vn N puntmss s M gekoppeld met behulp vn identieke veren met veerconstnte K en evenwichtslengte. In dit gevl beschouwen we vste rndvoorwrden. 19
Deze vergelijkingen kunnen in een lgemene vorm geschreven worden door twee kunstmtige mss s te introduceren voor j = en j =, wrvoor we in dit gevl eisen dt ze ltijd stil moeten stn: x (t) = ; x N+1 (t) = (3.4) Deze voorwrden noemen we rndvoorwrden. Deze specifieke vorm vn rndvoorwrden wr de twee uiterste mss s vi een veer vstzitten n een wnd noemen we vste rndvoorwrden. Lter zullen we ook open rndvoorwrden en periodieke rndvoorwrden tegenkomen. Door deze definitie vn rndvoorwrden worden de bewegingsvergelijkingen: Mẍ j = K(x j+1 x j ) + K(x j 1 x j ) met j = 1,,...N (3.5) 3. Eigentrillingen en dispersiereltie 3..1 De dispersiereltie In het gevl N = hebben we gezien dt de lgemene oplossing geschreven kn worden ls de som vn eigentrillingen. Anloog hiern wordt de lgemene oplossing hier gevonden door te zoeken nr N eigentrillingen, die ieder trillen met een eigenfrequentie ω n. Zo n eigentrilling wordt dus gekrkteriseerd door het feit dt lle puntmss s met dezelfde frequentie en fse trillen: x j (t) = A j cos(ωt ϕ) (3.6) Hierin moeten A j, ω en ϕ nog bepld worden. Omdt x = x N+1 = geldt ook dt A = A N+1 =. Invullen in de bewegingsvergelijkingen (3.5) geeft: Mω A j = K(A j+1 A j ) + K(A j 1 A j ) met j = 1,,...N ofwel: (K Mω )A j = K(A j+1 + A j 1 ) j = 1,,...N (3.7) Hierin moeten dus de mplitudes A j bepld worden. Het is duidelijk dt er voor een gegeven eigentrilling ω een bepld verbnd zl bestn tussen de mplitudes vn de diverse oscilltoren. We nemen nu n dt het verbnd tussen deze mplitudes geschreven kn worden ls: A j = A k sin kj + B k coskj (3.8) De vrible k en de grootheden A k en B k dienen nog bepld te worden. We zien dt de dimensie vn k m 1 is, dus de dimensie vn een reciproke golflengte. We zullen zien dt k
de rol speelt vn een golfgetl zols we die kennen voor een trillende snr. Merk op dt combineren vn vergelijkingen (3.6) en (3.8) oplevert dt de eigentrilling x j (t) gegeven wordt door: x j (t) = (A k sin kj + B k coskj) cos(ωt ϕ) = C k cos(kj ψ) cos(ωt ϕ) Deze lijkt dus erg op een stnde golf die voldoet n de 1 dimensionle golfvergelijking zols we die ook gebruikt hebben voor het vinden vn de eigentrillingen vn een trillende snr. Voor de mplitudes A j geldt: A j+1 + A j 1 = A k [sin k(j + 1) + sin k(j 1)] + B k [cos k(j + 1) + cosk(j 1)] = A k sin kj cosk + B k coskj cosk = (A k sin kj + B k cos kj)cos k = A j cosk Dit betekent dt vergelijking (3.7) overgt in: ofwel (K Mω )A j = KA j cos k (K Mω ) = K cosk dus ω = K M (1 cosk) = K M ( sin k ) Dit resulteert in: K ω = M sin(1 k) (3.9) Dit verbnd tussen de frequentie ω en het golfgetl k heet de dispersiereltie en is te zien in figuur 3.. De dispersiereltie beschrijft dt bij een bepld golfgetl k een beplde frequentie ω hoort, en omgekeerd, dt bij een beplde frequentie een zeker golfgetl hoort, ofwel een welbeplde verhouding tussen de mplitudes vn de diverse oscilltoren. Merk op dt we tot nu toe de rndvoorwrden nog niet gebruikt hebben. De dispersiereltie (3.9) geldt dus ltijd voor een lineire keten vn gekoppelde oscilltoren ongecht de rndvoorwrden. In de volgende prgrf zullen we zien dt de rndvoorwrden uiteindelijk de feitelijke eigentrillingen en eigenfrequenties vn het systeem gn beplen. 3.. Eigentrillingen We pssen in dit voorbeeld vste rndvoorwrden toe, gedefinieerd door vergelijking (3.4): x (t) = geeft A = wt leidt tot B k = A j = A k sin kj 1
K M Frequentie ω golfgetl k Figuur 3.: De dispersiereltie vn een lineire keten puntmss s M gekoppeld door identieke veren met veerconstnte K. x N+1 = geeft A N+1 = ofwel A k sin(k()) = Deze twee rndvoorwrde impliceert onmiddellijk: k() = nπ met n =, ±1, ±,... Dit betekent dus dt we, zols verwcht, N onfhnkelijke eigentrillingen krijgen, gekrkteriseerd door de golfgetllen: k = nπ () met n = 1,,...N wnt n = levert de evenwichtssitutie op, terwijl de overige wrden voor n (n < en n > N) hetzelfde gedrg vn de mplitudes leveren ls die gegeven door de bovenstnde N eigentrillingen. Dit is ls volgt in te zien: sin kj = sin nπj = sin ( nπj + N+1 N+1 πj) = sin [n+(n+1)]πj. N+1 Je kunt dus ltijd een geheel veelvoud vn π bij het golfgetl k optellen. De k- wrden voor n > N zijn niet nodig zodt π < k < π. sin kj = sin nπj nπj [(N+1) n]πj = sin = sin. N+1 N+1 N+1 Het optredend minteken kn direct verdisconteerd worden door in de nog nder te beplen fse ϕ, nmelijk door π erbij op te tellen. De k-wrden behorend bij negtieve n zijn dus niet nodig, zodt k π. We vinden dus N onfhnkelijke eigentrillingen met de volgende gednte: x j (t) = A k sin kj cos(ω k t ϕ k ) (3.1)
nπ wrbij k = n = 1,,...N (3.11) () K en ω k = M sin(1 k) (3.1) 3..3 Voorbeeld: N = 7 met vste rndvoorwrden π eerste eigenmode n = 1: k = = π (N+1) 8 A j = A k sin jπ = A N+1 k sin πj 8 ω k = K sin π = K sin π M (N+1) M 16 Definieer L ls de totle lengte: L = () k = π. De golflengte vn deze L mode is λ = π = πl = L. k π π tweede eigenmode n = : k = = π λ = L (N+1) L A j = A k sin πj = A N+1 k sin πj 4 ω k = K M sin π 8 ltste eigenmode n = 7: k = 7π (N+1) = 7π L λ = L 7 A j = A k sin 7πj = A N+1 k sin 7πj 8 ω k = K M sin 7π 16 Figuur 3.3 ) geeft lle eigentrillingen schemtisch weer. In de figuur zijn de uitwijkingen voor de duidelijkheid lngs de verticle s getekend. In de reliteit is er sprke vn longitudinle trillingen. Drnst gelden overigens deze eigentrillingen ook voor trnsversle trillingen vn een keten met 7 mss s gekoppeld door veren met een evenwichtsspnning S (zie werkcollege). Bij de eerste eigentrilling hebben lle oscilltoren een uitwijking in dezelfde richting ( sinus-mode ), nloog n de eerste eigentrilling vn een ingeklemde trillende snr. De ltste eigentrilling is gekrkteriseerd door het feit dt opeenvolgende oscilltoren juist een tegengestelde uitwijking hebben ( zig-zg-mode ). Voor de tussenliggende eigentrillingen neemt het ntl tekenwisselingen stpsgewijs toe. De eigenfrequenties vn de diverse eigenmodes liggen netjes op de dispersiecurve (figuur 3.3b). Het is duidelijk dt de frequentie toeneemt met toenemende k en dus ook met toenemende eigenmode. Dit is begrijpelijk ngezien een grotere k, d.w.z. een kleinere golflengte, een grotere vervorming vn de keten met zich meebrengt. Deze grotere vervorming gt geprd met grotere terugdrijvende krchten in de veren en dus een grotere frequentie. Met toenemende N wordt de dispersiecurve steeds dichter opgevuld, wt te zien is in figuur 3.3 c) voor N = 9. G zelf n hoe de verschillende eigenmodes eruit gn zien nrmte n groter wordt. 3
n = 1 ) N = 7 K M b) N = 7 7 6 5 n = n = 3 Frequentie 1 3 4 Dispersiecurve Eigenfrequenties n = 4 n = 5 K M c) N = 9 golfgetl k n = 6 Frequentie n = 7 j = 1 3 4 5 6 7 8 L = (N+1) = 8 golfgetl k Figuur 3.3: ) Schemtische representtie vn de eigentrillingen vn een lineire keten vn N = 7 gekoppelde mss s met vste rndvoorwrden. De uitwijkingen die hier trnsversl zijn ngegeven, zijn in werkelijkheid longitudinl. b) De bijbehorende discrete eigenfrequenties voor N = 7, ngebrcht in de dispersiecurve. c) de eigenfrequenties voor N = 9. Met toenemende N wordt de dispersiecurve steeds meer opgevuld. 3.3 De lgemene oplossing (vste rndvoorwrden) De lgemene oplossing is te schrijven ls een lineire combintie vn de eigentrillingen gegeven door vergelijking (3.1): x j (t) = k A k sin kj cos(ω k t ϕ k ) (3.13) of in termen vn n: x j (t) = n=1 A n sin nπj cos(ω nt ϕ n ) (3.14) De eigenmodes kunnen worden gekrkteriseerd door k of door n. Er bestt nmelijk een eenduidig verbnd tusen beiden. Met behulp vn de N eigentrillingen kunnen we de 4
beweging geheel vstleggen. A k (of A n ) correspondeert met de bijdrge vn één specifieke eigentrilling met lbel k (n) tot de lgemene oplossing, en ϕ k (ϕ n ) met de fse vn die bijdrge. In de lgemene oplossing komen dus nog N nder te beplen constnten voor, nl. de mplitudes A n (n = 1,,...N) en fses ϕ n (n = 1,,...N). Deze worden bepld met behulp vn de N beginvoorwrden, x j () en ẋ j (), j = 1,,...N, de positie en snelheid vn lle oscilltoren op tijdstip t =. In het nvolgende lten we zien hoe de mplitudes A n en fses ϕ n volgen uit de N beginvoorwrden. Het is gemkkelijk in te zien dt: x j () = ẋ j () = n=1 n=1 A n cosϕ n sin nπj A n ω n sin ϕ n sin nπj j = 1,,...N j = 1,,...N Om nu een uitdrukking te vinden voor de mplitudes en fsehoeken mken we gebruik vn de orthogonliteitsreltie: sin nπj mπj sin = 1 ()δ n,m met n, m = 1,,...N (3.15) δ n,m is de Kroneckerdelt: δ n,m δ n,m = 1 indien n = m = indien n m Het bewijs vn deze orthogonliteitsreltie gt te ver voor dit college, mr we zullen de reltie toch gebruiken. Vermenigvuldig x j () met sin mπj N+1 1,,...N. We krijgen dn en sommeer de resulterende uitdrukking over j, vn x j () sin mπj = N n=1 A n cosϕ n sin nπj mπj sin Voer llereerst de sommtie over j uit en mk gebruik vn de orthogonliteitsreltie: x j () sin mπj = N n=1 omdt δ n,m lleen een bijdrge geeft indien n = m. Er geldt dus: A n cosϕ n 1 ()δ n,m = 1 ()A m cos ϕ m A m cosϕ m = 5 x j () sin mπj
Anloog geldt: ofwel ẋ j () sin mπj = = N n=1 n=1 A n ω n sin ϕ n sin nπj mπj sin A n ω n sin ϕ n 1 ()δ n,m = 1 ()A mω m sin ϕ m A m ω m sin ϕ m = ẋ j () sin mπj We hebben dus gebruik mken vn de orthogonliteitsreltie de mplitudes en fsehoeken opgeschreven in termen vn de beginvoorwrden: A n cosϕ n = A n ω n sin ϕ n = x j () sin nπj ẋ j () sin nπj n = 1,,...N (3.16) n = 1,,...N (3.17) Dit zijn N vergelijkingen met N onbekenden en hiermee ligt de oplossing dus geheel vst en hebben we de bewegingsvergelijkingen vn een keten met N oscilltoren geheel opgelost. 3.4 Rndvoorwrden De eigentrillingen vn een lineire keten vn N oscilltoren hngen sterk f vn de rndvoorwrden. We onderscheiden grofweg drie typen rndvoorwrden: 1. Vste rndvoorwrden zols we tot nu toe besproken hebben. De uiterste mss s zitten met een veer vst n een wnd (vergelijking (3.4)): x (t) = ; x N+1 (t) =. Open of vrije rndvoorwrden. De uiterste mss s zitten niet vst n een wnd; ze hebben slechts één veer die hen verbindt met hun nste buur: x (t) = x 1 (t); x N (t) = x N+1 (t) (3.18) Dit gevl zl in een werkcollege opgve n bod komen. 3. Periodieke of cyclische rndvoorwrden. De eerste mss is door een veer verbonden met mss N: x (t) = x N (t); x 1 (t) = x N+1 (t) (3.19) Periodieke rndvoorwrden worden veelvuldig gebruikt in de theorie vn de vste stof in de beschrijving vn kristllen, en worden nu nder bekeken. 6
Figuur 3.4: Een lineire keten vn N gekoppelde mss s met periodieke rndvoorwrden wrvoor geldt x (t) = x N (t); x 1 (t) = x N+1 (t). 3.4.1 Periodieke rndvoorwrden Een typisch voorbeeld vn een lineire keten vn N gekoppelde oscilltoren met periodieke rndvoorwrden is te zien in figuur 3.4. Gebruik mkend vn de vergelijking (3.19) luiden de bewegingsvergelijkingen voor zo n systeem: Mẍ j = K(x j+1 x j ) + K(x j 1 x j ) met j = 1,,...N (3.) We proberen ls eigentrilling: x j (t) = A j e ±iωt (3.1) Dit keer werken we dus in complexe nottie wt bij de verwerkingen vn de rndvoorwrden hndig blijkt te zijn. Invullen in de bewegingsvergelijkingen geeft: Mω A j = K(A j+1 A j ) + K(A j 1 A j ) met j = 1,,...N met A = A N ; A 1 = A N+1. We stellen nu: A j = A k e ikj (3.) wt n substitutie in het eigenwrde probleem levert: Mω A k e ikj = K [ e ik(j+1) + e ik(j 1) e ikj] A k ofwel Mω = K [ e ik + e ik ] = K [cosk 1] dus ω = 4K M sin k 7
Ook indien we werken met complexe nottie (vergelijkingen (3.1) en (3.)) komen we dus uit op dezelfde dispersiereltie (3.9). De rndvoorwrden geven: A A 1 = A N A k e = A k e ikn = A N+1 A k e ik = A k e ik(n+1) Combineren vn deze twee vergelijkingen geeft: e ikn = 1 = e πni met n =, 1,... Kortom voor periodieke rndvoorwrden geldt: k = πn N met n =, 1,...N 1 Het golfgetl bestrijkt dus het intervl k π bij vste rndvoorwrden. Merk echter op dt de k-wrden k = πn N dezelfde eigenfrequentie ω k geven. Er geldt immers: sin πn N = sin π(n n) N wt dus twee ml zo groot is ls en k = π(n n) N Bij een gegeven eigenfrequentie horen dus twee onfhnkelijke eigentrillingen met de verschillende golfgetllen: k = πn π(n n) en k = N N Alterntief kunnen we stellen dt bij een gegeven eigenfrequentie er twee onfhnkelijke eigentrillingen horen met golfgetllen k en k (figuur 3.5). In dit gevl blijven de onfhnkelijke k-wrden beperkt tot: k = πn met n =, 1... N ls N even N n =, 1... N 1 ls N oneven In deze nottie is voor grote N het ntl k-wrden ngenoeg ml zo klein ls voor het gevl met vste rndvoorwrden, mr omdt er bij elke k (behlve k = en k = π twee onfhnkelijke oplossingen bestn is het ntl onfhnkelijke eigentrillingen toch gelijk n N. De lgemene oplossing is nu te schrijven ls een lineire combintie vn de eigentrillingen voor k en k: x j (t) = k of in termen vn n (N even): x j (t) = A k +e ikj e ±iω kt + A k e ikj e ±iω kt N n= N +1 A n e i 8 πnj N e ±iω nt
) N = 7 K M b) N = 9 K M Frequentie Frequentie golfgetl k π golfgetl k π Figuur 3.5: De eigenfrequenties vn een lineire keten vn N gekoppelde mss s met periodieke rndvoorwrden voor ) N = 7 en b) N = 9. Vergelijk deze figuren met die in figuur 3.3 b) en c). Bovenstnde oplossing is uitgedrukt in complexe e-mchten. Alterntief kunnen we ntuurlijk ook lineire combinties hiervn nemen, dusdnig dt bij gegeven ω k de twee onfhnkelijke oplossingen er ls volgt uit zien: x j1 (t) = A k sin kj cos(ω k t ψ k ) x j (t) = A k coskj cos(ω k t ψ k) met dezelfde k-wrden ls hierboven. In het lgemeen zullen de beide eigentrillingen niet dezelfde mplitudes en fses hebben, wt leidt tot de volgende lgemene uitdrukking: x j (t) = k A k sin kj cos(ω k t ψ k ) + A k coskj cos(ω k t ψ k) of in termen vn n (N even): x j (t) = N n= A n sin πnj N cos(ω nt ψ n ) + A πnj n cos N cos(ω nt ψ n ) In het gevl vn periodieke rndvoorwrden kunnen we ook lopende golven ls oplossing hebben. Dit is krkteristiek voor open systemen. Beschouw bijvoorbeeld het gevl met A k = A k en ψ k = π en ψ k =. Dn is x j1 (t) = A k sin kj sin ω k t x j (t) = A k coskj cosω k t 9
Lineire combinties vn deze onfhnkelijke eigentrillingen leveren lopende golven op gekrkteriseerd door het feit dt lle oscilltoren dezelfde mplitude hebben, mr een verschillende fse: A k coskj cosω k t ± A k sin kj sin ω k t = A k cos(kj ± ω k t) De snelheid vn de golf, die de fsesnelheid v ϕ wordt genoemd, is dn gelijk n: v ϕ = ω k k (3.3) en is dus in het lgemeen een functie vn k. 3