Afgeleide
) Het begrip fgeleide ) Ileidig Bij de wielerwedstrijd De Wlse Pijl kome de reers op de muur v Hoei Zols je k ie op de figuur hierst heeft dee klim ee gemiddeld stijgigspercetge v 9,8% Wiskudig geie kue we dit iterpretere ls e differetiequotiët (leerstof vierdes) Je iet echter ook dt de mimle helligsgrd 9% is Dit wil egge dt er erges ee put is op de muur v Hoei wr de ogeblikkelijke hellig 9% is Mr hoe kue we dit wiskudig iterpretere? b) Differetiequotiët Het differetiequotiët v ee fuctie i ee itervl geeft de gemiddelde hellig weer v die fuctie i dt itervl Symbolisch wordt dit: Het differetiequotiët v de fuctie y= f ( ) i het itervl [, ] y f b f b is = [ b, ] b Grfisch geie is dit de richtigscoëfficiët v de rechte die de pute, (, ) A f e B b f b verbidt Het k dus geïterpreteerd worde ls de gemiddelde hellig v de fuctie i dt itervl Voorbeeld: Als f ( ) y [,5] = f 4 = + 5 f 5 = = Hierst op de figuur ie je dt dit meetkudig geie de richtigscoëfficiët is v de rechte AB, bereke d het differetiequotiët voor het itervl [,5 ] c) Ogeblikkelijke hellig Stel dt je i het voorbeeld uit de vorige vrg iet wil wete wt de gemiddelde hellig is, mr eerder geïteresseerd bet i hoe groot de ogeblikkelijke hellig is i put A We oude dit kue bedere door put B vribel te mke e steeds dichter bij put A te eme De rechte AB wordt d ee eer goede bederig v de rklij i put A We oeme u de fgeleide i put A de limiet v het differetiequotiët wrbij put B smevlt met put A Cursus differetilrekeig - fgeleide - - S Mettepeige
I os voorbeeld wordt dit: h h A A ( + ) ( ) 4 + f ( + ) f + + = Meetkudig geie is dit de richtigscoëfficiët v de rklij i put A, het is dus de perfecte mt voor de ogeblikkelijke hellig i put A d) Afgeleide i ee put Het begrip fgeleide kue we llee defiiëre i iwedige pute v het domei v ee fuctie f Om dit begrip te defiiëre hebbe we ee vullede defiitie odig Ee bsisomgevig B v ee reëel getl is ee itervl ] ε, ε[ + +, met ε R Ee reëel getl wordt ee iwedig put geoemd v ee vermelig V R ls e slechts ls er ee bsisomgevig v bestt die volledig i V ligt I symbole wordt dit: is ee iwedig put v V B : B V Is ee iwedig put v het domei v ee fuctie f, d defiiëre we de limiet ( + ) f' = ls de fgeleide v de fuctie f i put op voorwrde dt dee limiet bestt e eidig is f f lim Als de fgeleide i ee put bestt oeme we de fuctie dr fleidbr Dit is de richtigscoëfficiët v de rklij t i put, t y f' ( ) ( ) f ( ) = + A f de grfiek v f, dus: Stelle we i de defiitie + =, d kue we de defiitie ook herschrijve ls: f f f' ( ) Beide defiities hebbe hu voordele We illustrere met ee voorbeeld: Voorbeeld: Bereke met behulp v de defiitie de fgeleide v f ( ) = i = Eerste methode: f f' f' f' f' ( + ) f ( + ) ( + ) ( ) 8+ + 6 + 6 + 6 + = Tweede methode: f' f' f f f' f ' = Welke methode je gebruikt bij welke oefeige mk je elf uit ( ) ( ) 6 ( ) ( + + ) Cursus differetilrekeig - fgeleide - - S Mettepeige
) Afgeleide fucties I elk put R wr de fuctie f fleidbr is, kue we de fgeleide fuctie f ' defiiëre ls de fuctie die het put fbeeldt op de fgeleide f' ( ) v de fuctie f i dt put ( + ) Per defiitie geldt dus: f' ( ) (Ook hier kue we uiterrd met de ltertieve defiitie werke) ) Notties f f Voor de fgeleide fuctie f ' worde regelmtig ook dere otties gebruikt: Df ( ) df ( ) d Het voordeel v de tweede ottie is dt e geeft r welke vribele je fleidt b) Afgeleide v gekede fucties De fgeleide v ee costte De fgeleide i put R v ee costte fuctie f ( ) = c R, wordt gegeve door: c c f f f' ( ) = De fgeleide v de idetieke fuctie, of korter geoteerd: Dc= De fgeleide i put R v de idetieke fuctie f ( ) =, wordt gegeve door: f ( ) f ( ) f' = De fgeleide v de kwdrtische fuctie, of korter geoteerd: D= De fgeleide i put R v de kwdrtische fuctie f ( ) =, wordt gegeve door: ( ) ( + ) f f f' ( ) of korter geoteerd: D = De fgeleide v de kubische fuctie + =, De fgeleide i put R v de kubische fuctie f ( ) =, wordt gegeve door: ( ) f f f' ( ) of korter geoteerd: D = De fgeleide v de mchtfuctie ( + + ) + + =, De vorige fucties ij eigelijk specile gevlle v de fuctie f ( ) =, met N : Cursus differetilrekeig - fgeleide - 4 - S Mettepeige
( ) f f f' ( ) lim ( ) f' ( + + + ) = + + + =, of korter geoteerd: De fgeleide v de omgekeerde fuctie De fgeleide i put R v de omgekeerde fuctie f ( ) f f f' ( ) ( ) of korter geoteerd: D = De fgeleide v de vierktswortelfuctie + De fgeleide i put R v de vierktswortelfuctie ( )( + ) ( )( + ) f f f' ' f ( ) =, of korter geoteerd: + De fgeleide v de kubische wortelfuctie De fgeleide i put D = =, wordt gegeve door: =, f =, wordt gegeve door: D = R v de kubische wortelfuctie f =, wordt gegeve door: + + + + f f f' ' f ( ) = + + c) Rekeregels voor fgeleide fucties, of korter geoteerd: De fgeleide v ee som of verschil v twee fucties D = Stel dt f e g beide fleidbr ij i, d geldt voor de fgeleide v hu som: ( f g) ( ) ' ( f + g) ( ) ' ( f + g) ( ) = f' ( ) + g' ( ) ( f + g)( ) ( f + g)( ) ( f + g ) ( f ( ) + g( ) ) + ' f f g g f f g g + lim + Korter geoteerd geeft dit: D( f + g) = Df + Dg Volledig loog k je bewije dt D( f g) = Df Dg Cursus differetilrekeig - fgeleide - 5 - S Mettepeige
De fgeleide v ee product v twee fucties Stel dt f e g beide fleidbr ij i, d geldt voor de fgeleide v hu product: ( f g) ( ) ( f g) '( ) ( f g) '( ) ( f g) '( ) ( f g) '( ) = ' ( f g)( ) ( f g)( ) f ( ) g( ) f ( ) g( ) ' f g f ( ) f ( ) g( ) g( ) g( ) + lim f ( ) f ( ) f ( ) g g limg( ) + lim f ( ) lim f g + f g' f ( ) g( ) + f ( ) g( ) f ( ) g( ) Korter geoteerd geeft dit: D( f g) = f Dg+ g Df Gevolg: Als hieri g ee costte fuctie is (stel g( ) = c R), d krijge we: ( ) = + D c f c Df f Dc = = c Df Voorbeeld: We ij u voldoede gewped om lle veeltermfucties f te leide: D D D D D 8 8 7 7 5 + 4 + = 5 + 4 + = 58 + 4+ = 4 + 6 4 De formule voor het product v twee fucties k heel eevoudig uitgebreid worde: D f g h = D f g h = f D g h + g h Df = f g Dh+ f h Dg+ g h Df De fgeleide v de omgekeerde v ee fuctie Stel dt f fleidbr is i, e dt f ( ), d geldt voor de fgeleide v de omgekeerde: ( ) f f ' f f f ( ) f ( ) f f ( ) lim = f ' f ( ) f ( ) f ( ) = lim lim = f' ( ) = f f ( ) f ( ) f f Df Korter geoteerd geeft dit: D = f f De fgeleide v ee quotiët v twee fucties ' ( ) Uit de vorige twee rekeregels kue we de regel voor het quotiët v twee fucties fleide: f Dg Df g Df f Dg D = D f = f D + Df = f + = g g g g g g g (dee regel geldt uiterrd ekel ls de oemer verschilled is v ul) + + + + 4( + ) 4+ Voorbeeld: D = + = = + + + + + + Cursus differetilrekeig - fgeleide - 6 - S Mettepeige
De fgeleide v ee smestellig v twee fucties: de kettigregel Stel dt f fleidbr is i e dt g fleidbr is i f ( ), d geldt voor de smestellig: ( gf )( ) ( gf )( ) g( f ( ) ) g( f ( ) ) ( gf) '( ) g( f ( ) ) g( f ( ) ) f ( ) f ( ) ( gf) '( ) f ( ) f ( ) g( f ( ) ) g( f ( ) ) f ( ) f ( ) ( gf) '( ) f( ) f( ) f ( ) f ( ) Korter geschreve geeft dit D( gf ) = ( Dg) f Df ( ) lim = g' f f' Dee regel iet er op het eerste icht misschie igewikkeld uit, mr is i de prktijk heel eevoudig I woorde gt het ls volgt: je leidt ee smestellig v twee fucties f door de buiteste fuctie f te leide met ls verderlijke de bieste fuctie, wr je vermeigvuldigt met de fgeleide v de bieste fuctie Dee regel wordt om die rede welees de kettigregel geoemd Het is héél belgrijk dt je dee regel vlot leert toepsse Je l hem vf u costt gebruike Belgrijk gevolg: Elke eigeschp die we i het vorige hoofdstukje (fgeleide v gekede fucties) bewee kue we u uitbreide door i de eigeschp te vervge door f ( ) e weges de kettigregel te vermeigvuldige met Df ( ) Twee voorbeelde ij: m m ( ) Df ( ) D f m f = D f ( ) + + = 4 + + + Voorbeeld: D ( ) ( ) 4 De uitgebreide mchtregel (voor rtiole epoete) We kue u bewije dt de gekede regel D Stel dt q= (met dus q Q, Z e N ), d geldt: q = f D ( ) + Df = f = ook geldt met rtiole epoete D q f = f = f = f = dus ' ( f ) f' ( ) = f' ( ) =, f ( ) = = = f Met de kettigregel geeft dit d: D ( f ( ) ) + q ( ) q q = = q = q f Df, q Q Cursus differetilrekeig - fgeleide - 7 - S Mettepeige
d) Hogere fgeleide Als de fgeleide fuctie v ee fuctie op ij beurt ook fleidbr is, d kue og ees fleide Op die mier krijg je ee ieuwe fuctie die we de tweede fgeleide oeme, of de fgeleide v de tweede orde Uiterrd k je op die mier ook fgeleide v hogere orde defiiëre We otere de tweede fgeleide v f ls f " of De -de fgeleide v f otere we ls ( f ) ( ) of D f of D f of Voorbeeld: Bereke de derde fgeleide v f ( ) = 6 f''' = 6+ = +, f" ( ) = 6 e 4 f' d f d d f d Cursus differetilrekeig - fgeleide - 8 - S Mettepeige
) Afleidbrheid ) Liker- e rechterfgeleide Als de likerlimiet f' ( ) f f < likerfgeleide v f i De fuctie heet d liks fleidbr i Als de rechterlimiet f' ( ) f f > rechterfgeleide v f i De fuctie heet d rechts fleidbr i bestt e eidig is d oeme we die limiet de bestt e eidig is d oeme we die limiet de Het is duidelijk dt ee fuctie fleidbr is i ee put ls e slechts ls e liks e rechts fleidbr is e ls de likerfgeleide e de rechterfgeleide gelijk ij Is f cotiu i d l ook voorwrde dt dee limiete best b) Kikpute f ( ) f ( ) lim f'( ) < < e f ( ) f ( ) lim f'( ) > > Als f cotiu is i e er geldt dt de likerfgeleide iet gelijk is de rechterfgeleide d egge we dt de fuctie ee kikput vertoot i, Stel f ( ) = =, d is ' Dus lim f' ( ) = e f ( ) < > f = lim ' = De fuctie f heeft dus ee kikput i de oorsprog c) Verticle rklije f = = sg( ) Als f cotiu is i e er geldt dt lim ' =+ of lim ' f f de fuctie ee verticle rklij = Voorbeeld: Als f ( ) = d is f' ( ) = e hierbij geldt lim f' ( ) =+ De y -s is dus ee verticle rklij, op = d heeft de grfiek v d) Keerpute Als f cotiu is i e er geldt dt lim f' ( ) =+ e lim f' ( ) < > egge we dt de grfiek v f ee keerput vertoot i, Voorbeeld: Stel f ( ) =, d is f' ( ) 4 f = = = D geldt: = (of omgekeerd) d Cursus differetilrekeig - fgeleide - 9 - S Mettepeige
lim f' lim < < lim f' lim > > = = = =+ De fuctie f heeft dus ee keerput i de oorsprog e) Verbd tusse fleidbrheid e cotiuïteit Stellig: Als f fleidbr is i d is f ook cotiu i Bewijs: f is fleidbr i f' ( ) limf bestt e is eidig, e d geldt: ( ) f ( ) f f + f f limf ( ) lim ( ) + f ( ) = f' ( ) + lim f ( ) f ( ) = f is cotiu i Gevolg: Als f iet cotiu is i d is f iet fleidbr i f ( ) Opmerkig: dee stellig impliceert iet dt f fleidbr is ls f cotiu is, drv hebbe we odertusse l voorbeelde geie i de vorige drie prgrfe Cursus differetilrekeig - fgeleide - - S Mettepeige
4) Toepssige v fgeleide ) Rklij e orml Is f fleidbr i d is de rklij t y f' ( ) ( ) f ( ) De orml i ee put, gt e loodrecht stt op de rklij Als f' ( ) d geldt dus voor de orml: = + A f v de grfiek v ee fuctie is de rechte die door dt put Voorbeeld: Stel de vergelijkig op v de rklij e de orml f ( ) = + 9 i ( 4,5) f' ( ) = = + 9 + 9 P 4 f = 5, dus '( 4) 4 4 9 t y= ( 4) + 5 y= + e 5 5 5 5 5 y= ( 4) + 5 y= + 4 4 y= ( ) + f ( ) f' b) Hoek tusse twee sijdede kromme Hoek tusse twee sijdede rechte De helligshoek v ee rechte is de georiëteerde hoek die ee rechte mkt met de -s Uit de figuur blijkt dt ee hoek tusse twee rechte gegeve wordt door θ = α β, met α e β de Hoek tusse twee sijdede kromme helligshoeke v de betreffede rechte Voor de helligshoek α v rechte y= m+ q geldt tα = e loog is tβ = m mb Dus voor ee hoek θ tusse de rechte geldt: tα tβ m mb tθ = t( α β) = = + tα tβ + m m De hoek θ tusse twee sijdede kromme f e g defiiëre ls de hoek tusse de rklije die kromme i hu sijput (, ) P y Als de kromme fleidbr ij i dt sijput, d geldt voor de rico s v de rklije t e Uit het voorgde volgt d dt: t dt mt = f' ( ) e mt = g' ( ) g' ( ) f' ( ) tθ g' ( ) f' ( ) = + b Cursus differetilrekeig - fgeleide - - S Mettepeige
Voorbeeld: We berekee de hoek tusse de grfieke v f ( ) = e g( ) sijput P (,) De fgeleide ij f' ( ) Voor de hoek geldt dus tθ = = + c) Ee toepssig uit de kiemtic = i hu = e g' ( ) =, dus is f ' = e g ' =, odt θ = 45 (kies ltijd de kleiste positieve hoek) I de fysic otere we de fgelegde weg vk met s, de selheid met v e de versellig met s De gemiddelde selheid v over ee itervl t bereke je met het quotiët v=, dus is het t ds dv d s logisch dt de ogeblikkelijke selheid wordt gegeve door v= Aloog is = = dt dt dt Je k u de gekede formules uit de fysic voor ee eeprig verselde rechtlijige bewegig (EVRB) cotrolere Voor ee bewegig met ee costte versellig, begiselheid v e begipositie s geldt: v= t + v e Verwte selhede t ds dv d s s= + v t+ s Er geldt iderdd dt v= e dt = = dt dt dt Voorbeeld : Ee (cilidrische) regeto heeft ee strl v 4cm e ee hoogte v,m Het reget hrd wrdoor de to ich vult ee tempo v, l/ s (liter per miuut) Met welke selheid stijgt het wter i de to? Voor het huidig volume wter i de to geldt V = πr h= 6 π h, met h de huidige wterhoogte dv dh dh dh Beide lede fleide (r t) geeft: = 6π = 6π =, 4 dt dt dt dt 6π dv l cm (merk op dt, dt = s = s, odt dh, 4 cm ) dt s Voorbeeld : Robbe speelt met ij vlieger op het strd Hij vliegt op ee costte hoogte v m (bove Robbe ij hd) Zij vlieger vliegt v hem weg met ee selheid v 4m s Met welke selheid moet Robbe het touw losse ls hij het strk gespe houdt e de vlieger u 5m v hem verwijderd is? Met de coveties op de figuur geldt weges de stellig v Pythgors: + h = k De hoogte blijft costt () e op dit momet is k= 5, dus is u d dt d dt Afleide r t geeft: ( ) + ( h ) Robbe moet dus het touw losse met ee selheid v,67m s = 5 = d d dk dk = k = k = 4,67 dt dt dt dt 5 Cursus differetilrekeig - fgeleide - - S Mettepeige
d) De methode v Newto We ge reeds twee methodes om ulpute te bedere: de methode v Bolo e de regul flsi Oe eis dr ws dt de fucties cotiu wre Is de fuctie bovedie ook fleidbr d k de methode v Newto uitkomst biede Zij gegeve ee fuctie f die fleidbr is e ee eerste bederig (gok) voor de ulwrde De rklij i A, f ( ) is t y f' ( ) ( ) f ( ) = + Het sijput v de rklij met de -s levert meestl ee betere bederig voor c op f ( ) Stel dus (,) t = f' ( ) ( ) + f ( ) = f' ( ) Herhle we dee werkwije met de rklij i A (, f ( ) ) eoverder d krijge we ee rij ( ) die k covergere r ee ulput Dit bewijs vlt echter ook buite het bestek v dee cursus (De methode die je rekemchie gebruikt om ulpute te bedere is ee megvorm v de methode v Newto e de regul flsi) Cursus differetilrekeig - fgeleide - - S Mettepeige