TENTAMEN ELEKTROMAGNETISME 2 3NA35/3AA32

Transcriptie

1 TENTAMEN ELEKTROMAGNETISME 3NA35/3AA3 juni, 4 7 uur Geef bij ieere toepssing vn een kring- of oppervlkte-integrl uielijk n lngs welke weg of over welk oppervlk wort geïntegreer Het formulebl en beoorelingsformulier is bijgevoeg ná e opgven Het is niet toegestn een rekenpprt te gebruiken De uitwerkingen woren n floop vn het tentmen uitgereikt De uitslg hngt uiterlijk vnf 5 juli op het publictiebor in N-lg Opgve In het y-vlk bevint zich een zeer unne cirkelvormige stroomring met binnenstrl en buitenstrl (zie figuur) De stroomring bevint zich in vcuüm In e stroomring loopt een oppervlktestroom met oppervlktestroomichthei s S J ( r) = J e De richting ervn is tegen e wijzers vn e klok in (zie figuur) r ϕ z y Toon n t e bijrge vn een ring ter breete vn r n e mgnetische inuctie in een willekeurig punt op e z-s gelijk is n: S J rr B = e 3/ z ( r + z ) Bereken e mgnetische inuctie B voor e gehele ring in een punt op e z-s 3 Bereken e mgnetische inuctie B voor het gevl t z ; verklr e gevonen fhnkelijkhei vn z

2 Opgve Gegeven een oneinig lnge en niet-mgnetische ciliner ( r = ) met strl R De s vn e ciliner is evenwijig n e z-s De mgnetische inuctie binnen e ciliner br wort gegeven oor e uitrukking B( r) = breϕ voor r R / en B( r) = eϕ voor R / < r < R, met r e fstn tot e s vn e ciliner Er loopt geen oppervlktestroom over het oppervlk vn e ciliner Bereken e stroomichthei J (r) binnen e ciliner Bereken B (r) buiten e ciliner y Vervolgens wort een eel vn e ciliner weggenomen Drbij ontstt een oneinig lnge cilinrische holte, gecentreer ron e lijn = R / 4 en met een strl R / 4 In het overgebleven eel vn e ciliner blijft e stroomichthei onverner Zie nevenstne figuur 3 Bereken e mgnetische inuctie B( ) voor een willekeurige positie positieve -s R = R / 4 < < R op e

3 Opgve 3 In het y-vlk vn een rechthoekig coörintenstelsel bevint zich op z = een grote, oneinige unne, vlkke geleiene plt (zie tekening) Hieroor loopt een homogene constnte oppervlktestroom Bovenop eze geleiene plt (tussen z = en z = ) bevint zich een grote vlkke plt vn een prmgnetisch mteril met een mgnetische susceptibiliteit χ m = C( z ) wrbij C een constnte is In het punt P(,,) heerst een mgnetische inuctie B in e positieve y-richting In e omgeving vn e oorsprong zijn geen nere vrije stromen nwezig z P S R O y Q 3 Hoe groot is e mgnetische inuctie B in het ngegeven punt Q(,,-)? 3 Geef een uitrukking voor e stroomichthei vn e vrije stroom in het y-vlk 33 Stel een uitrukking op voor e mgnetistie M in het punt R(,,/) 34 Wr bevinen zich e mgnetistiestromen? Geef uitrukkingen voor e stroomichthei hiervn 35 Punt S ligt op e rn vn het prmgnetische meium Bereeneer welke vn e vectorgrootheen B, H, en M hier continu zijn

4 Opgve 4 Door een lnge spoel met vierknte oorsnee (ribbe W, oppervlkte 4W, lengte L, N wikkelingen; zie ook onerstne figuur) loopt een tijsfhnkelijke stroom I t = I + αt De spoel bevint zich in vcuüm en ligt evenwijig n e z-s ( ) I W 4 Bereken grootte en richting vn B, M en H in e spoel Vervolgens wort een kubusvormig blok composiet (smengestel) mteril mien in e spoel gepltst De composiet bestt uit een rmwerk vn unne metlen plten met rtussen blken vn een homogeen, isoleren mteril met mgnetische susceptibiliteit χ m zols weergegeven in e onerstne figuur De ribbe vn e kubus heeft grootte W, e weerstn vn een enkele plt is R = Bereeneer wr vrije stromen gn lopen en wr oppervlktemgnetistiestromen gn lopen Neem onerstne tekening over en geef hierin e richting vn eze stromen n

5 I W W 43 Bereken e grootte vn e vrije stroom oor plt en oor plt (zie tweee figuur) s 44 Bereken e grootte vn e oppervlktemgnetistiestroomichthei J m op blk 3 en 4 (zie tweee figuur) De wre vn R is zonig groot t e vrije stromen in e composiet te verwrlozen zijn tov e stroom oor e buitenste spoel

6 BEOORDELINGSFORMULIER EM juni Dit formulier ingevul overleggen bij het eventuele onerhou met e corrector Nm: Vrgstuk Te behlen Toegeken oor Toegeken oor punten corrector stuent Totl Totl behl Totl behl Voor elk onereel woren slechts gehele punten toegeken Het cijfer wort bepl oor het totl ntl punten te elen oor en rn f te ronen op hele cijfers Totl ntl punten = Cijfer =

7 Formulebl EM 7 Permittiviteit vc: ε 8845 C Nm ; permebiliteit vc: = 4π Ns C / 9 Elementire ling: e 677 C Il e r Wet vn Biot en Svrt: B = 4 π r / Mwell-verg in meium, permittiviteit ε = ε r ε = (+χ e )ε, permebiliteit = r = (+ χ m ) : D A = Q omsl, vrij B A = H l = ic + D A t E l = B A t I I Inuctie: ε = L ε = M Complee impentie: t t Mterie: M l = P A = I M, omsl Q P,omsl ZR = R ZL = iωl ZC = iωc B = ( H + M ) M = χ mh D = ε E + P P = ε χ ee Elektrische en mgnetische energie-ichtheen: u = D E = B H E ub Afgeleien n e = n n sin = cos cos = sin = e ln = Integrlen = rcsin = ln( + + = rctn + = 3 / ( + ) ( + ) 3 / = ) Reeksontwikkeling Integrlen n+ n = ( n ) n + = ln sin = cos cos = sin e = e n n( n ) n( n )( n ) 3 ( + ) = + n + +! 3! sin( ) = + + 3! 5! 7! 4 6 cos( ) = + +! 4! 6! tn( ) = ( < π / ) e = ! 3! 3 4 ln( + ) = + + ( < ) 3 4 ( < )

8 TENTAMEN ELEKTROMAGNETISME 3NA35/3AA3 juni, 4 7 uur Antwooren Opgve Voor e stroomsterkte I oor een ringetje ter breete r volgt: I = J r ; r Met Biot Svrt (wrbij e vector r e vector vn het ringetje tot het punt op e z-s is) volgt n: S J r S I l er r rπ r J rr B = = e z = e 3/ z 4π r 4π r + z ( r + z ) ( r + z ) S S J Integrtie levert: B = e z + z 4 + z 3 Voor z volgt: S S S J J 4 J 3 B = e z + e z = e 3 z z z z z 4z + + z z De mgnetische inuctie is us fhnkelijk vn z 3 ; hetgeen overeenkomt met het vel vn een mgnetische ipool Dit is te verwchten, wnt e gegeven stroomvereling is voor z op te vtten ls een stroomkringetje

9 Opgve De stroom loopt in e positieve z-richting Toepssen wet vn Ampère op een unne ring met binnenstrl r en buitenstrl r+r levert voor e component vn ( rb) e stroomichthei: π ( rb( r) ( r + r) B( r + r) ) = π rrj, of = rj r b br Voor r R / vinen we zo: J ( r) = ez en voor R / < r < R : J ( r) = ez r De totle stroom wort gevonen uit e integrl over e stroomichthei: πbr πbr πbr I = + = Toepssen vn e wet vn Ampère op een kring met br strl r > R levert n B( r) = eϕ r 3 We vinen e totle mgnetische inuctie oor toepssing vn het superpositieprincipe Drtoe introuceren we een stroomichthei binnen e cilinrische holte ie ect tegengestel is n e oorspronkelijke b stroomichtehei: Jholte( ) = ez Het totle B-vel is n e som vn het oorspronkelijk vel (zols gegegeven in e opgve) en het vel tgv e etr stroomichthei Toepssing vn e wet vn Ampère levert voor e etr br bijrge: B holte ( ) = ( R / 4) beϕ voor R / en B holte ( ) = eϕ 6( R / 4) R br voor R / < < R Het totle B-vel is n: B totl ( ) = ( ) beϕ = eϕ 4 4 br R voor < R /, en B totl ( ) = eϕ voor R / < R 8( R / 4) De ltste uitrukking is te vereenvouigen tot: B totl br 8 3R ( ) = eϕ 8 R

10 Opgve 3 3 Er gelt BP = B ey hetgeen betekent t e (vrije) stroom oor e plt in e e loopt Uit e Wet vn Ampère (zie ook 3) volgt n t het B-vel in Q even groot mr tegengestel gericht is n het B-vel in P Dus BQ = B ey 3 Wet vn Ampère toepst op een rechthoekige integrtiekring ie oor e punten P en Q loopt en e plt met prmgnetisch mteril (e mterie ) geeeltelijk B omsluit levert BL + + BL + = JvrijL zot Jvrij = e 33 De vectorgroothei H hngt lleen vn e vrije stroom f en is us onfhnkelijk B vn e positie voor z > : H = ey zot B M = χm H = C( z ) ey voor < z < In punt R geeft it M = 34 In e mterie kunnen zich op z = en z = oppervlktemgnetistiestromen bevinen Binnen e mterie kn zich een ruimtemgnetistiestroom bevinen C B Voor z = gelt M = e zot S C B y Jm = M n = e 4 4 C B Voor z = gelt M = e zot S C B y Jm = M n = e 4 4 De ruimtemgnetistiestroomichthei is uit te rekenen vi e Wet vn Ampère voor M toegepst op een rechthoekig integrtiep evenwijig n het oppervlk met zijen op positie z + z en z: M z+ zl + + M zl + = J mlz Dit levert B Jm( z) = C( z ) e Ter controle kn vstgestel woren t e totle mgnetistiestroom oor e mterie iner is 35 Omt er op z = geen vrije stromen lopen is H continu in S M = buiten e mterie en M binnen e mterie zot M en B beie niet continu zijn in S

11 Opgve 4 4 Ampère-kring met lengte l L, evenwijig n e z-s, hlf binnen en hlf NI N ( I +αt) buiten e spoel geeft: H l = Hl = l H = ez en us M = L L N ( I t) (vcuüm) en B + α = e z L 4 Het vernerene B-vel inuceert een emk in elk vn e 3*3 cellen Deze emk s heffen elkr overl op, behlve op e buitenrn, wr us een vrije stroom gt lopen ie e vernering in flu tegenwerkt Deze stroom loopt us in e tegengestele richting ls e stroom in e spoel, zie gestreepte pijlen De mgnetistie vn e blokken mgnetisch mteril zorgt voor een oppervlktestroomichthei vn mgnetistie op elk vn e 9 blokken in e zelfe richting ls e stroom in e spoel, zie ikke pijlen B, z 43 Door plt loopt geen stroom, zie 4 Door plt : De in een enkele cel α NW geïnuceere emk volgt uit emk = B A = t Deze wekt een 9L stroom op oor het omringene metl (totle weerstn 4R/3) met grootte α NW RL ( + αt) s 44 Mbv M n = χmn I J m en M = χmh = e s χmn I + αt z volgt Jm =, L L lopen op e buitenknt vn elke blk, in e richting ie geteken is bij 4 ( )