Eindexamen vwo wiskunde B I

Transcriptie

1 Formules Vlkke meetkunde Verwijzingen nr definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder ndere toelichting. Hoeken, lijnen en fstnden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstnde hoeken, F-hoeken, Z-hoeken, fstnd punt tot lijn, driehoeksongelijkheid. Meetkundige pltsen: middelloodlijn, bissectrice, bissectricepr, middenprllel, cirkel, prbool. Driehoeken: hoekensom driehoek, buitenhoek driehoek, congruentie: HZH, ZHH, ZHZ, ZZZ, ZZR; gelijkvormigheid: hh, zhz, zzz, zzr; middelloodlijnen driehoek, bissectrices driehoek, hoogtelijn driehoek, hoogtelijnen driehoek, zwrtelijn driehoek, zwrtelijnen driehoek, gelijkbenige driehoek, gelijkzijdige driehoek, rechthoekige driehoek, Pythgors, gelijkbenige rechthoekige driehoek, hlve gelijkzijdige driehoek. Vierhoeken: hoekensom vierhoek, prllellogrm, ruit, rechthoek, vierknt. Cirkel, koorden, bogen, hoeken, rklijn, vierhoeken: koorde, boog en koorde, loodlijn op koorde, middellijn, Thles, middelpuntshoek, omtrekshoek, constnte hoek, rklijn, hoek tussen koorde en rklijn, koordenvierhoek. Goniometrie sin( t+ u) = sintcosu+ costsinu sin( t u) = sintcosu costsinu cos( t+ u) = costcosu sintsinu cos( t u) = costcosu+ sintsinu t u t u 2 2 t u t u 2 2 t u t u 2 2 t u t u 2 2 sint+ sinu = 2sin + cos sint sinu = 2sin cos + + cost+ cosu = 2cos cos + cost cosu = 2sin sin www

2 Onfhnkelijk vn Voor elke positieve wrde vn is een functie f gegeven door f ( x) = (1 x) e x en een functie F gegeven door F ( x) = x e x. De functie 3p 1 Toon dit n. F is een primitieve functie vn f. De grfiek vn Zie onderstnde figuur. f snijdt de x-s in punt A ( 1, 0) en de y-s in punt B (0, 1). figuur De grfiek vn f verdeelt driehoek OAB in twee delen. 5p 2 Toon n dt de verhouding vn de oppervlkten vn deze twee delen onfhnkelijk is vn. www

3 Het stndrd proefgls Bij het proeven vn wijn kn de vorm vn het gls ongewenste effecten geven. Zo zl de wijn er in een breed gls donkerder uitzien dn in een sml gls. De breedte vn het gls heeft ook invloed op de geur vn de wijn. Drom is voor het proeven vn wijn een stndrd proefgls ontwikkeld: het ISO Stndrd Wine Tsting Glss. De eisen die n dit stndrd proefgls worden gesteld, zijn vstgelegd in een ISO-rpport. An de hnd vn de gegevens in dit rpport heeft een technisch tekenr een model vn het stndrd proefgls getekend. Een zijnzicht vn dit model zie je in figuur 1. figuur 1 Om dit model te mken heeft de tekenr drie wiskundige functies gebruikt. De bijbehorende grfieken beschrijven de buitenknt vn het gls. Door deze grfieken om de x-s te wentelen, ontstt een model vn het stndrd proefgls. In figuur 2 zijn de drie grfieken en hun spiegelbeelden in de x-s getekend. figuur 2 0,452x Kromme AB is de grfiek vn de functie f met f( x) = 4,5 + 28,0 e op het domein [0,0; 55,3]; hierbij zijn f (x) en x in mm. Door kromme AB te wentelen om de x-s ontstn de buitenknt vn de voet en de steel vn het wijngls. De voet en de steel zijn mssief. 4p 3 Bereken het volume vn de voet en de steel smen. Rond je ntwoord f op een geheel ntl cm 3. www

4 Om CD te tekenen wordt een bergprbool gebruikt met C ls top. Een formule vn deze prbool kn worden gevonden door eerst kromme CD te verschuiven zo dt C terechtkomt op O(0, 0). In figuur 3 zijn de kromme CD en de beeldkromme OE getekend en is ook de verschuiving weergegeven. Kromme OE is deel vn een bergprbool met top O en heeft dus een formule 2 vn de vorm y = x, met < 0. Nu kn gebruik gemkt worden vn de trnsltie die kromme OE fbeeldt op kromme CD. In figuur 3 is ook deze trnsltie weergegeven. figuur 3 5p 4 Stel een formule op voor kromme CD. figuur 4 In figuur 4 zijn opnieuw de drie grfieken en hun spiegelbeelden in de x-s getekend. Voor het proeven vn wijn wordt een gls bij voorkeur met 50 ml wijn gevuld. Drom wil de tekenr in figuur 4 het punt ngeven tot wr het stndrd proefgls gevuld moet worden om 50 ml wijn te bevtten. Dit punt P ligt op kromme BC. 2 Kromme BC is de grfiek vn de functie g met gx ( ) = x + 175x 6600 op het domein [55,3; 87,5]; hierbij zijn g(x) en x in mm. In figuur 4 is het vlkdeel V grijs gemkt dt wordt begrensd door de verticle lijnen door B en door P, de x-s en kromme BP. Als V wordt gewenteld om de x -s, heeft het omwentelingslichm dus een inhoud die overeenkomt met 50 ml. Hierbij wordt de dikte vn het gls verwrloosd. 6p 5 Bereken met behulp vn primitiveren de x-coördint vn P. Rond je ntwoord f op een geheel getl. www

5 Vnuit een prllellogrm Gegeven is een prllellogrm ABCD. De bissectrice vn hoek ADB snijdt het verlengde vn CB in het punt E. Zie figuur 1. Deze figuur stt ook op de uitwerkbijlge. figuur 1 Driehoek BDE is gelijkbenig. 3p 6 Bewijs dit. In figuur 2 is opnieuw een prllellogrm ABCD getekend. Nu is ook gegeven dt de lijn door B en C rkt n de omgeschreven cirkel vn driehoek ABD. De bissectrice vn hoek ADB snijdt het verlengde vn CB in E en de cirkel in F. Ook hier geldt: driehoek BDE is gelijkbenig. Zie figuur 2. Deze figuur stt ook op de uitwerkbijlge. figuur 2 4p 7 Bewijs dt BFD = 2 BEF. www

6 uitwerkbijlge 6 7 www

7 Tussen twee sinusgrfieken De functies f en g zijn gegeven door f( x) = sin x en gx ( ) = sin( x+ 1 π ). In figuur 1 zijn de grfieken vn f en g getekend op het domein [0, 2 π ]. De grfieken vn f en g snijden elkr op dit domein bij x = 1 in het punt A en bij x = 4 in het punt B. Zie figuur 1. figuur 1 3 π 3 π 3 V is het vlkdeel dt tussen A en B wordt ingesloten door de grfieken vn f en g. 4p 8 Bereken met behulp vn primitiveren de oppervlkte vn V. = +. In figuur 2 zijn de grfieken 2 vn f, g en h getekend op het domein [0, 2 π ]. De functie h is gegeven door hx ( ) 1 ( f( x) gx ( )) figuur 2 4p 9 Bereken excte wrden vn en b zo dt 1 ( f x gx) sin( x+ b). ( ) + ( ) te herleiden is tot 2 www

8 Drie vierknten in een rechthoek In een rechthoek vn 20 bij 30 liggen drie vierknten: A linksonder, B rechtsonder en C rechtsboven. Vn elk vierknt vlt een vn de hoekpunten smen met een vn de hoekpunten vn de rechthoek. A en B liggen tegen elkr n, en B en C ook. Het deel vn de rechthoek dt niet bedekt is door de vierknten noemen we D. Zie figuur 1. figuur 1 Als de lengte vn de zijde vn vierknt A gekozen is, liggen de fmetingen vn de delen B, C en D vst. De lengte vn de zijde vn vierknt A noemen we x. In figuur 2 is voor x = vn elk deel de oppervlkte ngegeven. figuur 2 Er is een wrde vn x wrvoor de oppervlkte vn D mximl is. 8p 10 Bereken exct deze wrde vn x. www

9 Een W Een punt P beweegt in het Oxy-vlk volgens de vergelijkingen: figuur π ( 15 t) 4π ( t) xt ( ) = cos yt ( ) = cos 15 Hierbij zijn x en y in meters, t in seconden en t 0. De bn die P doorloopt, heeft de vorm vn een W. Op tijdstip t = 0 strt P in punt A(1, 1) en op tijdstip t = 15 bevindt P zich voor het eerst in punt B( 1, 1). In de figuur zijn de bn die P doorloopt, de punten A en B en de lijn met vergelijking y = x getekend. Gedurende het tijdsintervl [0, 15] bevindt P zich een ntl seconden onder de lijn met vergelijking y = x. 5p 11 Bereken dit ntl seconden. Op zeker moment tijdens de beweging vn A nr B psseert P de y-s. Drbij neemt de x-coördint vn P f. 5p 12 Bereken exct de snelheid vn de x-coördint vn P op dt moment. www

10 Verschoven plten Op de foto s hieronder zie je een kunstwerk vn de Friese kunstenr Ids Willemsm bij het voormlige Arbeidsbureu in Heerenveen. foto 1 foto 2 Het kunstwerk bestt uit een ntl nst elkr gepltste ijzeren plten vn gelijke lengte. De voorste plt op foto 2 stt verticl op de grond tegen een muurtje. De stnd vn de volgende plten is ontstn door zo n plt eerst verticl tegen het muurtje te pltsen en drn de onderknt over de grond te verschuiven in de richting loodrecht op het muurtje. De plten steunen steeds op de bovenknt vn het muurtje. Om te voorkomen dt voorbijgngers zich stoten n het kunstwerk, willen we weten hoe ver de bovenknt vn een verschoven plt mximl in horizontle richting kn uitsteken. In deze opgve kijken we nr een model met één plt met lengte 280 cm die steeds schuiner tegen een muurtje met hoogte 35 cm komt te stn. In dit model wordt de plt voorgesteld door een lijnstuk PQ. Zie de figuur op de volgende bldzijde. Het punt wr PQ op de bovenrnd vn het muurtje steunt, noemen we A. We brengen een ssenstelsel n met de x-s horizontl door P en de y-s verticl door A. Lngs beide ssen nemen we ls eenheid 1 cm. De coördinten vn A zijn dus (0, 35). www

11 In de verticle beginstnd vn PQ bevindt punt P zich in de oorsprong en is Q het punt (0, 280). Punt P wordt over de x-s nr links geschoven, terwijl lijnstuk PQ door punt A blijft gn. In de figuur zijn de beginstnd, een tussenstnd en de eindstnd vn lijnstuk PQ getekend. figuur De loodrechte projectie vn Q op de x-s noemen we Q'. De fstnd vn P tot de oorsprong noemen we p en de fstnd vn Q' tot de oorsprong noemen we q. Zie de figuur. Uitgnde vn de getekende tussenstnd kn q, met behulp vn gelijke verhoudingen in gelijkvormige driehoeken, ls volgt worden uitgedrukt in p: 280p q = p 2 p p 13 Toon n dt deze formule juist is. Als we q beschouwen ls functie vn p, dn geldt voor de fgeleide: q' ( p) = ( p ) p p 14 Toon dit n. 6p 15 Bereken exct het mximum vn q. www

12 Evenwijdige lijnen en een rechthoek Op een cirkel met middelpunt M liggen de punten A, B, C en D zo dt AC een middellijn is en de lijnstukken AB en CD evenwijdig zijn. Zie figuur 1. Deze figuur stt ook op de uitwerkbijlge. figuur 1 4p 16 Bewijs dt vierhoek ABCD een rechthoek is. Door punt D trekken we de lijn l evenwijdig n AC. Lijn l snijdt de cirkel behlve in D ook in punt E. Lijnstuk ME snijdt CD in punt S. Zie figuur 2. Deze figuur stt ook op de uitwerkbijlge. figuur 2 4p 17 Bewijs dt CSE = 3 CDE. www

13 uitwerkbijlge www