Het gebruik van Maple bij ConstructieMechanica

Transcriptie

1 Het gebruik vn ple bij onstructieecnic PLE is een krctige tool om op een gestructureerde wijze lstig en vervelend rekenwerk te verricten. PLE versie 7 is bescikbr voor studenten vi de cmpuslicentie vn de TU-elft en wordt geleverd in et grtis e jrs studenten (softwre) pkket. eer informtie ierover vind je op: ttp:// Om et gebruik vn PLE te demonstreren worden ier een ntl voorbeelden uitgewerkt. e onderdelen die n de orde komen zijn: Voorbeeld, Voorbeeld, Voorbeeld : et werken met vergelijkingen Voorbeeld : et oplossen vn een differentilvergelijking Voorbeeld : werken met mtrices e eerste vier voorbeelden ebben betrekking op sttisc onbeplde constructies. Verscillende oplosmetodieken worden met deze voorbeelden gedemonstreerd. n voorbeeld wordt gebruik gemkt vn de zkkingslijn voor buiging. Hiervoor worden met beulp vn rndvoorwrden en overgngsvoorwrden ct vergelijkingen opgesteld wrmee et zkkingsveld voor dit voorbeeld kn worden bepld. n voorbeeld en wordt met beulp vn de krctenmetode op bsis vn oekvernderingsvergelijkingen de krctsverdelingen bepld voor twee sttisc onbeplde constructies. Ook ier worden de vergelijkingen opgesteld wrmee de onbekenden kunnen worden opgelost. n voorbeeld wordt etzelfde probleem ls in voorbeeld in PLE direct opgelost door gebruik te mken vn de oplossingsmetodieken voor differentilvergelijkingen. n voorbeeld wordt n de nd vn een voorbeeld uit de sttic een stelsel vergelijkingen opgesteld dt in mtrixvorm kn worden weergegeven. Voor et oplossen vn de onbekenden wordt vervolgens gebruik gemkt vn de lineire lgebr tecnieken die in PLE voornden zijn. Hns Wellemn - - jnuri

2 Voorbeeld : Vergelijkingen oplossen Het voorbeeld betreft de in figuur weergegeven constructie. e ligger wordt belst met een gelijkmtig verdeelde belsting die lleen ngrijpt n op et liggerdeel. e ligger is in volledig ingeklemd. Op de ligger werkt een gelijkmtig verdeelde belsting die lleen ngrijpt op liggerdeel. e oorsprong vn et ssenstel x-z-ssenstelsel wordt in gekozen. q kn/m z,w, m iguur : Sttisc onbeplde ligger Omdt de belsting niet met één functievoorscrift voor de geele ligger kn worden bescreven moeten de liggerdelen (velden) en fzonderlijk worden bekeken. Voor elk veld geldt de e orde differentilvergelijking voor buiging: d w E q( x) dx Om de grooteden w, ϕ, en V in de velden en vn elkr te kunnen ondersceiden krijgen ze in veld een index en in veld een index, dus: voor liggerdeel : w (x), ϕ (x), etc. voor liggerdeel : w (x), etc. l, m E knm e lgemene oplossing vn de e orde.v. voor buiging in et gevl vn een gelijkmtig verdeelde belsting q(x) q is: qx w( x) x x x E x omogene oplossing prticuliere oplossing Per liggerdeel kn et verpltsingsveld worden opgesteld. ngezien de gelijkmtig verdeelde belsting nul is op et liggerdeel is de prticuliere oplossing voor dit deel vn de ligger gelijk n nul. Er geldt: qx w ( x) x x x E w ( x) x x x () n totl zijn er 8 onbekende integrtieconstnten: t/m (veld ) en t/m (veld ). eze zijn te berekenen met beulp vn de rnd- en overgngsvoorwrden. Zie Hrtsuijker, Toegepste ecnic deel, blz., 8 en 9 en deel blz. 9, en 6. Hns Wellemn - - jnuri

3 Ter pltse vn de rnden en gelden (per rnd) twee rndvoorwrden. Ter pltse vn de veldovergng in moeten vier overgngsvoorwrden worden opgesteld. e rnd en overgngsvoorwrden zijn weergegeven in figuur. Rndvoorwrden: w () () q kn/m w (x) w() Overgngsvoorwrden: w ( ) w ϕ ( ) ϕ ( ) V ( ) V iguur : Rnd- en overgngsvoorwrden () ( ) ( ) ( ) ( ) ij et uitwerken vn de rnd- en overgngsvoorwrden wordt gebruik gemkt vn de volgende betrekkingen: dw dw ϕ ( x) ϕ ( x) dx dx d w d w ( x) E en ( x) E () dx dx d d V ( x) V ( x) dx dx V() w (x) ϕ() Smenvtting e zkkingslijn voor dit buigingsprobleem wordt dus bescreven met de twee functies () wrin 8 integrtieconstnten voorkomen. eze 8 onbekenden worden bepld met beulp vn de eerder genoemde rndvoorwrden en overgngsvoorwrden uit figuur. Rndvoorwrden: w ( l) ϕ ( l) w () w ( ) w ϕ ( ) ϕ ( )! V ( ) V () ϕ ( l) w ( l) ( ) ( ) ( ) ( ) () ij de uitwerking vn de rnd- en overgngsvoorwrden wordt gebruik gemkt vn de onder () gegeven betrekkingen. Hns Wellemn - - jnuri

4 Uitwerking in PLE n PLE kn gewoon met symbolen worden gewerkt. Het is dus niet nodig om lle vergelijkingen eerst met de nd uit te werken. e betrekkingen uit (), () en () kunnen direct worden overgenomen in PLE. e in rood ngegeven tekst is de in te typen tekst. n bluw is et resultt dt PLE geeft weergegeven. Let er op dt ieder commndo met een ; wordt fgesloten. N et nmken vn een nieuw rekenbld wordt gestrt met et commndo restrt. et dit commndo worden lle eerder berekende vribelen gewist. > restrt; Vervolgens kunnen de vribelen worden gedeclreerd. it zijn voor dit voorbeeld de fmetingen en l, de belsting q en de buigstijfeid E. Let erop dt lle grooteden in dezelfde eeneden worden ingevoerd. n dit voorbeeld dus kn en m. > :; l:; q:; E:; : l : q : E : Vervolgens worden de verpltsingsfuncties () voor de beide liggerdelen ingevoerd: > w:*x*x^*x^(/(*e))*q*x^; w : x x x x > w:*x*x^*x^; w : x x x Voor et verwerken vn de rndvoorwrden en overgngsvoorwrden worden de betrekkingen volgens () ingevoerd. Voor et differentiëren in PLE wordt gebruik gemkt vn et diff commndo.tusssen kjes moet worden ngegeven welke functie gedifferentieerd moet worden en nr welke vribele moet worden gedifferentieerd. > pi:-diff(w,x); pi:-diff(w,x); φ : x x 6 x φ : x x > :E*diff(pi,x); :E*diff(pi,x); : 6 x x : 6 x > V:diff(,x); V:diff(,x); V : 6 x V : 6 Voor de verdere uitwerking vn et probleem moeten nu de 8 vergelijkingen worden ingevoerd. n PLE kunnen vergelijkingen expliciet worden vermeld. Hns Wellemn - - jnuri

5 Er oeft dus niets met de nd uitgescreven of vereenvoudigd te worden. Je kunt zelf een nm verzinnen voor iedere vergelijking. n dit voorbeeld wordt gebruik gemkt vn de fkorting eq, eq etc. e rnd- en overgngsvoorwrden gelden voor drie verscillende pltsen in de ligger : twee rndvoorwrden in : vier overgngsvoorwrden in : twee rndvoorwrden in : x; x; xl Het is vn belng dt voor et opstellen vn de vergelijkingen n x de juiste wrde,, of l wordt toegekend en dt n et oplossen vn de vergelijkingen x weer ls vribele wordt ersteld. Rndvoorwrden in ( x ) ij de twee rndvoorwrden in moet x de wrde nul krijgen. Uitwerken levert: > x:; > eq:w; > eq:; x : eq : eq : Overgngsvoorwrden in ( x ) e vier overgngsvoorwrden worden ls volgt ingevoerd: > x:; x : > eq:ww; eq : > eq:pipi; eq : > eq:; eq : 8 > eq6:vv; eq6 : 6 6 Rndvoorwrden in ( xl ) e twee rndvoorwrden in leiden tot: > x:l; > eq7:w; > eq8:pi; x : eq7 : eq8 : Hns Wellemn - - jnuri

6 lle informtie is nu ingevoerd. e 8 vergelijkingen met 8 onbekenden moeten nu lleen nog worden opgelost. Hiervoor bescikt PLE over een solver die wordt ngeroepen met solve. e oplossing wordt eerst opgeslgen in een vrible wrvn de nm vrij mg worden gekozen. n dit gevl wordt de nm solution gebruikt. > solution:solve({eq,eq,eq,eq,eq,eq6,eq7,eq8}, {,,,,,,,}); solution : {,,,,,,, } Vervolgens wordt met et commndo ssign de oplossing toegewezen n de 8 vribelen t/m. > ssign(solution); Het probleem is nu opgelost. Om de oplossing te kunnen tekenen moet de wrde vn x, die n et formuleren vn de rndvoorwrden in nog op l stt, worden gewist. mmers x moet weer een ecte vribele worden. > x:'x'; x : x e gevonden verpltsingvelden kunnen netjes worden weergegeven met: > print(w); print(w); 7 x 9 x x 7 7 x 7 x 7 x it resultt kn ook grfisc worden weergegeven. Om in één figuur de totle oplossing te kunnen tekenen moeten de plotjes vn beide zkkingslijnen w en w worden gecombineerd. Hieronder is weergegeven oe dt in PLE wordt ingevoerd. > wit(plots): :plot(w,x..,y-..., lbels["x-s","w"],title"zkking",styleline): G:plot(w,x..l,y-...,styleline): disply({,g}); et dit commndo krijgen de pltjes voor w en w eerst een eigen tijdelijke nm en G wrn met et disply commndo deze pltjes in één figuur worden fgebeeld. Het resultt is iernst weergegeven. erk op dt PLE de positieve s nr boven uitzet. Uiterrd kunnen op soortgelijke wijze ook de figuren voor de dwrskrct, et moment en de oekverdriing worden smengesteld. it wordt n de lezer overgelten. iguur : Zkkingslijn Hns Wellemn jnuri

7 Voorbeeld : Ongescoord rmwerk Het onderstnde portl is een ongescoord rmwerk dt zowel orizontl ls verticl wordt belst. e buigstijfeid vn de regel is E, die vn de kolommen is me en ne, zols ngegeven in figuur. β E E ne me iguur : Ongescoord rmwerk Voor deze constructie zl de krctsverdeling worden bepld m.b.v. de metode vn oekvernderingsvergelijkingen. (zie collegedictt T vn Hrtsuijker en Wellemn). nlyse: it rmwerk is een rmwerk met verpltsbre knopen. ls de momentvste verbindingen in en door scrnieren worden vervngen met de drbij beorende onbekende momentenpren en ontstt een mecnisme met één vrijeidsgrd wrvoor de rottie vn de kolommen wordt gekozen. eze npk leidt dus tot de onbekenden, en, zie figuur. ne E iguur : e Sttisc onbeplden, en de onbekende vrijeidsgrd E β me Er zijn drie vergelijkingen nodig voor et beplen vn deze onbekenden : - twee vormvernderingsvoorwrden in de vorm vn oekvernderingsvergelijkinen - één evenwictsvergelijking in de vorm vn virtuele rbeid Het uitwerken vn de oekvernderingsvergelijkingen kn vk m.b.v. de vergeet-mij-nietjes voor liggers op twee steunpunten. e positieve rotties vn de stfuiteinden worden in dezelfde ricting gekozen ls de ngenomen momenten. Het opstellen vn de vergelijkingen levert zodoende: () () () δ l l ne E E E 6 6 l l E E E 6 6 me δ δ δ e orizontle verpltsing u in is gelijk n die in en is groot. Hns Wellemn jnuri

8 Oplossingsfse: e drie vergelijkingen kunnen met de nd mr bij voorkeur met PLE worden opgelost. TP : Strtegie bij et oplossen met de nd is door uit de eerste twee vergelijkingen de te elimineren en vervolgens dit resultt te combineren met vergelijking (). Uitwerken met PLE levert: e drie onbekenden zijn drmee opgelost. Uit de bovenstnde PLE fbeelding kn worden fgelezen dt iervoor de volgende uitdrukkingen gelden: mnl 8n mnl 8( m n) mnl 8( m n) mnl mnl 8m mnl 8( m n) mnl 8( m n) mnl 6( ml nl ) mnl (8( m n) mnl) ( n m) l 6E (8( m n) mnl) 6E en u u Positieve wrden voor de ierboven gevonden momenten komen overeen met de ngenomen rictingen zols weergegeven in figuur op de vorige bldzijde. Voor et kunnen tekenen vn de -lijn is et vn belng ook et moment in E te weten. G zelf n dt met de bekende momenten in en en de momentensom iervoor geldt: E ( n m) (mnl m n) 8( m n) mnl 8( m n) mnl e uitdrukkingen zijn gesplitst in de bijdrgen vn de fzonderlijke krcten en β. Hns Wellemn jnuri

9 nterprettie vn de resultten Voor een gegeven situtie kn de -lijn worden getekend. elngrijk drbij zijn de fsprken voor positieve krctsgrooteden. eze zijn in figuur 6 weergegeven. β E E E E ne me H H V V iguur 6 : Positieve rictingen voor de krctsgrooteden e oplegrecties kunnen nu worden bepld: H V H V mnl 8n mnl l β 8( m n) mnl 8( m n) mnl β l mnl 8m mnl l 8( m n) mnl 8( m n) mnl β l n et bijzondere gevl dt de kolommen dezelfde buigstijfeid ebben geldt mn en gn de bovenstnde vergelijkingen over in: H V H V nl 6 nl β l nl 6 nl β l l l β Opmerkingen: Hieruit blijkt dt indien een constructie met identieke kolommen lleen belst wordt met een orizontle belsting, de oplegrecties onfnkelijk zijn vn de buigstijfeden vn zowel de regel ls de kolom. erk op dt dit niet geldt in et lgemene gevl wnneer de kolommen verscillend worden uitgevoerd. ls de kolommen gelijke buigstijfeden ebben (mn) blijkt et moment in E onfnkelijk te zijn vn de grootte vn de orizontle krct. Hns Wellemn jnuri

10 moment Voorbeeld : Ongescoord rmwerk met veren Het onderstnde portl is een ongescoord rmwerk dt zowel orizontl ls verticl wordt belst. e buigstijfeid vn de regel is E, die vn de kolommen is ne, zols ngegeven in figuur 7. e stven zijn verend met elkr verbonden m.b.v. lineir elstisce (LE) rottieveren die een veerstijfeid k ebben. LE-veerkrkteristiek veerstijfeid k rottie in de veer iguur 7 : Ongescoord rmwerk Voor deze constructie zl de krctsverdeling worden bepld m.b.v. de metode vn oekvernderingsvergelijkingen. (zie collegedictt T vn Hrtsuijker en Wellemn). nlyse: Het voorbeeld vertoont grote gelijkenis met et voorgnde voorbeeld. Nieuw element in et geeel is de verende verbinding tussen de stven. Hierdoor ontstt een extr vervorming. it is de oekverdriing in de rottieveer. eze vervorming wordt ngeduid met. Uiterrd is deze vervorming rectevenredig met et moment in de veer ngezien een LE-veerkrkteristiek wordt ngenomen. Ook nu leidt deze npk dus tot de onbekenden, en, zie figuur 8. ne e drie benodigde vergelijkingen zijn voor et oplossen vn de onbekenden zijn: - twee vormvernderingsvoorwrden in de vorm vn oekvernderingsvergelijkinen - één evenwictsvergelijking in de vorm vn virtuele rbeid e positieve rotties vn de stfuiteinden worden in dezelfde ricting gekozen ls de ngenomen momenten. Het opstellen vn de vergelijkingen levert zodoende: E ne β E u ne rottieveer met veerstijfeid k E E β ne iguur 8 : e Sttisc onbeplden, en de onbekende vrijeidsgrd () () () δ l l ne E E E 6 6 k l l E E E 6 6 ne k δ δ δ e orizontle verpltsing u in is gelijk n die in en is groot. Hns Wellemn - - jnuri

11 Oplossingsfse: e drie vergelijkingen kunnen met de nd mr bij voorkeur met PLE worden opgelost. Op een ndige mnier uitwerken met PLE levert: e drie onbekenden zijn drmee opgelost en tevens l gesplitst in de diverse ndelen. Uit de bovenstnde fbeelding kunnen, door ergroeperen, de onderstnde uitdrukkingen worden verkregen: l 6E 8 nl kl l 6E 8 nl kl l en 6nE E k u u ne l 6E k Positieve wrden komen overeen met de rictingen die werden ngenomen in figuur 8 op de vorige bldzijde. e oplegrecties kunnen op dezelfde wijze ls in et voorgnde voorbeeld worden bepld. Hns Wellemn - - jnuri

12 nterprettie vn de resultten e orizontle verpltsing vn de bovenregel blijkt onfnkelijk te zijn vn de grootte vn de verticle belsting. it ws in et vorige voorbeeld ook et gevl voor de bijzondere situtie dt beide kolommen gelijk worden uitgevoerd en dt geldt dus ook in dit gevl. ls de uitdrukking voor de orizontle verpltsing beter bekeken wordt zijn dr drie fzonderlijke ndelen in te erkennen: l u α ne 6E k k E ne ne l Hns Wellemn - - jnuri

13 Voorbeeld : Oplossen vn een ifferentil Vergelijking (V) n PLE is et ook mogelijk differentilvergelijkinen op te lossen. et beulp vn et voorbeeld zl dit worden gedemonstreerd. Het betreft ier de e orde.v. voor buiging wrvoor geldt: d w E q( x) dx e ligger wordt belst met een gelijkmtig verdeelde belsting die lleen ngrijpt op et liggerdeel. e ligger is in volledig ingeklemd. Op de ligger werkt een gelijkmtig verdeelde belsting die lleen ngrijpt op liggerdeel. e oorsprong vn et ssenstel x- z-ssenstelsel wordt in gekozen. q kn/m z,w, m iguur 9 : Sttisc onbeplde ligger n voorbeeld werd deze constructie opgesplitst in twee delen ngezien de belsting niet met één functievoorscrift voor de geele ligger kn worden bescreven en werd de met de nd beplde lgemene oplossing vn de V gebruikt. eze stppen kunnen ecter ook direct met PLE worden uitgevoerd. oor de belsting met een stpfunctie (Heviside functie) in te voeren is et mogelijk deze met één functievoorscrift voor et liggerdeel in PLE te bescrijven. > q:q*(-heviside(x-)); q : Heviside ( x. ) > plot(q,x..l); l, m E knm x e.v. kn in PLE worden ingevoerd ls een vergelijking: > V:E*diff(w(x),x$)q; V :. d w( x ) Heviside ( x. ) dx ( met x$ wordt de vierde fgeleide nr x bedoeld ) Nst de.v. moeten uiterrd ook geldige rndvoorwrden worden gespecificeerd. Voor de oplegging in geldt : w() en () Voor de inklemming in geldt : w(l) en φ > RV:w(), (@@)(w)(),w(l),(w)(l): Hns Wellemn - - jnuri

14 n deze set vn rndvoorwrden wordt met de tweede fgeleide vn de zkkingsfunctie w(x) bedoeld voor x. et (w)(l) wordt de eerste fgeleide vn w(x) voor xl bedoeld. et et invoeren vn de.v. en et ngeven vn de r.v.w. kn PLE de oplossing direct beplen met beulp vn et commndo dsolve. > dsolve({v, RV}, {w(x)}): w:rs(%): n dit commndo zijn V en RV de bekenden, de onbekende is de zkkingsfunctie w(x). Het commndo dsolve levert een oplossing die els nog niet is toegekend n de vribele w. n et tweede commndo ierboven n de : wordt et recterlid (rsrigt nd side) vn de oplossing, ngegeven met een %-teken toegekend n w. Het zkkingsveld is nu bepld. n de uitdrukking voor de zkking komen ook weer termen voor met eviside-functies wrdoor et niet zinvol is deze ier f te beelden. Uiterrd is een plot vn deze functie wel zinvol. Op bsis vn et gevonden verpltsingsveld kunnen ook de - en V-lijnen worden weergegeven. e gevonden bluwe zkkinginslijn in figuur komt overeen met de eerder beplde oplossing vn voorbeeld. belsting q(x) iguur : Resultten voor gegeven prmeters Nst de stpfunctie die ier gebruikt is voor een gelijkmtig verdeelde belsting die op een deel vn de ligger ngrijpt kn er ook gebruik worden gemkt vn een irc functie om een puntlst in te voeren. Werk dit zelf mr eens uit. Hns Wellemn - - jnuri

15 Hns Wellemn - - jnuri Voorbeeld : Werken met mtrices Het tweede voorbeeld betreft et evenwict vn een str blok zols in deel vn Hrtsuijker op pgin 89 wordt bescreven. e kubus met riblengte en gewict G wordt in evenwict geouden door zes krcten t/m 6. Gegeven is dt voor de oek α tussen de werklijnen vn de krcten geldt: tnα/. iguur : Kubus met krcten e evenwictsvergelijkingen die voor dit probleem kunnen worden opgesteld zijn: ( ) ( ) T G T G T G z y x z y x it stelsel vergelijkingen kn, zonder vereenvoudigen, ls volgt in mtrix-vorm worden weergegeven: 6 G G G e vector met onbekenden wordt gevormd door de krcten i. it stelsel kn formeel gescreven worden ls: [ ]{} {} b x.

16 Uitwerking in PLE llereerst wordt een scoon PLE werkbld gemkt en worden de vribelen geinitiliseerd: > restrt; > G:; :; G : : Het oplossen vn mtrices gebeurt met beulp vn de biblioteek (librry) linlg. eze moet ngeroepen worden om de oplosroutines ctief te mken. Het commndo drvoor is: > wit(linlg): Wrning, te protected nmes norm nd trce ve been redefined nd unprotected Vervolgens kunnen de mtrix en de vector met bekenden worden ingevoerd. Je mg zelf een nm geven n zowel de mtrix ls de vector met bekenden. n dit voorbeeld wordt de mtrix en de vector b genoemd. e invoer moet zorgvuldig gebeuren dus let op de syntx : > :mtrix([[,(/),,,,(/)],[(/),(/),,(/),,(/)],[,,,(/),,],[,(/)*,,,,],[,(/)*,,(- /)*,,],[,,-,(-/)*,-,]]); : > b:vector([,,g,.*g*,-.*g*,]); b : [,,,., -., ] Het oplossen vn de vector met onbekenden, de zes krcten gt ls volgt: > x:linsolve(,b); e wrscuwing die PLE geeft is niet relevnt. x : [-.,., -.,., , -. ] Hns Wellemn jnuri

17 Opmerkingen t..v. ple Opdrcten in ple moeten worden fgesloten door een ; of een :. ls n een ; de Enter-toets wordt ingedrukt, wordt de opdrct ingevoerd en de rectie vn ple verscijnt op et scerm. ls je n een : de Enter-toets indrukt, wordt de opdrct ook ingevoerd en door ple verwerkt. Er verscijnt ecter geen rectie op et scerm. Het ltst berekende resultt kn met een % worden opgeld. e voorltste wordt ngeduid met %% en et drvoor beplde resultt met %%%. it is vk een snelle syntx oewel et wel ten koste gt vn de leesbreid vn et werkbld. n PLE zit een uitgebreide elpfunctie. et de functietoets kn snel elp worden opgevrgd. Zoeken in de elp is in et begin even wennen. eestl stn ondern de elp-pgin s ndige voorbeelden die met copy en pste snel uitgeprobeerd kunnen worden. Voor et invoeren vn nieuwe PLE commndo s tussen bestnde regels moet in et menu gebruik worden gemkt vn: nsert -> Execution Group -> efore cursor Voor et verwijderen vn een commndo moet in et menu gebruik worden gemkt vn: Edit -> elete prgrp Let er op dt bij fouten ltijd et rekenbld met de menu-ndeling: Edit -> Execute -> Workseet opnieuw wordt doorgerekend. nders bestt de kns dt vribelen toc oude niet bedoelde wrden beouden. Hiermee zijn de meest voorkomende PLE ndelingen uitgelegd en mg et gebruik vn PLE, voor de bij onstructieecnic voorkomende opgven, geen problemen meer opleveren. Hns Wellemn jnuri