TUDelft. KRACHTSWERKING Deel 2 LIGGERS. KRACHTSWERKING IN GEBOUWEN Art. nr. 927 Oktober Prof. ir. W.J. Beranek. '''llllillll

Transcriptie

1 KRCHTSWERKING IN GEBOUWEN rt. nr. 927 Oktober 1999 Prof. ir. W.J. Bernek KRCHTSWERKING Deel 2 LIGGERS TUDelft '''llllillll FCULTEIT DER BOUWKUNDE Leerstoel Krchtswerking

2 KRCHTSWERKING Deel 2 LIGGERS Krchtsoverdrcht vi buigende momenten nlytische en grfische methoden Prof. ir. W.J. Bernek

3 KRCHTSWERKING Deel 2 LIGGERS Krchtsoverdrcht vi buigende momenten Oktober 1999 [ ] + [ ] + Trefwoordenüjst T-01 / T-08 Dit is een herziene uitgve vn KRCHTSWERKING 1 deel 1: ugustus 1989 [ ] en deel 2: September 1989 [ ]

4 INHOUDSOPGVE Hoofdstuk HOOFDSTUK-INDELING 205 LIJST VN SYMBOLEN INLEIDING Lineire buigstijve liggers en stven constructie-elementen; LGEMEEN Krchtswerking Definitie vn enkele constructie-onderdelen Nmen vn constructies HOOFDVORMEN STTISCH BEPLDE LIGGERS Sttisch bepld versus sttisch onbepld Berekening vn sttisch onbeplde liggers Vrij opgelegde ligger Eenzijdig ingeklemde ligger Invloed vn de ligging vn de oplegrecties Volledige inklemming NDERE ONDERSTEUNINGS-WIJZEN Liggers over meer steunpunten Liggers ondersteund door pendelstijlen Bepling oplegrecties Belstingfdrcht BEREKENINGS-METHODEN ctie- en rectie-krchten Snede-methode Integrtie Superpositie Grfische methode 201

5 INHOUDSOPGVE Hoofdstuk SNEDE-METHODE Bepling vn de krchtswerking in liggers met behulp vn de snede-methode KRCHTSWERKING IN EEN NORMLE DOORSNEDE lgemeen Teken vn de rectiekrchten Definitie snedekrchten N-V-M Oplegrecties bij een vrij opgelegde ligger Principe snede-methode Snede-methode; formele npk Teken vn de snede-krchten Éénzijdig ingeklemde ligger DIGRMMEN VOOR DE SNEDE-KRCHTEN Vrij opgelegde liggers, belst door puntlsten lgemeen Rekenprocedure Snede-methode; prktische npk Ligger belst door een puntlst Ligger belst door een ntl puntlsten Ligger met overstek Berekening door superpositie Ligger met overstek Rechtstreekse berekening Verwisselbrheid vn ctie- en rectiekrchten Vervormingen DIGRMMEN VOOR DE SNEDE-KRCHTEN Gelijkmtig verdeeld belste liggers lgemeen Vrij opgelegde ligger Eenzijdig ingeklemde ligger Lineir vriërende belsting DIGRMMEN VOOR DE SNEDE-KRCHTEN Puntlsten tezmen met gelijkmtig verdeelde belstingen Procedure Bsis-belstinggevllen Puntlst op liggers met verschillende lengte Gedchtenmodel Vrij opgelegde ligger met overstekken Voorbeelden sttisch beplde liggers 202

6 INHOUDSOPGVE Hoofdstuk LTERNTIEVE NLYTISCHE BEREKENINGS-METHODEN Berekening vn liggers door middel vn Integrtie en Superpositie INLEIDING Overzicht berekeningsmethoden DIEEERENTIL- EN INTEGRLREKENING Grondbeginselen lgemeen Functies Differentie-quotiënt en differentil-quotiënt Differentiëren Integreren Beplde integrl BEPLING SNEDE-KRCHTEN DOOR INTEGRTIE Principe vn de methode Evenwichtsbeschouwingen op een ligger-elementje Bepling dwrskrchten Bepling vn de momenten Behndeling puntlsten Extreme momenten NLYTISCHE UITWERKING Gelijkmtig verdeelde belsting Belsting over de gehele lengte vn de ligger De belsting ontbreekt op een liggerdeel Berekening vn de stndrd-liggers Controle vn de mximle momenten NUMERIEKE UITWERKINGEN Liggers uitsluitend belst door puntlsten Ligger uitsluitend belst door een gelijkmtig verdeelde belsting SUPERPONEREN Overzicht Superpositie bij momenten vn gelijk teken Superpositie bij momenten vn ongelijk teken Voorbeelden Ligger met overstek, gelijkmtig verdeeld belst Vervnging door een bsisligger op twee steunpunten Beschouwing ls fzonderlijke liggerdelen VRIËRENDE BELSTING Mximum- en minimum-momentenlijnen Verpltsbre puntlst Optimliseren SMENGESTELDE LIGGERS Doorgnde liggers met schrnieren; gelijkmtig verdeelde belstin; Invloed vn de plts vn de schrnieren 203

7 INHOUDSOPGVE Hoofdstuk GRFISCHE METHODE Bepling vn momentenlijnen met behulp vn poolfiguur en stngenveeïhoek INLEIDING Grondslg vn de methode MEETKUNDIGE NPK U23 Momentenlijn bij een uitkrgende ligger Momentenlijn bij een vrij opgelegde ligger Invloed vn de plts vn de opleggingen NLYTISCHE NPK Vergelijking gedrg vn liggers en koorden GEBRUIK VN MODELLEN lgemeen Vrij opgelegde ligger Belsting door puntlsten Vrij opgelegde ligger Gelijkmtig verdeelde belsting Eenzijdig ingeklemde ligger en ligger met overstekken 204

8 LUST VN SYMBOLEN kleine letters versnelling [ / ^ ~^ ], b, c fstnden [ / ] b breedte [ / ] d middellijn [ / ] e excentriciteit [ / ] d, e, ƒ fstnden [ / ] g versnelling zwrtekrcht {It'^} h hoogte [ / ] k veerstijfheid (veerconstnte) [ ^ / ] / lengte, overspnning [ / ] m mss [ m ] n ntl [1] P krcht per oppervlkte [kl krcht per lengte [kl r strl [/] t tijd [t] t dikte [/] u verpltsing [/] V snelheid [If w doorbuiging [l] X, y, z lengte-coördinten [/] z hefboomsrm [/] HOOFDLETTERS oppervlkte [/^] C constnte [1] E elsticiteitsmodulus [kl F uitwendige krcht ik] I kwdr. oppervlktemoment [/^] K uitwendig moment, koppel [kl] L totle lengte [1] M buigend moment [kl] N normlkrcht [k] R rectiekrcht [k] R kromtestrl S lineir oppervlktemoment ll'] S stfkrcht [k] V volume, inhoud ll'] V dwrskrcht [k] w weerstndsmoment il'] Griekse lettertekens Indices, P, 7 hoeken [1] lineire uitzettingscoefficient [ T ^ ] 7 V P CJ T krcht per volume rek, reltieve vervorming wrijvings-coëfficiënt contrctie-coëfficiënt mss per volume (norml) spnning schuifspnning hoek rottie reductiefctor ikl-'] [1] [1] [m/-3] [kl'l] [kl-^] [1] [1] [1] v,v h,h l,r mx min extr repr mom Dimensie [m] [l] [t] [k] [T] verticl horizontl links, rechts mximum minimum extremum representtief momentn mss lengte tijd krcht tempertuur Eenheid kg m s kn richting krchten belsting mm N 205

9 INLEIDING Lineire buigstijve constructie-elementen, liggers en stven 11.1 LGEMEEN KRCHTS WERKING Lijnvormige buigstijve constructie-onderdelen, zols blken en kolommen, komen veel voor in de bouw. De krchtswerking is met elementire middelen vrij gemkkelijk te chterhlen. Vlkke buigstijve constructie-onderdelen drentegen, zols wnden en vloeren, zijn in het lgemeen veel moeilijker toegnkelijk voor een berekening. Mr ook hier kn in vele gevllen eenzelfde npk worden gevolgd ls voor lijnvormige constructie-onderdelen. Om begrip te krijgen voor de krchtswerking in liggers en stven [202] en om de resultten vn computer-berekeningen globl te kunnen interpreteren, dient de student enige vrdigheid te bezitten in het zelf oplossen vn eenvoudige vrgstukken. In hoofdstuk 12 wordt drtoe de nzet gegeven. Er worden uitsluitend sttisch bepld opgelegde liggers behndeld, wrbij de drie evenwichtsvoorwrden dus voldoende zijn om de oplegrecties te beplen. We gn er hierbij vnuit dt zowel de overspnning ls de belsting vn een ligger bekend zijn. De ligger met zijn opleggingen en de belsting worden schemtisch weergegeven. Ps in KW-7 wordt de verkregen kennis toegepst om de benodigde dwrsdoorsnede vn liggers te beplen voor een nog te bouwen constructie. In KW-0 zijn de oplegrecties bepld vn driedimensionle blokvormige constructie-onderdelen onder invloed vn verticle en horizontle belstingen. Over de wijze wrop het onderdeel de uitwendige krchten 'binnenin' nr de opleggingen overbrengt, hebben we ons dr nog geen ogenblik zorgen gemkt. In lle gebouwen rondom ons heen, gebeurt dit immers vnzelf. Dit is een misvtting. Het lijkt lleen mr-vnzelf te gebeuren. ls deze gebouwen niet zorgvuldig zouden zijn berekend en geconstrueerd, zouden er veel meer instortingen en ndere schdegevllen optreden. 200

10 In ontwikkelingslnden komt het soms voor dt een pr verdiepingen op een bestnd gebouw worden bij gebouwd, met ls gevolg dt de gehele zk instort. We hebben in KW-0 gesteld dt er een zekere mrge moet bestn tussen de optredende belsting en de bezwijkbelsting. Die mrge kn niet onbeperkt worden verminderd. We zouden de constructie ntuurlijk veel en veel sterker kunnen mken, zodt er bijn niets kn gebeuren. Dit verhoogt de kosten echter zodnig dt zo'n gebouw niet meer concurrerend is. De constructeur heeft dus een verntwoordelijke en moeilijke tk. In eerste instntie is hij nsprkelijk voor clmiteiten, tenzij hij kn ntonen dt de fouten niet in het ontwerp liggen mr in de uitvoering. In de berekening vn een constructie is het nodig dt in elk onderdeel vn de constructie wordt ngegn welke krchten dr ter pltse worden overgedrgen. Elk constructie-onderdeel dt in rust is, moet in evenwicht zijn. ngezien elk stukje vn zo'n onderdeel ook in rust is, moet het evenwicht op elke willekeurige plts zijn verzekerd. ls we het onderdeel dr ter pltse ls het wre in tweeën snijden dn hebben we twee fzonderlijke stukken die elk in evenwicht moeten zijn, uiterrd mede onder invloed vn de krchten die de onderdelen op elkr uitoefenen. Dt betekent dt we met behulp vn de evenwichtsvoorwrden vrij gemkkelijk kunnen beplen welke krchten er in de beschouwde snede op elk deel moeten werken. Het beginsel ctie = rectie leert ons dn dt deze zgn. snedekrchten prsgewijs moeten optreden; n elkr gelijk moeten zijn en tegengesteld gericht. De grootte en het verloop vn de snedekrchten over de lengte vn een ligger of een stf, blijkt essentieel te zijn voor het beplen vn de benodigde fmetingen vn de dwrsdoorsnede.

11 DEFINITIE VN ENKELE CONSTRUCTIE-ONDERDELEN Lijnvormige constructie-onderdelen zols blken en kolommen, worden in mechnic-termen met benmingen ngeduid die fwijken vn het normle sprkgebruik. horizontle en verticle ligger Ligger: Een ligger - de nm zegt het l - ligt meestl horizontl. Het constructie-onderdeel is n één of twee zijden ondersteund en ondergt een belsting die loodrecht op de liggers stt. Bij horizontle liggers werkt de belsting dus in de meeste gevllen verticl, zie fig. l. Een kolom onder horizontle belsting is eveneens ls een (uitkrgende) ligger te beschouwen, mr dn een kwrt slg gedrid, zie fig. Ib. C horizontle en verticle stf 77777, Stf: Het constructie-onderdeel is n één of twee zijden ondersteund en ondergt uitsluitend een belsting die lngs de stfs vlt, zie fig. Ic. Hieronder vllen dus lle pendelstijlen, mr ook kolommen wrop lleen verticle krchten werken (zowel uitwendige krchten ls het eigen gewicht), zie fig. ld. Stijl en regel: Indien de verticle en de horizontle onderdelen buigstijf met elkr zijn verbonden, worden de verticle onderdelen ls stijlen ngeduid en de horizontle ls regels, zie fig. 2. De krchten kunnen zowel loodrecht op de ssen werken ls in de richting vn de ssen. De krchtswerking in dit soort constructies komt heel globl n de orde in KW-3 en veel uitvoeriger in KW-5 en KW-6. In dergelijke berekeningen worden lle elementen meestl ngeduid ls stven , Fig. 1 Lijnvormige constructie-onderdelen. b. Liggers met belsting loodrecht op de stfs c. d. Stven met belsting lngs de stfs. c. n twee zijden ondersteund b. d. n één zijde volledig ingeklemd stijl regel stijl Fig. 2 Portl met stijlen en regel (twee-schrnierspnt) Om de (buig)stijve verbinding in de hoekpunten te bendrukken, worden hier soms zwrte driehoekjes ingetekend, zols in bovenstnde figuur 202

12 NMEN VN CONSTRUCTIES Veel constrcties zijn smengesteld uit lijnvormige onderdelen en drgen, fhnkelijk vn de vorm, een beplde nm. Zo worden de constructies die zijn weergegeven in de figuren 2 en 3 ngeduid ls portl. Het woord portl houdt in dt de regel (min of meer) horizontl loopt, het woord spnt geeft n dt de constructie dient ter ondersteuning vn het dk. Indien de bovenregel door meer dn twee stijlen wordt ondersteund, spreekt men vn een meerbeukig portl, zie fig. 3b. De constructie vn fig. 3c wordt uitsluitend voor hllen gebruikt. De mechnic-benming is drie-schrnierspnt. Ontbreekt het schrnier in de top dn noemen we het een twee-schrnierspnt, zie ook fig. 2. Fig. 3 Vormen vn portlen. Eénbeuldg portl b. Driebeukig portl Drieschrnierspnt c. Een smenstel vn stijlen en regels dt uit twee of meer verdiepingen bestt wordt rmwerk genoemd, zie fig. 4. Bij portlen en rmwerken is het vrij gebruikelijk om een horizontl of verticl onderdeel uit het grote geheel te lichten en ls een fzonderlijk deel nder te beschouwen. Dit is toegestn ls op de einden vn dt onderdeel de krchten worden ngebrcht die de nsluitingen voordien drop uitoefenden, zie fig. 4b. Vkwerken zijn opgebouwd uit vormvste driehoeken en hebben veell een overspnnende functie, mr soms lleen een verstijvende, zie KW-3. Indien boven- en onderregel evenwijdig zijn, spreken we vn een vkwerkligger, fig. 5. Een houten vkwerkje ter ondersteuning vn het schuine dk vn een huis zl men meestl ls een spnt nduiden, zie fig. 5b. De smenstellende delen vn een vkwerk kunnen in de berekening met goede bendering worden beschouwd ls stven wrin uitsluitend krchten lngs de stfssen werken. Hiertoe wordt ngenomen dt lle stven schrnierend met elkr zijn verbonden, zie fig. 5c. Verder worden lle belstingen geconcentreerd gedcht in de knooppunten., Fig. 4 Rmwerk vn drie verdiepingen. Schem b. Geïsoleerde regel beschouwd ls ligger Fig. 5 Vkwerken Vkwerkligger b Vkwerkspnt c. Schemtisering voor de berekening met schrnierende verbindingen 203

13 11.2 HOOFDVORMEN STTISCH BEPLDE LIGGERS STTISCH BEPLD VERSUS STTISCH ONBEPLD Een ligger in het pltte vlk is sttisch bepld opgelegd, ls met behulp vn de drie evenwichtsvoorwrden uit KW-0 [034-(3,b,c) of (4,b,c)], de oplegrecties kunnen worden bepld. Bsisvormen zijn de ligger op twee steunpunten (schrnier + rol) en de eenzijdig ingeklemde ligger. Bij elke ligger zijn er juist drie onbekende oplegrectie-componenten. Een ligger is sttisch onbepld opgelegd indien er meer onbekende oplegrectie-componenten zijn dn evenwichtsvergelijkingen. De ontbrekende vergelijkingen moeten dn worden bepld met behulp vn de vervormingen vn de ligger. In fig. 1 is een ntl verschillend opgelegde liggers weergegeven. Per oplegpunt gt men dn n hoeveel onbekende oplegrectie-componenten kunnen worden geleverd. Hierbij geldt: rol = 1; schrnier = 2; inklemming = 3. ls verder over oplegrecties wordt gesproken, dn bedoelen we steeds de eerder genoemde oplegrectie-componenten. De som vn lle onbekende oplegrecties verminderd met 3 (=het ntl evenwichtsvergelijkingen) geeft dn de grd vn sttisch onbepldheid n. Men spreekt vn één-, twee-, drie- of meervoudig sttisch onbepld. De grd nul betekent uiterrd: sttisch bepld. Vinden we een negtief getl dn is de stbiliteit niet verzekerd. Dit kn bijv. optreden bij een ligger die door twee rollen is ondersteund [206] of bij een ligger die mr door één schrnier is ondersteund, zie fig. ld en 2. Gemkshlve spreken we meestl vn sttisch beplde liggers en sttisch onbeplde liggers en lten het woord 'opgelegd' mr weg. \ \ c \ \ / Fig. 1 Liggervormen (het cijfer bij elke oplegging geeft n hoeveel oplegrectie-componenten kunnen worden overgebrcht (Rx,Ry,Kz). Sttisch bepld (3-3 = 0) b. Éénvoudig sttisch onbepld (4-3 = 1) c. Drievoudig sttisch onbepld (6-3 = 3) d. Instbiel (wipplnk) (2-3 = -1) Fig. 2 Instbiele constructie, die door een ieder intuïtief in indifferent evenwicht kn worden gehouden 204

14 BEREKENING VN STTISCH ONBEPLDE LIGGERS Voor de berekening vn sttisch onbeplde liggers zijn vele methoden in gebruik. Ter bepling vn de gedchte is voor een ligger op drie steunpunten uiteengezet hoe zo'n berekening kn verlopen, zie fig. 3. We zorgen er eerst voor dt de ligger sttisch bepld wordt opgelegd door één of meer oplegrecties te verwijderen. In het voorbeeld behoeft dn lleen het middensteunpunt B mr te worden weggenomen; we houden dn een vrij opgelegde ligger over, zie fig. 3b 1. Ten gevolge vn de gelijkmtig verdeelde belsting q zl de ligger in punt B een doorbuiging wi ondergn, zie fig. 3b2. De mnier wrop dt wordt berekend, wordt behndeld in KW-5. Om het weggenomen middensteunpunt B weer n te kunnen brengen, moet op de ligger in punt B één enkele omhoog gerichte puntlst worden ngebrcht, die zo groot is, dt hierdoor de eerstgenoemde doorbuiging wi juist wordt opgeheven. We kunnen de weggenomen rol dn ls het wre zo weer onder de ligger schuiven zodt de rol in stt is om dezelfde krcht te leveren. We hebben dn een sttisch beplde ligger die is belst door een neerwrts gerichte gelijkmtig verdeelde belsting q en een opwrts gerichte puntlst Fl, zie fig. 3dl. Deze ligger kn dn verder worden berekend op een vn de mnieren die in de volgende prgrfen worden behndeld. De hier beschreven npk is voor het begrip het eenvoudigste. In KW- 5 zl blijken dt een ndere mnier vn berekenen wt sneller resultten geeft, voorl bij de zgn. doorgnde liggers. q B C n 2_ We beplen drtoe de doorbuiging W2 vn punt B ten gevolge vn een puntlst F2 in punt B, zie fig. 3c. ls we vervolgens in plts vn de krcht F2 omlg, een krcht Fi omhoog nbrengen ter grootte: Fi = wi /W2 * F2, dn is de zkking wi ten gevolge vn q juist opgeheven en is ons doel bereikt. Fig. 3 Berekening vn een sttische onbeplde ligger. Schem vn de ligger op drie steunpunten bl Het middensteunpunt is verwijderd hl Doorbuigingslijn bij een ^-lst cl Ligger met puntlst F2 in het midden c2 Doorbuigingslijn bij een puntlst in het midden ter grootte F2 = 2 QL dl Ligger met de ^-lst omlg gericht en een puntlst Fl omhoog gericht d2 Bijbehorende doorbuigingslijn Y"^^ B C 205

15 VRIJ OPGELEGDE LIGGER Een ligger op twee steunpunten is ltijd sttisch bepld opgelegd ls n één zijde een schrnier wordt ngebrcht en n de ndere zij de een rol. Een dergelijke ligger wordt meestl ngeduid ls een vrij opgelegde ligger. De ligger mg n één of twee zijden een overstek bezitten, zie fig. 1. Onjuiste vrinten: I Twee rol-opleggingen (niet stbiel) Er zijn lleen verticle belstingen mogelijk omdt niet n het horizontle evenwicht kn worden voldn. Bij horizontle krchten rolt de ligger gewoon weg, zie fig. 2. n Twee schmier-opleggingen (sttisch onbepld). Er is één rectiekrcht te veel, de verdeling vn de horizontle recties over beide steunpunten kn niet worden ngegeven. De bovenstnde onjuiste vrinten hebben voornmelijk een cdemische betekenis. Indien lleen verticle krchten op de ligger ngrijpen mkt het voor de berekening niet uit wt we hebben ngenomen. ls de ligger n de onderrnd n elke zijde door een schrnier is ondersteund, kunnen - ook bij uitsluitend verticle belstingen - toch gelijke en tegengesteld gerichte horizontle rectiekrchten worden opgewekt. Dit komt omdt de genoemde punten zich ten opzichte vn elkr nr buiten willen verpltsen ten gevolge vn de doorbuiging vn de Hgger, zie KW-0 [099-4]. Fig. 1 Vrij opgelegde ligger Rol + schrnier Fig. 2 Theoretisch onjuiste vrinten voor de vrij opgelegde ligger. twee rolopleggingen b. twee schmieropleggingen 2 b 206

16 : EENZIJDIG INGEKLEMDE LIGGER Een eenzijdig ingeklemde ligger is n één zijde vst verbonden met een stijve ondersteuning. Deze is in stt om drie onbekende rectiekrchten te leveren:, Rx en Ry. Men spreekt ook wel vn een uitkrgende ligger. De ligger wordt volledig ingeklemd genoemd ls ter pltse vn de inklemming geen rottie kn optreden. Een dergelijke ligger is weergegeven in fig. 3, wrbij de belsting wordt gevormd door één puntlst Fy op het vrije uiteinde vn de ligger. Fig. 4 Verend ingeklemde ligger D E B C Rcy Bepling oplegrecties (fmetingen in fig. 3): J,KB = 0: -Fy^ + RQV * e = O.+ -_~ l,kc = 0: -Fy^ ( + e) + R^y ^ e = O ci+ e R^.R = F. R^.. = - F V cv V Fig. 3 Volledig ingeklemde ligger Controle: +Fy -RBY +Rcy = O Bepling oplegrecties (moment om punt B): EiQ = 0: -Fy* +KB = O KB = +FY* ify = 0: +Fv -RBY = O RBY = + Fy lfjc = 0: -i?bh=0 ^BH = O De drie benodigde rectiekrchten bij een inklemming kunnen ook worden geleverd door een roloplegging en een schrnieroplegging op korte fstnd vn elkr te pltsen, zie fig. 4. Nu kn bij puntb echter wèl een (geringe) rottie optreden. Men noemt dit een verende inklemming. Omdt we weten dt in punt C een trekkrcht zl optreden tekenen we RQY lvst in de goede richting. Het inklenmningskoppel wordt nu dus geleverd door verticle rectiekrchten. De situtie vn fig. 4 komt overeen met die vn een duikplnk. We kunnen deze beschouwen ls een ligger op twee steunpunten met een groot overstek, mr we denken in eerste instntie toch n een eenzijdig (verend) ingeklemde ligger. Een veel voorkomende vrint vn het vorige voorbeeld is het pltsen vn de rol (of het schrnier) n de bovenzijde vn de ligger. Dn zijn beide rectiekrchten drukkrchten, zie fig. 5. i. -i B 0 Fig. 5 Verende inklemming Beide recties zijn drukkrchten l 207

17 INVLOED VN DE LIGGING VN DE OPLEGRECTIES De onderlinge fstnd vn de rol en het schrnier is vn grote invloed op de grootte vn de oplegrecties. Dit spreekt voorl ls de hoogte vn de ligger in beschouwing wordt genomen en de rol en het schrnier n de zijknt vn de ligger worden gepltst, zie fig. l. Let op: de rol wordt gecht zowel trek- ls drukkrchten te kunnen opnemen en mg dus zowel n de bovenknt ls n de onderknt vn de ligger worden ngebrcht Uit de evenwichtsvoorwrden volgt: (NB de tweede of derde voorwrde is extr) SF, FY* + /?DH* ^ =0 Fy* + RBH * /i =0 + i?dh - ^BH = O + Fy /?BV ~ O n 7? TP BH ^DH }i V ^BV = Fy Neem er goede not vn dt in fig. [207-4 en 5] het 'inklemmingsmoment' door twee grote verticle krchten op korte fstnd wordt opgenomen. Het verschil vn beide krchten mkt evenwicht met de verticle belsting Fy en is drom in fig. [207-5] fzonderlijk getekend. In fig. l wordt het inklemmingsmoment echter geleverd door twee (even) grote horizontle krchten op korte fstnd. Voor het uitkrgende deel vn de ligger zelf ter lengte mkt dit niets uit, de grootte vn het koppel blijft immers onvernderd. IVIr de opleggingen moeten deze krchten wel kunnen leveren. Opgve: Reken de voorbeelden vn [ ] n met de gegeven fmetingen en belsting vn fig. Ib. De belsting vn 1 kn kn bijv. veroorzkt zijn door één persoon met een gewicht vn 100 kg. In de figuren vn [207 t/m 209] die op dit type ligger betrekking hebben, zijn lle krchten op dezelfde schl getekend. D i<]i <I o B -O 1 kn D E B C 0,4 m -f 5 m Fig. 1 Invloed vn de hoogte vn de ligger op de rectiekrchten. Rol en schrnier n de zijknt vn de ligger b. fmetingen vn de ligger en grootte vn de uitwendige krcht ter nrekening door de lezer 208

18 VOLLEDIGE INKLEMMING In fig. 2is de blk ls het wre vstgelijmd tegen een verticle wnd. ls we de lijmlg ls een verende ondersteuning beschouwen, dn zullen de tegendrukken vnuit de wnd op precies dezelfde wijze verlopen ls in KW-0 is weergegeven in fig. [060-Ic] voor een blok onder invloed vn een koppel. Mr omdt de vervormingen in die 'lijmlg' uiterst gering zullen zijn, zullen we toch spreken vn een volledige inklemming. Het verloop vn de tegendrukken is weergegeven in fig. 2b; en vergroot ls verenmodel in fig. 2c. Zols in KW-0 [061] is fgeleid, hebben de bijbehorende trek- en drukkrchten een hefboomsrm vn 2/3 zodt de horizontle krchten 3/2 X zo groot moeten zijn ls bij de rol en het schrnier vn fig. l, wr de hefboomsrm gelijk is n de hoogte h vn de ligger, zie fig. 2d. Uit het beginsel ctie = rectie volgt dt in doorsnede B-D vn de blk wr het sttisch moment MB = -Fy werkt, even grote tegendrukken moeten optreden ls in het nsluitingsvlk n de wnd, dus trek boven en druk onder. In de blk (ligger) spreken we echter niet meer vn tegendrukken, mr vn spnningen. Spnningsverdeling in de ligger We gn er gemkshlve vnuit dt de ligger een houten blk is. ls we die die ergens in tweeën zgen en de delen weer n elkr lijmen, dn zl hier een overeenkomstige spnningsverdeling moeten optreden ls bij de inklemming n de wnd, zij het met een kleiner sttisch moment. ngezien liggers zowel krchten ls momenten kunnen overbrengen, kunnen we in feite elk deel vn een ligger ingeklemd denken in het drn grenzende deel. Neem er goede not vn dt een moment in een ligger ltijd kn worden vervngen door twee krchten evenwijdig n de liggers op een fstnd die kleiner is dn de hoogte vn de ligger. Dit houdt in dt deze inwendige krchten over het lgemeen nmerkelijk groter zullen zijn dn de uitwendig ngrijpende krchten, zols duidelijk is te zien in fig. l en 2d. c Fsi Dl Fig. 2 Ingeklemde ligger. Rectiekrchten bij een volledige inklemming b. Verloop vn de tegendrukken bij een continue 'verende' inklemming die door de geringe dikte vn de 'lijmlg' in feite ls een volledige inklemming kn worden beschouwd c. nsluiting vn de ligger n de wnd vergroot weergegeven met een verenmodel d. Grootte vn de krchten die behoren bij het verloop vn de tegendruk in fig. 2b en 2c 209

19 11.3 NDERE ONDERSTEUNINGS-WIJZEN LIGGERS OVER MEER STEUNPUNTEN Liggers over meer steunpunten kunnen weer sttisch bepld worden gemkt door een ntl hndig gekozen schrnieren n te brengen. Elk schrnier levert immers een extr vergelijking, nmelijk dt het moment vn het linker of rechter ngrenzende deel om dt punt gelijk moet zijn n nul. Dit is in fig. 1 voor elk schrnier symbolisch met -1 ngegeven, de grd vn sttisch onbepldheid wordt immers met 1 verminderd. In fig. 1 zijn de twee meest gebruikelijke vormen vn dergelijke liggers weergegeven:. Om het ndere veld twee schrnieren b. N het eerste veld in elk veld één schrnier Bij een ndere (onhndige) plts vn de schrnieren kn echter instbiliteit optreden. In fig. l hebben we te mken met twee liggers -B en C-D met elk een overstek wrbij de derde ligger op deze overstekken rust. De oplegrecties vn deze derde ligger vormen dn weer belstingen voor de liggers met overstek. Drom kunnen we voor een snelle berekening het beste met de ltste ligger beginnen. In fig. Ib bezit de ligger -B een overstek, de drop volgende ligger rust op het overstek en de rol C, de derde ligger rust op het dropvolgende overstek en de rol D. Deze liggers berekenen we chtereenvolgens vn rechts nr links. J_ B 1-1 o- - 1 o O o- Fig. 1 Sttisch beplde liggers over meer steunpunten. Twee str ondersteunde liggers en één verend ondersteunde ligger b. Eén str ondersteunde ligger en twee liggers met één strre en één verende ondersteuning 1 D LIGGERS ONDERSTEUND DOOR PENDELSTIJLEN Liggers kunnen ook sttisch bepld worden ondersteund door middel vn drie geschikt gekozen pendelstijlen. ngezien elke pendelstijl lleen mr een rectiekrcht in zijn eigen richting kn overbrengen, kunnen we de drie onbekende rectiekrchten nlytisch of grfisch beplen met behulp vn de drie evenwichtsvergelijkingen uit KW-0 [034 - (3,b,c) of (4,b,c)]. In fig. 2 is een drietl vormen weergegeven vn liggers met pendelstijlen. Fig. 2 Liggers met pendelstijlen Voor de berekening gt men ls volgt te werk. llereerst wordt de resultnte bepld vn lle uitwendige ctiekrchten; zie ev. KW-0 [016] (grfisch) of [017] c.q. [020] (nlytisch). Deze resultnte moet dn evenwicht mken met de drie rectiekrchten Ri, R2 en R3. Dit houdt in dt de krcht die evenwicht mkt met de resultnte, wordt ontbonden lngs de werklijnen li, I2 en Is vn de drie rectiekrchten. Deze procedures zijn uiteengezet in KW-0, [024] en [025]. In [212] zijn de oplegrecties bepld voor de ligger vn fig

20 2111 Bewndelt men de nlytische weg dn kn op verschillende mnieren te werk worden gegn bij het opstellen vn de evenwichtsvergehjkingen. Het vereist enige oefening om te zien op welke wijze men het snelste tot een oplossing kn komen. Twee lgemene wenken: - Mk het sttisch moment bij voorkeur op om een punt wr de werklijnen vn twee rectiekrchten elkr snijden. - Indien er lleen verticle krchten op de ligger werken, kn in veel gevllen juist het controleren vn het horizontle evenwicht (dus SFjc = 0), snel uitsluitsel geven over de krchten in beplde stven. Zo is bijv. de schuine pendelstijl in fig. 2b inctief onder lleen verticle belsting. Onjuiste vrinten I Twee evenwijdige pendelstijlen (of kbels) Er is één rectiekrcht te weinig; bij een horizontle belsting ontstn twee mogelijkheden:. ls de ondersteuningen op trek worden belst, zullen zodnig grote verpltsingen optreden dt de pendelstijlen evenwijdig gn stn n de werklijn vn de resultnte, zols is weergegeven fig. 3. b. ls de ondersteuningen op druk worden belst, is de constructie instbiel en vlt om, zie fig. 3b. c. Bij drie evenwijdige pendelstijlen zullen precies dezelfde verschijnselen optreden ls bij twee. Enkel voor de krchten in de richting vn de pendelstijlen is de constructie sttisch onbepld geworden. n De werklijnen vn de drie pendelstijlen snijden elkr in één punt, zie fig. 4. Er is dn enkel mr evenwicht mogelijk ls de werklijn vn de resultnte vn lle ctiekrchten ook door dit snijpunt gt. Mken we nmelijk het sttisch moment op om dit snijpunt dn kunnen de rectiekrchten geen enkel moment leveren. Bij een willekeurige belsting zl de constructie dn zeer sterk verpltsen, hij wordt dus instbiel. / / / / / / / / / / / 1/ Fig. 3 Evenwijdige pendelstijlen. Grote verpltsingen bij getrokken pendels b. Instbiliteit bij gedrukte pendels Fig. 4 Drie pendelstijlen. b. De pendelstijlen gn door één punt - c. De pendelstijlen gn niet door één punt De ondersteuning vn fig. 4 mkt op het eerste gezicht een zeer betrouwbre indruk, toch is hij instbiel, zols blijkt uit fig. 4b. De vreemdsoortig ndoende ondersteuning vn fig. 4c is echter wel degelijk stbiel

21 BEPLING OPLEGRECTIES Ligger met schrnieren Zols reeds in is besproken, kunnen doorgnde liggers sttisch bepld worden gemkt door het nbrengen vn een voldoend ntl schrnieren. Elk schrnier vormt dn de begrenzing vn een sttisch bepld liggerdeel. In fig. 1 is een eenvoudig voorbeeld verstrekt. Voor de verticle belsting kunnen we het schem vn fig. l zonder bezwr iets nders tekenen, zie fig. Ib. Hieruit blijkt duidelijk dt we in feite te mken hebben met twee liggers die we chtereenvolgens kunnen berekenen: C-D: een vrij opgelegde ligger, links verend ondersteund en rechts str ondersteund. -B-C: een vrij opgelegde ligger met overstek, wrop in punt C een nog onbekende krcht ngrijpt ten gevolge vn de drop rustende ligger C-D. De vrij opgelegde ligger C-D heeft in C en D omhooggerichte oplegrecties vn elk 1 kn. Uit het beginsel flcrze = rec^/e volgt dn dt in punt C vn de ligger -B-C een omlggerichte krcht vn 1 kn moet werken. De oplegrecties in en B zijn dn eenvoudig te beplen [207]. 5 m i 1 ^ i ^ 2, T t t t f 2kN O B C D t 2kN 1 Ligger met pendelstijlen Bij een ligger op pendelstijlen is het beplen vn de oplegrecties wt bewerkelijker dn bij de in 11.2 behndelde hoofdvormen: de vrij opgelegde ligger en de volledig ingeklemde ligger. In fig. 2 zijn de oplegrecties bepld voor de ligger uit fig. [210-2]. Hiertoe kn de krcht F worden ontbonden lngs de drie werklijnen vn de pendelstijlen; grfisch volgens KW-0 [024] en nlytisch volgens [025]. Bij een nlytische oplossing kunnen we de rectiekrchten Rl, R2 en i?3 in eerste instntie ls drukkrchten nnemen, zie fig. 2. Ter pltse vm de ligger worden ze ontbonden in een verticle en een horizontle component. ls we dn het sttisch moment opmken om punt D, volgt R3 rechtstreeks. Let op; ls we werken met R^y en R^n dn komen beide componenten voor in het momentenevenwicht, mr ze zijn (voor een hoek vn 45 ) wel even groot. ls we drn het momentenevenwicht opmken om punt B, dn volgt i^iv rechtstreeks en hieruit ookjrih- Uit het verticle evenwicht volgt dn R2Y, dus ook i?2h In fig. 2b zijn lle ctie- en rectiekrchten in grootte en richting weergegeven Vooruitlopend op de behndeling vn de snedekrchten in 12.1 en 12.2 zijn in fig. 2c de digrmmen weergegeven voor ^, V en M, omdt lleen bij dit voorbeeld normlkrchten optreden, zodt een normlkrchtenlijn kn worden getekend. 2kN D t 0,4 kn I 1 kn 1 kn B C ii 1.4 kn 1 kn 212 Fig. 1 Ligger over drie steunpunten met schrnier. Gebruikelijk schem b. Herzien schem voor verticle belstingen c. Oplegrecties

22 BELSTINGFDRCHT ls een ntl elementen op elkr wordt gestpeld is de beginner licht geneigd om bij elk onderdeel lleen te kijken hoe de totle verticle krcht vn het ene element nr het ndere successievelijk nr de ondergrond wordt fgedrgen. Dit systeem is weergegeven in fig. 3. In de toegepste mechnic worden één of meer onderdelen echter vrijwel ltijd geïsoleerd vn de rest beschouwd en worden rectiekrchten geïntroduceerd die evenwicht mken met de ctiekrchten vn elk onderdeel. Dit systeem is weergegeven in fig. 3b. 0,5 F 0,7 5 F N 0,5 F c V 2^ 2,25 F 0,7 5 F Fig. 2 Ligger met pendelstijlen. Schem b. Grootte vn ctie- en rectiekrchten c. N-, V-, en M-lijn; (zie [222] en [ ]) lmp = 40N mn = 700 N 740 rrr T stoel f = 60 N tfel = 200 N Fig. 3 IVIn bij het ophngen vn een lmp. Er wordt uitsluitend gekeken hoe de verticle krchten ngroeien, vn boven nr beneden gnde b. Elk fzonderlijk element vn de stpeling wordt op zichzelf beschouwd, door steeds weer het beginsel 'ctie = rectie' toe te pssen

23 11 BEREKENINGSMETHODEN CTIE- EN RECTIE-KRCHTEN Bij lle nlytische berekeningsmethoden vn sttisch beplde liggers moeten eerst de oplegrecties worden bepld. Vnf dt ogenblik hebben we te mken met een ligger die in evenwicht is onder invloed vn een ntl krchten, zie fig. I2. Bij een inklemming kn ook een koppel werken, zie fig. Ib2. Voor de berekening doet het verder niet meer ter zke wt de 'ctiekrchten' zijn en wt de 'rectiekrchten'. We zullen lter zien dt we die dn ook klkkeloos kunnen verwisselen. l deze uitwendige krchten kunnen lleen mr evenwicht met elkr mken omdt de ligger in stt is om krchten over te drgen en de fmetingen vn de ligger moeten hierop worden ngepst om voortijdig bezwijken te voorkomen. Kennis vn het verloop vn deze krchten in een ligger is dus essentieel voor het ontwerp SNEDE-METHODE Bij de snede-methode brengt men een fictieve snede n loodrecht op de liggers, wrdoor de ligger in twee stukken wordt verdeeld, zie fig. 2. Toepssing vn de drie evenwichtsvoorwrden levert dn de drie snedekrchten die in deze doorsnede moeten werken om het evenwicht vn het 'fgesneden' deel te verzekeren. Over het lgemeen kn men volstn met de berekening vn enkele doorsneden om het verloop vn de snedekrchten over de gehele lengte vn de (horizontle) ligger te kunnen ngeven. De drie snedekrchten worden ngegeven ls: normlkrcht (volgt uit = 0) V dwrskrcht (volgt uit X = 0) M buigend moment (volgt uit X = 0) Bij liggers speelt de normlkrcht meestl een ondergeschikte rol; de meeste ndcht is gericht op de berekening vn de momenten, wrbij de dwrskrchten soms ls hulpmiddel worden gebruikt. J_ \ i l O \ i O bl \ b2 \ 2 Fig. 1 Sttisch bepld opgelegde liggers met de bijbehorende evenwichtssystemen vn krchten. Vrij opgelegde ligger b. Eenzijdig ingeklemde ligger bl b2 Fig. 2 nbrengen vn een fictieve snede bij de snedemethode. Schem vn de ligger met snede b. Beschouwing rechter- en linker fgesneden deel In hoofdstuk 12 is een methode ontwikkeld wrmee liggers, die zijn belst door puntlsten en/of gelijkmtig verdeelde belstigen, snel en overzichtelijk kunnen worden berekend. Bij de snedemethode is er echter geen utomtische controle op de juistheid vn de uitkomsten, het is gewoon zk om je niet te vergissen. ^Cennis vn de krchtswerking in koorden zols besproken in KW-1 is echter een uitstekend hulpmiddel om de vorm vn de momentenlijn te controleren, zie [215]. 214

24 INTEGRTIE GRFISCHE METHODE Door gebruik te mken vn enkele eenvoudige stellingen uit de differentil-en integrlrekening, kn de berekening op een meer systemtische wijze worden uitgevoerd. In principe kn de dwrskrcht worden bepld door integrtie vn de belsting en het buigend moment weer door integrtie vn de dwrskrcht. Voor het oplossen vn vrgstukken wordt deze integrtie mr zelden lngs nlytische weg uitgevoerd, mr vrijwel ltijd door het beplen vn oppervlkken. Het is de meest universele methode voor het beplen vn momentenlijnen en de methode biedt ook nuttige controlemogelijkheden. De methode wordt besproken in hoofdstuk 13 [ ] SUPERPOSITIE De meeste belstinggevllen kunnen worden gesplitst in twee (hooguit drie) veel eenvoudiger belstinggevllen, wrvn de momentenlijnen meer dn eens vrijwel uit het hoofd kunnen worden ngegeven. Door deze 'bsisbelstinggevllen' op een beplde mnier bij elkr op te tellen - te superponeren - komt men snel tot overzichtelijke resultten. Het is in het lgemeen een zeer verhelderende methode, die voorl bij de lter te behndelen sttisch onbeplde liggers in KW-5 en KW-6, veel zl worden toegepst. De resultten vn de benodigde 'bsisbelstinggevllen' kunnen zowel met de snedemethode zijn verkregen ls door integrtie. De methode wordt besproken in hoofdstuk 13, [ ]. In KW-1 [ ] is een tweezijdig bevestigd koord op overeenkomstige wijze belst ls een ligger op twee steunpunten onder uitsluitend verticle belsting. Uit de evenwichtsbeschouwingen blijkt dt de vorm vn het koord geheel overeenkomt met de vorm vn de momentenlijn voor de ligger (berekening in hoofdstuk 12). Het koord formeert ls het wre zijn eigen momentenlijn door verticl te verpltsen. Hiervn kn op twee mnieren gebruik worden gemkt: 1. Een ieder kn zich de vorm vn zo'n koord gemkkelijk voorstellen of met behulp vn een touwtje met enkele gewichtjes ern ook zichtbr mken. Dit geeft een uitstekende controle op de juiste vorm vn momentenlijnen. Veel voorkomende fouten kunnen op deze wijze gemkkelijk worden vermeden. 2. Met behulp vn poolfiguur en stngenveeïhoek kn de momentenlijn ook gemkkelijk worden getekend op een wiluekeurig te kiezen schl. Bij de grfische constructie vn de momentenlijn behoeven de oplegrecties niet vn te voren bekend te zijn. Bij dezelfde stngenveeïhoek kunnen de opleggingen nog vrij worden gekozen wrdoor de invloed vn de ligging vn de opleggingen op het momentenverloop zeer inzichtelijk wordt. De methode wordt besproken in hoofdstuk 14 [ ]. Het is geen vereiste dt de student lle hiervoor genoemde berekeningsmethoden volledig beheerst; zonodig kn met de snede-methode worden volstn. Een globl inzicht in de overige methoden kn echter lleen mr vn voordeel zijn. Het belngrijkste hierbij is de methode vn superpositie [278] en het inzichtelijk-mken vn het momentenverloop door de nlogie met een overeenkomstige belst koord [297]. 215

25 SNEDE-METHODE Bepling vn de krchtswerking in liggers met behulp vn de snede-methode 12.1 KRCHTSWERKING IN EEN NORMLE DOORSNEDE LGEMEEN Een constructie of een onderdeel drvn, kn lleen mr in evenwicht zijn onder invloed vn de uitwendige krchten en de oplegrecties, omdt door de constructie krchten kunnen worden overgedrgen. Deze inwendige krchten lten elk onderdeel vervormen. Indien deze krchten beplde grenswrden overschrijden zullen ze uiteindelijk leiden tot het bezwijken vn een of meer onderdelen. Een behoorlijke kennis vn de grootte vn de inwendige krchten is drom vn groot belng voor het dimensioneren, dt wil zeggen, het beplen vn de vereiste fmetingen vn de constructie-onderdelen. Om de inwendige krchten bij een lineir constructie-onderdeel te beplen brengt men een fictieve snede n, loodrecht op de stf- of liggers. Vervolgens gt men n welke 'snedekrchten' in deze doorsnede moeten werken om het evenwicht vn het 'fgesneden' deel te verzekeren. Om deze werkwijze met succes toe te kunnen pssen is een ntl tekenfsprken nodig voor de belstingen, de rectiekrchten en de lsnog te definiëren snedekrchten TEKEN VN DE RECTIEKRCHTEN Elke krcht wordt ls een positieve grootheid beschouwd ls hij werkt in de richting wrin hij is getekend. Mr voor het opstellen vn de evenwichtsvergelijkingen moeten we krchten kunnen optellen en ftrekken en hiervoor is het nodig om met een ssenkruis te werken. Bij lle liggerberekeningen in dit hoofdstuk wordt gebruik gemkt vn een (rechtsdriend) x-};-ssenkruis, zie fig. 1. Hierbij worden krchten positief in rekening gebrcht ls ze werken in de richting vn de positieve ssen. Sttische momenten worden positief gerekend bij een driing vn de x-s nr de y-s. y Fig. 1 Tekenfsprken Positieve wrden voor krchten en momenten 216

26 217 ls dit beginsel strikt zou worden toegepst voor de oplegrecties, dn ontstt het beeld dt is weergegeven in fig. 2. Bij een verticl omlg gerichte belsting tussen de opleggingen volgt dn uit de evenwichtsvoorwrden dt zowel i?y ls i?bv negtief zijn, zodt ze omhoog moeten werken. Ook de rectiekrcht i?h blijkt hier negtief te zijn. Het is drom gebruikelijk om de oplegrecties te tekenen zols men verwcht dt ze zullen werken, dit is dus meestl omhoog gericht, zols in fig. 2b is weergegeven. Voor de oplegrecties vinden we dn positieve wrden, dt wil zeggen, ze werken inderdd in de richting die we hebben getekend. ls ze drentegen in tegengestelde richting moeten werken, blijkt dt uit het min-teken. O _B nbevolen werkwijze: - Houdt voor het beplen vn het evenwicht consequent één en dezelfde regel n om vergissingen te voorkomen. - Oplegrecties worden getekend zols dt:. öf gebruikelijk is b. öf de lezer het beste uitkomt. - Verbindt n het -i- of - teken vn een oplegrectie, zols dt volgt uit de berekening, lleen de volgende betekenis: de rectie werkt in de ngenomen richting dn wel in de tegengestelde richting. - Werk bij numerieke berekeningen nooit verder met negtieve wrden vn de oplegrecties; geef ze in de tekening ltijd in de juiste richting n. Fig. 2 Richting vn de oplegrecties Fig. 3 Gemetselde woning met houten vloeren Een vn de meest eenvoudige liggervormen treft men n in de woningbouw: houten blken die rechtstreeks worden ondersteund door steensmuren, zodt de blken zich gedrgen ls liggers op twee steunpunten. Ook hier doen we mr net lsof we met een rol en een schrnier te doen hebben, omdt de voornmste functie vn de opleggingen wordt vervuld: het fdrgen vn de verticle belsting. " De vloerplnken die op de blken worden gelegd, gedrgen zich echter ls doorgnde liggers over meer steunpunten, zie [291]. 217

27 DEFINITIE SNEDEKRCHTEN N-V-M Zols reeds werd vermeld, wordt het evenwicht beschouwd vn een deel vn de ligger dt door een fictieve snede vn het resterende liggerdeel is fgescheiden. lle uitwendige krchten op dit fgesneden gedchte liggerdeel worden bekend verondersteld. Voor de evenwichtsbeschouwing wordt weer gebruik gemkt vn de evenwichtsvoorwrden, (zie KW-0, [034-(3)] en voor de definitie vn Kz; [035]): I F;, = O De krcht F in fig. l en 2 kn ls een enkele puntlst worden beschouwd, mr even goed ls de resultnte vn lle krchten die op het fgesneden deel werken. > X Z F3, = O 1 Kz = O Om het evenwicht te verzekeren zullen in de beschouwde doorsnede in principe dus de volgende grootheden moeten werken: - een krcht in x-richting, - een krcht in j-richting, - een koppel met de driingss in z-richting. Voor deze inwendige krchten wordt een ndere nottie gebruikt dn voor de uitwendige krchten en ze hebben ook een ndere nm. Ze worden chtereenvolgens ngeduid ls: N = normlkrcht (krcht lngs de stfs) V = dwrskrcht (krcht loodrecht op de stfs) M = buigend moment (koppel met driingss loodrecht op het vlk vn tekening) Indien de liggers evenwijdig is met de x-s, komt de normlkrcht dus overeen met FH en de dwrskrcht y met Fy, zie fig. Ib. ls de ligger een willekeurige stnd heeft ten opzichte vn het x-j-ssenkruis, zl de evenwichtmkende krcht in de beschouwde snede ltijd worden ontbonden in een krcht N lngs de liggers en een krcht V loodrecht op de liggers, zie fig. 2b. De grootheden N en V komen dn niet lnger overeen met resp. FH en Fy. Fig. 1 Snedekrchten bij een horizontle eenzijdig ingeklemde ligger. Schem vn de ligger met snede b. fgesneden deel met de evenwicht mkende snedekrchten ^^ en V, resp. in de x- en y-richting, en het buigend moment M Fig. 2 Snedekrchten bij een eenzijdig ingeklemde ligger onder een helling. Schem vn de ligger met snede b. fgesneden deel met evenwicht mkende snedekrchten en V, resp. in de n- en ï-richting, plus het buigend moment M 218

28 OPLEGRECTIES BIJ EEN VRIJ OPGELEGDE LIGGER Bij de eenzijdig ingeklemde liggers vn fig. 1 en 2 kunnen v^e rechtstreeks een snede nbrengen en houden dn een liggerdeel over wrop een bekende krcht F werkt. Mr ls we bij een vrij opgelegde ligger een dergelijke snede nbrengen, houden we een liggerdeel over wrop een nog onbekende oplegrectie werkt. Die krcht zullen we dus eerst moeten beplen. In het voorbeeld vn fig. 3 is een ligger beschouwd die is ondersteund door een schrnier en een rol en is belst door één puntlst F, die een hoek mkt met de verticl. Het ngrijpingspunt B vn de krcht ligt op een fstnd vnf de linker oplegging. lle horizontle mten zijn gemeten lngs de hrtlijn vn de ligger. Bij het opmken vn het momenten-evenwicht is de dikte vn de ligger verwrloosd, zodt FH en i?h in eikrs verlengde komen te liggen. Bepling vn de recties in, zie fig. 3, b: J^Kc = 0: +RKYI - F y b = O RH IV RV Rcy ^t lf 7? - F 1:F^ = 0: -RE + Fn = 0 Fig. 3 Vrij opgelegde ligger belst door een puntlst. Schem b. fmetingen en rectiekrchten RH = F}i Bepling vn de rectie in C: li^ = 0: +Fvfl - RCYI =0 Controle: R = - F cv / V -RW +FV -RQY = O Het nbrengen vn een 'snede' in deze ligger en het beplen vn de snedekrchten wordt uitvoerig behndeld in [ ], ook numeriek. 219

29 PRINCIPE SNEDEMETHODE Op een fstnd x vnf brengen we in punt S een snede n en we onderzoeken wt in deze snede moet werken, om n het evenwicht te voldoen, zie fig. Ib (zie ook fig. [218-1]). 1 Professor Vreedenburgh - legendrisch hooglerr Toegepste Mechnic bij de Fculteit der Civiele Techniek - plcht te zeggen: 'Breng dr wr je wt wilt weten een snede n, neem het fgesneden stuk in de hnd en g n wt die hnd dn voelt' B Trcht dit gedchten-experiment zo letterlijk mogelijk te nemen. Kijk lleen nr het fgesneden stuk met lle krchten die drop werken en 'vergeet' het resterende stuk vn de constructie. In het fgesneden stuk zorgt de constructie er zelf wel voor dt de krchten worden overgedrgen. Enkel ter pltse vn de snede dient de rekenr de tk vn de constructie even over ter nemen. In fig. 1 c is het fgesneden stuk letterlijk - eigenlijk 'figuurlijk' - in de hnd genomen. Om te weten wt de hnd ondergt, verpltsen we de twee krchten die op het uiteinde vn de ligger werken nr die hnd, dus nr punt S. Hiervoor kunnen we gebruik mken vn de regels voor het verpltsen vn krchten volgens KW-0 [014]. ls we dit doen blijft het ej%c^ vn de oorspronkelijke krchten dus onvernderd. bj c d In fig. ld is het resultt weergegeven. De krcht i?h mg lngs zijn werklijn nr rechts worden verschoven. De krcht i?v mg nr punt S worden verpltst door het invoeren vn een koppel: K = +RY * x Fig. 1 Snede-methode. Schem vn de ligger b. ctie- en rectiekrchten werkend op de ligger c. Beschouwing vn het 'fgesneden' deel d. Verpltsing vn lle krchten op het fgesneden deel nr het punt S 220

30 221 ctie - Rectie ls de hnd die twee krchten en het koppel in evenwicht moet houden, zl de hnd gelijke en tegengesteld gerichte krchten en een gelijk en tegengesteld gericht koppel moeten leveren, lles weer volgens het principe ctie = rectie. Een en nder is weergegeven in fig. 2. De verpltste 'uitwendige krchten' (wrbij dus ook het koppel met het begrip 'krcht' wordt omschreven) zijn weergegeven in zwrt. De hierdoor veroorzkte 'inwendige krchten' zijn weergegeven in wit. Uit de drie evenwichtsvoorwrden volgt dn voor punt S: Rm RY K = N = V = M Het buigende moment in de ligger is dus gelijk n Mx = RY * x, zodt geldt, zie [219]: M = ^ F ^ X l V Fig. 2 Krchten-evenwicht ter pltse vn de snede S. Verpltste ctiekrchten (zwrt) met de drdoor veroorzkte rectiekrchten (wit) b. Dezelfde krchten ls onder., mr nu ngrijpend op een elementir mootje vn de ligger Fig. 2 wekt de indruk dt er niets op punt S werkt omdt lle krchten elkr opheffen. Drom zijn de uitwendige krchten (zwrt) en de inwendige krchten (wit) in fig. 2b nogmls getekend, mr nu ter weerszijden werkend op een sml mootje vn de ligger. Let wel, het is steeds het smenstel vn twee overeenkomstige krchten (zwrt en wit) die een normlkrcht, een dwrskrcht en een buigend moment in het liggerdeeltje veroorzken, dus ook in de twee begrenzenzingsvlkken. In fig. 2b werken de verticle krchten niet lnger in eikrs verlengde en leveren dus eigenlijk een extr koppeltje. Mr dr kijken we ps nr in [262]. Fig. 3 Crtoon uit 'Nked Eye' vn Sm Coben. Hierin worden een ntl zken duidelijk n de orde gesteld: - lle constructies zijn driedimensionl, dit geldt ook voor liggers en portlen - het nbrengen vn een snede dient men zich zo letterlijk mogelijk voor te stellen - bezint eer ge begint 221

31 SNEDEMETHODE FORMELE NPK J_ De gng vn zken in [ ] is voornmelijk ter wille vn het inzicht gegeven. Toch zl lter blijken [228] dt we n enige oefening prktisch hetzelfde doen ls is beschreven op de twee voorgnde pgin's. Voorlopig kiezen we echter een meer formele npk, die overeenkomt met de mnier wrop we ook de oplegrecties beplen. 2,5 m 4 m B R cv We tekenen het liggerschem (fig. l), ontbinden de uitwendige krcht in een verticle en een horizontle component en berekenen de oplegrecties, zie fig. Ib. Vervolgens tekenen we het 'fgesneden' liggerdeel met de drop werkende krchten en brengen in de gekozen snede rechtstreeks de voorlsnog onbekende inwendige krchten ^, y en M n, zie fig. Ic. Jn deze snede (punt S) mken we dn chtereenvolgens eerst het verticle evenwicht op, dn het horizontle evenwicht en ten slotte het momenten-evenwicht. Dit levert precies dezelfde uitkomsten op ls in [221]. 8kN We hdden ntuurlijk ook het rechterdeel vn de ligger ls het fgesneden deel kunnen beschouwen. Uit het beginsel ctie = rectie mogen we concluderen dt de inwendige krchten op dt deel even groot zullen zijn, mr tegengesteld gericht, zie fig. ld. We zullen deze richting vst intekenen mr toch chterf controleren of er inderdd hetzelfde uitkomt. 8kN Fig. 1 Bepling vn de snedekrchten in punt S vn een vrij opgelegde ligger. Schem b. Ligger met krcht en oplegrecties ls bekenden c. Beschouwing vn het linker deel vn de ligger d. Beschouwing vn het rechterdeel vn de ligger 222

32 Numerieke uitwerking Ter wille vn de overzichtelijkheid is het voorbeeld vn [219] verder numeriek uitgewerkt, zie fig. Ib. De gegevens luiden: = 4 m,z? = 2 m, / = 6 m. Fv = 12 kn, i?v = 4 kn, i?cv = 8 kn. FH = 6 kn, i?h = 6 kn. We zullen chtereenvolgens beplen: de normlkrcht ^, de dwrskrcht V en het buigend moment M, en wel: in een punt S op 2,5 m fstnd rechts vn. Het moment Y.Kz = 0 wordt hierbij in beide gevllen opgemkt om punt S. We hdden ons de rekenprtij voor het rechterdeel ntuurlijk kunnen bespren. ls de ligger in evenwicht is dn moet het sttisch moment - om elk willekeurig gekozen punt - vn lle uitwendige krchten die op de Hgger werken, gelijk zijn n nul. ls we dn beginnen met het sttisch moment op te mken vn lle krchten die links vn punt S liggen, dn komt dr een beplde wrde Ms uit. De resterende krchten rechts vn punt S zullen er dn voor moeten zorgen dt dr een even grote tegengestelde wrde - Ms optreedt, om het sttische moment in zijn totliteit weer gelijk n nul te mken. Beschouwing linkerdeel: SF, = 0: -6 + N= O = 6 kn XFy = 0: -4 + y = O y = 4 kn S^z = 0: + 4*2,5-M = O Beschouwing rechterdeel: XF, = 0: V = O EFy = 0: -y = O I:KZ = 0: M = 10 knm ^ = 6 kn y = 4 kn Fig. 2 Hl vn geprefbriceerd beton Eén verdiepinghoge stpelbouw, wrbij de hoofdliggers rechtstreeks drgen op de bovenknt vn de kolommen en de dwrsdrgers weer rusten op de bovenzijde vn de hoofdliggers. + M +12* 1,5-8*3,5 = O M=10 knm We vinden inderdd precies dezelfde uitkomsten bij beschouwing vn het linkerdeel en het rechterdeel vn de ligger. De uitwerking voor het rechterdeel is echter wt bewerkelijker. We zullen drom voor evenwichtsbeschouwingen bij voorkeur het liggerdeel kiezen wrop zo min mogelijk krchten werken. Fig. 3 Stpelbouw vn meerdere verdiepingen De hoofdliggers rusten vi krnsconsoles op de kolommen. Tussen de hoofdliggers worden dubbel-t-plten ngebrcht die werken ls brede vrij opgelegde liggers. 223

33 TEKEN VN DE SNEDEKRCHTEN De voorbeelden tot dusver zijn zodnig gekozen dt de v^rden vn ^, V en M lle drie positief zijn. We zullen nu ngeven op welke wijze de vervormingen vn de ligger het teken vn deze grootheden beplen. Deze tekenfsprken voor de snedekrchten zijn bindend en dienen strikt te worden ngehouden. Ze zijn volkomen onfhnkelijk vn de tekenfsprken voor het beplen vn het uitwendig evenwicht volgens [216], die lleen gemkshlve worden gehnteerd. Snijdt men een elementje uit de ligger dn werken de positieve normlkrchten N, dwrskrchten V en buigende momenten M vn buiten uit op de mterie zols is ngegeven in de onderstnde figuur l. V N V Fig. 1 Teken vn de snedekrchten. Positieve richtingen vn N,V&.M b. fschuifteken (met fictieve verpltsing vn twee liggermoten) c. Buigteken (met werkelijke - mr sterk overdreven - vervorming vn een liggermootje) N Normlkrcht De normlkrcht is positief ls de krchten op het elementje beide nr buiten werken, zodt het elementje wordt uitgerekt, zie fig. l. Let op, de linker krcht werkt weliswr in de negtieve richting volgens [216] en de rechter krcht in de positieve richting, mr beide krchten smen veroorzken een positieve normlkrcht (= trek) in het getekende elementje. Desgewenst kunnen trek en druk ook in de vorm vn tekentjes worden ngegeven: Trek + = < > Druk - = < Dwrskrcht De dwrskrcht is positief ls de krcht die op het linker zijvlkje vn het elementje werkt, vn de beschouwer f is gericht en de krcht die op het rechter zijvlkje werkt, nr de beschouwer toe is gericht, zie fig. l, b. Voor een horizontle ligger die in een verticl plt vlk ligt betekent dit: links omhoog gericht en rechts omlg gericht. Het is n te bevelen om fschuiving met de zgn. f schuiftekens n te geven, zie fig. Ib. Men kn hierbij denken n de verpltsing vn twee opeenvolgende ligger-elementjes ten opzichte vn elkr, onder invloed vn de dwrskrcht lléén, ls er tussen deze elementjes een smeermiddel zou zijn ngebrcht. Buigend moment Het buigend moment wordt bij horizontle liggers positief gerekend ls de bolle knt vn de ligger n de onderzijde ligt en de holle knt n de bovenzijde, zie fig. Ic. ls ezelsbruggetje voor positief en negtief kunnen de getekende gezichtjes worden gebruikt. Een plnk over een sloot onder de invloed vn een zwrtekrchtsbelsting vertoont dus een positief buigend moment. De buigtekens spreken voor zichzelf. 224

34 Bij normlkrchten en dwrskrchten is de tekenfsprk onfhnkelijk vn de situering vn de ligger, zols men gemkkelijk ziet door een elementje vn de ligger een hlve slg in het pltte vlk te drien. Bij het buigend moment is dit niet zo. Bij verticle of schuin stnde liggers kn men eigenlijk vrij kiezen wt men positief of negtief noemt. Mr bij portlen is hiervoor toch wel een bepld gebruik ingeburgerd, zie KW-3 en KW-6. Bij het rekenen zl men steeds gebruik mken vn + en - tekens. ls men de fsprken vn [226] nhoudt, hebben de doorsnede-grootheden utomtisch het juiste teken. Bij onzekerheid over het teken kn men de symbooltjes voor de vervormingen gebruiken. Ps de symbolen voor V en M in ieder gevl toe bij verticle en schuin stnde liggers EENZIJDIG INGEKLEMDE LIGGER ls de inklemming zich n de rechterzijde bevindt - zols in fig. 2 is weergegeven, kn het buigend moment in de punten, B, C, D gemkkelijk worden bepld. In fig. 2b zijn chtereenvolgens sneden ngebrcht ter pltse vn de punten B, C en D en is het momenten-evenwicht vn de fgesneden delen beschouwd, wrbij F en M ls positieve grootheden in de sneden zijn ngebrcht, volgens de tekenfsprken vn fig. l. Beschouwing linkerdeel: punten en B M = = O puntc: -F^ - 2F*0 -Mc = O ofwel: Mc = -F puntd: -F*2fl -2F* -Mjy = O ofwel: MD = -4F V=3F 2F F 3F 3F 2F C ls de inklemming zich n de linkerzijde bevindt en we willen toch vn links nr rechts werken, dn moeten eerst de oplegrecties bij de inklenmiing worden berekend. Deze volgen mede uit fig. 2b en zijn weergegeven in fig. 2c. In fig. 2d zijn weer sneden ngebrcht ter pltse vn de overeenkomstige punten D', C', B' en is het momenten-evenwicht vn de fgesneden linkerdelen beschouwd. Hierbij zijn FenM weer ls positieve grootheden in de sneden ngebrcht, volgens de tekenfsprken vn fig. l. Beschouwing linkerdeel: puntd':-4ffl -MD- = O ofwel MD' = -4F punt C:-4F + 3F* - 2F*0 - Mc = O ofwel Mc = -F puntb': -4F + 3F^2-2F* - F*0 - MB' = O ofwel: MB' = O De uitkomsten zijn uiterrd gelijk n die vn fig. 2b, mr we zullen veel meer op ons qui-vive moeten zijn om geen fouten te mken. Fig. 2 Ingeklemde ligger; moment in enkele sneden. Schem bij een inklemming rechts b. Krchten op de fgesneden delen c. Schem bij een inklemming links d. Krchten op de fgesneden delen 225

35 12.2 DIGRMMEN VOOR DE SNEDE-KRCHTEN Vrij opgelegde liggers belst door puntlsten LGEMEEN In wordt een recpitultie gegeven vn de stppen die men moet uitvoeren om in een snede vn een ligger de grootte vn de snedekrchten te beplen: de normlkrcht N, de dwrskrcht V het buigend moment M. ls men vn te voren kn overzien in welke doorsneden de grootste snedekrchten optreden dn kn men volstn met het beplen vn de snedekrchten in deze doorsneden. Voor een goed inzicht in de krchtswerking is het echter n te bevelen om het verloop vn deze snedekrchten lngs de gehele ligger uit te zetten. In sommige gevllen kn het verloop vn de normlkrcht belngrijk zijn, bijv. bij kolonmien. Zo'n digrm voor de normlkrcht noemt men dn een normlkrchtenlijn. Verreweg het belngrijkste is echter het verloop vn het buigende moment, omdt hierdoor de grootste vervormingen ontstn en bezwijken vn een ligger veell door buiging wordt ingeleid. Het dwrskrchtenverloop wordt bij sommige rekenmethoden dn voornmelijk gebruikt ls hulpmiddel om het momentenverloop te kunnen beplen [265]. De digrmmen worden respectievelijk ngeduid ls momentenlijn en dwrskrchtenlijn. De belsting op een ligger veroorzkt in principe een gelijktijdig optreden vn de drie snedekrchten. In de digrmmen worden ze echter ltijd strikt gescheiden vn elkr behndeld. In [ ] wordt de snedemethode numeriek uitgewerkt voor puntlsten. In [ ] wordt een nlytische uitwerking gegeven voor gelijkmtig verdeelde belstingen. Om snel en efficient momentenlijnen te kunnen tekenen voor combinties vn puntlsten en gelijkmtig verdeelde belstingen is in [ ] een nieuwe berekeningsvrint geïntroduceerd, wrbij de gelijkmtig verdeelde belsting in eerste instntie wordt vervngen door één of meer puntlsten REKENPROCEDURE De lgemene gng vn zken voor de berekening vn een of meer snedekrchten in een doorsnede vn een ligger is ls volgt:. Teken het schem vn de constructie met de drop werkende krchten, zie fig. l b. Bereken de oplegrecties en teken ze in de figuur in de richting zols ze op de ligger ngrijpen, zie fig. Ib. c. Breng op de gewenste plts een snede n en beschouw één vn beide 'fgesneden' delen met lle uitwendige krchten en oplegrecties die op dit deel werken. d. Teken de snedekrchten ^, VenM zols ze in positieve richting op het beschouwde deel werken, zie fig. Ic of ld. e. Bepl de wrden vn N, V en M met behulp vn de drie evenwichtsvergelijkingen: EF, = 0; SF3; = 0; XK^ = 0. f. G n of het teken vn de snedekrchten klopt met de te verwchten vervormingen. In fig. 1 zijn de opeenvolgende stppen schetsmtig weergegeven zonder ndere uitwerking. Omdt het lleen om het principe gt is een wt ongebruikelijke liggervorm gekozen. In elk figuurtje zijn de bekende krchten met zwrte pijlen ngegeven en de dr nog onbekende krchten met witte pijlen. In [228] wordt begonnen met een ntl eenvoudige rekenvoorbeelden wrbij lleen verticle puntlsten op een horizontle ligger ngrijpen, zodt geen normlkrchten zullen optreden. Het zl blijken dt men veell het moment en de dwrskrcht slechts in enkele punten behoeft te beplen om het gehele digrm te kunnen tekenen. Voor de beginner is het n te rden om een ntl gevllen door te rekenen op de hierboven beschreven wijze. 226

36 227 i_ SNEDEMETHODE PRCTISCHE NPK Zodr men enige routine heeft verkregen kn men echter wt sneller te werk gn. Hierbij werkt men het gemkkelijkst ls het linker fgesneden deel vn de ligger wordt beschouwd. De dwrskrcht en het moment kunnen dn direct worden opgeschreven in de beschouwde snede (punt S). Hierbij werkt men ls volgt, vergelijk fig. [220-lc] met fig. [222-lc]: Beschouwing linkerdeel c De dwrskrcht V is gelijk n de som vn lle uitwendige verticle krchten op het beschouwde linker deel vn de ligger, wrbij omhoog gerichte krchten positief worden ngenomen. Het buigend moment M is gelijk n het sttisch moment vn vn lle uitwendige krchten om punt S wrbij omhoog gerichte krchten weer positief worden ngenomen. Beschouwing rechterdeel ls het rechter fgesneden deel vn de ligger moet worden beschouwd dn moeten voor de dwrskrcht omlg gerichte krchten ls positief worden ngenomen mr voor het buigend moment weer de omhoog gerichte krchten. De essentie ligt hierin dt men gewoon kijkt welke buigvervorming door een krcht wordt veroorzkt en n die vervorming een teken toekent, zie fig. 2 Fig. 1 Opvolgende stppen in de snedemethode. Schem vn de belste ligger b. Berekening vn de (nog onbekende) oplegrecties c. Beschouwing vn het linker fgesneden deel vn de ligger met oplegrecties ls bekenden en de snedekrchten ls onbekenden d. Idem voor het rechterdeel In de hiern volgende berekeningen zl veell de hierboven besproken werkwijze worden toegepst wrbij V en M dus rechtstreeks worden opgeschreven. Uiterrd vindt men dezelfde resultten ls voorheen. Fig. 2 Beschouwing vn de buigvervormingen. Omhoog gerichte oplegrecties (c.q. ctiekrchten) op een ligger-uiteinde veroorzken positieve momenten. b. Grijpen ook uitwendige momenten n (zols bij een inklemming) dn zl de invloed vn het moment in de directe omgeving overheersen. 227

37 LIGGER BELST DOOR EEN PUNTLST De ligger is in de punten en C opgelegd en de puntlst F bevindt zich op een fstnd vnf de linker oplegging, zie fig. l,b. B Bepling vn de oplegrecties nbevolen werkwijze: Om de oplegrecties te berekenen wordt het sttisch moment chtereenvolgens opgemkt om beide oplegpunten. De voorwrde voor het verticle evenwicht wordt dn lleen ls controlemiddel gebruikt. B SZc = 0: + i?*/ - F^b = 0 (1) Xi^T = 0: +F*-Rc^l = O R,= j F (2) I 3kN f 9kN 6kN C Controle: 4 m I 2 m ^ R. + R^ = +b "c / F = F Bepling vn het moment: V{m) jr -6 Het buigend moment onder de puntlst blijkt mximl te zijn. De grootte bedrgt: b T F (3) De oplegrecties zijn omgekeerd evenredig met de fstnd vn de oplegging tot de puntlst. De uitdrukking voor het mximle moment kn eveneens gemkkelijk worden onthouden. Bij de bepling vn de digrmmen voor de dwrskrcht en het buigend moment is ter wille vn de eenvoud en de overzichtelijkheid verder numeriek te werk gegn, zie fig. Ic. M(kNm) Fig. 1 Ligger belst door één verticle puntlst. Schem vn de ligger b. fmetingen; ctie- en rectiekrchten c. Numerieke gegevens d. Dwrskrchtenlijn e. Momentenlijn e 228

38 Numerieke uitwerking Voor fmetingen en krchten, zie fig. Ic. fl = 4m;Z7 = 2m;/ = 6m;F = 9kN. De oplegrecties bedrgen volgens (1) en (2): i? = 2/6 * 9 = 3 kn = 4/6 * 9 = 6 kn Het moment onder de puntlst bedrgt volgens formule (3): 4*2 = 9 = 12 knm ^ 6 Toepssing vn formule (3) is lleen mr zinvol ls de oplegrecties nog niet zijn berekend. Is dit wel het gevl dn vindt men rechtstreeks MB = * = 3 * 4 = 12 knm Om de dwrskrchtenlijn te tekenen, brengen we een snede n op een fstnd x vnf de linker oplegging en beplen dr de dwrskrcht, zie fig. Ib, c, d. Voor O < X < <2 geldt: F, = + 3 kn Voor < X < l geldt: Yx = +3-9 = -6 kn De dwrskrchtenlijn is dus een blokvormige figuur die ter pltse vn een puntlst of een oplegrectie sprongsgewijs vrieert, zie fig. ld. In de digrmmen zullen positieve dwrskrchten ltijd nr boven worden uitgezet. Om de momentenlijn te kunnen tekenen wordt eveneens vn een snede op een fstnd x vn de linker oplegging uitgegn. Het buigend moment wordt bepld volgens de snedemethode, beschreven in [227]. Voor O < X < geldt: Mjc = + 3 * X = 3x knm Voor < X < l geldt: Mx = +3 *x - 9 * (x-4) = (36-6x) knm Dit zijn de vergelijkingen vn twee rechte lijnen wrvn de eerste de horizontle s snijdt ter pltse vn punt en de tweede ter pltse vn punt C. Vn elke lijn is slechts een gedeelte geldig; ter pltse vn het snijpunt vn beide lijnen gt men vn de eerste tk over op de tweede. Het snijpunt vn beide lijnen geeft het buigend moment n in punt B ter grootte MB = + 12 knm In de digrmmen zullen positieve buigende momenten ltijd omlg worden uitgezet. Bij het tekenen vn de momentenlijnen dient men bij voorkeur de volgende regels in cht te nemen: - zet het buigteken in het betreffende deel vn het momentenvlk, - zet de momenten zodnig uit ten opzichte vn de nullijn, dt de holle zijde vn het buigteken n de zijde vn de liggers ligt, zie fig. 2b. Ter wille vn de duidelijkheid zijn de normlkrchten-, dwrskrchten- en momentenlijnen in een ntl figuren met een rster ngegeven, zols in fig. 1; öf met een rcering zols in fig. 2. Positieve wrden krijgen een rcering loodrecht op de liggers, negtieve wrden een rcering evenwijdig n de liggers. Deze regel geldt ook voor verticl stnde liggerdelen (stijlen). Geef de tekens voor de snedekrchten (fschuifteken en buigteken) in ieder gevl n! L? B V Fig. 2 nduiding vn positieve en negtieve wrden voor de snedekrchten Dwrskrchten b. Buigende momenten 229

39 LIGGER BELST DOOR EEN NTL PUNTLSTEN ls een ligger door meer dn één puntlst wordt belst, dn stn er geen knt en klre formules ter beschikking om de oplegrecties rechtstreeks te beplen. Ook de vorm vn de momentenlijn is niet zonder meer n te geven. In fig. 1 is een vrij opgelegde ligger weergegeven die is belst door drie puntlsten op regelmtige fstnden. Voor de berekening vn een dergelijke ligger bestn verschillende mogelijkheden. Superpositie Men zou het mximle moment voor elke puntlst fzonderlijk met formule [228 - (3)] kunnen berekenen en vervolgens de drie bijbehorende momentenlijnen tekenen, zols is weergegeven in de figuren Ib-c-d. Vervolgens zou men de momentenlijnen voor deze belstinggevllen ls het wre over elkr heen kunnen drperen, zols is weergegeven in fig. le. In feite zijn dn lle moment-ordinten ter pltse vn de werklijnen vn de drie krchten gewoon bij elkr opgeteld, vergelijk de figuren Ib t/m le. In mechnic-termen heet dit superponeren. Uit deze npk blijkt het volgende; een ligger die uitsluitend is belst door puntlsten, bezit een momentenlijn die is opgebouwd uit rechte lijnstukken, wrbij lleen ter pltse vn de puntlsten knikken kunnen optreden. 12 kn 3 ' 3 ' 3 ' 3m M knm M knm M knm M knm c Bij. het superponeren in hoofdstuk 13 zullen we zien dt een overeenkomstige - mr wt slimmere - npk voor twee belstinggevllen zeer effectief kn zijn [ ]. In feite zullen we nooit te werk gn zols is ngegeven in fig. le. Mr uit de figuur blijkt duidelijk dt we lleen de momenten ter pltse vn de puntlsten behoeven te berekenen om de gehele momentenlijn te kunnen tekenen, zols numeriek is uitgewerkt in [231]. Mr ls we met teken-nuwkeurigheid kunnen volstn dn is zelfs dt niet nodig. We kunnen we dn l n het berekenen vn één oplegrectie de gehele momentenlijn construeren. Vooruitlopend op de behndeling in [231] is in fig. If het resultt weergegeven. Fig. 1 Vrij opgelegde ligger. belst door drie puntlsten -^132. Schem ME b. Momentenlijn voor Fi = 8 kn c. Momentenlijn voor F2 = 4 kn d. Momentenlijn voor F3 =12 kn e. Superpositie vn de drie momentenlijnen weergegeven onder b. c. en d. f. Grfische constructie ME =

40 GEBRUIKELIJKE REKENPROCEDURE In fig. 2 is de vrij opgelegde ligger uit fig. l nogmls weergegeven. De uitwerking hiervn zl geheel numeriek geschieden. Bepling oplegrecties; zie fig. l. Ei^T = 0: + 8*3 +4*6 +12*9 -RE* 12 = O RE =( )712 = 156/12 = 13 kn XKE = 0: + i?x*12-8*9-4*6-12*3 = O /? = ( )/12 =132/12 = 11 kn Controle: 2Fy = 0: = = O Zodr de oplegrecties bekend zijn worden deze in de figuur in grootte en richting ngegeven, zie fig. 2. We hebben dn een ligger die in evenwicht is onder de invloed vn 5 puntlsten. 12 kn Fig. 2 Berekening vn de dwrskrchten- en momentenlijn. ctie- en rectiekrchten op de ligger b. Dwrskrchtenlijn c. Momentenlijn D 13kN 3m Voor een uitvoeriger uitleg vn deze grfische npk wordt verwezen nr [293] wr op overeenkomstige wijze een eenzijdig ingeklemde ligger is behndeld. V Dwrskrcht Voor de dwrskrchtenlijn wordt de ligger tussen de punten en E in vier zones verdeeld. In elke zone is de dwrskrcht constnt. Berekening vn de dwrskrcht in kn. -B: y=+ll = +11 B-C: y=+ll-8 _ = +3 C-D: y=+ll-8-4 = -1 D-E: y = = -13 De dwrskrchtenlijn is getekend in fig. 2b. Momenten Voor het tekenen vn de momentenlijn berekenen we de momenten in lle punten wr puntlsten ngrijpen. De rechte verbindingslijnen vn deze punten vormen dn de momentenlijn. Ten overvloede zijn ook de puntlsten in de berekening opgenomen wrvn de rm gelijk is n nul, zodt het moment eveneens gelijk is n nul. Berekening vn het buigend moment in knm. M = +11 *0 = 0 MB = + 11 *3-8*0 = + 33 Mc = +11*6-8*3-4* MD = +11*9-8*6-4*3-12*0 = + 39 ME = +11*12-8*9-4* *3 +13*0 = 0 Er is consequent vn links nr rechts gewerkt om de regelmt te tonen in de opbouw vn het moment. De momentenlijn vn fig, 2c komt uiterrd geheel overeen met die vn fig. le. GRFISCHE NPK Voor het tekenen vn de momentenlijn hebben we genoeg n de berekening vn de oplegrectie R die we vonden door het momenten-evenwicht om punt E op te mken, (zie i^e = O in het gestippelde kder boven fig. 2). Mr ls we vn elke fzonderlijke puntlst het moment om punte weten, dn weten we ook dt l deze momenten lineir moeten verlopen tussen de betreffende puntlst en punt E. In de moment-nottie wordt het moment in E ten gevolge vn een puntlst in (bij wijze vn uitzondering) ngegeven ls ME^ = Het verloop vn dit positieve moment kunnen we dus direct tekenen, zie fig. If. Vnf punt B komt er een lineir verlopend buigend moment bij, met ls wrde in E: Mg^ = Hierdoor wordt het positieve momentenvlk ten gevolge vn R dus verminderd met het licht gersterde momentenvlk. Evenzo gt er vnf punt C het iets donkerder momentenvlk f met ls mximum ME^ = - 24, en vnf punt D het donkerste momentenvlk met ls mximum ME^ = -36. We zitten dn weer op nul en het overblijvende witte momentenvlk is dn het gezochte momentenvlk. 231

41 LIGGER MET OVERSTEK Berekening door superpositie Belsting door één puntlst op het overstek We beschouwen vervolgens een ligger met dezelfde overspnning ls in fig. [230-1], die nu n de rechterzijde is voorzien vn een overstek wrop één puntlst ngrijpt, zie fig. 1. Verder is de ligger onbelst. We nemen beide oplegrecties vn de ligger omhoog gericht n en berekenen op de gebruikelijke wijze de oplegrecties. Bepling I.K = 0: oplegrecties: -i?e* * 15 = O RE = 120/12 = 10 kn I K E = 0: + 7?* *3 = 0 R = -24/12 = -2 kn De oplegrectie R werkt dus in tegengestelde richting. In fig. Ib is de ligger overgetekend en zijn lle drop werkende krchten in de juiste richting ngegeven. Dwrskrchten Voor de dwrskrchtenlijn kn de ligger tussen en F in twee zones worden verdeeld wr de dwrskrcht constnt is. We werken weer vn links nr rechts. Let op, we beginnen met een negtieve dwrskrcht in, vergelijk [224]. Dwrskrchten in kn: -E E-F V = -2 V = Voor het tekenen vn de momentenlijn behoeft lleen het moment in E mr te worden berekend. n elk uiteinde vn de ligger moet het moment inomers gelijk n nul zijn omdt de dr ngrijpende krcht - vnf de buitenknt gezien - nog geen 'rm' heeft. ME = - 2 * 12 = - 24 knm 8kN R RE l2kn V 12 m! Fig. 1 Vrij opgelegde ligger met overstek. Schem b. Krchten op de ligger c. Dwrskrchtenlijn d. Momentenlijn BkN 10 kn 3 m F [ 232

42 23 3 Superpositie vn twee belstinggevllen We gn uit vn dezelfde ligger ls in fig. l, wrbij de puntlst op het overstek is ngebrcht mr bovendien ook de puntlsten tussen de opleggingen volgens fig. [230-1], zie fig. 2. De momentenlijn vn fig. [231-2c] voor de ligger zonder overstek, geldt ook voor de ligger mèt overstek, zolng dit overstek onbelst is. In dt onderdeel is het moment dn gelijk n nul. We hebben nu voor één en dezelfde ligger het momentenverloop voor twee belstinggevllen: I de puntlsten Fi,F2 en F3 tussen de opleggingen en E, n de puntlst F4 op het overstek in punt F. l gevl I F3= 12 kn Fi=8 Fo = 4 V B D 2 F4 = 8 kn gevl II gevl I t Vn beide momentenlijnen noteren we nu de wrden vn de momenten in de punten, B, C, D, E en F, zie fig. 2b. ls we deze wrden in de overeenkomstige punten optellen vinden we zonder meer de momenten die gelden voor de combintie vn beide belstinggevllen, zols is weergegeven in fig. 2c. De puntlst op het overstek blijkt de momenten behoorlijk te verminderen. In hoofdstuk 13 [275-2] zullen we zien dt een dergelijke superpositie ook heel eenvoudig grfisch kn worden uitgevoerd. gevl I + II = III Een omlg gerichte belsting op een overstek blijkt twee voordelen te kunnen bieden: 1. De bsolute wrde vn de buigende momenten neemt f, 2. de doorbuiging wordt minder, zie fig. 3. Fig. 2 Ligger met overstek belst door een ntl puntlsten. Schem vn de belstinggevllen I en II b. Momentenlijnen voor belstinggevl I en II c. Superpositie vn beide belstinggevllen Fig.3 Modellen vn de gevllen 1, n en lü vn fig. 2 I Holle vorm vn de doorbuigingslijn -E Het onbelste liggerdeel E-F verpltst wel, mr blijft verder volkomen recht n Bolle vorm vn de doorbuigingslijn over de hele ligger -F. De belsting in is nodig om het opwippen vn de ligger te voorkomen m De holle vorm vn de doorbuigingslijn links, gt nbij E over in een bolle vorm De doorbuiging is duidelijk verminderd n ni 233

43 LIGGER MET OVERSTEK Rechtstreekse berekening We beschouwen nogmls de vrij opgelegde ligger met overstek vn [ ], wrbij we de belsting niet lnger in twee fzonderlijke belstinggevllen splitsen, mr we de ligger rechtstreeks zullen berekenen, zie fig. l. Oplegrecties Berekening oplegrecties: ZZ = 0: + 8*3 +4*6 +12*9 -i?e*12 +8*15 =0 RE = 276 / 12 = 23 kn Xi^E = O /?*12-8*9-4*6-12*3 +8*3 = O i? = 108 / 12 = 9 kn Controle ZFy = 0: = = 0 De ligger is dus in evenwicht onder invloed vn de zes getekende krchten in fig. Ib. 12 kn H RE 9kN Fig.1 Ligger met overstek, belst door een ntl puntlsten. Schem b. ctie- en rectiekrchten 12 kn 23 kn Dwrskrcht Berekening vn de dwrskrcht in kn (fig. 2) -B = B-C = C-D = D-E = E-F = In de bovenstnde berekening is de dwrskrcht in elke zone steeds weer bepld ls de resulterende krcht die op het gehele fgesneden stuk werkt. ls men de wrden vn de dwrskrchtenlijn echter niet stuk voor stuk berekent, mr rechtstreeks tekent, dn verloopt dit sneller en overzichtelijker. Tekenen vn de dwrskrchtenlijn (fig. 2, b) - In punt wordt de krcht vn 9 kn in grootte en richting vnf de nullijn uitgezet. Tot punt B houdt de dwrskrchtenlijn deze wrde. - Vnf punt B wordt een krcht vn 8 kn nr beneden uitgezet. De resterende wrde vn +1 kn blijft dn constnt tussen B en C. - In punt C gn we weer 4 kn omlg en komen dn uit op - 3 kn ten opzichte vn de nullijn. Tussen C en D houdt de dwrskrchtenlijn deze wrde. - In D wordt een krcht vn 12 kn omlg ngebrcht wrbij we op = -15 kn uitkomen. - In punt E gn we 23 kn omhoog en komen dn uit op = + 8kN. - Tussen E en F blijft de dwrskrcht constnt gelijk n + 8 kn. - In punt F gn we weer 8 kn omlg en komen dn uit op nul. Voorl de controle in punt F is belngrijk, we moeten l doortellend op nul uitkomen en niet utomtisch de wrde vn de dwrskrcht tot nul terugbrengen ls we lle lsten zijn gepsseerd. Doen we dit wel, dn vllen fouten die onderweg zijn gemkt niet op, en zullen lle verdere berekeningen ook onjuiste ntwoorden opleveren. 234

44 Momentenlijn 9kN B 12 kn D 23 kn 3m Voor de bepling vn de momentenlijn berekenen we de momenten in lle punten wr puntlsten ngrijpen [230]. De rechte verbindingslijnen vn deze wrden vormen dn de momentenlijn. Nog eenml zijn weer lle puntlsten in de berekening opgenomen, ook ls de rm hiervn gelijk is n nul, zodt de betreffende term uit de vergelijking wegvlt (M in knm). M = + 9*0 0 MB = + 9*3-8*0 = +27 Mc = + 9*6-8*3-4*0 = +30 MD = + 9*9 _8*6-4* *0 = +21 ME = + 9*12-8*9 --4* *3 +23*0 = -24 Mp = + 9*15-8*12-4* *6 +23*3-8*0 0 M (knm) Fig. 2 Ligger met overstek belst door een ntl puntlsten. Ligger met ctie- en rectiekrchten b. Tekenen vn de dwrskrchtenlijn c. Momentenlijn Ook hier is consequent vn links nr rechts gewerkt om de regelmt in de opbouw vn het moment te lten zien. Het is duidelijk dt vn rechts nr links werkend het moment in punt F gelijk is n nul en het moment in E gelijk is n: ME = -8*3 = -24 knm; vergelijk de regels vn [227]. De momentenlijn kn nu gemkkelijk worden getekend, zie fig. 2c. De momentenlijn komt uiterrd weer geheel overeen met die vn fig. [233-2c]. Fig. 3 Rtliggers Rtliggers worden voornmelijk toegepst uit optische motieven. In de getoonde versie is een I-profiel met behulp vn een snijbnk vi een zig-zg-lijn in lengterichting in twee delen verdeeld, die vervolgens enigszins verschoven weer n elkr worden gelst. Dit soort liggers is geschikt voor grote overspnningen met een lge belsting. Dit houdt in: reltief hoge momenten en lge dwrskrchten. 235

45 VERWISSELBRHEID VN CTIE- EN RECTIEKRCHTEN i 1 2 kn BkNj ls de oplegrecties vn een ligger eenml zijn bepld, is de ligger in evenv^icht onder invloed vn een ntl krchten. Het doet hierbij dn niet meer ter zke wt de ctiekrchten zijn en wt de rectiekrchten. Een en nder wordt gedemonstreerd n de vrij opgelegde ligger die lleen wordt belst met een puntlst F = 8 kn op het overstek, zie fig. Ib. De bijbehorende krchten en het momentenverloop zijn weergegeven in fig. l. We kunnen de ligger echter evengoed beschouwen ls een eenzijdig verend ingeklemde ligger, die wordt onderworpen n een puntlst vn 2 kn op het linker uiteinde, zie fig. Ic ('duikplnk'). Het stt ons ook vrij om de ligger te beschouwen ls een in één punt ondersteunde ligger in indifferent evenwicht, volgens fig. ld ('wipplnk'). j2kn j2kn loknt 24 knm 8kN BkN j ls we lle krchten vn teken omdrien, drit ook de momentenlijn vn teken om en is lles nog steeds in evenwicht, zie fig. le. We hebben dn weer het vertrouwde beeld vn een in de uiteinden ondersteunde ligger, belst door een puntlst F = 10 kn, zie fig. If. We kunnen de ligger echter ook in elk willekeurig punt ingeklemd denken vi een dwrsligger of in één vn de uiteinden, zie fig. Ig. Op het eerste gezicht lijkt dit dit vreemd, mr het stt ons uiterrd vrij om een ingeklemde ligger zodnig te belsten dt het moment bij de inklemming juist gelijk is n nul. t2kn lokn BkNt 24 knm 10kN 10kN Bij liggers met meerdere puntlsten kn men op precies dezelfde mnier te werk gn. We kunnen dn twee willekeurige krchten kiezen ls de ondersteuningskrchten (rol + schrnier). De ndere krchten zijn dn utomtisch de bijbehorende ctiekrchten. ls een ligger in evenwicht is onder invloed vn een ntl krchten, dn kn hij ls het wre vrij zweven in de ruimte en we kunnen dn ltijd ter pltse vn twee krchten de ondersteuningen denken, zie fig. 2. f2kn Fig. 1 Verwisselbrheid vn ctie- en rectiekrchten Evenwicht vn krchten met bijbehorende momentenlijn Ligger met klein overstek Verend ingeklemde ligger In één punt ondersteunde ligger lle krchten vn teken omgedrid met bijbehorende momentenlijn Vrij opgelegde ligger zonder overstek Éénzijdig ingeklemde ligger K 236

46 VERVORMINGEN Ter wille vn de duidelijkheid zijn de vervormingen in de tekeningen ltijd sterk overdreven weergegeven. In werkelijkheid zijn normle bouwconstructies meestl zö stijf, dt de vervormingen niet of nuwelijks zichtbr zijn. lleen bij een plnk over een sloot zijn we in stt een duidelijk doorgebogen ligger nnemelijk te mken. De vervorming vn een ligger of een nder constructiedeel is echter de enige grootheid die we ons vrij gemkkelijk kunnen voorstellen en die ook n n de hnd vn een eenvoudig model direct zichtbr kn worden gemkt. lle ndere grootheden, zols oplegrecties, normlkrchten en buigende momenten, moeten we berekenen. De berekening vn de vervormingen is hierbij zelfs het meest ingewikkeld. n de uitbuigingsvorm vn een model vn een ligger zijn direct de zone's te herkennen wr positieve momenten optreden en wr negtieve. Dit kn een uitstekende controle geven op een berekening, wr men niet l te zeker is vn de uitkomsten. Bedenk hierbij echter dt de vorm vn de doorbuigingslijn geen enkel verbnd behoeft te hebben met de vorm vn de momentenlijn. Ter illustrtie zijn belste modellen weergegeven voor de belstinggevllen vn fig. 1. De uitgebogen vorm vn de hgger blijft hierbij steeds hetzelfde, mr de zkkingen vn de ligger kunnen sterk verschillen, fhnkelijk vn de rndvoorwrden, dt wil zeggen: de plts vn de ondersteuningen wr de zkking gelijk n nul moet zijn. Bij de inklemming vn fig. 2g is zowel de zkking ls de hoekverdriing ter pltse vn de inklemming gelijk n nul. Bij de liggers met een groot overstek (c, d, g) is een extr krchtje nodig om het eigen gewicht vn het overstek te compenseren, zie fig. 2e. Fig. 2 Modellen vn de liggers vn fig. 1. Vrij zwevend model vn een ligger onder invloed vn drie krchten b. Ligger met klein overstek c. Verend ingeklemde ligger d. In één punt ondersteunde ligger e. Compenstie vn het eigen gewicht bij: c, d, g f. Vrij opgelegde hgger g. Eenzijdig ingeklemde ligger g 237

47 12.3 DIGRMMEN VOOR DE SNEDEKRCHTEN Gelijkmtig verdeeld belste liggers LGEMEEN Een gelijkmtig verdeelde belsting is voor liggers in gebouwen verreweg de belngrijkste belsting. Enerzijds omdt het eigen gewicht vn de ligger meestl volkomen gelijkmtig is verdeeld en nderzijds omdt we llerlei belstingen wr we niet l te zeker vn zijn, in de berekening vervngen door gelijkmtig verdeelde belstingen, zie KW-0 [ ]. Voor vrij opgelegde liggers (zonder overstek) en voor éénzijdig ingeklemde liggers, die uitsluitend worden belst door een gelijkmtig verdeelde belsting, kn zowel voor het dwrskrchtenverloop ls voor het momentenverloop dhect een nlytische uitdrukking worden opgeschreven. In de volgende prgrfen worden uitsluitend enkele eenvoudige - mr wel zeer belngrijke - nlytische oplossingen behndeld. Indien de ligger slechts gedeeltelijk is volbelst door een vriërende belsting, of ls er tegelijkertijd ook puntlsten op de ligger ngrijpen, wordt een nlytische berekening omslchtig. Drom is in prgrf 12.6 een berekeningsvrint geïntroduceerd, wrbij lle gelijkmtig verdeelde belstingen eerst worden vervngen door puntlsten. De snedemethode volgens prgrf 12.3 kn dn op de normle wijze worden toegepst. Door vervolgens optiml gebruik te mken vn de eigenschppen vn prbolen, kn ook het momentenverloop bij de gelijkmtig belste gedeelten snel en eenvoudig worden weergegeven. Voor dergelijke problemen bestt ook een lterntieve berekeningswijze; het beplen vn de dwrskrchten door integrtie vn de belstingen en vervolgens het beplen vn de momenten door integrtie vn de dwrskrchten. Dit klinkt moeilijker dn het is, omdt het integreren lleen mr bestt uit het beplen vn het oppervlk vn een digrm voor een doorsnedegrootheid. Deze methode wordt behndeld in hoofdstuk 13. Zols reeds eerder is vermeld, wordt een gelijkmtig verdeelde belsting ls een geheel of gedeeltelijk gerceerde strook ngegeven, zols is weergegeven in fig. 1. Deze strook wordt zodnig getekend dt hij ls het wre tegen de ligger ndrukt. Een verticle belsting omlg wordt dus n de bovenzijde vn de ligger getekend en een verticle belsting omhoog n de onderzijde. Bij verticl stnde liggers wordt een belsting nr rechts dus n de linkerzijde getekend en een belsting nr links n de rech terzijde, zie fig. Ic , V miil K b 77777, Fig. 1 Liggers onder gelijkmtig verdeelde belsting wrvn het momenten verloop kn worden beschreven door één nlytische functie. Vrij opgelegde ligger b. Eenzijdig ingeklemde ligger c. Verticl stnde eenzijdig ingeklemde ligger, met belsting vn links en vn rechts C 238

48 VRIJ OPGELEGDE LIGGER We beschouwen een ligger op twee steunpunten die is belst door een gelijkmtig verdeelde belsting. De totle belsting bedrgt ql en de oplegrecties bedrgen uit symmetrie-overwegingen elk ql/2, zie fig. 2. Is We beginnen met het nbrengen vn een snede op een fstnd x vnf de linker oplegging. In deze snede brengen we de dwrskrcht Vx en het buigend moment n ls positieve grootheden, zie fig. 2b (vergelijk zonodig [224-l]). Vervolgens beschouwen we vn het fgesneden deel zowel het verticle evenwicht ls het momentenevenwicht. I x/2 I fqx rrxtt-i-rrr-i I I I I I I I I I I BL Verticle evenwicht: E = O ^ + q x + V = 0 2 ^ y =-qil-2x) (4) De dwrskrcht verloop lineir en is gelijk n nul voor x = / / 2, zie fig. Ic. Momentenevenwicht: XKs = O l X + ~ X - qx - M = 0 2 ^ 2 ^ = y qx{l-x) (5) Fig. 2 Vrij opgelegde ligger onder een ^-lst. Schem b. Beschouwing vn het fgesneden deel met de resultnte vn de belsting op dt deel c. Dwrskrchtenlijn d. Momentenlijn Het buigend moment verloopt prbolisch, zie fig. ld. Het mximle moment treedt op in het veldmidden voor x = 1/2 en bedrgt: M mx 1 72 (6) Bij een ligger onder gelijkmtig verdeelde belsting verloopt de dwrskrcht ltijd lineir en het buigend moment ltijd prbolisch. Fig. 3 Stlen hl met stlen kolommen en liggers. Pltselijk zijn tussen twee ngrenzende kolommen verstij vingskruisen ngebrcht 239

49 EENZIJDIG INGEKLEMDE LIGGER Bij een eenzijdig ingeklemde ligger volgt de snelste oplossing door de fstnd x vnf het vrije uiteinde te kiezen, zie fig. l. Beschouwing vn het fgesneden linkerdeel in fig. Ib levert dn zowel een uitdrukking voor het verticle evenwicht ls voor het momentenevenwicht. Ter pltse vn de snede S worden Vx en Mx beide weer ls positieve grootheden ngenomen, ook l zien we wel dt de dwrskrcht dr ter pltse, in werkelijkheid omhoog moet werken. Verticl evenwicht: EFy = O qx +Vx = O Vx = -qx (7) Momentenevenwicht: l^ks = O qx * x/2 -Mx = O M^=-jqx^ (8) De dwrskrchtenlijn en de momentenlijn zijn dn met behulp vn de formules (7) en (8) gemkkelijk te tekenen. Ter pltse vn de inklemming vinden we: VB = -q MB = - 1/2 q^ De oplegrecties moeten dn gelijk zijn en tegengesteld gericht, zie fig. l. De oplegrecties worden meestl rechtstreeks bepld. Hierbij kn de gehele gelijkmtig verdeelde belsting door hr resultnte worden vervngen. Denk er n dt het dwrskrchtenverloop en het momentenverloop bij gelijkmtig verdeelde belstingen nooit rechtstreeks met behulp vn de resultnte mogen worden bepld. Mr het gebruiken vn de resultnte kn wel een uitstekend hulpmiddel vormen, zols is beschreven in 12.4 [ ]. Fig. 1 Eenzijdig ingeklemde ligger onder een constnte gelijkmtig verdeelde belsting. Schem b. Beschouwing vn het fgesneden deel met de resultnte vn de belsting op dt deel c. Dwrskrchtenlijn d. Momentenlijn 240

50 LINEIR VRIËRENDE BELSTING Wterdruk vrieert lineir met de hoogte en voor gronddruk wordt dit eveneens ngenomen. Een verticle strook vn een kelderwnd kn dus in deze omstndigheden verkeren. Bij een verticle ligger die in de bodem is ingeklemd en is onderworpen n horizontle wterdruk verloopt de berekening ls volgt. De belsting is gelijk n, zie fig. 2: qx = qoy (9) Hierin stelt qo de wterdruk voor op een diepte vn 1 m. Beschouwt men een strook vn 1 m breedte dn volgt: qo = 10 kn/m'. De dwrskrcht volgt door beschouwing vn het horizontle evenwicht vn het 'fgesneden' deel vn de ligger, zie fig. 2b. XFr = 0: -V + q y = O ofwel y 2 ^ Het buigend moment volgt weer door de beschouwing vn het momenten-evenwicht vn het 'fgesneden' deel om punt S. Ei^s = 0:,, 1 2 y 1 3 Smenvtting: (11) De belsting verloopt lineir, zie fig. 2. Het verloop vn de dwrskrcht is een (tweedegrds) prbool, zie fig. 2c. Het verloop vn het buigend moment is een derdegrds prbool, zie fig. 2d. ls we zuiver formeel te werk gn dn kunnen lle voorgnde uitkomsten worden verkregen door toepssing vn integrlrekening [263]. Mr omdt we weten wr de zwrtepunten vn een rechthoek en een driehoek liggen, kunnen we de gegeven vereenvoudigde berekeningen uitvoeren. In hoofdstuk 13 zullen we een en nder op een meer formele wijze behndelen, omdt hieruit een heel prctische berekeningswijze voortvloeit, wrbij uit de gemkkelijk te beplen dwrskrchtenlijn vrij snel de momentenlijn kn worden fgeleid. (10) NB: De grootheden Vy en Fy worden beide beschouwd ls functie vn de fstnd y, de grootheden werken uiterrd in x-richting. Fig. 2 Eenzijdig ingeklemde ligger onder een lineir verlopende belsting. Schem b. Beschouwing vn het fgesneden deel met de resultnte vn de belsting op dt deel c. Dwrskrchtenlijn d. Momentenlijn C Fy/ -=3-4 f 241

51 12.4 DIGRMMEN VOOR DE SNEDEKRCHTEN Puntlsten tezmen met gelijkmtig verdeelde belstingen 12 PROCEDURE De snedemethode kn eveneens worden toegepst ls de belsting bestt uit een combintie vn puntlsten en/of constnte gelijkmtig verdeelde belstingen. Deze kunnen over een deel of de gehele lengte vn de ligger nwezig zijn. De snedemethode wordt voor de liggerdelen die gelijkmtig verdeeld zijn belst, echter op een wt ndere wijze toegepst dn lgemeen gebruikelijk is. chtereenvolgens worden de volgende stppen genomen: 1. Het schem vn de ligger wordt getekend met de drop werkende puntlsten en gelijkmtig verdeelde belstingen, zie fig. l. 2. Elke constnte gelijkmtig verdeelde belsting wordt vervngen door zijn resultnte, zie fig. Ib m 4 ^ 1 ^ ^ ^ F2 F2 F2 F3 1,5 m B 3. De oplegrecties worden bepld uit de evenwichtsvoorwrden: B Vrij opgelegde ligger zie fig. Ic: - Xi^ = 0 li^b = O - Controle: X^y = O - Resultt: Rp^ ; R^ R Fz RB Eenzijdig ingeklemde ligger zie fig. ld: - Xi^B = O - Y.Fy = O - Resultt: R^ ; i^b 4. Voor het beplen vn de momentenverdeling wordt uitgegn vn het schem met uitsluitend puntlsten volgens fig. Ic of ld. Tegelijkertijd wordt ook de ^-lst met een stippellijn weergegeven, zie fig ls er over het gedeelte met de gelijkmtig verdeelde belsting ook puntlsten ngrijpen - uitwendige krchten of oplegrecties - dn wordt de gelijkmtig verdeelde belsting in moten verdeeld met de scheidingen tussen de moten ter pltse vn de puntlsten, zie fig. 3, b. Fig. 1 Momentenlijn voor een vrij opgelegde ligger. Schem met belstingen b. ^-lst vervngen door een puntlst c. Bepling oplegrecties d. Bepling oplegrecties bij een eenzijdig ingeklemde ligger RB 242

52 Bij het schem vn fig. 2 wordt de momentenhjn op de gebruikehjke mnier met een horizontle nullijn getekend, zie fig. 2b. 6. De getekende momentenlijn vn fig. 2b is geldig in de onbelste liggerdelen en ter pltse vn de oorspronkelijke puntlsten. 7. Ter pltse vn de gelijkmtig verdeelde belstingen wordt de geknikte momentenlijn vervngen door een vloeiend verlopende prbool, zie fig. 2c. Dit is zeer eenvoudig omdt voor elke 'moot' gelijkmtig verdeelde belsting drie punten vn de prbool bekend zijn met hun rklij - nen: - de beide uiteinden vn de prbool - het midden vn de prbool. O 1 6 m -\ \ \ \ \ f F r r T T T n -n iryr r T T n n - r i I I I I I I I I I I I I I I In [244] en [245] zijn de benodigde belstinggevllen voor de bsis-liggers weergegeven: - vrij opgelegde ligger zonder overstekken - eenzijdig ingeklemde ligger In [246] en [247] worden enkele eenvoudige voorbeelden uitgewerkt. In [248] wordt een inzichtelijk gedchtenmodel besproken. In [249] wordt een vrij opgelegde ligger met overstekken behndeld, die gelijkmtig verdeeld is belst. In [250t/m253] zijn-zonder veel conmientreen ntl voorbeelden weergegeven. i F2 Fig. 2 Tekenen vn de momentenlijn voor de vrij opgelegde ligger vn fig. l. Schem met uitsluitend puntlsten b. Bijbehorende momentenlijn c. npssing vn de momentenlijn over het gedeelte wr de ^-lst ngrijpt R RB IS F F4 TTT-in-riTrrrTnin- I I I I I I 11 I I I I ^ I I Fig. 3 Het vervngen vn de gelijkmtig verdeelde belsting ls er ook puntlsten op dit deel ngrijpen. Schem vn een ligger met overstek b. Sphtsen vn de gelijkmtig verdeelde belsting in twee moten 243

53 BSIS-BELSTING-GEVLLEN Ligger op twee steunpunten. Gelijkmtig verdeelde belsting, zie fig. l: Prbolisch momentenverloop (bol) [239], M mx 1 /2 b. Puntlst, zie fig.lb: Lineir momentenverloop [228], M = F mx b ^/4 ^ 1/4 I 1/4 ^ 1/4 ^ l 2 c. Puntlst ter grootte vn de totle gelijkmtig verdeelde belsting (F = ql) ngrijpend ter pltse vn het veldmidden, zie fig. Ic. M mx = ir Fl =-r q^ 4 4 b2 Uit het momentenverloop vn belstinggevl c. is het momentenverloop vn belstinggevl. gemkkelijk f te leiden, zie fig. ld: - Ter pltse vn de punten en B rken beide momentenlijnen elkr. - In het midden vn de overspnning is het moment ten gevolge vn q gelijk n de helft vn dt ten gevolge vn F. - Voorts loopt de rklijn n de momentenlijn evenwijdig n de nulijn. - Op fstnden 1/4 / en 3/4 / vnuit is de verhouding tussen beide momenten gelijk n 3/4. Herlees zonodig: Eigenschppen vn prbolen in KW-1 [131]. i 1 f i 'F=ql ^ t cl c2 Fig. 1 Vrij opgelegde ligger met schem (1) en momentenlijn (2). Gelijkmtig verdeelde belsting b. Belsting door een puntlst c. Puntlst in het midden vn de overspnning ter grootte F = ql d. Overgng vn de momentenlijn voor gevl c. op die vn gevl. 3/4 Mmx 1/4 Mnix mx 244

54 245 Eenzijdig ingeklemde ligger. Gelijkmtig verdeelde belsting, zie fig. 2: Prbolisch momentenverloop (hol) [240], M mx - j q l l b. Puntlst Lineir momentenverloop, zie fig. 2b Mmx =--ql 2 M mx = - Fb f b i t bl c. Puntlst ter grootte vn de totle gelijkmtig verdeelde belsting (F = ql) ngrijpend ter pltse vn het veldmidden, zie fig. 2c Mmx = - Fb M =-^Fl = - - q l mx 2 2 hl Uit het momentenverloop vn belstinggevl c. is het momentenverloop vn belstinggevl. weer gemkkelijk f te leiden ls we de (gestippelde) hulplijn -B tekenen, zie fig. 2d: - Ter pltse vn de punten en B rken beide momentenlijnen elkr. - Ten opzichte vn de hulplijn -B kunnen we de vorm vn de prbool op dezelfde mnier tekenen ls in fig. ld. Herlees zonodig KW-1 [131]. 1/2 1/2 F=ql M= 0 B Mmx= - q\ Ql Mmx= --g/ Fig. 2 Eenzijdig ingeklemde ligger met schem (1) en momentenlijn (2). Gelijkmtig verdeelde belsting b. Belsting door een puntlst c. Vervnging vn de gelijkmtig verdeelde belsting door een puntlst d. Overgng vn de momentenlijn voor gevl c. in die vn gevl. O 1,2 245

55 Voorbeelden vrij opgelegde liggers PUNTLST OP LIGGERS MET VERSCHILLENDE LENGTE J_ De punten op de liggers worden ngegeven ls fstnden in m vnf een vst nulpunt O dt voor lle liggers hetzelfde is, zie fig. l, b. Gevl I, zie fig. l: Ligger {3-7} met een puntlst in het midden vn de overspnning {punt 5}. Puntlst F = 16 kn Liggerfmetingen: = 2m, Z? = 2m, / = 4m Oplegrecties en momenten: i?3 = 8 kn, i?7 = 8 kn Ms = + 16 knm Gevl n, zie fig. Ib: Ligger {0-8} met een grotere overspnning wrop dezelfde puntlst synmietrisch is gepltst {punt 5}. Puntlst F = 16 kn Liggerfmetingen: fl = 5m, b = 3 m, / = 8m Oplegrecties en momenten: 7^0 = 6 kn, i<:8 = 10 kn M5 = + 30 knm De momentenlijn voor gevl I kunnen we snel fleiden uit de momentenlijn voor gevl II, zie fig. 1, b. Ter pltse vn de opleggingen vn ligger I {de punten 3 en 7} trekken we loodlijnen die de momentenlijn vn ligger n snijden. De verbindingslijn vn deze snijpunten vormt de nullijn voor de eerste ligger, zie fig. Ib. Hier poneren we deze stelling lleen mr; bij controle blijkt het te kloppen. In [248] wordt de procedure inzichtelijk gemkt n de hnd vn een gedchtenmodel. Gevl in, zie fig. Ic: We beschouwen de puntlst uit fig. Ib ls de resultnte vn een gelijkmtig verdeelde belsting tussen de punten 3 en 7, zodt q = kn/m'. Volgens de procedure vn fig. [244- ld] is de momentenlijn direct te schetsen. gevl III Fig. 1 Vrij opgelegde liggers met schem en momentenlijn. Gevl I: Overspnning 4 m b. Gevl II: Overspnning 8 m c. Gevl Hl: Gevl n wrbij de puntlst wordt vervngen door een stuk gelijkmtig verdeelde belsting 246

56 247 Gelijkmtig verdeelde belsting over de gehele ligger of een deel drvn f 4 f 24 kn I \ \ f Gevl IV, zie fig. 2: Bij de ligger vn fig. 1 c wordt de gelijkmtig verdeelde belsting q = kn/m' n weerszijden met één meter uitgebreid. Zij werkt dn over het hggerdeel {2-8}, zodt de resultnte op hetzelfde punt ngrijpt ls in fig Ic {punt 5}, mr uiterrd wel is toegenomen tot: = 24 kn. We tekenen llereerst de momentenlijn voor de resultnte, zie fig 2: F = 6 * 4 = 24 kn, Ms = 45 knm. Ter pltse vn de ^-lst wordt dn het lineire momentenverloop vervngen door een prbolisch momentenverloop. Hierbij geldt: M2 = 2/5 * knm = 9 + (45-9)/2 27 knm Ms = 13,5 + 3/4 * knm = 4,5 + 13,5 18 knm Me,5 NB: hierboven zijn de momenten in een ntl punten precies uitgerekend. Wie redelijk nuwkeurig tekent, kn ze echter gemkkelijk uit de figuur opmeten. Gevl V, zie fig. 2b. De gehele ligger {0-8} is belst door een gelijkmtig verdeelde belsting q = kn/m'. Mmx = 1/8 * 4 * 8^ = 32 knm ls we de belsting door één puntlst vervngen is de momentenlijn nog steeds lleszins nuwkeurig te tekenen, zie fig. 2b. Mr we kunnen de gelijkmtig verdeelde belsting ook in twee moten verdelen, zie fig. 2c. De nuwkeurigheid is dn weer verder vergroot. Ter pltse vn een begrenzingslijn vn een moot vn de gelijkmtig verdeelde belsting vinden we ltijd de excte wrde vn het moment en we kennen tegelijkertijd ook de richting vn de rklijn. Op zo'n punt mkt het voor de berekening met de snedemethode immers niets uit of we de resultnte vn de moot beschouwen of dt we de gelijkmtig verdeelde belsting vi een integrl in rekening brengen, zie hoofdstuk 13. Gevl IV V q = 4 kn/m' Gevl V 32 kn i Q ^ Q 16 kn 64 Ms = 45 knm q = 4 kn/m' ^ i16kn O q = 4 kn/m' Q, O,» i? -O Fig. 2 Momenten bij vrij opgelegde Hggers met ^-lst. Over 3/4 deel vn de ligger b. Over de gehele ligger (verdeling in één moot) c. Over de gehele ligger (verdeling in twee moten)

57 GEDCHTENMODEL Om een beter inzicht te verkrijgen in dtgene, wt we in de voorgnde bldzijden [ ] eigenlijk hebben gedn, zullen we gebruik mken vn een gedchtenmodel ^ ^ ^ ^ ï 1 ^ ^ ^ F = 16kN We gn uit vn gevl II [246-1c] en pltsen op de hoofdligger {0-8} een hulpliggertje {3-7}, wrop de puntlst F ngrijpt, zie fig. l. Beschouwen we de hoofdligger met het hulpliggertje ls één geheel dn vinden we uiterrd dezelfde oplegrecties en ook dezelfde momentenlijn ls voorheen, zie fig. Ib. Beschouwen we het hulpliggertje en de hoofdligger elk fzonderlijk dn wordt het hulpliggertje belst door een puntlst Fin het midden vn de overspnnning, wrdoor een driehoekig momentenverloop ontstt, zie fig. Ic. De oplegrecties F/2 vn het hulpliggertje veroorzken in de punten 3 en 7 vn de hoofdligger neerwrts gerichte krchten F/2 op deze hoofdligger (ctie = rectie), zie fig. ld. De bijbehorende momentenlijn is eveneens weergegeven in fig. ld. De momenten in de punten 3 en 7 zijn uiterrd gelijk n die vn fig. Ib. Tussen de punten 3 en 7 moet het moment lineir verlopen. Dit betekent dt het resterende deel vn het momentenvlk wordt opgenomen door het hulpliggertje. Zolng de oplegrecties vn het hulpliggertje niet vernderen, zl ook het momentenverloop in de hoofdligger niet vernderen. Dit houdt in dt de plts en de grootte vn de resultnte vn de belsting op het hulpliggertje niet mg vernderen. ls we dus de puntlst vn 16 kn vervngen door een gelijkmtig verdeelde belsting vn: q = 16/4 = 4 kn/m'dn wordt uitsluitend het momentenverloop in het hulpliggertje gewijzigd, zie fig. le. ls ltste stp lten we het hulpliggertje weer vervllen zodt de hoofdligger ook dit ndeel vn het buigend moment moet overbrengen. Fig. 1 Hoofdligger met hulpligger. Schem b. Momentenlijn voor beide liggers tezmen c. Hulpligger; schem en momentenverloop d. Hoofdligger; schem en momentenverloop e. Vervnging vn de puntlst door een equivlente gelijkmtig verdeelde belsting, ngrijpend over de gehele lengte vn de hulpligger 248

58 VRIJ OPGELEGDE LIGGER MET OVERSTEKKEN Om het gemk vn de methode te demonstreren zullen we een voorbeeld behndelen dt met behulp vn numerieke integrtie in hoofdstuk 13 een stuk moeizmer verloopt [ ]. Het betreft een vrij opgelegde ligger met overstekken, gelijkmtig verdeeld belst, zie fig. 2.. Berekening oplegrecties [276]. Het resultt is weergegeven in fig. 2b. De gelijkmtig verdeelde belsting moet in drie moten worden verdeeld [242, punt 4], zols is weergegeven in fig. 2b. Fl = 4 * 4 = 16 kn F2 = 8 * 4 = 32 kn F3=2*4 = 8kN Momenten ter pltse vn lle puntlsten (indices geven de x-coördinten vn de ligger n) Berekening vn links: M2 =0 M4 = -2* 16 = -32 knm Mg = - 6 * * 4 = = = +44 knm Berekening vn rechts: M12 = -2*8 = -16 knm Mi3 = O 4 k k \ f q = kn/m' 16kN - - -in "i T T T T r I I I I I I I I I I I F = 32 kn I i i L L ri- - -i-n I I I I I I I kN ri-i I I I til] 21 kn De bijbehorende momentenlijn is dik getrokken weergegeven in fig. 2c. De mximle negtieve momenten treden op ter pltse vn de reëel nwezige puntlsten (de ondersteuningen); ze bezitten reeds de juiste wrde. De rechte tkken vn de momentenlijn - die behoren bij de nieuw ingevoerde puntlsten-moeten nu worden vervngen door de prbolen die voor de gelijkmtig verdeelde belsting gelden. In fig. 2c zijn de bijbehorende hulplijnen dun gestippeld weergegeven. De vloeiend verlopende definitieve momentenlijn is dik getrokken weergegeven in fig. 2d. We hebben nu niet de beschikking over de preciese numerieke wrde vn het mximle positieve veldmoment. Deze kn echter zonder meer uit de tekening worden opgemeten. Wie toch stt op de excte uitkomst zl n de hnd vn de dwrskrchtenlijn moeten ngn wr deze de nullijn snijdt [277]. Het buigend moment in ditpuntkn dn weer met behulp vn de snedemethode worden berekend, zie fig. [252-lbl,b2]. Fig. 2 Vrij opgelegde ligger met overstekken, onder een gelijkmtig verdeelde belsting. Schem vn de ligger met oplegrecties b. Verdeling vn de belsting in moten en vervnging door equivlente puntlsten c. Momentenlijn voor de puntlsten met hulplijnen en rondjes d. Definitieve momentenlijn voor de g-lst 249

59 VOORBEELDEN STTISCH BEPLDE LIGGERS Zonder verder commentr is een ntl liggers behndeld, wrbij fmetingen en belstingen zodnig zijn gekozen dt er eenvoudige uitkomsten voor de oplegrecties en de momenten uit voortvloeien. Positieve en negtieve momenten zijn lleen mr met hun buigteken weergegeven Dit soort eenvoudige momentenlijnen moeten door de student (m/v) vlot kunnen worden berekend en getekend! chtereenvolgens zijn per figuur verstrekt:. het oorspronkelijke schem b. het schem wrbij lle gelijkmtig verdeelde belstingen zijn vervngen door puntlsten de momentenlijn bij schem b. de hiervn fgeleide momentenlijn bij de oorspronkelijke belsting volgens. De 'echte'puntlsten zijn voorzien vn zwrte pijlpunten. De puntlsten die dienen voor de vervnging vn de q-lsten, hebben witte pijlpunten. O O 1 4 \ ) I t ( t kn q = 4 kn/m' q = 3 kn/m' 8kN C M yy J9 32 ^^24 M \ { \ N 7^26 Fig. 1 Ligger belst door een puntlst en een gelijkmtig verdeelde belsting over de helft vn de ligger Fig. 2 Gelijkmtig verdeelde belsting over de gehele lengte vn de ligger plus een puntlst in het midden vn de overspnning NB: In fig. 2d blijft ter pltse vn de puntlst vn 8 kn een knik in het momentenverloop nwezig 250

60 t ) ) I I! ) ) ) t I I I ) t ) I ) ) t Fig. 3 Gelijkmtig verdeelde belsting over het middelste derde deel vn de ligger Fig. 4 Gelijkmtig verdeelde belsting over de buitenste derde delen vn de ligger I ) \ \ t t O 1 2 \ \ \ t \ \ q =8 kn/m' q = Q kn/m' (7 =8 kn/m' 5 yi2 16 M Fig. 5 Vrij opgelegde ligger met overstekken Gelijkmtig verdeelde belsting lleen tussen de steunpunten; verdeling in twee moten Fig. 6 Vrij opgelegde ligger met overstekken Gelijkmtig verdeelde belsting lleen op de overstekken 251

61 O J _ q =2 kn/m' q =6 kn/m' q = 8 kn/m' ii 1; 20 i 30 4 m 4 m Xn= 2/3 m - n - i -(- - -i-\7n 1 T T T r I lu _I_J_J_1J(J.J.XJ.J_1.1_LLVI. -20 bl b2 BEPLING VN HET MXIMLE MOMENT Het moment is mximl wr de dwrskrchtenlijn de nullijn snijdt. De dwrskrchtenlijn die volgt uit fig. Ib is weergegeven in fig. IbL De dwrskrchtenlijn voor de ^-belstingen uit fig. l volgt hieruit door de wrden op de rnden vn demoten (12; 4 en -20 kn) doorrechte lijnen te verbinden. Het dwrskrchtennulpunt ligt dn op een fstnd: XQ = 4/24 * 4 m = 2/3 m vnuit het midden. Op het linker fgesneden stuk vn fig. Ib2 werken dn behlve de reeds bekende krchten 12 en 8 kn op de linkerhelft nog een resulterende krcht rechts vn het midden ter grootte 2/3*6 = 4 kn. Mmx = +12* 4,67-8*2,67-4* 0,67/2= 33,3 knm 12 C Fig. 1 Ongelijk grote gelijkmtig verdeelde belsting op elke liggerhelft Fig. 2 Gelijkmtig verdeelde belsting op het overstek vn een vrij opgelegde ligger 252

62 gf = 8 kn/m' g =2 kn/m' 24 kn 24 kn f?= O 1 V kN h_ Fig. 3 Vrij opgelegde ligger met een gelijkmtig verdeelde belsting op het overstek en op de helft vn het liggerdeel tussen de steunpunten Fig. 4 Eenzijdig ingeklemde ligger met een gelijkmtig verdeelde belsting op de helft vn de ligger 253

63 13 LTERNTIEVE NLYTISCHE BEREKENINGS-METHODEN Berekening vn liggers door middel vn Integrtie en Superpositie 13.1 INLEIDING OVERZICHT BEREKENINGSMETHODEN Snedemethode Door toepssing vn de snedemethode uit hoofdstuk 12 kunnen lle sttisch beplde liggers met willekeurige belstingen worden berekend en kunnen de digrmmen voor de snedekrchten worden getekend; de zgn. ^-, V- en M-lijnen. Er zijn echter twee ndere nlytische berekeningsmethoden wrmee we wt systemtischer kunnen werken, nmelijk door integrtie en met behulp vn superpositie. Integrtie Door gebruik te mken vn enkele eenvoudige stellingen uit de differentil- en integrlrekening kn men meer doelbewust te werk gn. In principe kn men de dwrskrchten beplen door integrtie vn de belstingen en de buigende momenten op hun beurt weer door integrtie vn de dwrskrchten. Het integreren gebeurt niet lngs nlytische weg mr door het beplen vn oppervlkken. Het is de meest universele mnier voor het beplen vn momentenlijnen en de methode biedt nuttige controlemogelijkheden. De methode wordt besproken in 13.3 t/m Superpositie De meeste belstinggevllen kunnen worden gesplitst in twee (hoogstens drie) veel eenvoudiger belstinggevllen. Door deze meestl bekende 'bsisbelstinggevllen' op een beplde mnier bij elkr op te tellen - te superponeren - komt men snel tot overzichtelijke resultten. Het is in het lgemeen een zeer verhelderende methode die voorl bij sttisch onbeplde liggers in KW-5 en KW-6 zl worden toegepst. De resultten vn de benodigde 'bsis-belstinggevllen' kunnen zowel met de snedemethode zijn verkregen ls door integrtie. De methode wordt besproken in

64 13.2 DIFFERENTIL- EN INTEGRLREKENING Grondbeginselen LGEMEEN De grondbeginselen vn de differentil- en integrlrekening worden in principe bekend verondersteld. Voor diegenen die deze stof mr oppervlkkig beheersen is in deze prgrf een recpitultie verstrekt vn de toch vrij beperkte kennis die voor het vk KRCHTSWERKING noodzkelijk is FUNCTIES Een wiskundige functie wordt in lgemene termen meestl ngegeven door: y = f(x) (1) De wrde vn de functie voor x = wordt ngeduid door y = f(). ls f(x) nder wordt gedefinieerd, dn kn vn zo'n functie een grfische voorstelling worden getekend. In fig. 1 is dit weergegeven voor de functie: y = - 0,25 + 2,50 x - 4,00 (2) Hierbij noemt men x de onfhnkelijk vernderlijke (vribele) en y de fhnkelijk vernderlijke; X kn willekeurig worden gekozen, de bijbehorende y kn worden berekend of opgemeten uit de figuur. Bij deze en de meeste ndere functies die we zullen gebruiken, kn x elke wrde nnemen die tussen - oo en + ligt. Voor ons doel hebben we meestl mr een heel klein stukje vn zo'n functie nodig. We moeten drom ngeven wr de grenzen vn het geldigheidsgebied liggen. In het gevl vn formule (2) zullen we lleen gebruik mken vn wrden vn x wrvoor geldt: O < X < S We zullen in [273] zien dt dit betrekking kn hebben op het momentenverloop in een vrij opgelegde ligger met overstek, wrbij dit echter lleen geldt voor het gedeelte tussen de steunpunten. Toepssing voor het momentenverloop Bij toepssing vn dergelijke functies voor het momentenverloop kn dit slechts in incidentele gevllen door één en dezelfde formule worden beschreven. Dit is bijv. het gevl ls: - Zowel de ondersteuningen ls de uitwendige krchten lleen n de uiteinden vn de ligger nwezig zijn. - De ligger over de gehele lengte is belst door een gelijkmtig verdeelde belsting en de ligger geen overstekken bezit. Zodr echter puntlsten tussen de opleggingen op de hgger ngrijpen of de gelijkmtig verdeelde belsting slechts pltselijk nwezig is, wordt de nlytische berekening uiterst omslchtig. De ligger moet dn in een ntl delen worden gesplitst, wrbij elk deel zijn eigen formule krijgt. Een zeer eenvoudig voorbeeld hiervn vormt de nlytische behndeling vn de ligger op twee steunpunten, die is belst door één puntlst, zie [228]. De momentenlijn bestt hier uit twee verschillende nlytische functies; in dit gevl rechte lijnen. y Fig. 1 Grfische voorstelling vn de functie: 1 2 ^1 y = -jx + 2-x

65 DIFFERENTIE-QUOTIËNT EN DIFFERENTIL-QUOTIËNT Vn een functie y = f(x) beschouwen we een willekeurig punt P(xi,ji), d.w.z. het punt wrvn de coördinten gelijk zijn n xi en yi, zie fig. l. We geven x nu een kleine toenme x en komen dn uit in punt Q (x2, y2) vn de kromme. Hierbij geldt: x = X2 -Xl = y2 -yi De verhouding y/x = tgcc wordt ngeduid ls differentie-quotiënt. Beplen we de hmiet vn dit differentie-quotiënt voor x O, dn gt de verhouding yljc over in de helling vn de rklijn n de kromme in punt P (fig. Ib). Deze helling is gelijk n dy/dx = tg p. De verhouding dy/dx wordt ngeduid ls het differentil-qotiënt. Er geldt dus: - = lim ^ x->0 x = lim x O /(x + x) -/(x) x DIFFERENTIËREN In de wiskunde zijn regels fgeleid wrmee men voor een gegeven functie de helling vn de rklijn kn beplen. Dit is in principe ook weer een functie in x, ze wordt de fgeleide functie genoemd. Men noemt dit proces differentiëren. Wij kunnen vrijwel ltijd volstn met de volgende zeer eenvoudige functies. Functie y = C j = x" j = Inx y = sinx y = cosx Voorbeelden: 3 y = x^ y = X fgeleide functie dydx = O dydx = nx^~^ dy/dx = 1 / X dy/dx = dy/dx =3x2 +COSX dy/dx = -sinx dy/dx = Ix(i-i) = xo = 1 (3) In fig. Ib zijn beide grootheden ngegeven. Tussen x en dx is geen verschil, wel echter tussen y en dy. y = 1/x 3 = X-3 dy/dx = -3x(-3-i) = = -3x-4 = -3/x4 > X Fig. 1 Vritie vn een functie. Differentie- quotiënt b. Differentil-quotiënt 256

66 257 ls de oorspronkelijke functie wordt ngegeven door y = f(x), dn wordt de fgeleide functie ngegeven door dy/éx = f' (x). We gn weer uit vn formule (2): y = + 2^x - 4 (4) ^ 4 2 Door differentitie volgt:.!- = ƒ (.) = - i. + 2i- (5) Vn de functie ƒ' (x) is eveneens een grfische voorstelling getekend, zie fig. 2b. Op geheel overeenkomstige wijze ls hiervoor is ngegeven, kn ook vn deze functie weer de fgeleide functie worden bepld. Ten opzichte vn de oorspronkelijke functie f(x) noemt men dit de tweede fgeleide, die veell wordt ngegeven met d'^y I dx^ = ƒ" {x). Hierbij stt d^y I dx^ ter fkorting vn: dx dx dx ^ De tweede fgeleide vn formule (4) - dus de eerste fgeleide vn formule (5) - blijkt een constnte te zijn ter grootte: 4 (6) dx Het verloop vn deze functie is weergegeven in fig. 2c. Bij lgebrïsche functies vn hogere grd kn men de gevonden functie steeds weer verder differentiëren. N 72 X differentiëren heeft men dn de fgeleide bepld: d^y I dx^ = ƒ" ,5 O dy/dx Y 2 2 d y/dx Fig. 2 Grfische voorstelling vn een kwdrtische functie met zijn fgeleide functies. );=-0,25 jc^ +2,50 X-4,00 b. dyléx^- 0,50 x + 2,50 c. d^yléx^ = -0,50 257

67 INTEGREREN Bij veel problemen blijkt het nmerkelijk eenvoudiger te zijn om een uitdrukking op te stellen voor een fgeleide vn de gezochte functie dn voor de gezochte functie zelf. Het beplen vn de oorspronkelijke functie vnuit de fgeleide functie noemt men integreren. Deze bewerking wordt ngegeven door het integrlteken ƒ. Integreren houdt dus in dt men de weg terug bewndelt. Men beplt de functie die n differentitie weer de gegeven functie oplevert. Hieruit volgt: \&yléx = y (7) Hieronder is in lgemene termen het schem weergegeven voor het 2 x differentiëren vn een functie. Vervolgens is ngegeven hoe deze ltste functie door 2 x integreren weer overgt in de oorspronkelijke functie. Ook voor het beplen vn de integrl vn een functie worden in de wiskunde voor vele functies methoden en regels gegeven. ls eerste blijkt dt men geen eenduidige oplossing kn verkrijgen; men dient n de gevonden functie een zgn. integrtieconstnte C toe te voegen. Vergelijk hiertoe fig. 1; lle getekende functies bezitten immers dezelfde fgeleide functie. Integreren is nmerkelijk lstiger dn differentiëren. Heel populir gezegd zou men differentiëren kunnen vergelijken met het zorgvuldig uit elkr nemen vn een knt en klre legpuzzel. Integreren is dn te vergelijken met het weer in elkr zetten vn de legpuzzel vnuit de losse stukjes. Hierbij moet men dn mr hopen dt er geen stukjes vn de puzzel ontbreken of dt er twee puzzels door elkr zijn gerkt. In gewoon Nederlnds: lng niet lle functies zijn lngs nlytische weg te integreren. Numeriek drentegen kn het ltijd, zie [ ]. SCHEM Differentiëren y = dy dx dx' m dx dx = ƒ" (x) () (b) (Cl) De te integreren functies die wij voorlopig tegen zullen komen zijn zeer eenvoudig vn rd. Er behoeft uitsluitend gebruik te worden gemkt vn de volgende integrlen, wrbij de integrtieconstnte - zols gebruikelijk - is weggelten. Men spreekt drom vn een onbeplde integrl. Integreren: «n X éx = 1 n + l n+ 1 J X éx = hix d ^ = /"(.)d. (C2) 1 cos X dx = + sin X ^= j/"(x)(k = ƒ' (X) (dl) Jsinx dx = - cosx dj = ƒ' (x)dx y = [ƒ' (x)dx =f(x) (d2) (e) In het bovenstnde zijn de formules (C2) en (d2) een herhling vn resp. de formules (ci) en (dj), zij hetiets nders geschreven. 258

68 Voor prktische toepssingen komt er voor elke keer dt men verder integreert een integrtieconstnte bij. Zo levert tweeml integreren vn formule (6) [257] chtereenvolgens : 1 (6) ÓX (5) r 1 y = j (-y^ +c^)dx = = + C, X + C (4) Zols in [255] reeds is betoogd, gebruiken we vn de nlytische functie mr een klein stuk. n de rnden vn het begrenzingsgebied zijn we meestl in stt ndere voorwrden op te geven wrn de geïntegreerde functie of een vn zijn fgeleiden dient te voldoen. Dit noemt men de zgn. rndvoorwrden, zie bijv. [270]. Voor het gevl vn fig. Ib zouden Ci en C2 bijv. kunnen worden bepld ls men weet dt het volgende geldt: voor X = 8 is}^ = O en voor X = 5 isdj/dx = 0 Substitueert men deze wrden in de formules (5) en (4) dn volgt: Cl = 2,5 en C2 = - 4. Fig, 1 Drie kwdrtische functies, die lleen een constnte verschillen en drdoor dezelfde fgeleide bezitten. y = - 0,25 + 2,50 x - 6,00 y = -0,25 x'^ +2,50x -4,00 y = - 0,25 + 2,50 x - 2,00 b. dy/djc =-0,50 X+2,50 259

69 BEPLDE INTEGRL In fig. 1 is de grfische voorstelling weergegeven vn een functie y =f(x). We beschouwen nu het oppervlk tussen de kromme, de nullijn en twee willekeurig gekozen verticle begrenzingslijnen x = en x = b. In fig. 1 is dit oppervlk met een rster weergegeven. Per definitie noemt men dit oppervlk: de beplde integrl vn de functie y = f(x) tussen de grenzen en b. Om het verbnd tussen een onbeplde en een beplde integrl te kunnen ntonen, beschouwen we het oppervlk vn de figuur tussen een vste ondergrens XQ en een vernderlijke bovengrens X, zie fig. Ib. De wrde vn de integrl is dn een functie vn de bovengrens x. We geven deze functie n door g(x). De functie g(x) stelt dus het oppervlk voor vn de licht gersterde figuur tussen de vste ondergrens Xo en de vernderlijke bovengrens x. Geven we x nu een ngroeiing x, dn is de ngroeiing vn g{x) gelijk n het oppervlk vn de wt donkerder gersterde figuur. Dit oppervlk is met goede bendering gelijk n: y XQ b ^0 X x+x Fig. 1 Functie y = f(x). Definitie vn een oppervlk ls een beplde integrl b. ngroeiing vn de beplde integrl g (x) b We beschouwen nu weer het oppervlk tussen de grenzen enb vn fig. l. Hierbij geldt: Het differentie-quotiënt vn de functie g(x) is dn gelijk n g(x)/x, dt wil zeggen: het oppervlk vn de gersterde figuur gedeeld door x en de wrde ligt dus in tussen /(x) en /(x + x). b 8() = J f(x)dx gib) = J /(x)dx Xq Xq Hieruit volgt: In de limiet voor x O gt het differentiequotiënt dn over in het differentil-quotiënt dg(x)/dx, dt gelijk blijkt te zijn n /(x). Met ndere woorden: de functie g(x) is een onbeplde integrl vn de functie /(x). b /(x)dx = g(b)-g() (8) 260

70 nlytisch integreren Grfisch integreren ls de onbeplde integrl vn een functie lngs nlytische weg is berekend, kn de beplde integrl ls volgt worden gevonden. chtereenvolgens worden de bovengrens en de ondergrens in de onbeplde integrl gesubstitueerd en vervolgens worden beide wrden vn elkr fgetrokken. Dr in beide uitdrukkingen dezelfde (nog onbekende) integrtieconstnte C voorkomt, vlt deze dus weg. Dit soort bewerkingen is bijv. reeds uitgevoerd in KW-0 [038]. Voorbeeld Gegeven is de functie: f{x) = -0,50x +2,50 Gegeven is de functie (zie fig. 2): /(x) = -0,50x +2,50 Gevrgd: bereken de beplde integrl vn deze functie tussen de grenzen: X = O en X = 2. Deze wrde is dn gelijk n het gersterde oppervlk vn fig. 2: g(2) -g(0) = 2*2 = 4 De mximle toenme vn de integrl treedt op tussen X = O en x = 5, drn neemt het oppervlk weer f. g{5) -g(0) = 0,5 * 5 * 2,5 = 6,25 Gevrgd: bereken de wrde vn de beplde integrl tussen de grenzen x = O en x = 5. De berekening verloopt ls volgt: 1 2 ^1 ^ 5 ^0 = { (-^ +12 ) - (O +0) } = In fig. 2 is zowel de oorspronkelijke functie uitgezet ls de geïntegreerde functie (die is getekend voor C2 = - 4), vergelijk ook fig. [259-1]. Vn de functie g (x) wordt dn het verschil in ordinten bepld voor x = 5 en x = 0. Volgens formule (8) bedrgt dit verschil: g(5) -g(0) = 2,25 -(-4) = 6,25 Voor een ndere integrtieconstnte (dus voor een ndere hoogteligging vn de kromme) vinden we uiterrd hetzelfde verschil. 9{x) Fig. 2 Integreren vn een gegeven functie. Oorspronkelijke functie ƒ (x) b. Geïntegreerde functie g (x) (getekendvoor C = -4) 261

71 13.3 BEPLING SNEDE-KRCHTEN DOOR INTEGRTIE Principe vn de methode EVENWICHTS-BESCHOUWINGEN OP EEN LIGGER-ELEMENTJE Er wordt een ligger beschouwd met een willekeurig vriërende belsting, zie fig. l. Ter bepling vn de gedchte is deze ligger ondersteund door een schrnier en een rol; de wijze vn opleggen is voor de volgende beschouwingen echter niet vn belng. Vn deze ligger beschouwen we een sml mootje ter lengte x. ngezien de dwrskrcht en het buigend moment in elk punt vn de ligger zullen vriëren ls functie vn de fstnd x, worden ze ngegeven met Vx en Mx in de linker doorsnede vn het elementje, zie fig. Ib. In de rechter doorsnede zijn deze grootheden dn toegenomen tot (Vx + Vx) en {Mx + My). Ook de belsting zl vriëren; ze neemt toe vn qx tot {qx + qx). Ter wille vn de eenvoud wordt voor de belsting echter uitgegn vn de gemiddelde wrde vn qx over x. 1 Mx T Vy x x Mx + Mx Verticl evenwicht Het verticle evenwicht volgt uit de voorwrde I.Fy = O Let op, q en V werken beide in 3;-richting, de indices X geven hier lleen n dt de grootheden worden beschouwd ls functie vn de fstnd x. Fig. 1 Ligger met willekeurig vriërende belsting. Schem vn de ligger b. Beschouwing vn een elementir mootje vn de ligger, onderworpen n de dr optredende snedekrchten -Vx +qxx +(Vx + Vx) = O Dit kn weer worden geschreven ls: y = - ^ (9) De belsting qx op een elementje is gelijk n de fnme vn de dwrskrcht gedeeld door de lengte vn het elementje (fnme vnwege het min-teken). In de limiettoestnd geldt dus: dv ^ x = - ^ (9b) 262

72 Momenten-evenwicht Voor de bepling vn het momenten-evenv^icht vn het elementje wordt de voorwrde E Z = O opgemkt om een punt Q vn de rechterdoorsnede vn het elementje: x M +yx-^x ^ -(M + M ) = O De derde term in de vergelijking 1/2 (x)^ is oneindig klein vn hoger orde en mg worden verwrloosd ten opzichte vn de overige termen. Men vindt dn: V = X M x x (10) De dwrskrcht is gelijk n de toenme vn het moment gedeeld door de fstnd wrover deze toenme pltsvindt. In de limiettoestnd kn dit weer worden geschreven ls: ^ dm dx (10b) Door (9b) en (10b) te combineren kn de belsting direct ls de tweede fgeleide vn het buigend moment worden weergegeven. Uit formule (14) volgt dt bij een gegeven belsting het moment kn worden gevonden door 2 x te integreren. Ter illustrtie is dit procédé in [270] geheel lngs nlytische weg uitgevoerd voor een vrij opgelegde ligger en een uitkrgende ligger onder gelijkmtig verdeelde belsting. Voor prktische toepssingen wordt dit dubbel integreren echter grfisch uitgevoerd, en wel in twee stppen. Eerst worden de dwrskrchten bepld door integrtie vn de belstingen {formule (12)} en vervolgens de buigende momenten door integrtie vn de dwrskrchten {formule (13)}. Een en nder verloopt vrij gemkkelijk, omdt lleen mr de oppervlkken behoeven te worden bepld vn de digrmmen voor de belsting en de dwrskrcht, zols wordt behndeld in [264] en [265]. Het tweeml integreren vn de belsting kn ook rechtstreeks gebeuren met behulp vn een grfische methode (poolfiguur en stngenveelhoek, zie KW-1). Dit wordt in KW-2 beknopt behndeld in hoofdstuk 14 [292]. ^x = - d^m dx' (11) Door integrtie gn de formules (9b), (10b) en (11) over in: V M» = - ^ dx J = + y dx X (12) (13) M = - <7 dx J J ^x (14) 263

73 BEPLING DWRSKRCHTEN In figuur 1 is een liggerdeel weergegeven onder een willekeurig vriërende belsting qx. De toenme vn de dwrskrcht over een fstnd óx volgt uit (9b) en bedrgt: dfx = -qxóx (9c) Uit het min-teken volgt dt de dwrskrcht fneemt bij toenemende x. Door integrtie vinden we: V = - \q óx X J X (12) óvx= Vx2 - Vx =-c Formule (12) kn ls een beplde integrl worden geschreven, wrbij de toenme vn de dwrskrcht wordt bepld tussen de doorsneden xi enx2. x2 V xl -^xl = - ] ^ x ^ (15) Fig. 1 Ligger onder een willekeurig vriërende belsting. Schem vn de ligger b. Dwrskrchtenvlk x\ De beplde integrl chter het gelijkteken stelt het oppervlk q voor vn het belstingvlk tussen de doorsneden xi en X2, zie fig. l. Men kn formule (14) dn ook schrijven ls: Vxl = Vr - xl (15b) ls de dwrskrcht in een beplde doorsnede Xl bekend is, kn de dwrskrcht in een wt verderop gelegen doorsnede X2 gemkkelijk worden bepld uitgnde vn Vxi, zie fig. Ib. Men behoeft dn niet zols bij de snedemethode weer het gehele 'fgesneden' stuk vn de ligger te beschouwen met lle krchten die drop ngrijpen. Fig. 2 Hl in gelmineerd hout Tweebeukige portlen [203] met hoofdhggers. De portlen worden in hnteerbre stukken ngevoerd en ter pltse vn de momentennulpunten n elkr_±)evestigd, vergelijk [289]. De bevestiging gebeurt met stlen strippen, die inwendig kunnen worden ngebrcht in uitgesprde sleuven, mr ook uitwendig. In de drie opeenvolgende overspnningen n de rechterzijde is de plts vn de momentennulpunten duidelijk zichtbr. 264

74 BEPLING VN DE MOMENTEN ls het dwrskrchtenvlk bekend is, kn de toenme vn het moment worden bepld met behulp vn formule (10b): dmx = Vxdx Door integrtie volgt: (10c) M = + V éx X (13) X2 Formule (13) kn weer ls een beplde integrl worden geschreven, wrbij de toenme vn het moment wordt bepld tussen de doorsneden xi enx2. dx x2 M ^ - M x2 1 V dx X X xl (16) De beplde integrl chter het gelijkteken stelt het oppervlk y voor vn het dwrskrchtenvlk tussen de doorsneden xi en X2 (fig. 3). Men kn formule (16) dn ook schrijven ls: Mx2 = Mxi +v (16b) ls het moment in een doorsnede xi bekend is, kn men vn dit moment uitgnde, het moment in een wt verderop gelegen doorsnede X2 gemkkelijk beplen, zie fig. 3b. Bij Mxi wordt dn het oppervlk vn het dwrskrchtenvlk - tussen Xl en X2 - opgeteld, zodt men zeker wt de momenten betreft, sneller en eenvoudiger werkt dn met de snedemethode. 6 Mx= Mx2 - Mx-\ = v Fig. 3 Bepling vn de momenten uit het dwrskrchtenvlk. Dwrskrchtenlijn b. Momentenlijn Fig. 4 Hl met gelijk hoge liggers in x- en y-richting. Liggers vn gelmineerd hout, ondersteund door stlen kolommen 265

75 BEHNDELING PUNTLSTEN lle voorgnde beschouwingen zijn gebseerd op een gelijkmtig verdeelde belsting en niet op puntlsten. De vrg rijst hoe deze moeten worden behndeld bij deze berekeningswijze. In werkelijkheid komen echte puntlsten - zols getekend in fig. 1 - niet voor; er is in de prktijk steeds sprke vn een grote belsting die (min of meer) gelijkmtig is verdeeld over een klein oppervlk, zols is weergegeven fig. 2. Dwrskrcht In het rekenschem mken we er ons echter niet druk om hoe groot qi is met de bijbehorende fstnd xi, mr stellen we ons tevreden met de wetenschp dt de beplde integrl volgens formule (15) juist gelijk is n de grootte vn de puntlst F\. Drom kunnen we de dwrskrcht sprongsgewijs lten vrieren, zols is ngegeven in fig. Ib, in plts vn ze steil te lten verlopen tussen de dicht bij elkr gelegen doorsneden Xl en X2, zols is ngegeven in fig. 2b. Moment In onbelste liggerdelen is de dwrskrcht constnt en gelijk n de helling vn de momentenlijn, vergelijk fig. Ib met Ic. De momentenlijn moet ter pltse vn de puntlst dus een knik vertonen. Bij de sterk geconcentreerde belsting qi in fig. 2 veroorzkt de lineir verlopende dwrskrcht over xi weer een prbolisch momentenverloop tussen Xl en X2, zols uitvoerig is behndeld in Buiten dit gebiedje zijn de momentenlijnen vn fig. Ic en 2c precies n elkr gelijk. In fig. 2c rkt de prbool in xi en X2 n de rechte tkken vn de momentenlijn. Fig. 1 Fig. 2 LINKS: Gebruikelijke behndeling vn puntlsten RECHTS: Vervnging door een sterk geconcentreerde gelijkmtig verdeelde belsting over een kleine fstnd {q\ * x\ = Fi). Belsting b. Dwrskrchtenlijn c. Momentenlijn 266

76 EXTREME MOMENTEN q2 X2 = F2 12 ls de dwrskrchtenlijn de nullijn psseert - onverschillig of dit sprongsgewijs gebeurt of continu verlopend - gt de helling vn de momentenlijn over vn een positieve wrde in een negtieve, of omgekeerd, zie fig. 3 en 4. Dit betekent dt het moment een extreme wrde bereikt; de momenten direct links en rechts vn het beschouwde punt zijn beide kleiner (ofwel beide groter) dn het moment in het beschouwde punt. V Neem nooit klkkeloos n dt de voorwrde: Vx = O tegelijkertijd inhoudt dt Mjc mximl moet zijn. Het moment kn ook heel goed miniml zijn, zie bijv. [270-2]. Voorbeeld In fig. 5 is een ligger weergegeven die in evenwicht is onder invloed vn een ntl puntlsten. Omdt deze lsten fwisselend omhoog en omlg zijn gericht, psseert de dwrskrchtenlijn de nullijn bij ieder puntlst. Onder elke puntlst treedt dus een pltselijk mximum of minimum op en we moeten lle extrem vergelijken om de mtgevende momenten te vinden. In fig. 5 treden lleen positieve momenten op en het mtgevende moment bedrgt M = +7,5 knm. M C Fig. 3 Puntlst Fig.4 ^-lst Het moment bereikt een extreme wrde op het punt wr de gdwrskrchtenlijn de nullijn psseert. Belsting b. Dwrskrchtenlijn c. Momentenlijn i B 4kN R = 2.5 RE = 1,5 ls een momentenlijn uit rechte delen bestt kn de dwrskrcht in elk onderdeel vn de ligger gemkkelijk worden bepld met behulp vn differentiequotiënten, zie fig. 5b, c. Zo vindt men bijv. voor het üggerdeel -B: 2,5 -L 0,5 -f 4-3 m \/(kn) V-B = (MB-M)//-B In een iets ndere schrijfwijze volgt: 1,5 1,5 Deel -B: V = Deel B-C: V = M _ +7,5-0 'x' ~ 3 M 'x' + 3-7,5 = +2,5 kn = -1,5 kn M (knm) C Op overeenkomstige wijze kunnen ook de ndere dwrskrchten worden bepld. Fig. 5 Belsting door lleen puntlsten. b. c. Schem; dwrskrchtenlijn; momentenlijn 267

77 13.4 NLYTISCHE UITWERKING Gelijkmtig verdeelde belsting BELSTING OVER DE GEHELE LENGTE VN DE LIGGER ls het verloop vn de belsting over de gehele lengte vn de ligger door één nlytische functie kn worden beschreven, kunnen de dwrskrchten en momenten door nlytische integrtie worden bepld en wel door gebruik te mken vn de formules (12) en (13) [263]. ngezien we vrijwel ltijd te mken hebben met een constnte gelijkmtig verdeelde belsting, zullen we ons bij de voorbeelden tot deze belsting beperken. Voor de constnte gelijkmtig verdeelde belsting voeren we in: qx = q. De berekening verloopt dn ls volgt: qx = q Vx = -Iqdx = -qx+ci (17) Mx = +jvxdx = + ƒ (- ^ X + Cl) dx = = -1/2^x2 + Cl X +C2 (18) De constnten Ci en C2 volgen uit de vereiste wrden vn de dwrskrcht of het buigend moment, die we n één of beide uiteinden vn de ligger weten n te geven. Bij deze zgn. geïdeliseerde rndvoorwrden betekent dit, dt dr öf de dwrskrcht öf het buigend moment gelijk n nul moet zijn. Het vinden vn de juiste rndvoorwrden zl zeker voor de beginner niet ltijd even gemkkelijk zijn. We zullen de constnten in de formules (17) en (18) beplen voor de twee 'stndrdliggers': - een vrij opgelegde ligger - een eenzijdig ingeklemde ligger Beide liggertypen zijn reeds in formule uitgewerkt in [239 en 240]. Bij de berekeningen in [ ] volgen uiterrd dezelfde uitkomsten. Het doel is echter, om lvst enig begrip bij te brengen voor een rekenmethode die in KW-5 voor een ntl stndrd-belstinggevllen zl worden toegepst. Die geldt dn niet lleen voor de bepüng vn de dwrskrchten en de momenten, mr ook voor de hoekverdriingen en de doorbuiging vn liggers. Voorts zijn in [273] formules verstrekt voor een vrij opgelegde ligger met overstek, eveneens onder een gelijkmtig verdeelde belsting. Hierbij moeten voor het overstek en het liggerdeel tussen de opleggingen, prte formules worden gebruikt. Een en nder is gedn ter toetsing vn onze kennis omtrent extreme momenten. Er wordt vn de lezer niet verwcht dergelijke nlytische formules ook zelf f te leiden. ls lgemene regel kn uit de formules (17) en (18) echter het volgende worden geconcludeerd: Bij een gelijkmtig verdeeld belste ligger verloopt de dwrskrcht ltijd lineir en het buigend moment ltijd prbolisch. 268

78 DE BELSTING ONTBREEKT OP EEN LIGGERDEEL Indien op een liggerdeel geen belsting nwezig is, gn de lgemene formules (17) en (18) over in: Vx = Cl (19) Dwrskrcht gelijk n nul Indien over een liggerdeel de dwrskrcht gelijk is n nul, volgt uit (19) dt Ci = O, zodt het buigend moment gelijk is n Mx = C2. Het buigend moment is in zo'n gevl dus constnt, zie fig. 1.. Mx= Cix +C2 (20) In zo'n liggerdeel is de dwrskrcht constnt en verloopt het buigend moment lineir. ls liggers belst zijn door puntlsten, dn geldt dit dus ltijd voor de liggerdelen tussen de puntlsten. Bij de snedemethode vn prgrf 12.2 zijn we dit geregeld tegengekomen. Wt toen echter heel gewoon verliep, wordt bij een strikt nlytische oplossingsmethode zeer gecompliceerd. Voor elk liggerdeel tussen twee opeenvolgende puntlsten worden dn twee constnten ingevoerd. Deze moeten weer worden geëlimineerd door bij elke nsluiting vn twee liggerdelen te eisen dt de dwrskrcht met de grootte vn de puntlst fneemt en dt de buigende momenten dr ter pltse gelijk zijn. Bij puntlsten wordt drom ltijd de lgemeen gngbre numerieke methode gevolgd die wordt beschreven in [ ]. q M(kNm) q T 1/2 q^ Fig. 1 Symmetrisch belste ligger. Schem b. Dwrskrchtenlijn c. Momentenlijn 269

79 BEREKENING VN DE STNDRDLIGGERS Vrij opgelegde ligger Voor een vrij opgelegde ligger kunnen de volgende rndvoorwrden worden opgesteld, zie fig. l: voor X = O geldt: = O (21) voor X = l geldt: Mx = O (22) 4- - f Substitutie vn (21) in [268-(18)] levert: 0 = 0+ 0+C2-> C2 = 0 Substitutie vn (22) in [268-(18)] levert: O = - 1/2 ^ / 2 + Cl / + C2 Cl = 1/2 ^ / Substitutie vn Ci en C2 in [268-(17) en (18)] levert dn voor de dwrskrcht en het moment: Vx = -q X + l/2ql = q(l/2-x) (17) V 1/2 ql r 0 Mx = -l/2qx^ + l/2q l X = = + 1/2 qx(l-x) (18) De formules (17) en (18) zijn volkomen identiek n de reeds eerder fgeleide formules: [239-(9)] resp. [239-(10)]. Eenzijdig ingeklemde ligger Voor een eenzijdig ingeklemde ligger kunnen de volgende rndvoorwrden worden opgesteld, zie fig. 2: Voor X = O geldt: Vx = O (23) Voor X = O geldt: Mx = O (24) 1/8 ql' Fig. 1 Vrij opgelegde ligger. Schem b. Dwrskrchtenlijn c. Momentenlijn x Substitutie vn (23) in [268-(17)] levert: 0=0 + Cl Ci = 0 Substitutie vn (24) in [268-(18)] levert: 0 = C2-^ C2 = 0 De vergelijkingen (17) en (18) voor de dwrskrcht en het moment gn dn over in: Vx = -qx (17b) 1/2 ql' Mx = - 1/2 q x^ (18b) De formules (17b) en (18b) zijn weer gelijk n de vorige formules [240-(12) en 240-(13)]. Fig. 2 Eenzijdig ingeklemde ligger. Schem b. Dwrskrchtenlijn c. Momentenlijn 270

80 271 Vergelijking vn beide momentenlijnen Om duidelijk te mken dt het momentenverloop bij een gelijkmtig verdeelde belsting ltijd prbolisch is, worden de formules voor de vrij opgelegde ligger en de eenzijdig ingeklemde ligger met elkr vergeleken. De formules kunnen ls volgt worden herschreven: Vrij opgelegde ligger: Mx = - 1/2 qx^ + lllqlx (18) l - f 2 Eenzijdig ingeklemde hgger ligger: Mx = - 1/2 q x^ (18b) De kwdrtische term (prbool) is voor beide gevllen precies dezelfde, de vrij opgelegde ligger heeft echter nog een tweede term, die lineir is in X. Voor de vrij opgelegde ligger worden nu beide termen fzonderlijk uitgezet, zie fig. 3b. Het verloop vn het negtieve momenten-ndeel voor de vrij opgelegde ligger is dus precies hetzelfde ls voor de uitkrgende ligger, mr het lineir verlopende deel levert een positief moment op, dt voor x = l precies dezelfde grootte bezit ls het negtieve moment. + -1/2 ql -1/2 ql + 1/2 g/' Om het (lgebrïsche) verschil tussen het negtieve en het positieve moment duidelijk zichtbr te mken, wordt het positieve momentenndeel gespiegeld om de nullijn en over het negtieve momentenverloop heen gepltst, zie fig. 3c. Wr beide momentenlijnen elkr opheffen ziet men een kruisrster. Het overblijvende deel met een verticl rster geeft dn het verloop vn het positieve moment n. De nullijn voor het positieve moment verloopt dn niet lnger horizontl. Min of meer nloge wijzen vn spiegelen vn momentenlijnen worden behndeld bij het superponeren vn momentenlijnen in prgrf 13.6 [ ] /2 ql + 1/2 ql =0 Fig. 3 Vergelijking vn de momentenlijn voor de vrij opgelegde ligger met die vn de eenzijdig ingeklemde ligger. Schem's b. Negtief en positief momentenndeel elk fzonderlijk uitgezet c. Spiegelen vn het positieve momentenndeel levert het uiteindelijke momentenverloop C 271

81 CONTROLE VN DE MXIMLE MOMENTEN Voor een goed begrip zl het woord mximum worden gebruikt voor een zo groot mogelijke bsolute wrde vn het moment (vergeleken met de momenten in de directe omgeving vn dt mximum), zie fig. 1. We kunnen dn spreken vn een positief of een negtief mximum. Onder een minimum wordt dn verstn een zo klein inogelijke bsolute wrde vn het moment, dt zowel positief ls negtief kn zijn, mr meestl gelijk zl zijn n nul. Het woord extremum (extreme wrde) omvt beide begrippen, mximum èn minimum. ls het moment door een nlytische functie wordt weergegeven, dn bereikt het moment een wiskundig mximum of minimum ls de rklijn n de momentenlijn horizontl loopt, dus ls de fgeleide gelijk is n nul. Mr let op, het moment kn dr zowel (een bsoluut of reltief) mximum ls minimum zijn, vergelijk de punten B en C in fig. 1. Zols reeds in [255] werd betoogd, gebruiken we vn de grfische voorstelling mr een klein gedeelte wrbij de x-coördinten de lengte vn de ligger bestrijken. Op de rnden vn het geldigheidsgebied zl mr zelden een wiskundig mximum optreden, zie fig. 1. Hier heeft men meestl te mken met een zgn. rndmximum (punt D) of een rndminimum (punt ). n de rnden vn het geldigheidsgebied moet het moment dus gewoon worden uitgerekend. Fig. 1 Begrippen mximum en minimum bsoluut rndminimum B bsoluut wiskundig mximum C reltief wiskundig minimum D reltief rndmximum Controle vn de stndrdliggers Bij de vrij opgelegde ligger zien we het gebruikelijke beeld, zie fig. [270-1]. In het midden vn de ligger is de dwrskrcht gelijk n nul en het buigend moment bereikt een extreme wrde, in dit gevl een positief mximum. Ter pltse vn de opleggingen ontstn rndextrem, die niet door differentiëren zijn te beplen. In dit gevl zijn de momenten miniml en is de wrde gelijk n nul. Bij de vrij uitkrgende hgger komt men echter volkomen in de wr ls men de bovenstnde regels dr utomtisch toepst, zie fig. [270-2]. n het linker uiteinde vn de ligger is de dwrskrcht gelijk n nul en moet het moment dus een extreme wrde bereiken. In dit gevl is het een minimum dt gelijk is n nul. Dit is een vn de weinige gevllen dt een rndextremum tegelijk ook een wiskundig extremum is. n het rechter uiteinde treedt eveneens een rndextremum op dt niet door differentiëren is te beplen en in dit gevl een negtief mximum oplevert. De dwrskrcht is hier dn ook niet gelijk n nul, mr juist mximl. 272

82 Vrij opgelegde ligger met overstek In fig. 2 is een vrij opgelegde ligger met overstek v^eergegeven. De dwrskrchten- en momentenlijn ten gevolge vn een gelijkmtig verdeelde belsting zijn weergegeven in fig. 2b, c. Neem er goede not vn dt lle extreme momenten optreden wr de dwrskrchtenlijn de nullijn snijdt. O 1/2 / + / B c De momentenlijn vn fig. 2c kn nlytisch worden beschreven door twee kwdrtische functies; door differentiëren volgen dn de bijbehorende lineire functies voor de dwrskrcht. Tk I: / 2 < jc < O V 5/8(7/ () 1/2 ql 3/8 dm^ q (b) Mmx = -1/8q/' Tk n : 0 < x < l = - -1 {x' -Six +l') (c) C V = dm ~d7 = - I- (8x -5/) (d) Mi = 9/128 ql' In tk I blijkt de dwrskrcht gelijk n nul te zijn voor X = -1/2, zie formule (b). Het moment bereikt dr een wiskundig extremum, en wel een minimum. In tk n blijkt de dwrskrcht gelijk n nul te zijn voor X = 5/8 l, zie formule (d). Het moment bereikt dr een wiskundig extremum, en wel een positief mximum. Substitutie vn de wrde voor X in formule (c) levert: M^^LX = + 9/128 q f' Fig. 2 Vrij opgelegde ligger met overstek onder een gelijkmtig verdeelde belsting. Schem b. Dwrskrchtenlijn c. Momentenlijn Het extreme moment hebben we door differentiëren niet gevonden. Drtoe moeten we de rnden vn het geldigheidsgebied beschouwen: dit is dus zowel voor tk I ls voor tk n de fstnd jc = O met ls negtief mximum: Mmx= -1/8^/2 Bij de ndere rnd voor tk II geldt: x = l met ls rndminimum Mjnin = 0. zie formule (d). 273

83 13.5 NUMERIEKE UITWERKINGEN LIGGERS UITSLUITEND BELST DOOR PUNTLSTEN We beschrijven een beplde procedure die op een overzichtelijke mnier tot resultten voert. Een en nder wordt gedemonstreerd n de hnd vn het voorbeeld dt in [ ] is berekend met behulp vn de snedemethode. Bepling oplegrecties Herhling, zie fig. l. Teken de ligger met lle drop ngrijpende puntlsten en teken de nog onbekende oplegrecties in opwrtse richting. Bepl op de gebruikelijke wijze de oplegrecties [234]. De uitkomst luidt: R = 9 kn, RE = 23 kn. Teken in een tweede schets lle krchten zols ze op de ligger ngrijpen, zie fig. Ib. Er behoeft geen onderscheid te worden gemkt tussen 'ctiekrchten' en 'rectiekrchten' [236]. il 12 8kN 8 E B C D i 8kN 12 ii B C D F 9kN 23 kn F Bepling vn de dwrskrchtenlijn Herhling, zie fig. Ic [234]. Werk vn links nr rechts. - Zet de eerste verticle krcht uit in richting en grootte vnf de nullijn. De wrde vn de dwrskrcht blijft constnt tot de volgende puntlst wordt bereikt. Dit deel vn de dwrskrchtenlijn is dus horizontl. - Zet vnf deze horizontle lijn de tweede puntlst weer uit in richting en grootte, trek een horizontle lijn tot de volgende puntlst. - Herhl deze procedure tot uiteindelijk bij de ltste puntlst de nullijn weer wordt bereikt. G hier niet utomtisch vn uit; het is de meest betrouwbre controle op de juistheid vn de wrden vn de oplegrecties en het verloop vn de dwrskrchtenlijn Fig. 1 Eenzijdig uitkrgende ligger belst door een ntl puntlsten (herhling vn [234]).. Schem vn de ligger b. Krchten en oplegrecties c. Dwrskrchtenlijn C 274

84 275 Bepling vn de momentenlijn Werk vn links nr rechts; dn levert een positief ndeel vn het dwrskrchtenvlk ook een positief ndeel n het momentenvlk (toenme vn het moment) en een negtief ndeel vn het dwrskrchtenvlk een negtief ndeel n het momentenvlk (fnme vn het moment), zie fig Controleer of in het linker uiteinde vn de ligger het buigende moment inderdd gelijk is n nul (dit is dus niet het gevl ls dr een uitwendig moment ngrijpt, zols bij een ligger die n de linkerzij de is ingeklemd [225]). In fig. 1 moet het moment in echter wèl gelijk zijn n nul. - Bepl de oppervlkken vn het dwrskrchtenvlk tussen elk tweetl opeenvolgende puntlsten: -B, B-C, C-D enz. (NB: In het vervolg worden deze oppervlkken ngeduid ls M) - De buigende momenten in de opeenvolgende punten zijn dn gelijk n: M = O MB = O + M-B Mc = MB + MB-C MD = Mc + Mc-D enz. In het onderstnde sttje zijn de opeenvolgende oppervlkken M vn het dwrskrchtenvlk vermeld, lsmede het totle buigende moment in het rechteruiteinde vn elk beschouwd liggerdeel. Dimensiecontrole: yinkn X inm = M in knm Fig. 2 Bepling vn de momenten door integrtie vn het dwrskrchtenvlk. Dwrskrchtenvlk (herhling fig. Ic) b. Momentenvlk Overeenkomst met de snedemethode Bij de snedemethode kn het product krcht x rm evengoed door een oppervlk worden voorgesteld. Uit fig. 3 blijkt dt we hier beginnen met een oppervlk ter grootte J? * ^ cn dr voor elke nieuwe puntlst een stuk vn ftrekken. De uitkomst is precies gelijk n die vn fig. 2, mr niet verder getekend dn tot de fstnd x. Fo = 4 I Fo = 12kN Ligger y * fl = M M deel B + 9*3 = B-C + 1*3 = C-D -3*3 = D-E -15*3 = E-F + 8*3 = Fig. 3 Moment volgens de snedemethode uitgezet ls het verschil vn een ntl oppervlkken Rster: positieve en negtieve ndelen heffen elkr op

85 LIGGER UITSLUITEND BELST DOOR EEN GELUKMTIG VERDEELDE BELSTING Er worden mr een pr stppen vn het te volgen procédé ngegeven, omdt dit soort vrgstukken nmerkelijk sneller kn worden behndeld met behulp vn superpositie [ ], of met behulp vn de snedemethode [249]. We gn uit vn een vrij opgelegde ligger met ongelijke overstekken, zie fig. l. Bij een gelijkmtig verdeeld belste ligger verloopt de berekening ls volgt: - bepl de oplegrecties - teken de dwrskrchtenlijn, - bepl het oppervlk vn de dwrskrchtenvlk in enkel mrknte punten, - zet de hieruit volgende momenten uit en schets de momentenlijn door deze punten. Oplegrecties Voor de bepling vn de oplegrecties mg men uitgn vn de resultnte vn de totle belsting op de ligger, zie fig. Ib. Fv = 14 * 4 = 56 kn Deze krcht grijpt n in het midden vn de lengte vn de ligger, d.w.z. op 7 m fstnd vn en D, dus op 3 m fstnd vn B en 5 m fstnd vn C. UitEMfi = O volgt: +56*3 -irc*8 = O i?c = 168 / 8 = 21 kn i?b = = 35 kn Dwrskrchtenlijn Voor de bepling vn de dwrskrchtenlijn beschouwen we lleen de werkelijke ^-lst en de zojuist berekende oplegrecties, zols die zijn weergegeven in fig. Ib, c. Tussen en B neemt de dwrskrcht toe vn nul in tot V^i =4*4= 16 kn direct links vn punt B. Deze dwrskrcht heeft een negtief teken. In punt B vrieert de dwrskrcht sprongsgewijs vn: VB/ = - 16 kn tot VBr = = + 19 kn. ngezien de gehele gelijkmtig verdeelde belsting omlg is gericht, neemt de dwrskrcht tussen B en C weer f met in totl: 4 * 8 = 32 kn, zodt de dwrskrcht direct links vn C gelijk is n: Vci = = -13 kn. In C werkt de oplegrectie RQ weer omhoog zodt direct rechts vn punt C geldt: Vcr = = + 8 kn. De belsting op het overstek is eveneens gelijk n 4 * 2 = 8 kn, zodt in punt D de dwrskrcht weer gelijk is n nul. De dwrskrchtenlijn heeft dus een zgtndvormig verloop, zie fig. Ic. Berekening vn de extreme momenten lvorens de momentenlijn te tekenen, zullen we eerst de grootte en ligging vn de extreme momenten beplen, zie fig. ld. In de uiteinden en D vn de ligger treden rndminim op die gelijk zijn n nul. Ter pltse vn de ondersteuningen B en C gt de dwrskrchtenlijn sprongsgewijs door nul ten gevolge vn de geconcentreerde oplegrecties; hier moeten dus eveneens extrem optreden, vergelijk [267]. =-B = -1/2*4* 16 = -32 knm Mc =c-d = -1/2*2* 8= - 8 knm In punt S is de dwrskrcht eveneens gelijk n nul, hier treedt dus een wiskundig mximum op. De fstnd B-S is gelijk n : Het buigend moment in S is dus gelijk n: Ms = MB + 1/2 * 19 * 4,75 = = ,125 = + 13,1 knm De berekende extreme momenten zijn weergegeven in fig. ld. 276

86 2' B Q = 4 kn/m' D 8 m Rc Tekenen vn de momentenlijn Wie enige ervring bezit in het tekenen vn dergehjke momentenlijnen kn door de berekende punten vn fig. ld een momentenlijn schetsen. Wie deze ervring niet heeft zl dit een moeilijke opgve vinden. De lezer mg echter niet verwchten dt een zwierig getrokken lijn door deze 5 punten ls de juiste momentenlijn zl worden erkend. 35 kn B m T 5 m EF= 56 kn 21 kn D Om met enige nuwkeurigheid de momentenlijn te kunnen schetsen moet men toch wel om de twee meter fstnd een punt vn de momentenlijn berekenen, zie fig. le. Dit is niet moeilijk, mr wel omslchtig. Voor dit soort gevllen komt men sneller tot het doel ls men de gelijkmtig verdeelde belsting tijdelijk vervngt door een ntl puntlsten zols in [249] is weergegeven. Wie echter gebruik mkt vn een speelmodel - in dit gevl een kettinkje dt n de twee uiteinden op dezelfde hoogte is opgehngen - kn de juiste vorm vn de momentenlijn zonder meer zichtbr mken [299-32, 3b2]. Voor het beplen vn de numerieke wrden vn de momenten moet dn wel gebruik worden gemkt vn poolfiguur en stngenveelhoek [295]. Fig. 1 Vrij opgelegde ligger met twee overstekken onder een gelijkmtig verdeelde belsting. Schem vn de ligger b. Bepling oplegrecties c. Dwrskrchtenlij n d. Grootte vn de extreme momenten e. Verloop vn de momentenlijn 277

87 13.6 SUPERPONEREN OVERZICHT Sttisch beplde liggers, die zijn onderworpen n willekeurige belstingen, kunnen ltijd worden berekend door het toepssen vn de snedemethode of door numerieke integrtie. De gegevens worden hierbij steeds uitgezet ten opzichte vn een horizontle nullijn. In veel gevllen is het echter overzichtelijker om het probleem in een ntl eenvoudiger bsisbelstinggevllen te splitsen en de uitkomsten hiervn grfisch te superponeren. Hierbij is de nullijn niet lnger horizontl, mr de momenten kunnen wel direct in verticle richting worden fgelezen, c.q. opgemeten. Bij het superponeren beperken we ons in feite vrijwel ltijd tot de momentenlijnen! We zullen een drietl methoden behndelen: Fig. 1 Methode I: Splitsen vn de belsting + I Splitsen vn de belsting. De ligger zelf blijft ongewijzigd, mr de belsting wordt in twee, hoogstens drie eenvoudiger bsisgevllen gesplitst, zie fig. 1. Meestl kunnen de momentenlijnen voor deze bsisbelstinggevllen zonder meer worden getekend. + II Splitsen vn de ligger in moten Bij liggers met overstekken en bij liggers met dwrsstven bestt de mogelijkheid deze constructies ls het wre in moten te verdelen. Voor elke moot wordt de krchts werking fzonderlijk ngegn onder invloed vn de belsting die op de beschouwde moot werkt, zie fig. 2. Nderhnd worden de moten weer smengevoegd en wordt ook de interctie vn de moten op elkr in rekening gebrcht. De methode wordt voorl toegepst bij sttisch onbeplde liggers. in Verpltsen vn de opleggingen De bestnde opleggingen vn de ligger worden vervngen door ndere, die ons voor de berekening beter uitkomen. chterf worden deze opleggingen weer geëlimineerd en worden de oorspronkelijke opleggingen opnieuw ingevoerd, zie fig. 3. Fig. 2 Methode H: Splitsen vn de ligger in moten Fig. 3 Methode HI Verpltsen vn de opleggingen 278

88 Methode I Splitsen vn de belsting SUPERPOSITIE BIJ MOMENTEN VN GELUK TEKEN Het beginsel vn de methode wordt besproken n de hnd vn een ligger die is belst door twee puntlsten, zie fig. 4. ls de oplegrecties vn deze ligger zijn berekend, is het momentenvlk eigenlijk l direct te tekenen, zie fig. 4e. MB = +i?*öl = 3*2 = 6 knm Mc = +i?d*ö2 = 3*3 = 9 knm 4kN D B C I 2 I 3m I 3^ H = 3 kn HD = 3 kn /= 8m ii Om het beginsel vn superpositie te demonstreren lten we eerst de puntlst Fi lléén op de ligger ngrijpen. Het mximum moment onder de puntlst is hierbij gelijk n, zie fig. 4b: 4 f b^ ^1 = ^1 *^ / 2*6 F. = 2 = 3 knm Vervolgens beschouwen we het momentenverloop in de ligger ls hierop de puntlst F2 lléén ngrijpt. Het mximum moment onder de puntlst is dn gelijk n, zie fig. 4c: ^2 * ^2 ï F^ = 4 = 7,5 knm Om beide momentenvlkken grfisch te kunnen optellen, wordt het momentenvlk voor Fi gespiegeld om de nullijn en vervolgens op de momentennullijn voor F2 gepltst, zie fig. 4d. De verticle fstnd tussen beide geknikte momentenlijnen geeft dn het moment n ten gevolge vn Fl en F2 tezmen. Wil men het momentvlk weer ten opzichte vn een horizontle nullijn uitzetten, dn moeten de momenten in de punten B en C nog even worden opgemeten of berekend, zie fig. 4d, e. 3 k M2 = 7,5 Fig. 4 Bepling vn de momentenlijn door superpositie. Belstingschem vn de ligger b. Ligger lleen belst door Fi c. Ligger lleen belst door F2 d. Grfisch gesuperponeerde momentenvlkken e. Trditionele weergve met horizontle nullijn MB= 6 Mc= 9 279

89 SUPERPOSITIE BU MOMENTEN VN ONGELIJK TEKEN F2 Het superponeren vn momentenlijnen v^ordt voornmelijk toegepst ls de 'bsismomenten' ongelijk vn teken zijn. In zo'n gevl wordt meestl het negtieve momentenvlk om de nullijn gespiegeld. -Mi In fig. 1 is een ligger v^eergegeven v^rop twee tegengesteld gerichte puntlsten ngrijpen. Het negtieve momentenvlk dt wordt veroorzkt door Fl is in fig. Ib horizontl gerceerd en het positieve momentenvlk dt ontstt door Fl is in fig. Ic verticl gerceerd. ls we nu het negtieve momentenvlk spiegelen om de nullijn dn ontstt er een gedeelte met dubbele rcering wr de momenten elkr opheffen, zie fig. ld. Het is gebruikelijk deze dubbele rcering weg te lten en dit gedeelte vn het momentenvlk blnk te houden, zie fig. le. De nullijn voor het momentenvlk wordt nu gevormd door de geknikte momentenlijn die behoort bij het negtieve momentenverloop n spiegelen. Dit is gemkkelijk n te gn door vergelijking met het trditioneel uitgezette momentenvlk in fig. lf. Fig. 1 Superpositie bij momenten vn ongelijk teken. Belstingschem vn de ligger b. Negtief momentenverloop ten gevolge vn F\ c. Positief momenten verloop ten gevolge vn F2 d. Superpositie vn beide momentenvlkken e. Gebruikelijke weergve f. Momenten uitgezet ten opzichte vn een horizontle nullijn 280

90 VOORBEELDEN In fig. 2 is het voorbeeld vn [233-2] herhld, wrbij de superpositie nu echter niet nlytisch is uitgevoerd, mr grfisch. Het lststelsel tussen de opleggingen en E veroorzkt een positief momentenverloop, de puntlst op het overstek een negtief momentenverloop. l ls een ligger wordt belst door een gelijkmtig verdeelde belsting en één of meer puntlsten, dn wordt het tekenen vn de momentenlijn eveneens een stuk gemkkelijker. De nwezigheid vn knikken in de momentenlijn is dn ook direct duidelijk. In fig. 3 is een voorbeeld uitgewerkt met één puntlst. In fig. 3 is de puntlst in neerwrtse richting ngebrcht. In fig. 3b drentegen is een puntlst vn dezelfde grootte in opwrtse richting ngebrcht. In fig. 3c tenslotte is een puntlst vn dubbele grootte in opwrtse richting ngebrcht. Een overeenkomstig momentenverloop ls in fig. 3c is weergegeven, zullen we nog meermlen tegenkomen bij sttisch onbeplde liggers. 3 ^ 3 ^ 3 ^ 3 ^ 3m I 1 /2 bl 12 kn 8kN b2 c Fig. 2 Superpositie vn twee belstinggevllen met ongelijk teken (vergelijk [233]). Schem Belstinggevl I: zwrte puntlsten Belstinggevl II: witte puntlst b. Superpositie vn de gevllen I en II Fig. 3 Superpositie vn een gelijkmtig verdeelde belsting en een puntlst. Puntlst omlg gericht F = 3/8 ql i b. Puntlst omhoog gericht F = 3/8 ql t c. Puntlst omhoog gericht F = 6/8 ql t 281

91 Methode II Splitsen vn de ligger in moten LIGGER MET OVERSTEK GELIJKMTIG VERDEELD BELST B [7 De methode lijkt zeer eenvoudig, omdt met kleine stpjes wordt gewerkt en steeds weer het beginsel 'ctie = rectie' wordt toegepst. Men moet echter behoedzm te werk gn om vergissingen te vermijden. De werkwijze is uiteengezet n de hnd vn het schem vn fig. 1 (dezelfde ligger ls in [273-2]). De scheiding tussen de moten wordt ter pltse vn de ondersteuning(en) ngebrcht. Het overstek B wordt hierbij ingeklemd beschouwd in ligger B-C, ter pltse vn de ondersteuning B, zie fig. Ib. De rectiekrchten die nodig zijn voor het evenwicht vn het liggerdeel -B, moeten door het liggerdeel B-C in B worden geleverd. Toepssing vn het beginsel: 'ctie = rectie', levert dus de (zwrte) 'ctiekrchten' zols ze in fig. Ic op de ligger B-C ngrijpen. De krcht Ri = q = 1/2 ql wordt geheel door de oplegging B opgenomen. Het koppel Ki = 1/2 q^ = 1/8 ql'^ in punt B mkt evenwicht met het koppel K2 vn de verticle rectiekrchten in de punten B en C: K2 = R2I zodti?2 = K2/I = Ki/l = l/sql, zie fig. Ic. De vrij opgelegde ligger B-C, belst door de ^-lst levert ls oplegrecties: R3 = 1/2 ql, zie fig. ld. = M2q^= 1/8 ql^ R2= +/Ci//= -g- ql ^3= 1/2 ql R3 Fig. 1 Splitsen vn de ligger in moten. Schem vn de ligger (zie ook fig. [273-2]) b. Moot -B ingeklemd beschouwd in B c. Interctiekrchten op de vrij opgelegde ligger d. ^-lst op de vrij opgelegde ligger, I = 1/2 / ^ In fig. 2 zijn de momentenlijnen voor de drie onderdelen onder elkr weergegeven. De superpositie vn lle momenten-ndelen is weergegeven in fig. 3 op het nstliggende bld. In fig. 3 zijn de negtieve momenten-ndelen weer om de nullijn gespiegeld. ngezien dit een nogl ongebruikelijk beeld oplevert, kunnen we ook nders te werk gn, zie fig. 3b. De negtieve momenten-ndelen blijven gewoon boven de nullijn stn en de positieve momentenlijn vn fig. 2d wordt uitgezet ten opzichte vn de lineir verlopende bovenzijde vn de momentenlijn vn fig. 2c (gestippeld in fig. 3b ngegeven). We hebben dn weer het gebruike lijke beeld met horizontle nullijn. 282 M2 = 1/8 ql Mi = -1/8 ql' M3 = 1/8 ql' Fig. 2 Moment-ndelen voor de drie moten volgens fig. Ib, c, d C

92 283 Methode I en II gecombineerd We gn uit vn een min of meer overeenkomstige ligger ls in [276-1] is besproken, zie fig. 4. N de behndeling vn de ligger met één overstek in de figuren 1 en 2 behoeft deze v^erkwijze nuv^elijks commentr. Het blijkt in feite v^einig uit te mken of we nu drie fzonderlijke liggerdelen beschouwen volgens methode n of dt we methode I toepssen. Bij methode I kn de belsting op beide overstekken gemkkelijk ls één belstinggevl worden beschouwd, zie fig. 4b en de belsting op het middendeel ls het tweede belstinggevl, zie fig. 4c / B4 t> X -+ De momentenlijnen zijn in fig. 4d weer zodnig gesuperponeerd dt een horizontle nullijn ontstt overeenkomstig de prodedure vn fig 3b. Het positieve moment wordt er ls het wre 'tussengehngen', zie KW-1 [131] wr regels zijn gegeven voor het uitzetten vn prbolen. cl M Fig. 3 Superpositie vn de momenten vn fig. 2. Spiegelen vn de negtieve momentenndelen b. Momentenlijn trditioneel uitgezet Fig. 4 Ligger met overstekken onder een ^-lst. Schem b. Belsting op de overstekken met M-lijn c. Belsting op het middendeel met M-lijn d. Superpositie (horizontle nullijn) 283

93 Methode UI Verpltsen vn de opleggingen VERVNGING DOOR EEN BSIS LIGGER OP TWEE STEUNPUNTEN Wie voldoende ervring heeft verkregen in het superponeren kn nog een stp verder gn en de oplegrecties verpltsen. Hierdoor kunnen liggers met overstekken snel worden berekend. De methode is uiteengezet n de hnd vn een vrij opgelegde ligger met twee overstekken onder gelijkmtig verdeelde belsting. 1/2 gr/ B gevl I J_ 1 1 gevl II 1 1. I I. 1/2 g/ D Belstinggevl I, zie fig. l. ls eerste verwijderen we de echte ondersteuningen en vervngen deze door een rol en een schrnier n de ligger-uiteinden; zie fig. Ib. Bij dit belstinggevl II hoort een symmetrisch prbolisch momentenverloop met ls extreme wrde: M^x = 1/8 ql?'. C /2g/ B 4- gevl 1/2g/ C D \ f Om de oplegrecties in de uiteinden weer te kunnen elimineren, beschouwen we de oorspronkelijke onbelste ligger wrop we in de punten en D neerwrts gerichte krchten nbrengen ter grootte R = 1/2 ql: belstinggevl III, zie fig. Ic. De bijbehorende momentenlijn is direct te tekenen omdt lle momenten lineir verlopen en de momenten in de punten B en C direct n te geven zijn zonder de oplegrecties zelfs mr behoeven te berekenen: MB = 1/2 ql * /i Mc = 1/2 ql * I3 Zowel belstinggevl II ls belstinggevl Hl is onderling in evenwicht, gesuperponeerd vormen ze weer belstinggevl I: (I = II -I- III). Bij dit superponeren worden de negtieve momenten volgens de regels vn [283-3] om de nullijn gespiegeld, zie fig. ld. De lijnen -E en D-F vn de negtieve momentenlijn rken in, resp. D n de prbool. Beide lijnen snijden elkr in punt G, wrbij de fstnd M-G gelijk is n: 2 X het mximle moment (MG = 1/4 ^L^), [244-1]. De snijpunten vn de lijnen -G en D-G met de verticlen door resp. B en C beplen dus de derde tk E-F vn de momentenlijn. Fig. 1 Ligger met overstekken onder gelijkmtig verdeelde belsting, overeenkomstig [277-1]. Schem belstinggevl I b. Belstinggevl II: Verpltsing vn de opleggingen 284 c. d. gevl I = gevl II + gevl Belstinggevl III om de oorspronkelijke toestnd weer te herstellen Superpositie vn de momentenlijnen n + m = I

94 BESCHOUWING LS FZONDERLUKE LIGGERDELEN Methode II en III gecombineerd Bij de methode vn [284] moet een prbool met een vrij grote pijl worden getekend, om n superpositie de grootte vn de momenten nog redelijk te kunnen flezen. Dit wordt veel gemkkelijker ls men de de drie liggerdelen fzonderlijk beschouwt, zols we eigenlijk l in [282] hebben gedn. In dit gevl behoeven de belstingen op deze delen ook niet gelijk te zijn. B C D \V2ql^ 11/2 1 7/1 V2qlJ ^1/2 q/3 Uitgngspunt is de ligger volgens fig. 2. We vervngen deze door drie vrij opgelegde liggers, elk met hun eigen prbolisch momentenverloop, zie fig. 2b. ls eerste moeten we dn de rectiekrchten in de vrije uiteinden en D verwijderen. Drtoe denken we de buitenste liggers in B, resp. C ingeklemd, zie fig. 2c. Superpositie vn de omlggerichte krchten: R = 0,5 qli en Rj) = 0,5 qls in resp. D levert dn 4 x zo grote inklemmingsmomenten op, ls gelden voor de mximle positieve momenten vn deze liggerdelen, dus: Kl = 4Mi ; K3 = 4M3 met: Ml = 1/8 ^/i^ en M3 = 1/8 ^/s^, zie fig. 2d (vergelijk ook [271]). Voor de middelste ligger zijn dit dus de negtieve rndmomenten die we lleen mr behoeven te verbinden om de momentenlijn vn de gehele ligger te kennen, zie fig. 2d. li 1/2 M2 t M3 1/2 Q/2 Fig. 2 Splitsen vn de ligger met twee uitkrgingen in drie vrij opgelegde liggers. Schem vn de ligger b. Vervnging door drie vrij opgelegde liggers c. Buitenste liggers ingeklemd gedcht in de middelste ligger d. Uiteindelijke momentenlijn De buitenste liggers worden in B en C ingeklemd gedcht, zodt de oplegrecties Rj^ en RD kunnen worden geëlimineerd. De hierdoor veroorzkte rectiekoppels J^i en worden drn ls ctiekoppels op de ligger BC ngebrcht 4Mi 285

95 13.7 VRIËRENDE BELSTING MXIMUM EN MINIMUM- MOMENTENLIJNEN Tot nu toe hebben we gedn lsof er mr één belsting op een ligger ngrijpt wrmee we hebben te rekenen. De permnente belsting is uiterrd ltijd nwezig (eigen gewicht vn de ligger plus de drop rustende onderdelen), mr de vernderlijke belsting kn l dn niet nwezig zijn. Hierbij is het lng niet ltijd zo dt de nwezigheid vn de vernderlijke belsting ongunstiger is dn de fwezigheid. 1,5 c/ We zullen dit nder beschouwen n de hnd vn de ligger met overstekken, die is weergegeven in fig. 1. We gn uit vn een permnente belsting op de ligger ter grootte q en een vernderlijke belsting ter grootte 0,5 q. ls de vernderlijke belsting lleen op het middendeel nwezig is - dus niet op de overstekken - zullen de grootste positieve momenten tussen de steunpunten optreden, zols is weergegeven in fig. l. ls de vernderlijke belsting lleen op de overstekken nwezig is, zullen de kleinste positieve momenten tussen de steunpunten optreden en de grootste negtieve momenten boven de steunpunten, zie fig. Ib. ttt IT"" \ 4 i ls we de twee momentenlijnen vnuit dezelfde nullijn uitzetten en overl de grootste wrde (in bsolute zin) nhouden, dn hebben we de mximum en de minimum momentenlijn verkregen, zie fig. Ic. Op deze extreme momenten moet de ligger in principe worden gedimensioneerd. Fig. 1 Momentenlijnen voor een ligger met overstekken onder permnente belsting en vernderlijke belsting. Vernderlijke belsting lleen op het middendeel b. Vernderlijke belsting lleen op de overstekken c. Mximum en minimum momentenlijnen 286

96 VERPLTSBRE PUNTLST Bij de meeste berekeningen wordt ngenomen dt de mximle belsting mtgevend is voor de dimensionering vn liggers. Er wordt bij gebouwen mr weinig gewerkt met de zgn. mximum- en minimum-momentenlijnen volgens [286], wrbij de vernderlijke belsting zo ongunstig mogelijk is ngebrcht. Dit ligt uiterrd geheel nders bij pkhuizen en bibliotheken. We zullen lleen het gevl beschouwen wrbij een puntlst geen vste plts bezit op de ligger mr overl kn ngrijpen, zols dt voor een zwr meubelstuk het gevl kn zijn. Fv -x We beschouwen een vrij opgelegde ligger en geven de fstnd vn de puntlst tot de linker oplegging n met x, zie fig. 2. Uit formule [228-(3)] volgt dn: M = ^ S t ^ F, l ^ (25) M voor l<x<l+ Dit is de vergelijking vn een prbool wrbij het mximle moment onder de puntlst optreedt en het extremum wordt bereikt voor X = Hl. Mextr = 1/4 Fyl (26) Stellen we dit moment gelijk n dt vn een equivlente gelijkmtig verdeelde belsting q, dn volgt: q = 2Fv// (27) Bij een belsting op het rechter overstek treedt het mximle negtieve moment op boven de rechter ondersteuning, zodt geldt: Fig. 2 Verpltsbre puntlst Plts vn de beweeglijke puntlst: wit Plts voor het mximle moment: zwrt. Schem b. Puntlst tussen de opleggingen c. Puntlst op het overstek Fv mx Fv \ ; i ; \ \ Mextr = Fy{l-X) (28) We beplen nu de grootte vn de mximle puntlst Fv mx 5 die zodnig wordt gekozen dt het mximle moment volgens formule (26) overl juist wordt bereikt. Dit mximle moment treedt dus op onder de puntlst voor x<l, en ter pltse vn steunpunt B voor x>l. De grootte vn Fv mx / is weergegeven in fig. 3. Dichtbij de steunpunten kunnen dus zeer grote puntlsten worden gepltst. Fig. 3 De toeltbre grootte vn Fy bij een gegeven moment-cpciteit vn de ligger hngt f vn de positie vn de puntlst op de ligger 287

97 OPTIMLISEREN Onder het optimliseren vn een ligger zullen we verstn; het zodnig pltsen vn de ondersteuningen of het nbrengen vn overstekken, dt de extreme momenten in de ligger zo klein mogelijk worden. Bij een gegeven overspnning betekent dit meestl dt men probeert de mximle positieve en negtieve momenten zoveel mogelijk n elkr gelijk te mken. Dn is nmelijk het mterilverbruik miniml en zullen ook de doorbuigingen zo klein mogelijk zijn. ls men de prbool zorgvuldig tekent dn is dit schetsenderwijs snel te beplen. B Voorbeelden: I De totle lengte vn de ligger met één overstek is gegeven, zie fig. l. De ondersteuning bij het overstek moet zodnig worden gekozen dt geldt: Mpos = Mneg. We kiezen de methode volgens [284], wrbij één prbool wordt getekend voor de lengte vn de gehele ligger. We kiezen een willekeurige nnemelijke plts voor de ondersteuning B en meten de mximle positieve en negtieve momenten op. Wijken deze te veel vn elkr f dn verpltsen we de oplegrectie in de juiste richting en meten opnieuw. Mr 'pos \ / V II De totle lengte vn een synmietrische ligger met twee overstekken is gegeven. We kunnen de gewenste momentenverdeling nu gemkkelijk op het oog beplen, zie fig. Ib. ^ 0,35/^ ^ 0,35/^ ni De lengte vn de ligger tussen de ondersteuningen is gegeven. De overstekken moeten vn een zodnige lengte worden gekozen dt weer geldt Mpos = ^neg We kunnen dit direct nlytisch npkken [285]. We kennen het moment tussen de steunpunten en dt willen we hlveren. De lengte vn het overstek volgt dn uit, zie fig. Ic: 1/2 q^ = 1/16^/2 Dit levert = 0,35 / NB; rdpleeg ook [ ]! Fig. 1 Optimliseren vn liggers. Momentenverloop in een ligger met één overstek met een geschtte keuze voor de linker ondersteuning b. Optimle lengte voor de overstekken bij een symmetrische ligger c. Bepling vn de optimle lengte vn de overstekken bij een gegeven fstnd vn de steunpunten 288

98 13.8 SMENGESTELDE LIGGERS DOORGNDE LIGGERS MET SCHRNIEREN; GELIJKMTIG VERDEELDE BELSTING ls men bij een doorgnde ligger onder een constnte gelijkmtig verdeelde belsting en met gelijke velden steeds om het ndere veld twee symmetrisch gelegen schrnieren nbrengt, blijkt het momentenverloop in lle velden precies hetzelfde te zijn, zie fig. 2. Dit is het beste in te zien door het dwrskrchtenverloop te beschouwen, uitgnde vn een 'tussengehngen' liggertje, zie fig. 2b. Dit dwrskrchtenverloop is volkomen onfhnkelijk vn de ligging vn de schrnieren, hetzelfde geldt voor de nliggende velden wr geen schmieren in voorkomen. L Het momentenverloop per veld moet dus prbolisch zijn met het extreme moment midden tussen de steunpunten wr V = O, zie fig. 2c. Uiterrd moet het moment ter pltse vn de schmieren gelijk n nul zijn, zodt de momentenlijn voor de velden met schmieren vstligt. Uit evenwichtsoverwegingen moeten de negtieve momenten voor de nliggende velden gelijk zijn. De plts vn de schmieren beplt dus het momentenverloop in de gehele doorgnde ligger. In de eindvelden vn de doorgnde ligger zullen fwijkingen optreden, tenzij men de plts vn een eindsteunpunt verpltst nr een momentennulpunt, zols in fig. 2 rechts is ngegeven. Fig.2 Doorgnde ligger. Schem b. Dwrskrchtenlijn c. Momentenlijn Fig. 3 Enklon fbriek te Emmen Inhngliggers op portlen met overstekken De plts vn de schrnieren is zodnig gekozen dt een momentenverloop in de regels ontstt ls bij een doorgnde ligger onder gelijkmtig verdeelde belsting volgens fig. [291-3]. Uit symmetrie-overwegingen blijft de ligger boven de ondersteuningen horizontl, de kolommen behoeven dus niet te verdriien en zullen dus ook geen moment opnemen. 289

99 INVLOED VN DE PLTS VN DE SCHRNIEREN Voor een viertl gevllen is de invloed vn de plts vn het schrnier ngegn. Per figuur is chtereenvolgens weergegeven:. het schem b. de momentenlijn c. het doorbuigings verloop Bij de modellen voor de doorbuiging zijn lle liggertjes wt lnger dn strikt noodzkelijk is. Deze overstekende liggerdelen zijn onbelst; ze bhjven dus recht en beïnvloeden de krchtswerking niet. Eventuele knikken ter pltse vn de schmieren worden hierdoor wel beter zichtbr. Gevl I We kiezen de schrnieren in de liggers precies boven de opleggingen. We hebben dn lleml losse liggertjes nst elkr met elk een moment vn 1/8 q f-. Momenten en doorbuigingen zijn mximl, zie fig. Ib, c. Gevl II We zorgen ervoor dt geldt: ^i^pos = Mneg = 1/16 q f Grfisch is de plts vn de schmieren direct n te geven. nlytisch geldt: Mpos = 1/8 qb^= 1/16 q f Hiemit volgt: b = l/lhl = 0,71/. De momentenverdeling is optiml, de doorbuigingen zijn nzienlijk verminderd, mr ter pltse vn de schrnieren vertoont de doorbuigingslijn lichte knikken, zie fig. 2c. Gevl III Door de fstnd b tussen de schmieren te verkleinen, nemen de positieve momenten f en nemen de negtieve momenten toe. De knikken in de doorbuigingslijnen verdwijnen ls geldt: Mpos = 1/24 ql^ (b = 1/3 / V3 = 0,58 /) Mneg = 1/12^/2 Men heeft dn hetzelfde momentenverloop verkregen ls in een doorgnde ligger zonder schmieren, zie fig. 3. De berekening vn ltstgenoemde ligger wordt behndeld in KW-5. Gevl rv We lten de fstnd b tot nul nderen, zodt het schmier in het midden vn de overspnning ligt. We hebben dn uitkrgende liggers met mximle negtieve momenten boven de steunpunten. De doorbuigingslijn vertoont om het ndere veld grote knikken. Let op het verschil tussen de momentenlijn en de doorbuigingslijn, zie fig. 4. Men verkrijgt hetzelfde momentenverloop mr een wt fwijkend doorbuigingsverloop ls de schmieren in het midden vn elk veld worden ngebrcht, zie fig. 4c2. Het geheel wordt dn wt 'wiebelig' en er moet minstens één ligger nwezig zijn zonder schrnier in het midden om de zk stbiel te mken. Bij bezwijken vn deze ligger treedt dn wel 'progressive collpse' op. 290

100 29 ï Fig. 1 Gevl I Schmieren boven de opleggingen De positieve momenten zijn mximl Fig. 2 Gevl H Mximle positieve en negtieve momenten n elkr gelijk l 2 ^ Fig. 3 Gevl IH l Ligger met schrnieren l Doorgnde ligger HimipjF ^iipf ^ïiiip^ bl, hl Voor beide gevllen geldt: Het mximle positieve moment is gelijk n de helft vn het mximle negtieve moment l 2 L Fig.4 Gevl IV l Schmier om het ndere veld l Schmier in elk veld bl, b2 Het negtieve moment is mximl cl Om het ndere veld een knik in de doorbuigingsgslijn-- c2 In elk veld een knik in de doorbuigingslijn 291

101 14 GRFISCHE METHODE Bepling vn momentenlijnen met behulp vn poolfiguur en stngenveelhoek 14.1 INLEIDING 14.2 MEETKUNDIGE NPK GRONDSLG VN DE METHODE MOMENTENLIJN BIJ EEN UITKRGENDE LIGGER Bij de behndeling vn poolfiguur en stngenveelhoek in KW-1 is reeds ngestipt dt deze constructie een veelheid vn toepssingen kent. In hoofdstuk 14 wordt lleen ingegn op het tekenen vn momentenlijnen bij sttisch bepld opgelegde liggers. In 14.2 wordt rechtstreeks een verbnd gelegd tussen de stngenveelhoek en de vorm vn de momentenlijn. In 14.3 wordt teruggegrepen op de nlytische fleiding voor de vorm vn de stngenveelhoek in KW-1 [ ]. Hierdoor kn de overeenkomst met het momentenverloop in een ligger eveneens zeer duidelijk worden ngegeven. In 14.4 tenslotte wordt ngegeven hoe het momentenverloop in een ligger met behulp vn een eenvoudig model kn worden gevisuliseerd. Hiervoor blijkt niet meer nodig te zijn dn een touwtje dt tussen twee punten is bevestigd. Een of twee krchten kunnen dn met de hnd worden ngebrcht; een groter ntl door enkele gewichtjes en een ^-lst door een kettinkje. In fig. lis een éénzij dig ingeklemde ligger getekend wrop enkele verticl omlggerichte punüsten ngrijpen. Vn deze punüsten wordt in een willekeurige snede het buigend moment bepld, dt is dus het sttische moment vn lle krchten (en eventuele uitwendige koppels) die zich n één zijde vn de snede bevinden. Ter wille vn de overzichtelijkheid is de beschouwde snede ter pltse vn de inklemming gekozen. In fig. Ib zijn de krchten vn links nr rechts gnde onder elkr uitgezet en is de pool O ter hoogte vn het beginpunt vn de eerste krcht gekozen. In fig. Ic is de stngenveelhoek op de gebruikelijke wijze getekend (KW-1 [109]); lle stngen zijn echter doorgetrokken tot n de inklemming. ls we nu de figuur voor de stngenveelhoek vergelijken met de poolfiguur, dn is hierin voor elke krcht een tweetl gelijkvormige driehoeken terug te vinden, die in fig. Ib, c vn een gelijke rstering zijn voorzien. 292

102 293 Zo geldt voor de twee licht gersterde driehoeken die bij krcht Fi behoren: M = ^ zodt f, = (l) '"l " F H 1 ' H H Op overeenkomstige wijze geldt voor de tweede driehoek: M. fo = (Ib) H H 32 s J _ Nu is FiUi = Ml gelijk n het sttisch moment vn de krcht Fi ten opzichte vn de beschouwde snede S, terwijl F2 «2 = ^ ^2 het sttisch moment voorstelt vn F2 t.o.v. S. ngezien de krcht FH constnt is, zijn de fstnden ƒ1, ƒ2 en ƒ3 dus een mt voor het ndeel dt de krchten Fi, F2 en F3 leveren n het sttisch moment in de snede S. In feite is de gehele momentenlijn voor de uitkrgende ligger in fig. Ic l getekend; in elke doorsnede geldt immers, zie fig. ld: FH F2 F3 Mx = FH* (2) ls de fstnd tussen de buitenste stngen wordt vermenigvuldigd met FH, dn hebben we het buigend moment Mx gevonden. De schl vn het getekende moment hngt f vn de schlen wrop de krchten en de lengtemten worden uitgezet. f3 f2 Schlen ls in de poolfiguur een lengte vn 10 mm overeenkomt met een krcht vn ni kn, en in de stngenveelhoek een lengte vn 10 mm overeenkomt met een lengte vn n2 m in werkelijkheid, dn geldt voor de momentenschl: 10 mm komt overeen met: «i * «2 * -^H knm. Momentenschl = krchtenschl x lengteschl X poolfstnd Deze schlen worden ls volgt ngegeven: f3 f2 krchtenschl: 10 mm = kn lengteschl: 10 mm = ^2 m momentenschl: 10 mm = n^*n^* F^ knm Fig. 1 Éénzijdig ingeklemde ligger met puntlsten. Schem vn de ligger b. Poolfiguur c. Stngenveelhoek d. Momentenlijn 293

103 MOMENTENLIJN BIJ EEN VRIJ OPGELEGDE LIGGER In fig. l is een vrij opgelegde ligger weergegeven die is onderworpen n hetzelfde stelsel puntlsten ls in fig. [293-1]. Voor de krchtenschl en de lengteschl zijn ronde wrden gekozen, de poolfstnd kn dn zodnig worden ngepst, dt de momentenschl een gemkkelijk hnteerbre wrde krijgt: Krchten: Lengten: Momenten: 10 mm = 10 mm = 10 mm = 2 kn 1 m 2 * 1 * 5 = 10 knm In fig. Ib is de poolfiguur weergegeven met de horizontle poolfstnd vn 50 mm, wrbij de plts vn de pool O in verticle richting vrij te kiezen is. De bijbehorende stngenveelhoek is weergegeven in fig. Ic; hij is getekend op dezelfde mnier ls bij een ingeklemde ligger (vergelijk fig. [292-1]), dus zonder rekening te houden met de oplegrectie in punt. Ter wille vn het inzicht zijn lle stngen weer doorgetrokken tot de werklijn vn R^. We kunnen nu de zogenmde sluitlijn S5 tekenen; de verbindingslijn tussen de punten P en Q in de stngenveelhoek, zie fig. Ic. Hierbij geldt voor punt P: snijpunt vn de eerste stng si met de werklijn vn i?v en voor punt Q: snijpunt vn de ltste stng S4 met de werklijn vn R^y. De richting vn de sluitlijn wordt overgenomen in de poolfiguur en levert dr punt 5. Tussen de stngen S5 en si wordt dn een opwrtse krcht overgebrcht ter grootte: i?v = 5-1. Het gersterde gebied tussen de stngen S5 en si geeft dn het (positieve) momentenverloop weer ten gevolge vn Rp^y. P9^ J _ 112 B Het licht gersterde momentenvlk geeft dn exct het momenten verloop weer in de vrij opgelegde ligger. Het is gelijk n het verschil tussen het donker gersterde negtieve momentenvlk (t.g.v. Fl, F2 en F3 ) en het driehoekig verlopende positieve momentenvlk t.g.v. R^y. Ter pltse vn en B zijn de buigende momenten in de ligger gelijk n nul; de grootte vn de oplegrectie in punt B is gelijk n: R^y = 4-5. Fig. 1 Vrij opgelegde ligger. Schem b. Poolfiguur c. Stngenveelhoek voor Fi, F2 en F3 d. Verschoven pool ter verkrijging vn een momentenlijn met horizontle nullijn Om een momentenlijn te verkrijgen met een horizontle nullijn, kn de pool vn fig. Ib zodnig in verticle richting omlg worden verschoven dt de sluitlijn horizontl loopt, zie fig. ld. 294

104 INVLOED VN DE PLTS VN DE OPLEGGINGEN l , Door het tekenen vn de stngenveelhoek bij de uitwendige krchten die op de ligger ngrijpen, wordt in principe de resultnte vn deze krchten bepld. Door het tekenen vn de sluitlijn wordt dn de grootte vn de oplegrecties bepld. Min of meer ls toegift is de momentenlijn dn tegelijkertijd ook l getekend. Hierdoor leent deze grfische werkwijze zich uitstekend tot het optimliseren vn liggers; dt wil zeggen, het zodnig nbrengen vn de opleggingen, dt zo klein mogelijke momenten in de ligger zullen optreden [288]. In fig. 2 is op de gebruikelijke wijze het momentenverloop getekend vn een n de uiteinden vrij opgelegde ligger. ls men besluit de opleggingen iets dichter bij elkr te pltsen, of juist iets verder uit elkr te pltsen, dn kn bij dezelfde stngenveelhoek direct een nieuwe sluitlijn worden getrokken. De consequenties voor het momentenverloop zijn dn duidelijk. In fig. 2b is de rechter oplegging nr binnen verpltst, zodt rechts een overstek ontstt. De sluitlijn SQ wordt dn gevormd door de lijn PQ, wrbij geldt: P = snijpunt vn de le stng si met de werklijn vn/?v Q = snijpunt vn de 6e stng sg met de werklijn vn i?bv- De richting vn de sluitlijn PQ wordt overgenomen in de poolfiguur, wrdoor de oplegrecties 6-7 in Ben 7-1 in vstliggen. Opvllend is de drstische verkleining vn de momenten, zowel door het verkleinen vn de overspnning, ls door het nbrengen vn een overstek. In fig. 2c is de ligger ingeklemd in een kolom. De delen links en rechts vn de kolom werken elk ls een eenzijdig ingeklemde ligger. Deze inklemmingsmomenten zijn niet even groot, zodt de kolom een constnt buigend moment moet overbrengen, ter grootte vn de zgn. momentensprong. De numerieke wrde hiervn kn worden opgemeten uit fig. 2c3. Er is echter nog een controle. De krcht 6-1 die evenwicht mkt met lle belstingen, heeft een werklijn die gt door punt R; het snijpunt vn de uiterste stngen si en sg KW-1 [ 107]. De werklij n vn deze krcht heeft een fstnd e tot de koloms, zodt in de kolom een buigend moment moet werken ter grootte: M = Z F * e. Fig. 2 Invloed vn de plts vn de opleggingen op het momentenverloop. Opleggingen n de uiteinden b. Overstek rechts c. Inklemming in een kolom 1 = schem; 2 = poolfiguur; 3 = momentenlijn momenten sprong 295

105 14.3 NLYTISCHE NPK VERGELIJKING GEDRG VN LIGGERS EN KOORDEN In KW-1 [123] is reeds ingegn op de overeenkomsten en verscliillen in het gedrg vn koorden en Hggers, die op een overeenkomstige wijze worden belst, zie fig. 1. In beide gevllen hebben we te mken met een constructie die een ntl puntlsten nr de opleggingen overbrengt. Bij een koord moeten de opleggingen zowel horizontle ls verticle recties kunnen opnemen. Het koord zkt onderuit en neemt een vorm n die overeenkomt met de momentenlijn vn een overeenkomstig belste ligger. Hierdoor is in iedere snede vn het koord het sttisch moment vn de verticle ctie- en rectiekrchten - links of rechts vn de beschouwde snede - gelijk en tegengesteld n het sttisch moment vn de horizontle rectiekrcht. Bij een ligger ontbreekt de mogelijkheid tot grote verticle verpltsingen; horizontle rectiekrchten kunnen drdoor niet tot ontwikkeling komen, zodt ze ook niet door de opleggingen behoeven te worden geleverd. In elke snede vn de ligger moet het sttisch moment vn de horizontle ctie- en rectiekrchten - links of rechts vn de beschouwde snede - dn ook worden opgenomen door de ligger zelf. We noemen dit sttisch moment vn Ue krchten op het beschouwde liggerdeel het huigend moment. De hellingen vn het koord zijn recht evenredig met de de grootte vn de krchten die nr de opleggingen worden overgebrcht. Bij de ligger worden deze krchten ls dwrskrchten ngeduid. In punten wr de dwrskrcht in een ligger gelijk is n nul, zl het overeenkomstig belste koord dus horizontl moeten stn, vergelijk ook [269-1]. 3 m 4,5 m 3 m R V BV 1 2 W2 1^1 - O ^1 V M 3F 1^ 3F ^1 V M J" Fig. 2 Symmetrisch en keersymmetrisch belste ligger <. Fig. 1 Reltie tussen de vorm vn een koord en de momenten- en dwrskrchtenlijn vn een ligger. koord b. ligger Ordinten koord ordinten momentenlijn HeUingen koord > ordinten dwrskrchtenlijn 296

106 14.4 GEBRUIK VN MODELLEN LGEMEEN 3 In de tijd dt nog geen computers ter beschikking stonden, zijn vele problemen die te moeilijk wren voor een nlytische berekening, opgelost met behulp vn modelonderzoek. Modelonderzoek - voorl ter vervnging vn een berekening - is sterk teruggelopen. Mr toepssing vn eenvoudige 'speelmodellen' om inzicht te verkrijgen in de verschijnselen, heeft nog steeds een grote eductieve wrde. ls we dn een belst koord gebruiken om de momentenlijn te beplen, gt het er niet om de preciese numerieke wrden vn het moment uit de vorm vn het koord f te leiden, mr voorl om te zien of de berekende of getekende momentenlijn in essentie juist of onjuist is; öf om voorfgnde n een berekening, te zien, wt we globl mogen verwchten VRIJ OPGELEGDE LIGGER Belsting door puntlsten ls de belsting op een ligger uitsluitend bestt uit neerwrts gerichte puntlsten, dn is de oplossing l heel eenvoudig, zie fig. 3. Een drdje of touwtje met enkele gewichtjes (moeren bijv.) is dn voldoende om de vorm vn de momentenlijn n te bootsen. ls bij de belsting ook opwrts gerichte puntlsten voorkomen, dn kn zo'n belsting vi een ktrol of een evenr-constructie worden ngebrcht, zie fig. 3b 1. Ter pltse vn zo'n opwrtse krcht ontstt dn een 'negtieve' knik, vergeleken met de ndere 'positieve' knikken, zie fig. 3b2. Symmetrisch en keersymmetrisch belste liggers, leveren dn ook geen enkel probleem meer op, zie fig. 3c, d. De bijbehorende dwrskrchten- en momentenlijnen zijn op bld [296] weergegeven in fig. 2. Hieruit blijkt: Symmetrische ligger: Momentenverloop symmetrisch Dwrskrchtenverloop keersymmetrisch Keersymmetrische ligger: Momentenverloop keersymmetrisch Dwrskrchtenverloop symmetrisch. Fig. 3 Speelmodellen voor een vrij opgelegde ligger gevisuliseerd door een koord. lleen neerwrts gerichte puntlsten bl Neerwrts gerichte puntlsten plus één opwrts gerichte puntlst b2 nduiding positieve knikken {, 7) - en negtieve knikken (j3) c. Symmetrisch belste ligger (vierpunts-buigproef) zie ook fig. 2 d. Keersymmetrisch belste ligger (vierpunts-fschuifproef) zie ook fig. 2b 297

107 VRIJ OPGELEGDE LIGGER Gelijkmtig verdeelde belsting ls over een deel vn de ligger een gelijkmtig verdeelde belsting ngrijpt, kn die worden vervngen door een ntl puntlsten op regelmtige fstnd, zie fig. l. Een ndere mogelijkheid is, om het touwtje of drdje over dt deel te vervngen door een kettinkje, zie fig. Ib. Uit het proefje blijkt duidelijk, dt bij de overgng vn de gelijkmtig verdeelde belsting nr het onbelste liggergedeelte, geen knik in het momentenverloop kn optreden. ls de ligger over de gehele lengte is belst, dn kn met een kettinkje worden volstn, zols is weergegeven in fig. Ic. ls er tegelijkertijd ook verticl werkende puntlsten op de ligger ngrijpen, dn moeten de gewichtjes voor de puntlsten en de ^-lst per eenheid vn lengte in de juiste verhouding tot elkr stn, zie fig. ld EENZIJDIG INGEKLEMDE LIGGER EN LIGGER MET OVERSTEKKEN Ingeklemde ligger Bij een éénzijdig ingeklemde ligger geldt voor het vrije uiteinde: V = O enm = 0; fig. 2l,bl. Uit y = O volgt dt het koord dr horizontl moet stn. Het enige dt we dus behoeven te doen, is het koord - n de zijde vn de inklemming vn de ligger - zover omhoog te hlen dt het koord bij het onbelste liggerdeel horizontl stt, zols is weergegeven in fig. 22, hl. T Fig. 1 Gelijkmtig verdeelde belsting. Vervnging door een ntl puntlsten b. Pltselijk een kettinkje nbrengen c. Kettinkje over de gehele lengte bij volbelsting d. Puntlst even groot ls de resultnte vn de gelijkmtig verdeelde belsting [250-1] 298

108 29' In fig. 2 wordt de nullijn in beide gevllen gevormd door een horizontl gespnnen koord. De momentenlijn in fig. 22 wordt dn gevormd door een tweede koord wrop de puntlsten ngrijpen. Het onbelste deel vn het koord ligt op dezelfde hoogte ls de nullijn en is op de foto hiervn nuwelijks te onderscheiden. De momentenlijn bij fig. 2b2 bestt uit een kettinkje met drn een stuk koord dt n de rechterzijde weer op dezelfde hoogte is bevestigd ls het koord voor de nullijn. 0,26 L 0,53/. 0,21 L l 2 Ligger met overstekken Bij een ligger met overstekken kunnen we beide overstekken beschouwen ls ingeklemd in de eigenlijke ligger, zie fig. 3. Ter pltse vn de steunpunten wordt het koord, c.q. het kettinkje, dn zover opgetrokken dt de delen vn het koord, die met de onbelste liggerdelen overeenkomen, weer horizontl stn, zie fig. 3b. Vergelijken we fig. 3b met fig. 3, dn zien we ook zonder enige berekening in een oogwenk de sterke vritie in het momentenverloop ls de opleggingen worden verpltst. De touwtjes wrn het kettinkje wordt opgetrokken moeten hierbij wel verticl hngen, nders klopt er niets vn! 0,31 L 0,41 L 0,28 L bl b2 Voor het optimliseren vn het momentenverloop is het uiterrd voor de berekening een stuk gemkkelijker om de plts vn de opleggingen te ontlenen n het proefje en dm op de gebruikelijke wijze de momenten te berekenen, dn lngs nlytische weg de optimle stnd vn de opleggingen te beplen. Let op, sttisch onbeplde liggers - zols een doorgnde ligger over drie steunpunten - kunnen met dit systeem niet worden gecontroleerd; -\ tenzij men uit nderen hoofde l op de hoogte zou zijn vn de oplegrectieverdeling, zie fig. 3c. lleen dn kunnen we ter pltse vn het middensteunpunt door middel vn een hefboompje de correcte rectiekrcht nbrengen; de krchten bij de buitenste opleggingen stellen zich dn weer utomtisch in. i 1 ^ Fig. 3 Vrij opgelegde liggers met overstekken, belst door een gelijkmtig verdeelde belsting l Schem 2. Vorm vn de bijbehorende momentenlijn bl Schem met verpltste opleggingen b2. Vorm vn de bijbehorende momentenlijn c. Sttisch onbeplde liggers kunnen zo niet worden onderzocht! 299