Het gebruik van Maple bij ConstructieMechanica

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Het gebruik van Maple bij ConstructieMechanica"

Transcriptie

1 Het gebruik van aple bij onstructieecanica PLE is een kractige tool om op een gestructureerde wijze lastig en vervelend rekenwerk te verricten. PLE is bescikbaar voor studenten via de campuslicentie van de TU-elft. Je kunt deze software downloaden via lackoard. elangrijk bij PLE is dat je de activation key installeert, deze is jaar geldig. Om et gebruik van PLE te demonstreren worden ier een aantal voorbeelden uitgewerkt. e onderdelen die aan de orde komen zijn: Voorbeeld, Voorbeeld, Voorbeeld : et werken met vergelijkingen Voorbeeld : et oplossen van een differentiaalvergelijking Voorbeeld : werken met matrices e eerste vier voorbeelden ebben betrekking op statisc onbepaalde constructies. Verscillende oplosmetodieken worden met deze voorbeelden gedemonstreerd. n voorbeeld wordt gebruik gemaakt van de zakkingslijn voor buiging. Hiervoor worden met beulp van randvoorwaarden en overgangsvoorwaarden act vergelijkingen opgesteld waarmee et zakkingsveld voor dit voorbeeld kan worden bepaald. n voorbeeld en wordt met beulp van de kractenmetode op basis van oekveranderingsvergelijkingen de kractsverdelingen bepaald voor twee statisc onbepaalde constructies. Ook ier worden de vergelijkingen opgesteld waarmee de onbekenden kunnen worden opgelost. n voorbeeld wordt etzelfde probleem als in voorbeeld in PLE direct opgelost door gebruik te maken van de oplossingsmetodieken voor differentiaalvergelijkingen. n voorbeeld wordt aan de and van een voorbeeld uit de statica een stelsel vergelijkingen opgesteld dat in matrixvorm kan worden weergegeven. Voor et oplossen van de onbekenden wordt vervolgens gebruik gemaakt van de lineaire algebra tecnieken die in PLE vooranden zijn. Hans Welleman - - november 6

2 Voorbeeld : Vergelijkingen oplossen Het voorbeeld betreft de in figuur weergegeven constructie. e ligger wordt belast met een gelijkmatig verdeelde belasting die alleen aangrijpt aan op et liggerdeel. e ligger is in volledig ingeklemd. Op de ligger werkt een gelijkmatig verdeelde belasting die alleen aangrijpt op liggerdeel. e oorsprong van et assenstel x-z-assenstelsel wordt in gekozen. z,w a, m Figuur : Statisc onbepaalde ligger q kn/m Omdat de belasting niet met één functievoorscrift voor de geele ligger kan worden bescreven moeten de liggerdelen (velden) en afzonderlijk worden bekeken. Voor elk veld geldt de e orde differentiaalvergelijking voor buiging: d w E q( x) dx Om de grooteden w, ϕ, en V in de velden en van elkaar te kunnen ondersceiden krijgen ze in veld een index en in veld een index, dus: voor liggerdeel : w (x), ϕ (x), etc. voor liggerdeel : w (x), etc. l, m E knm e algemene oplossing van de e orde.v. voor buiging in et geval van een gelijkmatig verdeelde belasting q(x) q is: qx w( x) x x x E x omogene oplossing particuliere oplossing Per liggerdeel kan et verplaatsingsveld worden opgesteld. angezien de gelijkmatig verdeelde belasting nul is op et liggerdeel is de particuliere oplossing voor dit deel van de ligger gelijk aan nul. Er geldt: qx w ( x) x x x E w ( x) x x x () n totaal zijn er 8 onbekende integratieconstanten: t/m (veld ) en t/m (veld ). eze zijn te berekenen met beulp van de rand- en overgangsvoorwaarden. Zie Hartsuijker, Toegepaste ecanica deel, blz., 8 en 9 en deel blz. 9, en 6. Hans Welleman - - november 6

3 Ter plaatse van de randen en gelden (per rand) twee randvoorwaarden. Ter plaatse van de veldovergang in moeten vier overgangsvoorwaarden worden opgesteld. e rand en overgangsvoorwaarden zijn weergegeven in figuur. Randvoorwaarden: w () () q kn/m w (x) w(a) Overgangsvoorwaarden: w ( a) w ϕ ( a) ϕ ( a) V ( a) V Figuur : Rand- en overgangsvoorwaarden (a) ( a) ( a) ( a) ( a) ij et uitwerken van de rand- en overgangsvoorwaarden wordt gebruik gemaakt van de volgende betrekkingen: dw dw ϕ ( x) ϕ ( x) dx dx d w d w ( x) E en ( x) E () dx dx d d V ( x) V ( x) dx dx V(a) w (x) ϕ(a) Samenvatting e zakkingslijn voor dit buigingsprobleem wordt dus bescreven met de twee functies () waarin 8 integratieconstanten voorkomen. eze 8 onbekenden worden bepaald met beulp van de eerder genoemde randvoorwaarden en overgangsvoorwaarden uit figuur. Randvoorwaarden: w ( l) ϕ ( l) w () w ( a) w ϕ ( a) ϕ ( a)! V ( a) V () ϕ ( l) w ( l) ( a) ( a) ( a) ( a) () ij de uitwerking van de rand- en overgangsvoorwaarden wordt gebruik gemaakt van de onder () gegeven betrekkingen. Hans Welleman - - november 6

4 Uitwerking in PLE n PLE kan gewoon met symbolen worden gewerkt. Het is dus niet nodig om alle vergelijkingen eerst met de and uit te werken. e betrekkingen uit (), () en () kunnen direct worden overgenomen in PLE. e in rood aangegeven tekst is de in te typen tekst. n blauw is et resultaat dat PLE geeft weergegeven. Let er op dat ieder commando met een ; wordt afgesloten. Na et aanmaken van een nieuw rekenblad wordt gestart met et commando restart. et dit commando worden alle eerder berekende variabelen gewist. > restart; Vervolgens kunnen de variabelen worden gedeclareerd. it zijn voor dit voorbeeld de afmetingen a en l, de belasting q en de buigstijfeid E. Let erop dat alle grooteden in dezelfde eeneden worden ingevoerd. n dit voorbeeld dus kn en m. > a:; l:; q:; E:; a : l : q : E : Vervolgens worden de verplaatsingsfuncties () voor de beide liggerdelen ingevoerd: > w:*x*x^*x^(/(*e))*q*x^; w : x x x x > w:*x*x^*x^; w : x x x Voor et verwerken van de randvoorwaarden en overgangsvoorwaarden worden de betrekkingen volgens () ingevoerd. Voor et differentiëren in PLE wordt gebruik gemaakt van et diff commando. Tussen aakjes moet worden aangegeven welke functie gedifferentieerd moet worden en naar welke variabele moet worden gedifferentieerd. > pi:-diff(w,x); pi:-diff(w,x); φ : x x 6 x φ : x x > :E*diff(pi,x); :E*diff(pi,x); : 6 x x : 6 x > V:diff(,x); V:diff(,x); V : 6 x V : 6 Voor de verdere uitwerking van et probleem moeten nu de 8 vergelijkingen worden ingevoerd. n PLE kunnen vergelijkingen expliciet worden vermeld. Hans Welleman - - november 6

5 Er oeft dus niets met de and uitgescreven of vereenvoudigd te worden. Je kunt zelf een naam verzinnen voor iedere vergelijking. n dit voorbeeld wordt gebruik gemaakt van de afkorting eq, eq etc. e rand- en overgangsvoorwaarden gelden voor drie verscillende plaatsen in de ligger : twee randvoorwaarden in : vier overgangsvoorwaarden in : twee randvoorwaarden in : x; xa; xl Het is van belang dat voor et opstellen van de vergelijkingen aan x de juiste waarde,, a of l wordt toegekend en dat na et oplossen van de vergelijkingen x weer als variabele wordt ersteld. Randvoorwaarden in ( x ) ij de twee randvoorwaarden in moet x de waarde nul krijgen. Uitwerken levert: > x:; > eq:w; > eq:; x : eq : eq : Overgangsvoorwaarden in ( xa ) e vier overgangsvoorwaarden worden als volgt ingevoerd: > x:a; x : > eq:ww; eq : > eq:pipi; eq : > eq:; eq : 8 > eq6:vv; eq6 : 6 6 Randvoorwaarden in ( xl ) e twee randvoorwaarden in leiden tot: > x:l; > eq7:w; > eq8:pi; x : eq7 : eq8 : Hans Welleman - - november 6

6 lle informatie is nu ingevoerd. e 8 vergelijkingen met 8 onbekenden moeten nu alleen nog worden opgelost. Hiervoor bescikt PLE over een solver die wordt aangeroepen met solve. e oplossing wordt eerst opgeslagen in een variabele waarvan de naam vrij mag worden gekozen. n dit geval wordt de naam solution gebruikt. > solution:solve({eq,eq,eq,eq,eq,eq6,eq7,eq8}, {,,,,,,,}); solution : {,,,,,,, } Vervolgens wordt met et commando assign de oplossing toegewezen aan de 8 variabelen t/m. > assign(solution); Het probleem is nu opgelost. Om de oplossing te kunnen tekenen moet de waarde van x, die na et formuleren van de randvoorwaarden in nog op l staat, worden gewist. mmers x moet weer een ecte variabele worden. > x:'x'; x : x e gevonden verplaatsingvelden kunnen netjes worden weergegeven met: > print(w); print(w); 7 x 9 x x 7 7 x 7 x 7 x it resultaat kan ook grafisc worden weergegeven. Om in één figuur de totale oplossing te kunnen tekenen moeten de plotjes van beide zakkingslijnen w en w worden gecombineerd. Hieronder is weergegeven oe dat in PLE wordt ingevoerd. > wit(plots): F:plot(w,x..a,y-..., labels["x-as","w"],title"zakking",styleline): G:plot(w,xa..l,y-...,styleline): display({f,g}); et dit commando krijgen de plaatjes voor w en w eerst een eigen tijdelijke naam F en G waarna met et display commando deze plaatjes in één figuur worden afgebeeld. Het resultaat is iernaast weergegeven. erk op dat PLE de positieve as naar boven uitzet. Uiteraard kunnen op soortgelijke wijze ook de figuren voor de dwarskract, et moment en de oekverdraaiing worden samengesteld. it wordt aan de lezer overgelaten. Figuur : Zakkingslijn Hans Welleman november 6

7 Voorbeeld : Ongescoord raamwerk Het onderstaande portaal is een ongescoord raamwerk dat zowel orizontaal als verticaal wordt belast. e buigstijfeid van de regel is E, die van de kolommen is me en ne, zoals aangegeven in figuur. βf E E ne me Figuur : Ongescoord raamwerk Voor deze constructie zal de kractsverdeling worden bepaald m.b.v. de metode van oekveranderingsvergelijkingen. (zie collegedictaat T van Hartsuijker en Welleman). nalyse: it raamwerk is een raamwerk met verplaatsbare knopen. ls de momentvaste verbindingen in en door scarnieren worden vervangen met de daarbij beorende onbekende momentenparen en ontstaat een mecanisme met één vrijeidsgraad waarvoor de rotatie van de kolommen wordt gekozen. eze aanpak leidt dus tot de onbekenden, en, zie figuur. ne E Figuur : e Statisc onbepaalden, en de onbekende vrijeidsgraad E βf me Er zijn drie vergelijkingen nodig voor et bepalen van deze onbekenden : - twee vormveranderingsvoorwaarden in de vorm van oekveranderingsvergelijkinen - één evenwictsvergelijking in de vorm van virtuele arbeid Het uitwerken van de oekveranderingsvergelijkingen kan vaak m.b.v. de vergeet-mij-nietjes voor liggers op twee steunpunten. e positieve rotaties van de staafuiteinden worden in dezelfde ricting gekozen als de aangenomen momenten. Het opstellen van de vergelijkingen levert zodoende: () () () δ l l ne E E E 6 6 l l E E E 6 6 me δ δ δ e orizontale verplaatsing u in is gelijk aan die in en is groot. Hans Welleman november 6

8 Oplossingsfase: e drie vergelijkingen kunnen met de and maar bij voorkeur met PLE worden opgelost. TP : Strategie bij et oplossen met de and is door uit de eerste twee vergelijkingen de te elimineren en vervolgens dit resultaat te combineren met vergelijking (). Uitwerken met PLE levert: e drie onbekenden zijn daarmee opgelost. Uit de bovenstaande PLE afbeelding kan worden afgelezen dat iervoor de volgende uitdrukkingen gelden: mnl 8n mnl 8( m n) mnl 8( m n) mnl mnl 8m mnl 8( m n) mnl 8( m n) mnl 6( ml nl ) mnl (8( m n) mnl) ( n m) l 6E (8( m n) mnl) 6E en u u Positieve waarden voor de ierboven gevonden momenten komen overeen met de aangenomen rictingen zoals weergegeven in figuur op de vorige bladzijde. Voor et kunnen tekenen van de -lijn is et van belang ook et moment in E te weten. Ga zelf na dat met de bekende momenten in en en de momentensom iervoor geldt: E ( n m) (mnl m n) 8( m n) mnl 8( m n) mnl e uitdrukkingen zijn gesplitst in de bijdragen van de afzonderlijke kracten en βf. Hans Welleman november 6

9 nterpretatie van de resultaten Voor een gegeven situatie kan de -lijn worden getekend. elangrijk daarbij zijn de afspraken voor positieve kractsgrooteden. eze zijn in figuur 6 weergegeven. βf E E E E ne me H H V V Figuur 6 : Positieve rictingen voor de kractsgrooteden e oplegreacties kunnen nu worden bepaald: H V H V mnl 8n mnl l βf 8( m n) mnl 8( m n) mnl βf l mnl 8m mnl l 8( m n) mnl 8( m n) mnl βf l n et bijzondere geval dat de kolommen dezelfde buigstijfeid ebben geldt mn en gaan de bovenstaande vergelijkingen over in: H V H V nl 6 nl βf l nl 6 nl βf l l l βf Opmerkingen: Hieruit blijkt dat indien een constructie met identieke kolommen alleen belast wordt met een orizontale belasting, de oplegreacties onafankelijk zijn van de buigstijfeden van zowel de regel als de kolom. erk op dat dit niet geldt in et algemene geval wanneer de kolommen verscillend worden uitgevoerd. ls de kolommen gelijke buigstijfeden ebben (mn) blijkt et moment in E onafankelijk te zijn van de grootte van de orizontale kract. Hans Welleman november 6

10 moment Voorbeeld : Ongescoord raamwerk met veren Het onderstaande portaal is een ongescoord raamwerk dat zowel orizontaal als verticaal wordt belast. e buigstijfeid van de regel is E, die van de kolommen is ne, zoals aangegeven in figuur 7. e staven zijn verend met elkaar verbonden m.b.v. lineair elastisce (LE) rotatieveren die een veerstijfeid k ebben. LE-veerkarakteristiek veerstijfeid k rotatie in de veer Figuur 7 : Ongescoord raamwerk Voor deze constructie zal de kractsverdeling worden bepaald m.b.v. de metode van oekveranderingsvergelijkingen. (zie collegedictaat T van Hartsuijker en Welleman). nalyse: Het voorbeeld vertoont grote gelijkenis met et voorgaande voorbeeld. Nieuw element in et geeel is de verende verbinding tussen de staven. Hierdoor ontstaat een extra vervorming. it is de oekverdraaiing in de rotatieveer. eze vervorming wordt aangeduid met. Uiteraard is deze vervorming rectevenredig met et moment in de veer aangezien een LE-veerkarakteristiek wordt aangenomen. Ook nu leidt deze aanpak dus tot de onbekenden, en, zie figuur 8. ne e drie benodigde vergelijkingen zijn voor et oplossen van de onbekenden zijn: - twee vormveranderingsvoorwaarden in de vorm van oekveranderingsvergelijkinen - één evenwictsvergelijking in de vorm van virtuele arbeid e positieve rotaties van de staafuiteinden worden in dezelfde ricting gekozen als de aangenomen momenten. Het opstellen van de vergelijkingen levert zodoende: E βf ne E u ne rotatieveer met veerstijfeid k E E βf ne Figuur 8 : e Statisc onbepaalden, en de onbekende vrijeidsgraad () () () δ l l ne E E E 6 6 k l l E E E 6 6 ne k δ δ δ e orizontale verplaatsing u in is gelijk aan die in en is groot. Hans Welleman - - november 6

11 Oplossingsfase: e drie vergelijkingen kunnen met de and maar bij voorkeur met PLE worden opgelost. Op een andige manier uitwerken met PLE levert: e drie onbekenden zijn daarmee opgelost en tevens al gesplitst in de diverse aandelen. Uit de bovenstaande afbeelding kunnen, door ergroeperen, de onderstaande uitdrukkingen worden verkregen: 6E nl kl 6E nl kl l 6nE E k 8 8 Fl Fl en u u ne l 6E k Positieve waarden komen overeen met de rictingen die werden aangenomen in figuur 8 op de vorige bladzijde. e oplegreacties kunnen op dezelfde wijze als in et voorgaande voorbeeld worden bepaald. Hans Welleman - - november 6

12 nterpretatie van de resultaten e orizontale verplaatsing van de bovenregel blijkt onafankelijk te zijn van de grootte van de verticale belasting. it was in et vorige voorbeeld ook et geval voor de bijzondere situatie dat beide kolommen gelijk worden uitgevoerd en dat geldt dus ook in dit geval. ls de uitdrukking voor de orizontale verplaatsing beter bekeken wordt zijn daar drie afzonderlijke aandelen in te erkennen: l u F α ne 6E k k E ne ne l Hans Welleman - - november 6

13 Voorbeeld : Oplossen van een ifferentiaal Vergelijking (V) n PLE is et ook mogelijk differentiaalvergelijkingen op te lossen. et beulp van et voorbeeld zal dit worden gedemonstreerd. Het betreft ier de e orde.v. voor buiging waarvoor geldt: d w E q( x) dx e ligger wordt belast met een gelijkmatig verdeelde belasting die alleen aangrijpt op et liggerdeel. e ligger is in volledig ingeklemd. Op de ligger werkt een gelijkmatig verdeelde belasting die alleen aangrijpt op liggerdeel. e oorsprong van et assenstel x- z-assenstelsel wordt in gekozen. z,w a, m Figuur 9 : Statisc onbepaalde ligger n voorbeeld werd deze constructie opgesplitst in twee delen aangezien de belasting niet met één functievoorscrift voor de geele ligger kan worden bescreven en werd de met de and bepaalde algemene oplossing van de V gebruikt. eze stappen kunnen ecter ook direct met PLE worden uitgevoerd. oor de belasting met een stapfunctie (Heaviside functie) in te voeren is et mogelijk deze met één functievoorscrift voor et liggerdeel in PLE te bescrijven. > q:q*(-heaviside(x-a)); q : Heaviside ( x. ) > plot(q,x..l); q kn/m l, m E knm x e.v. kan in PLE worden ingevoerd als een vergelijking: > V:E*diff(w(x),x$)q; V :. d w( x ) Heaviside ( x. ) dx ( met x$ wordt de vierde afgeleide naar x bedoeld ) Naast de.v. moeten uiteraard ook geldige randvoorwaarden worden gespecificeerd. Voor de oplegging in geldt : w() en () Voor de inklemming in geldt : w(l) en φ > RV:w(), Hans Welleman - - november 6

14 n deze set van randvoorwaarden wordt met de tweede afgeleide van de zakkingsfunctie w(x) bedoeld voor x. et (w)(l) wordt de eerste afgeleide van w(x) voor xl bedoeld. et et invoeren van de.v. en et aangeven van de r.v.w. kan PLE de oplossing direct bepalen met beulp van et commando dsolve. > dsolve({v, RV}, {w(x)}): w:rs(%): n dit commando zijn V en RV de bekenden, de onbekende is de zakkingsfunctie w(x). Het commando dsolve levert een oplossing die elaas nog niet is toegekend aan de variabele w. n et tweede commando ierboven na de : wordt et recterlid (rsrigt and side) van de oplossing, aangegeven met een %-teken toegekend aan w. Het zakkingsveld is nu bepaald. n de uitdrukking voor de zakking komen ook weer termen voor met eaviside-functies waardoor et niet zinvol is deze ier af te beelden. Uiteraard is een plot van deze functie wel zinvol. Op basis van et gevonden verplaatsingsveld kunnen ook de - en V-lijnen worden weergegeven. e gevonden blauwe zakkingslijn in figuur komt overeen met de eerder bepaalde oplossing van voorbeeld. belasting q(x) Figuur : Resultaten voor gegeven parameters Naast de stapfunctie die ier gebruikt is voor een gelijkmatig verdeelde belasting die op een deel van de ligger aangrijpt kan er ook gebruik worden gemaakt van een irac functie om een puntlast in te voeren. Werk dit zelf maar eens uit. Opmerking: Randvoorwaarden kunnen ook als losse vergelijkingen worden ingevoerd en opgelost nadat eerst de algemene oplossing met dsolve() is verkregen. Voorbeelden iervan zijn te vinden in et bestand maple.zip dat op de site kan worden gedownload. Hans Welleman - - november 6

15 Voorbeeld : Werken met matrices Het tweede voorbeeld betreft et evenwict van een star blok zoals in deel van Hartsuijker op pagina 89 wordt bescreven. e kubus met riblengte a en gewict G wordt in evenwict geouden door zes kracten F t/m F 6. Gegeven is dat voor de oek α tussen de werklijnen van de kracten geldt: tanα/. Figuur : Kubus met kracten e evenwictsvergelijkingen die voor dit probleem kunnen worden opgesteld zijn: x 6 6 F F F F F F F F F F y F F G z ( ) T F F F a G a x T F a F a G a y ( ) T F F F a z it stelsel vergelijkingen kan in matrix-vorm worden weergegeven: a a a a a a a a F F F G F Ga F Ga F6 e vector met onbekenden wordt gevormd door de kracten F i. it stelsel kan formeel gescreven worden als: [ ]{. x} { b} Hans Welleman - - november 6

16 Uitwerking in PLE llereerst wordt een scoon PLE werkblad gemaakt en worden eventuele waarden van de variabelen gewist: > restart; > G:; a:; G : a : Het oplossen van matrices gebeurt met beulp van de biblioteek (library) linalg. eze moet aangeroepen worden om de oplosroutines actief te maken. Het commando daarvoor is: > wit(linalg): Warning, te protected names norm and trace ave been redefined and unprotected Vervolgens kunnen de matrix en de vector met bekenden worden ingevoerd. Je mag zelf een naam geven aan zowel de matrix als de vector met bekenden. n dit voorbeeld wordt de matrix en de vector b genoemd. e invoer moet zorgvuldig gebeuren dus let op de syntax : > :matrix([[,(/),,,,(/)],[,(/),,(/),,(/)],[,,,(/),,],[a,(/)*a,a,,,],[,(/)*a,,(- /)*a,,],[,,-a,(-/)*a,-a,]]); : - > b:vector([,,g,.*g*a,-.*g*a,]); - - b : [,,,., -., ] - Het oplossen van de vector met onbekenden, de zes kracten gaat als volgt: > x:linsolve(,b); x : [ -.,., -.,., , -. ] Vergelijk zelf deze uitkomst met die uit et boek. e waarscuwing die PLE geeft is niet relevant. Hans Welleman november 6

17 Opmerkingen t.a.v. aple Opdracten in aple moeten worden afgesloten door een ; of een :. ls na een ; de Enter-toets wordt ingedrukt, wordt de opdract ingevoerd en de reactie van aple verscijnt op et scerm. ls je na een : de Enter-toets indrukt, wordt de opdract ook ingevoerd en door aple verwerkt. Er verscijnt ecter geen reactie op et scerm. Het laatst berekende resultaat kan met een % worden opgeaald. e voorlaatste wordt aangeduid met %% en et daarvoor bepaalde resultaat met %%%. it is vaak een snelle syntax oewel et wel ten koste gaat van de leesbaareid van et werkblad. n PLE zit een uitgebreide elpfunctie. et de functietoets F kan snel elp worden opgevraagd. Zoeken in de elp is in et begin even wennen. eestal staan onderaan de elp-pagina s andige voorbeelden die met copy en paste snel uitgeprobeerd kunnen worden. Voor et invoeren van nieuwe PLE commando s tussen bestaande regels moet in et menu gebruik worden gemaakt van: nsert -> Execution Group -> efore cursor Voor et verwijderen van een commando moet in et menu gebruik worden gemaakt van: Edit -> elete paragrap Let er op dat bij fouten altijd et rekenblad met de menu-andeling: Edit -> Execute -> Workseet opnieuw wordt doorgerekend. nders bestaat de kans dat variabelen toc oude niet bedoelde waarden beouden. Hiermee zijn de meest voorkomende PLE andelingen uitgelegd en mag et gebruik van PLE, voor de bij onstructieecanica voorkomende opgaven, geen problemen meer opleveren. Hans Welleman november 6

Module 5 Uitwerkingen van de opdrachten

Module 5 Uitwerkingen van de opdrachten Module 5 Uitwerkingen van de opdrachten Opdracht 1 Deze oefening heeft als doel vertrouwd te raken met het integreren van de diverse betrekkingen die er bestaan tussen de belasting en uiteindelijk de verplaatsing:

Nadere informatie

Module 6 Uitwerkingen van de opdrachten

Module 6 Uitwerkingen van de opdrachten 1 Module 6 Uitwerkingen van de opdrachten Opdracht 1 De in figuur 6.1 gegeven constructie heeft vier punten waar deze is ondersteund. A B C D Figuur 6.1 De onbekende oplegreacties zijn: Moment in punt

Nadere informatie

Bepaling van oplegreacties van spanten

Bepaling van oplegreacties van spanten epaling an oplegreacties an spanten Naast liggers, ijn ook spanten of portalen eel oorkomende constructies. Portalen ijn in de steunpunten owel in oriontale als erticale ricting ondersteund en aak scarnierend

Nadere informatie

Blz 64: Figuur De rondjes in de scharnierende ondersteuningen horen onder de doorgaande ligger te worden getekend.

Blz 64: Figuur De rondjes in de scharnierende ondersteuningen horen onder de doorgaande ligger te worden getekend. lgemene opmerking De zetter heeft bij de formuleopmaak in uitwerkingen veelal geen cursieve l gebruikt voor de lengte maar l. Dit is een storend probleem want hiermee is het onderscheid met het getal 1

Nadere informatie

UITWERKING MET ANTWOORDEN

UITWERKING MET ANTWOORDEN Tentamen T0 onstructieechanica Januari 0 UITWERKING ET ANTWOORDEN Opgave a) Drie rekstrookjes b) Onder hoeken van 45 graden c) Tussen 0,5l en 0,7l (basisgevallen van Euler) d) () : Nee de vergrotingsfactor

Nadere informatie

TOEGEPASTE MECHANICA 6 1 e Jaar. Ir J.W. (Hans) Welleman Universitair docent TU-Delft, Civiele Techniek, Constructiemechanica

TOEGEPASTE MECHANICA 6 1 e Jaar. Ir J.W. (Hans) Welleman Universitair docent TU-Delft, Civiele Techniek, Constructiemechanica blad nr 1 TOEGEPASTE MECHANICA 6 1 e Jaar Docent : Ir J.W. (Hans) Welleman Universitair docent TU-Delft, Civiele Techniek, Constructiemechanica e-mail : j.w.welleman@hetnet.nl URL : http://go.to/jw-welleman

Nadere informatie

kinematisch en statisch (on) bepaaldheid Noodzakelijk aantal opleggingen, graad van statisch onbepaaldheid Hans Welleman 1

kinematisch en statisch (on) bepaaldheid Noodzakelijk aantal opleggingen, graad van statisch onbepaaldheid Hans Welleman 1 kinematisch en statisch (on) bepaaldheid Noodzakelijk aantal opleggingen, graad van statisch onbepaaldheid Hans Welleman 1 PLAATSVASTE STARRE LICHAMEN Rotatie Centrum Horizontale roloplegging Verticale

Nadere informatie

CT2121 EXPERIMENT 1 ONDERZOEK NAAR DE VALIDITEIT VAN DE BUIGINGSTHEORIE FORMULIER 1: AFTEKENFORMULIER

CT2121 EXPERIMENT 1 ONDERZOEK NAAR DE VALIDITEIT VAN DE BUIGINGSTHEORIE FORMULIER 1: AFTEKENFORMULIER CT2121 EXPERIMENT 1 ONDERZOEK NAAR DE VALIDITEIT VAN DE BUIGINGSTHEORIE FORMULIER 1: AFTEKENFORMULIER Naam Studienummer LET OP: NA HET JUIST INVULLEN VAN DE VERPLAATSINGEN BIJ ONDERDEEL 4 KRIJG JE EEN

Nadere informatie

M-V-N-lijnen Nadruk op de differentiaalvergelijking. Hans Welleman 1

M-V-N-lijnen Nadruk op de differentiaalvergelijking. Hans Welleman 1 M-V-N-lijnen Nadruk op de differentiaalvergelijking Hans Welleman 1 Uitwendige krachten 50 kn 120 kn 98,49 kn 40 kn 40 kn 30 kn 90 kn 4,0 m 2,0 m 2,0 m werklijnen van de reactiekrachten Hans Welleman 2

Nadere informatie

Numerieke Analyse - Week 03

Numerieke Analyse - Week 03 Numerieke Analyse - Week 3 Jan Brandts Woensdag 21 september 211 1. Samenvatting en opgaven We zoeken een polynoom p P k (I) waarvan de functiewaarden in k + 1 verscillende punten x,..., x k I overeenstemmen

Nadere informatie

Elk vermoeden van fraude wordt gemeld bij de examencommissie. NIETJE NIET LOSHALEN!!

Elk vermoeden van fraude wordt gemeld bij de examencommissie. NIETJE NIET LOSHALEN!! Faculteit Civiele Techniek en Geowetenschappen Schriftelijk tentamen CTB1110 ConstructieMechanica 1 Totaal aantal pagina s Datum en tijd Verantwoordelijk docent 5 pagina s excl voorblad 27-1-2017 van 09:00-12:00

Nadere informatie

Krachtsverdeling t.g.v. een temperatuursbelasting

Krachtsverdeling t.g.v. een temperatuursbelasting Kractsverdeing t.g.v. een temperatuursbeasting Een stijging van de temperatuur in een materiaa eidt tot een verenging. Deze verenging is afankeijk van de ineaire uitzettingscoëfficiënt α [ K - ] en de

Nadere informatie

Beknopte handleiding voor Derive 5.0 for Windows

Beknopte handleiding voor Derive 5.0 for Windows - Lesbrief Beknopte handleiding voor Derive 5.0 for Voorspelbaarheid en Populaties in de tijd Doelgroep Klas 5 t/m 6 havo en vwo Vakken en domeinen Algemene natuurwetenschappen VWO Wiskunde VWO: A domein

Nadere informatie

S3 Oefeningen Krachtenleer Hoofdstuk VII VII-1. a) steunpuntreacties. massa balk m b = b * h * l * ρ GB = 0.5 * 0.5 * 10 * 2500 = 6250 kg

S3 Oefeningen Krachtenleer Hoofdstuk VII VII-1. a) steunpuntreacties. massa balk m b = b * h * l * ρ GB = 0.5 * 0.5 * 10 * 2500 = 6250 kg S3 Oefeningen Krachtenleer Hoofdstuk VII VII-1. Een gewapend-betonbalk ligt op planken met een grondoppervlak van 1000 x 50 mm². De volumemassa van gewapend beton is 500 kg/m³. Gevraagd : a) de steunpuntsreacties

Nadere informatie

NIETJE NIET VERWIJDEREN

NIETJE NIET VERWIJDEREN NIETJE NIET VERWIJDEREN Faculteit Civiele Techniek en Geowetenschappen NAAM : Schriftelijk tentamen CTB1110 ConstructieMEchanica 1 Totaal aantal pagina s Datum en tijd Verantwoordelijk docent 21 pagina

Nadere informatie

Construerende Technische Wetenschappen

Construerende Technische Wetenschappen Faculteit: Opleiding: Construerende Technische Wetenschappen Civiele Techniek Oefententamen Module I Mechanica Datum tentamen : 14-1-2015 Vakcode : 201300043 Tijd : 3:00 uur (18:15-21:15) Studenten met

Nadere informatie

Module 7 Uitwerkingen van de opdrachten

Module 7 Uitwerkingen van de opdrachten 1 Module 7 Uitwerkingen van de opdrachten Opdracht 1 Het verschil in aanpak betreft het evenwicht in de verplaatste vervormde toestand. Tot nu toe werd bij een evenwichtsbeschouwing van een constructie

Nadere informatie

UITWERKINGSFORMULIER. Tentamen CT1031-CT CONSTRUCTIEMECHANICA 1 23 januari :00 12:00 uur

UITWERKINGSFORMULIER. Tentamen CT1031-CT CONSTRUCTIEMECHANICA 1 23 januari :00 12:00 uur Subfaculteit iviele Techniek Vermeld op bladen van uw werk: onstructiemechanica STUIENUMMER : NM : UITWERKINGSFORMULIER Tentamen T101-T106-1 ONSTRUTIEMEHNI 1 2 januari 201 09:00 12:00 uur it tentamen bestaat

Nadere informatie

(iii) intervallen, bijvoorbeeld afgesloten intervallen zoals D = [0, 1] := {x en halfopen intervallen zoals D = (0, 1] := {x R 0 < x 1},

(iii) intervallen, bijvoorbeeld afgesloten intervallen zoals D = [0, 1] := {x en halfopen intervallen zoals D = (0, 1] := {x R 0 < x 1}, Hoofdstuk II Calculus Les Differentiatie van functies Waarscijnlijk eeft iedereen wel een idee ervan wat een functie is, maar voor de duidelijkeid zal et andig zijn om de meest belangrijke begrippen na

Nadere informatie

Antwoordformulier CTB1310 Constructiemechanica 2 ~ ~ 5 ECTS ^^^^'^

Antwoordformulier CTB1310 Constructiemechanica 2 ~ ~ 5 ECTS ^^^^'^ Tentamen CTB 1310 Constructiemechanica 2 Antwoordformulier CTB1310 Constructiemechanica 2 ~ ~ 5 ECTS ^^^^'^ Maak alle opgaven op dit antwoordformulier. Lever dit formulier in. Kladpapier wordt niet ingenomen.

Nadere informatie

OPGAVE FORMULIER. Tentamen CTB1110 CONSTRUCTIEMECHANICA 1 3 november :00 12:00 uur (180 min)

OPGAVE FORMULIER. Tentamen CTB1110 CONSTRUCTIEMECHANICA 1 3 november :00 12:00 uur (180 min) Opleiding Civiele Techniek Vermeld op bladen van uw werk: Constructiemechanica STUDIENUMMER : NAAM : OPGAVE FORMULIER Tentamen CTB1110 CONSTRUCTIEMECHANICA 1 3 november 2014 09:00 12:00 uur (180 min) Dit

Nadere informatie

Elk vermoeden van fraude wordt gemeld bij de examencommissie.

Elk vermoeden van fraude wordt gemeld bij de examencommissie. Faculteit Civiele Techniek en Geowetenschappen Schriftelijk tentamen CTB1110 ConstructieMEchanica 1 Totaal aantal pagina s Datum en tijd Verantwoordelijk docent 18 pagina s excl voorblad 02-11-2015 van

Nadere informatie

STUDIEWIJZER ARBEID, ENERGIE EN INVLOEDSLIJNEN. ir J.W. Welleman

STUDIEWIJZER ARBEID, ENERGIE EN INVLOEDSLIJNEN. ir J.W. Welleman STUDIEWIJZER ARBEID, ENERGIE EN INVLOEDSLIJNEN ir J.W. Welleman Mei, 2007 I N H O U D S O P G A V E 1 INLEIDING... 1 1.1... 1 1.2 Leerdoelen...1 1.3 Opzet van deze studiewijzer... 1 1.4 Leermiddelen...

Nadere informatie

Speciale functies. 2.1 Exponentiële functie en natuurlijke logaritme

Speciale functies. 2.1 Exponentiële functie en natuurlijke logaritme Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, 006 Les Speciale functies We ebben in de vorige les een aantal elementaire functies bekeken en iervoor gezien oe we deze functies kunnen afleiden. In wezen waren

Nadere informatie

Elk vermoeden van fraude wordt gemeld bij de examencommissie.

Elk vermoeden van fraude wordt gemeld bij de examencommissie. Faculteit Civiele Techniek en Geowetenschappen Naam : Studienr : Schriftelijk tentamen CTB1110 ConstructieMechanica 1 Totaal aantal pagina s Datum en tijd Verantwoordelijk docent 20 pagina s excl voorblad

Nadere informatie

NOTITIE : KRACHTENMETHODE

NOTITIE : KRACHTENMETHODE NOIIE : KRHENEHODE Een korte uiteenzetting over steunpuntszettingen, toevaige inkemmingsmomenten en temperatuurseffecten bij doorgaande iggers op buiging beast. Ir. J.W. Weeman pri 0 Kractsverdeing t.g.v.

Nadere informatie

Elk vermoeden van fraude wordt gemeld bij de examencommissie.

Elk vermoeden van fraude wordt gemeld bij de examencommissie. Faculteit Civiele Techniek en Geowetenschappen Schriftelijk tentamen CTB1110 ConstructieMEchanica 1 Totaal aantal pagina s Datum en tijd Verantwoordelijk docent 5 pagina s excl voorblad 02-11-2015 van

Nadere informatie

Controle: Bekijk nu of aan het evenwicht wordt voldaan voor het deel BC, daarvoor zijn immers alle scharnierkracten bekend

Controle: Bekijk nu of aan het evenwicht wordt voldaan voor het deel BC, daarvoor zijn immers alle scharnierkracten bekend Hints/procedures voor het examen 4Q130 dd 25-11-99 ( Aan het einde van dit document staan antwoorden) Opgave 1 Beschouwing vooraf: De constructie bestaat uit twee delen; elk deel afzonderlijk vrijgemaakt

Nadere informatie

Module 8 Uitwerkingen van de opdrachten

Module 8 Uitwerkingen van de opdrachten Module 8 Uitwerkingen van de opdrachten Opdracht 1 Analyse De constructie bestaat uit een drie keer geknikte staaf die bij A is ingeklemd en bij B in verticale richting is gesteund. De staafdelen waarvan

Nadere informatie

Module 4 Uitwerkingen van de opdrachten

Module 4 Uitwerkingen van de opdrachten Module 4 Uitwerkingen van de opdrachten Opdracht 1 Analyse Constructie bestaat uit scharnierend aan elkaar verbonden staven, rust op twee scharnieropleggingen: r 4, s 11 en k 8. 2k 3 13 11, dus niet vormvast.

Nadere informatie

Hoofdstuk 3. Matrices en stelsels. 3.1 Matrices. [[1,7]],[[12,8] ] of [ 1, 7; 12,8 ] bepaalt de matrix

Hoofdstuk 3. Matrices en stelsels. 3.1 Matrices. [[1,7]],[[12,8] ] of [ 1, 7; 12,8 ] bepaalt de matrix Hoofdstuk 3 Matrices en stelsels 3.1 Matrices Een matrix is in DERIVE gedefinieerd als een vector van vectoren. De rijen van de matrix zijn de elementen van de vector. Op de volgende manier kan je een

Nadere informatie

Eliminatie van parameters en substitutie met computeralgebra

Eliminatie van parameters en substitutie met computeralgebra Eliminatie van parameters en substitutie met computeralgebra Guido Herweyers, KHBO Campus Oostende Dirk Janssens, K.U.Leuven 1. Inleiding Uitgaande van parametervergelijkingen van rechten en vlakken illustreren

Nadere informatie

Module 1 Uitwerkingen van de opdrachten

Module 1 Uitwerkingen van de opdrachten 1 kn Module 1 en van de opdrachten F R Opdracht 1 Bepaal de resultante in horizontale en verticale richting: F H 0 6 4 kn dus naar rechts F V 0 4 1 kn dus omhoog De resultante wordt m.b.v. de stelling

Nadere informatie

Buiging van een belaste balk

Buiging van een belaste balk Buiging van een belaste balk (Modelbouw III) G. van Delft Studienummer: 0480 E-mail: gerardvandelft@email.com Tel.: 06-49608704 4 juli 005 Doorbuigen van een balk Wanneer een men een balk op het uiteinde

Nadere informatie

GeoGebra Quickstart. Snelgids voor GeoGebra. Vertaald door Beatrijs Versichel en Ivan De Winne

GeoGebra Quickstart. Snelgids voor GeoGebra. Vertaald door Beatrijs Versichel en Ivan De Winne GeoGebra Quickstart Snelgids voor GeoGebra Vertaald door Beatrijs Versichel en Ivan De Winne Dynamische meetkunde, algebra en analyse vormen de basis van GeoGebra, een educatief pakket, dat meetkunde en

Nadere informatie

Opgaven bij Numerieke Wiskunde I

Opgaven bij Numerieke Wiskunde I Opgaven bij Numerieke Wiskunde I 7 november 8 1. (a) Gegeven verschillende interpolatiepunten x, x 1, x [a, b], en getallen y, y 1, y, z 1, toon aan dat er hooguit 1 polynoom p P 3 is met p(x i ) = y i,

Nadere informatie

Voorwoord. Khalid Saleh. Delft, juni 2012 DE EFFECTIEVE KIPLENGTE VAN HOUTEN LIGGERS 2

Voorwoord. Khalid Saleh. Delft, juni 2012 DE EFFECTIEVE KIPLENGTE VAN HOUTEN LIGGERS 2 Voorwoord Dit rapport is geschreven in het kader van het Bachelor eindwerk ter afsluiting van de bachelorfase van mijn studie Civiele Techniek aan de Technische Universiteit Delft. Tijdens dit eindwerk

Nadere informatie

2. Een eerste kennismaking met Maxima

2. Een eerste kennismaking met Maxima . Een eerste kennismaking met Maxima Als u nog niet eerder kennis heeft gemaakt met CAS (Computer Algebra System) software, dan lijkt Maxima misschien erg gecompliceerd en moeilijk, zelfs voor het oplossen

Nadere informatie

Mechanica van Materialen: Voorbeeldoefeningen uit de cursus

Mechanica van Materialen: Voorbeeldoefeningen uit de cursus Mechanica van Materialen: Voorbeeldoefeningen uit de cursus Hoofdstuk 1 : Krachten, spanningen en rekken Voorbeeld 1.1 (p. 11) Gegeven is een vakwerk met twee steunpunten A en B. Bereken de reactiekrachten/momenten

Nadere informatie

CONSTRUCTIEMECHANICA 4. 2.8 Antwoorden

CONSTRUCTIEMECHANICA 4. 2.8 Antwoorden ONSTRUTEEHN 4.8 ntwoorden oorsnedegrootheden.1.1 a) met de oorsprong van het assenstelsel in punt : Z (00; 6,5) mm b) zz 9,1 x 10 8 mm 4 5, x 10 8 mm 4 z z 0 c) met behulp van de irkel van ohr: zz, x 10

Nadere informatie

8. Differentiaal- en integraalrekening

8. Differentiaal- en integraalrekening Computeralgebra met Maxima 8. Differentiaal- en integraalrekening 8.1. Sommeren Voor de berekening van sommen kent Maxima de opdracht: sum (expr, index, laag, hoog) Hierbij is expr een Maxima-expressie,

Nadere informatie

maplev 2010/7/12 14:02 page 15 #17 Nadere detaillering van een aantal zaken van Module 1 Geen,, " ", \, save, read, protect, unprotect

maplev 2010/7/12 14:02 page 15 #17 Nadere detaillering van een aantal zaken van Module 1 Geen,,  , \, save, read, protect, unprotect maplev 2010/7/12 14:02 page 15 #17 Module 2 Het gebruik van Maple, vervolg Onderwerp Voorkennis Expressies Nadere detaillering van een aantal zaken van Module 1 Geen,, " ", \, save, read, protect, unprotect

Nadere informatie

VAKWERKEN. Hans Welleman 1

VAKWERKEN. Hans Welleman 1 VAKWERKEN Hans Welleman 1 WAT IS EEN VAKWERK vormvaste constructie opgebouwd uit alleen pendelstaven Hans Welleman 2 STAAFAANDUIDINGEN Randstaven Bovenrand Onderrand dd sd Wandstaven Verticalen Diagonalen

Nadere informatie

Korte handleiding Maple, bestemd voor gebruik bij de cursus Wiskunde

Korte handleiding Maple, bestemd voor gebruik bij de cursus Wiskunde Korte handleiding Maple, bestemd voor gebruik bij de cursus Wiskunde voor B. 1 Eenvoudige operaties en functies. 1. De bewerkingen optellen aftrekken, vermenigvuldigen, delen en machtsverheffen worden

Nadere informatie

Korte handleiding Maple bij de cursus Meetkunde voor B

Korte handleiding Maple bij de cursus Meetkunde voor B Korte handleiding Maple bij de cursus Meetkunde voor B Deze handleiding sluit aan op en is gedeeltelijk gelijk aan de handleidingen die gebruikt worden bij de cursussen Wiskunde 2 en 3 voor B. Er zijn

Nadere informatie

STATISCH ONBEPAALDE CONSTRUCTIES

STATISCH ONBEPAALDE CONSTRUCTIES STTISH ONEPLDE ONSTRUTIES 1 Statisch onbepaade constructies Ineiding, systematiek Statisch onbepaadheid Voorbeeden onstructies met niet-verpaatsbare knopen keuze van het statisch bepaade hoofdsysteem en

Nadere informatie

Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft:

Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft: Determinanten Invoeren van het begrip determinant Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { a x + b y = c a 2 a 2 x + b 2 y = c 2 a Dit levert op: { a a 2 x

Nadere informatie

x = b 1 x 1 , b = x n b m i,j=1,1 en een vector [x j] n j=1 m n a i,j x j j=1 i=1

x = b 1 x 1 , b = x n b m i,j=1,1 en een vector [x j] n j=1 m n a i,j x j j=1 i=1 WIS9 9 Matrixrekening 9 Vergelijkingen Stelsels lineaire vergelijkingen Een stelsel van m lineaire vergelijkingen in de n onbekenden x, x 2,, x n is een stelsel vergelijkingen van de vorm We kunnen dit

Nadere informatie

TI83-werkblad. Vergelijkingen bij de normale verdeling

TI83-werkblad. Vergelijkingen bij de normale verdeling TI83-werkblad Vergelijkingen bij de normale verdeling 1. Inleiding Een normale verdeling wordt bepaald door de constanten µ en σ. Dit blijkt uit het voorschrift van de verdelingsfunctie van de normale

Nadere informatie

CTB3330 : ConstructieMechanica 4

CTB3330 : ConstructieMechanica 4 CTB3330 COLLEGE 13 CTB3330 : Constructieechanica 4 13-14 Niet-smmetrische en/of inhomogene doorsneden Inleiding lgemene theorie voor etensie en buiging Niet-smmetrische doorsneden Voorbeelden kromming

Nadere informatie

Hoofdstuk 5 : Afgeleiden van veeltermfuncties

Hoofdstuk 5 : Afgeleiden van veeltermfuncties Hoofdstuk 5 : Afgeleiden van veeltermfuncties GROEPSWERK: AFGELEIDE VAN EEN PRODUCT 1) Inleiding Gegeven: de functies f en g met als voorscrift f(x) = x 3 en g(x) = x 2. We weten: D(f(x) + g(x)) = D(x

Nadere informatie

Magidoku s en verborgen symmetrieën

Magidoku s en verborgen symmetrieën Uitwerking Puzzel 92-6 Magidoku s en verborgen symmetrieën Wobien Doyer Lieke de Rooij Een Latijns vierkant van orde n, is een vierkante matrix, gevuld met n verschillende symbolen waarvan elk precies

Nadere informatie

Analyse: vraagstuk van Kepler

Analyse: vraagstuk van Kepler Analyse: vraagstuk van Kepler Deel : Afleiden tweede wet (wet der perken) Redelijk simpel. Uit de bewegingsvergelijking volgt dat =. Dit impliceert dat = =. Als je weet dat de tangentiële component van

Nadere informatie

Module 9 Uitwerkingen van de opdrachten

Module 9 Uitwerkingen van de opdrachten 1 Module 9 Uitwerkingen van de opdrachten Opdracht 1 Zie voor de gevraagde begrippen de tekst van dit onderdeel. Opdracht 2 De vormfactor wordt bepaald door: W p W De weerstandmomenten van de gegeven doorsneden

Nadere informatie

Projectopdracht Bovenloopkraan

Projectopdracht Bovenloopkraan Projectopdracht Bovenloopkraan De opdrachten: Om op een veilige, en verantwoorde manier te kunnen werken, moet er in een werkplaats een bovenloopkraan met een loopkat worden gemonteerd. Een loopkat is

Nadere informatie

Wiskunde D vwo Lineaire algebra. Presentatie Noordhoff wiskunde Tweede Fase congres 19 november 2015 Harm Houwing en John Romkes

Wiskunde D vwo Lineaire algebra. Presentatie Noordhoff wiskunde Tweede Fase congres 19 november 2015 Harm Houwing en John Romkes Wiskunde D vwo Lineaire algebra Presentatie Noordhoff wiskunde Tweede Fase congres 9 november 205 Harm Houwing en John Romkes Vwo D Lineaire algebra Harm Houwing John Romkes Hoofdstuk 4 Onderwerpen Rekenen

Nadere informatie

Hoofdstuk 3 Basiswetten van de elektriciteit.

Hoofdstuk 3 Basiswetten van de elektriciteit. Hoofdstuk 3 Basiswetten van de elektriciteit. 1 Wet van Ohm. Volledigheidshalve vermelden we hier nog eens de wet van Ohm: Elektriciteit U R. I of U I of R U R I 2 Wetten van Kirchhoff. Kirchhoff heeft

Nadere informatie

10.0 Voorkennis. Herhaling van rekenregels voor machten: a als a a 1 0[5] [6] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a:

10.0 Voorkennis. Herhaling van rekenregels voor machten: a als a a 1 0[5] [6] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a: 10.0 Voorkennis Herhaling van rekenregels voor machten: p p q pq a pq a a a [1] a [2] q a q p pq p p p a a [3] ( ab) a b [4] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a: 1 8 : a a : a a a a 3 8 3 83 5 Voorbeeld

Nadere informatie

5. Vergelijkingen. 5.1. Vergelijkingen met één variabele. 5.1.1. Oplossen van een lineaire vergelijking

5. Vergelijkingen. 5.1. Vergelijkingen met één variabele. 5.1.1. Oplossen van een lineaire vergelijking 5. Vergelijkingen 5.1. Vergelijkingen met één variabele 5.1.1. Oplossen van een lineaire vergelijking Probleem : We willen x oplossen uit de lineaire vergelijking p x+q=r met p. Maxima biedt daartoe in

Nadere informatie

XFrame2d. de Hof LA Almen

XFrame2d. de Hof LA Almen XFrame2d XFrame2d is het gereedschap voor elke constructeur. Met XFrame2d bepaalt u in een handomdraai en zeer eenvoudig de geometrisch lineaire of geometrisch niet-lineaire krachtsverdeling in uw constructie.

Nadere informatie

Exacte waarden bij sinus en cosinus

Exacte waarden bij sinus en cosinus acte waarden bij sinus en cosinus n enkele gevallen kun je vergelijkingen met sinus en cosinus eact oplossen. Welke gevallen zijn dat? 0, π 0, π f() = sin π π 8 9 0, g() = cos π π π 8 9 π 0, ierboven zie

Nadere informatie

Lineaire afbeeldingen

Lineaire afbeeldingen Les 2 Lineaire afbeeldingen Als een robot bij de robocup (het voetbaltoernooi voor robots een doelpunt wil maken moet hij eerst in de goede positie komen, d.w.z. geschikt achter de bal staan. Hiervoor

Nadere informatie

TRILLINGEN EN GOLVEN HANDOUT FOURIER

TRILLINGEN EN GOLVEN HANDOUT FOURIER TRILLINGEN EN GOLVEN HANDOUT FOURIER Cursusjaar 2009 / 2010 2 Inhoudsopgave 1 FOURIERANALYSE 5 1.1 INLEIDING............................... 5 1.2 FOURIERREEKSEN.......................... 5 1.3 CONSEQUENTIES

Nadere informatie

Parameterkrommen met Cabri Geometry

Parameterkrommen met Cabri Geometry Parameterkrommen met Cabri Geometry 1. Inleiding Indien twee functies f en g gegeven zijn die afhangen van eenzelfde variabele (noem deze t), dan kunnen de functiewaarden daarvan gebruikt worden als x-

Nadere informatie

Basiskennis lineaire algebra

Basiskennis lineaire algebra Basiskennis lineaire algebra Lineaire algebra is belangrijk als achtergrond voor lineaire programmering, omdat we het probleem kunnen tekenen in de n-dimensionale ruimte, waarbij n gelijk is aan het aantal

Nadere informatie

Analyse voor de 3 de graad TSO (leerplan 4u) met de TI83 Plus

Analyse voor de 3 de graad TSO (leerplan 4u) met de TI83 Plus Analyse voor de de graad TSO (leerplan 4u) met de TI-8 Plus Woord vooraf Ik ben leraar wiskunde in de derde graad Boekouden-Informatica en Informaticabeeer aan et Tecnisc Instituut Heilige Familie te Ieper

Nadere informatie

a) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n.

a) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n. . Oefen opgaven Opgave... Gegeven zijn de lijnen l : 2 + λ m : 2 2 + λ 3 n : 3 6 4 + λ 3 6 4 a) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n. b) Bepaal de afstand tussen die lijn

Nadere informatie

FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie

FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie Lineaire Algebra, tentamen Uitwerkingen vrijdag 4 januari 0, 9 uur Gebruik van een formuleblad of rekenmachine is niet toegestaan. De

Nadere informatie

Dag van de wiskunde 22 november 2014

Dag van de wiskunde 22 november 2014 WISKUNDIGE UITDAGINGEN MET DE TI-84 L U C G H E Y S E N S VRAGEN/OPMERKINGEN/ peter.vandewiele@telenet.be TOEPASSING 1: BODY MASS INDEX Opstarten programma en naamgeven! Peter Vandewiele 1 TOEPASSING 1:

Nadere informatie

3. Structuren in de taal

3. Structuren in de taal 3. Structuren in de taal In dit hoofdstuk behandelen we de belangrijkst econtrolestructuren die in de algoritmiek gebruikt worden. Dit zijn o.a. de opeenvolging, selectie en lussen (herhaling). Vóór we

Nadere informatie

3 Wat is een stelsel lineaire vergelijkingen?

3 Wat is een stelsel lineaire vergelijkingen? In deze les bekijken we de situatie waarin er mogelijk meerdere vergelijkingen zijn ( stelsels ) en meerdere variabelen, maar waarin elke vergelijking er relatief eenvoudig uitziet, namelijk lineair is.

Nadere informatie

Technische Universiteit Delft. ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW2030 Vrijdag 30 januari 2015,

Technische Universiteit Delft. ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW2030 Vrijdag 30 januari 2015, Technische Universiteit Delft Faculteit EWI ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW23 Vrijdag 3 januari 25, 4.-7. Dit tentamen bestaat uit 6 opgaven. Alle antwoorden dienen beargumenteerd

Nadere informatie

Gelijke oppervlakte. V is het vlakdeel dat wordt begrensd door de grafiek van f en de x-as. In figuur 2 is V grijs gemaakt. 2,2 zijn.

Gelijke oppervlakte. V is het vlakdeel dat wordt begrensd door de grafiek van f en de x-as. In figuur 2 is V grijs gemaakt. 2,2 zijn. Gelijke oppervlakte Voor 0 is de functie f gegeven door f ( ). e punten (0, 0) en (9, 0) liggen op de grafiek van f. Het punt T is et oogste punt van deze grafiek. Zie figuur. figuur T f e coördinaten

Nadere informatie

Stelsels differentiaalvergelijkingen

Stelsels differentiaalvergelijkingen Stelsels differentiaalvergelijkingen Stelsels homogene differentiaalvergelijkingen We bekijken in deze paragraaf stelsels homogene differentiaalvergelijkingen: x (t x (t x (t x (t x n(t A Voorbeeld x +

Nadere informatie

1. Cellen en formules

1. Cellen en formules 13 1. Cellen en formules Microsoft Excel is een rekenprogramma, ook wel spreadsheetprogramma genoemd. Met het woord spread wordt in het Engels tekst over meer kolommen bedoeld en de term sheet betekent

Nadere informatie

CTB2210 ConstructieMechanica 3

CTB2210 ConstructieMechanica 3 CTB2210 ConstructieMechanica 3 INTRODUCTIE MatrixFrame 5.0 Ir J.W. Welleman aangepast door J. Siccama BSc Opleiding Civiele Techniek ConstructieMechanica juli, 2013 INHOUDSOPGAVE 1. INLEIDING... 3 1.1

Nadere informatie

Verticale bewegingen ABC ABC

Verticale bewegingen ABC ABC Verticale bewegingen Bepaling divergentie J.C. Bellamy eeft een objectieve metode ontwikkeld om de divergentie te berekenen uit drie windwaarnemingen. Hebben we windwaarnemingen op meerdere niveau s (uit

Nadere informatie

Beginnen met de Casio fx-cg20

Beginnen met de Casio fx-cg20 Beginnen met de Casio fx-cg20 - Korte uitleg van de meest gebruikte knoppen en functies - De knoppen De belangrijkste menu s Navigatie door de mappen Auteur: Tim Bebensee Vertaling en bewerking: Wouter

Nadere informatie

OF (vermits y = dy. dx ) P (x, y) dy + Q(x, y) dx = 0

OF (vermits y = dy. dx ) P (x, y) dy + Q(x, y) dx = 0 Algemeen kunnen we een eerste orde differentiaalvergelijking schrijven als: y = Φ(x, y) OF (vermits y = dy dx ) P (x, y) dy + Q(x, y) dx = 0 Indien we dan P (x, y) en Q(x, y) kunnen schrijven als P (x,

Nadere informatie

POST STUDIEWIJZER. POST HBO-OPLEIDINGEN Betonconstructeur BV Staalconstructeur BmS. Professional master of structural engineering

POST STUDIEWIJZER. POST HBO-OPLEIDINGEN Betonconstructeur BV Staalconstructeur BmS. Professional master of structural engineering POST HBO-OPLEIDINGEN Betonconstructeur BV Staalconstructeur BmS Professional master of structural engineering Toegepaste mechanica 6 Mechanica van gebouw- en constructiesystemen ir J.W. Welleman STUDIEWIJZER

Nadere informatie

1. Rekenen en formules

1. Rekenen en formules 9 1. Rekenen en formules Microsoft Excel is een zogenaamd spreadsheetprogramma. Het woord spreadsheet is zo n typische computerterm die u pas gaat begrijpen als u met zo n programma werkt. Te vertalen

Nadere informatie

Piekresultaten aanpakken op platen in Scia Engineer

Piekresultaten aanpakken op platen in Scia Engineer Piekresultaten aanpakken op platen in Scia Engineer Gestelde vragen en antwoorden 1. Kan er ook een webinar gegeven worden op het gebruik van een plaat met ribben. Dit voorstel is doorgegeven, en al intern

Nadere informatie

VAARDIGHEDEN EXCEL. MEETWAARDEN INVULLEN In de figuur hieronder zie je twee keer de ingevoerde meetwaarden, eerst ruw en daarna netjes opgemaakt.

VAARDIGHEDEN EXCEL. MEETWAARDEN INVULLEN In de figuur hieronder zie je twee keer de ingevoerde meetwaarden, eerst ruw en daarna netjes opgemaakt. VAARDIGHEDEN EXCEL Excel is een programma met veel mogelijkheden om meetresultaten te verwerken, maar het was oorspronkelijk een programma voor boekhouders. Dat betekent dat we ons soms in bochten moeten

Nadere informatie

2.1 Exponentiële functie en natuurlijke logaritme

2.1 Exponentiële functie en natuurlijke logaritme Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, 00 Les Speciale functies. Eponentiële functie en natuurlijke logaritme We ebben nog niet aangegeven oe we a voor een niet-rationaal zullen berekenen. Het voor de

Nadere informatie

OPLOSSEN VAN TWEEDEGRAADSVERGELIJKINGEN

OPLOSSEN VAN TWEEDEGRAADSVERGELIJKINGEN OPLOSSEN VAN TWEEDEGRAADSVERGELIJKINGEN Het bestaan van reële oplossingen of wortels van een tweedegraadsvergelijking van de vorm ax²+bx+c = 0 waarbij x de onbekende is en a, b, c reële parameters zijn,

Nadere informatie

CTB1002 deel 1 - Lineaire algebra 1

CTB1002 deel 1 - Lineaire algebra 1 CTB1002 deel 1 - Lineaire algebra 1 College 6 27 februari 2014 1 Opbouw college Vandaag behandelen we de rest van hoofdstuk 1.8 en 1.9 Voor de pauze: hoofdstuk 1.8 Na de pauze: hoofdstuk 1.9 2 Transformatie

Nadere informatie

Excel Van rookie tot wizard. Willem De Meyer Hans Vanlanduyt. Acco Leuven / Den Haag

Excel Van rookie tot wizard. Willem De Meyer Hans Vanlanduyt. Acco Leuven / Den Haag Excel 2016 Van rookie tot wizard Willem De Meyer Hans Vanlanduyt Acco Leuven / Den Haag Inleiding Excel is een elektronisch rekenblad. Het programma laat toe om tabellen op te bouwen. Dit kunnen eenvoudige

Nadere informatie

OP BUIGING BELASTE STAAFCONSTRUCTIES

OP BUIGING BELASTE STAAFCONSTRUCTIES CT3109 : BEZWIJKNLYSE OP BUIGING BELSTE STFCONSTRUCTIES ELSTICITEIT & PLSTICITEIT VOLPLSTISCH MOMENT VORMFCTOR TOEPSSINGEN OP EENVOUDIGE DOORSNEDEN GEDRG VN DE DOORSNEDE MOMENT-KROMMINGS RELTIE PLSTISCHE

Nadere informatie

Opgaven Functies en Reeksen. E.P. van den Ban

Opgaven Functies en Reeksen. E.P. van den Ban Opgaven Functies en Reeksen E.P. van den Ban c Mathematisch Instituut Universiteit Utrecht Augustus 2014 1 Opgaven bij Hoofdstuk 1 Opgave 1.1 Zij f : R n R partieel differentieerbaar naar iedere variabele

Nadere informatie

Toegepaste Mechanica : STATICA

Toegepaste Mechanica : STATICA SPM1360 INTRODUCTIE Toegepaste Mechanica : STATICA WIE WAT WAAR HOE? Colleges, Leermiddelen, Oefeningen, Tentamen DOELEN INHOUD Docenten : Ir J.W. (Hans) Welleman kamer 6.65 015-2784856 CIVIELE TECHNIEK

Nadere informatie

Dossier 4 VECTOREN. Dr. Luc Gheysens. bouwstenen van de lineaire algebra

Dossier 4 VECTOREN. Dr. Luc Gheysens. bouwstenen van de lineaire algebra Dossier 4 VECTOREN bouwstenen van de lineaire algebra Dr. Luc Gheysens 1 Coördinaat van een vector In het vlak π 0 is het punt O de oorsprong en de punten E 1 en E 2 zijn zodanig gekozen dat OE 1 OE 2

Nadere informatie

Referentie Knoop. Coördinaat Systeem. 1.2 LIJNEN Lijn Nr. Lijntype Knoopno. E-modulus E [N/mm 2 ] Rotatie [ ] rond Y 1 1, ,4 0.

Referentie Knoop. Coördinaat Systeem. 1.2 LIJNEN Lijn Nr. Lijntype Knoopno. E-modulus E [N/mm 2 ] Rotatie [ ] rond Y 1 1, ,4 0. Pagina: 1/13 NSTRUCTIE INHOUD INHOUD Constructie 1 Graf. Staven - Snedekrachten, Beeld, +Y, 4 1.1 Knopen 1 BGT (V-z) 4 1.2 Lijnen 1 Graf. Staven - Snedekrachten, Beeld, +Y, 5 1.3 Materialen 1 BGT (M-y)

Nadere informatie

Grafieken 1. a) de snijpunten met de x-as. b) het snijpunt met de y-as. c) de coördinaten van de top.

Grafieken 1. a) de snijpunten met de x-as. b) het snijpunt met de y-as. c) de coördinaten van de top. Grafieken 1 In het moduul verbanden hebben we gezien hoe we de grafiek van een lineair verband zoals y = 3 x + 5 moeten tekenen, dat wordt een rechte lijn. We noemen de functie y = 3 x + 5 ook wel een

Nadere informatie

Afgeleiden. met als oplossing: m=2 en q=-1. De rechte wordt dus bepaald door y=2x-1. m =

Afgeleiden. met als oplossing: m=2 en q=-1. De rechte wordt dus bepaald door y=2x-1. m = Afgeleiden. Herinnert u zic deze nog? Afgeleiden. De algemene vergelijking van een recte in een y-vlak wordt bepaald door ym*+q. Hierbij zijn m en q parameters (karakteristieke getallen) die de ligging

Nadere informatie

Werkblad 1 Normale dichtheidsfunctie als benadering voor een klokvormig histogram

Werkblad 1 Normale dichtheidsfunctie als benadering voor een klokvormig histogram Werkblad 1 Normale dichtheidsfunctie als benadering voor een klokvormig histogram Probeer zeker de opdrachten 1, 4 en 6 te maken. 1. In de tabel hieronder vind je gegevens over de borstomtrek van 5732

Nadere informatie