Analyse voor de 3 de graad TSO (leerplan 4u) met de TI83 Plus

Transcriptie

1 Analyse voor de de graad TSO (leerplan 4u) met de TI-8 Plus Woord vooraf Ik ben leraar wiskunde in de derde graad Boekouden-Informatica en Informaticabeeer aan et Tecnisc Instituut Heilige Familie te Ieper Deze afdelingen krijgen 4 uur wiskunde per week Er wordt ierbij eel wat aandact besteed aan analyse Het grafisc rekentoestel (in mijn geval de TI8 Plus) is een onmisbaar ulpmiddel geworden tijdens mijn wiskundelessen Ik ondervind dat de leerlingen meer inzict in de leerstof verwerven dank zij et gebruik van dit rekentoestel Er gaat enorm veel kract uit van tabellen en grafieken die in de plaats komen van tijdrovende en tempo-brekende berekeningen Zo komt er meer tijd vrij voor redeneerwerk en probleemoplossend denken Dank zij et grafisc rekentoestel zijn de leerlingen ook beter in staat om zelf bepaalde eigenscappen te vermoeden of te ontdekken De volgende tekst beandelt enkele onderwerpen uit de analyse Het is een greep uit mijn lessen die ik vorig scooljaar gegeven eb Er is telkens een korte bescrijving van de beginsituatie Per onderwerp eb ik ook enkele opdracten voorzien; de oplossingen zijn acteraan terug te vinden De beandelde onderwerpen zijn de volgende: Ogenblikkelijke sneleid De afgeleide van enkele basisfuncties 7 Scuine asymptoten van rationale functies 4 Toepassingen op eponentiële functies 8 5 Oneigenlijke integralen 6 Oostende

2 Ogenblikkelijke sneleid Beginsituatie: Als van een bepaalde beweging de afgelegde weg gekend is in functie van de tijd, dan zijn de leerlingen in staat de gemiddelde sneleid te berekenen Ze weten ook dat de gemiddelde sneleid gelijk is aan de rictingscoëfficiënt van de recte die et beginpunt van de grafiek met et eindpunt verbindt Een autorit We maken een autorit van uur De afgelegde weg in functie van de tijd wordt bescreven door de functie f met vergelijking f ( t) 4t + 5t De tijd is uitgedrukt in uren en de afgelegde weg in kilometer Hieronder vind je de grafiek van f met t : De gemiddelde sneleid (uitgedrukt in km/u) in et tijdsinterval [;], dwz tussen et ste en de uur is: f () f () is de rictingscoëfficiënt van de recte door (;8) en P(;85) In et tijdsinterval [;,75] is de gemiddelde sneleid: f (,75) f () 68, ,475,5,75,75,75,5 is de rictingscoëfficiënt van de recte door (,75;68,475) en P(;85) Q Q Oostende

3 In et tijdsinterval [;,5] is de gemiddelde sneleid: f (,5) f () 46,5 85 6,5,5,5,5,5,5 is de rictingscoëfficiënt van de recte door (,5;46,5) en P(;85) In et tijdsinterval [;,5] is de gemiddelde sneleid: f (,5) f () 7,875 85,875 8,75,5,5,5 8,75 is de rictingscoëfficiënt van de recte door (,5;7,875) en P(;85) Om de leesbaareid van de grafiek ten goede te komen, ebben we deze recte niet meer geconstrueerd In et tijdsinterval [;,] is de gemiddelde sneleid: f (,) f () 98, 85,,,,,, de rictingscoëfficiënt van de recte door (,;98,) en P(;85) Ook deze recte ebben we niet meer geconstrueerd Q De gemiddelde sneleid in et tijdsinterval [; + ] (met een willekeurige waarde) f ( + ) f () f ( + ) f () is gelijk aan ( + ) In de noemer staat et tijdsverscil (beginnend op et moment dat men juist uur rijdt) In de teller staat et verscil in afgelegde weg In de vorige berekeningen ebben we actereenvolgens gelijk genomen aan ;,75;,5;,5 en, Deze berekeningen kunnen we ook (en veel sneller!) door de TI8 Plus laten uitvoeren We voeren daartoe de volgende functies in: De functienamen Y, Y,,Y kunnen we bekomen via VARS, Y-VARS, : Functie We kiezen dan de gewenste functienaam en drukken op ENTER De functie Y stelt ier f ( + ) f () voor (met in plaats van ) f ( + ) f () De functie Y stelt voor (met in plaats van ) Oostende

4 Om nu de beeldwaarden van deze functies te kennen voor actereenvolgens gelijk ;,75;,5;,5 en,, zullen we werken met een tabel waarbij we de stapgrootte niet vastzetten Om dat te kunnen bekomen gaan we naar et scerm van de tabelinstelling (via nd TBLSET ) en kiezen we op de lijn Onaf: voor de optie Vraag De tabel die we dan zullen opvragen (via nd TABLE ) zal dan leeg zijn, maar wanneer we een waarde invoeren in de kolom X, zullen de y-waarden automatisc berekend en weergegeven worden In de eerste kolom lezen we et tijdsverscil (vanaf et moment dat men juist uur rijdt) In de tweede kolom staat et verscil in afgelegde weg en in de derde kolom de gemiddelde sneleid We stellen vast: Hoe kleiner we et tijdsinterval nemen, oe beter de gemiddelde sneleid de sneleid benadert die eact na uur rijden bereikt wordt De recten PQ, PQ, PQ, evolueren naar de raaklijn in et punt P Anders gezegd: de ogenblikkelijke sneleid na uur notatie: v() -, is gelijk aan de rictingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek van f in et punt P Berekening van de ogenblikkelijke sneleid Hoe dicter we laten naderen van, oe beter we dus v () benaderen Daarom laten we de TI8 Plus nu de gemiddelde sneleid berekenen voor -waarden die eel dict bij liggen Het verscil in afgelegde weg laten we nu niet meer berekenen; we concentreren ons enkel op de gemiddelde sneleid: De waarden die we in de tweede kolom vinden, benaderen eel goed de ogenblikkelijke sneleid na uur We mogen stellen dat v() km/u Ook voor negatieve -waarden komen we tot dezelfde vaststelling Oostende 4

5 De ogenblikkelijke sneleid na uur kunnen we ook bekomen zonder beroep te moeten doen op de TI8 Plus We weten dat de gemiddelde sneleid in et tijdsinterval [; + ] (met een willekeurige f ( + ) f () f ( + ) f () waarde) gelijk is aan ( + ) f ( + ) f () Aangezien f ( t) 4t + 5t, is de uitdrukking gelijk aan: 4( + ) + 5( + ) 85 4( ) + 5( + + ) ( ) Om v() te bekomen, moeten we dus in de uitdrukking de letter vervangen door Zo bekomen we Wat we reeds vonden met de TI8 Plus, wordt ier bevestigd: v() We zeggen: De ogenblikkelijke sneleid na uur wordt bekomen door de gemiddelde sneleid te berekenen over et tijdsinterval [;+] en te laten naderen van Anders gezegd: de sneleid op et tijdstip is de limiet van de gemiddelde sneleid over et tijdsinterval [;+] voor naderend van f ( + ) f () Notatie: v() lim Dit bekomen resultaat is meteen ook de rictingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek van f in et punt P(;85) Conclusie: Bescrijft de functie f met vergelijking s f(t) de afgelegde weg van een beweging in functie van de tijd t, dan is de sneleid op et ogenblik t gelijk aan: f ( t + ) f ( t ) v( t ) lim Deze waarde kan ook op de grafiek van f teruggevonden worden: v ( t ) is de rictingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek van f in et punt ( t, f ( t )) Oostende 5

6 OPDRACHT Concentreren we ons nogmaals op de functie f ( t) 4t + 5t (autorit van uur) ) Bereken de sneleid na een alf uur rijden op de wijze zoals bescreven in punt (eerst met, daarna zonder de TI8 Plus) ) De grafiek in et punt (,5; f (,5)) verloopt minder steil dan in ( ; f () ) Wat kan je ieruit besluiten over de sneleid na een alf uur en deze na uur rijden? Wordt deze vaststelling bevestigd door je gevonden resultaten in vraag )? OPDRACHT Een steen wordt verticaal omoog geworpen De oogte van de steen wordt vrij nauwkeurig bescreven door de functie f ( t) 5t + t Hierbij stelt t de tijd voor in seconden (gerekend vanaf et begin van de worp) en f ( t) de oogte in meter op et ogenblik t ) Laat de TI8 Plus de grafiek van f construeren Zorg voor gescikte venstervariabelen ) Hoe oog is de steen na seconde? ) Bereken de gemiddelde sneleid in et tijdsinterval [;] 4) Laat de TI8 Plus de gemiddelde sneleid berekenen voor de volgende tijdsintervallen: [;], [;,5], [;,], [;,], [;,], [;,] enerzijds en [;], [,5;], [,8;], [,9;], [,99;], [,999;] anderzijds Kan je uit de gevonden resultaten opmaken waaraan de ogenblikkelijke sneleid op et tijdstip t gelijk is? 5) Bereken nu eens v() zonder beroep te doen op de TI8 Plus 6) Controleer met de TI8 Plus of de gevonden ogenblikkelijke sneleid overeenkomt met de rictingscoëfficiënt van de raaklijn in et punt (, f ( ) ) De raaklijn kan gevonden worden via nd DRAW, TEK, 5: Raaklijn en et invoeren van de waarde 7) Zoek nu eens de rictingscoëfficiënt van de raaklijn in et punt (, f ( ) ), met andere woorden: v ( ) Verklaar waarom v () ier negatief is OPDRACHT Een toren is 8 meter oog Laat je van die toren een steentje vallen, dan weet je dat de sneleid waarmee et steentje naar beneden valt, steeds toeneemt Meet je de afgelegde weg na elke seconde, dan kan je vaststellen dat s 5t² vrij nauwkeurig de afgelegde weg (in meter) bescrijft in functie van de tijd t (in seconden) Beantwoord de volgende vragen door gebruik te maken van de TI8 Plus Doe dit eerst door de gemiddelde sneleid te berekenen in steeds kleiner wordende tijdsintervallen Daarna door de raaklijn te laten construeren en berekenen ) Welke sneleid eeft et steentje als et seconde aan et vallen is? ) Welke sneleid eeft et steentje als et seconden aan et vallen is? ) Met welke sneleid valt et steentje op de grond? Oostende 6

7 De afgeleide van enkele basisfuncties Beginsituatie: De leerlingen kunnen et voorscrift van de afgeleide functie bepalen, maar tot nu toe slects f ( + ) f ( ) enkel door toepassing van de formule: f '( ) lim De afgeleide van de constante functie f() c Voorbeeld: f ( ) We laten de TI8 Plus de grafiek van de afgeleide functie samen met de grafiek van de functie zelf op één scerm construeren De afgeleide functie voeren we in vanuit et Y-scerm via MATH, WSK, 8: numafgeleide Via een tabel kunnen we dan ook de functiewaarden van de afgeleide functie aflezen We stellen vast dat de afgeleide steeds gelijk is aan, met andere woorden: f '( ) Deze vaststelling is ook grafisc gemakkelijk te verklaren: de grafiek van een constante functie is een recte evenwijdig met de -as De raaklijn in elk punt van de grafiek is uiteraard de recte zelf en staat dus orizontaal De raaklijn in elk punt van de grafiek eeft dus rictingscoëfficiënt ; de afgeleide is dus overal gelijk aan Algemeen: Als f ( ) c, dan kunnen we ook zonder rekenmacine gemakkelijk aantonen dat f '( ) : ( + ) f ( ) f c c f '( ) lim lim lim lim Conclusie: D ( c) Oostende 7

8 De afgeleide van de functie f() a Voorbeeld: f ( ) We laten de TI8 Plus weer de grafiek van de afgeleide functie samen met de grafiek van de functie zelf op één scerm construeren en we vragen een tabel van functiewaarden op: We stellen vast dat de afgeleide steeds gelijk is aan -, met andere woorden: f '( ) Deze vaststelling is ook grafisc gemakkelijk te verklaren: de grafiek van de functie f ( ) a is een recte door de oorsprong De raaklijn in elk punt van de grafiek is uiteraard de recte zelf Met andere woorden: de raaklijn in elk punt van de grafiek eeft rictingscoëfficiënt a; de afgeleide is dus overal gelijk aan a Algemeen: Als f ( ) a, dan kunnen we ook zonder rekenmacine gemakkelijk aantonen dat f '( ) a : f '( ) lim lim ( + ) f ( ) f a a lim a( + ) a lim a + a a lim a Conclusie: D ( a) a Oostende 8

9 n De afgeleide van de functie f() (n is een natuurlijk getal groter dan ) Voorbeeld : f ( ) We laten de TI8 Plus weer de grafiek van de afgeleide functie samen met de grafiek van de functie zelf op één scerm construeren en we vragen een tabel van functiewaarden op: We stellen vast dat de afgeleide functie een recte door de oorsprong is En als we de tabel bestuderen, ebben we een sterk vermoeden dat f '( ) We laten de TI8 Plus de raaklijnen aan de grafiek van f opsporen voor de -waarden, en We stellen vast dat de rictingscoëfficiënten gelijk zijn aan de waarden die we in de tabel kunnen aantreffen: Voorbeeld : f ( ) We laten de grafiek van de functie en aar afgeleide op één scerm construeren en we vragen een tabel van functiewaarden op: Het ziet er ier naar uit dat de grafiek van de afgeleide functie een parabool is met (;) als top En aangezien die parabool et punt (;) bevat, vermoeden we sterk dat f '( ) Oostende 9

10 Voorbeeld : f ( ) 4 We laten de grafiek van de functie en aar afgeleide op één scerm construeren en we vragen een tabel van functiewaarden op: Hier is et niet meer eenvoudig om et voorscrift van de afgeleide functie op te stellen! In de vorige twee voorbeelden ebben we ecter vastgesteld dat de graad van de afgeleide functie telkens één lager is dan de graad van de functie zelf Nemen we nu even aan dat dit ier ook et geval is Dan zou de afgeleide functie een derdegraadsfunctie zijn Die veeltermfunctie van de derde graad kunnen we door de TI8 Plus laten berekenen als we minimaal vier koppels via lijsten ingeven Daartoe drukken we op STAT,EDIT, : Bewerken De -waarden voeren we in in de lijst L, de y-waarden in de lijst L We zullen ier bijvoorbeeld alle koppels invoeren die op et tabelscerm voorkomen Via STAT, REKEN, 6: emactsreg en et invoeren van de twee lijstnamen (gesceiden door een komma), bekomen we dan de vergelijking van de derdegraadsfunctie die deze koppels bevat: We stellen vast dat f '( ) 4 OPDRACHT 4 5 ) Probeer op analoge manier et voorscrift te vinden van de afgeleide van f ( ) 4 5 ) Probeer nu uit de afgeleiden van y, y, y en y een algemene formule n te ontdekken voor de afgeleide van y Oostende

11 Scuine asymptoten van rationale functies Beginsituatie: De leerlingen kunnen verticale en orizontale asymptoten van rationale functies opsporen en de ligging van de grafiek tov de asymptoten bespreken Opsporen van een scuine asymptoot mbv et grafisc rekentoestel We bescouwen de rationale functie + f ( ) + We laten de TI8 Plus de grafiek van deze functie construeren: Het is duidelijk dat de recte een verticale asymptoot is We zouden ier ecter et gedrag van de functie willen bestuderen als de -waarden steeds maar groter of steeds maar kleiner worden Op de grafiek zien we ier ecter eel duidelijk dat er geen orizontale asymptoot is Trouwens, de graad van de teller is groter dan de graad van de noemer Dat betekent dat lim f ( ) ; er kan ier dus geen sprake zijn van een orizontale asymptoot! Als we ons eel goed op de grafiek concentreren, dan merken we dat et misscien wel mogelijk is een dalende recte te tekenen waar de grafiek gaat tegen aanleunen, zowel voor kleiner wordende -waarden als voor groter wordende -waarden Anders gezegd: als de - waarden groot zijn in absolute waarde, zou et kunnen dat de grafiek van f ongeveer et gedrag van een recte vertoont! We zullen daarom de venstervariabelen aanpassen zodat we de grafiek kunnen bestuderen voor -waarden die groot zijn in absolute waarde: Oostende

12 Doordat we voldoende grote -waarden (en natuurlijk ook aangepaste y-waarden) ebben genomen, verdwijnt et detailbeeld rond de verticale asymptoot en lijkt de grafiek inderdaad op een recte Via TRACE en et invoeren van (eenvoudige!) -waarden die groot zijn in absolute waarde, proberen we nu een lineair verband te zoeken tussen de - en de y-waarden: Er wordt ier gesuggereerd dat de grafiek meer en meer gaat aanleunen tegen de recte y + 4, als de -waarden steeds groter worden in absolute waarde We komen tot dezelfde conclusie als we een tabel met coördinatenkoppels opvragen: We laten de TI8 Plus nogmaals de grafiek van f tekenen, samen met de recte y + 4 We gebruiken weer de oorspronkelijke venstervariabelen: We zien inderdaad dat zowel voor groter wordende -waarden als voor kleiner wordende -waarden de beeldpunten dicter en dicter bij de recte y + 4 komen te liggen De recte y + 4 is dus een asymptoot En aangezien deze recte niet orizontaal noc verticaal is, spreken we dus van een scuine asymptoot (SA) Oostende

13 Opstellen van de vergelijking van de scuine asymptoot Dank zij de TI8 Plus ebben we een sterk vermoeden dat de recte y + 4 SA is van + f ( ) + Dé vraag blijft natuurlijk nog: oe kunnen we de vergelijking van die SA eact berekenen? Er zijn twee metodes om de vergelijking van de SA op te stellen We zullen de twee metodes aanbrengen aan de and van ons voorbeeld Eerste metode: uitvoeren van de Euclidisce deling Als we de Euclidisce deling van quotiënt van de eerste graad: + door + uitvoeren, dan bekomen we een + + ± ± Met dit quotiënt bepalen we de eerstegraadsfunctie g ( ) + 4 We onderzoeken et verband tussen de gegeven functie f en de nieuwe functie g Volgens de definitie van de Euclidisce deling geldt: + ( + )( + 4) 6 (deeltal deler quotiënt + rest) + De functiewaarde f ( ) kunnen we nu scrijven als volgt: + + ( + )( + 4) 6 (beide leden delen door + ) Het verscil van de functiewaarden van f en g is bijgevolg: 6 6 f ( ) g( ) + 4 ( + 4) + + Als we nu laten naderen tot of tot +, dan geldt: 6 6 lim ( f ( ) g( ) ) lim + Oostende

14 We stellen dus vast dat et verscil tussen de functiewaarden van de gegeven functie f en de eerstegraadsfunctie g nadert tot nul als de -waarden groter worden in absolute waarde Deze vaststelling wordt bevestigd door de TI8 Plus: Grafisc betekent dit dat zowel voor groter wordende -waarden als voor kleiner wordende -waarden, de grafiek van f dicter gaat aanleunen tegen de recte y + 4 Deze recte is dus de SA Merk op: Uit vorige werkwijze blijkt ook dat een rationale functie alleen een SA zal ebben als de graad van de teller één groter is dan de graad van de noemer! De grafiek van een rationale functie eeft geen scuine asymptoot als de graad van de teller niet juist één groter is dan de graad van de noemer We weten immers dat onder die voorwaarde et quotiënt van de teller door de noemer niet van de eerste graad is Algemeen: t( ) Als bij een rationale functie f ( ) de graad van t() één groter is dan de graad van n( ) n () en a + b et quotiënt is van de Euclidisce deling van t () door n(), dan noemen we de recte met vergelijking y a + b de scuine asymptoot van de grafiek van f Tweede metode: algemeen Het uitvoeren van de Euclidisce deling is een metode die alleen gescikt is om de SA van een rationale functie op te sporen Deze metode is niet algemeen Een metode die wel van toepassing is voor om et even welke soort functie, bestaat in et berekenen van twee limieten We aanvaarden deze metode zonder bewijs: Als de SA van de functie f bestaat, is ze een recte met vergelijking y a + b Hierin zijn de coëfficiënten a en b gelijk aan: f ( ) a lim b lim f ( ) a en ( ) Oostende 4

15 We passen deze metode toe op de functie + f ( ) : + a lim f ( ) lim lim ( ) + + lim + ( + ) lim + + lim lim lim lim ( + ) b lim ( f ( ) a) lim ( ) lim lim Conclusie: a - en b 4; de vergelijking van de SA is dus y + 4 Merk op: We stellen vast dat et berekenen van de SA van een rationale functie vlotter verloopt via de Euclidisce deling (dit is trouwens ook een metode die specifiek is voor rationale functies!) De gevonden limieten kunnen we ecter ook (bij benadering) door de TI8 Plus laten berekenen: We mogen dus a gelijkstellen aan En b is dus blijkbaar gelijk aan 4 Oostende 5

16 Ligging van de grafiek tov de scuine asymptoot De ligging van de grafiek tov de SA is eel goed te bepalen vanuit et grafiekvenster: We stellen vast: Als zeer klein wordt, dan zullen de y-waarden van de functie eel dict bij de y-waarden van de SA komen, maar toc nog iets groter blijven Het aanleunend deel van de grafiek zal dan dus boven de SA liggen Als zeer groot wordt, dan zullen de y-waarden van de functie ook eel dict bij de y-waarden van de SA komen, maar nu iets kleiner blijven Het aanleunend deel van de grafiek zal dan dus onder de SA liggen Deze vaststelling wordt bevestigd door enkele tabellen met functiewaarden te bescouwen: Om de ligging van de grafiek tov de SA na te gaan zonder beroep te doen op et grafisc rekentoestel, volstaat et de functiewaarden van f en van de SA met elkaar te vergelijken voor een voldoende grote en een voldoende kleine -waarde: f ( ) 4,6666 SA: ( ) Aangezien 4, 6666 > 4, zal voor et aanleunend deel van de grafiek van f boven de SA liggen f ( ) 96, SA: Aangezien 96, < 96, zal voor f onder de SA liggen + et aanleunend deel van de grafiek van Oostende 6

17 OPDRACHT Gegeven de functie f ( ) + ) Probeer de SA op te sporen door gebruik te maken van de TI8 Plus ) Bereken de eacte vergelijking van de SA door et uitvoeren van de Euclidisce deling ) Spoor nu eens de SA op door gebruik te maken van de algemene metode Maak ierbij gebruik van de TI8 Plus 4) Onderzoek de ligging van de grafiek tov de asymptoot (eerst zonder, daarna, ter controle, met de TI8 Plus) OPDRACHT 6 ( + ) Gegeven de functie f ( ) ( + ) ) Probeer de SA op te sporen door gebruik te maken van de TI8 Plus Tip: als et zoeken van een lineair verband tussen de - en y-waarden te moeilijk is, werk dan met lineaire regressie! ) Bereken de eacte vergelijking van de SA door et uitvoeren van de Euclidisce deling ) Spoor nu eens de SA op door gebruik te maken van de algemene metode Maak ierbij gebruik van de TI8 Plus 4) Onderzoek de ligging van de grafiek tov de asymptoot (eerst zonder, daarna, ter controle, met de TI8 Plus) Oostende 7

18 4 Toepassingen op eponentiële functies Beginsituatie: De leerlingen kennen et verscil tussen lineaire en eponentiële groei (of afname) Ze kunnen vlot de groeifactor bepalen en et eponentieel verband opstellen tussen twee grooteden Het eponentbegrip werd uitgebreid en de grafieken van eponentiële functies van de vorm f ( ) p a werden besproken (invloed van et grondtal en de coëfficiënt) De tijd is dus rijp om enkele lessen te voorzien waarin de leerlingen allerande toepassingen op eponentiële functies kunnen maken (soms in de vorm van groepswerk) We geven enkele voorbeelden 4 Eponentiële groei tegenover lineaire groei De bevolking van een bepaalde stad groeit elk jaar met 8 % In et jaar waren er 8 inwoners Het stadsbestuur voorziet een jaarlijkse toename van de woongelegeneid voor 4 mensen In was er woongelegeneid voor mensen Zal die stad op een bepaald moment te kampen ebben met woningnood? Zo ja, in de loop van welk jaar? Oplossing De woongelegeneid neemt elk jaar toe met een vast aantal, namelijk met 4 Er is ier dus sprake van een lineaire groei De woongelegeneid na jaar is dus gelijk aan: w( ) + 4 (et jaar komt overeen met ) Het inwonersaantal daarentegen groeit eponentieel aan met een groeifactor gelijk aan + 8 % +,8,8 Het inwonersaantal na jaar is dus gelijk aan: i( ) 8, 8 We vergelijken de woongelegeneid en et inwonersaantal voor de komende jaren door middel van een tabel: We stellen vast dat et inwonersaantal de woongelegeneid overscreden eeft als 6 Er treedt dus woningnood op in de loop van et jaar 6 Oostende 8

19 We konden dit probleem ook oplossen door de grafieken van beide functies te laten construeren en et snijpunt te zoeken Het snijpunt kan gevonden worden via nd CALC, 5: snijden We vinden een snijpunt voor 5,7958 Er is dus woningnood in de loop van et jaar 6, meer bepaald vanaf september (,7958 9,48456 ) Merk op: We zien dus dat de eponentiële groei uiteindelijk de bovenand aalt op de lineaire groei Dit kunnen we met de TI8 Plus zeer goed demonstreren: we kunnen er namelijk voor zorgen dat ons grafisc rekentoestel de twee grafieken gelijktijdig plot! Via MODE kunnen we de TI8 Plus op die manier instellen Dan gaan we naar de zesde lijn Als de macine in de standaardinstelling staat, dan staat NaElkaar gemarkeerd (bij et plotten van geselecteerde functies is de TI8 Plus immers standaard zodanig ingesteld dat ij eerst de eerste functie volledig berekent en in een grafiek weergeeft vooraleer ij de volgende functie berekent en in grafiek weergeeft) We gaan nu met de cursor naar Tglijk en duwen op ENTER: Als grafieken gelijktijdig op et scerm geplot worden, is et interessant ze te laten opbouwen door een cirkelvormige cursor Daarvoor moeten we et pictogram - kiezen We moeten daarvoor de cursor links van de lijnen Y en Y plaatsen en blijven op ENTER duwen totdat we et juiste symbool verkrijgen We verkrijgen op die manier een gelijktijdige en geanimeerde opbouw van de twee grafieken: Oostende 9

20 OPDRACHT 7 In een riviervlakte wordt grint gebaggerd Zo ontstaat een meer Bij et begin van de werken is er 8 m² water Door de baggerwerken wordt et meer elke week 55 m² groter Na et baggeren wil men et meer zo vlug mogelijk voor waterrecreatie gebruiken Daarom wordt de kwaliteit van et water regelmatig gecontroleerd Bij et begin van de werken vindt men 5 m² van een bepaalde algensoort in et meer Tijdens de volgende weken blijkt deze oppervlakte per week te verdubbelen Iemand merkt op dat ier iets aan gedaan moet worden Het meer zal anders vlug volledig bedekt zijn met algen Maar de beambte van et ministerie van volksgezondeid ziet voorlopig geen gevaar: Het meer wordt toc elke week 55 m² groter Wat denk jij iervan? 4 Radioactieve uitstraling 6 Levend organisc materiaal bevat steeds mg per kg van de radioactieve koolstofisotoop 4 6 C Na et afsterven daalt de concentratie van dit radioactieve element door radioactieve uitstraling met slects, % per jaar zodat na vele duizenden jaren nog meetbare oeveeleden overblijven Aan de and van de gemeten concentratie, kan men dan de ouderdom van et materiaal bepalen Deze metode om de ouderdom van bijvoorbeeld boom- en plantenresten te bepalen, staat bekend als de C-4 metode ) Hoe evolueert de concentratie van et koolstofisotoop in de eerste jaar na et afsterven? ) Bereken de concentratie van et koolstofisotoop 45 jaar na et afsterven? 6 ) Het out van een sceepswrak bevat,8 mg 4 C per kg Hoe oud is dat wrak? Oplossing Het bescreven fenomeen is duidelijk een geval van eponentiële afname De groeifactor is gelijk aan, %,, De eponentiële functie die dit proces bescrijft, eeft dus als voorscrift: 6 6 f ( ), Hierbij stelt et aantal jaren voor sinds et afsterven De concentratie van et koolstofisotoop na jaren, uitgedrukt in mg per kg, wordt voorgesteld door f() Oostende

21 ) Evolutie van de concentratie van et koolstofisotoop in de eerste jaar na et afsterven We slaan de functie f op in de TI8 Plus en vragen de tabellen op met de functiewaarden voor -waarden van tot in stappen van Zo zullen we duidelijk kunnen zien wat er met de concentratie van et koolstofisotoop gebeurt om de jaar: We stellen vast dat de daling van de concentratie van et koolstofisotoop bijzonder traag verloopt Na jaar blijft er nog altijd een meetbare oeveeleid over De evolutie van de concentratie zal ook eel goed te zien zijn op de grafiek van deze functie Vooraleer de grafiek te laten plotten, moeten we uiteraard zorgen voor aangepaste venstervariabelen We zullen de -waarden laten lopen van tot met om de een markering De y-waarden komen niet oger dan 6, We zullen op de y-as markeringen laten plaatsen bij de veelvouden van, Ymin zullen we niet laten starten bij, maar bij, Als we straks de TRACE-functie zullen gebruiken, zullen de gevonden getallen dan netjes onder de grafiek blijven staan en de leesbaareid bijgevolg niet scaden: We stellen dus vast dat de grafiek langzaam maar zeker gaat aanleunen bij et positieve deel van de -as (wat normaal is voor een eponentiële functie met grondtal tussen en ) Oostende

22 ) De concentratie van et koolstofisotoop 45 jaar na et afsterven De gevraagde concentratie is te vinden door in et functievoorscrift van f de -waarde te vervangen door 45: f (45), , Deze concentratie kunnen we natuurlijk ook op de grafiek aflezen via TRACE, et intikken van 45 en de ENTER-toets: We stellen dus vast dat de concentratie van et koolstofisotoop na 45 jaar nog 7 6 5,95,595 mg per kg bevat Dat betekent dat er na 45 jaar nog 59,5 % van de oorspronkelijke oeveeleid overgebleven is! 6 ) Het out van een sceepswrak bevat,8 mg 4 per kg Hoe oud is dat wrak? 6 We moeten ier dus op zoek gaan naar de -waarde die als functiewaarde,8 eeft Via TRACE en de pijltjestoetsen, stellen we vast dat die -waarde moet liggen tussen 94,896 en 595,7447: 6 C Dat sceepswrak is dus tussen 596 en 95 jaar oud We kunnen ecter ons antwoord preciezer maken door et snijpunt te zoeken van de functie f 6 met de orizontale recte y,8 : Dat sceepswrak is dus 75 jaar oud! Oostende

23 OPDRACHT 8 Radioactief afval van bijvoorbeeld kerncentrales en ziekenuizen, blijft nog vele jaren gevaarlijk Bij radioactiviteit veranderen de atoomkernen waarbij de straling of energie vrijkomt en bijgevolg vermindert et aantal radioactieve atoomkernen Van bijvoorbeeld et radioactieve element radium vermindert et oorspronkelijke aantal radioactieve kernen met,46 % per jaar ) Welk percentage van de oorspronkelijke oeveeleid blijft er nog over na jaar? ) Na oeveel jaar is de oorspronkelijke oeveeleid gealveerd? ) Men veronderstelt dat na alveringstijden et radioactief materiaal niet meer gevaarlijk is Hoelang zal dit duren voor radium? 4 Het scaakspel Het scaakspel is volgens een legende uitgevonden in India Een sja, de ontwerper van et scaak -spel, moct van de koning een wens doen die zou ingevolgd worden Hij wenste op et eerste veld van zijn scaakbord graankorrel, op et tweede veld graankorrels, op et derde veld 4 graankorrels en op elk van de volgende velden telkens et dubbele aantal graankorrels van et voorgaande veld De koning dact dat et een redelijke wens was en zond snel een onderdaan weg om een zak graan te alen Maar et totaal aantal graankorrels zou zo groot zijn dat we eel België onder een 5 meter dikke laag graan kunnen bedekken!! Illustreer deze eponentiële groei met beulp van de TI8 Plus Maak ierbij gebruik van lijsten waarop we et aantal graankorrels per veld en et totaal aantal graankorrels kunnen aflezen Oplossing LIJST : DE VELDNUMMERS We nemen de veldnummers op in L L is dus niets anders dan {,,, 64} Deze lijst voeren we et best in door gebruik te maken van een getallenrij Dit kunnen we bijvoorbeeld doen via STAT, EDIT, : Bewerken Dan gaan we met de cursor op de lijstnaam L staan en drukken we op ENTER Vervolgens drukken we op nd LIST, BWRK, 5: rij( Om alle natuurlijke getallen van tot en met 64 te bekomen, voeren we X, X,, 64) in en drukken we tenslotte op ENTER : Oostende

24 LIJST : HET AANTAL GRAANKORRELS OP EEN VELD Veldnummer Aantal korrels We bouwen L op analoge manier op als L, maar nu zullen we dus moeten werken met rij(^(x-), X,, 64) Zo bekomen we: Om een idee te ebben van et aantal korrels per veld, kunnen we met beulp van de pijltjestoetsen de cursor door de lijsten laten bewegen (als we een druk op een pijltjestoets laten voorafgaan door ALPHA, dan verspringt de cursor 6 plaatsen omoog of omlaag!) GRAFISCHE VOORSTELLING VAN HET AANTAL GRAANKORRELS PER VELD: Oostende 4

25 Vinden we dat de assen storend werken, dan kunnen we ze weglaten via nd FORMAT, AsUit : We krijgen uiteraard ook een idee van et aantal graankorrels per veld via TRACE : OPDRACHT 9 ) Hoe groot is et totale aantal graankorrels? Om ierop te kunnen antwoorden maak je et best gebruik van een lijst die de cumulatieve som van et aantal graankorrels per veld weergeeft ) Ik eb een cilindervormig busje De diameter van et grondvlak is,5 cm en de oogte is 5, cm Ik eb et busje gevuld met graankorreltjes Er passen precies 8 korreltjes in Als je weet dat België een oppervlakte eeft van 5 km², is et dan realistisc te stellen dat et totaal aantal korrels zo groot is dat we eel België onder een 5 meter dikke laag kunnen bedekken? Oostende 5

26 5 Oneigenlijke integralen Beginsituatie: De leerlingen kennen et verband tussen georiënteerde oppervlakte en bepaalde integraal Ze kunnen basisintegralen oplossen en kunnen ook integreren met de substitutiemetode 5 Oneigenlijke integralen van de eerste soort Oneigenlijk integralen van de eerste soort zijn bepaalde integralen waarbij minstens één grens oneindig is 5 Eerste voorbeeld: + We proberen de volgende integraal te berekenen: Met et grafisc rekentoestel: d Om bepaalde integralen te laten berekenen vanuit et basisscerm werken we via MATH, WSK, 9: numintegraal( Dan wordt et functievoorscrift ingegeven (etzij rectstreeks, etzij met een functievariabele), de variabele X, de ondergrens en de bovengrens + De integraal aangezien + d zullen we met ons grafisc rekentoestel niet correct kunnen berekenen, niet kan ingegeven worden We kunnen die integraal wel benaderen door steeds grotere bovengrenzen te nemen: Merk op: We werken ier et best via nd ENTRY Zo oeven we telkens alleen maar de bovengrens aan te passen Oostende 6

27 We merken dat de bepaalde integraal steeds dicter komt van Deze evolutie kunnen we ook nagaan door de bepaalde integraal in te geven als een functie waarbij de ondergrens vastgelegd wordt op en de bovengrens veranderlijk wordt gelaten Als we dan in et TABLE SETUP scerm voor de onafankelijke variabele de optie VRAAG kiezen, verkrijgen we een lege tabel en kunnen we de -waarden één voor één invoeren: Willen we die integraal benaderen vertrekkende vanuit de grafiek, dan werken we via nd CALC, 7: f ( ) d We moeten we er wel voor zorgen dat de gekozen integratiegrenzen niet buiten de venstervariabelen terectkomen! Merk op: Het gearceerd oppervlak is een tekening Indien we willen, kunnen we et dus wissen via nd DRAW, TEK, : WisTek Zonder grafisc rekentoestel: d + d + + betekent niets anders dan: lim + + Dat wil dus zeggen dat we delen door een getal dat steeds maar groter wordt De uitkomst zal dus steeds dicter bij komen te liggen Met andere woorden: + Oostende 7

28 5 Tweede voorbeeld: We concentreren ons nu op de integraal: d Met et grafisc rekentoestel: In tegenstelling met et vorig voorbeeld, stellen we ier vast dat de integraal steeds maar kleiner wordt (eel traag!), als we de ondergrens steeds kleiner nemen: Het wordt ier moeilijk om met beulp van de TI8 Plus na te gaan of deze tendens wordt verder gezet; de berekeningen duren immers zeer lang en als de -waarde té klein genomen wordt, zet de macine de berekeningen stop Op de tabel zien we ecter wel dat integraalwaarden niet direct de neiging ebben om naar een bepaald getal te streven We ebben een vaag vermoeden dat de gevraagde integraal misscien wel eens zou kunnen gelijk zijn aan Om ieromtrent zekereid te bekomen, zullen we de integraal manueel uitrekenen: Zonder grafisc rekentoestel: [ ln ] ln ln( + ) ( + d ) ln(+ ) betekent: lim ln Aangezien + y ln een stijgende functie is, zal bij steeds groter wordende -waarden ln ook steeds groter worden Met andere woorden: ln( + ) + Merk op: Zowel de grafiek van y als van y eeft de -as als orizontale asymptoot En toc is de gevraagde oppervlakte in et eerste voorbeeld eindig en in et tweede voorbeeld oneindig! Oostende 8

29 OPDRACHT Maak een scatting van de volgende integralen met beulp van de TI8 Plus Bereken daarna de integralen zonder beroep te doen op et rekentoestel ) ) ) + ( ) d e + + d d 5 Oneigenlijke integralen van de tweede soort Oneigenlijk integralen van de tweede soort zijn bepaalde integralen waarbij een integratiegrens samenvalt met een verticale asymptoot of waarbij er zic een verticale asymptoot tussen de integratiegrenzen bevindt We berekenen de volgende integraal: 6 ( ) d Stel t, dan is dt d ( ) d en bijgevolg is d dt Als, dan is t en als, dan is t 5 Zo bekomen we: 6 ( ) 5 d 6 dt 5 t t t dt 5 t 5,4 5 5 We controleren ons antwoord met beulp van de TI8 Plus: We stellen ecter vast dat de TI8 Plus blijft rekenen en niet tot een antwoord komt! Oostende 9

30 Als we de grafiek laten construeren, dan zien we wat er aan de and is! De georiënteerde oppervlakte tussen de -waarden en, vertoont een onderbreking Tussen de onder- en de bovengrens bevindt er zic een verticale asymptoot, namelijk: (de VA kunnen we laten construeren vanuit et basisscerm via nd DRAW, TEK, 4: Verticaal gevolgd door et ingeven van de bewuste -waarde en ENTER) Om de georiënteerde oppervlakte te berekenen tussen de grenzen en, zijn we verplict deze georiënteerde oppervlakte op te splitsen in twee delen: van tot enerzijds, en van tot anderzijds: 6 ( ) d t dt t ( + ) ( + ) + Als, dan is t uiteraard gelijk aan betekent: lim Aangezien we integreren van naar, bevinden we ons aan de t t kant die kleiner is dan ; er moet dus met een linkerlimiet gewerkt worden 6 ( ) d 5 t dt t 5 ( ) ( + ) + + betekent: lim + Aangezien we integreren van naar 5, bevinden we ons aan de t t kant die groter is dan ; er moet dus met een recterlimiet gewerkt worden Conclusie: de gevraagde georiënteerde oppervlakte is gelijk aan: + + ( + ) + Oostende

31 We controleren dat antwoord even met ons grafisc rekentoestel: Het is duidelijk dat 6 ( ) d + En ook ier is et duidelijk dat 6 ( ) d + Opgepast: Bij et benaderen van Bij et benaderen van Verklaar! 6 ( ) ( ) 6 d d moeten de ingegeven -waarden kleiner zijn dan moeten ze groter zijn dan OPDRACHT Maak een scatting van de volgende integralen met beulp van de TI8 Plus Bereken daarna de integralen zonder beroep te doen op et rekentoestel ) ) d π 4 π 4 sin cos d Oostende

32 Oplossingen van de opdracten OPDRACHT ) Met de TI8 Plus: We stellen vast dat v(,5) 95 (uitgedrukt in km/u) Zonder TI8 Plus: Aangezien f ( t) 4t + 5t, is de uitdrukking f (,5 + ) f (,5) gelijk aan: 4(,5 + ) + 5(,5 + ) 6, 5 4(,5 +,75 +,5 + ) + 5(,5 + + ) 6, , , ( ) f (,5 + ) f (,5) Bijgevolg: v(,5) 95 lim ) Aangezien de grafiek in et punt (,5; f (,5)) minder steil verloopt dan in (; f ()), zal v(,5) < v() En inderdaad: 95 < OPDRACHT ) Om gescikte venstervariabelen te vinden, kunnen we eventueel eerst een tabel van koppels opvragen Oostende

33 ) f () 5; na seconde is de steen dus 5 meter oog Dit resultaat wordt bevestigd door de TI8 Plus via TRACE : ) f () f () 5 5 ; de gemiddelde sneleid in et tijdsinterval [,] is dus 5 m/sec 4) We ebben een eel sterk vermoeden dat de ogenblikkelijke sneleid na seconde gelijk is aan m/sec 5) f ( + ) f () 5 ( + ) + ( + ) 5 5 ( + + ) + ( + ) ( 5) 5 En als we nu vervangen door, dan bekomen we inderdaad 6) De rictingscoëfficiënt van de raaklijn is, met andere woorden: de sneleid na seconde is m/sec 7) De rictingscoëfficiënt van de raaklijn is -, met andere woorden: de sneleid na seconden is -m/sec Dat betekent dat die steen met een sneleid van m/sec naar beneden valt! Oostende

34 Via steeds kleiner wordende tijdintervallen: We zien snel in dat 5 t 8 als t 4 OPDRACHT Antwoorden: ) m/sec: ) m/sec; ) 4m/sec Via de raaklijn: rictingscoëfficiënt 4 ) OPDRACHT 4 4 a is 5; b, d en e zijn en c is nagenoeg ; we kunnen dus stellen dat f '( ) 5 n n ) ( ) D n Oostende 4

35 OPDRACHT 5 ) We ebben een sterk vermoeden dat de SA als vergelijking y eeft Een tabel met coördinaten koppels brengt ons uiteraard tot dezelfde conclusie: ) ± ± De vergelijking van de SA is dus inderdaad y ) a en b ; de SA eeft dus als vergelijking: y 4) f ( ),76 SA: ( ) Als zeer klein wordt in absolute waarde, ligt et aanleunend deel van de grafiek van f onder de SA f ( ), SA: Als zeer groot wordt in absolute waarde, ligt et aanleunend deel van de grafiek van f boven de SA Oostende 5

36 Controle met de TI8 Plus: OPDRACHT 6 ) We konden ier uiteraard ook weer - en y- waarden via tabellen bekomen ebben Hoe dan ook, et is ier niet zo evident om een lineair verband te vinden tussen de - en y-waarden Daarom slaan we de - en y- waarden op in lijsten en zoeken we et lineair verband via STAT, REKEN, 4: LinReg(a+b) : De vergelijking van de SA zal dus oogstwaarscijnlijk gelijk zijn aan: 4 y + ) ( + ) ( + ) ( + + ) De vergelijking van de SA is dus inderdaad 4 y + Oostende 6

37 ) a en b 4 ; de SA eeft dus als vergelijking: 4 y + 4) f ( ),67 SA: 4 ( ) + Als zeer klein wordt in absolute waarde, ligt et aanleunend deel van de grafiek van f onder de SA f ( ) 4,6766 SA: 4 + 4, Als zeer groot wordt in absolute waarde, ligt et aanleunend deel van de grafiek van f boven de SA Controle met de TI8 Plus: OPDRACHT 7 De grootte van et meer (uitgedrukt in m²) na weken baggeren: f ( ) Algenoppervlakte na weken: f ( ) 5 Door middel van een tabel vergelijken we, week na week, de oppervlakte van et meer met de oppervlakte van de algen We stellen vast dat in de loop van de tiende week na et begin van de werken, et meer volledig bedekt zal zijn met algen Als we et snijpunt van beide grafieken opsporen, wordt deze vaststelling bevestigd Oostende 7

38 OPDRACHT 8 De groeifactor per jaar is ier gelijk aan:,46 %,46,99854 Stellen we et oorspronkelijk aantal radioactieve kernen gelijk aan n, dan wordt de oeveeleid radioactieve kernen na jaar voorgesteld door: f ( ) n, ) f () n,99854 n, Na jaar blijft er dus ongeveer, % van de oorspronkelijke oeveeleid over ) We moeten zoeken zodat n,99854,5 n,99854,5 De oorspronkelijke oeveeleid is gealveerd na iets meer dan 474 jaar ) keer 474, ,68 Het radioactief materiaal is niet meer gevaarlijk na ongeveer 4774 jaar OPDRACHT 9 ) LIJST : DE CUMULATIEVE SOM VAN HET AANTAL GRAANKORRELS PER VELD We werken weer via STAT, EDIT, : Bewerken We zetten de cursor op L en drukken op ENTER en nd LIST, BWRK, 6: cummsom( Daarna drukken we op nd L en tenslotte op ENTER : 9 We stellen vast dat et totaal aantal korrels gelijk is aan, Dit resultaat konden we ook in et basisscerm bekomen via L(64) GRAFISCHE VOORSTELLING VAN HET CUMULATIEF AANTAL GRAANKORRELS PER VELD: We laten ier weer de assen weg En via TRACE kunnen we uiteraard voor om et even welk veld et cumulatief aantal korrels kennen: Oostende 8

39 ) Om et aantal graankorrels per km² te kennen, moeten we L(64) delen door 5 Dit aantal moeten we dan delen door miljard om et aantal graankorrels per cm² te kennen: Dat betekent dus dat er op een oppervlakte van cm² een laag bestaande uit 6455 graankorrels moet gestapeld worden! De inoud van et busje is ongeveer 9,89 cm³ Indien et grondvlak cm² was geweest, zouden 8 korrels dus een oogte ebben van 9,89 cm Dan zouden 6455 korrels een oogte innemen van 477 cm, dus ongeveer 47 meter! OPDRACHT ) Met de TI8 Plus: Het is overduidelijk dat de gevraagde integraal gelijk is aan + De grafiek is immers een parabool; de oppervlakte tussen die parabool, de -as en rects van de verticale door is inderdaad oneindig groot Zonder TI8 Plus: t dt d( ) d d t 5 + t t ( + ) + 5 ( ) d t dt dt ) Met de TI8 Plus: De gevraagde integraal is zonder twijfel gelijk aan,5 Zelfs met ondergrens ligt et resultaat al eel dict bij,5 (zie grafiek) Zonder TI8 Plus: t dt d() d d dt t t t t e d e dt e e e [ ] ( ) ( ) Oostende 9

40 Merk op: door redenering op de grafiek van y e, vinden we: e lim e ) Met de TI8 Plus: We ebben de indruk dat de integraal gelijk is aan π Op de grafiek ebben we de integraal gezoct tussen de grenzen en Zonder TI8 Plus: + + π π d Bg tan Bg tan ( + ) Bg tan ( ) + [ ] π Merk op: door redenering op de goniometrisce cirkel of op de grafiek van y Bg tan, vinden we: π π Bg tan ( + ) lim Bg tan Bg tan ( ) lim Bg tan + Er zijn immers twee orizontale asymptoten: π y en π y OPDRACHT ) Met de TI8 Plus: De recte is verticale asymptoot Door de bovengrens te laten naderen van, stellen we vast dat de integraal steeds kleiner wordt We vermoeden dat de gevraagde integraal zal zijn, maar we zijn et niet elemaal zeker Oostende 4

41 Zonder TI8 Plus: t dt d( ) d t t d dt [ ln t ] ln ln, t Merk op: door redenering op de grafiek van y ln, vinden we: ln lim ln + ) Met de TI8 Plus: Tussen de integratiegrenzen vertoont de grafiek een onderbreking voor Door beroep te doen op de TI8 Plus kunnen we ier zonder enige twijfel stellen dat: π 4 d + sin cos De gevraagde integraal zal dus gelijk zijn aan π 4 d + sin cos + Zonder TI8 Plus: π 4 4 d d + π sin cos π sin cos sin 4 sin cos sin π 4 4 sin + cos + sin cos cos sin π cos d d + cot d cos π cos sin 4 [ tan ] π 4 π π tan cot tan cot ( ) ( ( ) ) Merk op: aangezien we ons ier aan de linkerkant van bevinden, moet cot geïnterpreteerd worden als: lim cot Deze limiet is te vinden door redenering op de goniometrisce cirkel of door de grafiek van y cot te bescouwen π 4 sin cos d :analoog Oostende 4