INTRODUCTIECURSUS BASIS- WETENSCHAPPEN

Transcriptie

1 FACULTEIT INDUSTRIËLE INGENIEURSWETENSCHAPPEN CAMPUS GROEP T LEUVEN INTRODUCTIECURSUS BASIS- WETENSCHAPPEN WISKUNDE & CHEMIE

2

3 Inhoud Algebra 1. Reële getallen 1.1 Machten van een reëel getal met gehele exponent 1. Een n-de machtswortel uit een reëel getal Machten met rationale exponent Eigenschappen van de worteltrekking Het wortelvrij maken van de noemer Logaritmen van een reëel getal Oefeningen 7. Veeltermen met reële coëfficiënten in 1 onbepaalde x 9.1 Definitie 9. Nulpunt 9.3 Merkwaardige producten 9.4 Deling 10.5 Oefeningen Vergelijkingen en ongelijkheden Vergelijkingen in IR Ongelijkheden in IR Oefeningen 3 4. Absolute waarde van een reëel getal Definitie 5 4. Eigenschap Bewerkingen Toepassing: verloop van een functie gedefinieerd met modulus-tekens Oefeningen 8 5. Matrices en determinanten Matrices 9 5. Determinanten Oefeningen Stelsels Stelsels van n vergelijkingen en n onbekenden Stelsels lineaire ongelijkheden met 1 onbekende Oefeningen 43

4 Analytische meetkunde 1. Vectoren en rechten 1.1 Vectoren 1. Rechten Evenwijdige rechten Het Euclidisch vectorvlak Hoeken Loodrechte stand van rechten Afstand van een punt tot een rechte Oefeningen 11. Kegelsneden 16.1 Inleiding 16. De cirkel 16.3 De parabool 17.4 Oefeningen 19 Analyse 1. Relaties, functies, afbeeldingen, bijecties. Uitgebreide verzameling der reële getallen: I R 3. Continuïteit van een functie in IR Voorbeelden 4 3. ε δ - definitie 5 4. Limiet van een functie in IR Voorbeelden 5 4. ε δ - definitie Algemene stellingen Onbepaaldheden Opgaven Afgeleiden Afgeleide van een functie in een punt ( x 0, y 0 ) Linker- en rechterafgeleide Verticale raaklijn Regels voor de berekening van de afgeleide functies Opgaven 17

5 6. Onbepaalde integraal Primitieve functies 0 6. Onbepaalde integraal Eigenschappen Fundamentele integralen Substitutiemethode Opgaven 6.7 Partiële integratie Opgaven 5 7. Bepaalde integraal Grondstelling 6 7. Integratiemethoden Opgaven 8 Goniometrie 1. Hoeken 1.1 De goniometrische cirkel 1. Georiënteerde hoeken 1.3 Omzetting radialen naar graden en omgekeerd 3. De goniometrische getallen 4.1 Definities 4. Enkele bijzondere hoeken en hun goniometrische getallen 5.3 Tekenverloop van de goniometrische getallen 5.4 Hoofdformule en afgeleide formules 6.5 Voorbeelden 6.6 Goniometrische getallen van aanverwante hoeken 7.7 Oefeningen 9 3. De goniometrische functies Periodieke functies Even en oneven functies Sinusfunctie Cosinusfunctie Tangensfunctie Cotangensfunctie 1

6 3.7 De secansfunctie De cosecansfunctie Oefeningen Rechthoekige driehoeken Formules Oefeningen Willekeurige driehoeken De sinusregel De cosinusregel Oplossen van een willekeurige driehoek Oefeningen 0 6. Aanvullingen 6.1 Speciale lijnen in een driehoek 6. Gelijkbenige driehoeken 6.3 Gelijkzijdige driehoeken Buitenhoeken 4 7. Goniometrisch rekenen Som- en verschilformules 5 7. Verdubbelingsformules Halveringsformules Goniometrische getallen in functie van tan α/ Omzettingen van som/verschil naar product en omgekeerd Oefeningen 8 Chemie 1. Inleiding 1. Praktische informatie. Chemie en chemische technologie 3. Materia. Het atoom 4 1. Atomen en materie 4. De bouw van het atoom 4

7 3. Isotopen 5 4. Voorstelling van een atoom 6 5. Atoommassa 7 6. Het begrip mol 8 7. Molaire massa 9 8. De periodieke tabel De elektronenstructuur van atomen Ionen Oefeningen 1 3. De molecule Inleiding 14. De chemische binding De molecuulformule Moleculen en ionen Molecuulmassa Molaire massa van een molecule De oxidatietoestand van een atoom in een molecule Oefeningen Soorten verbindingen en naamgeving 1 1. Classificatie van chemische verbindingen 1. Soorten chemische verbindingen 1 3. Oefeningen 8 5. Het gedrag van verbindingen 9 1. Inleiding 9. Water 9 3. Oplosbaarheid 9 4. Elektrolytgedrag Chemische reacties 3 1. Definitie 3. Wet van behoud van materie 3 3. De reactievergelijking 3 4. Soorten chemische reacties Oefeningen 38

8

9 Algebra Dr. Caroline Danneels

10

11 1 Reële getallen 1.1 Machten van een reëel getal met gehele exponent a IR en n IN : a = a.a...a (n factoren) a IR : a = n n 1 n ( ) ( ) 1 n 1 a IR 0 en n IN : a = a = a = n a Eigenschappen:a, b IR en m, n Z m n m n a a = a + a a m n = a m n ( ) n n n ab = a b a b n m ( a ) n a = b = n n m n a Voorbeeld: ( ) ( ) a a ab a ab 5 = b b a 5 Tekenregel: als n even is, dan is ( ) n n a = a als n oneven is, dan is ( ) n n a = a Algebra

12 1. Een n-de machtswortel uit een reëel getal ( ) Een n-de n IN 0 machtswortel uit een reëel getal a is elk reëel getal x waarvan de n-de macht gelijk is aan het gegeven getal. of x, a IR, n IN : x is de n-de machtswortel uit a x = a 0 n Is n oneven en a IR dan heeft a in IR één n-de machtswortel, genoteerd als: n a Voorbeelden: = want 3 =8 8 = want ( ) 3 = 8 Is n even en : a IR 0 + dan heeft a in IR twee n-de machtswortels die elkaars tegengestelde zijn en genoteerd worden als a en a n n. We maken hier de afspraak dat 4 voorstelt; zo is 16 = > 0. n a een positief geheel getal Voorbeeld: 4 heeft vierkantswortels 4 = en 4 = a = 0 dan heeft a in IR één n-de machtswortel nl. 0 a IR 0 dan heeft a in IR geen n-de machtswortel. Afspraak: n n a = a n n a = a n We beperken ons nu tot de vorm a waar a IR +, wat niet schaadt aan de algemeenheid van n a < 0 en n even dan bestaat de regels, want als a niet n n a < 0 en n oneven dan schrijven we a als - a met a IR + Algebra 3

13 1.3 Machten met rationale exponent + Definitie: a IR 0, m Z, n IN 0 : a n = Toepassingen: m n a m 1. a 1 n = n a. a m n = n 1 a m 3. np mp mp m np n a = a = a = a n m Rekenregels: + 0 a, b IR en q, q' Q : q q ' q q ' a a = a + a a q q ' = a q q ' ( ) q q q ab = a b a b q a = b q q q q ( ) ' q q ' a = a Algebra 4

14 1.4 Eigenschappen van de worteltrekking Vermenigvuldiging en deling + a, b IR, n IN : n ab = n a n b a a IR, b IR 0 ; n IN 0 : n = b n n a b Voorbeelden: = 16 = a = a = a a 1 5 a 1.4. Machtsverheffing en worteltrekking + n 0 ( ) a IR, n IN, m IN: a m n m = a + a IR ; m,n IN : m n a = mn a = n m a Voorbeelden: 3 ( ) 3 8 = 8 = = = = Optelling en aftrekking + n 0 ( ) n n n a IR, n IR, p, q, r IR : p a + q a r a = p + q r a Voorbeeld: = = 4 3 Algebra 5

15 1.5 Het wortelvrij maken van de noemer a b = a b b 1 a b a b = ± a b a ab + b = a ± b a ± b 1.6 Logaritmen van een reëel getal Laat a het grondtal van een logaritmenstelsel zijn ( a > 0, a 1), x IR + 0, y IR dan y = log a x x = a y We noemen y de logaritme van x t.o.v. het grondtal a ( of met basis a). Benamingen: Indien a = e (getal van Euler), dan spreken we van natuurlijke logaritme, notatie ln x. ln 1 = 0 ln e = 1 Indien a = 10, dan spreken we van de Briggse logaritme, notatie log x. Eigenschappen: log 1 = 0 log 10 = 1 1. log a bewaart de orde als a > 1 en keert de orde om als 0 < a < 1. log a a =1 log a 1= 0 Bewerkingen: x,y IR 0 + :log a xy = log a x + log a y x, y IR 0 + : log a x y = log a x log a y x IR + 0 : log a ( x 1 )= log a x x IR + 0 ; z : log a ( x z )= z. log a x x IR 0 + ; n IN 0 : log a n x = 1 n. log a x Algebra 6

16 1.7 Oefeningen Vereenvoudig ( a,b,c IR 0 ) a ( a b c ) ( abc ) ( b c ) ( ) + ( ) 9 16 opl.: b c 6 a 1 opl.: ( a b ) ( 4a) 4 4 ( a) ( a )( ab ) 6 opl.: a n n n + 1 n + 4 a b 4 5 3a b c d n opl.:ab ab ab b opl.: 4 3 cd c 6. 4 ( 5 a) b a, b IR 1.7. Bereken a b 4 opl.: b a. a a a 8 7 opl.: a a 3 a 5 a 30 5a 3 60a 1, a opl.: a opl.: 6 3 a opl.:8 1 opl.:a Algebra 7

17 1.7.3 Maak de noemer wortelvrij a b Bereken, ook als de basis a niet gegeven is log 4 a log a loga + loga 3loga + loga opl.: 6 opl.: 0 Algebra 8

18 Veeltermen met reële coëfficiënten in 1 onbepaalde x.1 Definitie a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 met notatie V(x). an, an 1,..., a1, a0 IR n IN, an 0 is een veelterm van de graad n in x,. Nulpunt a IR is een nulpunt van de geassocieerde veeltermfunctie f: IR IR: x V(x) als de getalwaarde van deze veelterm in a gelijk is aan nul. In symbolen: a is een nulpunt van V(x) V(a) = 0. Voorbeeld: 1 is een nulpunt van V(x) = 6x3 7x 7x want V = = 0.3 Merkwaardige producten A, B en C stellen veeltermen voor. ( A + B) ( A B) = A B ( A + B) = A + AB + B ( A B) = A AB + B ( A + B+ C) = A + B + C + AB+ BC + AC ( A + B) 3 = A 3 + 3A B+ 3AB + B 3 ( A B) 3 = A 3 3A B+ 3AB B 3 A 3 B 3 = ( A B) ( A + AB+ B ) A 3 + B 3 = ( A+ B) ( A AB+ B ) Algebra 9

19 .4 Deling Bij twee gegeven veeltermen A(x) en B(x) ( B(x) 0, graad A(x) graad B(x) ) bestaat juist één veelterm Q(x) en juist één veelterm R(x), waarvoor A(x) = B(x)Q(x) + R(x) en graad R(x) < graad B(x)..4.1 Werkwijze A(x)(Deeltal) B(x)(Deler) Q(x)(Quotiënt) R(x)(Rest) Als R(x) = 0 spreekt men van een opgaande deling. Voorbeeld: 6x4 - x3 + 9x - x - x + -6x4-1x 6x - x x 3-3x - x - x 3 + 4x - 3x + x - 3x + 6 x + 4 Algebra 10

20 .4. Deling van een veelterm door een tweeterm van de vorm x-d met d IR: regel van Horner Voorbeeld: ( 4x 3 5x + 6): ( x + ) Q(x) = 4 x² - 8x + 11 R(x) = Deelbaarheid door x-d met d IR Reststelling De rest van de deling van V(x) door x - d is gelijk aan de getalwaarde V(d). Gevolg: V(x) is deelbaar door x-d R = V( d) = 0 Voorbeelden: V( x) = 3x 5x + 7 is niet deelbaar door x want V( ) = 9 0 V( x) = x 3 + 3x 5x +1 is deelbaar door x + 3 want V( 3) = Ontbinding in factoren van veeltermen Indien een veelterm in x deelbaar is door x - d geldt dat a 0 = -d.q 0. Indien V(x) een veelterm is met gehele coëfficiënten is d bijgevolg een gehele deler van a 0 (let op: dit is een nodige voorwaarde, geen voldoende voorwaarde!) Om een veelterm met gehele coëfficiënten te ontbinden zoek je eerst de eventuele delers van de vorm x d met d Z. Ga als volgt te werk: 1. zoek de gehele delers van a 0. controleer voor welke delers de functiewaarde van V(x) 0 is. 3. vervolgens, indien zo een deler van a 0 wordt gevonden, wordt het quotiënt berekend met de regel van Horner. Zo ga je verder tot de veelterm maximaal ontbonden is. Algebra 11

21 Voorbeeld: Ontbind x 3 4x 17x + 60 Oplossing: We berekenen de functiewaarde van de corresponderende veeltermfunctie V(x) voor de opeenvolgende delers van 60: f( 1) = 40 0 f( 1) = 7 0 f( ) =18 0 f( ) = 70 0 f( 3) = 0 De gegeven veelterm is dus deelbaar door x - 3. Het quotiënt berekenen we met de regel van Horner d = We vinden x 3 4x 17x + 60 = ( x 3) ( x x 0) We onderzoeken nu de deelbaarheid van x x 0 door x-d, waarbij d een deler van 0 moet zijn die in absolute waarde ten minste 3 is. We vinden V(-4) = 0. Bijgevolg is x x 0 = ( x + 4) ( x 5) en dus is x 3 4x 17x + 60 = ( x 3) ( x + 4) ( x 5) Coëfficiëntenregels 1. Een veelterm van graad n is deelbaar door x-1 als de som van de coëfficiënten (inclusief de constante term) gelijk is aan nul. Voorbeeld: x 5 x 3 + x 1 is deelbaar door ( x 1) (controleer!). Als de som van de coëfficiënten die bij de oneven machten van x staan gelijk is aan de som van de coëfficiënten die bij de even machten van x staan (inclusief de konstante term), dan is de veelterm deelbaar door (x + 1). Voorbeeld: x 5 + x 4 x 3 + x x 3 is deelbaar door ( x +1) (controleer!) Algebra 1

22 .5 Oefeningen Werk uit (werk zo efficiënt mogelijk): 1. ( x + )( x )( x + 4). ( 3x + )( 9x 6x + 4) 3. ( 9x 4 + x ) : ( x + x + 1) 4. ( x x 3 + x ) ( x ) : 3 met Horner 3 5. ( x ) ( ) 8-0x +x- : x-1 met Horner 4 opl.: 16 x 3 opl.: 7 8 x + opl.: Q = -9x -10x -19, R = 9x + 0 opl.: Q = -7 x x, R = opl.: Q = 4x 8x 3, R = Voor welke n IR is 3x + nx 5nx + 10 deelbaar door x + 1? Bepaal daarna, voor de gevonden n, het quotiënt Ontbind in factoren: 8x 0x 18x 7x 1 opl.: n = 1, Q = 3x 5x opl.: ( x-1)( x 1) 3 Algebra 13

23 3 Vergelijkingen en ongelijkheden 3.1 Vergelijkingen in IR Definitie Een vergelijking is een uitspraakvorm van de gedaante A = B. Hierbij zijn A en B twee uitdrukkingen waarvan er tenminste één een veranderlijke (de onbekende genoemd) bevat Oplossen van vergelijkingen Een vergelijking in IR oplossen betekent alle reële getallen bepalen waarvoor de uitspraakvorm een ware uitspraak wordt. Voorbeeld: ( ) = 1, 7 opl 7x = 5x Twee vergelijkingen zijn gelijkwaardig als hun oplossingenverzameling dezelfde is. Voorbeeld: = 0 3x = 4 ( x ) want 9 3 opl(4x + 3 = 0) = opl 3x = = 4 4 Stellingen over gelijkwaardige vergelijkingen: 5. ( A = B) ( A + C = B + C) de overbrengingsregel. 6. ( A = B) ( ma = mb) met m IR 0 7. Is V de oplossingsverzameling van A.B.C = 0; V1, V en V3 de oplossingenverzameling resp. van A=0, B=0, C=0 dan is V = V 1 V V 3 8. ( A.C = B.C) ( A = B C = 0) Algebra 14

24 Belangrijke gevolgen: a) neemt men A = B A.C.= B.C dan loopt men gevaar oplossingen in te voeren. Voorbeeld: x x +1 = 4 x + x x + ( x )= 4 + x( x ) x 5x + 6 = 0 ( x 3) ( x ) = 0 ( x = 3 x = ) ingevoerd dus los op als volgt: x + ( x )= 4 + x( x ) x x = 3 dus opl = { 3} Onthoud: voor we een noemer verdrijven die de onbekende bevat, moeten we vooraf als voorwaarde stellen dat deze noemer verschilt van nul. b) Neemt men A.C = B.C A = B dan loopt men gevaar oplossingen te verduisteren. Voorbeeld: ( x 1) ( x + )= ( 3x + ) ( x + ) x 1 = 3x + x + 3 = 0 x = 3 : 1 oplossing verloren dus los op als volgt: ( x + ) ( x + 3) = 0 x + = 0 x + 3 = 0 x = x = 3 dus opl = 3, Algebra 15

25 3.1.3 Bespreking van de lineaire vergelijking ax+b = 0; a,b IR (a en b hangen af van een parameter) 1. a 0 ax + b = 0 x = b a ( = enige oplossing) ( eigenlijke oplossing). a = 0 0x + b = 0 0x = b als b 0 dan is opl = als b = 0 dan is opl = IR ( een valse vergelijking) ( een identieke vergelijking) Voorbeeld: px m = 3x 9 p en m parameters; p, m IR (p - 3)x = m p 3 x = m 9 p 3. p = 3 0x = m 9 als m = 3 m = -3 dan is 0x = 0 opl = IR als m 3 m -3 dan is opl = Oplossen van de tweedegraadsvergelijking in 1 onbekende Standaardvorm ax + bx + c = 0 met a IR 0 ; b,c IR De discriminant opzoeken = b 4ac Als > 0 dan heeft ax² + bx + c = 0 twee verschillende wortels b b + x 1 = en x = a a = 0 dan heeft ax² + bx + c = 0 twee gelijke wortels -b x 1 = x = a < 0 dan heeft ax² + bx + c = 0 geen reële wortels Algebra 16

26 Is b een even getal dan kan men gebruik maken van de vereenvoudigde formules. Als b = b' dan is = 4b' 4ac = 4( b' ac)= 4 ' en ' wordt de vereenvoudigde discriminant genoemd. De wortels zijn dan x 1 = b' ' a, x = b' + ' a 3. Ongelijkheden in IR 3..1 Definitie Een ongelijkheid is een uitspraakvorm van de gedaante A < B (of A B, A > B, A B). Hierbij zijn A en B twee uitdrukkingen waarvan er tenminste één een veranderlijke bevat. 3.. Oplossen van ongelijkheden Een ongelijkheid in IR oplossen betekent alle reële getallen bepalen waarvoor de uitspraakvorm een ware uitspraak wordt. Voorbeeld: opl ( x( x 1) > 0)= ], 0[ ] 1, + [ Twee ongelijkheden zijn gelijkwaardig als hun oplossingenverzameling dezelfde is. Stellingen over gelijkwaardige ongelijkheden. 1. ( A < B) ( A + C < B + C). ( A < B) ma < mb als m IR ma > mb als m IR 0 In een ongelijkheid verdrijven we de onbekende nooit uit de noemer. Algebra 17

27 3..3 Bespreking van de lineaire ongelijkheid ax + b > 0; a,b IR (a en b hangen af van een parameter) ax + b > 0 ax > - b 1. a > 0 ax > b x > b a opl = x IR x > b a. a < 0 ax > b x < b a opl = x IR x < b a b > 0 opl = IR 3. a = 0 ax > b 0x > b is b 0 opl = Voorbeeld: px m + 3 < x p ( p, m IR) ( p )x < m p 3 Bespreking: 1. p > opl = x IR x < m p 3 p. p < opl = x IR x > m p 3 p a) m 5 > 0 opl = IR 3. p = 0x < m 5 b) m 5 0 opl = Algebra 18

28 3..4 Oplossen van kwadratische ongelijkheden in 1 onbekende ax + bx + c 0 met a IR 0 ; b,c IR We onderzoeken eerst het teken van het linkerlid en leiden daaruit de gepaste intervallen af waartoe x moet behoren. Daartoe bespreken we de grafiek van de functie y = ax + bx + c. Deze stelt een parabool voor met as van symmetrie // y-as. y = ax + bx + c De snijpunten van de parabool met y-as worden verkregen door het stelsel: x = 0 te lossen. Oplossing( S) = ( 0,c) { } op y = ax + bx + c De snijpunten met de x-as door y = 0 op te lossen: > 0 de parabool snijdt de x-as in de punten b, 0 en b +, 0 a a = 0 de parabool raakt de x-as in b a,0 < 0 de parabool snijdt of raakt de x-as niet. Verder weten we dat als a > 0, de parabool met haar holle zijde naar boven gericht ligt en als a < 0 de holle zijde naar onder gericht ligt. Algebra 19

29 Samenvatting: D > 0 D = 0 D < 0 a > 0 x x 1 x = x 1 x = x 1 a < 0 x x 1 Uit deze tabel leiden we gemakkelijk het tekenverloop van y = ax + bx + c af: x x 1 x teken van teken van a 0 tegengesteld 0 teken van a ax + bx + c teken van a 1. Als a > 0. Als a < 0 opl(ax + bx + c 0) = ], x ] [ x, + [ opl(ax + bx + c³ 0) = [ x, x ] 1 1 Voorbeeld: x x 3 0 nulpunten zijn 1, 3 tekenonderzoek: x x x 1 x x Opl = [-1,3] Algebra 0

30 3..5 Oplossen van gebroken ongelijkheden Voorbeeld 1: Tekenonderzoek van een macht, een product of een quotient van lineaire factoren. f( x) = x( 1 x) ( x + 3)3 ( 3 x) ( x + 3) > 0 tekenonderzoek: x x x ( x + 3) ( 3 x) ( x + 3) f( x) opl( f(x)>0) = 3, ] 0,1[ Voorbeeld : Tekenonderzoek van een macht, een product of een quotiënt van lineaire en kwadratische factoren. ( ) f( x) = ( x 1) x + x +1 0 x + x 6 nulpunten teller: 1; nulpunten noemer: -3, tekenonderzoek: x -3 1 x x + x x + x f( x) opl(f(x) 0) = ], 3[ ] 1, [ Voorbeeld 3: Tekenonderzoek van een product of een quotiënt van veeltermen. Algebra 1

31 f( x) = x4 + x 3 x +1 < 0 x 3 + x + x ( ) ( ) ontbinden ( x 1) ( x +1) x + x 1 x x + x +1 tekenonderzoek: x x x x x + x x + x f( x) opl(f(x) < 0) = ]-1,0[ ] 1, + [ Voorbeeld 4: x + x +1 x + 3 x 1 tekenonderzoek: x + x +1 x + 3 x 1 0 3x 5 ( x +1) ( x 1) 0 x x x x f (x) opl(f(x) 0) = -, 1 1, + 3 ] [ Algebra

32 3.3 Oefeningen Los op 1. ( x 5)( 3x + 7) = ( x 5)( 5x + 3) opl.: {,5 }. ( x 5) 9 = 0 opl.: {,8 } = x x x x = x x + 3 1x x 3 10 = 3x ( x) x + 7x + 3(11 ax) + 8a = 0 als a Z en er gelijke wortels zijn 3x 3 4x 3 > 5 4 x 3 x + 1 x 5 > 5 8 ( 3x +1) ( 3x + ) < x x 3 opl.: opl.: {-1,4} 17 opl.: 3, 6 opl.: a = -1, x = -5 4 opl.: x > 5 71 opl.: x > opl.:,, x 1 + x 3 x ( x )( x x )( x x ) opl.: ], 1[ [ 1,[ ] 3, + [ > 0 3 opl.:, ] 1, [ 1. x 1 x + 1 < x + 1 x 1 opl.: ] 1,0[ ] 1, + [ 3.3. Los op en bespreek 1. m x = 4x m. x p + m + x p m = 0 Algebra 3

33 3. ( ) p p x = x mp 4. mx - 1 x + m 5. x + 4 > mx m ( x 4) < 4 x 7. px 5m + m < mx mp Algebra 4

34 4 Absolute waarde van een reëel getal 4.1 Definitie De absolute waarde (of modulus) x van een reëel getal x definiëren we als volgt: x IR : x = x als x 0 = x als x 0 Merk op: 1) voor elk van 0 verschillend reëel getal is één van de delen van de definitie van toepassing. Alleen voor 0 zijn beide delen toe te passen maar ze leveren hetzelfde resultaat want 0 = 0 ) x IR + Grafiek: Men bekomt de grafiek van y = x door het deel van de grafiek van y = x dat onder de x-as ligt te spiegelen rond de x-as. Algebra 5

35 4. Eigenschap x IR, a IR + : x a a x a 4.3 Bewerkingen x,y IR: xy = x. y x 1 = x 1,x 0 x y = x y,y 0 x + y x + y 4.4 Toepassing: verloop van een functie gedefinieerd met modulus-tekens Gegeven: f ( x) = x 3 Gevraagd: schets de grafiek van f Oplossing: Methode 1: uitgaande van de definitie van f zonder modulusstrepen f ( x) = = x 3 als x 3 0 = ( x 3) als x 3 0 f ( x) = x 3 als x 3 ( 1) = 3 x als x 3 ( ) (1) wordt grafisch een halfrechte (3, 0), (4, 1) () wordt grafisch een halfrechte (3, 0), (, 1) Algebra 6

36 Methode : uitgaande van de grafiek van y = x - 3 y = x - 3 wordt voorgesteld door een rechte (0, - 3), (3, 0) om de grafiek van y = x 3 te vinden, spiegelen we het deel van de grafiek van y = x - 3 dat onder de x-as ligt, rond de x-as. Algebra 7

37 4.5 Oefeningen Teken de volgende grafieken in een rechthoekig assenkruis: 1. y = x + 1. y = x y = x 4 4. y = 3x + 4x y = x y = x + x + 7. y = x 1 x 4 Algebra 8

38 5 Matrices en determinanten 5.1 Matrices Definitie Een m x n matrix A is een rechthoekige tabel van m n reële (of complexe) getallen, bestaande uit m rijen en n kolommen. Algemeen: a11 a1 a a1n ( a ij ) a 1 a a 3... a n = A mxn a m1 a m a m3... amn De elementen a ij worden voorzien van dubbele indices. De eerste index wijst het rangnummer van de rij van het beschouwd element aan, de tweede het rangnummer van de kolom. Aldus staat a 3 op de tweede rij en in de derde kolom. De verzameling van alle m n matrices wordt voorgesteld door IR m x n of door C m x n al naargelang de elementen a ij reële of complexe getallen zijn. m en n worden de dimensies van de matrix genoemd Gelijke matrices Twee matrices A en B heten gelijk als en slechts als: ze gelijke dimensies hebben, hun gelijkstandige elementen gelijk zijn. A = ( a ij )en B = b ij ( ) dan is A = B a ij = b ij met i = 1,, 3,...m j = 1,, 3,...n ( a ij )= ( b ij ) a ij = b ij Algebra 9

39 5.1.3 Optelling van matrices met gelijke dimensies Gelijkstandige elementen worden opgeteld. ( a ij )+ ( b ij )= ( a ij + b ij ) Voorbeeld: = = Eigenschappen: 1. een inwendige bewerking A, B IR m x n : A + B IR m x n. commutativiteit: A + B = B + A 3. associativiteit: (A + B) + C = A + (B + C) 4. de nulmatrix 0 ( alle a ij = 0) is neutraal element. A + 0 = A 5. bij iedere matrix A = ( a ij ) hoort een tegengestelde matrix A = ( a ij ) mxn IR,+ is een commutatieve groep Vermenigvuldiging van een reëel getal en een matrix r IR: r( a ij )= ( r.a ij ) Het reëel getal wordt scalair genoemd en de bewerking heet scalaire vermenigvuldiging. Voorbeeld: = Algebra 30

40 Eigenschappen: 1. inwendige bewerking: r IR, A IR m x n : r A IR m x n. de scalair 1 is neutraal element: A IR m x n :1.A = A 3. associativiteit: r, s IR, A IR m x n : ( rs)a = r( sa) 4. distributiviteit t.o.v. de optelling in IR m x n : r( A + B) = ra + rb 5. distributiviteit t.o.v. de optelling in IR : ( r + s)a = ra + sa Bovendien is IR m x n, + een communatieve groep; Besluit: mxn IR, IR,+ is een reële vectorruimte Getransponeerde matrix Schrijft men de rijen van een matrix A als kolommen, zonder de volgorde van die rijen of van de elementen in iedere rij te wijzigen, dan ontstaat de getransponeerde matrix A T van A. De overgang van de ene naar de andere matrix heet transpositie. Merk op: als A IR m x n A T IR n x m a11 a 1... a1n a11 a 1... a m1 a 1 a... a n a T 1 a... a m A= A = a a... a a a... a m1 m mn 1n n mn Matrixvermenigvuldiging Zij A = ( a ij ) een m p-matrix en B ( b ij ) m n-matrix C = ( c ij ) waarbij ij i1 1 j i j ip pj ik kj k= 1 = een p n-matrix, dan is het product van A en B een p c = a b + a b a b = a b, i = 1... m, j = 1... n. Opgelet: een matrix product A.B bestaat dus dan en alleen dan, als het aantal rijen van B gelijk is aan het aantal kolommen van A. Algebra 31

41 Voorbeeld a a c c c a 1 a b11 b1 b 13 c1 c c 3 = a31 a 3 b1 b b 3 c31 c3 c 33 a 41 a 4 c41 c4 c43 4 x x 3 4 x 3 met c 11 = a 11 b 11 + a 1 b 1 c 3 = a 1 b 13 + a b 3 Eigenschappen: 1. associativiteit: (A.B).C = A.(B.C). distributiviteit: A.(B + C) = A.B + A.C (A + B).C = A.C + B.C 3. Niet-commutativiteit Voorbeeld: terwijl = = 4 6 [ ] [ ] [ ] Vierkante matrices Een vierkante matrix is een matrix met evenveel rijen als kolommen. Het is een matrix van orde n. De elementen a ii met i =1,, 3,..., n vormen de hoofddiagonaal. Algebra 3

42 Bijzondere vierkante matrices: Eenheidsmatrix van de orde n: i, j = 1,,..., n: a ii =1 a ij = 0 als i j E = E = De eenheidsmatrix van de orde n speelt de rol van neutraal element voor de matrixvermenigvuldiging van matrices van de orde n: A.E = E.A = A. a b 1 0 a b = c d 0 1 c d 1 0 a b a b = 0 1 c d c d Nulmatrix 0 is een opslorpend element voor de matrixvermenigvuldiging A.0 = 0.A = 0 a b c d = Opmerking: er bestaan matrices A en B waarvoor A.B = 0 en A 0 en B 0. Deze matrices noemt men nuldelers Voorbeeld: = Algebra 33

43 5. Determinanten 5..1 Definities De determinant van een vierkante -matrix door a 11 a 1 a 1 a = a 11 a a 1 a 1. a a a 11 1 a 1 noemen we het reële getal gegeven Notatie: det A of A of a ij determinant van de de orde. Stel in wat volgt A = a a a a a a a a a Rang van een element: De rijen van een determinant (of bijhorende matrix) worden genummerd van boven naar onder, de kolommen van links naar rechts. Staat een element in de rij met rangnummer i en in de kolom met rangnummer j, dan noemt men i + j de rang van dat element. Cofactor van een element: Schrapt men in een determinant van orde 3 de rij en de kolom van een element, dan ontstaat een determinant van orde. Deze determinant, voorafgegaan van het teken + of -, al naar gelang de rang van het beschouwde element even of oneven is, wordt cofactor van dit element genoemd. (minor als de determinant zonder teken beschouwd wordt.) Notatie: α ij : hangt dus niet af van de getallen uit de rij en kolom waarin het element zich bevindt Voorbeeld: α 1 = 1 ( ) +1 a 1 a 13 a 3 a 33 = a 1 a 13 a 3 a 33 Algebra 34

44 Definitie: De determinant van een 3 3-matrix is het reële getal dat men vindt door de elementen van een rij of een kolom te vermenigvuldigen elk met hun cofactor en de bekomen producten bij elkaar op te tellen. Kiest men bv. de 1 ste rij, dan zegt men dat men de determinant naar de eerste rij ontwikkelt. Voorbeeld: 3 1 A = α 11 = ( 1) = = 8 α 1 = ( 1) = ( 8 6) = α 13 = ( 1) = 4 3 = 7 det A = (-). + (-7).1 = = 13 kan ook gemakkelijk teruggevonden worden met de Regel van Sarrus. 5.. Eigenschappen van determinanten 1. Een vierkante matrix A en zijn getransponeerde A T hebben gelijke determinanten. det A = det A T. Worden twee rijen (kolommen) van een determinant verwisseld dan verandert die determinant van teken. Gevolgen: een determinant met gelijke rijen (kolommen) is nul. de som van de producten van de elementen van een rij (kolom) met de overeenkomstige cofactoren van een andere rij (kolom) is nul. Zie voorbeeld hierboven: a1 α 11 +a α 1 + a 3 α 13 =.8 +1( )+. ( 7) = 0 Algebra 35

45 3. Splitst men een rij (kolom) in een som van twee rijen (kolommen) dan is de determinant op overeenkomstige wijze te beschouwen als de som van twee determinanten. = + a 1 + a 1 ' b 1 c 1 a 1 b 1 c 1 a 1 ' b 1 c 1 a + a ' b c a b c a ' b c a 3 + a 3 ' b 3 c 3 a 3 b 3 c 3 a 3 ' b 3 c 3 Voorbeeld: = = Vermenigvuldigt men een rij (kolom) met een reëel getal k, dan wordt ook de determinant met k vermenigvuldigd. a 1 kb 1 c 1 a kb c a 3 kb 3 c 3 = k a 1 b 1 c 1 a b c a 3 b 3 c 3 Gevolgen: bevatten alle elementen van een rij (kolom) eenzelfde factor, dan kan die factor voor de determinant worden geplaatst. een determinant met evenredige rijen (kolommen) is nul. 5. Als men bij een rij (kolom) een veelvoud van een andere rij (kolom) optelt, dan blijft de determinant gelijk. a 1 b 1 c 1 a 1 + kb 1 b 1 c 1 a b c = a + kb b c a 3 b 3 c 3 a 3 + kb 3 b 3 c 3 6. Det (A.B) = det A. det B Algebra 36

46 7. Een determinant berekenen door verlaging van de orde. Elke determinant kan door toepassing van de eigenschappen herleid worden tot een determinant waarin een rij of een kolom op één element na alleen nullen bevat. Voorbeeld: = r 1 r = r 3 r = = 1 ( ) = 1 Algebra 37

47 5.3 Oefeningen 1. Bereken x, y, z als 4 x x y+5z = y 0 x+5 x+y+z Antwoord: x =, y = -3, z = 1. Vul de door een punt aangeduide plaatsen in: = Als A een p q-matrix is en B een r s-matrix, onder welke voorwaarde bestaan dan de beide producten A.B en B.A? Antwoord: q = r en s = p 4. Men geeft de matrices: A = 1 0 B = C = Bereken achtereenvolgens A.B, (A.B).C, B.C, A.(B.C) en verifieer aldus de associatieve eigenschap. 5. Bewijs dat (A.B) T = B T.A T als g h a b c A =, B = i j d e f k l 6. Bepaal al de matrices B waarvoor A.B = B.A. als A = Antwoord: x z 3 z x + z 7. Welk verband bestaat er tussen de matrices B (van de orde 3) en A.B als A = 0 k A = Algebra 38

48 8. Bereken de volgende determinanten (pas ordeverlaging toe): a a a a a opl.: 49 opl.: -5 opl.: 1 + a a b c c a b b c a 9. Toon aan dat: opl.: 10 opl.: 0 opl.: a 3 +b 3 +c 3-3abc a b ck p q rk x y z = a b c p q r xk yk z Algebra 39

49 6 Stelsels 6.1 Stelsels van n vergelijkingen en n onbekenden Matrixnotatie a11x 1 + a1x a1n x n = b1 a x + a x a x = b... a x +a x a x = b 1 1 n n n1 1 n nn n n a ij IR, b i IR Stel A = a11 a 1... a1n a a... a IR a n1 a n... a nn 1 n n x n x1 b1 x b X = IR, B = IR x b n x 1 n x 1 n n Matrixnotatie: A.X = B Voorbeeld: -x + 5y - z = x 1 x + z = 0 A = 1 0 1, X = y, B = 0 -y + 3z = z - Algebra 40

50 6.1. Oplossen van een stelsel door eliminatie Door opeenvolgende eliminaties wordt het gegeven stelsel vervangen door een gelijkwaardig stelsel waarin de eerste vergelijking n onbekenden bevat, de tweede n - 1, de derde n -,... de voorlaatste en de laatste 1. Uit de laatste vergelijking wordt de waarde van de onbekende afgeleid. Door substituties in de vergelijkingen met, 3, 4,..., n onbekenden worden achtereenvolgens de andere onbekenden berekend. Voorbeeld: x + y z = x y 3z = 1 1 3x + 6y + z = 37 1 x + y z = 9 3y + z = 8 1 3y + 4z = 10 1 x + y z = 9 3y + z = 8 z = x + y = y = 8 z =1 x = 10 y = z = 1 x = 8 y = z = Oplossen van een stelsel met de methode van Cramer. Zij gegeven een n x n stelsel: Het stelsel A.X = B heeft een unieke oplossing A 0; de oplossing wordt gegeven door x i = A i A waarbij de nxn-matrix Ai als volgt gedefinieerd wordt: A i = a11 a 1... a1 i-1 b1 a 1 i+1... a1n a 1 a... a i-1 b a i+1... a n a n1 a n... an i-1 bn a n i+1... a nn Voorbeeld: We hernemen het vb. van A = A = - 6 A 1 = A 1 = Algebra 41

51 A = A 3 = A = - 1 A 3 = - 6 x = A 1 A = 8, y = A A =, z = A 3 A = 1 6. Stelsels lineaire ongelijkheden met 1 onbekende Men lost ieder der ongelijkheden afzonderlijk op en de oplossing van het stelsel wordt gevormd door de waarden die aan al de ongelijkheden voldoen. Voorbeeld: (S) = x < x 3 3 < x 9 x x 1 < x < opl (S) = x IR 3 9 <x< 5-3/9 5 Algebra 4

52 6.3 Oefeningen Los volgende stelsels op x + y 3z = x + y + 3z = 1 4x + 7y + 3z = 7 y + 3z = 1 x + y + z = 4x + 5y z = 5 3x y + z = 16 x + 3y + 4z = 7 x y + z = 8 x + y = 1 3y 5z = 11 z 3x = = x y = y z = 1 z x 9 3 opl.: k,1 + k, k 5 5 opl.: opl.: {(1,0,0)} opl.: {(5,-,1)} 4 4 opl.: 4,, Los volgende stelsels ongelijkheden op 1.. x 4 0 ( x 3)( x + 5) < < 3x- x 1 < 0 (4 x - 1)(x + 3) opl.: ]-5,-[ [,3[ 1 opl.: 0, x < < opl.: ] 4,9[ Algebra 43

53 Analytische Meetkunde Lieve Houwaer, Unit informatie, team wiskunde

54

55 1. VECTOREN EN RECHTEN 1.1. Vectoren Het vectorbegrip De verzameling punten van het vlak noteren we door π. Kies in het vlak π een vast punt O, de oorsprong. Het vlak π waarin dit punt gekozen werd noemen wij het gepunte vlak πo. Elk ander punt P in het vlak kunnen we vanaf nu bekijken als het eindpunt van een vector namelijk OP. Het punt P = OP van π o noemen wij een gebonden vector, vaste vector of puntvector Basis en assenstelsel Wij kiezen punten in πo en die samen met O een driehoek vormen. Ex Voor elke P in πo bestaat er juist één ( x, y) IR zodat Benamingen: E, E is een basis van πo. { } x y Ey ( x, y) zijn de carthesische coördinaten van P t.o.v. de basis { Ex, Ey}. Merk op: begrip coördinaat is basisgebonden. OE x is de x-as; OE y is de y-as; samen zijn het de coördinaatassen van het xy-assenstelsel of assenkruis Bewerkingen met vectoren P = xe + y x E y In het gepunte vlak πo kunnen wij twee bewerkingen definiëren: 1) de som van vectoren A en B van πo is een vector met als eindpunt de som van de overeenkomstige vectoren OA en OB volgens de regel van het parallellogram.. Analytische meetkunde

56 y C a A b B O a 1 b 1 x ) de uitwendige vermenigvuldiging van een vector A van πo en een getal k R is vector met als eindpunt het eindpunt op de rechte OA door k maal de vector OA op te tellen Toepassing: midden van een lijnstuk Gegeven: het lijnstuk [AB]; A (a 1,a ) en B (b 1,b ) Gevraagd: bepaal M het midden van het lijnstuk. M A + B a + b, a + b 1 1 = 1.. Rechten Vectoriële vergelijking Beschouw een rechte e door de oorsprong. Elk punt S verschillend van de oorsprong is het eindpunt van een vector S die de richting van de rechte ondubbelzinnig bepaalt. Zo n vector wordt een richtingsvector van e genoemd. Als S zo n richtingsvector is, dan is elke k S met k R 0 opnieuw een richtingsvector van e. e S O Beschouw e 1 een rechte evenwijdig met e en twee verschillende punten P en P 0 op e 1. Analytische meetkunde 3

57 P e 1 P 0 e S P P0 Als S een richtingsvector is van e, geldt P P 0 = ks of P = P 0 + ks voor een k R. Omgekeerd ligt voor elke k, het eindpunt van de vector P 0 + ks op de rechte e 1. We kunnen de vectoriële vergelijking P = P 0 + ks dan ook beschouwen als de nodige en voldoende voorwaarde opdat een punt op de rechte e 1 zou liggen (bepaald door het punt P 0 en de richting S ). is de vectoriële vergelijking van de rechte. P = P + ks met k R Parametervergelijkingen Overgang op de componenten in R met P = ( x, y) P = ( x, y ), en S = ( a, b) levert Verdere uitwerking levert equivalent met ( x, y) = ( x, y ) + k( a, b) met k R 0 0 ( x, y) = ( x + ka, y + kb) met k R 0 0 x = x0 + ka met k R y = y0 + kb Bovenstaande formules zijn een stel parametervergelijkingen van de rechte door een punt ( x0, y 0) met richtingsgetallen ( a, b ), de coördinaten van de richtingsvector S. Merk op dat bovenstaande vergelijkingen niet uniek zijn. Zowel P 0 als S kunnen gekozen worden. Analytische meetkunde 4

58 1..3. Cartesische vergelijking(en) Wanneer we uit de parametervergelijkingen de parameter k elimineren krijgen we of x x0 y y0 = als ab 0 a b b y y0 = ( x x0 ) als a 0 a Beide laatste vergelijkingen noemen we de cartesische vergelijking van de rechte. De verhouding b a wordt de richtingscoëfficiënt genoemd. Als a = 0, dan worden de parametervergelijkingen x = x0 met k R y = y0 + kb De tweede vergelijking zegt dat y willekeurig is en kan dus worden weggelaten. We houden 1 (cartesische) vergelijking over. x = x 0 De rechte is evenwijdig met de y-as. De eenvoudigste richtingsgetallen zijn (0,1); de richtingscoefficient bestaat niet! Analoog, als b = 0, dan is y = y0 de cartesische vergelijking van de rechte; de rechte is dan evenwijdig met de x-as. De eenvoudigste richtingsgetallen zijn nu (1,0); de richtingscoefficient is 0! Merk op dat ( a, b ) = (0,0) onmogelijk is. De nulvector is immers uitgesloten als richtingsvector van een rechte. Als de rechte gegeven is door middel van punten P0 ( x0, y 0) en P1 ( x1, y 1) volstaat het een richtingsverctor te vinden. Vermits P1 P 0 een geschikte vector is, krijgen we P = P + k( P P ) met k R als vectoriële vergelijking en als stel parametervergelijkingen; x = x0 + k( x1 x0 ) met k R y = y0 + k( y1 y0) x x0 y y0 = x x y y als cartesische vergelijking als x1 x0 en y1 y0. Als x 1 = x0 dan is de vergelijking analoog aan a = 0; Analytische meetkunde 5

59 als y 1 = y0 dan is de vergelijking even analoog aan b= 0. De algemene cartesische vergelijking van een rechte in Ax + By + C = 0 R is dus van de vorm waarbij A en B niet terzelfdertijd nul zijn. Omgekeerd kan ook aangetoond worden dat elke vergelijking van deze vorm in R een rechte voorstelt. Wat is de richtingscoëfficiënt van deze rechte? Vind een stel richtingsgetallen Evenwijdige rechten Als gegeven is de rechte e 1 met r.v. S1, r.g. (a1,b 1 ), rico m 1, vgl A 1 x+b 1 y+c 1 =0, de rechte e met r.v. S, r.g. (a,b ), rico m, vgl A x+b y+c =0 e e 1 dan is O S S 1 e 1 // e S = ks met k R 0 a b 1 = ka = kb m = m 1 A B = ka 1 = kb met k R 0 met k R 0 toepassing: gegeven: de rechte e met vergelijking Ax+By+C=0 en het punt P(x 0,y 0 ) gevraagd: construeer f // e en door P f heeft als vergelijking A(x- x 0 )+B(y- y 0 )=0 Analytische meetkunde 6

60 1.4. Het Euclidisch vectorvlak Definities Als A( a1, a) en B( b1, b ) in π 0 gegeven zijn, dan is het scalair product van deze vectoren A. B = a b + a b R 1 1 dan staan deze vectoren loodrecht of orthogonaal A B A. B = 0 dan is de norm van de vector A = A. A = a + a > 0 1 dan is A een genormeerde vector als A = 1 dan is de afstand tussen A a 1, a ) en B b 1, b ) ( ( d( A, B) = A B = a b + a b B ( ) ( ) 1 1 O A A - B Analytische meetkunde 7

61 1.4.. eigenschap als A O dan is de genormeerde vector voortgebracht door A waarbij a de rechte OA voorstelt. Verklaar waarom Ea genormeerd is. E = a A A Orthonormale basis (O.N.B.) Ex Ey { E, E } x y is een orthonormale basis Ex = Ey = Hoeken Conventie: een hoek rekenen wij positief in tegenuurwijzerzin De hoek van een rechte met de x-as (Analytische uitdrukkingen t.o.v. O.N.B.) In onderstaande figuur zien we in de rechthoekige driehoek dat m tanα = = m 1 m.a.w. de richtingscoefficient van de rechte is gelijk aan de tangens van de hoek tussen de x- as en de rechte. y E y e m α 0 1 E x x Analytische meetkunde 8

62 1.5.. De hoek tussen rechten Gegeven: de rechte e 1 met r.v. S1, r.g. (a1,b 1 ), rico m 1, α 1 de hoek met de x-as de rechte e met r.v. S, r.g. (a,b ), rico m, α de hoek met de x-as Definitie: de hoek tussen de rechten e 1 en e in die volgorde genomen, genoteerd (e 1, e ), is de hoek met als hoekpunt het snijpunt van e 1 en e ; het eerste been ligt op een halfrechte bepaald door e 1 en het tweede been op een halfrechte bepaald door e. e e (e,e ) 1 e 1 (e,e ) 1 e 1 Merk op: een hoek is op π radialen na bepaald. Je kan dus altijd de kleinste (pos.) hoek kiezen. De hoek tussen twee rechten wordt ook bepaald door zijn tangens. (Dit is zinvol want de tangenten van anti-supplementaire hoeken zijn gelijk). tanα tanα m m a b a b tan( α α1) = = = 1+ tanα tanα 1+ m m a a + b b Loodrechte stand van rechten Als gegeven is de rechte e 1 met r.v. S1, r.g. (a1,b 1 ), rico m 1, vgl A 1 x+b 1 y+c 1 =0, de rechte e met r.v. S, r.g. (a,b ), rico m, vgl A x+b y+c =0 dan is (analytische uitdrukking t.o.v. O.N.B.) Analytische meetkunde 9

63 e 1 S 1 e O S toepassing: e 1 e S S a m 1 1 a + b1b = A A = 1 m 1 B B = gegeven: de rechte e met vergelijking Ax+By+C=0 en het punt P 0 (x 0,y 0 ) gevraagd: construeer f e en door P 0 0 f heeft als vergelijking B(x- x 0 )-A(y- y 0 )= Afstand van een punt tot een rechte 1) definitie ( of constructieve methode) Beschouw in π 0 een punt P0 ( x0, y 0) en een rechte e : Ax + By + C = 0. Om de (loodrechte) afstand van P 0 tot de rechte e te vinden gaan we als volgt te werk. Construeer de rechte r door P 0 loodrecht op e. Zoek het snijpunt S van r en e. De gezochte afstand is dan gelijk aan d( P0, S ). ) formule (via de normaalvgl. v.d. rechte e) (analytische vertolking t.o.v. O.N.B.) Ax0 + By0 + C d( P0, e) = d( P0, S) = A + B Analytische meetkunde 10

64 1.8. Oefeningen 1. Gegeven: A(5, 1), B( 1,5), C( 7,). a) Bepaal de coördinaten van de middens van de zijden van de driehoek ABC. (, ); 4, 7 ; 1, 1 b) Bepaal de coördinaten van het zwaartepunt van de driehoek ABC. (-1, ). Bepaal de richtingsgetallen en de richtingscoëfficiënt van de rechten bepaald door volgende gegevens: a) gaande door (-, 7), (1, -8) (3, -15) en m = -5 b) de rechte x (k,0) en m = 0 c) de rechte y (0,k) en m bestaat niet! d) de rechte met vergelijking: x - y + 4 = 0 (1, ) en m = e) de rechte met vergelijking: y = 3 4 x (4, 3) en m = 3 4 f) de rechte met vergelijking: y = x + 3 (1, ) en m = 3. Construeer de rechten met volgende vergelijkingen: e: y = 4x f: x + 3y = 0 g: 4x + y + 5 = 0 4. Bepaal de hoek die volgende rechten maken met de x-as in een orthonormaal assenstelsel. e: y - x + 5 = 0 α = 45 ;α = 135 f: y 3x 5 = 0 α = 60 ;α = Bewijs dat de figuur gevormd door A(,1), B( 1, 4), C(5,6), D(4,3) een parallellogram is. 6. Gegeven een rechte e: x + y = 4 Gevraagd: a) behoort A(4, 1) tot e? Neen b) behoort B(4,0) tot e? Ja c) bepaal de abscis van het punt op e met als ordinaat -5 x = 14 d) bepaal de ordinaat van het punt C met als abscis 1 y = 3 e) construeer de rechte f) zoek de snijpunten met de x-as en de y-as (4, 0) en ( 0, ) 7. Gegeven een rechte e: ax + 3y + = 0 met a IR Bepaal, indien mogelijk, a zodanig dat: a) de rechte door (, 0) gaat a = -1 b) de rechte die door 0 gaat onmogelijk c) de rechte e evenwijdig is met de rechte f: 3x - y - 5 = 0 a = -9 d) e evenwijdig is met x-as a = 0 e) e evenwijdig is met y-as onmogelijk f) e op de x-as een stuk + 3 afsnijdt a = 3 g) e op de y-as een stuk +5 afsnijdt onmogelijk Analytische meetkunde 11

65 h) e op y een stuk 3 afsnijdt a IR 8. Stel de vergelijking op van een rechte met de volgende gegevens: a) m = - en door het punt (3, 4) y + x - 10 = 0 b) door de punten (, 3) en (5, 1) 3y + x -13 = 0 c) door de oorsprong en het punt (, 6) y - 3x = 0 d) door de punten (3, 5) en (7, 5) y = 5 e) door de punten (-, 4) en (-, 1) x = - f) door de punten (1, 3) en (-, -6) y - 3x = 0 g) m = en die van y een stuk + 4 afsnijdt y - x - 4 = 0 h) die van y een stuk +3 en van x een stuk + afsnijdt 3x + y - 6 = 0 i) die van y een stuk -6 afsnijdt en door het punt (, 4) gaat y - 5x + 6 = 0 j) die door het punt (-, 6 )gaat en evenwijdig is met de rechte: e: 3x + y - 5 = 0 y + 3x - 6 = 0 k) die door het punt (0, 3) gaat en evenwijdig is met de rechte door de punten (,0) en (5, ) 3y - x - 9 = 0 l) die door het punt (, 3) gaat en evenwijdig is met de y-as x = m) die door het punt (-, 4) gaat en evenwijdig is met de x-as y = 4 9. Gegeven de rechte e: y = (a - )x + (a + b) met a,b IR. Bepaal a en b zodanig dat: a) e door de punten (1, 3) en (3, 5) gaat a = 3 en b = -1 b) e door het punt (, -3) gaat en evenwijdig is met f: x + y + 5 = 0 a = 1 en b = - c) e een stuk - op x afsnijdt en (, -10) als richtingsgetallen heeft. a = -3 en b = -7 d) e door (0, 0) en (-, -4) gaat a = 4 en b = Bepaal t.o.v. een orthonormale basis de vergelijking van de rechte: a) door het punt (4, -3) en die met de x-as een hoek van 45 maakt. y - x + 7 = 0; y + x - 1 = 0 b) die op de y-as een stuk +3 afsnijdt en met de positieve x-as een hoek van 30 maakt. 3y 3x 9 = 0 ; 3y + 3x 9 = Bepaal de vergelijking van de rechte door het punt A (, 4): a) die op de positieve x-as een stuk afsnijdt dat het dubbel is van het stuk afgesneden op de positieve y-as x + y -10 = 0 b) die op de negatieve x-as en de positieve y-as gelijke stukken afsnijdt x - y + = 0 1. Bepaal a zodanig dat e en f evenwijdig zijn: e: (a - 1)x - (a+)y + 1 = 0 f: (a + 1)x + ( - 4a)y + a = 0 a = 0 of a = Onderzoek of volgende punten collineair zijn: a) (8, 3), (-6, -3), (15, 6) Ja b) (1, 1), (4, -1), (-5, 5) Ja Analytische meetkunde 1

66 14. Bepaal a zodanig dat de punten (, 3), (a, ) en (a +, a - 3) collineair zijn. Bepaal de vergelijking van de rechte. a = 3 en y + x - 5 = 0 a = 4 en y + x - 8 = Bepaal de snijpunten van volgende rechten: e : x + y = 4 a) f :3x + y = 7 e :5x + 3y -1= 0 b) f : x + 8 = 0 e :6y - 3 = 4x c) 3 f : x 3y + = Geef de algemene vergelijking van de rechten door (, 1) (, 1) (-4, 7) samenvallende rechten y -1 = m (x - ) 17. Geef de algemene vergelijking van de rechten met richtingscoëfficient. 18. Bewijs dat de 3 zwaartelijnen van een driehoek concurrent zijn. 19. Gegeven: A(,0), B(1,1), C(1,) t.o.v. een orthonormale basis. Bepaal: A. B AC. C. B A. A B. B C. C y = x + q Bewijs dat de punten A(4, 6), B(, -4), C(-, ) een rechthoekige driehoek vormen. 1. Bepaal de vergelijking van de loodlijn en ook het voetpunt. a) uit het punt (0, 0) op de rechte e: 5x + y - 6 = 0 15 x - 5y = 0 en 13, 3 13 b) uit het punt (, -6) op de rechte f: x - y + 5 = 0 x + y + 10 = 0 en (-4, -3). Bepaal de vergelijking van de loodlijn op de rechte met vergelijking: x + 5y + 4 = 0 in haar snijpunt met de x-as. 5x - y + 10 = 0 Analytische meetkunde 13

67 3. Een rechte heeft richtingscoëfficiënt. Bepaal de vergelijking van de loodlijn uit het punt ( 4,1) op die rechte. y + x - 6 = 0 4. Bepaal de vergelijking van de middelloodlijn van het lijnstuk [ab] als A(3, -1) en B(1, 3). y - x = 0 5. De vergelijkingen van de zijden van een driehoek zijn: 3x 4y +14 = 0; 4x + y 13 = 0; x + 5y 8 = 0. Bepaal de vergelijkingen van de hoogtelijnen en de coördinaten van het hoogtepunt. y 5x + 5 = 0 3y + 4x 15 = 0 4y x 10 = , Gegeven: A(5, -3), B(-1, 5), C(-7, ). Bepaal de lengte van de zijden van de driehoek gevormd door deze punten. 10; 13; Bepaal de afstand van de oorsprong tot het punt A(-, 4) en tot de rechte e: 3x - y = 5 5; Bepaal de afstanden van de punten A(-3, 4), B(, 1), C(-3, ) tot de rechte e: x y + 5 = 0 ; 3 ; 0 9. Bepaal de afstanden van het punt A(5, 1) tot de punten B(1, -), C(-, ) en tot de rechte BC. 5; 5 ; Bepaal de afstand van het punt A(-4, 4) tot de rechte e: x + y - 3 = 0 a) m.b.v. de formule b) m.b.v. de loodlijn Bepaal de afstand van het punt A(3, -5) tot de loodlijn die uit het punt B(1, 1) op de rechte e : x y + = 0 wordt neergelaten Hoe ver ligt de oorsprong van de middelloodlijn van het lijnstuk [AB] met A(-9, 7), B(15, -3) Analytische meetkunde 14

68 33. Bepaal de afstand tussen de evenwijdige rechten met vergelijkingen: x + y + 3 = 0, x + y = Gegeven: A(1, p), e: x + y + 1 = 0, f: x + y - 3 = 0. Bepaal p zodanig dat het punt A gelijke afstanden tot de rechten e en f heeft. 1 p = en p = Bepaal de vergelijking van de rechte door A(, 3) en die op een afstand 3 ligt van de oorsprong. y = 3 en 5y + 1x - 39 = Bepaal de vergelijking van de rechte door A(-5, 1) zodanig dat de rechte evenver verwijderd is van de punten B(3, -1) en C(-3, ) y + x + 3 = 0 en 10y + x - 5 = Bepaal de vergelijking van de rechte die evenwijdig is met de rechte e: 5x + 1y - 11 = 0 en die op een afstand 1 van het punt A(-, 1) ligt. 5x + 1y - 15 = 0 5x + 1y + 11 = 0 Analytische meetkunde 15

69 . KEGELSNEDEN.1. Inleiding Parabolen, ellipsen en hyperbolen zijn kegelsneden. Ze onstaan door de snijding van een kegel met een vlak. Cirkels zijn ook kegelsneden, het zijn speciale gevallen van ellipsen. Welk type van kegelsnede men bekomt, hangt af van de hoek waarmee het vlak de kegel snijdt. Figuur 1 snijding van een kegel door een vlak Links: bij de ellips is de hoek tussen het vlak en de as van de kegel groter dan de hoek tussen de as en de beschrijvende van de kegel. Midden: bij de parabool zijn de hoeken gelijk. Rechts: bij de hyperbool is de hoek met het vlak kleiner dan de hoek met de beschrijvende... De cirkel Hoewel de cirkel "slechts" een speciaal geval van de ellips is, vermelden we toch eerst zijn definitie en zijn vergelijking. Een cirkel C bestaat uit de punten P die op een vaste afstand R van een vast punt M liggen. Deze vaste afstand R noemt men de straal, het vaste punt M het middelpunt. P C d( P, M ) = R Indien het middelpunt M in de oorsprong ligt en (x,y) de coorinaat van P is ten opzichte van het orthonormaal assenkruis x y is, dan is de middelpuntsvergelijking van de cirkel Verklaar! x + y = R Analytische meetkunde 16

70 Indien het middelpunt M de coördinaten ( x0, y 0) heeft, is de middelpuntsvergelijking De verklaring is analoog. De algemene vergelijking van de cirkel is ( x x ) + ( y y ) = R x y + Ax + By + C = 0 Opgelet, niet elke vergelijking van deze vorm stelt een cirkel voor!.3. De parabool Een parabool P bestaat uit de punten Q waarvoor de afstand tot een vaste rechte d gelijk is aan de afstand tot een vast punt F dat niet op d ligt. Het punt F noemt men het brandpunt van de parabool, de rechte d de richtlijn. Q P d( Q, d) = d( Q, F) Als het brandpunt F( p, 0), richtlijn d : x = p en (x,y) de coordinaat is van Q ten opzichte van het orthonormaal xy-assenkruis, dan is topvergelijking van de parabool P y = 4 p x Dit kan op een eenvoudige manier worden afgeleid: d y Q T F x Q P d( Q, d) = d( Q, F) y = Figuur parabool ( ) + ( 0) = + x p y x p ( x p) + ( y 0) = ( x + p) 4 p x De topvergelijking van deze parabool is dus y = 4 p x. De x -as is de symmetrieas van de parabool. Het punt F is het brandpunt, de rechte d de richtlijn en het punt halfweg het brandpunt en de richtlijn is de top van de parabool. Analytische meetkunde 17

71 Men dient goed te beseffen dat de bovenstaande vergelijking enkel geldig is met deze specifieke keuzes van de liggingen van het brandpunt en de richtlijn. Indien de parameter p negatief is,ligt het brandpunt links van de top en de richtlijn rechts. De vergelijking zelf blijft dezelfde. Indien de richtlijn horizontaal gelegd wordt, zal de parabool verticaal liggen, met zijn opening naar boven als de parameter p > 0, en met de opening naar beneden als p < 0. Er zijn dus vier mogelijkheden voor een parabool met top in de oorsprong en één van de coördinaatassen als symmetrieas. y = 4 p x met p > 0 y = 4 p x met p < 0 x = 4 p y met p > 0 x = 4 p y met p < 0 Wanneer de parabool verschoven wordt naar een willekeurige ligging van de top T ( x0, y 0) vindt men op analoge manier twee topvergelijkingen Horizontale symmetrieas: Verticale symmetrieas: ( y y ) 4 p ( x x ) 0 = 0 met 0 0 ( x x ) 4 p ( y y ) 0 = 0 met 0 0 F( x + p, y ) en d : x = x0 p F( x, y + p) en d : y = y0 p De algemene vergelijking van een parabool met symmetrieas evenwijdig aan een coordinaatas is Horizontale symmetrieas: Verticale symmetrieas: x = Ay + By + C y = Ax + Bx + C Analytische meetkunde 18

72 .4. Oefeningen (we werken in een O.N.B.) 1. Bepaal de vergelijking van de cirkel met middelpunt M(a, b) en straal R. a) a = 0, b = 0, R = 5 x + y = 5 b) a = 4, b =1, R = ( x 4) + y 1. Bepaal middelpunt en straal van de volgende cirkels ( ) = 4 a) x + y 8x 6y = 0 (,3) 5 M 4 en R = b) 3x + 3y x + 3y + 1 = M, en R = 3 6 c) 16x +16y 8x 15 = 0 1 M,0 en R = 1 4 d) 36( x + y 1 ) 48x + 36y 7 = 0 M, en R = Onderzoek of de volgende vergelijkingen cirkels voorstellen. Zo ja, bepaal dan middelpunt en straal. a) x + y 6x + 14y + 59 = 0 geen cirkel b) 16x + 16y + 8x 64y 335 = 0 cirkel C 1 4,,5 c) 4x + 4y 1x + 40y = 0 (punt) cirkel C 3, 5,0 4. Stel de vergelijking op van de cirkel door de punten (3, 3) en (5, 7) en het middelpunt op A:x y = 5 x + y 16x 6y + 48 = 0 5. Stel de vergelijking op van de cirkel waarvan het lijnstuk bepaald door de punten van de cirkel (5, 6) en (-1, 0) een middellijn is. x + y 4x 6y 5 = 0 6. Stel de vergelijking op van de cirkel door het punt (-3, 4) en concentrisch met c: x + y + 3x 4y 1 = 0 x + y + 3x 4y = 0 7. Stel de vergelijking op van de cirkel omschreven aan driehoek ABC met A(, ); B(6, -); C(-3, -5) x + y 5x + 11y 8 = 0 8. Een cirkel heeft zijn middelpunt in M(3, 0) en gaat door het punt P(1, 1). Bepaal: a) de vergelijking van de cirkel. ( x 3) + y = 5 b) de vergelijking van de cirkel met hetzelfde middelpunt en dubbele oppervlakte ( ) x y 3 + = 10 Analytische meetkunde 19

73 9. Bepaal brandpunt en richtlijn van volgende parabolen en schets hun grafiek. a) y 8x = 0 (, 0); x = - b) y + 6x = 0 3,0 ; x = 3 c) x + y = 0 0, d) x y = 0 0, Bepaal de topvergelijking van de parabool (met de x-as als symmetrie-as) en met als top (0, 0) en door het punt A(-1, 3): y = 9x 11. Bepaal de topvergelijking van de parabool met als brandpunt 0, 1 en richtlijn d: y = 1 x + y = 0 1. Bepaal de vergelijking van de parabool met als brandpunt (7, -) en richtlijn d: x = 3 y + 4y 8x + 44 = Bepaal de vergelijking van de parabool met als brandpunt (7, -) en richtlijn d de bissectrice van het tweede kwadrant. x + y xy 8x + 8y = Schets de grafiek van: a) 3x 4x y + 50 = 0 b) 4y + 40y 3x +100 = 0 ( x 4) = ( 3 y 1) (y + 5) = 3 4 x Analytische meetkunde 0

74

75 Analyse Lieve Houwaer Dany Vanbeveren

76

77 1. Relaties, functies, afbeeldingen, bijecties Voor niet-ledige verzamelingen A en B noemen we elke deelverzameling van de productverzameling A x B een relatie van A naar B. We noemen dom R = x ( x, y) R beeld van de relatie R. { } het domein van de relatie R en bld R = { y ( x, y) R} het Keert men de volgorde van de koppels van een relatie om, dan ontstaat een relatie van B naar A, de zgn. inverse relatie. Een functie van A naar B is een relatie van A naar B waarbij elk element van A hoogstens 1 beeld heeft. Een functie van A naar B noemt men een afbeelding van A in B als dom f = A. Een afbeelding van A in B noemt men een bijectie van A op B als de inverse relatie eveneens een afbeelding is.. Uitgebreide verzameling der reële getallen: I R De verzameling der reële getallen IR, aangevuld met de elementen - en +, noemt men de uitgebreide verzameling der reële getallen. Notatie: IR = IR U {, + } De totale orde wordt als volgt uitgebreid: x IR: < x < + Analyse

78 De bewerkingen worden als volgt uitgebreid: 1) x IR: x + ( ) = = ( ) + x x + ( + ) = + = ( + ) + x x IR + 0 : x. ( + ) = + = ( + ). x x. ( ) = = ( ). x x IR 0 : x. ( + ) = = ( + ). x x. ( ) = + = ( ).x ) ( + )+ ( + )= + ( )+ ( ) = ( ). ( + ) = = ( + ). ( ) ( + ). ( + ) = + = ( ). ( ) n n + = + = als n oneven is. 1 + = 0 1 = 0 Dus de volgende uitdrukkingen hebben geen betekenis, zijn ONBEPAALDHEDEN: ( + ) + ( ) ; ( ) + ( + ) ; 0.+ ; +. 0 ; 0. ;.0 ; + + ; + ; + ; Analyse 3

79 3. Continuïteit van een functie in IR 3.1. Voorbeelden Stel f: IR IR en a dom f dan zegt men: Y f(a) Y f(a) b a X a X f is continu in a f is discontinu in a f is niet linkscontinu in a f is niet rechtscontinu in a Y c f(a) b Y f(a) b a X a X f is discontinu in a f is niet linkscontinu in a f is niet rechtscontinu in a f is discontinu in a f is rechtscontinu in a Y b f(a) a X f is discontinu in a f is linkscontinu in a Analyse 4

80 3.. ε δ - definitie Beschouw een functie f: IR IR en onderstel dat a dom f dan zegt men: ε > 0, δ > 0: f is continu in a c x a < δ f ( x) f ( a ) < ε Verder geldt: f is rechtscontinu in a ε > 0, δ > 0: x [ a,a + δ [ f( x) f( a) < ε f is linkscontinu in a ε > 0, δ > 0: x ] a δ,a ] f ( x) f ( a) < ε 4. Limiet van een functie in IR 4.1. Voorbeelden "via het begrip limiet, discontinuïteiten opheffen" stel a adh dom f. als f continu is in a dan lim a f( x) = f( a) als f discontinu is in a dan: f ( x) = f( x) x a 1) beschouw een functie f met f ( a) = b f = een uitbreiding van f in a ( ) ) als f continu is in a dan lim a f( x) = f ( a) = b "limiet" als f rechtscontinu is in a dan lim a + f ( x) = f ( a) = b "rechterlimiet" als f linkscontinu is in a dan lim a f ( x) = f ( a) = b "linkerlimiet" Analyse 5

81 Y f(a) Y f(a) b a X a X f is continu in a f is discontinu in a f is niet linkscontinu in a f is niet rechtscontinu in a lim a f( x) = f( a) lim a f( x) = b Y c f(a) b Y f(a) b a X a X f is discontinu in a f is niet linkscontinu in a f is niet rechtscontinu in a lim a + f ( x) = c lim a f ( x) = b lim a f( x) bestaat niet. f is discontinu in a f is rechtscontinu in a lim a + f ( x) = f ( a) lim a f ( x) = b lim a f( x) bestaat niet. Y b f(a) a X f is discontinu in a f is linkscontinu in a lim a + f ( x) = b lim a f ( x) = f( a) lim a f( x) bestaat niet. Analyse 6

82 4.. ε δ - definitie limiet, rechterlimiet, linkerlimiet Als f: IR IR dan is: ε > 0, δ > 0: lim f( x) = b x a c 0 < x a < δ f ( x) b < ε Verder geldt: lim f( x) = b ε > 0, δ > 0: x ] a,a + δ [ f ( x) b < ε x a > lim f ( x ) = b ε > 0, δ > 0: x ] a δ, a [ f ( x) b < ε x a < 4... Oneigenlijke limieten Het argument neemt onbeperkt toe of af: lim f ( x) = b ε > 0, m > 0: x > m f ( x) b < ε x + lim f ( x) = b ε > 0, m > 0: x < m f ( x) b < ε x Oneindige limieten lim f ( x ) = + n > 0, δ > 0: 0 < x a < δ f ( x ) > n x a lim f( x) = n > 0, δ > 0 : 0 < x a < δ f ( x) < n x a lim f ( x) = n > 0, m > 0: x > m f( x) < n x + Analyse 7

83 4.3. Algemene stellingen lim f( x)= b x a 1. Als lim f + g lim g( x) = b' x a x a ( )( x) = b + b'. Als lim f( x) = b lim r.f ( x) = r. lim f( x) = r. b x a x a x a 3. Als lim f( x)= b x a lim g( x) = b' x a lim f( x)= b x a f( x) lim 4. Als lim lim g( x) = b' x a g( x) = lim x a x a lim f x x a ( ).g( x) = lim f x x a ( ).lim g x x a ( )= b.b' f( x) x a g( x) = b b' 5. Als lim x a f ( x) = lim f ( x) x a 6. Als lim[ f( x) ] n = lim f( x) x a x a n 7. Als lim x a n f( x) = n lim x a f ( x) 8. Als lim x a k = k (deze stellingen zijn geldig op voorwaarde dat het rechterlid zin heeft) 4.4. Onbepaaldheden Onbepaalde vorm rationale functie V( x) W ( x) als lim V( x) = lim W ( x ) = 0, dan betekent dit dat V(x) en W(x) x a x a beide deelbaar zijn door (x - a), nl. V( x) = ( x a ).Q 1 ( x), W( x) = ( x a).q ( x) V( x) Q Er geldt: lim 1 ( x) x a W( x) = lim x a Q ( x) Analyse 8

84 Voorbeeld. lim x x 4 x 5x + 6 = lim x ( x ) ( x + ) ( x ) ( x 3) = lim x x + x 3 = 4 - irrationale breuk: teller en/of noemer rationaal maken. Voorbeeld. lim x 3 x +1 x 3 = lim x 3 = lim x 3 = lim x 3 ( x +1 ) x +1 + ( x 3) x ( x +1 4) ( ) ( x 3) x x +1 + = 1 4 ( ) ( ) Onbepaalde vorm - rationale functie a lim n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 a = lim n x n x b p x p + b p 1 x p b 1 x + b x 0 b p x p = als n > p (teken van nader te bepalen) = a n b p als n = p = 0 als n < p - irrationale breuk: zet in teller en noemer de hoogst mogelijke macht van x voorop. let op: x = x als x > 0 = x als x < 0 Analyse 9

85 Voorbeeld lim x x x 3x = lim x x x 3x x lim lim x + x x / x + =1 3/ x x / x + = 1 3 x / 3 Onbepaalde vorm - irrationale functie: vermenigvuldig met en deel door de toegevoegde irrationale vorm. Voorbeeld. lim ( 4x + 3x 1 + x) x a. lim x + b. lim x ( 4x + 3x 1 + x)= + ( 4x + 3x 1 + x) = lim x ( 4x + 3x 1 + x) ( 4x + 3x 1 x) 4x + 3x 1 x = lim x 3x 1 4x + 3x 1 x = lim x x 3 1 x x x 1 = 3 x 4 Analyse 10

86 4.5. Opgaven x lim x 4 3x 1 x 7x +1. lim x 3 x 4x + 3 x 1 3. lim x 1 x 3 1 x 4 a 4 4. lim x a a 3 x a x 3 + x x 5. lim x 1 x + x 6. lim x 1 x 3 3x + x 3 x + x x 4 x 3 16x + 4x 7. lim x 3 x 3 + x 6x x 4 x 3 16x + 4x 8. lim x 0 x 3 + x 6x x m a m 9. lim x a x a x m a m 10. lim x a x n a n () (0) (- 10) (- 4) ( m.a m 1 ) m n am n 11. lim x 1. lim x > 3 x + x x + 6 3x x (0) 13. lim x 0 x x +1 1 x (1) Analyse 11

87 14. lim x > 5 x 4x 5 x 5 x 5 (- ) 15. lim x 6x 3 4x +1 (0) 3 x x x lim x 1 x lim x 18. lim x x x 1 x x x x x () lim x >< x x 3 3x + 4 x 3 x 3 4x ± Bepaal a zó dat: x + 8ax x + 8a lim x a x + ax 3a = a 1 (a = + ) 1. lim x 1 >< x 3x + 3 x 1 (m ) x +8. lim x x + x 6 6 x x 3. lim x 3 x + x + 1 x + 3 x 1 + x + 4x lim x + x + 3 x +1 x (- 1) 5. lim x 3 8x 3 + x 3 1 8x 3 6. lim x x +1 3 x +1 + x x 4 (1; 3) (- ) Analyse 1

88 7. lim( 3x x x + 4) (± ) x 3 8. lim( x 3 + 3x +1 x) (1) x 9. lim ( x +1 x 4x + x +1) (- ) 30. lim x + x ( x +1 x) lim x ( x + x x 1 4x) (+ ) 3. lim x 3 x 8x + 4 x x 4 4x + 5x 1, lim x ( x + 5x + 8 x + 5x 4) x (± 6) Analyse 13

89 5. Afgeleiden 5.1. Afgeleide van een functie in een punt ( x 0, y 0 ) Y y = f(x) f( x + x ) 0 D b Dy x 0 f( ) a a D x b x 0 x + 0 D x X Beschouw: y x = lim x 0 f ( x 0 + x) f ( x 0 ) lim x 0 x Als deze limiet bestaat, wordt hij de afgeleide genoemd van de functie in x 0. y Notatie: f' ( x 0 ) = lim x 0 x. Meetkundige betekenis: Beschouw de kromme met vergelijking y = f(x), a( x 0, f ( x 0 ))en b x 0 + x, f( x 0 + x) richtingscoëfficiënt van de koorde ab: m ab = y b y a = f( x 0 + x) f x 0 = y x b x a ( x 0 + x) x 0 x = tg α ( ) zijn naburige punten van de kromme.dan is de ( ) Laat men de rechte ab wentelen om a zodat het punt b onbeperkt tot a nadert, dan gaat de rechte ab over in de raaklijn in a (aan de kromme). y lim x 0 x = lim tg α = tg β, m.a.w. f' x 0 α β b a ( ( ) aan de kromme y = f(x). punt x 0, f x 0 ( ) is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in het Analyse 14

90 Voorbeeld. y = x 3x + 4 ( x f' ( x 0 ) = lim 0 + x) 3( x 0 + x)+ 4 x 0 + 3x 0 4 x 0 = lim x 0 x ( x 0 + x 3) = x 0 3 Zo is voor x 0 = 1; f' ( 1) = 1. Bijgevolg is b = Linker- en rechterafgeleide Men noemt lim x > 0 y x, resp. lim x < 0 y, de rechter-, resp. linkerafgeleide van f(x) in het x beschouwde punt, op voorwaarde dat de limiet bestaat. Het kan gebeuren dat linker- en rechterafgeleide in een punt verschillend zijn. Meetkundig betekent dit dat de kromme een hoekpunt (knik) heeft, zodat de kromme in dat punt verschillende raaklijnen heeft. De functie is dan niet afleidbaar in dat beschouwde punt. Voorbeeld y = 1 4 x 1 is continu voor elke waarde van x, maar de rechterafgeleide voor x =, is verschillend van de linkerafgeleide in dat punt, nl. Besluit: lim f' ( x) = 1 x > lim f' ( x) = 1 x < f continu in x = x 0 / f afleidbaar in x = x 0. Maar men bewijst dat, f afleidbaar in x = x 0 f continu in x = x 0 Analyse 15

91 5.3. Verticale raaklijn Voorbeeld. De functie y = 3 x is continu voor elke waarde van x. We berekenen de afgeleide voor x = 0 3 f( 0 + x) f( 0) x lim = lim x 0 x x 0 x = lim x 0 1 = + 3 x De functie is dus niet afleidbaar voor x = 0. Men spreekt van een oneigenlijke afgeleide. Meetkundig betekent dit dat tg a = +, zodat a = 90. De raaklijn valt dus samen met de y-as Regels voor de berekening van de afgeleide functies 1. afgeleide van een constante y = k y' = 0. afgeleide van het argument y = x y' =1 3. afgeleide van een som van functies y = u + v + w y' = u' +v' +w' 4. afgeleide van een product van functies y = u.v y' = u'. v + u.v' 5. afgeleide van een quotiënt van functies y = u u'. v u. v' y' = v v 6. afgeleide van een macht y = u n y' = n. u n 1.u' 7. afgeleide van de samengestelde van functies ( g o f ) ( x) ( ). D x f( x) D x [ ] = D z g z 8. afgeleide van goniometrische functies y = sin x y' = cos x y = cos x y' = sin x 1 y = tg x y' = cos x y = cotg x y' = 1 sin x Analyse 16

92 5.5. Opgaven 1. y = x 3 x x +1 ( y' = 3x x 1). y = 1 8 x x 4 y' = 3 8 x + 3 x ( ) ( y' = ( x 4x + 3) ( x 4) ) 3. y = x 4x + 3 ( ( ) 4. y = x 3 ( x + 6) ( x + 3) y' = 3x ( x + 6) x +13x + 18, 5 5. y = 5+ 3x 1 y' = x,5x 7, x 1 x 6. y = x 3 x x + 7. y = x 5x + 7 x 8. y = x ( x + ) x 1 9. y = 1 3 x3 + x + x 10. y = x3 x 1 y' = 4x +14x 6 x x + ( ) y' = x 4x + 3 x ( ) ( ) ( ) y' = x + x +1 x 1 y' = x +1 x ( ) ( ) y' = x x 3 x y = a x y' = x a x Analyse 17

93 1. y = x + 18 x y' = 18 x x 18 x 13. y = x 3 + 3x y' = 3x + 6x x 3 + 3x 14. y = x 3 + 5x 5 y' = 6x + 5 x 3 + 5x y = 4x 1 x x x 1 y' = 4 x x 16. y = ( x 1) 4 x x x 1 y' = 4 x 4 x ( ) 17. y = ( x +1) x 4x + 3 y' = ( x +1) 3x 9x + 4 x 4x y = 5x 4x +1 y' = ( 5x ) ( ) 3 3 5x 4x +1 4 ( ) ( x + ) y = 5x 6x + 4 y' = 35x3 30x + 5x 4 4 x + 0. y = x + 5 x y' = x +10 x x y = x 3x +1 x x + 1 y' = 4x 3 6x + 9x 5 ( ) x x +1 x x + 1. y = 3x y' = 3 ( 1 3x) ( 1+ x) 5 ( 1 + x) 7 Analyse 18

94 3. y = ( x 1) ( x ) ( x 3) ( x 4) y' = x +10x 11 ( x 1) ( x ) ( x 3) 3 ( x 4) 3 ( 4. y = ) 3x x 9 y' = 3x4 x x 4x 3 x 9 x 1 5. y = ( ) 3 x 3 y' = ( x + ) 3 ( ) 3 ( ) ( x 1 ) 14x 3 x + 4x ( x + ) 4 x 3 6. y = 4 sin x ( y' = 4 sin x) 7. y = cos x 5 cos x ( y' = sin x + 5 sin x) 8. y = cos x y' = sin x. cos x sin x + cos x 9. y = sin x cos x y' = ( sin x cos x) 30. y = x sin x ( y' = 1 cos x) 31. y = sin x sin x ( y' = cos x cos x) 3. y = cos x y' = sin x cos x Analyse 19

95 3 33. y = cos 4x y' = 8 sin 4x 3 3 cos 4x 34. y = 4 cos 3x + 3 sin 4x ( y' = 1 sin 3x + 1 cos 4x) 35. y = cos x + sec x ( y' = sin x + tg x sec x) 36. y = cos x sin x y' = sinxsin x cosxcosx sin x 37. y = sin x. cos x 3 cos x sin x y' = 3 cos 4 x + sin 4 x ( 3 cos x sin x) 3 cos x sin x 6. Onbepaalde integraal 6.1. Primitieve functies Definitie Een primitieve functie F(x) van de functie f(x) is elke functie met de eigenschap F'(x) = f(x). Eigenschap 1 Is F(x) een primitieve functie van f(x), dan is ook F(x) + k, k IR, een primitieve functie van f(x). Eigenschap Als F 1 ( x) en F ( x) primitieve functies zijn van f(x) dan verschillen F 1 ( x) en F ( x) slechts door een constante term. Besluit Is F(x) een primitieve functie van f(x), dan worden alle primitieve functies van f(x) gevonden door bij F(x) een willekeurig reëel getal op te tellen. Analyse 0

96 6.. Onbepaalde integraal De onbepaalde integraal van een functie f(x) is de verzameling van alle primitieve functies van f(x). Notatie: f( x) dx = { F(x) + k F' (x) = f(x) en k IR} kortweg noteert men f( x) dx = F( x) + k 6.3. Eigenschappen 1. k f( x)dx = k f( x) dx ( ( )+ g( x) ) dx = f x. f x ( )dx + g( x)dx 6.4. Fundamentele integralen x n dx = x n+1 + k, als n 1 n +1 sin x dx = cos x + k cos x dx = sin x + k dx cos x = tg x + k dx sin x = cotg x + k 6.5. Substitutiemethode De substitutiemethode is gebaseerd op de formule: f g( x) ( ) dx = f( t) dt met g( x) = t ( ) g' x Analyse 1

97 6.6. Opgaven Bereken de onbepaalde integraal met integrand gelijk aan: x 4 x 3 x + k 4 4. x 3 7 x 4 x 3 + k 3. x x 5 x x + k 4. x 3 5 x 5 x 4 5 x + k x 3 3 x + k x 9 8x + k x 3 x 1 13 x 1 x + k 8. x + 7 ( x + 7x + k) 9. sin x + cos x (- cos x + sin x + k) cos x 7 tg x + k cos x 1 cotg x + k 1. 5x 8x x 5 x + 8 3x 3 3 4x + k 4 Analyse

98 13. 1 cos3 x cos x tan x sin x + k cos x ( ± sin x + k) ( )6 15. ( x + 3) 5 x k 16. cos x 17. cos x 18. sin x 1 sin x + k 1 x + 1 sin x + k 4 1 x 1 sin x + k 4 ( )5 19. ( x 5) 4 x k 0. x + 6 ( 3 x + 6) x k 1. 4 x 5 ( 8 x 5 + k). sin 3x 1 cos 3x + k 3 ( )6 3. ( x 7) 5 x k 4. 3x + 4 ( 9 3x + 4) 3x k 5. 1 cos 4x 1 ( tan 4 x + k) x ( 3x 1) + k 7. ( x ) x ( 5 x ) x + k Analyse 3

99 8. ( x + 3) x + 6 ( 5 x +3) x k 9. sin 3 x cos x + cos 3 x + k cos 3 x sin x sin3 x + k sin x. cos x 3 cos3 x + k 3. cos 4 x 33. sin 4 x cos x 35. x x x x x sin x + 1 sin 4x + k x 1 4 sin x + 1 sin 4x + k 3 x (tan + k) 5 x + x 6 ( ) x k ( 105 x 1) 15x +1x + 8 ( ) x 1 + k 37. ( x + 3) x ( 8 x + ) ( 4x +15 ) 3 x + + k 8. x + 3x 1 ( 3x + 0) 3x 1 + k 7 Analyse 4

100 6.7. Partiële integratie Vermits udv = d(uv) - (du)v is udv = uv vdu. Deze formule ligt aan de basis van de partiële integratie Opgaven Bereken de onbepaalde integralen met integrand gelijk aan: 1. x.cos x ( x sin x + x cos x sin x + k). x. cos x ( x sin x + cos x + k) 3. x 3 sin x ( x 3 cos x + 3x sin x + 6x cos x 6 sin x + k) 4. cos x 5. cos 3 x 1 x + 1 sin x. cos x + k 1 3 cos x. sin x + 3 sin x + k 6. x.sin x. cos x 1 4 x. cos x + 1 sin x + k 8 7. x. cos x 1 4 x x sin x + 1 cos x + k 8 Analyse 5

101 7. Bepaalde integraal 7.1. Grondstelling Is f ( x )dx = F ( x ) + k, dan is f ( x)dx Merk op de bepaalde integraal is een getal. 7.. Integratiemethoden b a b = F( b) F( a) = F( x) a Substitutiemethode Voorbeeld. I = π 0 sin x dx - eerste methode: eerst de onbepaalde integraal oplossen sin x dx = 1 zodat I = 1 sin x d ( x ) = 1 cos x + k [ cos x ] π 0 = 1 ( 1 1) = 1 - tweede methode: aanpassen van de integratiegrenzen, bij het doorvoeren van de substitutie I = π 0 sin x dx stel x = t dan is dx =dt x = 0 is t = 0 en voor x = π is t = π bijgevolg is: I = π 0 sin t. 1 dt = 1 cos t π 0 = 1 ( cos π cos 0 ) = 1 Analyse 6

102 7... Partiële integratie b udv = uv b a vdu a b a Voorbeeld. I = x x 1 dx 1 u = x du = dx dv = x 1 dx v = ( x 1) d( x 1)= 3 I = 3 x ( x 1) ( ) ( x 1) 3 dx ( x 1) 5 1 = ( ) = ( x 1) 3 Analyse 7

103 7.3. Opgaven 3 1. x dx (4) 1 ( ) dx. 3x x + 4 (3) π 3. sin x dx () dx 1 π x 5. cos x dx 1 π 6. 1 x dx 0 1 π π x x + 5 dx x x + 5 dx (0) π 9. cos x sin 3 x dx π 10. cosx sin 3 x dx Analyse 8

104

105 Goniometrie Dr. Caroline Danneels Dr. Paul Hellings

106

107 1 Hoeken 1.1 De goniometrische cirkel De goniometrische cirkel wordt steeds gedefinieerd in een orthonormaal assenkruis. Het is een cirkel met het middelpunt in de oorsprong en met de gebruikte lengte-eenheid als straal. Men definieert op deze cirkel de positieve zin als de tegenwijzerzin, en de negatieve zin als de wijzerzin (fig. 1). 1. Georiënteerde hoeken Een hoek wordt bepaald door gesloten halfrechten met een zelfde beginpunt O. Beschouwen we bij deze hoek [OA als beginbeen en [OB als eindbeen, dan hebben we een georiënteerde hoek. We noteren AOB en duiden de oriëntatie aan door een pijltje van begin- naar eindbeen. We kunnen het pijltje ook in de andere zin tekenen, steeds vertrekkend bij het beginbeen [OA. Het gaat in beide gevallen om dezelfde georiënteerde hoek AOB. De hoek BOA is een andere georiënteerde hoek die we de tegengestelde hoek van AOB zullen noemen (fig. ). Opmerking: een georiënteerde hoek is eigenlijk de verzameling van alle hoeken die door een rotatie en/of translatie in elkaar kunnen worden getransformeerd. y Z + α x O B AOB O B BOA A A fig. 1 : de goniometrische cirkel fig. : hoeken AOB en BOA De invoering van de goniometrische cirkel maakt het mogelijk een waarde toe te kennen aan elke georiënteerde hoek OAB, die we voortaan α zullen noemen. Stel de georiënteerde hoek voor in de goniometrische cirkel en laat het beginbeen samenvallen met de x-as (zie fig. 1). Dan snijdt het eindbeen de goniometrische cirkel in het punt Z. Z is dan de voorstelling van de georiënteerde hoek α op de goniometrische cirkel. Goniometrie

108 Als Z I: hoek α behoort tot het eerste kwadrant. Als Z II: hoek α behoort tot het tweede kwadrant. Als Z III: hoek α behoort tot het derde kwadrant. Als Z IV: hoek α behoort tot het vierde kwadrant. fig. 3 : de vier kwadranten Praktisch worden twee hoekeenheden frequent gebruikt: de 60-delige graad en de radiaal. Enkel de radiaal heeft een wiskundige en reële basis: een hoek van 1 radiaal bepaalt op de cirkel een boog met als lengte 1 maal de straal. Omdat de lengte van de volledige cirkelomtrek πr bedraagt, zijn er in een volledige cirkel dus π radialen. Omgekeerd, tekent men in het middelpunt van een cirkel met straal R een hoek van θ radialen, dan bepaalt deze op de cirkel een boog met lengte θ.r. Onderverdelingen van radialen worden steeds in decimale vorm geschreven. In een volledige cirkelboog gaan ook 360 graden, elke graad verdeeld in 60 boogminuten en elke boogminuut in 60 boogseconden. De symbolen, ' en " worden gebruikt voor resp. graden, boogminuten en boogseconden. Naast Z kan je oneindig veel waarden plaatsen, aan elkaar gelijk op een geheel veelvoud van 360 of π na, vermits je meerdere omwentelingen in de ene of de andere zin kan maken alvorens bij het eindbeen te eindigen. De verzameling van alle waarden wordt het maatgetal van de georiënteerde hoek α genoemd. De hoofdwaarde van α is die waarde van α welke behoort tot ]- 180, 180 ], resp. ]- π,π]. 1.3 Omzetting radialen naar graden en omgekeerd Omdat π = 360 gelden de volgende omzettingsformules: r rad 360 r π π g g rad 360 Opmerking: Bij een hoek uitgedrukt in radialen wordt enkel het maatgetal gegeven zonder de vermelding rad. Goniometrie 3

109 De goniometrische getallen.1 Definities Beschouw de constructie van de georiënteerde hoek α zoals omschreven in de vorige paragraaf. Het eindbeen van de hoek α snijdt de goniometrische cirkel in het punt Z. Dan noemt men de x- coördinaat van Z de cosinus van α, of kortweg cos α, en de y-coördinaat de sinus van α of kortweg sin α. De keuze van een hoek legt dus ondubbelzinnig haar cosinus en sinus vast. Omgekeerd legt de selectie van een cosinuswaarde en een sinuswaarde de hoek slechts vast op een geheel veelvoud van π na. y sinα 1 α Z x cosα Fig. 4 : Sinus en cosinus op de goniometrische cirkel Naast sinus en cosinus worden nog gedefinieerd : de tangens : de secans : sinα tanα = de cotangens : cosα 1 secα = de cosecans : cosα cosα cotα = sinα 1 cscα = sinα S 1 cscα 1 cotα S tanα sinα α cosα 1 secα Fig. 5 : de meetkundige definitie van de goniometrische getallen Goniometrie 4

110 Als gevolg van hun definities kunnen de zes goniometrische getallen waarden aannemen in volgende gebieden : sin α [ -1,1 ] cos α [ -1,1 ] tan α ] -, + [ cot α ] -, + [ sec α ] -, 1] [ 1, + [ csc α ] -, 1] [ 1, + [. Enkele bijzondere hoeken en hun goniometrische getallen α 0 30 = π/6 45 = π/4 60 = π/3 90 = π/ sin α 0 1/ / 3 / 1 cos α 1 3 / / 1/ 0 tan α 0 1/ cot α 3 1 1/ 3 0 sec α 1 / 3 csc α /3 1 Goniometrische getallen van hoeken in het tweede, derde en vierde kwadrant zullen we vinden door herleiding van die hoeken naar het eerste kwadrant via de formules van aanverwante hoeken..3 Tekenverloop van de goniometrische getallen Binnen een kwadrant behouden de goniometrische getallen eenzelfde teken (fig. 5) sinus cosecans cosinus secans tangens cotangens Fig.6 : tekenverloop van de goniometrische getallen volgens het kwadrant. Goniometrie 5

111 .4 Hoofdformule en afgeleide formules De formule van Pythagoras in de driehoek OPZ (zie fig. 7) levert ons : OP + PZ = OZ Met OP = cos α ; PZ = sin α ; OZ = 1 betekent dit : cos α + sin α = 1 Dit is de hoofdformule van de goniometrie. Delen we deze formule respectievelijk door de twee termen van het linkerlid : 1+ tan α = sec α 1+ cot α = csc α y Q Z α Ο P x Fig. 7 : de driehoek OPZ.5 Voorbeelden.5.1 Berekening van goniometrische getallen Gegeven: sinα = 5 13 Gevraagd: alle andere goniometrische getallen Uit het feit dat de sinus van deze hoek positief is volgt dat de hoek in het eerste of het tweede kwadrant ligt. We bepalen dus nu de andere getallen : uit de hoofdformule : cos α = 1 sin α = = tanα = sinα cosα = ± 5 1 cotα = 1 tanα = ± 1 5 secα = 1 cosα = ± 13 1 dus cosα = ± = ± 1 13 Goniometrie 6

112 cscα = 1 sinα = 13 5 De twee mogelijke oplossingen voor enkele van de goniometrische getallen stemmen overeen met de waarden van deze getallen volgens de beschouwde kwadranten. Samengevat : kwadrant sin cos tan cot sec csc 1ste 5/13 1/13 5/1 1/5 13/1 13/5 de 5/13-1/13-5/1-1/5-13/1 13/5.5. Bewijs de volgende identiteit sec α + csc α = sec α csc α Bewijs : 1 1 sec α + csc α = + cos α sin α sin α + cos α = cos sin α α 1 = cos sin α α = sec α csc α.6 Goniometrische getallen van aanverwante hoeken.6.1 Formules a. Supplementaire hoeken ( = som is π ) sin(π α) = sin α tan(π α) = - tan α cos(π α) = - cos α cot(π α) = - cot α b. Anti-supplementaire hoeken ( = verschil is π ) sin(π + α) = - sin α tan(π + α) = tan α cos(π + α) = - cos α cot(π + α) = cot α c. Tegengestelde hoeken ( = som is π ) sin(π α) = - sin α tan(π α) = - tan α cos( π α) = cos α cot(π α) = - cot α Goniometrie 7

113 d. Complementaire hoeken ( = som is π / ) sin(π/ α) = cos α tan(π/ α) = cot α cos(π/ α) = sin α cot(π/ α) = tan α y π-α α x π+α -α Fig. 8 : De aanverwante hoeken van α De formules van de tegengestelde hoeken reduceren een hoek van vierde naar eerste kwadrant; de formules van anti-supplementaire hoeken van derde naar eerste kwadrant en de supplementaire hoeken van tweede naar eerste kwadrant. Met de formules van complementaire hoeken kunnen hoeken tussen 45 en 90 herleid worden naar hoeken tussen 0 en 45. het volstaat dus in principe de goniometrische getallen daar te kennen..6. Hoeken terugzoeken Wanneer men startend van een zeker goniometrisch getal de hoek terugzoekt die dit getal oplevert zijn er meestal twee oplossingen. Rekenmachines geven systematisch de meest voor de hand liggende oplossing, maar in een praktische situatie kan de tweede oplossing even correct zijn, of zelfs de enige correcte. Het antwoord van een rekenmachine moet dan door de gebruiker aangepast worden, zoniet rekent men met een fout resultaat verder! Onderstaande tabel geeft voor positieve en negatieve goniometrische getallen het kwadrant waarin de oplossing van de rekenmachine ligt, en daarnaast het kwadrant van de tweede oplossing: Invoer Rekenmachine Tweede oplossing Positieve sinus of cosecans 1 Negatieve sinus of cosecans 4 3 Positieve cosinus of secans 1 4 Goniometrie 8

114 Negatieve cosinus of secans 3 Positieve tangens of cotangens 1 3 Negatieve tangens of cotangens 4.7 Oefeningen.7.1 Bepaal voor de gegeven goniometrische getallen de overige goniometrische getallen (zonder vooraf de hoek te bepalen) 1. sinα = 6 6. cscα = cotα = secα = Bewijs volgende identiteiten 1.. csc α + cot β = csc β + cot α ( 1 sinα) ( 1+ sinα) ( secα + 1) ( secα 1) = cos α cot α sec α + tan α 1 sin = secα + tanα = + α secα tanα 1 sinα 3. ( ) 4. ( 1 cotα)( sec α tanα) ( + α ) 3 1 tan + + = tanα.7.3 Vereenvoudig volgende uitdrukkingen steunend op de formules voor aanverwante hoeken. π cos + x cos( π x) sin ( ) cos( ) 1. π x π + x + π π 3π sin x sin ( x π ) sin + x cos + x. csc( π + x)sec( π x) sec( π x)csc( π x) π π 3π 3π csc x sec x+ sec + x csc x Goniometrie 9

115 .7.4 Bepaal volgende goniometrische getallen: reduceer eerst de hoek naar het eerste kwadrant, gebruik makende van de formules van aanverwante hoeken (gebruik geen rekenmachine). 1. sin 10. cos ( -135 ) 3. tan π cot π tan Los op in IR. Druk de oplossing(en) uit in radialen. 1. cos 5x = 3. sin 5x = 3 3. sin x = 3 sin x sin x = 3 sin x 5. sin x = 1 5 en x π, π ; gevraagd: sin x 6. sin x = 3 cos x 7. tan ( 3x + ) = 3 Goniometrie 10

116 3 De goniometrische functies 3.1 Periodieke functies Definitie : een functie f : IR IR is periodiek p IRo : x dom f : x + p dom f f (x + p ) = f(x) Indien p een getal is dat hieraan voldoet, dan voldoen ook alle positieve en negatieve veelvouden aan de definitie. We noemen daarom de kleinste positieve waarde p die voldoet de periode P van de functie. Grafisch betekent periodiciteit dat de vorm van de grafiek van f(x) zich herhaalt over opeenvolgende intervallen met lengte P. 3. Even en oneven functies Een functie f heet EVEN indien: x dom f : - x dom f f (- x) = f(x) Twee punten met tegengestelde x-waarden moeten dus steeds dezelfde y-waarden hebben. De grafiek is dus symmetrisch tegenover de y-as. Een functie f heet ONEVEN indien: x dom f : - x dom f f (- x) = - f(x) Twee punten met tegengestelde x-waarden moeten dus ook tegengestelde y-waarden hebben. De grafiek is dus symmetrisch tegenover de oorsprong. 3.3 Sinusfunctie sin : IR [ -1,1 ] : x sin x Het argument x wordt steeds geïnterpreteerd in radialen. De periode van deze functie is π. De sinusfunctie is oneven, want tegengestelde hoeken hebben ook tegengestelde sinussen. -π π Fig. 9 : de sinusoïde Goniometrie 11

117 3.4 Cosinusfunctie cos : IR [ -1,1 ] : x cos x Het argument x wordt steeds geïnterpreteerd in radialen. De periode van deze functie is π. De cosinusfunctie is even, want tegengestelde hoeken hebben gelijke cosinussen. -π π 3.5 Tangensfunctie fig. 10 : de cosinusoïde tan : IR \ π + kπ, k IR IR : x tan x Het argument x wordt steeds geïnterpreteerd in radialen. De periode van deze functie is π. De tangensfunctie is oneven, want tegengestelde hoeken hebben ook tegengestelde tangensen. π π π π fig. 11 : de tangensfunctie 3.6 Cotangensfunctie cot : IR \ { kπ, k IR} IR : x cot x Het argument x wordt steeds geïnterpreteerd in radialen. De periode van deze functie is π. De cotangensfunctie is oneven, want tegengestelde hoeken hebben ook tegengestelde cotangensen. Goniometrie 1

118 π π π fig. 1 : de cotangensfunctie 3.7 De secansfunctie sec : IR \ π + kπ, k IR ], 1] [1,+ [ : x sec x Het argument x wordt steeds geïnterpreteerd in radialen. De periode van deze functie is π. De secansfunctie is even, want tegengestelde hoeken hebben ook gelijke cosinussen en dus gelijke secansen. π π π π fig. 13 : de secansfunctie 3.8 De cosecansfunctie csc : IR \ { kπ, k IR} ], 1] [1,+ [ : x csc x Het argument x wordt steeds geïnterpreteerd in radialen. De periode van deze functie is π. De cosecansfunctie is oneven, want tegengestelde hoeken hebben tegengestelde sinussen en dus tegengestelde cosecansen. Goniometrie 13

119 π π π π fig. 14 : de cosecansfunctie 3.9 Oefeningen Bepaal de periode van volgende functies en teken hun grafiek 1. f(x) = sin x. x f(x) = cos 3 3. x f(x) = cos π + 3 Goniometrie 14

120 4 Rechthoekige driehoeken 4.1 Formules fig. 15 : rechthoekige driehoeken gebruikt bij de opstelling van de formules van deze paragraaf In een rechthoekige driehoek met α als rechte hoek gelden steeds volgende formules: α = π β + γ = π a = b + c Tekenen we in bovenstaande driehoek een cirkelsegment met middelpunt in B en straal a (zie eerste driehoek in fig. 15), dan zien we hierin een deel van een cirkel met straal a. De aanliggende rechthoekzijde c en de overstaande rechthoekzijde hebben resp. de volgende lengten: c = a cos β en b = a sin β Op analoge wijze, nu d.m.v. een cirkelsegment met middelpunt in C en straal a (zie tweede driehoek in fig. 15), vinden we: b = a cos γ en c = a sin γ In woorden : De cosinus van een scherpe hoek is de lengte van de aanliggende rechthoekzijde gedeeld door de lengte van de schuine zijde De sinus van een scherpe hoek is de lengte van de tegenoverliggende rechthoekzijde gedeeld door de lengte van de schuine zijde Delen wij de eerste twee formules dan vinden we : b = c tan β of c = b cot β Analoog met de laatste twee formules : c = b tan γ of b = c cot γ Goniometrie 15

121 In woorden : De tangens van een scherpe hoek is de lengte van de tegenoverliggende rechthoekzijde gedeeld door de lengte van de aanliggende rechthoekzijde De cotangens van een scherpe hoek is de lengte van de aanliggende rechthoekzijde gedeeld door de lengte van de tegenoverliggende rechthoekzijde Voorbeeld : Gegeven : α = 90 ; β = 13 ; b = 10 Gevraagd : alle ontbrekende hoeken en zijden γ = 90 - β = = 77 a = c = b 10 sin β = sin13 = 44.5 a b = Oefeningen 1. Gegeven : ABC met a = 45, α = 90 ; β = 40 10'35" Gevraagd : de overige zijden en hoeken. Een schuifladder staat schuin tegen een verticale muur op een horizontale grond. Helemaal uitgetrokken vormt hij met de vloer een hoek van 53 18' ; helemaal ingeschoven is de hoek 9 10', terwijl de top op dat moment op een hoogte van 5m tegen de muur leunt. In de veronderstelling dat de voet van de ladder op zijn plaats blijft, bereken : de maximale hoogte die men kan bereiken de maximale lengte van de ladder 3. Een lichtstraal die schuin op het water invalt, ondergaat een breking die in de volgende formule wordt uitgedrukt: sinα 4 sin β = 3. Een lichtstraal die loodrecht invalt, treft de bodem in het punt P. Op welke afstand van P treft de lichtstraal de bodem als de invalshoek 30 bedraagt en het water 1 m diep is. Opmerking: los deze oefening op zonder de hoek β te berekenen. Goniometrie 16

122 In mechanica zal je te maken krijgen met oefeningen waarin krachten moeten berekend worden. In de volgende oefeningen worden dergelijke situaties geschetst. Hier beperken we ons tot het berekenen van hoeken tussen staven. 4. Bereken: hoek tussen FE en het horizontaal vlak hoek tussen FC en het verticaal vlak 5. Bereken hoek tussen CD en DF fig. 17 : illustratie bij oefening 4 6. Bereken hoek tussen BC en CD fig. 18 : illustratie bij oefening 5 fig. 19 : illustratie bij oefening 6 Goniometrie 17

123 5 Willekeurige driehoeken Voor de volledigheid vermelden we eerst dat ook voor willekeurige driehoeken blijft gelden dat de som van de hoeken 180 is. Aan de hand van de formules voor rechthoekige driehoeken kan men formules opstellen voor willekeurige driehoeken. We beschouwen hiervoor een willekeurige driehoek ABC met zijden a, b en c en hoeken α, β en γ. 5.1 De sinusregel De hoogtelijn uit A op de overstaande zijde a snijdt deze in het punt S. Op deze wijze wordt de driehoek verdeeld in twee rechthoekige driehoeken met een gemeenschappelijke zijde AS, met lengte d. De lengte d kan men nu beschrijven vanuit het punt B, in de driehoek ΑΒS enerzijds, en vanuit het punt C in de driehoek ASC anderzijds : d = c sin β en d = b sin γ Dus bekomen we sin β sin γ = b c fig. 0 : Willekeurige driehoek Een zelfde redenering met een andere hoogtelijn brengt ook nog de zijde a en haar overliggende hoek α in de gelijkheid. Dit geeft ons de SINUSREGEL : sinα sin β sinγ = = a b c 5. De cosinusregel Deze regel kan op verschillende manieren worden afgeleid. In fig. 15 wordt de zijde a door S in twee stukken gedeeld met lengte a1 en a. We kunnen dan a1 en d respectievelijk schrijven als a1 = b cos γ d = b sin γ In de rechterdriehoek ABS geldt volgens Pythagoras: Goniometrie 18

124 c = d + a = d + (a-a ) 1 = b sin γ + a + a - a a 1 1 = b sin γ + a + b cos γ - a b cos γ = b + a - a b cos γ Dezelfde uitdrukking kan bekomen worden indien het voetpunt S buiten de zijde a valt. Vervolgens kunnen analoge uitdrukkingen worden afgeleid voor de andere hoeken. Samengevat krijgen we op die manier: COSINUSREGEL : a = b + c - b c cos α b = a + c - a c cos β c = a + b - a b cos γ Merk op dat de cosinusregels in feite niets anders zijn dan de stelling van Pythagoras, uitgebreid met een bijkomende cosinusterm in een bepaalde hoek. Indien de driehoek in deze hoek rechthoekig is valt de cosinusterm weg en krijgen we zuiver de stelling van Pythagoras. 5.3 Oplossen van een willekeurige driehoek Met het oplossen van een willekeurige driehoek bedoelt men het berekenen van de ontbrekende zijden en hoeken van de driehoek, uitgaande van een minimum aantal gegevens. Hierbij wordt gebruik gemaakt van 3 soorten formules, die geldig zijn in alle driehoeken: de som van de hoeken is 180 de sinusregel: betrekkingen tussen zijden en hun overstaande hoeken de cosinusregel: betrekkingen tussen de 3 zijden en één hoek. Uiteraard moeten de gegevens zodanig zijn dat ze elementen van een driehoek kunnen zijn. De gegeven hoeken mogen samen niet meer dan 180 bedragen, en de zijden moeten voldoen aan de driehoeksongelijkheid, nl. de som van zijden moet steeds groter zijn dan de derde zijde. a. Gegeven twee zijden a en b en hun tussenliggende hoek. Dan is er 1 oplossing: bepaal de derde zijde uit zijn cosinusregel, een andere hoek via de sinusregel en de derde hoek als 180 min de twee reeds gekende. Opgelet: de sinusregel geeft oplossingen voor de tweede hoek (nl. supplementaire hoeken). Toets de oplossingen aan de driehoekseigenschappen. (Zie oefeningen) Goniometrie 19

125 b. Gegeven één zijde en zijn twee aanliggende hoeken. Dan is er één oplossing: de derde hoek is onmiddellijk gekend als 180 min de twee gegeven hoeken, de twee overige zijden zijn gekend via de sinusregel. c. Gegeven de drie zijden. Dan is er één oplossing: bepaal een hoek uit een cosinusregel, de tweede eveneens of uit de sinusregel, de derde via de som van de hoeken die 180 moet zijn. d. Gegeven de zijden a en b en aanliggende hoek aan a. In dit geval kunnen er 0, 1 of oplossingen zijn. Bepaal de hoek α uit de sinusregel. Dit levert 0 (indien sin α > 1) of oplossingen (supplementaire hoeken hebben gelijke sinus) naar gelang de getalwaarden van de begingegevens. Voor elk van de oplossingen bepaal je de ontbrekende hoek γ, en dan de zijde c via de sinusregel. Tenslotte ga je na of elk van de gevonden oplossingen zinvol is: er mogen geen negatieve hoeken of zijden voorkomen. (Zie oefeningen) 5.4 Oefeningen 1. Een toren wordt vanop het grondoppervlak gezien onder een hoek van 1. Gaat men 4 meter dichterbij, dan is die hoek 35. Bepaal de hoogte van de toren.. Twee vliegtuigen vertrekken van éénzelfde punt elk in een andere richting. De richtingen maken onderling een hoek van 3. De snelheid van het eerste vliegtuig is 600 km/u, van het tweede 900 km/u. Bepaal hun onderlinge afstand na anderhalf uur. 3. Een vlaggenstok steekt omhoog uit een gevel met een hoek van 45. Vijf meter boven het steunpunt van de stok in de muur bevestigt men aan de muur een kabel van 3.60 meter. Op welke afstand van het steunpunt zal men het andere einde van de kabel aan de stok kunnen vastmaken. fig. 1 : illustratie bij oefening 3 4. Los de vorige oefening ook op met een kabel van meter, en daarna met een kabel van 8 meter. 5. Drie waarnemers bevinden zich op onderlinge afstanden van, 3 en 4 meter. Bepaal voor elke waarnemer de hoek waaronder hij de twee andere ziet. Goniometrie 0

126 6. Een boot vaart pal noord en ziet een vuurtoren op 40 naar het oosten. Na 0 km te hebben gevaren is de hoek toegenomen tot 80. Bepaal op beide punten de afstand van de boot tot de vuurtoren. 7. Hier volgt opnieuw een situatie uit mechanica. Bepaal de hoek tussen de touwen AC en AD. Fig. : illustratie bij oefening 7 Goniometrie 1

127 6 Aanvullingen 6.1 Speciale lijnen in een driehoek Hoogtelijn = de loodlijn uit een hoekpunt op de overstaande zijde. Het voetpunt van de hoogtelijn kan buiten deze zijde liggen. Eigenschap : De hoogtelijnen van een driehoek snijden elkaar in één punt, het hoogtepunt. Dit kan buiten de driehoek liggen. H Z fig. 3 : hoogtelijnen fig.4 : zwaartelijnen 6.1. Zwaartelijn = verbindingslijn tussen een hoekpunt en het midden van de overstaande zijde. Eigenschap : De zwaartelijnen van een driehoek snijden elkaar in één punt, het zwaartepunt. Dit ligt binnen de driehoek Andere lijnen Ook de bissectricelijnen snijden in één punt. Dit punt ligt binnen de driehoek. Ook de middelloodlijnen snijden in één punt. Dit punt kan buiten de driehoek liggen. 6. Gelijkbenige driehoeken α b h b H β β a fig. 5 : gelijkbenige driehoek Goniometrie

128 Indien een driehoek twee gelijke zijden heeft noemt men deze gelijkbenig. De twee gelijke zijden noemt men de opstaande zijden, de derde zijde is de basis. De hoek tegenover de basis is de tophoek. De twee andere hoeken zijn noodzakelijkerwijze gelijk en worden de basishoeken genoemd. Eigenschap : de hoogtelijn en de zwaartelijn uit de tophoek vallen samen. Noemen we deze hoogtelijn h, de opstaande zijde b, de basis a, de tophoek α en de basishoek β: dan : h = b sin β 6..1 Oefeningen en a = b cos β 1. Stel analoge formules op die de tophoek gebruiken.. Bepaal de grootte van de hoeken van een gelijkbenige driehoek met basis 8 en opstaande zijde Bepaal de lengte van de opstaande zijde van een gelijkbenige driehoek met tophoek 4 en basis Bepaal de lengte van elke zijde van een gelijkbenige driehoek met tophoek 36 en tophoogtelijn In een gelijkbenige driehoek met tophoek 4 ligt het hoogtepunt op afstand 6 cm van de top. Bepaal alle hoeken en zijden. 6.3 Gelijkzijdige driehoeken a 60 H=Z a a fig. 5 : gelijkzijdige driehoek Indien in een driehoek de drie zijden gelijke lengte hebben noemt men de driehoek gelijkzijdig. Als gevolg zijn ook de drie hoeken aan elkaar gelijk, en dus gelijk aan 60. Eigenschap : de hoogtelijn uit een bepaalde hoek valt samen met de zwaartelijn uit deze hoek. Hoogtepunt en zwaartepunt vallen samen. Goniometrie 3

129 6.3.1 Oefeningen 1. Bepaal de afstand van het zwaarte/hoogtepunt tot één van de hoekpunten in functie van de lengte van de zijde (gelijkzijdige driehoek). Bepaal de lengte van een hoogtelijn in een gelijkzijdige driehoek met zijde 8 cm 3. De hoogtelijn van een gelijkzijdige driehoek heeft lengte 8 cm. Bepaal de lengte van de zijden. 6.4 Buitenhoeken De buitenhoek van een hoek in een driehoek is het supplement van deze hoek. Bijgevolg is elke buitenhoek gelijk aan de som van de twee andere hoeken. De som van de buitenhoeken is dus 360 of π. Goniometrie 4

130 7 Goniometrisch rekenen De formules uit deze paragraaf behandelen de berekening van de goniometrische getallen van een som of verschil van twee hoeken, van een dubbele of halve hoek, de omzettingen tussen sommen en producten van sinussen en cosinussen... Minstens even belangrijk als de kennis van deze formules is hun onderlinge samenhang, de manier waarop de ene formule snel uit de andere kan worden afgeleid. Op die manier hoeven slechts enkele formules gememoriseerd te worden. Merk op dat volgende formules vaak worden gebruikt bij het oplossen van integralen. 7.1 Som- en verschilformules Startend vanaf één van de zes formules kunnen de andere eenvoudig worden afgeleid. Nemen we de somformule voor de sinus: sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β (1) Vervang hierin β door -β, met sin(-β) = - sin β, cos(-β) = cos β: sin(α - β) = sin α cos β - cos α sin β () Voor de analoge cosinusformules: cos(α + β) = sin[ π - (α + β)] = sin [( π - α ) - β] = sin( π - α) cos β - cos( π - α) sin β of nog : cos(α + β) = cos α cos β - sin α sin β (3) Wordt hierin opnieuw β vervangen door -β : cos(α - β) = cos α cos β + sin α sin β (4) Merk op : de sinusformules behouden het plus- of minteken maar mengen de goniometrische functies. De cosinusformules wijzigen het teken maar houden de goniometrische functies bij elkaar. We delen vervolgens (1) lid aan lid door (3), en delen we vervolgens in het rechterlid teller en noemer door cos α cos β : tanα + tan β tan( α + β) = (5) 1 tanα tan β Goniometrie 5

131 en vervangen we β door -β, dan bekomen we: tanα tan β tan( α β) = (6) 1 + tanα tan β 7. Verdubbelingsformules Nemen we in de voorgaande somformules β gelijk aan α dan vinden we de formules voor dubbele hoeken : cos α = cos α - sin α (7) sin α = sin α cos α (8) tanα tan α = 1 tan α (9) Twee nuttige vormen van (7) krijgt men door cos α te vervangen door 1 - sin α, of sin α door 1 - cos α : cos α = 1 - sin α (10) cos α = cos α - 1 (11) En dus: sin α = 1 ( 1 - cos α ) (1) cos α = 1 ( 1 + cos α ) (13) 7.3 Halveringsformules Vervang α door α in (10) en (11): cos α = 1 - sin α (14) cos α = cos α - 1 (15) 7.4 Goniometrische getallen in functie van tan α/ In (8) delen en vermenigvuldigen we het rechterlid met sec α. Door in de noemer 1 + tan α = sec α (zie $.4.) te gebruiken en in de teller een secans weg te werken samen met de cosinus vinden we : tanα sin α = (16) 1 + tan α Goniometrie 6

132 Vervangen we α hierin door α : sinα = α tan α 1+ tan Door een zelfde operatie op (7) vinden we : cosα = α 1 tan + α 1 tan (17) (18) en door in (9) α te vervangen door α : tanα = α tan α 1 tan (19) 7.5 Omzettingen van som/verschil naar product en omgekeerd In de somformules (1) en () zit in het rechterlid als gemeenschappelijke factor het product sin α cos β. Door (1) en () lid aan lid op te tellen en vervolgens beide leden door te delen bekomen wij : sin α cos β = 1 [ sin(α + β) + sin(α - β) ] (0) Op analoge manier vinden we door (1) en () lid aan lid af te trekken : cos α sin β = 1 [ sin(α + β) - sin(α - β) ] (1) Door ook (3) en (4) eens bij elkaar op te tellen en eens van elkaar af te trekken bekomen we nu: cos α cos β = 1 [ cos(α + β) + cos(α - β) ] () 1 sin α sin β = [ cos(α - β) - cos(α + β) ] (3) Deze vier formules zetten een product van twee cosinussen en/of sinussen met verschillend argument om in een som. De omgekeerde formules bekomen we door de factor 1 andere lid te brengen en vervolgens : naar het α : β : te vervangen door p + q te vervangen door p - q Goniometrie 7

133 Dit geeft ons tenslotte de formules van Simpson: sin p + sin q = sin p + q sin p - sin q = cos p + q cos p + cos q = cos p + q cos p - cos q = - sin p + q cos p - q sin p - q cos p - q sin p - q (4) (5) (6) (7) 7.6 Oefeningen 1. In een driehoek geldt: sin sin sin sin sin cos α + β γ = α β γ Bewijs.. Bereken en/of vereenvoudig: a. tan π π α + cot α b. sinα cosα sinα + cosα 3. Schrijf in functie van machten van sin α en/of cos α: a. sin 3α b. cos 4α α c. tan d. α α sin + cos α α cos sin 4. Ontbind in factoren: a. sin 3α sinα ( opl: cos αsin α ) + + ( opl: cos5 α(cosα + 1) ) b. cos 4α cos5α cos 6α c. tanα sinα d. cos β cos α ( opl: sin( α + β)sin( α β) ) α opl: tanα sin Goniometrie 8

134

135 Chemie A. Deschuytere S. De Jonge

136

137 Hoofdstuk 1. Inleiding 1. Praktische informatie. Het eerste jaar Bachelor in de Industriële Ingenieurswetenschappen bij KULeuven campus GroepT omvat verschillende opleidingsonderdelen waaronder het vak Chemie. In dit vak worden een aantal voor een ingenieur belangrijke aspecten van de Chemie behandeld. Daarbij veronderstellen we dat je als student reeds een zekere voorkennis van Chemie hebt. Vele studenten zullen de meeste onderdelen van deze basiskennis reeds in hun vorige opleidingen bestudeerd hebben. Andere daarentegen hebben maar weinig Chemie gehad. Daarom heeft de Eenheid Materie, die verantwoordelijk is voor alle opleidingsonderdelen die met Chemie te maken hebben, de hiernavolgende tekst opgesteld. Normaal gezien kan je deze gebruiken om zelfstandig de voorkennis Chemie in te studeren. Om je hierbij echter te begeleiden organiseren we een introductiecursus voor beginnende studenten. Voor het gedeelte Chemie is dit de cursustekst. Tijdens de cursus van het eerste bachelorjaar wordt een handboek gebruikt als cursustekst. Een aantal van de begrippen die hier besproken worden komen ook voor in dit handboek (General Chemistry, Chang, McGraw-Hill, 4de ed.).. Chemie en chemische technologie Chemische technologie omvat alle processen die de mens gebruikt om de structuur en de samenstelling van de materie te wijzigen. Vele van deze processen zijn even oud als de mens zelf, andere zijn slechts zeer recent ontwikkeld. Processen die in de voedselbereiding of in de metaalverwerkende industrie gebruikt worden behoren tot de oudste processen. De ontwikkeling van nieuwe geneesmiddelen, brandstofcellen en organische halfgeleiders zijn enkele voorbeelden van meer recente ontwikkelingen in de chemische technologie. 3. Materie Materie is alles wat ons omringt. De materie kan duidelijk zichtbaar zijn maar ook onzichtbaar (de gassen in de ons omringende atmosfeer bvb.). De materie kan van natuurlijke oorsprong zijn of door de mens gemaakt. De mens zelf is opgebouwd uit materie. We kunnen de materie bewerken om er nieuwe vormen van te maken. Materie kan gekleurd zijn of niet, doorzichtig of ondoorzichtig, inert of eerder reactief. Bij deze grote verscheidenheid in de ons omringende materie kunnen we ons afvragen waaruit de materie is opgebouwd, hoe de materie die in het universum aanwezig is, ontstaan is en wat de relatie is tussen materie en energie. De kennis van de samenstelling en de structuur van de materie laat ons ook toe ermee te werken. Onderzoek heeft aangetoond dat de materie, in al zijn vormen en verscheidenheid, opgebouwd is uit een aantal fundamentele bouwstenen, de atomen. De kennis van de atomen en de wijze waarop ze met elkaar binden laat ons toe toe vele eigenschappen van de materie te verklaren. Chemie

138 Als toekomstige ingenieur is inzicht in de samenstelling en de eigenschappen van de materie bijzonder belangrijk. Vele functies die je als ingenieur kan uitvoeren hebben te maken met het werken met materie. Chemie 3

139 Hoofdstuk. Het atoom 1. Atomen en materie. De atomen zijn de bouwstenen waaruit de materie is opgebouwd. In de natuur komen 9 verschillende atomen voor. Sommige daarvan zijn zeldzaam, andere komen in zeer grote hoeveelheden in het universum voor. Ook op aarde komen al deze atomen in meer of mindere mate voor (tabel 1). Tabel 1 Het voorkomen van atomen in de aardkorst Aanwezigheid Atoom in de aardkorst (in %) Zuurstof 45,5 Silicium 7, Aluminium 8,3 Ijzer 6, Calcium 4,7 Magnesium,8 Alle andere atomen 5,3 De atomen worden gevormd in sterren. Naast de 9 zogenaamd natuurlijke atomen zijn er ook een aantal atomen die door de mens worden gemaakt. Het zijn de synthetische of transuraan atomen. Zij zijn het resultaat van reacties in kernreactoren of deeltjesversnellers.. De bouw van het atoom. A. Elementaire deeltjes. Atomen bestaan zelf uit nog kleinere deeltjes, die elementaire deeltjes genoemd worden. Verschillende atomen zijn dan opgebouwd uit een verschillend aantal van deze deeltjes. De deeltjes waaruit atomen zijn opgebouwd zijn de protonen, de elektronen en de neutronen. Tabel geeft informatie over de massa en de lading van deze deeltjes. Tabel De eigenschappen van de elementaire deeltjes in atomen Massa (in g) Lading (in C) Proton 1,676 x ,60 x Neutron 1,67493 x Elektron 9,10939 x ,60 x B. De lading van de elementaire deeltjes. Uit tabel blijkt dat protonen en elektronen geladen zijn. De protonen hebben een positieve lading, de elektronen een negatieve lading. De neutronen zijn neutrale deeltjes. Chemie 4

140 Atomen bevatten evenveel elektronen als protonen zodat zij steeds neutraal zijn. Het atoom zuurstof bvb bevat 8 protonen in de kern en 8 elektronen daarrond. Atomen kunnen wel elektronen afgeven of opnemen zodat er geladen deeltjes, ionen, ontstaan (zie verder). De lading van het elektron (of proton) is de kleinste lading, waarvan alle andere ladingen (ook deze die in de elektriciteit gebruikt worden) veelvouden zijn. Daarom wordt deze waarde de elementaire ladingseenheid (ele) genoemd. Een elektron heeft dus een lading van 1 ele (of gewoon 1) het proton een lading van +1 ele (of +1). 1 ele komt (afgerond) overeen met 1,6 x C C. De massa van elementaire deeltjes. Wat massa betreft zijn protonen en neutronen ongeveer even zwaar, terwijl de elektronen een veel kleinere massa hebben. De massa van de elektronen zal slechts in heel beperkte mate bijdragen tot de massa van een atoom. Meestal wordt de massa van de elektronen dan ook verwaarloosd (zie verder voor een rekenvoorbeeld). De protonen en de neutronen (de zware deeltjes) vormen samen de kern (nucleus) van het atoom. Zij worden daarom ook de nucleonen genoemd. De kern bevat dus bijna alle materie van een atoom. De elektronen daarentegen vormen een soort ijle ruimte rond de kern. Alhoewel niet alle atomen even groot zijn kan men stellen dat de straal van een gemiddeld atoom ongeveer 100 pm bedraagt (een pm komt overeen met 10-1 m). De kern daarentegen meet gemiddeld 5 x 10-3 pm. D. De samenstelling van de atomen De verschillende atomen waaruit de materie is opgebouwd, onderscheiden zich van elkaar door het aantal protonen in de kern. Dit aantal varieert van 1 tot 9 in de natuurlijke atomen en is hoger in de synthetische atomen. De atomen kunnen gerangschikt worden op basis van het aantal protonen in de kern. Dit aantal, voorgesteld met het symbool Z, is het atoomnummer. Het atoomnummer voor de natuurlijke atomen varieert van 1 tot 9 en is hoger dan 9 in de transuraan atomen. Alhoewel de atomen kunnen beschreven en gerangschikt worden op basis van hun atoomnummer is het om praktische redenen beter ze een naam en een symbool te geven. Zo wordt het atoom dat in zijn kern slechts één proton heeft (Z=1) waterstof genoemd. Het krijgt het symbool H. De volledige lijst van de atomen met hun atoomnummer, naam en symbool vind je terug in de periodieke tabel. 3. Isotopen. Van een atoom, gedefinieerd door zijn atoomnummer, kunnen verschillende isotopen bestaan. Dit zijn varianten van een atoom die hetzelfde atoomnummer hebben maar een verschillend aantal neutronen (in de kern). Het totaal aantal deeltjes in de kern van een atoom (protonen en neutronen) wordt het massagetal van een atoom genoemd. Het massagetal krijgt het symbool A. Isotopen van een atoom hebben dus hetzelfde atoomnummer maar een verschillend massagetal. Tabel 3 toont de isotopen van enkele atomen. Isotopen kunnen stabiel zijn of door radioactief verval verdwijnen. Dit verval kan snel of traag gebeuren. Chemie 5

141 Tabel 3 Isotopen van enkele atomen (niet alle bestaande isotopen zijn vermeld). Atoomnummer (Z) Naam (Symbool) Massagetal van de Voorkomen (in %) isotopen 1 Waterstof (H) 1 99,985 0,015 6 Koolstof (C) 1 98, ,11 0 Calcium (Ca) 40 96,97 4 0, ,14 44,1 46 0, ,18 9 Uraan (U) 35 0, ,7 Men heeft vastgesteld dat het procentueel voorkomen van de isotopen een constante waarde is, onafhankelijk van de plaats waar men de atomen verzamelt. De isotopen van een atoom hebben dezelfde chemische eigenschappen. Dit heeft te maken met het feit dat de chemische eigenschappen van een atoom (hoe het bindingen vormt bvb.) afhangen van het aantal elektronen en niet van de kern. Isotopen hebben hetzelfde aantal elektronen daar zij hetzelfde atoomnummer hebben. 4. Voorstelling van een atoom. In de meeste gevallen wordt een atoom voorgesteld met behulp van zijn symbool. Dit is zeker zo wanneer men de formules van moleculen schrijft. Soms echter wenst men bijkomende informatie te vermelden. Wanneer het gaat om een specifieke isotoop kan men het massagetal toevoegen. Dit wordt dan links bovenaan naast het symbool vermeld zoals in volgende voorbeelden. Voorbeeld 1 De voorstelling van enkele isotopen Het uraan isotoop met massagetal 38: 38 U (uitgesproken uraan 38 ) Het waterstofisotoop met massagetal : H. Het koolstofisotoop met massagetal 14: 14 C Eventueel kan het atoomnummer vermeld worden en dan wordt dit links onderaan geschreven. De isotopen van waterstof krijgen eveneens een eigen naam. Tabel 4 De isotopen van waterstof Isotoop Naam 1 H Waterstof H Deuterium 3 H Tritium Chemie 6

142 5. Atoommassa. A. Absolute atoommassa. De massa (gewicht) van een atoom is gelijk aan de som van de massa s van de elementaire deeltjes waaruit het is opgebouwd. Het volstaat dus te weten hoeveel protonen en hoeveel neutronen het atoom bevat. Het aantal elektronen is gelijk aan het aantal protonen. Voorbeeld Wat is de massa van het H waterstofisotoop? Wat is de bijdrage van het elektron tot deze massa? Dit isotoop bevat nucleonen (1 proton, 1 neutron) en 1 elektron. Massa waterstof atoom H = massa proton + massa neutron + massa elektron. Massa H = 1,676 x 10-4 g + 1,67493 x 10-4 g + 9,10939 x 10-8 g. Massa H = 3,34846 x 10-4 g De bijdrage van het elektron = (9,10939 x 10-8 g/ 3,34846 x 10-4 g) x 100% = 0,07 % Zoals blijkt uit deze berekening draagt de massa van het elektron slechts in beperkte mate bij tot de totale massa van dit atoom. Daarom wordt deze massa meestal verwaarloosd. B. De atomaire massa eenheid. De massa van een atoom uitgedrukt in gram is een bijzonder klein getal. Het gebruik van deze eenheid om de atoommassa uit te drukken is dan ook onpraktisch. Om die reden werd een nieuwe eenheid ingevoerd die toelaat op een eenvoudige manier zulke kleine massa s weer te geven. Deze eenheid is de atomaire massa eenheid (ame). Deze wordt gedefinieerd als 1/1 van de massa van een 1 C-isotoop. Vermist dit isotoop bestaat uit 6 protonen en 6 neutronen betekent dit dat de ame het gemiddelde is van de massa van een proton en een neutron. De waarde van de ame (afgerond) = 1,6 x 10-4 g. De massa van gelijk welk atoom (of isotoop) kan dan uitgedrukt worden als een veelvoud van de atomaire massa eenheid. Voorbeeld 3 Wat is de massa van het H-isotoop uitgedrukt in ame? De massa van dit isotoop (zie hoger) = 3,34846 x 10-4 g Massa H uitgedrukt in ame = 3,34846 x 10-4 g/1,6 x 10-4 g/ame = ame (afgerond) C. Gemiddelde atoommassa. Wanneer men spreekt over een bepaald atoom, zoals Chloor, dan heeft men het in werkelijkheid over een verzameling atomen bestaande uit verschillende isotopen met elk een andere massa. Rekening houdend met de massa van elk isotoop en met het Chemie 7

143 (constante) relatieve voorkomen van deze isotopen kan men voor een atoom een gemiddelde atomaire massa berekenen. Onderstaand voorbeeld toont dit aan. Voorbeeld 4 De berekening van de gemiddelde atoommassa van chloor. Chloor bestaat uit de volgende isotopen: 35 Cl: een atoommassa van 34,9688 ame en een procentueel voorkomen van 75,53 % 37 Cl: een atoommassa van 36,965 ame en een procentueel voorkomen van 4,47 % De gemiddelde atoommassa van Chloor = 34,9688 ame x 75,53/ ,965 ame x 4,47/100 = 35,45 ame Op deze wijze kan men voor elke atoomsoort een gemiddelde atoommassa berekenen. D. Relatieve gemiddelde atoommassa. Zoals blijkt uit vorige berekeningen kan de massa van een gemiddeld atoom weergegeven worden als een veelvoud van de ame. Dit veelvoud wordt de relatieve (gemiddelde) atoommassa (Ar) genoemd. De relatieve atoommassa wordt gedefinieerd als een getal dat aangeeft hoeveel maal het gemiddeld atoom zwaarder is dan de ame. Het is dit getal (dat geen eenheid heeft) dat in de periodieke tabel samen met andere eigenschappen van het atoom vermeld wordt. Voorbeeld 5 Wat is de massa van een aluminiumatoom? In de periodieke tabel vindt men voor de relatieve atoommassa van aluminium de waarde 7 Een (gemiddeld) aluminiumatoom weegt dus: Massa Al-atoom = Ar(Al) x ame = 7 x 1,6 x 10-4 g = 4,3 x 10-4 g 6. Het begrip mol. De massa van de atomen is zeer klein. Dat betekent dat men in de praktijk steeds met zeer grote aantallen atomen zal werken. Een druppel water bvb met een volume van 0,05 ml (dit is ook 0,05 g) bevat ongeveer 5 x 10 1 atomen (waterstof en zuurstof). Om met zulke grote aantallen te kunnen werken heeft men het begrip mol ingevoerd. Een mol wordt gedefinieerd als een aantal dat overeenkomt met 6,0 x Dit getal noemt met het getal van Avogadro (symbool NA). Het komt overeen met het aantal atomen aanwezig in 1 g van het 1 C-isotoop. Het begrip mol is vergelijkbaar met andere begrippen die eveneens een aantal aangeven zoals paar (), dozijn (1), honderd (100) enz. Gezien de waarde van mol heeft het gebruik ervan enkel zin bij het weergeven van de aantallen van zeer kleine deeltjes zoals elektronen, protonen, atomen of, zoals verder blijkt, moleculen. Chemie 8

144 Voorbeeld 6 Hoeveel mol atomen zijn er in 0,05 g water? In 0,05 g water zijn er 5 x 10 1 atomen. Het aantal mol atomen hierin = aantal atomen/na Het aantal atomen in 0,05 g water = 5 x 10 1 atomen/ 6,0 x 10 3 atomen per mol = 0,00831 mol atomen 7. Molaire massa. De molaire massa van een deeltje (atoom, elektron e.d.) is de massa van 1 mol (6.0 x 10 3 ) van deze deeltjes. De molaire massa (symbool MM) bekomt men door de massa van één deeltje te vermenigvuldigen met het getal van Avogadro. De eenheid van molaire massa is g/mol. Voorbeeld 7 Wat is de molaire massa van aluminium? De relatieve atoommassa van aluminium (uit periodieke tabel) = 7 De molaire massa van aluminium is: MM(Al) = aantal atomen in 1 mol x massa van 1 atoom MM(Al) = NA atomen/mol x Ar(Al) x ame MM(Al) = 6.0x10 3 atomen/mol x 7 ame/atoom x 1,6 x 10-4 g/ame MM (Al) = 7 g/mol Zoals blijkt uit dit voorbeeld is de absolute waarde van de molaire massa van een atoom gelijk aan de relatieve atoommassa van dit atoom. Om de molaire massa van een atoom te kennen volstaat het dus de relatieve atoommassa uit een tabel af te lezen en de eenheid g/mol er aan toe te voegen. Onderstaande tabel geeft hiervan enkele voorbeelden. Tabel 5 Enkele voorbeelden van de molaire massa van atomen. Atoom Ar (afgerond, uit periodieke 1 mol van dit atoom weegt tabel) O g Al 7 7 g Si 8 8 g V g U g Opmerking: de verschillende massa s in tabel 5 bevatten allemaal hetzelfde aantal deeltjes (nl. 1 mol of 6,0 x 10 3 ). Chemie 9

145 8. De periodieke tabel. In de periodieke tabel worden de atomen gerangschikt op basis van hun atoomnummer. Bovendien is de tabel zodanig opgebouwd dat atomen die gelijkaardige eigenschappen hebben samen staan, hetzij vertikaal hetzij horizontaal. De kolommen in de periodieke tabel worden groepen genoemd. De rijen in de periodieke tabel worden perioden genoemd. De atomen die in eenzelfde groep voorkomen vertonen zeer gelijkaardige eigenschappen. Dit is de reden waarom deze groepen een nummer krijgen en ook een naam. De groep waar fluor (F) bovenaan staat krijgt nummer 7 en wordt de groep van de halogenen genoemd. In de periodieke tabel wordt een onderscheid gemaakt tussen de hoofdgroepen, genummerd van IA tot VIIA en VIII, en de nevengroepen, genummerd met het suffix B. Tabel 6 Informatie over de hoofdgroepen van de periodieke tabel. Nummer Atoom dat bovenaan staat Naam IA Waterstof Alkalimetalen IIA Beryllium Aardalkalimetalen IIIA Boor Boorgroep IVA Koolstof Koolstofgroep VA Stikstof Stikstofgroep VIA Zuurstof Zuurstofgroep VIIA Fluor Halogenen VIII Helium Edelgassen De periodieke tabel wordt gebruikt om een grote hoeveelheid informatie over de atomen samen te brengen. 9. De elektronenstructuur van atomen. Atomen bestaan uit een kern die positief geladen is (hier bevinden zich de protonen) met daarrond een aantal elektronen. In een neutraal atoom is het aantal elektronen gelijk aan het aantal protonen. Alhoewel de beschrijving van de elektronen behoort tot het domein van de quantummechanica zullen hier toch enkele aspecten ervan besproken worden. Het aantal elektronen in een atoom varieert van 1 in waterstof (Z=1) tot 9 in uraan (Z=9). Deze elektronen hebben niet allemaal dezelfde energie. Sommige elektronen hebben een lagere energie en bevinden zich gemiddeld dichter bij de kern, andere hebben een hogere energie en bevinden zich gemiddeld verder van de kern. Deze verschillen in positie van de elektronen kunnen weergegeven worden door een model waarbij de elektronen in sferische schillen worden geplaatst. Elke schil komt dan overeen met een energieniveau. De elektronen op de schillen die dichter bij de kern liggen hebben een lagere energie, de elektronen op verder gelegen schillen hebben een hogere energie. De elektronen die zich op de buitenste schil bevinden worden valentieëlektronen genoemd. Het zijn deze elektronen die betrokken zijn bij de interacties (bindingen) tussen atomen. Chemie 10

146 Het aantal valentieëlektronen van een atoom kan afgeleid worden uit de positie van het atoom in de periodieke tabel en komt overeen met het nummer van de groep. Tabel 7 Het aantal valentieëlektronen(ve) van de atomen. Groep Atoom dat bovenaan staat Aantal VE IA Waterstof 1 IIA Beryllium IIIA Boor 3 IVA Koolstof 4 VA Stikstof 5 VIA Zuurstof 6 VIIA Fluor 7 VIII Helium Ionen. Hierboven werd aangegeven dat atomen steeds neutraal zijn omdat ze evenveel elektronen als protonen bevatten. In vele gevallen echter zullen atomen tijdens hun interacties met elkaar elektronen afgeven of opnemen. Dit gebeurt o.a. bij de vorming van chemische bindingen (zie verder). Wanneer atomen elektronen afgeven of opnemen worden ionen gevormd. Positieve ionen (kationen) worden gevormd wanneer atomen één of meerdere elektronen afgeven (verliezen). Zulke ionen hebben minder elektronen dan protonen en hebben dus een netto positieve lading. De waarde van de positieve lading is gelijk aan het aantal elektronen dat verloren werd. Negatieve ionen worden gevormd wanneer atomen één of meerdere elektronen opnemen. Zulke ionen hebben meer elektronen dan protonen en krijgen een netto negatieve lading. De waarde van de negatieve lading is gelijk aan het aantal elektronen dat opgenomen werd. Atomen kunnen niet zomaar gelijk welk aantal elektronen verliezen of opnemen. Hoeveel elektronen kunnen worden afgegeven of opgenomen hangt o.a. af van het aantal valantieëlektronen en dus van de groep waarin het atoom zich bevindt. A. Positieve ionen. Positieve ionen worden o.a. gevormd door atomen die behoren tot de groepen IA, IIA en IIIA. Zij vormen ionen met een lading van respectievelijk +1, +, +3. Volgende tabel toont dit aan. Enkele ionen van de andere hoofdgroepen zijn eveneens vermeld. Chemie 11

147 Tabel 8 Voorbeelden van positieve ionen van de atomen in de hoofdgroepen. Groep Atoom Ion IA H H + Li Li + Na Na + IIA Be Be + Mg Mg + Ca Ca + IIIA Al Al +3 IVA Pb Pb + en Pb +4 Sn Sn + en Sn +4 Atomen van de nevengroepen vormen eveneens positieve ionen. Een aantal van deze ionen zijn in volgende tabel weergegeven. Merk op dat sommige atomen meerdere verschillend geladen ionen kunnen vormen. Tabel 9 Veel voorkomende ionen van de nevengroepen Groep Atoom Ion(en) IB Cu Cu + en Cu + Ag Ag + Au Au + en Au +3 IIB Zn Zn + Cd Cd + Hg Hg + en Hg + VIB Cr Cr +3 VIIB Mn Mn + VIIIb Fe Fe + en Fe +3 Co Co + Ni Ni + B. Negatieve ionen. Negatieve ionen worden voornamelijk gevormd door atomen van de groepen die rechts in de periodieke tabel staan. De belangrijkste daarvan zijn de atomen van groep VIIA (de halogenen). De negatieve ionen van deze atomen zijn in werkelijkheid de zuurresten van de overeenkomende binaire zuren (vb. Cl - ) 11. Oefeningen. 1. Stel dat men een atoom zodanig zou vergroten dat de kern even groot is als een basketbal. Hoe groot zou dan het atoom zijn?. Stel dat deze basketbal dezelfde dichtheid zou hebben als de kern van een waterstofatoom. Bereken dan de massa van deze bal. 3. Vervolledig volgende tabel Chemie 1

148 Tabel 10 Vervolledig. Symbool Z A Aantal protonen Aantal neutronen Aantal elektronen 1 3 H + Cs Bi Sn 70 Zn U 4. De constante van Faraday (F) geeft de lading weer van één mol elektronen. Bereken deze waarde. 5. Bereken de bijdrage van de massa van de elektronen tot de totale massa in een 03 Hgatoom. 6. Hoeveel valentieëlektronen heeft het 1 C-isotoop? Chemie 13

149 Hoofdstuk 3. De molecule. 1. Inleiding. Een molecule is een deeltje dat bestaat uit meerdere atomen. Deze atomen zijn bij middel van chemische bindingen aan elkaar gebonden. In dit gedeelte van de cursus wordt besproken hoe deze chemische bindingen ontstaan en dus hoe moleculen gevormd worden. Een molecule wordt beschreven met een moleculeformule die aangeeft welke en hoeveel atomen deel uitmaken van de molecule.. De chemische binding. A. Definitie. De chemische binding is een interactie tussen atomen die tot gevolg heeft dat deze atomen aan elkaar gebonden worden om zo een min of meer permanente structuur (molecule) te vormen. Bindingen kunnen terug verbroken worden zodat chemische reacties mogelijk worden. Tijdens chemische reacties worden bestaande bindingen verbroken en ontstaan nieuwe bindingen met de oorspronkelijke atomen. Bij de vorming en het breken van de chemische binding spelen de valentieëlektronen van de bindende atomen een belangrijke rol. Op basis van het gedrag van de elektronen tijdens de vorming van de chemische binding kunnen twee soorten bindingen onderscheiden worden: de covalente binding en de ionbinding. B. De covalente binding. De covalente binding kan het best begrepen worden wanneer men de vorming van diwaterstof (H) uit twee individuele waterstofatomen bestudeert. Stel dat twee waterstofatomen (elk bestaande uit 1 proton en 1 elektron) zich op een oneindig grote afstand van elkaar bevinden. De enige interacties die dan bestaan zijn de aantrekkingskrachten tussen de kern(+) en het eigen elektron(-). Deze interacties definiëren een begin energie van het beschouwde systeem die we gelijk stellen aan nul (zie figuur). Wanneer deze atomen dichter naar elkaar gebracht worden ontstaan ook wederzijdse interacties. De kern van het ene atoom zal ook elektronen van het andere atoom beginnen aan te trekken. Deze aantrekkingskrachten verlagen de energie van het systeem en doen de atomen nog dichter naar elkaar toekomen. Wanneer de atomen te dicht genaderd zijn ontstaan er ook sterke afstotingen tussen de twee kernen, die allebei positief geladen zijn. Deze afstotingskrachten verhogen de energie van het systeem. Op de figuur is duidelijk te zien dat de energiecurve een minimum vertoont. Dit minimum komt overeen met een bepaalde afstand tussen de twee kernen waarbij de aantrekkingskrachten tussen kernen en elektronen de afstotingskrachten tussen de kernen optimaal compenseren. Wanneer twee waterstofatomen zich op deze afstand van elkaar Chemie 14

150 bevinden zijn ze aan elkaar gebonden. Men noemt deze afstand de bindingsafstand. De bindingsafstand in waterstof is gelijk aan 74 pm. Wanneer andere atomen met elkaar binden is deze afstand verschillend. Zoals uit het voorgaande blijkt binden twee waterstofatomen met elkaar omdat de elektronen van elk atoom door beide kernen worden aangetrokken. Deze elektronen vormen een paar en dit elektronenpaar wordt door de atomen gemeenschappelijk gebruikt. Men spreekt daarom van een gemeenschappelijk elektronenpaar of een bindend elektronenpaar. De chemische binding waarbij een elektronenpaar gemeenschappelijk gebruikt wordt door twee atomen noemt men een covalente binding. Het bindende elektronenpaar wordt in een tekening van een covalente binding met een horizontale streep weergegeven. C. De polariteit van een covalente binding. Bij de vorming van de covalente binding tussen twee waterstofatomen wordt het bindend elektronenpaar door beide atomen (in feite de atoomkernen) even hard aangetrokken. Dit elektronenpaar zal dus op symmetrische wijze verdeeld zijn tussen de twee atomen. Wanneer echter twee verschillende atomen met elkaar binden (vb. waterstof en fluor) dan zullen de twee atomen een verschillende invloed uitoefenen op het elektronenpaar. Eén van beide atomen zal harder aan het paar trekken dan het andere atoom zodat de elektronen niet meer symmetrisch verdeeld zijn maar verschoven naar het atoom dat de sterkste aantrekking uitoefent. Het atoom dat de elektronen meer naar zich toetrekt zal daardoor een gedeeltelijk negatieve lading krijgen, het andere atoom een gedeeltelijk positieve lading. Deze ladingen zijn kleiner dan 1, omdat de elektronen slechts gedeeltelijk verschoven worden, en worden voorgesteld met het symbool δ- of δ+. Een covalente binding die op deze manier gevormd wordt noemt men een polaire covalente binding. Deze uitdrukking verwijst naar het feit dat er twee polen (een negatieve en een positieve pool) aanwezig zijn. Men zegt ook dat de binding een dipool is. De sterkte van de dipool wordt aangegeven met het dipoolmoment. Het dipoolmoment (µ) wordt berekend als het produkt van de absolute lading van één van de polen (beide polen hebben dezelfde absolute waarde voor de lading) vermenigvuldigd met de afstand tussen de twee polen (de bindingsafstand). D. Elektronegativiteit. Om de polariteit van een covalente binding te kennen moet men weten welk van de twee atomen de elektronen van de binding sterker naar zich toe trekt. Dit wordt aangegeven door de elektronegativiteit (EN), ook elektronegatieve waarde genoemd. Deze waarde Chemie 15

151 ligt tussen 0 en 4 en wordt meestal in een periodieke tabel naast andere informatie over atomen weergegeven. Tabel 7 geeft hiervan enkele voorbeelden. Tabel 1 De elektronegativiteit van enkele atomen. H, Li 1,0 Na 0,9 K 0,8 Be 1,5 B,0 Al 1,5 C,5 Si 1,8 N 3,0 P,1 O 3,5 S,5 F 4,0 Cl 3,0 Br,8 Hoe groter het verschil in elektronegativiteit ( EN) tussen de twee atomen in een binding hoe meer de binding gepolariseerd is en hoe groter het dipoolmoment is. Wanneer twee identieke atomen met elkaar binden is EN gelijk aan nul en is de binding niet polair of apolair. E. De ionbinding. Een ionbinding is een extreem geval van een polaire binding. De ionbinding ontstaat wanneer het verschil in elektronegativiteit tussen de bindende atomen zo groot is dat de bindingselektronen volledig verschoven worden naar één van de twee atomen. Daardoor krijgt dit atoom een gehele negatieve lading terwijl het andere atoom een gehele positieve lading krijgt. De twee tegengesteld geladen deeltjes zijn dan gebonden door elektrische aantrekking, ook Coulombse aantrekking genoemd. De binding tussen natrium en chloor toont dit aan. Voorbeeld 1 Hoe ontstaat de ionbinding tussen natrium en chloor? Natrium is een atoom met 1 valentieëlektron en met een lage elektronegativiteit. Chloor is een atoom met zeven valentieëlektronen en een hoge elektronegativiteit. Het chlooratoom onttrekt 1 elektron aan het natriumatoom en krijgt daardoor een lading van 1. Het natriumatoom krijgt een lading van +1. Het Cl - ion en het Na + ion trekken elkaar aan omdat ze tegengesteld geladen zijn. Over het algemeen stelt men dat wanneer het verschil in elektronegativiteit tussen twee atomen groter is dan 1,7 de binding als een ionbinding kan beschouwd worden. De ionbinding komt dus vooral voor tussen atomen met een lage EN (links in de tabel) en atomen met een hoge EN (rechts in de tabel). Chemie 16

152 Voorbeeld Wat voor een binding bestaat er tussen H en O? De elektronegativiteit van deze elementen is (zie tabel): EN(H) =, EN(O) = 3,5 Het verschil in elektronegativiteit EN = 1,3 EN is groter dan nul maar kleiner dan 1,7. De binding tussen H en O is dus een polaire covalente binding. 3. De molecuulformule. De molecuulformule beschrijft de samenstelling van de molecule door aan te geven hoeveel atomen van elke soort in de molecule aanwezig zijn. Voorbeeld 3 Hoe is een molecule zwavelzuur (HSO4) opgebouwd? Eén molecule zwavelzuur bestaat uit twee atomen waterstof, één zwavelatoom en vier zuurstofatomen. Deze zijn bij middel van chemische bindingen aan elkaar gebonden. Merk op dat de molecuulformule niets zegt over de volgorde of de ruimtelijke structuur van de chemische bindingen, zij geeft enkel de samenstelling van de molecule weer. 4. Moleculen en ionen. Water (HO) en keukenzout(nacl) zijn zeer verschillende verbindingen. Water bestaat uit een groot aantal afzonderlijke deeltjes (moleculen) die elk bestaan uit twee waterstofatomen die covalent gebonden zijn aan een zuurstofatoom. Keukenzout daarentegen bestaat uit vele postief geladen natriumionen en negatief geladen chloorionen die in een kristalrooster aan elkaar gebonden zijn bij middel van elektrische aantrekkingskrachten (Coulombse krachten). In dat opzicht is HO een echte voorstelling van een watermolecule terwijl NaCl enkel de verhouding van de ionen in keukenzout weergeeft. Wij zullen echter verder de formule NaCl behandelen alsof het een echte molecuulformule is. 5. Molecuulmassa. A. Absolute molecuulmassa. De massa van een molecule is gelijk aan de som van de massa s van de atomen waaruit deze molecule is opgebouwd. Chemie 17