college 3 Lijnen, vlakken en in de collegejaar : 16-17 college : 3 build : 6 juni 2017 slides : 37 Vandaag 1 Lijnen 2 Vlakken 3 4 Toepassing: perspectivische.16-17[3] 1 vandaag
Lijnen in het platte vlak herhaling Een lijn in R 2 wordt gedefinieerd door een vergelijking van de vorm l: ax + by = c ( * ) met a, b en c reële getallen. l y ax + by = c x Onthoud De lijn l bestaat uit de punten die voldoen aan vergelijking (*): l = {(x, y) ax + by = c}. Vergelijking (*) is lineair. Lijnen in R 2 zijn oplossingsverzamelingen van lineaire vergelijkingen..16-17[3] 2 l2/1 Parametrisatie herhaling Een parametrisatie van de lijn l is een functie r: R R 2 zodat r(t) alle punten van l doorloopt als t de reële getallen doorloopt. l y(t) y r(t) x(t) Het getal t heet de parameter. De lijn l is de verzameling van alle beeldpunten r(t): l = {r(t) t R}. De functie r(t) heeft twee componenten die ieder van t afhangen: r(t) = x(t), y(t)..16-17[3] 3 l2/2
Van vergelijking naar parametrisatie herhaling Gegeven is de lijn l: 2x + 3y = 6. Bepaal een parametrisatie van l. Kies x als parameter: t = x. Los y op uit de vergelijking 2t + 3y = 6: y = 6 2t = 2 2 3 3 t. Een parametrisatie van l is l: r(t) = t, 2 2 3 t, t R. t x(t) y(t) r(t) 0 0 2 0, 2 1.5 1.5 1 1.5, 1 3 3 0 3, 0 2 1 y t = 0 l t = 1.5 1 2 3 t = 3 x.16-17[3] 4 l2/3 Van parametrisatie naar vergelijking Bepaal een vergelijking voor de lijn l: 3t, 2 2t, t R. herhaling De parametrische vergelijkingen zijn { x = 3t, y = 2 2t. Elimineer t: uit de eerste parametrische vergelijking volgt t = x 3. Uit de tweede parametrische vergelijking volgt y = 2 2 3 x, 3 3y = 6 2x, 2x + 3y = 6..16-17[3] 5 l2/4
Steun- en richtingsvector Stelling Voor iedere lijn l bestaan er getallen p 1, p 2, v 1 en v 2 zodat r(t) = p 1 + v 1 t, p 2 + v 2 t t R. De vectorfunctie r(t) kun je ook als volgt schrijven: r(t) = p 1, p 2 + t v 1, v 2. De vector p = p 1, p 2 heet een steunvector van l. De vector v = v 1, v 2 heet een richtingsvector van l. Definieer q = r(1), dan r(1) = p + v, dus v = q p. l y p = r(0) q = r(1) De geparametriseerde vectorvoorstelling van l is l: r(t) = p + tv t R. v v x.16-17[3] 6 l2/5 Steun- en richtingsvector Bepaal een steun- en een richtingsvector van de lijn l: 2x + 3y = 6, en geef de geparametriseerde vectorvoorstelling van l. Een parametrisatie van l is l: r(t) = t, 2 2 3 t, t R. Herschrijf r(t): r(t) = 0, 2 + t Kies als steun- en richtingsvector p = 0, 2 en v = 1, 2 3. 1, 2 3. 2 1 2 3 y p = r(0) q = r(1) v v 1 l 2 3 x.16-17[3] 7 l2/6
Steun- en richtingsvector Geef een parametrisatie en een vergelijking van de lijn l die door de punten P = ( 1, 1) en Q = (1, 3) gaat. Defineer p = 1, 1 en q = 1, 3. Defineer v = q p = 2, 4, dan is een parametrisatie l: r(t) = p + tv = 1, 1 + t 2, 4 = 2t 1, 4t 1. De parametrische vergelijkingen zijn { x = 2t 1, y = 4t 1, dus t = x+1 2. Invullen in de tweede vergelijking geeft y = 2(x + 1) 1 = 2x + 1 oftewel y 2x = 1..16-17[3] 8 l2/7 Section 12.5 Stel p en v 0 zijn vectoren. De parametervoorstelling van de lijn door p en evenwijdig aan v is r(t) = p + tv, t R. Met door p bedoelen we: door het eindpunt van de standaardvector van p, met andere woorden door het punt P waarbij p = OP. #» De vector p heet een steunvector en de vector v heet een richtingsvector van de lijn. Als r(t) = f (t), g(t), h(t), dan heten de vergelijkingen x = f (t), y = g(t), z = h(t) de parametrische vergelijkingen van de lijn..16-17[3] 9 l3/1
Example 1 Bepaal de parametrische vergelijkingen van de lijn l door ( 2, 0, 4) in de richting v = 2i + 4j 2k = 2, 4, 2. Defineer p = P 0 = 2, 0, 4. Een parametrisatie van l is l: r(t) = p + tv = 2, 0, 4 + t 2, 4, 2 = 2t 2, 4t, 4 2t. De parametrische vergelijkingen van l zijn x = 2t 2, y = 4t, z = 4 2t, t R..16-17[3] 10 l3/2 Example 2 Bepaal de parametrische vergelijkingen van de lijn l door P = ( 3, 2, 3) en Q = (1, 1, 4). Definieer p = OP #» = 3, 2, 3 en v = PQ #» = 1, 1, 4 3, 2, 3 = 4, 3, 7. Een parametrisatie van l is l: r(t) = p + tv = 3, 2, 3 + t 4, 3, 7 = 4t 3, 2 3t, 7t 3. De parametrische vergelijkingen van l zijn x = 4t 3, y = 2 3t, z = 7t 3, t R..16-17[3] 11 l3/3
Parametrisatie van een lijn in de Samenvatting Een parametrisatie van de lijn door een punt P evenwijdig aan een vector v 0 is p + tv, t R, met steunvector p = #» OP en richtingsvector v. Een parametrisatie van de lijn door twee punten P en Q is p + tv, t R met steunvector p = OP #» en richtingsvector v = PQ. #» Waarschuwing Parametrisaties zijn niet uniek: Ieder punt op de lijn kan als steunvector worden gekozen. Iedere niet-nul vector evenwijdig aan de lijn kan als richtingsvector worden gekozen..16-17[3] 12 l3/4 Lijnstukken Example 3 Bepaal een parametrisatie van het lijnstuk met eindpunten P = ( 3, 2, 3) en Q = (1, 1, 4). Een parametrisatie van de lijn door P en Q is r(t) = 4t 3, 2 3t, 7t 3. Er geldt P = r(0) en Q = r(1); De parametrische vergelijkingen van het lijnstuk zijn x = 4t 3, y = 2 3t, z = 7t 3, 0 t 1..16-17[3] 13 l3/5
Afstand tot een lijn Probleem h u P θ S d v proj v u Gegeven zijn een punt S en een lijn l door het punt P en met richtingsvector v. Bepaal de afstand d van S tot l. l Oplossing 1: Werkt in R n voor iedere n Oplossing 2: Werkt alleen in R 3 Bepaal de lengte van de normale component van u = PS #» langs v: d = h = u u v v v v Gebruik het uitwendig product: d = u sin θ = u v. Formule (5) v.16-17[3] 14 l3/6 Afstand tot een lijn Example 5 Bepaal de afstand van S = (1, 1, 5) tot de lijn l : x = 1 + t, y = 3 t, z = 2t. Methode 1: Definieer P = (1, 3, 0), p = OP #» = 1, 3, 0 en v = 1, 1, 2, dan l : p + tv (t R). Definieer u = PS #» = 1, 1, 5 1, 3, 0 = 0, 2, 5. u v = 0+2+10 = 12 en v v = 1 2 +( 1) 2 +2 2 = 6. De afstand is d = u u v v v v = 0, 2, 5 12 1, 1, 2 6 = 2, 0, 1 = ( 2) 2 + 0 2 + 1 2 = 5..16-17[3] 15 l3/7
Afstand tot een lijn Example 5 Bepaal de afstand van S = (1, 1, 5) tot de lijn l : x = 1 + t, y = 3 t, z = 2t. Methode 2: Definieer P = (1, 3, 0), p = OP #» = 1, 3, 0 en v = 1, 1, 2, dan l : p + tv (t R). Definieer u = PS #» = 1, 1, 5 1, 3, 0 = 0, 2, 5. v v = 1 2 +( 1) 2 +2 2 = 6, dus v = 6. u v = 0, 2, 5 1, 1, 2 = 1, 5, 2. De afstand is u v d = = v 1 2 + 5 2 + 2 2 6 = 30 6 = 5..16-17[3] 16 l3/8 Een vlak in R 3 wordt gedefinieerd door een vergelijking van de vorm M : ax + by + cz = d met a, b, c en d reële getallen. en: Het vlak M 1 gedefinieerd door M 1 : x + y + z = 1 gaat door de punten (1, 0, 0), (0, 1, 0) en (0, 0, 1). Het vlak M 2 gedefinieerd door M 2 : x + y + z = 0 gaat door O en is evenwijdig aan M 1. Het vlak M 3 gedefinieerd door M 3 : 2y = 3 is het vlak door (0, 3/2, 0) evenwijdig aan het xz-vlak..16-17[3] 17 v3/1
Steunvectoren Een steunvector van een vlak M is een vector p = OP #» met P een punt van M. Stel M wordt gedefinieerd door ax + by + cz = d, en stel P = (x 0, y 0, z 0 ) M, dan geldt ax 0 + by 0 + cz 0 = d, dus a(x x 0 ) + b(y y 0 ) + c(z z 0 ) = 0 voor alle (x, y, z, ) in M. De vergelijking a(x x 0 ) + b(y y 0 ) + c(z z 0 ) = 0 heet de vectorvergelijking van M..16-17[3] 18 v3/2 Normaalvectoren Een normaalvector van een vlak M is een vector n 0 die loodrecht staat op M. Stel M wordt gedefinieerd door de vectorvergelijking a(x x 0 ) + b(y y 0 ) + c(z z 0 ) = 0, dan geldt a, b, c x x 0, y y 0, z z 0 = a, b, c ( x, y, z x 0, y 0, z 0 ) = 0 voor alle (x, y, z, ) in M. Definieer x = x, y, z, p = x 0, y 0, z 0 en n = a, b, c, dan geldt n (x p) = 0 voor alle x in M. De vergelijking n (x p) = 0 heet de normaalvergelijking van M..16-17[3] 19 v3/3
De normaalvergelijking Stelling Stel M wordt gegeven door de normaalvergelijking n (x p) = 0 waarbij n een normaalvector van M is, en p = x 0, y 0, z 0 een steunvector. Als X = (x, y, z) een punt van M is dan geldt n PX. #» Merk op dat #» PX = x p..16-17[3] 20 v3/4 De normaalvergelijking Section 12.5, example 6 Bepaal een vergelijking van het vlak M door ( 3, 0, 7) loodrecht op n = 5, 2, 1. Definieer p = 3, 0, 7, dan geeft de normaalvergelijking n (x p) = 0 na invullen: oftewel 5, 2, 1 ( x, y, z 3, 0, 7 ) = 0, 5, 2, 1 x ( 3), y 0, z 7 = 0. De vectorvergelijking van M is dus 5(x + 3) + 2y (z 7) = 0. Vereenvoudigen geeft 5x + 2y z = 22..16-17[3] 21 v3/5
De normaalvergelijking Bepaal een normaalvergelijking voor het vlak M : y 2z = 4. NB NB Schrijf de vergelijking als volgt: 0 x + 1 y + ( 2) z = 4. Een normaal is n = 0, 1, 2. De componenten van n zijn de coëfficiënten van de vergelijking. Voor een punt P in het vlak kies je x = z = 0. Dan geldt y = 4, dus P = (0, 4, 0), dus een steunvector is p = 0, 4, 0. Een normaalvergelijking van M is 0, 1, 2 (x 0, 4, 0 ) = 0. Ieder punt van M kan als steunvector worden gebruikt, bijvoorbeeld p = 1, 6, 1..16-17[3] 22 v3/6 Een vlak door drie punten Example 7 Bepaal een vergelijking voor het vlak door de punten A = (0, 0, 1), B = (2, 0, 0) en C = (0, 3, 0). Kies als steunvector a = #» OA = 0, 0, 1. Neem als normaalvector n = AB #» AC #» = 2, 0, 1 0, 3, 1 = 3, 2, 6. De normaalvergelijking wordt dan n (x a) = 3, 2, 6 x 0, y 0, z 1 = 3x 2y + 6(z 1) = 0. Vereenvoudigen geeft de vergelijking 3x + 2y + 6z = 6..16-17[3] 23 v3/7
Afstand van een punt tot een vlak Stelling Stel het vlak M wordt gegeven door de normaalvergelijking n (x p) = 0, waarbij p = OP #» met P een punt van M. Stel S is een punt in de, dan is de afstand van S tot M gelijk aan d = #» PS n n. De afstand d is gelijk aan de lengte van de van #» PS op n..16-17[3] 24 v3/8 Afstand van een punt tot een vlak Example 11 Bepaal de afstand van S = (1, 1, 3) tot het vlak M : 3x + 2y + 6z = 6. Het punt P = (0, 3, 0) is een punt van M. Een normaal van M is n = 3, 2, 6. n = 3 2 + 2 2 + 6 2 = 49 = 7. #» PS = 1, 1, 3 0, 3, 0 = 1, 2, 3. #» PS n = 1 3 + ( 2) 2 + 3 6 = 17. d = PS #» n n = 17 7..16-17[3] 25 v3/9
Snijlijn van twee vlakken Stelling Twee niet-samenvallende vlakken die verschillend geörienteerd zijn snijden elkaar in een lijn. Verschillend geörienteerd wil zeggen: de normalen van beide vlakken hebben een verschillende richting. Stel de vlakken heten M en N, dan noteren we de snijlijn als volgt: l = M N. Een lijn in de kan dus ook worden gegeven als snijlijn van twee vlakken, oftewel als de oplossingsverzameling van twee vergelijkingen: { ax + by + cz = d, l: px + qy + rz = s..16-17[3] 26 v3/10 Snijlijn van twee vlakken Example 8+9 Geef een parametrisatie voor de snijlijn van de vlakken 3x 6y 2z = 15 en 2x + y 2z = 5. Methode 1: Uit de eerste vergelijking volgt x = 2y + 2 3 z + 5. Invullen in de tweede vergelijking geeft ) 2 (2y + 2 3 z + 5 + y 2z = 5, en na vereenvoudigen wordt dit z = 15 2 y + 15 2. Eén van de onbekenden is vrij te kiezen. Stel y = t, dan z = 15 2 t + 15 2 en ) x = 2t + 3( 2 15 2 t + 15 2 + 5 = 7t + 10. Een parametrisering van de snijlijn is r(t) = 7t + 10, t, 15 2 t + 15 2, t R..16-17[3] 27 v3/11
Snijlijn van twee vlakken Methode 2: De respectievelijke normaalvectoren n 1 en n 2 staan loodrecht op de snijlijn, dus het uitwendig product van n 1 en n 2 is een richtingsvector van de snijlijn. De normaalvectoren lees je af uit de vergelijkingen: M 1 : 3x 6y 2z = 15, n 1 = 3, 6, 2, M 2 : 2x + y 2z = 5, n 2 = 2, 1, 2, dus v = n 1 n 2 = 14, 2, 15. Een steunvector vind je door voor bijvoorbeeld z een waarde te kiezen, en dan beide vergelijkingen op te lossen..16-17[3] 28 v3/12 Snijpunt van een lijn en een vlak zelfstudie Example 10 De lijn l is gegeven door de parametrisatie x = 8 3 + 2t, y = 2t, z = 1 + t, t R. Bepaal het snijpunt van l en het vlak 3x + 2y + 6z = 6. Stel het snijpunt is x 0 = 8 3 + 2t, 2t, 1 + t. (1) Het punt x 0 ligt op het vlak, dus geldt 3 ( 8 3 + 2t) + 2( 2t) + 6(1 + t) = 6. Los t op uit deze vergelijking: 8 + 6t 4t + 6 + 6t = 6, hieruit volgt t = 1. Het snijpunt krijg je door t = 1 in te vullen in (1): x 0 = 2 3, 2, 0..16-17[3] 29 v3/13
Hoek tussen twee vlakken De hoek tussen twee vlakken is gedefinieerd als de scherpe hoek tussen de respectievelijke normaalvectoren van beide vlakken. zelfstudie Example 10 Bepaal de hoek tussen de vlakken 3x 6y 2z = 15 en 2x + y 2z = 5. De normalen zijn n 1 = 3, 6, 2 en n 2 = 2, 1, 2. De hoek tussen de vlakken is ( ) n1 θ = arccos n 2 = arccos (4/21) 79. n 1 n 2.16-17[3] 30 v3/14 Parametervoorstelling van een vlak Een parametervoorstelling van het vlak M is een functie van de vorm p + sv + tw, s, t R De vector p heet de steunvector van de parametrisatie, en de vectoren v en w heten richtingsvectoren..16-17[3] 31 v3/15
Parametervoorstelling van een vlak Example 7 Bepaal een parametervoorstelling voor het vlak door de punten A = (0, 0, 1), B = (2, 0, 0) en C = (0, 3, 0). Kies als steunvector a = OA #» = 0, 0, 1. Neem als richtingsvectoren v = AB #» = 2, 0, 1 en w = AC #» = 0, 3, 1. Een parametrisering wordt dan r(s, t) = a + sv + tw = 0, 0, 1 + s 2, 0, 1 + t 0, 3, 1 = 2s, 3t, 1 s t, s, t R. Parametrische vergelijkingen: x = 2s y = 3t z = 1 s t Er geldt: A = r(0, 0), B = r(1, 0) en C = r(0, 1)..16-17[3] 32 v3/16 Samenvatting Lijnen en vlakken Een lijn in R 2 wordt gedefinieerd met 1 vergelijking: ax + by = c, of met een parametrisatie met 1 parameter: p + tv, t R. Een vlak in R 3 wordt gedefinieerd met 1 vergelijking: ax + by + cy = d, of met een parametrisatie met 2 parameters: p + sv + tw, s, t R. Een lijn in R 3 wordt gedefinieerd met 2 vergelijkingen: { ax + by + cz = d, px + qy + rz = s, of met een parametrisatie met 1 parameter: p + tv, t R..16-17[3] 33 v3/17
Samenvatting Afstanden en hoeken In R n is de afstand van een punt S tot een lijn p + tv met p = OP #» gelijk aan u u v v v v #», waarbij u = PS. In R 3 is de afstand van een punt S tot een lijn p + tv met p = OP #» is gelijk aan PS v #» v. De afstand van S tot een vlak met normaalvector n en steunvector p = OP #» is gelijk aan PS #» n. n De hoek tussen twee vlakken met normaalvectoren n 1 respectievelijk n 2 is gelijk aan ( ) arccos n1 n 2 n 1 n 2..16-17[3] 34 v3/18 Section 12.6 Een paraboloïde is een oppervlak gedefinieerd door de vergelijking x 2 a 2 + y2 b 2 = z, met a > 0, b > 0 en c > 0. c.16-17[3] 35 ko/1
Ellipsoïde Een ellipsoïde is een oppervlak gedefinieerd door de vergelijking x 2 a 2 + y2 b 2 + z2 = 1, met a > 0, b > 0 en c > 0. c2.16-17[3] 36 ko/2 Section 12.5, exercise 73 z l P = r(t 0 ) = (0, y, z) y P 1 = (x 1, y 1, z 1 ) x (x 0, 0, 0) De lijn l wordt als volgt geparametriseerd: l : r(t) = x 0, 0, 0 + t x 1 x 0, y 1, z 1, t R. Het snijpunt met het yz-vlak is P =r(t 0 ) met t 0 = x 0 x 0 x 1. Voor het punt P = (0, y, z) geldt y = t 0 y 1 = x 0y 1 x 0 x 1 en z = t 0 z 1 = x 0z 1 x 0 x 1..16-17[3] 37 pp/1