WISKUNDE ANALYSE ECWI-WEWI 6/8. Rudy De Wever

WISKUNDE ANALYSE 6-7 6 ECWI-WEWI 6/8 Rudy De Wever

Inhoud. HERHALING AFGELEIDE VAN EEN REËLE FUNCTIE..... Definitie fgeleide in een niet-geïsoleerd punt vn het domein..... Rekenregels..... Herhlingsoefeningen.... DIFFERENTIAAL EN ONBEPAALDE INTEGRAAL VAN EEN REËLE FUNCTIE... 4.. Differentil vn een reële functie... 4...........4...5. Inleidend voorbeeld... 4 Algemene fleiding, definitie... 6 Opmerkingen... 8 Rekenregels voor het differentiëren... Oefeningen..... Onbeplde integrl: stmfuncties..............4...5. Inleidende voorbeelden... Definities, notties, eigenschp, opmerkingen... 4... Definities... 4... Notties... 4... Eigenschp... 4...4 Opmerkingen... 5 Fundmentele onbeplde integrlen... 6 Algemene integrtietechnieken... 7..4. Methode : Integrtie door splitsing... 7..4. Methode : Integrtie door substitutie.....4. Methode : Prtiële integrtie (PI)... 8 Oefeningen.... BEPAALDE INTEGRAAL... 45.. Begrensde deelverzmelingen in IR... 45...........4. Voorbeelden... 45 Definities... 46 Opmerkingen... 46 Eigenschppen... 47.. Ondersommen, bovensommen en Riemnnsommen... 5... Definitie, meetkundige betekenis... 5... Inleidend voorbeeld... 5... Definities... 54

...... Meetkundige betekenis... 55 Eigenschppen, opmerkingen... 56... Inleidende opmerkingen... 56... Eigenschppen... 56.. Beplde integrl in CIR,b... 58...... Definitie, meetkundige betekenis, opmerkingen... 58 Eigenschppen... 6.4. Oppervlkte vn willekeurige vlkdelen... 69.4...4.. Algemene formules... 69.4.. Oppervlkte vn een vlkdeel begrensd door een functie en de X-s over een bepld intervl... 69.4.. Oppervlkte vn een vlkdeel begrensd door functies... 69 Oppervlkte vn elementire vlkke figuren... 7.4.. Trpezium, prllellogrm, rechthoek, vierknt en driehoek... 7.4.. Cirkelschijf en cirkeldelen... 7.5. Oneigenlijke integrlen... 74.5...5.. Convergerende oneigenlijke beplde integrl... 74 Divergerende oneigenlijke beplde integrlen... 76.6. Toepssing op beplde integrl: ERB en EVRB... 77.6...6...6...6.4. Inleiding... 77 Eenprig rechtlijnige beweging (ERB)... 78 Eenprig versnelde rechtlijnige beweging (EVRB)... 78 Economische toepssing... 8.7. Oefeningen... 84 4. LOGARITMISCHE EN EXPONENTIËLE FUNCTIES... 94 4.. Logritmische functies... 94 4... Inleiding... 94 4... Rekenen met rtionle eponenten... 94 4... Algemene vorm vn een logritmische functie L... 98 4... De ntuurlijke logritmische functie... 4... Definitie, opmerkingen... 4... Eigenschppen, het getl e... 4... Grfiek vn de ntuurlijke logritmische functie... 5 4... Willekeurige logritmische functie met grondtl... 6 4... Inleiding... 6 4... Definitie, opmerkingen... 6 4... Eigenschppen en grfiek vn een willekeurige logritmische functie... 7 4..4. Oefeningen... 9 4.. Eponentiële functies. Mchten met reële eponenten...

4... Inleiding... 4... Definitie, opmerkingen... 4 4... Eigenschppen... 5 4..4. Grfiek vn eponentiële functies... 6 4..5. Oefeningen... 7 4.. Toepssingen vn logritmische en eponentiële functies... 4... Limieten vn logritmische en eponentiële functies... 4... Verloop vn logritmische en eponentiële functies... 4... Logritmische en eponentiële vergelijkingen... 9 4..4. Functies wrvoor geldt dt fgeleide recht evenredig is met functiewrde... 4..5. Onbeplde integrlen... 4..6. Oefeningen... 5. AANVULLENDE INTEGRATIETECHNIEKEN... 4 5.. Rtionle functies... 4 5... 5... 5... Algemene inleiding... 4 Prtiële breuken... 4 5... Definities, opmerkingen... 4 5... Stelling vn Jcobi... 4 5... Voorbeelden: Berekening vn prtiële breuken... 4 5...4 Voorbeelden vn integrtie vn prtiële breuken... 45 5...5 Integrtie vn prtiële breuken (theoretische fleiding)... 46 5...6 Opmerkingen... 48 Oefeningen... 5 5.. Goniometrische functies... 5 5... 5... 5... 5..4. 5..5. 5..6. Type : De elementire goniometrische functies... 5... 55 Type : m n sin u cos u du m,n d (Rtionle functie vn tn )... 59 Type : R tn Type 4: cos cos b d sin sinb d sin cos b d T,b,b IN... 6 Type 5: Type zonder nm R sin,cos d... 6 Oefeningen... 65 5.. Irrtionle functies... 66 5... 5... 5... Type... 66 Type : goniometrische substitutie... 7 Oefeningen... 77 4

6. TOEPASSINGEN VAN INTEGRAALREKENING... 8 6.. Oppervlkte vn willekeurige vlkdelen... 8 6.. Inhoud vn willekeurige lichmen... 8 6... Algemene formule... 8 6... Toepssingen... 8 6... Prism... 8 6... (Afgeknotte) pirmide... 84 6... Inhoud vn omwentelingslichmen... 86 6... Algemene formule... 86 6... Toepssingen... 87 6.. Lengte vn willekeurige krommen. Booglengte.... 89 6... Algemene formule... 89 6... Toepssing: cirkelboog... 9 6.4. Mnteloppervlkte vn omwentelingslichmen... 9 6.4.. Algemene formule... 9 6.4.. Toepssingen... 9 6.4.. Bolzone... 9 6.4.. Bol... 9 6.5. Toepssingen in ndere disciplines... 9 6.5.. Fysic: vlbeweging onder invloed vn een vernderlijke krcht... 9 6.5.. Inkomensongelijkheid. Gini-coëfficiënt.... 95 6.6. Oefeningen... 96 6.6.. Inhoud... 96 6.6.. Booglengte... 97 6.6.. Mnteloppervlkte... 98 6.6.4. Herhlingsoefeningen... 99 5

. HERHALING AFGELEIDE VAN EEN REËLE FUNCTIE.. Definitie fgeleide in een niet-geïsoleerd punt vn het domein f : dom f IR, is een niet-geïsoleerd punt vn het dom f f ' is de fgeleide vn f in s f f f h f ' f lim lim IR h h Y f f Q f f P Q T X Meetkundige betekenis: Indien de fgeleide in een punt f f f ' lim IR n de grfiek vn f in P,f bestt, m..w. indien dn is deze limiet eveneens gelijk n de Rico vn de rklijn P,f, nottie: T. f ' is eveneens gelijk n tn, met de hellingshoek, ofwel de hoek die de rklijn mkt met de X-s. T

.. Rekenregels f u, g v, r IR ' ' r ' q q ' u q u u ' ' sinu cos u u ' ' cos u sinu u ' ' tnu u cos u ' ' cot u u sin u ' ' ' Bgsinu u Bgcos u u u ' ' ' Bg tnu u Bgcot u ' f g f ' g' ' ' r f r f ' f g f ' g g' f ' g ' gf g' f f ' f f ' g g' f g

.. Herhlingsoefeningen Bereken de fgeleide vn volgende functies:. f() sin (4 ) 4. f(). f() 4 4 5. f() tn tn. f() 4 6. f() sin cos 4. f() 7. f() cos( ) 5. 6. 5 f() 8. f() f() 4 7 9. f() 6 4( ) 7. f() 4. f() Bgtn 8. f() sin cos sin cos 9. f() cos sin. f() Bgsin.. f() f() sin (4 cos ) cos 4( )( 4) ( ). f() Bgtn

. DIFFERENTIAAL EN ONBEPAALDE INTEGRAAL VAN EEN REËLE FUNCTIE.. Differentil vn een reële functie... Inleidend voorbeeld Bereken (zonder rekentoestel) een zo nuwkeurig mogelijke bendering vn (op decimlen nuwkeurig). Beschouw f. Onze opdrcht komt dus neer op het berekenen vn f. We kiezen een -wrde zo dicht mogelijk in de buurt vn, die we noemen, en wrvn we f kennen. We kiezen = 9, wnt f 9 9 kennen we uit het hoofd. Intuïtief weten we dt de te benderen wrde tussen en 4 ligt en dichter bij dn bij 4. 9 Y f f? f g 9 f g T g f 9 X f f f g f of neer om de wrde vn 9 f f g 9 f. Het komt er dus op f te beplen. We construeren een rklijn in het gekende punt en noemen deze eerstegrdsfunctie g. We benderen f f door g g omdt g een mkkelijker functievoorschrift heeft en functie g (rklijn) in 4

de buurt vn een goede bendering vormt voor f. We benderen f door g. Het verschil tussen f en g is onze gemkte benderingsfout. In onze grfiek zien we dt onze bendering te groot zl zijn (dit omdt f concf of bol is in de buurt vn ). met g g g9 f g We kunnen eenvoudig het functievoorschrift vn g beplen. We kennen reeds punt vn deze rechte nl.,f 9,. De richtingscoëfficiënt vn g = f ' f ' 9 ' f ' f ' 9 9 6 g : y f 9 f ' 9 9 y 9 6 y g 6 g g g9 9 6 6,. Op bsis vn onze grfiek weten we dt onze bendering te groot is, mr we kunnen dit ook op een ndere mnier uitzoeken. Als we het teken vn de tweede fgeleide vn f kennen in de buurt vn het gekende punt,f 9, weten we of onze functie dr conve of concf is (een holle of bolle zijde vertoont). Indien de tweede fgeleide vn f in de buurt vn het gekende punt positief is, zl de benderende rklijn onder de grfiek vn f liggen en is onze bendering te klein. Indien de tweede fgeleide vn f in de buurt vn het gekende punt negtief is, zl de benderende rklijn boven de grfiek vn f liggen en is onze bendering te groot. '' 4 f '' ' f is voor lle strikt positieve -wrden negtief, dus ook voor -wrden in de buurt vn 9. Dit bekent (zols we reeds wisten uit de grfiek) dt f concf (bolle zijde) is over hr domein ( IR ). Onze bendering is dus te groot. Indien we dit controleren met onze ZRM bekomen we inderdd =,66479554,,. 5

... Algemene fleiding, definitie Gegeven: f : A IR IR : f dom f ' f is fleidbr in grfiek vn f bezit een rklijn T in f is continu over,,f Gevrgd: Bendering voor f. Y f f? g onze fout!! f g! g X We berekenen een bendering vn f omdt f een te moeilijk voorschrift heeft (d.w.z. uit het hoofd kunnen we niet lle functiewrden berekenen). We gn drom door (rklijn f benderen g, wnt g is een functie met een mkkelijk voorschrift, nl. een eerstegrdsfunctie T ). f f f (= ) g g g (= ) g T : y f f ' y f ' f g 6

g g g f ' f f ' f f ' f f f f f g f ' De rklijn T is een goede bendering vn f in een voldoende kleine omgeving vn. De differentie of ngroei f vn f in bij een toenme overeenkomstige differentie vn g in bij een toenme g f ' kunnen we dus benderen door de, nl. g. Definitie: Dit getl g noemen we de differentil vn f in bij een differentie Nottie: df g f ' vn in. 7

... Opmerkingen. Algemeen noteren we in een willekeurig punt,f df dy f '. Nemen we f IR : Y : f() IR IR IR dom f ' =f= rklijn in fout =!! X df d d f ' d IR " " differentil vn de identieke functie IR. Wegens opmerking kunnen we de differentil vn een willekeurige functie f ook uitdrukken met behulp vn de differentil vn de identieke functie: df f ' f ' d 4. We kunnen de fgeleide vn een functie f dus ook schrijven ls een quotiënt vn differentilen: df f ' d df f ' Leibniz nottie d d dv cfr. Fysic v en dt dt De gemiddelde snelheid is de fgelegde weg gedeeld door het tijdsintervl: 8

v t Om over te gn tot de ogenblikkelijke snelheid moeten we dit tijdsintervl infinitisiml klein nemen, met ndere woorden t : Ogenblikkelijke d v lim ' t t t dt We zien dus dt de ogenblikkelijke snelheid overeenkomt met de fgeleide vn de functie die de fgelegde weg uitdrukt in functie vn de tijd nr de tijd. De gemiddelde versnelling is de verndering vn de snelheid gedeeld door het tijdsintervl: v t Om over te gn tot de ogenblikkelijke versnelling moeten we dit tijdsintervl infinitisiml klein nemen, met ndere woorden t : Ogenblikkelijke v dv lim v ' t t dt We zien dus dt de ogenblikkelijke versnelling overeenkomt met de fgeleide vn de functie die de snelheid uitdrukt in functie vn de tijd nr de tijd. 5. De voorwrde f continu op, is noodzkelijk omdt er nders sprongen in de grfiek vn f kunnen voorkomen, wrdoor de bendering niet nuwkeurig genoeg is. 6. De gevonden bendering g df voor f is ofwel te groot of te klein l nrgelng vn het teken vn f ''(). f '' f '' 9

..4. Rekenregels voor het differentiëren d r q IQ d q q d q d d sin d cos cos u d sin d d tn d sec d cos dcot d csc d sin d Bgsin d d Bgcos dbg tn d dbgcot d f g df dg d r f r df d f g df g f dg f df g dg f d g g Bewijs: df g f dg g df Stel dom f ' dom g' ' f ' g g' f d f ' g d g' f d f ' d g g' d f d f g f g d q.e.d. df g dg f UOVT: bewijs lle ndere rekenregels

..5. Oefeningen Oefening : Bereken de differentil vn de volgende functie f vn IR nr IR gedefinieerd door y=f().. y = 5 7. y = (5 ). y = ( ) 4. y = 4 5. y = 7. y = 6. y = sin cos cos( ) 8. y = Bgtn 9. y = cos sin. y =. y = Bgtn Bgsin. y = Bgsin Oefening : Gebruik de differentil om een bendering vn de volgende getllen te berekenen. Kies drtoe op gepste wijze een functie, een rgument vn het domein, een differentiewrde. G tevens n of je bendering te groot of te klein is.. 6,. 48. 4 4. cos,5 5. tn 4 6. sin 7. Bgsin,48 8. csc 59 Oefening : Bepl de functie f ls dy=df gegeven is.. df() ( ) d. df() ( ) d. 5. df() cos d 4 4. df() d 6. df() sin d df() 5 d Oefening 4: Bewijs volgende gelijkheden door toepssing vn de definitie vn de onbeplde integrl.. 4 4 ( 4) d 4 c

.. 4. 5. 8 4 ( 5) d ( 5) c d ( ) ( ) d c ( ) d c c 6. sin cos d cos c 4 sin cos 7. d c sin sin

.. Onbeplde integrl: stmfuncties... Inleidende voorbeelden Zoek lle functies met ls fgeleide 6 sin 4 9 Bgsin 9

... Definities, notties, eigenschp, opmerkingen... Definities f : dom f IR IR F : dom F IR IR F is een stmfunctie (of primitieve functie) vn f s F ' f d F F ' d f d De onbeplde integrl vn f is de verzmeling vn de stmfuncties vn f... Notties. We noteren de onbeplde integrl ls f d met f d F F is een stmfunctie vn f en f d de differentil vn een functie en f de integrnd of de te integreren functie. is het integrlteken. Dit teken (een uitgerekte letter S) komt vn de gotische letter s, de eerste letter vn som. De historische betekenis vn dit symbool zl duidelijk worden in hoofdstuk (beplde integrl).... Eigenschp f : I IR IR : f I conve deel vn IR F en G zijn stmfuncties vn f c IR, I : G F c In woorden: stmfuncties vn eenzelfde functie zijn op een constnte n gelijk. UOVT: G n wrom I een conve deel vn IR moet zijn. 4

Bewijs: F en G zijn stmfuncties vn f I : G' F' I : G' F' I : G F ' c IR, I: G F c c IR, I: G F c c IR, I: G F c q.e.d....4 Opmerkingen. Als F een stmfuncties is vn f : I IR IR, dn is F c een lgemene representnt vn f d, wegens de vorige eigenschp die zegt dt lle stmfuncties vn een zelfde functie f slechts op en constnte n verschillen. We noteren: f d F F is een stmfunctie vn f = F c met c IR. We noemen c de integrtieconstnte.. Grfisch betekent dit dt lle stmfuncties vn f verkregen worden door de grfiek vn F evenwijdig met de Y-s te verschuiven of in de lift te zetten.. We mogen c berekenen op een goed gekozen (lees: mkkelijk te berekenen) plts en dn overl gebruiken, wnt die c is toch overl dezelfde. c IR, I I, c IR df f d F c (*) 4. Uit df F' d f d volgt dt Ook geldt c IR : d F c df f d, wt we kunnen noteren ls: d f d f d (**) 5

Uit (*) en (**) blijkt dt d en elkr wederzijds opheffen, m..w. dt differentiëren en integreren omgekeerde operties zijn.... Fundmentele onbeplde integrlen q q d c d c q cos d sin c sin d cos c d tn c d cot c cos sin d Bgsin c Bgcos c d Bgtn c Bgcot c Bewijs: q q d c q q d q q d q d q q UOVT: Bewijs de ndere rekenregels. Opmerkingen:. q q q d c geldt niet voor q = -, wnt dn is q niet gedefinieerd. We kunnen momenteel d niet oplossen.. d Bgsin c Bgcos c c IR,, : Bgsin Bgcos c We berekenen c op een goed gekozen plts, nl. = : Bgsin Bgcos c c c, :Bgsin Bgcos 6

..4. Algemene integrtietechnieken Sommige eenvoudige onbeplde integrlen kunnen we onmiddellijk beplen door het toepssen vn de fundmentele of elementire integrtieformules. We noemen dit onmiddellijke integrtie. Voorbeelden:. d d c c. 5 4 d d c c 5 4 4 4.. 8 5 5 5 5 5 5 8 d d c c 8 8 4.. 5 d d d d c c De meeste onbeplde integrlen zijn echter niet onmiddellijk in één vn de fundmentele integrtieformules te gieten. In wt volgt gn we n of er rekenregels bestn om de som, het reëel veelvoud, het product, het quotiënt of de smenstelling vn functies te berekenen, net zols bij het berekenen vn de fgeleide vn functies het gevl ws...4. Methode : Integrtie door splitsing Voor het berekenen vn de fgeleide vn functies geldt dt de fgeleide vn een som gelijk is n de som vn de fgeleide vn iedere term. We gn n of dit voor het berekenen vn de onbeplde integrl ook geldt. We gn m..w. n of volgende gelijkheid opgt:?? f g d f d g d 7

Bewijs: F is een stmfunctie vn f en G is een stmfunctie vn g F + G is een stmfunctie vn f+g, wnt F G ' F' G' f g f d F c g d G c f d g d F c G c F G c F G c q.e.d f g d f g d f d g d Op nloge mnier kunnen we bewijzen dt (net zols bij fgeleide) de onbeplde integrl vn een reëel veelvoud (verschillend vn nul) vn een functie gelijk is n het reëel veelvoud vn de onbeplde integrl vn die functie. Bewijs: UOVT r f d r f d r IR Smengevt betekent dit dt de onbeplde integrl lineir is: r f s g d r f d s g d Met deze lineriteitseigenschp wordt het integreren vn een veeltermfunctie heel eenvoudig. Algemeen wordt het integreren door gebruik te mken vn de lineriteit vn integrtie door splitsing genoemd, omdt we iedere term prt zullen nemen en prt zullen integreren. 8

Voorbeelden:. 6 d d d 6 d c c 6 c 6 c c 6c 5 7 d 7 5 c 5. d d 5 d 7 d 5 d 7 d 5 7 c 7 5 7 5 4 c 4 c 7 7 4 d. d d d Bg tn c cos sin d cos d sin d sin cos c 4. sin cos 5. tn d d d d d tn c cos cos cos Andere mnier: sec d sec d d tn c 9

..4. Methode : Integrtie door substitutie..4.. Inleiding In de inleidende voorbeelden (...) vonden we dt sin d niet gelijk is n cos c, mr wel n cos c. De fctor mogen we niet vergeten en is fkomstig vn de kettingregel bij het berekenen vn de fgeleide vn smengestelde functies. Een lgemene mnier om tot de goede oplossing te komen is om over te gn tot een nieuwe vribele. Stel t dt d dt d sin d sint dt cos t c cos c 4 d 8 6 d 4 c 8 d op te lossen door de 8 ste mcht uit te rekenen en dn te splitsen vergt l iets meer rekenwerk. We gn n of er geen verbnd is met de fundmentele onbeplde integrtieformule: Jmmer genoeg merken we dt 9 ' 9 8 c 9 q q d c q c niet de correcte oplossing is, wnt: 9 de kettingregel bij de fgeleide vn smengestelde functies. Het correcte resultt is dus:. We ontbreken (opnieuw) de fctor die fkomstig is vn 8 8 9 d c. Indien we overgn tot een nieuwe vribele of vernderlijke vinden we eenvoudig de correcte oplossing: Stel t dt d dt d 8 9 d t dt t c c 9 8 8 9 Onze opgve wordt dus: Deze vervnging of substitutie vn door de nieuwe vribele t steunt op de omkering vn de kettingregel.

..4.. Substitutieregel F ' f F is een stmfunctie vn f f g g' d f g dg f u du F u c F g c Bewijs: ' d F g F g d d F g F ' g g' d d F g f g g' d F g c f g g' d q.e.d...4.. Voorbeelden. cos 5 d Stel t 5 dt 5d dt d 5 cos t dt sint c sin 5 c 5 5 5 Opmerking: Bij dergelijke eenvoudige onbeplde integrlen is het niet nodig om epliciet de overgng nr de nieuwe vribele te noteren. We pssen gewoon de differentil cos 5 d cos5d 5 sin5 c 5 5 n.. 8 6 7 d Stel t 7 dt 4 d

t dt t dt c c c t t 7. sin d cos Stel t cos dt sin d t dt t du c c c t t cos Andere mnier: sin d tn d cos cos Stel t tn dt d cos t t dt c tn c. Deze oplossing is op een constnte n gelijk onze eerst gevonden oplossing (UOVT: controleer) 4. d Deze onbeplde integrl doet ons denken n de elementire formule: dt t Bgtnt c. Mits een gepste substitutie kunnen we onze opgve omvormen tot deze fundmentele integrl. d d Stel t dt d d dt Bgtnt c Bgtn c t

5. 5 d 5 is steeds strikt positief, wnt D < en de coëfficiënt bij ² is positief. Dit betekent dt we de integrnd kunnen omvormen tot de vorm en deze onbeplde integrl kunnen oplossen zols we in voorbeeld 4 hebben gedn. d d d 5 4 4 Stel t dt d dt d dt Bg tn c t d Elke onbeplde integrl vn de vorm p q r met p en D q 4pr kunnen we herleiden tot een boogtngens. 6. d met > Deze onbeplde integrl doet ons denken n de elementire formule: dt t Bgsin t c. Mits een gepste substitutie kunnen we onze opgve omvormen tot deze fundmentele integrl. d d d dt Bgsin t c Bgsin c t

7. 5 4 d 5 4 heeft een positieve discriminnt en het teken vn ² is negtief. Dit betekent dt we de integrnd kunnen omvormen tot de vorm: deze onbeplde integrl kunnen oplossen zols we in voorbeeld 6 hebben gedn. d d 4 Stel t dt d dt Bgsin t c Bgsin c t en Elke onbeplde integrl vn de vorm we herleiden tot een boogsinus. d p q r met p < den D > kunnen 4

..4..4 Enkele belngrijke goniometrische integrlen..4..4. Herhling formules goniometrie Grondformule: sin cos cos sin tn sec cos sin cos cot cs c sin Som- en verschilformules: cos cos cos sin sin tn cos cos cos sin sin tn sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin tn tn tn tn tn tn tn tn Dubbele hoekformules: cos cos sin sin sin cos tn tn tn cos cos sin cos sin cos cos Door som-en verschilformules bij mekr op te tellen en vn elkr f te trekken bekomen we de formules vn Simpson: cos cos cos cos sin sin cos cos cos cos sin cos sin sin 5

..4..4. m n sin cos d m,n IN A. m en n niet llebei even cos sin d = B. m en n llebei even cos 4 sin d = 6

..4..4. sinm cos n d sinm sinn d cos m cos n d cos sin d = cos cos5 d = 7

..4. Methode : Prtiële integrtie (PI) Dr de fgeleide vn een product niet gelijk is n het product vn de fgeleiden, bestt er geen lgemene regel om de onbeplde integrl vn een product vn functies te noteren ls het product vn de onbeplde integrlen vn elke fctor. f,g : IR IR f g' d f g f ' g d Bewijs: d f g ' f g d f ' g f g' d f ' gd f g' d f g' d d f g f ' g d f g' d f g f ' g d q.e.d. Opmerking: Prktische nottie Neem f u en g v u v 'd u v u' v d u dv u v v du Voorbeelden:. cos d Kies u = en v = cos v cos d sin c PI sin sin d Je mg de integrtieconstnte (c ) lten vllen, dus meestl best c = kiezen. = sin cos c Stel c verschillend vn : PI c sin sin c d 8

sin c sin d c d sin c cos c c sin cos c * We mogen integrtieconstnte c dus willekeurig kiezen, best is deze bijn ltijd gelijk n te nemen. De keuze vn u en v is vn essentieel belng!! cos d Kies u = cos en v = * v d c PI cos sin d = cos sin d het nog te integreren deel is moeilijker geworden dn oorspronkelijke opgve STOP!!. cos d 9

. cos d cos cos d cos d sin P.I. cos sin sin d cos sin cos d cos sin d cos d cos d cos sin c cos d cos sin c Andere mnier: (UOVT) 4. Bgsin d Bgsin P.I. d Stel t dt d dt d Bgsin dt t Bgsin t dt Bgsin c

5. d Opmerking: Momenteel kunnen we slechts beplde types onbeplde integrlen oplossen. In hoofdstuk 5 zullen we op systemtisch wijze de integrtie vn rtionle, goniometrische en irrtionle functies verder uitdiepen. De reeds geziene technieken vormen echter de bsis vn het integreren.. De integrnd is te schrijven ls een som integrtie door splitsing. De integrnd is te schrijven ls een product vn functies, wrvn één fctor een functie is vn de tweede functie wrvn de ndere fctor precies de fgeleide is integrtie door substitutie. Vorige methoden zijn niet bruikbr en de integrnd is te schrijven ls een product vn functies, wrvn gemkkelijk integreerbr is prtiële integrtie

..5. Oefeningen Oefening : Bereken volgende onbeplde integrlen... 4 d. d 5. 5 d 7. d 8. 9. d.. d. 4. 6. d 5 d d d 5 4 d d. 7 d 4. d 4 5. 4 7 d 6. d 7. 5 d 8. d 9. d. d. d 4. 5 d. d ( )( ) Oefening : Bereken volgende onbeplde integrlen... 6 5 d. 4 5 7 7 d d 4. d 6 6

5. 7. 9 d 6. 4 d 8. 9. sin d. 5. d. cos. 4 d 7 d 4 5 5 4 d d d 4. d 5. d 6. (4 7) d 4 sin 7. 9.. (9 ) d 8. 4 (4 ) d. 4 5 d ( 5 ) d ( ) d. d 4. d 4. ( ) d 5. ( ) d 6. d 7. 4 8. d 5 4 d 9. 5 d. 5 d. d. cot d. d 4. ( )( 4) d 5. ( ) d 6. d 8. 7. d d

9. 5 d 4. (sin 5 cos ) d 4. d 4. sec csc d Oefening : Bereken volgende onbeplde integrlen... ( ) d. ( 4) d 4. 4 ( 5) d ( ) 4 d 5. 7 ( 5) 5 d 6. d 7. 9. 5 4 d 8. d 7 5. 4 d d. d 4. 8 4 4 5 d. d 5. 4 d 6. 7. sin5 d 8. 4. ( ) d 5 4 d sin4 d 9. 9 sin 4 d. sin ( ) d. cos (4 ) d cos. d sin tn cot. d 4. d cos sin cos 5. d sin 7. sin d cos 4 6. cos sin d 4

Oefening 4: Bereken volgende onbeplde integrlen.. 9 d. 7 d. 4 d 4. 4 9 d 5. d 6. ( 5) d 7. (4 ) d 8. ( ) d 9. 7 6 d. 4 4 d. 4 8 d. 4 d Oefening 5: Bereken volgende onbeplde integrlen.. 4 d. d. 9 d 5. 5 7 d 4. d 9 6 6. (4 ) d 7. 5 d 8. 5 4 d 9. 9 d. 6 5,5 d. 6 ( ) d. sec tn tn d 5

Oefening 6: Bereken volgende onbeplde integrlen.. cos sin d. sin sin d. cos cos 5 d 4. sin cos cos d 5. cos 5 cos 4 d 6. 7. cos cos cos d 8. 9. sin sin5 sin7 d... 5. 7. 9... 4 cos sin d. cos d 4. 5 cos 4 sin d 6. cos d 8. sin d. cos sin d. sin 6 d 4. cos cos d cos sin d sin cos d cos d sin d 5 sin cos d 4 cos d 4 sin d 4 cos sin d cos sin d Oefening 7: Bereken volgende onbeplde integrlen.. sin d. sin5 d. cos d 4. 5. 7. 9. ( ) sin d 6. cos d 8. sin d sin d cos d ( ) cos d. Bgcos d. Bgsin d. Bgtn d. cos d 4. 4 sin d 6

Oefening 8: Bewijs de volgende recursieformules... 4. n n n n n n sin d sin cos sin d n n n n n n cos d cos sin cos d n n n cos d ( sin n sin d) (n IN, IR ) n n n sin d ( cos n cos d) (n IN, IR ) 5. m n m n sin cos n m n sin cos d sin cos d m n m n Oefening 9: Bereken volgende onbeplde integrlen.. cos sin d. cos d. d 6 4. ( sin sec ) d 5. ( sec tn ) d 6. (sin ) d 7. Bgcos d 8. d 9. cos sin sin d. d.. 5. 7. (tn cot ) d. 5 d 4. sin d sin cos cot g d 6. d 8. d 5 d d cos 9. d sin. cos d cos 7

. sin d sin. d Oefening :. De verkoop vn het eerste kilo wspoeder brengt 5 fr. op. De mrginle opbrengst m (de fgeleide vn de opbrengstfunctie nr hoeveelheid) is gelijk n f(),75 voor 4. Bepl de opbrengst vn de verkoop vn 5kg wspoeder.. Hoe groot is de opbrengst ls de mrginle opbrengst gelijk is n nul? b. Een mss beweegt heen en weer op een recht. De snelheid v vn de mss vrieert in de tijd ls: v f(t) sin t cos t. Noem p de positie vn de mss op de rechte. Bepl p op een willekeurig tijdstip t ls de beginpositie gelijk is n. c. De mrginle kost is de fgeleide vn de totle kost. Stel dt de mrginle kost gelijk is n f() 9,5 voor 5.. Bepl hoe een totle kost met deze mrginle kost er moet uitzien.. Stel dt de totle kost vn de eerste productie-eenheid gelijk is n 5, bepl dn de totle kost. 8

Herhlingsoefeningen Onbeplde integrlen Reeks : (splitsing, substitutie en PI) Bereken volgende onbeplde integrlen.. 6 5 d. (6 8 )d. ( ) ( b) d 4. p d 5. 7. n (n) n d 6. d 8. d d 7 9. d 8. b d. b d. d. d 5 4. d 5. d 7 5 6. d 4 4 7. Bgsin d 8. Bgtn d 4 9. sin( b) d. cos d cos sin d.. cos d. 5. sec ( b)d 4. sin( )d 6. cos d cos sin d 7. sin 6 cos 6 d 8. 5 cos d sin 9. sin cos d cos sin. cos sin d 9

. tn sec d. tn d cos. cot d sin 4. sin d cos 5. d 7. sec 4 tn d 6. 8. d Bgcos d 4 9. Bgsin d 4. 4. cos d 5 6 cos d 4. Bgtnd 4. (Bgsin) d 44. Bgsin d 45. 9 d 4

Reeks : (splitsing en substitutie) Bereken volgende onbeplde integrlen.. ( ) d. ² ³ d. sin ²d 4. 5. d ( ³ 4)³ 7. d 8. 6. Bgsin d ² ² 6 d sec² tn² tn d 9. Bgtn d ². d cos ²( 4).. 5. 7. 4 ² ³ d 5 4 ² d ² 4 sin d cos 4 d. ² d ² 4. cos sin d 6. (² ) (³ ) d 4 8. ³ sec d 5 9. sin³ sin² d. Bgcos d 4². sin³ d. sin³ cos² d. cos² d 4. 5. sin 4 cos d 6. 4 sin d cos d cos 7. sin d sin 8. cos² sin² d sin d 9. sin cos. d sin cot. Bgsin d ² cos. d ( sin ) 4

cos. d ( sin ) 4. Bgtn d 4 tn cot d 6. 5. ( ) d 7. Bgcos ( ) d 8. ( sin cos) d 9. (cot cs c) d sin 4. d 4 cos 4. sin d sin 4. 4 cos cos sin d ( cos ) 4. d sin sin 44. d ( cos ) 45. cot ² d sin ² 46. sin d sin 47. d 48. d cos 49. 6 d 5. d 5. sin d cos 5. cot () cs c ()d 5. d cos 4 tn cos 54. d sin 8 55. 5 sec d cs c 56. d sin 57. 59. 4 sec tn d 58. d 4 8 cos d 4

Reeks : (gemengde reeks) Bereken volgende onbeplde integrlen.. Bgcos d. sin sin d. d 4. 5 d 5. Bgsin d 6. sin8 d 4 9 sin 4 7. d cos tn 8. 4 6 d 9. 5 4 d 4 8. 4 d. Bgsin d. Bgcos d. d 4. d ( ) 5. 4 d 6. Bgsin d 7. d cos sin cos sin 8. 4 d 9. d sin cos. d b. cos d. cos d sin. 5. 7. d d 4. Bg sin d 6. d Bg tn d 8. Bgtn d 9. d cos. d 5 7 4

. d. (tn sec ) d. d 4 4. d 5. 7. Bgtn d cos sin d 8. 6. Bg tn d 4 5 sin cos d 9. sin cos d 4. cos 4 d sin 44

. BEPAALDE INTEGRAAL In dit hoofdstuk gn we op zoek nr een lgemene mnier om de oppervlkte vn een willekeurig vlkdeel te beplen. We bouwen onze redenering op vi ondersommen, bovensommen en Riemnnsommen om uiteindelijk tot het begrip beplde integrl te komen... Begrensde deelverzmelingen in IR Om tot het begrip beplde integrl te komen, is het nodig dt we enkele begrippen omtrent begrensde deelverzmelingen vn IR introduceren. Wegens de totle orde in IR (gedefinieerd voor in het 5 de respectievelijk grootste element:, y IR : y of y jr), heeft een verzmeling hoogstens één kleinste... Voorbeelden. D,,,,,...,,... 4 5 n We noemen deze deelverzmeling vn IR begrensd omdt er getllen bestn die kleiner, respectievelijk groter zijn dn lle elementen vn D. Zo is - een ondergrens vn D, wnt D:. Het getl is een bovengrens vn D, wnt D:. Er bestt een essentieel verschil tussen een begrensde en een eindige verzmeling. Zo is D een begrensde deelverzmeling vn IR, mr geen eindige verzmeling. D bezit een kleinste bovengrens, nl. het getl. We noemen deze kleinste bovengrens het supremum vn D, nottie: sup D =. D bezit eveneens een grootste ondergrens nl. het getl. We noemen deze grootste ondergrens het infimum vn D, nottie inf D =. In dit voorbeeld is het supremum ook het grootste element of het mimum vn D, nottie m D. Dit betekent dt in dit voorbeeld geldt dt: sup D = m D =. Merk op dt indien een verzmeling een mimum bezit, dit mimum ook steeds het supremum is.. IN,,,,...,n,... is eveneens een deelverzmeling vn IR, mr is niet begrensd, wnt er zijn geen bovengrenzen. IN is echter wel nr onder begrensd. Alle negtieve reële getllen zijn ondergrenzen vn IN. De grootste ondergrens is en behoort tot IN, vndr: inf IN = min IN = 45

. De verzmeling vn de gehele getllen is een onbegrensde deelverzmeling vn IR, wnt ze bevt geen ondergrenzen, noch bovengrenzen in IR. 4. Het intervl [,[ is een begrensde deelverzmeling vn IR, wnt het bezit zowel bovenls ondergrenzen. De kleinste wrde vn dit intervl is hier eveneens de grootste ondergrens of het infimum. Dit intervl bezit geen grootste wrde, mr wel een kleinste bovengrens, nl. is het supremum vn deze deelverzmeling vn IR.... Definities D IR en,b,m,m IR m is het minimum vn D m is het kleinste element vn D Nottie : m = min D M is het mimum vn D M is het grootste element vn D Nottie : M = m D is een ondergrens vn D elk element vn D is groter dn of gelijk n b is een bovengrens vn D elk element vn D is kleiner dn of gelijk n b is het infimum vn D is de grootste ondergrens vn D Nottie : = inf D b is het supremum vn D b is de kleinste bovengrens vn D Nottie : b = sup D... Opmerkingen. Niet elke deelverzmeling vn IR heeft een minimum, mimum, infimum of supremum (zie bovenstnde voorbeelden).. Synoniemen voor ondergrens en bovengrens zijn respectievelijk minornt en mjornt.. De verzmeling vn de ondergrenzen vn D noemen we de minorntie vn D, nottie: mnt D. De verzmeling vn de bovengrenzen vn D noemen we de mjorntie vn D, nottie: mjt D. 46

4. Elk getl kleiner dn een ondergrens is ook een ondergrens en elk getl groter dn een bovengrens is ook een bovengrens. 5. Als een ondergrens (bovengrens) vn D tot D behoort is het noodzkelijk ook het infimum (supremum) en het minimum (mimum) vn D. 6. Een verzmeling die bovengrenzen bevt noemen we nr boven begrensd. Een verzmeling die ondergrenzen bezit noemen we nr onder begrensd. Een begrensde verzmeling is zowel nr onder ls nr boven begrensd...4. Eigenschppen Eigenschp : Een niet-lege nr boven begrensde deelverzmeling vn IR bezit een supremum. Een nietlege nr onder begrensde deelverzmeling vn IR bezit een infimum. Bewijs: niet kennen! Deze eigenschp lijkt misschien wel vnzelfsprekend, mr voor de verzmeling vn de rtionle getllen geldt dit niet. Neem bijvoorbeeld: D Criterium voor supremum: D is een niet-lege deelverzmeling vn IR en s = sup D. D : s. IR, D: s s IR In woorden: Als een verzmeling D een supremum s bezit, ligt in elke linkeromgeving vn s minstens element vn die verzmeling en omgekeerd ls elke omgeving vn een bovengrens s minstens element vn D bevt, dn is s = sup D. Bewijs: zie schrift 47

Criterium voor infimum: D is een niet-lege deelverzmeling vn IR en i = inf D IR. D:i. IR, D:i i Bewijs: UOVT! Gevolg criterium voor supremum: Een stijgende, nr boven begrensde rij t t,t,t,...,t,... supremum vn de verzmeling t,t,t,...,t,... n n, heeft ls limiet het Bewijs: Eerst enkele begrippen: Een rij is een functie t : IN IR : n tn. Er zijn dus oneindig veel beelden en die hebben een volgnummer,,,, n, Die beelden vormen een verzmeling t,t,t,...,t,... n Een rij t is stijgend ls geldt : n p tn t, d.w.z. een beeld dt verder komt in de p rij is groter dn of gelijk een beeld dt eerder komt in de rij De limiet vn een rij : s is de limiet vn een rij t ls geldt : IR, p IN : n p t s, n d.w.z. vnf een bepld volgnummer p, is het verschil tussen het beeld en de vooropgestelde limiet zeer klein. Stel nu dt s het supremum is vn de verzmeling t,t,t,...,t,..., dn volgt uit het n criterium voor supremum: IR, p IN : s tp s. De rij is stijgend dus geldt : n p tn t. p Gecombineerd wordt dit : IR, p IN : n p s tp tn s. Deze ltste ongelijkheid is logisch wnt s is supremum vn t en dus groter dn of gelijk n elk element vn de rij. We verminderen elk lid vn de ongelijkheid met s: IR, pin :n p t s. n 48

Met bsolute wrden noteren we deze ongelijkheid ls: IR, p IN : n p t s. n Deze ltste uitdrukking betekent per definitie : gelijk n het supremum vn de verzmeling. lim t n n s, en dus is de limiet vn de rij Gevolg criterium voor infimum: Een dlende, nr onder begrensde rij t t,t,t,...,t,... vn de verzmeling t,t,t,...,t,... n n, heeft ls limiet het infimum Bewijs: UOVT! 49

.. Ondersommen, bovensommen en Riemnnsommen... Definitie, meetkundige betekenis... Inleidend voorbeeld We willen de oppervlkte beplen vn een willekeurig vlkdeel. Beschouwen we hiervoor de f 5. De oppervlkte vn het vlkdeel bepld door 5 veeltermfunctie deze functie en de X-s op het intervl [,4] kunnen we niet beplen door middel vn onze gekende oppervlkteformules. We gn dus op zoek nr een lgemene mnier om dergelijke willekeurige oppervlkte te kunnen berekenen. Vermits we de oppervlkte vn een rechthoek wel mkkelijk kunnen beplen gn we de oppervlkte vn het gezochte vlkdeel proberen te benderen met behulp vn rechthoeken. We verdelen het intervl [,4] in 4 gelijke delen. Hiertoe voegen we n het intervl [,4] drie deelpunten toe, nl. =, en. We noemen dit de verdeling of prtitie V,,,, 4 vn het intervl [,4]. In elk deelintervl construeren we een rechthoek met bsis (de lengte vn het deelintervl) en hoogte (de kleinste functiewrde die bereikt wordt door f op dit deelintervl). Indien we de oppervlkte vn deze 4 rechthoeken optellen, bekomen we een (te kleine) bendering voor de oppervlkte vn het gewenste vlkdeel, we noemen dit de ondersom s horend bij de prtitie V. 5

4 s m m m m m met mi min f i, i en i i 4 4 i 4 4 4 i i i s f f f f 8, 5 5 5 5 5 We kunnen voor dezelfde prtitie of verdeling V de bijhorende bovensom beplen. Hiervoor construeren we op de 4 deelintervllen vn het intervl [,4] vier rechthoeken met bsis (de lengte vn het deelintervl) en hoogte (de grootste functiewrde die bereikt wordt door f op dit deelintervl). Indien we de oppervlkte vn deze 4 rechthoeken optellen bekomen we een (te grote) bendering voor de oppervlkte vn het gewenste vlkdeel. 5

Bovensom S (horend bij de prtitie V ) M M M M4 4 met Mi m f i,i en i i i. S f,7 f f f 4 5, 4, 5 5 5 We merken op dt s kleiner is dn S. Indien we deelpunten n de prtitie V toevoegen, bekomen we een nieuwe verdeling of prtitie V. We noemen V een verfijning vn V en verfijnen V tot V door het intervl [,4] te verdelen in 8 deelintervllen. We berekenen opnieuw de bijhorende ondersom en bovensom. Door het optellen vn de gevonden rechthoeken vinden we s = 9,47 en S =,57. We merken op dt s kleiner is dn S en dt door het verfijnen vn onze verdeling de wrde vn de ondersom is gestegen en de wrde vn onze bovensom is gedld. Zowel de ondersom ls de bovensom zijn een betere bendering geworden voor de gezochte oppervlkte. In wt volgt zullen we lgemeen bewijzen dt bij een verfijning vn de verdeling ondersommen stijgen en bovensommen dlen. Het is intuïtief duidelijk dt indien we onze verdeling verder verfijnen de wrde vn de corresponderende ondersommen, respectievelijke bovensommen steeds een betere bendering vormen voor de gezochte oppervlkte. We verwchten dezelfde limiet bij een oneindige verfijning vn onze prtitie voor de corresponderende ondersommen, respectievelijk bovensommen. We zullen in wt volgt bewijzen dt de verzmeling vn de ondersommen een kleinste bovengrens (supremum) en de verzmeling bovensommen een grootste ondergrens (infimum) bezit. Deze zijn bij continue fbeeldingen op een gesloten f bereikt een mimum op het deelintervl [,] in =,7. De functiewrde vn f(,7)=5,. 5

intervl gelijk en beplen de wrde vn de gezochte oppervlkte. Onderstnde fbeeldingen illustreren dit. Indien we in ons voorbeeld onze verdeling verfijnen door het intervl [,4] te verdelen in 4 deelintervllen bekomen we voor de corresponderende ondersom s =,6 en voor de corresponderende bovensom S =,5. Bij een verdere verfijning vn het intervl [,4] in deelintervllen, bekomen we voor de corresponderende ondersom s 4 =,8 en voor de corresponderende bovensom S 4 =,6. We kunnen bij een welbeplde verdeling ook in elk deelintervl i, i een willekeurige - wrde i kiezen om de hoogte vn onze rechthoeken te beplen (dus niet de -wrde met de kleinste functiewrde (ondersom) of de -wrde met de grootste functiewrde (bovensom)). De optelling of sommtie vn deze gevonden rechthoeken noemen we een Riemnnsom vn f bij de gegeven verdeling, nottie: f i n i. Een Riemnnsom kn dus zowel een onderschtting ls een overschtting vn de gezochte oppervlkte zijn. Merk op dt een (willekeurige) Riemnnsom vn f bij een welbeplde verdeling steeds groter of i 5

gelijk n de corresponderende ondersom vn f en kleiner of gelijk n de corresponderende bovensom vn f is (bij dezelfde verdeling). n s f S n i i n i Bij een onbeperkte verfijning vn de prtitie zullen de wrden vn de corresponderende ondersommen, bovensommen en Riemnnsommen convergeren. De wrde vn deze limiet zullen we de beplde integrl vn f over het intervl [,b] noemen. b f d lim s lim f lim S n n i i n n n n i Merk tevens op dt de ondersom (bovensom) horend bij een welbeplde prtitie vn de mogelijke Riemnnsommen is die horen bij deze prtitie.... Definities is een verdeling of prtitie vn [,b] n IN V,,,...,,,...,, i i n n s en b en...... n i i n De verdeling V vn [,b] is een verfijning vn de verdeling V vn [,b] s lle deelpunten vn V zijn ook deelpunten vn V Nottie: V V n i is de ondersom vn f bij de verdeling V i i s m s m min f, en i i i i i i n i is de bovensom vn f bij de verdeling V i i S M s M m f, en i i i i i i n fi is de Riemnnsom vn f bij de verdeling V i i s is willekeurig punt vn, en i i i i i i 54

... Meetkundige betekenis Een ondersom is een reëel getl dt een mtgetl is voor de georiënteerde (vn een teken voorziene) trpoppervlkte, die we op de in de definitie fgesproken mnier, onder de grfiek vn f construeren. Het is een bendering voor de oppervlkte vn het vlkdeel begrensd door: y y f b Een bovensom is een reëel getl dt een mtgetl is voor de georiënteerde (vn een teken voorziene) trpoppervlkte, die we op de in de definitie fgesproken mnier, boven de grfiek vn f construeren. Het is een bendering voor de oppervlkte vn het vlkdeel begrensd door: y y f b Opmerkingen:. Ondersommen en bovensommen zijn specile gevllen vn Riemnnsommen. Merk op dt de wrde vn een ondersom, respectievelijk een bovensom zowel positief, negtief ls nul kn zijn. Boven de grfiek vn f construeren indien f onder de X-s ligt. Onder de grfiek vn f construeren indien f onder de X-s ligt. 55

... Eigenschppen, opmerkingen... Inleidende opmerkingen. Afsprk: in wt volgt gn we er steeds vnuit dt onze functies f :,b IR IR steeds reële continue fbeeldingen zijn op,b, m..w.,b f CIR f f is een continue fbeelding op,b. Uit het 5 de jr weten we dt: het beeld vn een gesloten intervl door een continue fbeelding is een gesloten intervl. De stelling vn Weierstrss leerde ons dt: een functie die continu is op een gesloten intervl bereikt in dt intervl een grootste en een kleinste wrde. Hierdoor weten we dt: f,b f,b m,m met m de kleinste wrde die f bereikt op,b en M de grootste wrde die f bereikt op,b.. De lengte vn een (deel)intervl is steeds (strikt) positief wegens de gekozen ijking vn de deelpunten vn onze prtities, met nme:...... b i i n... Eigenschppen Eigenschp : De verzmeling vn de ondersommen is begrensd. ondersom:... s... Bewijs: zie schrift 56

Eigenschp : Bij verfijning vn een verdeling stijgt de ondersom. Bewijs: zie schrift Eigenschp 4: De verzmeling vn de bovensommen is begrensd. bovensom:... S... Bewijs: UOVT! Eigenschp 5: Bij verfijning vn een verdeling dlt de bovensom. Bewijs: UOVT! Eigenschp 6: Voor willekeurige verdelingen of prtities geldt: elke ondersom is kleiner dn elke bovensom. Bewijs: niet kennen, grfisch kunnen uitleggen en illustreren. 57

.. Beplde integrl in CIR,b... Definitie, meetkundige betekenis, opmerkingen Dnkzij de voorgnde eigenschppen komen we tot de definitie vn de beplde integrl vn een functie f over een intervl [,b]. Uit Eigenschp : Een niet-lege nr boven begrensde deelverzmeling vn IR bezit een supremum. Een nietlege nr onder begrensde deelverzmeling vn IR bezit een infimum. en Eigenschp : De verzmeling vn de ondersommen is begrensd. (D.w.z. zowel nr onder ls nr boven) volgt dt de verzmeling vn de ondersommen vn f over [,b] een supremum bezit. We weten dt de verzmeling vn de ondersommen vn f die horen bij een verdeling vn het intervl [,b] niet lleen een nr boven begrensde rij vormen, mr dt deze rij eveneens stijgend is. Dit ltste volgt immers uit eigenschp. Eigenschp : Bij verfijning vn een verdeling stijgt de ondersom. Indien we de limiet vn deze stijgende, nr boven begrensde rij nemen (bij oneindige verfijning) bekomen we niet lleen onze gezochte oppervlkte, mr vinden we eveneens dt deze limiet gelijk is n het supremum vn de verzmeling vn de ondersommen vn f die horen bij een verdeling vn het intervl [,b]. Dit volgt immers uit het gevolg vn het criterium voor supremum. Gevolg criterium voor supremum: Een stijgende, nr boven begrensde rij t t,t,t,...,t,... n, heeft ls limiet het 58

supremum vn de verzmeling t,t,t,...,t,... n Op nloge mnier kunnen we ntonen dt deze limiet ook gelijk is n het infimum vn de verzmeling vn de bovensommen vn f die horen bij een verdeling vn het intervl [,b]. (UOVT) Per definitie noemen we deze limiet, dus het supremum vn de verzmeling vn de ondersommen vn f die horen bij een verdeling vn het intervl [,b] (of het infimum vn de verzmeling vn de bovensommen vn f die horen bij een verdeling vn het intervl [,b]), de beplde integrl vn f over het intervl [,b]. b,b f C IR ;,b IR f d sup s s is de ondersom vn f bij een verdeling vn,b IR inf S S is de bovensom vn f bij een verdeling vn,b IR met het integrlteken [,b] het integrtie-intervl en b de integrtiegrenzen ( = ondergrens, b = bovengrens) f de integrnd de integrtievernderlijke of integrtievribele Meetkundige betekenis: De oppervlkte vn het vlkdeel begrensd door : y y f b 59

Opmerkingen:. Functies die positief zijn over [,b] ( < b) hebben positieve ondersommen (bovensommen) en dus is ook het supremum (infimum) vn de verzmeling ondersommen (bovensommen) positief. b [,b] b : f f d. Functies die negtief zijn over [,b] ( < b) hebben negtieve ondersommen (bovensommen) en dus is ook het supremum (infimum) vn de verzmeling ondersommen (bovensommen) negtief. b [,b] b : f f d. We hebben steeds < b gesteld. Indien > b kunnen we opnieuw bij een verdeling V,,,...,,,...,, b ondersommen definiëren, mr i i n n dn is i i i. We vinden tegengestelde wrden voor de verzmeling vn b de ondersommen. Vndr dt: f d f d b en b 4. Het getl b f d f d hngt volgens de definitie uitsluitend f vn de functie f en de integrtiegrenzen. De nm vn de vernderlijke speelt hierbij geen rol. We noemen dit een loze vribele of stomme letter. Net zols bij limieten. b b b f d f u du f d... 6

... Eigenschppen Optelbrheid vn de beplde integrl f is een continue fbeelding op het intervl I en,b,c b c b f d f d f d c I Bewijs: geen strikt bewijs, grfisch kunnen verklren! Gevl : < c < b (zie schrift) Gevl : < b < c (zie schrift) Gevl : b < < c (UOVT) Gevl 4: b < c < (UOVT) Gevl 5: c < < b (UOVT) Gevl 6: c < b < (UOVT) Middelwrdestelling vn de integrlrekening (stelling vn het buldozerke) f :,b IR continue fbeelding over,b b c,b : f d f c b Grfische illustrtie: 6

Bewijs: Gevl : = b f d f c IR * * * optelbrheid bep.int. f d f d f d f d f d b b b b : omwisselen integrtiegrenzen, wisselt het teken vn de beplde integrl *: symmetrisch element voor de optelling in IR ** : is het opslorpend element voor de in IR Gevl : < b Stel m min f,b, M m f,b en b B f d IR f is een continue fbeelding op,b f,b m,m (stelling vn Weierstrss) Uit de definitie vn beplde integrl (supremum verzmeling ondersommen respectievelijk infimum verzmeling bovensommen vn f horend bij een verdeling vn het intervl,b ) en het feit dt de verzmeling vn de ondersommen / bovensommen (vn f horend bij een verdeling vn het intervl,b ) begrensd is, volgt dt: mb B Mb beide leden vn een positief reëel getl b, behoudt de orde ongelijkheid vermenigvuldigen met een zelfde strikt m B b M B b m,m f,b c,b : f c B b f is een continue fbeelding op,b 6

beide leden vn een ongelijkheid vermenigvuldigen met eenzelfde vn o verschillende getl b b c,b : f c b B f d Gevl : > b In gevl hebben we bewezen dt: f d f c b b omwisselen integrtiegrenzen, wisselt het teken vn de beplde integrl b f d f c b f c b Q.E.D. Opmerking: Deze stelling is een eistentiestelling, d.w.z. dt ze het bestn vn (minstens ) zo n getl c wrborgt op het intervl [,b], mr ze vertelt ons niet hoe we deze c kunnen beplen. Deze stelling stelt ons dus niet in stt om b f d te berekenen, wnt c en fc zijn niet gekend. 6

Hoofdstelling vn de integrlrekening (= THEORETISCH verbnd beplde integrl en onbeplde integrl) f :,b IR is een continue fbeelding op,b F :,b IR : F f t dt is een stmfunctie vn f Te bewijzen:,b :F' f Grfische illustrtie: Bewijs: F h F,b : F ' lim (definitie fgeleide vn een functie in een h h niet-geïsoleerd punt vn het domein) lim h lim h h h f t dt h f t dt h f t dt f t dt (definitie F) (omwisselen integrtiegrenzen, wisselt het teken vn de beplde integrl) 64

lim h f t dt h h f t dt (commuttiviteit vn tov + in IR) lim h h f t dt h (optelbrheid beplde integrl) MWS h f is een continue fbeelding op, h c,b : f t dt f c h f c h lim h f c h h (symmetrisch element lim f c c h : h c c f in IR) f continue fbeelding op, h limiet is gelijk n de beeldwrde, m..w. lim f c f c 4 Q.E.D. 4 cfr. 5 de jr: f continu in lim f f of f geïsoleerd punt vh domein 65

Grondformule vn de beplde integrl (= PRAKTISCH verbnd beplde integrl en onbeplde integrl) f :,b IR is een continue fbeelding op,b F :,b IR is een stmfunctie vn f b f d F b F Bewijs: f :,b IR is een continue fbeelding op,b Hoofdstelling integrlrekening G :,b IR : G f t dt is een stmfunctie vn f en F is een stmfunctie vn f gegeven Stmfuncties (F en G) vn eenzelfde functie (nl. f) zijn op een cte n gelijk c IR,,b : G F c f t dt We mogen kiezen wr we c beplen, wnt,b heeft c dezelfde wrde. Stel = G f t dt F c c F Dit betekent dt:,b : G F F Deze gelijkheid geldt dus ook voor = b: b G b F b F f t dt Volgens de definitie vn beplde integrl is b f t dt volledig bepld door f en integrtiegrenzen en b. De nm vn de vernderlijke speelt geen rol ( stomme letter). b f d F b F Q.E.D. 66

Opmerkingen: b b b. Notties: f d F F F b F. De keuze vn de stmfunctie om de beplde integrl te berekenen speelt geen rol. b b f d F c F b c F c F b c F c F b F Lineriteit vn de beplde integrl,b f,g C IR ; r,s IR b b b r f s g d r f d s g d Bewijs: Stel F en G zijn stmfuncties vn respectievelijk f en g, dn is r F s G een stmfunctie vn r f s g, wnt ' ' ' r F s G r F s G r f s g. Uit de grondformule vn beplde integrl volgt dt: b r f s g d r F s G r F b s G b r F s G r F b s G b r F s G r F b F s G b G b b b r f d s g d De beplde integrl en de orde: f,g CIR b,b b,b : f g en b f d g d 67

Bewijs: g g f f met g f Uit de lineriteit vn de beplde integrl volgt: b b b b b b b g d g f d f d g d f d g f d g d b f d 68

.4. Oppervlkte vn willekeurige vlkdelen.4.. Algemene formules.4.. Oppervlkte vn een vlkdeel begrensd door een functie en de X-s over een bepld intervl Zie schrift!.4.. Oppervlkte vn een vlkdeel begrensd door functies Zie schrift! 69

.4.. Oppervlkte vn elementire vlkke figuren.4.. Trpezium, prllellogrm, rechthoek, vierknt en driehoek In dit prgrf zullen we ntonen dt we onze reeds lng gekende oppervlkteformules voor trpezium, prllellogrm, met behulp vn beplde integrlen terug vinden..4... Trpezium We kiezen de coördintgetllen vn de hoekpunten vn onze trpezium zo dt onze berekeningen het eenvoudigst zullen zijn. De rechte AB is de grfiek vn g B. h De oppervlkte vn de trpezium OABC wordt dn: h B b h b h b f b en de rechte OC is de grfiek vn h h b B B b B b b d b d b h h h h h B b h De oppervlkte vn een prllellogrm, rechthoek, vierknt en driehoek zijn specile gevllen vn het trpezium. Kies steeds de meest efficiënte coördintgetllen voor de hoekpunten! h 7

.4... Prllellogrm Afleiding is nloog n deze vn de oppervlkte vn trpezium, kies in dit gevl: b = B Oprllellogrm B h.4... Rechthoek Afleiding is nloog n deze vn de oppervlkte vn trpezium, kies in dit gevl: = b = B Orechthoek B h.4...4 Vierknt Afleiding is nloog n deze vn de oppervlkte vn trpezium, kies in dit gevl: h = b = B Ovierknt B.4...5 Driehoek Afleiding is nloog n deze vn de oppervlkte vn trpezium, kies in dit gevl: b = O driehoek B h.4.. Cirkelschijf en cirkeldelen.4... Cirkelschijf De cirkel is de unie vn de grfieken vn de functies vn f r en g r. Wegens de symmetrieën ten opzichte vn de X- en Y-s kunnen we de oppervlkte vn de cirkelschijf berekenen door: cirkelschijf r O 4 r d... vi PI 4 r r Bgsin r r r r 7

.4... Cirkelsegment We mken gebruik vn de symmetrie ten opzichte vn de X-s en berekenen de oppervlkte vn het cirkelsegment met behulp vn beplde integrlen ls volgt: r u Ocirkelsegment r d u r u r Bgcos r r Bgc os r r Bgcos r r cos cos cos Bg cos r r r CAS S r r cos cos sin cos r r r r r r sin r r sin I of II r s r r sin sin cos sin r r r dubbele hoek formule Oppervlkte cirkelsegment = r sin r r = sin 7

.4... Cirkelstrook.4...4 Cirkelsector 7

.5. Oneigenlijke integrlen Tot hiertoe hebben we beplde integrlen steeds gebruikt voor het beplen vn begrensde vlkdelen. We hebben steeds gesteld dt de integrtiegrenzen ( en b) reële getllen zijn en dt de integrnd f een begrensde functie is op [,b]. We breiden het begrip beplde integrl uit voor de gevllen wrin f niet begrensd is in een eindig ntl punten vn [,b] of wrin het integrtie-intervl [,b] niet begrensd is. Dit noemen we oneigenlijke beplde integrlen. Zo kunnen we ook de oppervlkte vn onbegrensde vlkdelen berekenen. Deze oppervlkte zl vreemd genoeg niet steeds zijn. We illustreren hoe we te werk gn n de hnd vn onderstnde voorbeelden..5.. Convergerende oneigenlijke beplde integrl Voorbeeld : d De integrnd bestt niet in (de ondergrens). We zien duidelijk in de grfiek dt het te zoeken vlkdeel onbegrensd is. Deze beplde integrl bestt echter wel op ],]. d Voor elke t ],] is de integrl t zinvol. Onze te zoeken beplde integrl kunnen we dus schrijven ls: 74

d d lim lim lim t t t t t t Deze functie bezit een limiet in : lim t. t Merk op dt vreemd genoeg dit onbegrensd vlkdeel een eindige oppervlkte bezit, nl.. We noemen deze oneigenlijke integrl convergerend (nr ). Voorbeeld : d De integrnd bestt niet in (de bovengrens). We zien duidelijk in de grfiek (zie voorbeeld ) dt het te zoeken vlkdeel onbegrensd is. Deze beplde integrl bestt echter wel op [,t] met t een willekeurig (groot) reëel getl. Onze te zoeken beplde integrl kunnen we dus schrijven ls: t t t t t d d lim lim lim t Ook dit onbegrensd vlkdeel bezit een eindige oppervlkte, nl., wnt deze oneigenlijke integrl is eveneens convergerend (nr ). 75

.5.. Divergerende oneigenlijke beplde integrlen Voorbeeld : d De integrnd bestt niet in (de bovengrens). We zien duidelijk in de grfiek dt het te zoeken vlkdeel onbegrensd is. Deze beplde integrl bestt echter wel op [,t] met t een willekeurig (groot) reëel getl. Onze te zoeken beplde integrl kunnen we dus schrijven ls: t t d d lim lim lim t t t t We noemen deze oneigenlijke beplde integrl divergerend. Voorbeeld : d De integrnd bestt niet in (verticle symptoot). We zien duidelijk in de grfiek (zie voorbeeld ) dt het te zoeken vlkdeel onbegrensd is. We zullen deze oneigenlijke beplde integrl opsplitsen in gelijke delen (symmetrie over de Y-s) d d d d d lim lim lim = t t t t t t 76

.6. Toepssing op beplde integrl: ERB en EVRB.6.. We beschouwen Inleiding t ls de functie die de positie weergeeft in functie vn de tijd. De gemiddelde snelheid is de verpltsing per tijdseenheid: v t Wnneer we het hebben over de ogenblikkelijke snelheid, nemen we het tijdsintervl infinitesiml of petieterig klein: t t De ogenblikkelijke snelheid is dus: v lim lim t t tt t t Hierin herkennen we de definitie vn de fgeleide in een (niet-geïsoleerd) punt vn het domein: f () is de fgeleide vn f in s f( h) f() f() f() f '() lim lim IR h h en kunnen we de ogenblikkelijke snelheid dus noteren ls de fgeleide vn tijd. d (t) of korter ls d dt dt ' v (t) D (t) t nr de Op een nloge mnier kunnen we de ogenblikkelijke versnelling beschouwen ls de fgeleide vn de snelheidsfunctie nr de tijd. Immers ls we in de formule vn de v gemiddelde versnelling het tijdsintervl opnieuw infinitesiml klein nemen, t verkrijgen we de ogenblikkelijke versnelling ls: lim v (t) (t) t t dt dt v ' dv '' d 77

.6.. Eenprig rechtlijnige beweging (ERB) Bij een ERB blijft de snelheid v constnt, dus gelijk n de beginsnelheid v o. d v v cte dt v dt d Wnneer we de formule opstellen die de positie weergeeft, die fgelegd wordt tussen het begintijdstip t en (het vribel tijdstip) t vinden we: t t t t t d v dt v t v t t t t Met t een lopende vribele ( een willekeurig tijdstip t ). De eindpositie die bereikt wordt n het fleggen vn een fstnd tussen tijdstip t en t wordt dn weergegeven door: t v (t t ) met = de beginpositie op tijdstip t.6.. Eenprig versnelde rechtlijnige beweging (EVRB) Bij een eenprig versnelde rechtlijnige beweging blijft de versnelling constnt, de snelheid zl hier dus niet constnt blijven, mr evenredig vernderen. dv cte dt dt dv Wnneer we de formule opstellen die de snelheidsfunctie weergeeft, die fgelegd wordt tussen tijdstip t en t vinden we: t t v t v dv dt t t t t v t v t t Wnneer we de formule opstellen die de fgelegde weg weergeeft, die fgelegd wordt tussen tijdstip t en t vinden we: 78

t t t t t t d v dt t t v dt v dt t t dt t t t t t v t t t t De eindpositie die bereikt wordt n het fleggen vn een fstnd tussen tijdstip t en t wordt weergegeven door: t v (t t ) t t met = de beginpositie op tijdstip t Opmerking: De ERB is een specil gevl vn de EVRB, wrin de snelheid (v) constnt blijft (gelijk n de beginsnelheid) en de versnelling () dus gelijk is n nul. Nmelijk: t v (t t ) t t v t t 79

.6.4. Economische toepssing Een onderneming mkt een product dt een (vste) mrktprijs p heeft. We nemen n dt lles wt de onderneming produceert ook effectief wordt verkocht. Veronderstel dt de mrginle kostenfunctie 5 vn de onderneming gekend is, nl. MK : IR IR : q MK q Probleem: Hoeveel eenheden moet de onderneming produceren om een mimle winst te reliseren? We zoeken eerst de functie die de winst vn de onderneming beschrijft in functie vn het ntl geproduceerde (en dus verkochte) ntl eenheden product (q). W : IR IR : q Wq De winst vn een onderneming is het verschil tussen de totle opbrengsten (TO) en de totle kosten (TK). De totle opbrengsten zijn hier gelijk n de omzet, m.n. TO p q en de TK die geprd gn met het produceren vn q ntl eenheden komt overeen met q MK s ds. De totle kostenfunctie kunnen we noteren ls: TK : IR IR : q TK q MK s ds Merk op dt we voor de integrtievribele hier s kiezen om geen verwrring te stichten met het ntl eenheden (q) wrvoor de totle kosten worden berekend. Zols reeds gezegd is een beplde integrl volledig bepld door de te integreren functie, onder- en bovengrenzen. De integrtievribele is een stomme of loze letter. q 5 De mrginle kosten zijn de etr kosten die gemkt worden wegens het produceren vn een etr TK eenheid vn het product, nl. MK. Indien de totle kosten voor het produceren vn q eenheden product EUR zijn en de totle kosten voor het produceren vn eenheden product EUR, is de MK om het de eenheid product te mken gelijk n EUR. Dit betekent dt indien MK > de totle kosten zullen toenemen bij uitbreiding vn de productiegrootte en indien de MK < de totle kosten zullen fnemen bij uitbreiding vn de productiegrootte. De mrginle kosten zijn dus niets nders dn de fgeleide vn de totle kosten. Het teken vn de MK verklpt dus het verloop (stijgen of dlen) vn de totle kosten. 8

De winstfunctie kunnen we noteren ls: q W : IR IR : q W q p q MK s ds De hoofdstelling vn de integrlrekening vertelde ons dt: f :,b IR is een continue fbeelding op,b F :,b IR : F f t dt is een stmfunctie vn f, m..w. F ' f Als we nnemen dt de mrginle kostenfunctie (MK) een continue fbeelding is, dn volgt uit de hoofdstelling vn de integrlrekening dt q W' q p q MK s ds p MK q ' De productiehoeveelhe(i)d(en) (q) wrbij een mimle winst wordt gereliseerd moet(en) voorkomen bij een tekenwissel vn W. Dr wij met brve functies werken, zl dit steeds in (een) nulpunt(en) vn W zijn. Dit betekent dt de mrginle kostprijs gelijk zl zijn n de mrktprijs vn het product. W' q p MK q p MK q) Meestl zl de mrginle kostenfunctie een convee functie zijn (met U-vormig verloop). prijs MK MK p q q productie 8

In de cursus economie vn het 5 de jr wordt dit ngetoond. Dit volgt uit het feit dt voor de meeste productieprocessen de productie bij toevoeging vn een vribele productiefctor rbeid (kortweg: meer rbeiders inzetten) n een vste productiefctor kpitl (mchinepprt) op eenzelfde mnier verloopt. De productie zl eerst meer dn evenredig (of progressief) toenemen, dn minder dn evenredig (of degressief) toenemen, vervolgens een mimum bereiken om lvorens te dlen bij het verder toevoegen vn eenheden rbeid. Dit fenomeen stt gekend ls de wet vn toenemende en fnemende fysieke meerproductie (of mrginle productie). Bij dergelijke productiefuncties horen mrginle kostenfuncties met U-vormig verloop (fnemende en toenemende mrginle kosten). De eerste fgeleide vn de winstfunctie (W ) heeft twee nulpunten nmelijk q en q. Vi een tekenonderzoek vn W kunnen we beplen welk vn beide nulpunten (nders gezegd: snijpunten vn MK en p) een mimle winst oplevert. q q q W - + - W m M We zien dt de winst miml is bij q. Opmerking: Merk op dt de mrktprijs gelijk is n de mrginle opbrengsten (MO). De mrginle opbrengst is niets nders dn de etr opbrengst wegens het produceren vn een etr eenheid. Indien er een etr eenheid wordt geproduceerd (en dus verkocht) is de etr opbrengst gelijk n de prijs vn de ltst verkochte eenheid, m..w. MO = p. We kunnen dus tevens zeggen dt de winstfunctie een etremum zl bereiken indien MO gelijk is n MK (MO = MK). Bij de strt vn de productie zien we dt de MK > MO bij het produceren vn etr eenheden. Dit betekent dt de etr kost om een etr eenheid te produceren strikt groter is dn de etr opbrengst wegens het produceren vn dit etr goed. De winstfunctie zl dus dlen. Vnf q zullen de etr opbrengsten die gegenereerd worden strikt groter zijn dn wt deze etr eenheden etr n kosten met zich 8

meebrengen, wrdoor de winstfunctie zl dlen. Vnf q zijn de etr kosten wegens het produceren vn etr eenheden opnieuw groter dn de etr opbrengsten die deze etr productie met zich meebrengt. De winstfunctie zl opnieuw dlen. Dit verklrt meteen ook economisch wrom bij het tweede snijpunt vn MO en MK een mimle winst wordt bereikt en bij het eerste snijpunt vn MO en MK een minimle winst (miml verlies) wordt gereliseerd. Op deze mnier werd het beplen vn de optimle productiegrootte (ntl eenheden wrbij winst miml is) ngebrcht tijdens de lessen economie in het 5 de jr (toen wren de begrippen fgeleide en beplde integrl nog niet gekend). 8

.7. Oefeningen Oefening : Welke vn de volgende verzmelingen zijn nr boven of nr onder begrensd? Geef, indien ze bestn, voor elke verzmeling het mimum en/of het minimum, de verzmeling vn de ondergrenzen/bovengrenzen en het supremum en/of het infimum... IR \. 4. 5,9 6., IR \ 5., 7., ( IR ) 8. n IN n n 9. n IN n. n ( ) n n IN. n n IN n. n n IN. 4 Z z 4. del7 Oefening : Construeer voor de volgende functies over het intervl,b een eindige verdeling en bepl de ondersom, de bovensom en de Riemnnsom bij die verdeling (n is het ntl deelintervllen).. f() 5 over, n 4.. f() over, n 6 f() 4 over, n 8 4. f() 4 over, n 4 5. f() over,4 n 7 6. f() sin over, n 6 7. f() over,6 n 84

Oefening : Bepl een wrde vn c die voldoet n de middelwrdestelling vn de beplde integrl voor de volgende functies en intervllen.. f() 5,.. 4. f(), f(), f() 4,4 5. f(),7 6. f(), 4 7. f() sin, 8. f() sec, 4 Oefening 4: Bereken de volgende beplde integrlen en geef een grfische interprettie.. 4 (4 ) d. 4 d. 5. ( ) d 4. 4 ( ) d 6. ( ) d d 7. d 8. d 9.. cos d. ( ) d. ( ) d 4 ( 4 ) d 85

. 5. 7. 9. (sin cos ) d 4. 7 ( 5) d 6. 5 cos( ) d 8. 4 d. 7 4 ( ) d ( ) d 4 d cos sin d. 4 9 d. ( ) d. 7 ( 5) d 4. d 5 6 5. d Oefening 5: Bereken de volgende beplde integrlen en geef een grfische interprettie... 5. d. cos d 4. sin d 4 d d 86

Oefening 6: Als f :, IR : k :, IR : IR :, IR : g:, IR : Bereken dn telkens Of f( ) d of Of,g f() g( ) d en geef telkens een grfische interprettie. O f ; O k ; O ; O IR g ; O f,k ; O f, ; O IR g, ; O IR f,g Oefening 7: Bepl de oppervlkte vn het begrensde vlkdeel gelegen tussen de grfieken vn de functies f en g. Bepl eerst de coördinten vn de snijpunten vn de twee grfieken.. f() 6 5 g().. 4. f() g() f() g() f() 9 g() 5. 6. 7. f() 4 f() f() g() 8 g() g() 8. f() 5 g() 9. f() g(). g() 5 f() 5 7 Oefening 8: Teken de grfiek vn de functie y en de rechten y, en 4. Bereken de oppervlkte vn het vlkdeel begrensd door deze vier krommen. Oefening 9: Bepl de oppervlkte vn het vlkdeel gelegen tussen punt, n deze grfiek. y en de rklijn in het 87

Oefening : De prbool met vergelijking y verdeelt de cirkel met vergelijking y 8 in twee stukken. Bereken de verhouding vn de oppervlkte vn het grootste stuk tot de oppervlkte vn het kleinste stuk. Oefening : Bereken de oppervlkte vn het gerceerde vlkdeel. Oefening : Bereken de oppervlkte vn het gerceerde vlkdeel. 88

Oefening : Bereken de oppervlkte vn het gerceerde vlkdeel (strl vn de cirkel is 5). Oefening 4: We beschouwen krommen door de oorsprong. K b noemen we bissectrice vn K en K ls voor lle punten p Kb de oppervlkten tussen de krommen KK b en KK b met de evenwijdigen n de ssen gelijk zijn (zie tekening). Neem ls kromme K de prbool P y en ls K de prbool P y ; bepl dn de vergelijking vn de prbool K y b. 89

Oefening 5: Bereken de oppervlkte vn het vlkdeel begrensd door de prbool y p en de kromme y p p (met p ) Oefening 6: Bepl de oppervlkte vn het begrensde vlkdeel omvt door de kromme met de volgende vergelijking.. y ( ).. y (ellips) b ( y ) ( y ) (strofoïde) Oefening 7: (oneigenlijke beplde integrlen). d b. d c. d d. cos sin d Oefening 8: (oneigenlijke beplde integrlen) Bereken de oppervlkte tussen de gegeven kromme en hun symptoten:. f b. f c. f f 9 d. 8 6 9

Herhlingsoefeningen oppervlkte vn willekeurige vlkdelen Oefening :. ( cos )d b. 4 4 d c. 4d d. 4 tn d Oefening : Bereken de oppervlkte tussen de krommen: f g en de rechte = - Mk een duidelijke tekening (+ berekeningen om de tekening te mken!) Oefening : Bereken de oppervlkte tussen de krommen: f 4 g Mk een duidelijke tekening (+ berekeningen om de tekening te mken!) Oefening 4: Bereken de oppervlkte tussen de krommen: f 4 g 4 Mk een duidelijke tekening (+ berekeningen om de tekening te mken!) Oefening 5: Bereken de oppervlkte tussen de krommen: f g Mk een duidelijke tekening (+ berekeningen om de tekening te mken!) 9

Oefening 6: Bereken de oppervlkte tussen de krommen: f g sin cos op intervl [, 4 ] Mk een duidelijke tekening (+ berekeningen om de tekening te mken!) Oefening 7: Bereken de oppervlkte vn het gebied, begrensd door de kromme y 5, de X- s en de verticle lijnen door het mimum en het minimum vn de gegeven functie. Mk een duidelijke tekening! Oefening 8: Bereken de oppervlkte vn het vlkgebied tussen de grfiek vn f : f, de rklijn in P,f en de X-s. Mk een duidelijke tekening. (Neem X-s: eenheid = 4 cm en Y-s: eenheid = cm) Oefening 9: Bepl de vergelijking vn de rechte L door de oorsprong die het gebied tussen y 6 en de X-s in twee gebieden verdeelt met dezelfde oppervlkte. Oefening : Bepl de rechte L, evenwijdig met de X-s, die het gebied tussen gebieden verdeelt met dezelfde oppervlkte. y 9 en de X-s in Oefening : Gegeven: P : y P : y Bepl de vergelijking vn P : y zodt de oppervlkte tussen P en P gelijk is n de oppervlkte tussen P en P op het intervl [,]. 9

Oefening : Bepl de oppervlkte vn de driehoek bc met (,), b(,) en c(4,-) met behulp vn beplde integrl! Mk een duidelijke tekening. Oefening : Bereken m zodt de oppervlkte vn het vlkdeel dt begrensd wordt door de prbool P: y en de rechte A: y m Mk een duidelijke tekening. (m > ) gelijk is n. Oefening 4: Bereken de oppervlkte vn het vlkdeel begrensd door de volgende krommen: f 5 y y Mk een duidelijke tekening. Oefening 5: Bereken de oppervlkte vn het begrensde vlkdeel door de kromme met vergelijking 4 y. Mk een duidelijke tekening. 9

4. LOGARITMISCHE EN EXPONENTIËLE FUNCTIES 4.. Logritmische functies 4... Inleiding 4... Rekenen met rtionle eponenten Een mcht met rtionle eponenten (strikt positief grondtl) kennen we reeds vn vroeger: q n z z IR, q : q n q q q q Rekenregels:. : q q q q.. q q q q 4. q q q q Over irrtionle eponenten weten we nog niets! Voorbeeld : We nemen ls grondtl = : 4, 5 4 4 5 4 q A q is de verzmeling vn lle rtionle mchten vn. Deze verzmeling is een deelverzmeling vn IR. Beschouw de functie L die elke mcht vn fbeeldt op hr eponent. L : A IR : q is een eponentenplukker en noemen we de q Deze functie logritmische functie met grondtl. 94

Uit onze rekenregels met rtionle eponenten leiden we volgende belngrijke kenmerken / eigenschppen vn L f: L L L beeldt f op : L beeldt producten f op sommen: q q L q q L is een bijectie vn A IR op : wegens q q q q IR A L IR, 5 q 5 5 q De omgekeerde of inverse bijectie vn L beeldt dus elk rtionl getl q f op de mcht q (eponentenzetter) en noemen we de eponentiële functie met grondtl. E L : A IR : q q Voorbeeld : Nemen we een nder strikt positief grondtl, bijvoorbeeld =. Op nloge mnier kunnen we volgende functies definiëren: q L : A IR : q E L : A IR : q q 95

Beide functies zijn mekrs spiegelbeeld ten opzichte vn de eerste bissectrice vn het crtesins ssenstelsel y, ze zijn immers elkrs inverse of omgekeerde reltie. Ze zijn echter niet continu (lle irrtionle getllen ontbreken op de Y-s). Beide voorbeelden kunnen we verlgemenen voor elk strikt positief reëel grondtl (verschillend vn ). q A q = de verzmeling vn elke rtionle mcht vn q L : A IR IR : q is de logritmische functie met grondtl, die een product fbeeldt op een som. E : IR A IR : q q is de eponentiële functie met grondtl, die een som fbeeldt op een product. Deze bijecties willen we nu uitbreiden tot fleidbre bijecties L, respectievelijk E tussen de verzmelingen IR en IR, met behoud vn de eigenschppen dt een product (vn mchten) omgezet wordt in een som (vn eponenten), en dt fgebeeld wordt op, en omgekeerd. Een bijectie L of E met die eigenschppen noemen we een isomorfisme tussen IR, en IR,. Een morfisme is een fbeelding tussen wiskundige structuren (hier commuttieve groepen) wrbij het beeld vn de bewerking, de bewerking vn de beelden is. Het gedeelte iso slt op het bijectief krkter. IR, is een commuttieve groep, wnt de vermenigvuldiging in IR. is intern;. is ssocitief;. bezit een neutrl element, nl. ; 4. bezit een inverteerbr element, nl. het omgekeerde; 5. is communttief Om dezelfde redenen is IR, eveneens een commuttieve groep. Een morfisme behoudt de morfologie (vorm) tussen beide structuren. Het neutrl element (invers element) vn de ene wiskundige structuur zl op het neutrl element (invers element) vn de ndere wiskundige structuur worden fgebeeld. 96

q q Een product in A IR wordt fgebeeld op een som q qin IR. Het neutrl element voor de vermenigvuldiging in IR, nl. wordt fgebeeld op het neutrl element voor de optelling in IR, nl.. IR A L IR q q q q q q q q q q q Het symmetrisch element voor de vermenigvuldiging in IR wordt fgebeeld op het q symmetrisch element voor de optelling in IR. Immers, s het symmetrisch element voor q voor de vermenigvuldiging in IR en wordt fgebeeld op q, het symmetrisch element vn q voor de optelling in IR. Deze gewenste uitbreiding betekent dt we q IR, q : uitbreiden tot IR, qir q :. 97

4... Algemene vorm vn een logritmische functie L Uitgngspunt: We willen L definiëren ls een continue, fleidbre bijectie vn IR op IR die producten fbeeldt op sommen en fbeeldt op. Het voorschrift vn L : IR IR : L kennen we (nog) niet, mr we gn de fgeleide functie L beplen, steunend op de gestelde eigenschppen vn L: L L IR () () t, IR :L t L t L Neem t = cte (een willekeurig strikt positief reëel getl) en L fleidbr: ' ' IR : t L t L Dit geldt voor elke strikt positieve reële, dus ook voor =. Neem = : Stel ' ' t L t L t IR ' ' L t L Dit geldt voor een willekeurige t IR ' L = m IR met m IR ' t IR : L t m t t De fgeleide functie vn L is een reëel veelvoud vn f : IR IR : t f t is continu over IR t f t over IR t ( ) F : IR IR : F f tdt dt is een stmfunctie vn f t 98

Uit ( ) volgt: ' L t m f t m t L m F c m IR L m f tdt c m dt c t L en m kiezen we = en c = L m dt = t Elk fleidbr isomorfisme vn IR, nr IR, is noodzkelijk vn de vorm: L : IR IR : L m dt met m t = willekeurige logritmische functie L : IR IR We zullen tevens het omgekeerde bewijzen, nl. dt elke functie vn bovenstnde vorm wel degelijk een fleidbr isomorfisme is. De eenvoudigste keuze voor m = noemen we de ntuurlijke logritmische functie of Neperinse logritme 6, nottie: ln 6 De Neperse of Neperinse logritmen worden genoemd nr de Schotse wiskundige John Npier (55-67). 99

4... De ntuurlijke logritmische functie 4... Definitie, opmerkingen IR : ln dt t Opmerkingen:. Grfische interprettie:. Tekenonderzoek:. ln is strikt stijgend over IR, IR : ln ln 4. IR : ln ln

5. ln dt t is een stmfunctie vn ft t IR : ln d ln c IR ' ln is fleidbr over IR d.w.z. de grfiek vn ln heeft geen knikken ln is continu over IR d.w.z. de grfiek mkt geen sprongen in punten vn het domein 4... Eigenschppen, het getl e Eigenschp : ln is een morfisme vn IR, op IR, :, IR : ln ln ln IR, is een commuttieve groep, wnt de vermenigvuldiging in IR. intern. ssocitief. bezit een neutrl element, nl. is: 4. symmetrisch (inverteerbr) element vn, 5. commuttief Op deze wijze is ook IR, een commuttieve groep. Een fbeelding tussen wiskundige structuren (hier commuttieve groepen) wrbij het beeld vn de bewerking, de bewerking vn de beelden is = morfisme. IR, ln IR,+ ln y ln y y ln y ln lny ln ln

Bewijs: Eigenschp : IR, q : ln q ln q Bewijs: (UOVT!)

Gevolg eigenschp : IR : ln ln, y IR : ln ln ln y y Bewijs: Eigenschp : ln is strikt stijgend over IR, y IR : y ln lny Bewijs: Gevolg eigenschp : ln ln Bewijs:

Eigenschp 4: ln is een bijectie vn IR op IR Betekenis: Uit elk element vn IR vertrekt juist pijl en in elk element vn IR komt juist pijl toe. Elk reëel getl wordt door ln juist keer bereikt door juist strikt positief getl.! getl g IR :lng Dit getl g noemen we het getl e (het getl vn Euler) e dt lne t Men kn bewijzen dt. e =,78 Grfisch:. e IR \ Eigenschp 5: lim ln en lim ln Bewijs:. We gebruiken de Q, vormvn de definitie: lim ln Q IR, IR : ln Q ln is een bijectie vn IR op IR QIR, IR :ln Q Uit het feit dt ln is strikt stijgend is over IR volgt: ln ln Q. We gebruiken de Q,P vormvn de definitie: lim ln Q IR, P IR : P ln Q ln is een bijectie vn IR op IR QIR, P IR : lnp Q Uit het feit dt ln is strikt stijgend is over IR volgt: P ln lnp Q 4

Opmerkingen:. De limiet vn ln in een punt vn het domein IR is gelijk n de functiewrde, wnt ln is een continue functie. b. De grfiek vn ln heeft: i. een VA: = ii. geen HA c. ln is een isomorfisme vn IR, op IR,. d. q q : lne q lne q e is het grondtl vn de ntuurlijke logritmische functie (ln). 4... Grfiek vn de ntuurlijke logritmische functie 5

4... Willekeurige logritmische functie met grondtl 4... Inleiding Een willekeurige logritmische functie is steeds vn de vorm: L : IR IR : L m dt m ln met m IR t Het grondtl vn een willekeurige logritmische functie is het strikt positieve getl dt wordt fgebeeld op. Voor de ntuurlijke logritmische functie ws dit het getl e, nmelijk: lne. Dr elke willekeurige logritmische functie een fleidbre bijectie is vn IR op IR geldt dt: met m = modulus IR! IR : L m ln m ln = het grondtl IR \ 4... Definitie, opmerkingen Een willekeurige logritmische functie met grondtl IR \ ln IR : log ln ln ln Opmerkingen:. Dt het grondtl wordt genoemd, wordt gerechtvrdigd door: L q q ln qln q ln ln. Elke logritmische functie is een reëel veelvoud vn de ntuurlijke logritme: log mln met m ln. De logritmische functie met grondtl, wordt ook de -logritme genoemd. 4. 5. log lezen we ls de -logritme vn of kortweg -log. log wordt soms ook genoteerd ls log. e 6. De ntuurlijke logritme heeft e ls grondtl en ls modulus, ln log. 6

7. De logritme met grondtl noemen we de Briggse logritme. log noteren we kortweg ls log. Op ons rekentoestel stt zowel een knop om rechtstreeks de ntuurlijke logritme (ln) te berekenen ls de Briggse logritme (log). Eigenlijk is de knop log overbodig, wnt indien je de ntuurlijke logritme kn berekenen kn je meteen ook ln lle willekeurige logritmen berekenen, nl. log. ln 4... Eigenschppen en grfiek vn een willekeurige logritmische functie Elke willekeurige logritmische functie met grondtl is een fleidbr isomorfisme vn IR, nr IR,. Hieruit volgen meteen volgende eigenschppen: Eigenschp : log: IR IR is een bijectie Eigenschp :, y IR : log y log logy De logritme vn een product is de som vn de logritme vn de fctoren. q Eigenschp : q : log q (eponenteigenschp) Eigenschp 4: b, b IR \ IR : log log logb = Verndering vn het grondtl Eigenschp moet je niet strikt kunnen bewijzen, wel kunnen uitleggen. De bewijzen vn eigenschppen en 4 zijn UOVT en volgen uit de definitie vn log. 7

OPDRACHT: Onderzoek het verbnd tussen het grondtl en de grfiek vn willekeurige logritmische functies.. Teken in ssenstelsel de grfieken vn door goed gekozen koppels te kiezen. e 4 log log ln log log Neem ls indeling op de X-s: cm (4r) = eenheid en op de Y-s: cm (4r) = eenheid.. De fgeleide vn ln kennen we reeds. Onderzoek (en bewijs) wt de fgeleide is vn een willekeurige logritmische functie met grondtl. ' log is fleidbr: log D log.... Onderzoek het verbnd tussen het grondtl en het verloop vn een willekeurige logritmische functie. Bewijs dit verbnd. 4. Onderzoek het verbnd tussen de grfiek vn log en de grfiek vn log. Bewijs dit verbnd. 5. Onderzoek het verbnd tussen de grfiek vn log en de grfiek vn log. Bewijs dit verbnd. 6. Indien en b llebei > dn ligt de grfiek vn log boven / onder de grfiek vn b log voor < < en ligt de grfiek vn log boven / onder de grfiek vn b log voor >. 8

4..4. Oefeningen Oefening : Bereken de volgende logritmen zonder rekentoestel, IR \. log. log. log 4 4. log 5. 5 log 4,5 6. log( 9) 7. 49 log 8. 7 5 7 4 log 7 9. 6 log 4. log 5. log 7,4 4. 4 log 4. log 5 4. log 5. ln e e 6. 4 8 log5 log5 7. log log Oefening : Als gegeven is log, en log,477 bereken dn. log8. log. log5 4. log,5 5. 8 log 5 6. log6 7. log,75 8. log 9. log,5. log. log. log6 Oefening : Bereken met behulp vn een rekentoestel.. 7 log.,5 log7. log,78 4. 9 log4 5. 4 log9 6. 5 log 7 7. log4 8. log 9.,5 log,45. loge 9

Oefening 4: Bereken de vergelijkingen vn de rklijnen in het punt grfisch voor...,y n f e. ln en stel 4. 5. e 6. e Oefening 5: Bereken de vergelijkingen vn de rklijnen in het punt.. e f f ln. ln 4.,y n y f. f ln f ln Oefening 6: Bepl het domein vn de volgende functies en bereken de fgeleide functie ervn.. y ln4 5. y log4 7. y ln 5 5. 4. y ln 6. 7. y ln y ln ln y 8. y ln 9. ln y. ln y ln. y ln. y loglog. y log loglog 4. y lnsin Oefening 7: Bewijs de volgende eigenschppen vn de logritmische functie met grondtl.., y IR : q log. q : log y log logy q. D log ln

Oefening 8: Gegeven zijn de volgende functies f : IR IR : g : IR IR : ln: IR IR : ln Toon n dt IR : ln Mk de grfiek vn de functies op één tekening. Welke meetkundige interprettie kunnen we n de ongelijkheid geven? Oefening 9: Bewijs volgende gelijkheden (, b, c en d IR, lle grondtllen zijn verschillend vn en m, n zijn vn verschillende rtionle getllen).. b c logb log c log d log d b. b b log log log c. b log log d. logb z z logb logb e. b logc logc b log f. b logc logc logb g. n b m b log m b logc log h. log logc log n logb i. b b logc logd logd logc j. n b b n logc logd logc logd Oefening : Bewijs volgende eigenschppen: (i), b IR \, IR : b log log logb (ii), b IR \ : logb of logb b log b log (iii), b IR \ : ' log' log m IR ln Meetkundige betekenis vn de modulus: de modulus vn een logritmische functie is de Rico vn de rklijn in (, ) n de grfiek vn deze functie.

Oefening : Bewijs volgende gelijkheden (P, Q zijn strikt positieve reële getllen) en lle grondtllen zijn strikt positieve vn verschillende reële getllen.. b logp logp logp b b logp logp b. b c b c logp logp logp logp b b c c logp logp logp logp logp logp Oefening :. De mrginle opbrengst m vn de verkoop vn dozen is gegeven door: met uitgedrukt in duizend verkochte eenheden en f in euro. f() 66. Bepl de totle opbrengstfunctie F.. Stel F grfisch voor en g n of de functie een nnemelijke totle opbrengstfunctie is. b. Sommige psychologen zijn vn oordeel dt de functie f 5 ln 5 mogelijkheid om te leren vnf de zesde mnd tot het vierde levensjr goed bendert. Hierin is uitgedrukt in jren. Op welke leeftijd leert het kind volgens deze theorie het best? de

4.. Eponentiële functies. Mchten met reële eponenten 4... Inleiding Beschouw de uitdrukking b. Deze uitdrukking is reeds gedefinieerd voor IR, b. Uitdrukkingen zols: 4 We wensen nu,,,, b te definiëren IR \, q : log q q q b IR. IR \, q : log q * dom log IR bld log bld log IR dom log Elke logritmische functie log beeldt producten in IR, zijn (voorlopig) niet gedefinieerd. f op sommen in IR. De omgekeerde reltie vn log, met nme log beeldt sommen in IR f op producten in IR. De gelijkheid * is bewezen q. Het linkerlid vn deze gelijkheid is voorlopig enkel gedefinieerd q. Het rechterlid log q is gedefinieerd q IR, wnt dom log =IR bld log. Vermits beide leden gelijk zijn stellen we per definitie: q IR \, qir \ : log q Voor = ws reeds gedefinieerd: log log We stellen per definitie: q q : q q IR \ :

4... Definitie, opmerkingen.. r log r IR \ r IR : r = Definitie vn mcht met reële eponent is de eponentiële functie met grondtl IR \ ep log : IR IR = Definitie vn willekeurige eponentiële functie Opmerkingen... 4. 5. nottie e e ep ep log ln is de ntuurlijke eponentiële functie. ln ln log ep ln ln ep log IR : log log log IR : ep log ep is een isomorfisme vn IR, nr IR, ep log log = Briggse eponentiële functie 6. ln e ln ln 4

4... Eigenschppen Eigenschp : Rekenregels voor mchten met reële eponenten.. y y IR,,y IR : y y IR,,y IR : :. y IR,, y IR : y 4.,b IR, IR : b b 5.,b IR, IR : b b Bewijs: UOVT! Eigenschp : Afgeleide vn eponentiële functies ' ' ' ' IR \, IR : ep... e : ep e... Bewijs: 5

Eigenschp : Verloop vn eponentiële functies < < ep is strikt dlend op IR > ep is strikt stijgend op IR Bewijs: 4..4. Grfiek vn eponentiële functies Teken in ssenstelsel de grfieken vn: ep ep log log log log Neem ls indeling op de X-s: cm (4r) = eenheid Y-s: cm (4r) = eenheid 6

4..5. Oefeningen Oefening : Vereenvoudig de volgende uitdrukkingen. ln ln lnlny ln. e b. e c. e d. e ln 4 4ln ln e. e f. e g. lne h. e i. ln e Oefening : Bereken de vergelijking vn de rklijn in het punt,y n f... 5. f() e. f() e 4. f() e f() e f() e Oefening : Bepl de fgeleide functie vn. 5 y e. y e. y e sin 4. y 5. y e 6. y e 7.. y e ln 8. cos y 9. 5. y lne y e y e e Oefening 4: Bepl het domein vn de volgende functies en bereken de fgeleide functie ervn:. y. y. ln y 4. y 5. y 6. y ln 7. y 5 8. y 7

Oefening 5: Bepl het domein vn de volgende functies en bereken de fgeleide functie ervn:. y log5. y log tn. y logsin 4. y log sin 5. y logcos 6. y 5 log 5 Oefening 6: Bereken het getl IR zo dt de functie y voldoet n de vergelijking y ' y. Oefening 7: Bewijs de rekenregels voor mchten met reële eponenten (eigenschp p. 95).,b IR ;, y IR. y y. y y :. b b 4. b b Oefening 8: Bewijs de eigenschp: ep is strikt dlende functie ep is strikt stijgende functie Oefening 9:. Bewijs dt er voor rklijnen bestn n log en ep die evenwijdig zijn met de eerste bissectrice vn het ssenstelsel. Bereken de coördinten vn de rkpunten.. Bewijs dt er voor rklijnen bestn n log en ep die evenwijdig zijn met de tweede bissectrice vn het ssenstelsel. Bereken de coördinten vn de rkpunten. Oefening : Welke reltie bestt er tussen de grondtllen vn eponentiële functies wrvn de grfieken symmetrisch zijn t.o.v de Y-s? Verklr dt. 8

Etr oefeningen op fgeleide vn logritmische en eponentiële functies Bepl de fgeleide vn volgende functies.. D ln b. D ln ln c. D ln D d. ln e. D e e e e f. e D ln e e e e 4 e g. sin D ln sin cos sin sin h. e D ln e e e 6 e e e e i. D ln met > j. k. D log 4 4 ln ln D ln ln 5 l. m. D log 5 4 5 5 4 D ln n. D o. ln ln ln log(sin ) log(sin) cot log log(sin ) D sin p. D tn sin tn cos ln(tn ) 9

q. D Bgtn r. D cos 6 ln 5 cos cos ln cos 6 sin s. D 6 7 ln 6 6 ( 6) ( )

4.. Toepssingen vn logritmische en eponentiële functies 4... Limieten vn logritmische en eponentiële functies Voorbeeld : lim b lim b H ln ln lim lnb b lnb b log Voorbeeld : lim Dit is een nieuwe onbeplde vorm! We weten wel dt f 9 4,,597...,,748...,76...., 788... e r r IR :. lim Eigenschp 5 de jr: lim f bestt en g is continu in lim f lim g f g lim f lim ep ln ep lim ln

=ep = e lim ln lim ln ln lim H lim lim ' ' Voorbeeld : lim e ln e ln e lim ep ep lim = ep = ln e lim e H e e lim lim e e

4... Verloop vn logritmische en eponentiële functies Om de grfiek vn een logritmische of eponentiële functie te onderzoeken, gn we te werk volgens ons 7 stppenpln (zie 5 de jr).. Beplen vn het domein. Ngn of de grfiek symmetrieën (even of oneven) vertoont of een periode heeft. f is een even functie f f Y is een symmetrie-s f is een oneven functie f f oorsprong is een symmetriemiddelpunt. Beplen vn de (eventuele) snijpunten met de X- en Y-s. Tekenonderzoek.. Limieten beplen in de ophopingspunten vn het domein die niet tot het domein behoren. Zoeken nr eventuele symptoten (VA, HA of SA). 4. Beplen vn de eerste fgeleide. Het tekenonderzoek geeft ons informtie over het stijgen en dlen vn de grfiek. 5. beplen vn de tweede fgeleide. Het tekenonderzoek geeft ons informtie over de conveiteit / concviteit (holle en bolle zijde) vn de grfiek. 6. Smenvttende tbel met tekenonderzoek vn eerste en tweede fgeleide en besluiten voor het verloop en holle / bolle zijde vn de grfiek. 7. Tekenen vn de grfiek op bsis vn onze voorgnde berekeningen en enkele nvullende koppels om de nuwkeurigheid te vergroten. Voorbeeld : f ln. Domein, ophopingspunten, dom f + - + dom f,, De grfiek vn f is noch even, noch oneven, noch periodisch.

. Snijpunten met ssen en tekenonderzoek f X s 5 D 4 5, 5 f X s, f Y s (zie domein) 5 5 f ln + - - + Berekening: f ln. Limieten in specile punten + symptoten. lim ln ln lim lim ln ln lim lim ln ln lim b. VA : VA : (zie..) Geen HA (zie..) SA? ln lim H lim lim lim IR dus geen SA 4. Eerste fgeleide + meetkundige betekenis f ' Nulpunt dom f 4

5. Tweede fgeleide + meetkundige betekenis f '' 4 4 Tweede fgeleide heeft geen nulpunten, dus f geen buigpunten. 6. Smenvttende tbel f - + f - - f 7. Grfiek 5