Rise Poortig Lieire Algebr e Voortgezette Alyse 2 Lieire fbeeldige Ihoud: 2 Lieire fbeeldige 22 Rije- e koloerg 23 rspoere 24 De deterit 25 De oplossige v ee stelsel lieire vergelijkige 26 Guss-eliitie 27 Eleetire lieire trsforties refwoorde: 2 Lieire fbeeldige, copoete v ee fbeeldig, idetieke fbeeldig, coörditfucties, coördite, trix v ee lieire fbeeldig, koloe, rije, producttrix, vierkte trix, ulfbeeldig 22 Rije- e koloerg rg, xile rg 23 rspoere, hoofddigol v ee trix, getrspoeerde trix of lieire fbeeldig, syetrische trix of lieire fbeeldig 24 De deterit, forule v Leibiz, deeltrix, oderdeterit, regulier, otwikkele r ee kolo of rij, schkbordptroo, bovedriehoekstrix 25 Stelsel lieire vergelijkige, (o)fhkelijk stelsel, regel v Crer, strijdig stelsel 26 Guss-eliitie, gevulde trix, eleetire rijbewerkige, (r beede) schoovege, trpvor, kopeleet 27 Eleetire lieire trsfortie
2 Lieire fbeeldige 2 Lieire fbeeldige e trices Ee fbeeldig F : D et D oee we kortweg ee - - fbeeldig De tere fbeeldig e fuctie betekee i pricipe hetzelfde I het volgede zulle we echter fbeeldige die getlle ls fuctiewrde hebbe bij voorkeur fucties oee We zulle het oderscheid tusse fucties e fbeeldige bedrukke door eestl voor fucties kleie letters e voor fbeeldige hoofdletters te gebruike [Getlle duide we eestl et kleie letters e pute et hoofdletters] Drst gebruike we ook kleie Griekse letters voor zowel fbeeldige ls fucties Ee -tl - -fucties f,, f et geeeschppelijk doei D beplt ee - -fbeeldig F dv F( X ) ( f ( X ),, f ( X )) voor X D Ogekeerd beplt ee - -fbeeldig F et doei D ee -tl - - fucties f,, f, eveees et doei D, zo dt F( X ) ( f( X ),, f ( X )) voor X D We schrijve F ( f,, f ) e oee de fucties f,, f de copoete v F De - -fbeeldig X X fbeeldt heet de idetieke fbeeldig v idetieke fbeeldig hete de coörditfucties op die elk put X v De copoete op zichzelf,, v de Voor k,, geldt k ( X ) X, Ek xk Is F ee - -fbeeldig, d is fk k F de k-de copoet v F Is A ( A,, A ) ee rij pute i ee lieire ruite V, d is er precies éé lieire fbeeldig A : V die de stdrdbsis E ( E,, E ) v fbeeldt op de puterij A ( A,, A ) i V Afbeeldig A is ee isoorfie tusse e V precies d, weer A ee bsis is v V I dt gevl k ieder put P V op precies éé ier geschreve worde ls lieire cobitie P x A x A e dit put correspodeert d oder A et het -tl ( x,, x ) i We oee ( x,, x ) het coördite -tl v put P tov de bsis A De keuze v ee vste bsis A i V kt het ogelijk o V te idetificere et I ee euclidische ruite kieze we ee vste orthoorle b- sis o op grod v stellig 86 iproducte, fstde e hoeke gekkelijk te kue berekee Is W ee dere lieire ruite et bsis B ( B,, B ), d kue we W op dezelfde ier et behulp v B idetificere et Met ee lieire of ffiee fbeeldig v V i W correspodeert d ee lieire of ffiee fbeeldig v i
28 Lieire Algebr Gezie het bovestde zulle we os i het volgede voorelijk beperke tot de lieire ruite e zij lieire e ffiee deelruite Lieire e ffiee fbeeldige i het volgede zij - -fbeeldige De lieire bewerkige i zij de stdrd lieire bewerkige e ls vste bsis ee we steeds de stdrdbsis E ( E,, E ) is ee -diesiole euclidische ruite et het stdrdiproduct gedefiieerd door X, Y x y x y Nor, fstd e hoek zij gedefiieerd et behulp v dit stdrdiproduct De deterit op is de tisyetrische -lieire fuctie : zo dt ( E,, E ) Ipv ( X,, X ) schrijve we det E ( X,, X ) of det ( X,, X ), r eestl det( X,, X ) zoder eer Is A ( A,, A ) ee rij pute i e E ( E,, E ) de stdrdbsis v, d otere we de lieire - -fbeeldig L zo dt L( E ) A,, L( E ) A ls L [ A,, A ] e ook uitvoeriger ls L De getlle i de eerste kolo zij de coördite v A, oder elkr geschreve, i de tweede kolo st de coördite v A 2, oder elkr geschreve, etc Door de lieire fbeeldig L wordt ook ee fuctie ( r, k) et r {,, } e k {,, } gedefiieerd, die we de trix v L oee, ottie t( L ) We kue deze trix schrijve ls t( L) ( r k r {,, }, k {,, }) e oee t( L) ee -trix et horizotle rije e verticle koloe Het getl r k stt i rij r e kolo k Idie odig schrijve we r k r, k [ee ko is bijv odig i 5, 2 ] Odt we hier steeds werke et coördite tov de stdrdbses v r k ook ls resp is er ee --correspodetie tusse lieire - -fbeeldige e -trices Zoude we ook werke et iet-stdrdbses B ( B,, B ) e C ( C,, C ) i resp, d oete we oderscheide tusse de stdrdtrix t( L) v L e de trix t( L, B, C) v L tov de bses B e C Zo igewikkeld hoeve we hier iet te doe We g zelfs zover dt we dezelfde ottie gebruike voor ee lieire - -fbeeldig L e zij stdrdtrix t( L )
2 Lieire fbeeldige 29 We spreke f dt et L zowel de lieire fbeeldig L ls trix t( L) bedoeld k zij e we otere i het volgede beide ls L [ A,, A ] of uitvoeriger ls L Zij L [ A,, A ] e M [ B,, B ] lieire - - fbeeldige e c, d zij L M e cl, op de gebruikelijke wijze gedefiieerd, ook lieir e L M [ A B,, A B ], cl ca ca [,, ] De sestellig M L v ee lieire - -fbeeldig M e ee lieire p - -fbeeldig L is ee lieire - -fbeeldig e M L M L E M L E [ ( ( ),, ( ( ))] Mtrix M heeft p koloe e trix L heeft p rije De trix v M L wordt het product v de trices M e L [i deze volgorde] geoed Deze producttrix wordt geoteerd ls M L of korter ls ML Opgve Lt M L de sestellig v de lieire - -fbeeldig M e de p lieire - -fbeeldig L zij Stel verder dt ( b r {,, }, i {,, p}) e ( i {,, p}, k {,, }) r i de bij M resp L behorede trices zij oo dt d ML ( cr k r {,, }, k {,, }) et c b b i k p p r k r k r p p k de trix v M L is [ c r k is het iproduct v rij r v M e kolo k v L] Ee lieire - -fuctie heeft de vor ( x,, x ) x x Hier geldt ( E ),, ( E ) e [,, ] et,, De bijbehorede trix is ee -trix et rij e koloe Eigelijk oete we schrijve [,, ], r de rij-idex is overbodig, ls er r éé rij is Voorbeeld Het is duidelijk dt de coörditfucties lieir zij Er geldt ( x,, x ) x x x, dus 0 ls i k e ls i k k k Dus [,0,,0,0],, [0,0,,0,] i i
30 Lieire Algebr Opgve Stel L G dt d, ( L( E )) voor r,, e k,, r k r k 2 Ee - -fbeeldig F is lieir (ffie) de copoete f,, f v F zij lieire (ffiee) - -fucties oo dit Ee lieire - -fbeeldig heeft de vor F( x) xa et zekere F schrij- geldt F [ A] et -trix F Eigelijk oete we ve, r de koloidex is overbodig, ls er r kolo is A Er 3 2 - Voorbeeld De -fbeeldig L( x, y, z) ( x b y c z, 2x b2 y c2 z) is lieir e L( E ) A(, 2), L( E2) B( b, b2 ), L( E3 ) C( c, c2 ) Dus bij L hoort b c de 2 3 -trix L [ A, B, C] 2 b2 c 2 Stel L is de lieire - -fbeeldig L [ A,, A ] Stel verder Y L( X ) A (,, ), voor k,, Bij grotere e kue we k k k e ( y,, y ) ( x x,, x x ) eestl overzichtelijker oder elkr schrijve ls: y f( x,, x ) x x y f ( x,, x ) x x De trixottie is heel geschikt voor prktisch rekewerk Hierbij wordt ee put x X geoteerd ls de -trix [ X ] D L[ X ] x A x A x
2 Lieire fbeeldige 3 Voorbeeld: L( x, y, z) ( x 2y 4 z,3 x y) wordt i deze ottie x 2 4 L( X ) L[ X ] y 3 0 z 3 2 Hier is L ee lieire - -fbeeldig 2 4 x y z 3 0 x 2y 4z 3x y Voorbeeld De trix L [,, ] stelt de lieire - -fuctie voor zo dt L( X ) x x voor X Dus: x L( X ) L[ X ] [,, ] y [ x x ] z De -trix [ x x ] idetificere we et het getl x x, x zols we hierbove de -trix [ X ] idetificere et het put X x 22 Bij de lieire - -fbeeldig L [ A,, A ] hoort de -trix L Deze trix heeft rije e koloe I kolo k st de coördite v L( E ) A (,, ), verticl oder elkr geschreve Rij r bevt de k k k k coëfficiëte v de r-de copoet r ( x,, x ) rx r x v L Het getl stt i rij r e i kolo k Als, d oee we de trix r k vierkt Als Y L( X ), d x y x x y x x x x x x A x A
32 Lieire Algebr Nulfbeeldig De lieire - -fbeeldig X O is de ulfbeeldig Deze ulfbeeldig beeldt iedere X f op O Deze fbeeldig duide we et O,, de bijbehorede -trix bevt louter ulle Als duidelijk is o welke fbeeldig het gt schrijve we eestl kortweg O ipv O, 22 Rije- e koloerg Voor de lieire - -fuctie [,, ] geldt ( x,, x ) x x Dit ltste kue we ook schrijve ls ( X ) A, X et A (,, ) Op deze ier k ee lieire - - fuctie ltijd et behulp v ee eleet A geschreve worde i de vor X A, X Dit geldt ihb voor de coörditfucties X E, X is de coörditfuctie k De lieire - -fbeeldig L et trix L kue we schrijve ls ( x,, x ) x A x A, wri A,, A de pute i zij die correspodere et de koloe v de trix L [We duide de lieire fbeeldig e zij trix volges fsprk beide et L] Het getl stt i rij r e kolo k Ak ( k,, k ), voor k,, Met behulp v het iproduct kue we L ook schrijve ls X ( A, X,, A, X ), r i dt gevl oete we voor A,, A de pute i ee die correspodere et de rije v trix L, dus A r ( r,, r ) voor r,, k rk 22 Ee lieire - -fbeeldig L kue we i de vor X ( A, X,, A, X ) schrijve et,, A A De trix v L bevt d de rije A,, A et A ls de boveste rij e A ls de oderste rij De beeldruite v ee lieire - -fbeeldig L [ A,, A ] sp{ A,, A } De beeldruite L( ) v L wordt ook geoteerd ls I( L) ['I' stt voor 'ige'] De diesie v I( L) hebbe we de rg v fbeeldig L geoed,, A A zij de koloe v trix L De rg v L wordt dro ook de koloerg v trix L geoed is
2 Lieire fbeeldige 33 Zij A,, A de rije v trix L, d behore A,, A tot e we oee de diesie v sp{ A,, A } de rijerg v trix L We lte zie dt de rijerg v L gelijk is de koloerg v L 222 Koloerg = rijerg Stel L [ A,, A ] is de lieire - -fbeeldig et trix L D is de rijerg v L gelijk de koloerg v L Voort kue we dus spreke over de rg v L [ A,, A ] zoder eer De rg v L is d de rg v zowel de fbeeldig L ls v de trix L We otere deze rg ls rg( L) of ls rg( A,, A ) Bewijs Stel L [ A,, A ] D is L de fbeeldig ( x,, x ) x A x A, wri A,, A de pute i zij die correspodere et de koloe v de trix L We kue L ook schrijve ls wri X ( A, X,, A, X ), A,, A de pute i De ker v L bestt uit de pute X Ker( L) A, X A, X O De ker v L is ee lieire deelruite W v zij die correspodere et de rije v L X zo dt L( X ) O, dus Stel V sp{ A,, A } e W ker( L) D zij V e W elkrs orthocopleet, V W e di( V ) di( W ) di(sp{ A,, A ) di(ker( L)) Ook geldt di(sp{ A,, A }) di(ker( L)) volges 45 [de diesiestellig voor lieire fbeeldige] Hieruit volgt rijerg = koloerg ofwel di(sp{,, ) A A k di(sp{,, }) k A A Is L ee lieire - -fbeeldig, d rg( L) i(, ) L heeft xile rg, weer rg( L) i(, )
34 Lieire Algebr 23 rspoere De trix v de lieire - -fbeeldig L [ A,, A ] heeft,, A A ls koloe Bij L kue we ltijd de lieire - -fbeeldig L defiiëre dv L ( X ) ( A, X,, A, X ) voor X Met Ak ( k,, k ) voor k,, geldt d voor Y L ( X ) : y A, X x x y A, X x x De trices v L e L zij L resp L De -trix v L otstt uit de trix v L door trspoere, dwz door verwissele v rije e koloe We kue het trspoere v ee trix ook zie ls spiegele tov de hoofddigol v de trix Deze hoofddigol bevt de eleete, 22, 33, De trix v L heeft, v bove r beede, A,, A ls rije De trix v L wordt geduid ls trsp( L) of korter ls gebruike trsp( L) e L dt ( L ) L Als, d zij L e L Mtrix L heet de getrspoeerde v trix L We ook ls ottie voor de fbeeldig L Het is duidelijk L llebei lieire - -fbeeldige, r ih L L Er geldt L L, ls de trix v L syetrisch is tov zij hoofddigol Als L L, d oee we ook de lieire - -fbeeldig L syetrisch 23 Defiitie getrspoeerde Is L de lieire - -fbeeldig L [ A,, A ], d is L de lieire - -fbeeldig die voor L ( X ) ( A, X,, A, X ) X gedefiieerd wordt door 232 Is L ee lieire - -fbeeldig, d L( X ), Y X, L ( Y ) voor iedere X, Y Bewijs Stel L is de lieire - -fbeeldig L [ A,, A ] D is de lieire - -fbeeldig zo dt Y zij L ( Y ) ( A, Y,, A, Y) voor L Y Met vste X L( X ), Y e X X, L ( Y ) lieire - -fucties
2 Lieire fbeeldige 35 O te bewijze dt het o dezelfde fuctie gt, is het voldoede dt beide fucties overeestee voor,, E E We oete dus g dt voor i,, geldt L( E ), Y A, Y e ook E, L ( Y ) A, Y Gebruik hierbij E, P p i i p i 233 Is L ee lieire - -fbeeldig e M ee lieire - -fbeeldig, d ( M L) L M Bewijs Stel L e M voldoe de voorwrde Volges de vorige stellig geldt d e ook e dus ( M L)( X ), Y X,( M L) ( Y ) ( M L)( X ), Y ( M ( L( X )), Y ( L( X ), M ( Y ) X, L ( M ( Y )) X,( L M )( Y ) X,( M L) ( Y ) X,( L M )( Y ) voor iedere X, Y Dit geldt ihb et X E,, E, wruit volgt dt ( M L) ( Y ) ( L M )( Y ) voor ieder Y Mw i p ( M L) L M Opgve Stel L is ee lieire - -fbeeldig e M is ee lieire - - fbeeldig zo dt L( X ), Y X, M ( Y ) oo dt Opgve Zij L e M lieire - -fbeeldige, d e ( L M ) L M Opgve X, A 0 voor iedere Gevolg: X, A X, B voor iedere p M L ( L ) X A O oo dit X A B L, i ( cl) i cl 24 Deterit De deterit op is de tisyetrische -lieire fuctie det : zo dt det( E,, E ) Is L de lieire - - det( L( E ),,det( L( E )) fbeeldig [ A,, A ], d det( L) det( A det( E,, E ),, A ) volges defiitie 76 We schrijve deze deterit ook ls [et rechte strepe]
36 Lieire Algebr Er geldt dus det( L) det( A,, A ) We oee dit ook de deterit v de bijbehorede -trix Merk op dt llee ee vierkte trix ee deterit k hebbe De deterit v ee -trix oee we ee -deterit NB De wrde v ee deterit is ee getl, ls we het hebbe over de koloe of rije v ee deterit hebbe, d bedoele we koloe of rije v de trix wrv dit getl de deterit is I prgrf 7 hebbe we getood dt, det( A,, A ) sig( k) kp k k, wri P de peruttiegroep v N {,, } is Ee peruttie v N is ee - fbeeldig v N op zichzelf Is p ( p,, p ) ee peruttie v N d kot elk v de getlle,, precies éé keer i de rij p,, p voor We zegge dt p ee verwisselig is, weer p de positie v twee getlle i N N verwisselt, terwijl de dere getlle i op hu plts blijve We hebbe i 7 geoe dt we iedere peruttie p P ee teke sig( p) kue toekee zodt sig( p), ls p door ee eve tl verwisselige tot std gebrcht k worde e sig( p), ls p door ee oeve tl verwisselige tot std gebrcht k worde Otstt p door ee eve tl verwisselige, d k p iet door ee oeve tl verwisselige otst e ogekeerd De peruttiegroep P, et de sestellig v fbeeldige ls groepsbewerkig, bevt et ee per- uttie p ook zij iverse p Als p w w2 w wri de wi verwisselige zij, d p w w w [ee verwisselig is zij eige iverse] 2 Hieruit blijkt dt sig( p ) sig( p) De verzelig S {, } is ee groep et de vereigvuldigig ls groepsbewerkig G dt sig( p q) sig( p) sig( q) voor p, q P Dus fbeeldig sig : P S is ee groepshooorfise Er geldt det( E,, E ) sig( p) p p
2 Lieire fbeeldige 37 I sig( k) k kp k wordt gesoeerd over de perutties v de koloidices We g dt ook det( A,, A ) sig( r) r r wr- rp i wordt gesoeerd over de perutties v de rij-idices Het getl rij r e kolo k v de trix Het product, k, k rk kot uit bevt dus uit iedere rij ee fctor e l deze fctore, k, k koe uit verschillede koloe Meer syetrisch geforuleerd kue we zegge dt het product uit elke kolo e uit elke rij precies éé fctor bevt De ltste forulerig is ook v toepssig op duidelijk dt et elk product, k, k ee product r, r, r, r, Dit kt correspodeert et precies dezelfde fctore, r ogelijk i ee dere volgorde Er geldt, k, k r, r, precies d, weer de perutties k e r uit P, ls fbeeldige v N op zichzelf, elkrs iverse zij Is dt het gevl, d sig( r) sig( k) Als k de eleete v P doorloopt, d geldt dit ook voor 24 Forule v Leibiz Met,, A A geldt:,, r k We krijge zo: det( A,, A ) sig( k) kp, k, k,, e ook det( A,, A ) sig( r) r, r, rp Gevolg: 242 De wrde v ee deterit verdert iet, ls we de bijbehorede trix trspoere Als L e L, d det( L ) det( L) Gevolg: ee regel die geldt voor de koloe v ee deterit, geldt ook voor de rije v ee deterit 243 De deterit v ee -trix verdert iet v wrde ls we v ee kolo (rij) ee lieire cobitie v de dere koloe (rije) ftrekke Bewijs Het is voldoede dt we dit voor koloe bewijze
38 Lieire Algebr Nee dt X ee lieire cobitie is v pute uit { A,, A } \ { A k} D is A, Ak, X, Ak,, A, et k {2,, }, lieir fhkelijk Dus det( A, Ak, X, Ak,, A ) 0 e det( A, Ak, Ak X, Ak,, A ) det( A, A, A, A,, A ) det( A, A, X, A,, A ) k k k k k det( A, A, A, A,, A ) Ide, weer k of k k k k NB Is L ee lieire - fbeeldig, d is det( L) De trix v L is i dt gevl vierkt llee gedefiieerd ls Met het ddwerkelijk berekee v deterite houde wij os overiges iet bezig, et uitzoderig v hooguit ee pr icidetele 22 e 3 3 deterite De deterit is voor os voorl ee theoretisch istruet Is L ee -trix, d krijge we door p rije e q koloe i L te schrppe ee ( p) ( q) deeltrix M v L We veroderstel- le hierbij dt p, q Is de deeltrix M ee vierkte trix, d oee we det( M ) ee oderdeterit v L De oderdeterit v ee k k deeltrix v L oee we ee k k oderdeterit v L G : 244 De rg v trix L is gelijk k precies d, weer L ee k k deeltrix M heeft zo dt det( M ) 0, terwijl er gee grotere vierkte deeltrices v L zij et deterit 0 Gevolg: 245 De rg v ee trix verdert iet ls we (i) de volgorde v de rije i de trix verdere, of (ii) ee rij et ee getl 0 vereigvuldige, of (iii) v ee rij ee lieire cobitie v de dere rij ftrekke Hetzelfde geldt et koloe ipv rije Defiitie Ee lieire - fbeeldig L oee we regulier, ls rg( L) [dit ipliceert dt ] 246 Is de lieire - fbeeldig L regulier, d is L - e L( ) is ee - diesiole lieire deelruite v Bewijs Stel de lieire - fbeeldig L is regulier e L [ A,, A ] D is de koloerg v L gelijk, dus A,, A is ee bsis v L( ) Dus di( L( )) [ L( V ) is sowieso ee lieire deelruite v ] Uit diesiestellig 45 volgt d dt di(ker( L)) 0, dus Ker( L) { O} e L is -
2 Lieire fbeeldige 39 Voorbeeld Ee 3 3 deterit kue we uitdrukke i 2 2 deterite: b c b2 c2 b c b c 2 2 2 2 3 b3 c3 b3 c3 b2 c2 3 3 3 b c b c Dit heet 'otwikkele v de deterit r de eerste kolo' Otwikkele r dere koloe is ook ogelijk Otwikkele r de tweede kolo geeft b c 2 c2 c c 2 2 2 2 3 3 c3 b3 c3 2 c2 3 3 3 b c b b b b c Geeft zelf de otwikkelig r de derde kolo We kue ee 3 3 deterit ook 'r ee rij te otwikkele', bijv r de tweede rij: b c b c c b 2 2 2 2 2 2 b3 c3 3 c3 3 c3 3 3 3 b c b c b c Plusse e ie worde bij het otwikkele r ee kolo of rij bepld de hd v het 'schkbordptroo': G dt we ook ee deterit op soortgelijke wijze r ee rij of kolo kue otwikkele Het schkbordptroo v zo' deterit heeft ee + i de likerbovehoek Opgve oo : b c b2 c2 0 b2 c2 e lgeeer b3 c3 0 b c 3 3 2 0 0 22 2 2 22 2 2
40 Lieire Algebr De hoofddigol v ee trix is de digol v liksbove r rechtsoder et drop de getlle, 22, 33, Ee trix et louter ulle oder de hoofddigol oee we ee bovedriehoekstrix Ee trix et louter ulle bove de hoofddigol oee we ee oderdriehoekstrix Bij ee digoltrix zij lle getlle buite de hoofddigol gelijk 0 Opgve G dt de deterit v ee - driehoekstrix gelijk is het product v de eleete op de hoofddigol Dit geldt ihb voor ee digoltrix oo dt het trixproduct v twee - bovedriehoekstrices weer ee - bovedriehoekstrix is Opgve oo dt det( A, B, C) A, B C voor A, B, C [Voor de defiitie v het uitproduct B C i 3 zie 6] 3 25 De oplossige v ee stelsel lieire vergelijkige We bekijke ee stelsel v lieire vergelijkige i vribele x x b (*) x x b De coëfficiëtetrix L x,, x : v het stelsel beplt ee lieire - -fbeeldig L Met L e B ( b,, b ) kue we (*) d korter otere ls L( X ) B De oplossige v (*) bestt uit de pute X die door L op het put B fgebeeld worde Er zij gee oplossige ls B L( ) Als B wel tot de beeldruite v L behoort, d vore de oplossige ee ffiee deelruite W v Zie 58 W heeft de ker v L ls richtigsruite, dus di( W ) di(ker( L)) Volges diesiestellig 45 geldt di(ker( L)) di(i( L)) di( W ) rg( L) ofwel di( W ) rg( L) Rij r v L correspodeert et de r-de vergelijkig rx r x br v het stelsel (*) Met A r ( r,, r ) kue we deze vergelijkig schrijve ls A, X b r r
Is 2 Lieire fbeeldige 4 Ak de k-de kolo v L, d geldt koloerg = rijerg ofwel rg( ) L di(sp{ A,, A }) di(sp{ A,, A }) Hieruit blijkt dt rg( L) i(, ) Als rg( L) i(, ), d heeft L xile rg, Als rg( L), d e oee we (*) ee ofhkelijk stelsel lieire vergelijkige Het stelsel heeft d zeker ee oplossig, wt d is ook de koloerg v L gelijk, dwz de diesie v de beeldruite L( ) is gelijk Dt beteket dt L( ) e B behoort dus tot de beeldruite v L Voorbeeld Als, d rg( L),, zij iet llel gelijk 0 De oplossige v x x b vore d ee ffiee deelruite W v et diesie, w W is ee hypervlk i rg( L), d is W de doorsede v hypervlkke i Voorbeeld Bekijk het stelsel x b y c z d (#) x b y c z d x b y c z d 2 2 2 2 3 3 3 3 Nee dt ( i, bi, ci ) (0,0,0) voor i,2,3 (#) drie vlkke, 2 resp 3 I 3 Als stelle de vergelijkige i V V V voor Ee oplossig X ( x, y, z) v (#) is ee geeeschppelijk put v deze 3 vlkke Mogelijk is er gee geeeschppelijk put Dit ltste is bijv het gevl ls twee v de 3 vlkke evewijdig zij e iet sevlle Er is ook gee oplossig ls de sijlij v twee v de vlkke evewijdig is et het derde vlk e iet i dit vlk ligt Als de rg v de coëfficietetrix L v het stelsel (#) gelijk is, d zij de vlkke V, V 2 e V 3 evewijdig, ogelijk vlle 2 of 3 v deze vlkke se Als rg( L) 2, d hebbe 2 v de vlkke ee sijlij Deze sijlij is evewijdig et het derde vlk of ligt i het derde vlk Als rg( L) 3, d hebbe 2 v de vlkke ee sijlij e lij sijdt het derde vlk i precies éé put P Dit put P is d het eige geeeschppelijke put v de 3 vlkke Opgve Los de volgede stelsels op: x 2y z 0 x 2y z 0 () x y 3z 5 (b) x y 3z 0 2x 5y 6z 2x y 2z 0 (c) x 2y z 0 x y 3z 5 2x y 2z 5
42 Lieire Algebr Segevt: 25 Het stelsel v lieire vergelijkige i vribele x,, x gegeve door: x x b (*) x x b kue we et de - -fbeeldig L e B ( b,, b ) schrijve ls L( X ) B e ook ls x A x A B Als rg( L), d e (*) is ee ofhkelijk stelsel lieire vergelijkige De oplossige v het stelsel vore ee ffiee deelruite W v heeft de ker v L ls richtigsruite e di( W ) di(ker( L)) rg( L) W Is L de coëfficiëtetrix v stelsel (*) e rg( L), d is istes éé v A,, A lieir fhkelijk v de dere pute i de rij [ A r ( r,, r ) voor r,, ] We kue ee dt dit A is [verwissel desoods de volgorde v de vergelijkige i (*), die volgorde doet er iet toe] D zij er getlle c,, c zo dt A c A c A Als d ook b cb cb, d kue we de oderste vergelijkig uit (*) et zo goed weglte, wt die volgt d l uit de boveste vergelijkige We oee i dit gevl (*) ee fhkelijk stelsel lieire vergelijkige We bekijke d het stelsel dt overblijft het weglte v de oderste vergelijkig opieuw Als echter b c b c b, d k het stelsel helel gee oplossig hebbe, het put B bevidt zich d iet i de beeldruite v L We oee (*) d ee strijdig stelsel Er geldt zeker rg( L), weer Als rg( L) e, d is L okeerbr L( X ) B heeft d precies éé oplossig Deze oplossig wordt gegeve door L A A X L ( B) Is L okeerbr, d det( ) det(,, ) 0 e de coördite v X worde gegeve door de regel v Crer We schrijve d (*) ls x A x A B e krijge det( B, A2,, A ) det( x A x A, A2,, A ) x det( A, A2,, A ) det( B, A2,, A ) Dt geeft x det( A, A,, A ) x 2 2 2 e op dezelfde ier vide we det( A, B,, A ) det( A, A,, A ),, det( A, A 2,, B) x det( A, A,, A ) 2
2 Lieire fbeeldige 43 Hieree is de volgede stellig beweze 252 Regel v Crer Het stelsel v lieire vergelijkige i vribele x,, x gegeve door: x x b (*) x x b ofwel x A x A B heeft precies éé oplossig ( x,, x ) det( A,, A ) 0 Als det( A,, A ) 0, d wordt de oplossig gegeve door det( B, A2,, A ) x det( A, A,, A ), x 2 2 det( A, B,, A ) det( A, A,, A ),, det( A, A 2,, B) x det( A, A,, A ) 2 2 Uit de regel v Crer volgt de volgede forule voor de iverse v ee okeerbre lieire fbeeldig: 253 A,, A e det( A,, A ) 0, d is de lieire fbeeldig L A A [,, ] ee - fbeeldig v op zichzelf e voor L ( X ) (det( X, A2,, A ),,det( A,, A, X )) det( L) X geldt Voorbeeld Stel L Er geldt volgt uit 253 dt 2 L 2 0 3 G dt det( L) 6 Dus L heeft ee iverse L( X ) Y X L ( Y ) Met X ( x, x2, x3 ) e Y ( y, y2, y3 ) y 2 2 3 3 det( L) x y 2 y 4y 3y 2 y y 3 Evezo det( L) x y y 2y 3y e 2 2 2 2 3 0 y det( L) x 2 y 3y 6y 3y 3 2 2 3 0 3 y y 3 x 4 3 y Dus det( L) X 6 x 2 2 3 y 2, dus x3 3 6 3 y3 3 4 3 2 3 6 3 6 3 L
44 Lieire Algebr Als det( L) 0, d heeft L( X ) B isschie gee oplossig Wel heeft de vergelijkig L( X ) O ltijd X O ls oplossig X O is echter iet de eige oplossig, ls det( L) 0 Als det( L) 0, d bevt Ker( L) ee eleet X O Met deze X geldt L( P X ) L( P) L( X ) L( P), dus L is iet - Als rg( L), d e kue we A,, A uitdue tot ee ofhkelijke rij A,, A et det( A,, A ) 0 De bijbehorede trix L is ee -deeltrix v L die otst is uit de trix v L door het schrppe v koloe, det( L) det( A,, A ) is ee oderdeterit v L 26 Guss-eliitie Ee prktische ier o ee cocreet gegeve stelsel lieire vergelijkige x x b (*) x x b op te losse is ee lgorite dt Guss-eliitie heet Door Guss-eliitie wordt het stelsel (*) op ee systetische ier vereevoudigd tot ee gelijkwrdig stelsel dt op ee sipele ier op te losse is De eige problee die zich hierbij kue voordoe, zij problee die otst door frode Met dt soort problee houde we os hier iet bezig, wij g er v uit dt we hier kue rekee et excte getlle Het stelsel (*) wordt gerepreseteerd door de gevulde trix b ( L; B) b Op de rije v ( L; B) psse we de volgede eleetire rijbewerkige toe: (R) verwissele v twee rije, (R2) c l ee rij optelle bij ee dere rij, (R3) ee rij vereigvuldige et ee getl c 0
2 Lieire fbeeldige 45 Zoek u i trix L v liks r rechts r de eerste kolo die ee getl 0 bevt Is zo' kolo er iet, d bevt L louter ulle e we stoppe Bevt L getlle 0, d bewerke we de eerste kolo et ee getl 0 die we tegekoe ls volgt: () g i deze kolo v bove r beede e ee het eerste getl 0 dt we tegekoe e (2) zorg er, idie odig, door verwissele v twee rije i trix ( L; B) voor dt dit getl het boveste getl v zij kolo is (3) Met behulp v rijbewerkig (R2) op ( L; B) kue we er u voor zorge dt er i de kolo v L et bedoeld getl oder deze llee og r ulle koe te st [Hoe? Bekijk desoods eerst het voorbeeld hieroder] Behdelig (3) v trix ( L; B) oee we het 'r beede schoovege' v de kolo oder De ieuw otste trix ( L; B) zulle we ook weer duide ls ( L; B ), hoewel de getlle i deze trix iiddels door de toegepste bewerkige verderd zij De ieuwe trix ( L; B) heeft de vor 0 * 0 0 # # ( L; B) 0 0 # # wri het sterretje ee getl 0 duidt De koloe liks v de kolo et het sterretje bevtte louter ulle Het is overiges ogelijk dt ltstgeoede koloe otbreke e dt het sterretje i de likerbovehoek v trix ( L; B) stt De kolo et het sterretje, evetuele koloe liks v deze kolo e ook de boveste rij v ( L; B) beschouwe we u ls fgehdeld Vervolges psse we hetzelfde recept toe op de overblijvede deeltrix v ( L; B) die wordt gegeve et het teke # i zij hoekpute Door deze behdelig gt de deeltrix # # # # over i ee deeltrix v het zelfde type ls de ltste trix ( L; B) hierbove Dr herhle we het recept weer et de volgede deeltrix Etc Net zo lg totdt er gee te behdele deeltrix eer over is, odt we op de oderste rij zij gekoe of odt we de ltste kolo v L l r beede schoogeveegd hebbe Het resultt v deze behdelig is uiteidelijk ee trix ( L; B) et L i zogede trpvor Ee trix i trpvor, ook 'echelovor' geoed, kue we ls volgt beschrijve Bevt ee rij v de trix eleete 0, d heet het eerste eleet 0 i de rij het kopeleet v de rij Ee rij et louter ulle heeft gee kopeleet
46 Lieire Algebr Bij ee trix i trpvor zij de rije v bove r beede zodig georded dt de rije et ee kopeleet, idie wezig, bove de rije zoder kopeleet st Voor de rije et kopeleet geldt: het kopeleet v iedere volgede rij stt istes éé kolo eer r rechts d het kopeleet v de vorige rij O ee trix i trpvor te brege hebbe we llee (R) e (R2) odig Door toepsse v (R3) kue we er, idie gewest, voor zorge dt de kopeleete v ee trix ( L; B) i trpvor llel gelijk zij Opgve oo dt we rijbewerkig (R) tot std kue brege door uitsluited (R2) e (R3) toe te psse (R) hebbe we dus iet echt odig Voorbeeld Stel ee stelsel (*) v 3 lieire vergelijkige i de vribele x,, x wordt gerepreseteerd door 4 0 3 2 0 ( L; B) 2 2 0 0 4 0 3 5 2 Verwissele v de rije e 2 geeft: 2 2 0 0 ( L; B) 0 3 2 0 4 0 3 5 2 Dr telle we 2 keer de boveste rij bij de oderste op ofwel we trekke 2 keer de boveste rij v de oderste f Dt levert: 2 2 0 0 ( L; B) 0 3 2 0 0 4 3 5 0 Dr g we verder et de 2 4 deeltrix rechtsoder We trekke 4 keer de tweede rij v ( L; B ) (ofwel de boveste rij v de deeltrix) f v de oderste rij We krijge zo: 2 2 0 0 ( L; B) 0 3 2 0 0 0 9 3 0 Nu zij we klr De trix L liks v de streep is i trpvor Iedere rij heeft ee kopeleet De kopeleete v L zij 2, e -9 De ltste trix ( L; B) stt voor het stelsel 2x 2x2 x2 3x3 2x4 0 9x3 3x4 0
2 Lieire fbeeldige 47 Dit stelsel vergelijkige is gelijkwrdig et het oorsprokelijke stelsel (*) e is 3 eevoudig op te losse Begi oder e stel x4 t D x 3 t Substitutie 9 39 2 i de tweede vergelijkig geeft vervolges x2 3x3 2x 4 t 2t t 9 9 42 e uit de eerste vergelijkig vide we x 2x2 t De oplossige 2 2 9 42 2 3 v het stelsel zij de pute ( x, x2, x3, x4) t, t, t, t 2 9 9 9 et t Vervge we t door 9u d zie we dt de oplossige ook beschreve worde door 2 3 4 2 ( x, x, x, x ),0,0,0 u ( 42, 2,3,9) et u De oplossigsruite is ee lij i 4 Algeee geldt: Het door ( L; B ), et L i trpvor, gerepreseteerde stelsel lieire vergelijkige heeft gee oplossig, ls i ee rij r v ( L; B) rechts v de streep ee getl br 0 stt, terwijl de eleete v L i dezelfde rij r llel gelijk 0 zij Het stelsel wordt d strijdig geoed Is zo' rij er iet, d is de oplossigsruite v het stelsel ee ffiee deelruite v et diesie rg( L) Met L i trpvor geldt: rg( L) het tl kopeleete i L G dit Door toepsse v de eleetire rijbewerkige (R), (R2) e (R3) op ( L; B) is de oplossigsruite v het correspoderede stelsel lieire vergelijkige iet verderd Operkig Op dezelfde ier kue we siult bijv L( X ) B, L( X ) C e L( X ) D oplosse door de eleetire rijbewerkige toe te psse op b c d ( L; B, C, D) b c d Met behulp v de eleetire rijbewerkige kue we ook de rg v ee -trix L (e de bijbehorede lieire - -fbeeldig) vststelle De rg v L verdert iet door deze bewerkige, dus de rg v L is gelijk de rg v zij trpvor De rg v ee trix i trpvor is direct f te leze Die is gelijk het tl rije et ee kopeleet Is L ee vierkte -trix, d kue we op deze ier ook de deterit det( L) berekee Door (R2) verdert de wrde v det( L) iet, door (R) verdert llee het teke v de deterit e ls we bij toepsse v (R3) ee rij vereigvuldige et het getl c 0, d wordt drdoor de deterit v de trix ook et c vereigvuldigd Als we bij het ozette v L r ee trpvor bijhoude hoe vk we (R) toegepst hebbe e et welke getlle c we (R3) toegepst hebbe, d kue we uit de deterit v de trpvor eevoudig de deterit v de oorsprokelijke trix terugvide
48 Lieire Algebr Ee -trix i trpvor is ee bovedriehoekstrix, dus zij deterit is gelijk het product v de getlle op de hoofddigol Voorbeeld 3 L 2 0 4 3 5 7 We berekee det( L) door L i trpvor te brege Eerst krijge we [dv rij 2 2 rij e rij 3 3 rij]: 3 L 0 2 2 0 8 6 [De verderde trix oee we og steeds L] Verder et rij 3 4 rij 2 : 3 L 0 2 2 0 0 8 Dus det( L) 2 8 6 [verwissele v rije ws iet odig] Voorbeeld 3 L 2 0 4 3 5 7 e det( L) 6, zols we et zge De bijbehorede lieire fbeeldig L is dus okeerbr Er geldt L( X ) Y X L ( Y ) O de trix v werk Dek L( X ) Y ls het stelsel x x2 3x3 y 0y2 0y3 2x 0x 4x 0y y 0y 3x 5x 7x 0y 0y y 2 3 2 3 2 3 2 3 Noteer dit i trixvor ls 3 0 0 2 0 4 0 0 3 5 7 0 0 L te berekee g we ls volgt te
2 Lieire fbeeldige 49 Breg dit door eleetire rijbewerkige i de vor: 0 0 0 0 0 0 b b b 2 3 b b b 2 22 23 b b b Dit ltste stt d voor 3 32 33 X L ( Y ), dus b b b L b b b b b b 2 3 2 22 23 3 32 33 Met dezelfde stppe ls i het vorige voorbeeld krijge we eerst: 3 0 0 0 2 2 2 0 e dr 0 8 6 3 0 De oderste rij dele door 8 geeft: 3 0 0 0 2 2 2 0 0 0 8 5 4 3 0 0 0 2 2 2 0 5 4 0 0 8 8 8 el 2 keer de oderste rij op bij de tweede rij e tel 3 keer de oderste rij op bij de boveste rij Drdoor wordt de derde kolo r bove toe schoogeveegd We krijge zo: 0 0 2 0 2 0 0 Deel u de iddelste rij door 2 23 2 3 8 8 8 26 2 8 8 5 4 8 8 8 e tel het resultt op bij de boveste rij We eidige d et: 0 0 0 0 0 0 0 4 2 8 8 8 3 8 8 5 4 8 8 8 Dus 0 4 2 8 8 8 3 8 8 5 4 8 8 8 0 4 2 L 3 8 8 5 4 Opgve Bereke L ook op de ier v het 253 gegeve voorbeeld
50 Lieire Algebr 27 Eleetire lieire trsforties Correspodered et de eleetire bewerkige op de rije v ee trix kue we ook eleetire kolobewerkige op ee trix toepsse (K) verwissele v twee koloe, (K2) c l ee kolo optelle bij ee dere kolo, (K3) ee kolo vereigvuldige et ee getl c 0 Net ls (R) is ook (K) overbodig, wt het verwissele v 2 koloe kue we tot std brege dv (K2) e (K3) [hoe?] Verder kue we (K2) vervge door: (K2*) ee kolo optelle bij ee dere kolo De cobitie v (K2*) et (K3) geeft eevoudig (K2) terug De eleetire kolobewerkige v ee -trix L [ A,, A ] kue we krijge door de eleetire rijbewerkige op de getrspoeerde trix toe te psse Mr het k ook ls volgt Stel S [ E,, cei,, E ] et c 0 e cei i kolo i v trix S D L S [ L( E ),, cl( Ei ),, L( E )] [ A,, cai,, A ] Het trixproduct L S heeft dus het effect v ee kolobewerkige v het type (K3) Evezo krijge we et [ E,, Ei E j,, E ], wri j i e E i E j kolo i v trix is, het effect L L E L E L E L E [ ( ),, ( i ) ( j ),, ( )] dt we ook et (K2*) krijge [ A,, A A,, A ], 27 Defiitie Oder ee eleetire lieire trsfortie v i j L verst we ee lieire - -fbeeldig v het type () S [ E,, cei,, E ] et c 0 e cei i kolo i v trix S, of v het type (2) [ E,, Ei E j,, E ], wri j i e Ei E j kolo i v trix is 272 Met S e uit 27 e de -trix L [ A,, A ] L S [ A,, cai,, A ] e L [ A,, Ai Aj,, A ] geldt: p q r Opgve Bereke de trixproducte L S, L e L 2 et L p2 q2 r 2, p3 q3 r3 0 0 0 0 0 S 0 0, 0 0 e 2 0 0 Bereke ook S, e 2 0 0 3 0 0 0
2 Lieire fbeeldige 5 Uit het bovestde blijkt dt we de eleetire kolobewerkige op ee - trix L ook kue uitvoere dv trixproducte L S e L et S e v type () resp type (2) uit stellig 27 I de vorige prgrf zge we dt we de trix v ee lieire trsfortie L v kue ovore tot de eeheidstrix I door eleetire rijbewerkige Dit k tuurlijk ook et behulp v eleetire kolobewerkige, wt eleetire rijbewerkige hebbe op L hetzelfde effect ls eleetire kolobewerkige op L Hieruit volgt dt er bij L eleetire lieire trsforties p M,, M p best zo dt L M M p I e dus L M M De iverse v ee eleetire lieire trsfortie S [ E,, cei,, E ] v type () is S [ E,, Ei,, E ] e dus ee eleetire lieire trsfortie c v hetzelfde type De iverse v ee eleetire lieire trsfortie [ E,, E E,, E ] v type (2) is [ E,, E E,, E ] We kue i j i j schrijve ls de sestellig S et S [ E,, ce j,, E ] e c Hieree is getood: 273 Ee lieire trsfortie v k tot std gebrcht worde door ee eidig tl eleetire lieire trsforties elkr uit te voere Operkig Als L M M p d det( L) det( M) det( M p ) Zij M,, M p eleetire lieire trsforties, d zij hu trices driehoekstrices De deterit v ee driehoekstrix is gelijk het product v de getlle op de hoofddigol Voor S e uit 27 geldt det( S) c e det( ) Copyright Rise Poortig