ldzijde f () Er is geen symmetrie in een vertile lijn. Alle rklijnen heen een positief hellingsgetl. Wrshijnlijk (0, 0). d f () e - ICT - Rklijnen ldzijde Geruik dt d y om de hellingsgetllen vn de rklijnen te erekenen. d In (0, 0) is de helling 0 en is y 0 de rklijn. In (, ) is de helling en is de vergelijking vn de rklijn y In (, ) is de helling en is de vergelijking vn de rklijn y In (, ) is de helling en is de vergelijking vn de rklijn y In (, ) is de helling en is de vergelijking vn de rklijn y In (, ) is de helling en is de vergelijking vn de rklijn y In (, ) is de helling en is de vergelijking vn de rklijn y d In (, ) is de helling en dus is de vergelijking vn de rklijn y ( ) + Hkjes wegwerken geeft y + en dus y invullen in y geeft de vergelijking y J, dt is ij opdrht d ngetoond. Uit 6, 0 9, 060 6 9 volgt 0, 0 0, 060 dus, 00 en y 6, 00 9 9, 0 Dus is het snijpunt vn de rklijnen (, 00; 90, ). Op de prool ligt het punt (, 00;, 00 ) (, 00; 9, 000). Beide punten liggen slehts 0,0000 vn elkr verwijderd. d Voor 8, is de rklijn y 6, 8, 6, 6, 6 en voor 8 is de rklijn y 6 8 6 6 6, Het snijpunt volgt uit 6, 66, 6 6 dus 80, en 0, y 6 80, 6 68, Dus is (, 80; 68, ) het snijpunt vn de rklijnen. Op de prool ligt (, 80; 8, 0 ) ( 80, ; 6, 80). Beide punten liggen slehts 0,00 vn elkr. ldzijde 6 De grfiek vn y + ontstt uit de grfiek vn y door deze omhoog te shuiven. Je vindt de -oördint vn de top door het kwdrt 0 te stellen. De toppen zijn dn: (, 0); (, 0); (, 0 ) en (, ). Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel 8
86 ICT - Rklijnen y 0 9 8 7 6 6 7 8 9 d De rklijn heeft voor deze vier prolen steeds ls vergelijking y y Dus geldt: y 0 ; y ; y en y 0 TOP 6 Vnwege symmetrie moet gelden TOP De lijn y is de rklijn n de top dus y TOP Dus is (, ) de top vn de prool. y ( ) De niet-horizontle rklijnen zijn nders. d Onderzoek met de shuifprmeter p of y p( ) voldoet. Dn lijkt p 0, te voldoen. e Onderzoek vn y p( ) + 7 geeft p 7 Het tekenen vn veel rklijnen geeft een eeld vn de prool wrn l deze rklijnen rken. Neem drtoe en stpjes 0,. En plot 0 rklijnen. f () + lijkt te voldoen. Controle: In (, + ) is de helling en is de vergelijking vn de rklijn: y ( ) + Dit kun je herleiden tot y + +, de gegeven fmilie rklijnen. ldzijde 7 8 Toenemend stijgend en nr links lijkt er een horizontle symptoot te zijn. Een eponentiële funtie. Plotten vn y p met shuifprmeter p lt zien dt p voldoet. d omhoog ls je let op de symptoot. Mr ook moet de grfiek nr rehts. e Plotten vn y q + met shuifprmeter q lt zien dt q 0, voldoet. Dus is de gezohte funtie f () 0, + + 9 f () In het punt (, ) is de helling en is de formule voor de rklijn y ( ) + Dit kun je herleiden tot y + Kies voor enkele wrden om formules voor meer rklijnen te vinden. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel
0 Rklijnen met in het egin vrij grote positieve hellingsgetllen en hellingsgetllen die positief lijven mr wel steeds kleiner worden. f () y O 6 7 8 9 0 d omhoog shuiven. e Geruik de shuifprmeter p in y + p Dn lijkt dt f () + voldoet. Voor is de formule niet gedefinieerd. Plotten vn veel rklijnen lt zien om welke grfiek het gt. Drn vind je met de shuifprmeter p in y p ( ) dt p voldoet. Dus is f () ( ) de gezohte funtie. ICT - Rklijnen Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel 87
88 ldzijde 8 periode 00 00 dus één trilling duurt 0,0 seonde frequentie 00 Hertz 00, periode frequentie 0, 00 seonde 0 y 06, sin( 880 t) je leest dn vn y sin( 0t) diret de frequentie f: 0 Hertz ldzijde 9 Het volume wordt twee keer zo hoog mr de frequentie lijft gelijk. Het volume is lger dn ij opdrht mr de toonhoogte lijft gelijk. De toonhoogte lijft gelijk; het volume vrieert tussen 0 en keer die vn één stemvork. ldzijde 0 B 0, sin( 0t) B 06, sin( 760t) B 0, sin( 00t) y O 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 ( + k) 0 0000 + k 8 dus k 80 oventonen met k > 80 zijn niet meer hoorr 6 Verdieping - Geluid Het volume verndert voortdurend en geleidelijk tussen hrd en (zeer) zht. Hertz Het vershil vn de frequenties vn de twee trillingen die de zweving veroorzken. De periode is gelijk mr de vorm is sterk vershillend. De gelijkenis met de lokgolf wordt steeds groter. Alleen de oventonen met even k komen voor. De mplitude gt met + k d y sin+ sin( ) + sin( ) + sin( 7) + sin( 9) +... 7 9 De regelmt nog verder voortzetten levert een zeer goede endering vn de lokgolf. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel
ldzijde [ ] 7 voor op 0; 0, voor op [ 0, ] voor op [ 0;,] voor op 0;,8 7 9 y + +... 7 6 9 8 7 6 De regelmt nog verder voortzetten geeft een zeer goede endering vn de sinusoïde. 6 Pron 6 8 0, geeft P 0, 70 0, 97 Wtt ron 70 00 0, 97 00r 0 9 0 dus r 0, 97 00 r 0, 0007 0, 0 m, m 0, 97 r 0 r, 68 0 000 m km 0000 r r 989 km (onrelistish, omdt nog geen rekening gehouden is met energieverlies ) groeiftor 0,99 ij % fnme per meter Y 0, 99 ^ X 0000 /( X ) Y 0^ interset geeft r 97 m ; deze uitkomst is relistish! Verdieping - Geluid Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel 89