De krcht vn vectoren
Dit is een ewerking vn Meetkunde met coördinten lok Punten met gewicht vn d Goddijn ten ehoeve vn het nieuwe progrmm (015) wiskunde vwo. Opgven met dit merkteken kun je zonder de opouw n te tsten, oversln. * ij opgven met dit merkteken hoort een werkld. Inhoudsopgve 1 Vectoren 1 Op zoek nr evenwicht 11 3 De stelling vn ev 19 4 Met coördinten 4 5 Smenvtting 36 6 ntwoorden 38 ij dit hoofdstuk hoort de ijlge Gelijkvormigheid Voorknt: lexnder lder : lder Unions (Rinow), Kenitic Moile, 001 Uitgve ugustus 011 olofon 011 ctwo uteurs Leon vn den roek, Dolf vn den Homergh, Met medewerking vn Josephine uskes,richrd erends, Gert Dnkers, Sie Kemme, d Goddijn, Dick Klingens Illustrties Op dit werk zijn de eplingen vn retive ommons vn toepssing. Iedere geruiker is vrij het mterilen voor eigen, niet-commerciële doeleinden n te pssen. De rechten lijven n ctwo.
1 Vectoren Onderzoek De zijden vn een zeshoek zijn om en om grijs en zwrt gekleurd. Schuif de grijze zijden nr elkr toe, zodt ze op elkr nsluiten. Zo ook de zwrte zijden. ls de grijze zijden een gesloten driehoek vormen, vormen de zwrte zijden ook een gesloten driehoek. Onderzoek ovenstnde uitsprk met de Geogerpplet Zeshoek. Wt is je conclusie? Kun je deze conclusie onderouwen? In het onderzoek gt het om het evenwijdig verschuiven vn lijnstukken. Willim Hmilton 1805-1865 Iers wiskundige, ntuurkundige en stronoom, introduceerde de term vector. Een verschuiving gt in een eplde richting over een eplde fstnd. Een pijl is het geschikte middel om zo'n verschuiving weer te geven. Hierij is de lengte vn de pijl de fstnd wrover verschoven wordt. Wr die pijl gepltst wordt, is niet vn elng. In het vervolg noemen we een verschuiving een vector. Ltijn: vector is sjouwer, iemnd die iets vn de ene nr de ndere plts drgt. v w Vectoren optellen Om vectoren vn getllen te onderscheiden, noteren we ze ls een letter met een pijl eroven, ijvooreeld v. * 1 Het pltje hiernst stt ook op het werkld. Twee vectoren v en w en een oject.. Het oject wordt eerst over v en drn over w verschoven. Teken de nieuwe plts vn het oject. 1 1 Vectoren
Teken ook de vector (met een pijl) die hoort ij de smengestelde verschuiving.. Je kunt het oject ook eerst over w en drn over v verschuiven. Teken de ijehorende vector. v w v w De som vn twee vectoren De verschuiving eerst over noteren we met v + w. v en drn over w P * Op het werkld stn drie vectoren en een punt P zols hiernst. Je kunt het punt P in zes verschillende volgordes volgens de drie vectoren verpltsen. Hieronder is er één getekend. Teken de ndere vijf. P Dt je in opgve in lle zes de gevllen hetzelfde resultt krijgt, is een gevolg vn de volgende regels die voor het optellen vn vectoren gelden. Regels voor het optellen vn vectoren ( c) ( ) c 3 Ollie en Stn duwen een zwre kst. Ollie duwt drie keer zo hrd ls Stn. Ollie duwt tegen de linkerzijknt en Stn duwt tegen de voorknt vn de kst. De krchten vn Ollie en Stn kun je voorstellen door vectoren. Mk de vector ij Stn 1 cm lng.. Hoe lng moet je de vector ij Ollie mken?. Teken in een ovennzicht heel precies de vector die hoort ij de krcht wrmee de kst verschoven wordt. De krcht vn vectoren
De vector die je in getekend het, wordt in de ntuurkunde de resultnte vn de vectoren ij de krchten vn Ollie en Stn genoemd. Het is de somvector vn de krcht wrmee Stn en de krcht wrmee Ollie duwt. * 4 Vier touwen zijn n elkr geknoopt. n elk vn de touwen trekt een krchtptser. De trekkrchten worden voorgesteld door de vectoren,, c en d. Hiervn zijn, en c l getekend. c. Welke vn de drie trekkrchten is het grootst? De vier krchtptsers houden elkr precies in evenwicht.. Teken de vector d. De nulvector is de enige vector die je niet met een pijl kunt ngeven. Hij correspondeert met de verschuiving die lles op zijn plts lt. De vector met lengte 0 geven we n met 0. We noemen dit de nulvector. Er geldt: v 0 v voor elke vector v. In opgve 4 geldt: + + c + d = 0. v -v Met de vector - v edoelen we de vector die dezelfde lengte heeft ls v, mr tegengestelde richting. Er geldt: v + - v = 0. We noemen - v de tegengestelde vector vn v. De vector die het punt nr het punt verpltst, noteren we met. 3 1 Vectoren
5. Wt kun je zeggen over?. Wt kun je zeggen over en? c. Welke vector is -? In plts vn v -w schrijven we meestl v w. D 6 D is een prllellogrm. We korten f: v en D w. Druk, en D in v en w uit. 7 We komen terug op het onderzoek n het egin vn de prgrf. We noemen de hoekpunten vn de zeshoek,,, D, E en F, zie pltje. D E F. Wt kun je zeggen vn D DE EF F?. Wt kun je zeggen ls de grijze zijden een gesloten driehoek vormen (n verschuiven)? c. Trek je conclusie over driehoek met de zwrte zijden. Licht je ntwoord toe. Opmerking ij vrg c moet je D DE EF F schrijven ls D EF DE F. Hierij geruik je de twee regels voor het rekenen met vectoren op ldzijde. Nu he je een chthoek wrvn je de zijden om en om grijs en zwrt kleurt. Veronderstel dt de grijze zijden zo verschoven kunnen worden dt ze een gesloten vierhoek vormen. Kn dt dn ook met de zwrte zijden? d. Geef een ewijs vn je ntwoord. 4 De krcht vn vectoren
Misschien he je de conclusie vn je onderzoek n het egin vn de prgrf kunnen onderouwen, zonder vectoren te geruiken. Voor de chthoek in opgve 7d zl het ewijs je veel moeilijker vllen ls je geen vectoren tot je eschikking het. Vndr: De krcht vn vectoren. Verderop zullen we die krcht weer voelen. Ook ij een vierhoek kun je de zijden om en om zwrt en grijs kleuren. ls de grijze zijden een gesloten figuur vormen, doen de zwrte zijden dt ook. Dr he je nu geen vectoren voor nodig. e. G dt n. Vectoren met een getl vermenigvuldigen In plts vn v v v schrijven we 3 v en in plts vn - v -v schrijven we - v. De vector 3 v is 3 keer zo lng ls v en heeft dezelfde richting. De vector - v is keer zo lng ls v en heeft tegengestelde richting. De vector v 1 1 - is keer zo lng ls v en heeft tegengestelde richting. Enzovoort. 8 D is een prllellogrm. P, Q, R en S zijn middens vn zijden en M is het snijpunt vn de digonlen. We korten f: v en D w. D R S M Q P Druk de volgende vectoren in v en w uit. S, M, Q en RQ. 1 In opgve 8 kun je M zien ls 1 = ( v w), mr 1 1 ook ls P + S = v w. 1 1 1 lijkr is ( v w) v w. 5 1 Vectoren
We vegen de regels ij elkr. Regels voor het rekenen met vectoren Voor lle getllen k en m en lle vectoren, en c geldt: ( c) ( ) c k ( ) k k k ( m ) ( k m) ls k=3 en m=, zegt de ltste regel: ls je de vector eerst keer zo lng mkt en drn 3 keer zo lng, komt dt op hetzelfde neer ls hem 3 ml zo lng te mken. De een n ltste regel volgt uit gelijkvormigheid, zie hiervoor de volgende opgve. 9 c p r q 1 De ene figuur hieroven is met fctor uitvergroot tot de ndere.. Druk de vectoren p en q in en uit.. Vector r kun je op twee mnieren schrijven, één keer door op te merken dt hij keer zo lng is ls c en één keer door hem ls som vn de vectoren p en q te schrijven. G n dt je zo een vooreeld vn de een n ltste regel krijgt. 6 De krcht vn vectoren
S * 10 Het pltje hiernst stt ook op het werkld. We ekijken de punten X met: SX S k, wrij k lle mogelijke getllen kn zijn.. Teken op het werkld de punten X die horen ij k=-, -1, 0, 1 en.. ls je de punten ij elke wrde vn k zou tekenen, wt krijg je dn? Sien Sien Ontinden vn vectoren * 11 Sien zwemt in een eek met constnte snelheid en richting. De snelheidsvector wrmee Sien zwemt stt in het pltje. De eek heeft een constnte stroomsnelheid; die is ngegeven door de ndere pijl. Sien neemt n eide ewegingen tegelijk deel.. Teken op het werkld de snelheidsvector wrmee Sien eweegt. Sien verndert vn richting en snelheid. Op gegeven moment is de situtie zols hiernst. De snelheidsvector wrmee Sien eweegt is getekend. (De stroomsnelheidsvector vn de eek is hetzelfde.) De zwemrichting vn Sien is met een stippellijn ngegeven.. Teken nuwkeurig de vector die de snelheid en de richting ngeeft wrmee Sien zwemt. zwemrichting Sien * 1 v Teken twee vectoren, één op lijn en één op lijn, zó dt de som vn de vectoren die je getekend het de vector v in het pltje oplevert. De twee vectoren die je getekend het in opgve 1, heten de componenten vn v ten opzichte vn en. v is ontonden in zijn componenten ten opzichte vn de lijnen en. 7 1 Vectoren
u s 13 Een veeroot vrt loodrecht de rivier over, doordt de veermn de oot schuin tegen de stroom in stuurt. De stroomsnelheid vn de rivier is 3 km/u en wordt weergegeven door een vector s vn 3 cm. De pijl u dr loodrecht op is 3,75 cm lng.. Neem de figuur over en teken de vector v zó, dt s v u. ereken de lengte vn v in mm en de hoek die v met s mkt in grden nuwkeurig. Welke snelheid moet de veeroot uit zichzelf mken? Uit: Nollet, Leçons de Physique Experimentle, M.D.LIII Een jgpd of trekpd is een pd lngs een knl of rivier dt vroeger werd geruikt om schepen, gewoonlijk vrchtschepen, ls de wind niet gunstig ws, vooruit te trekken. Dit voorttrekken werd jgen genoemd, vndr de nm. Gewoonlijk geeurde dit door de schipper, zijn vrouw of smen met hun kinderen. Trekschuiten werden ltijd gejgd. ls er geld voor ws, kon voor het jgen een prd met egeleider ingehuurd worden. Uit: Wikipedi 14 Trekschuit Reinier Nooms rond 1650 vrrichting v De krcht wrmee het prd op het jgpd de schuit voorttrekt, loopt niet in de richting wrin de schuit zich verpltst. De trekkrcht vn het prd geven we weer met de vector v. Neem n dt deze een hoek mkt vn 30 met de richting wrin de schuit zich verpltst.. Ontind v in een vector u in de vrrichting en een vector w in de richting dr loodrecht op. De component w vn v drgt niet ij n de snelheid wrmee de schuit eweegt. Hij wordt 'opgevngen'. De component u eplt de snelheid vn de schuit. 8 De krcht vn vectoren
De lengte vn de vector v noteren we ls v.. epl u en w ls v = 3. * 15 Een rollende knikker Een knikker die op een hellend vlk ligt, rolt nr eneden door werking vn de zwrtekrcht. Hoe groter de helling vn het vlk, hoe sneller de knikker rolt. De zwrtekrcht werkt verticl. In het pltje hiernst is deze weergegevn door een vector.. Ontind de zwrtekrchtvector lngs de lijnen en. Lijn stt loodrecht op het vlk V wrlngs de knikker rolt. We noemen lijn een norml vn V. Een vector die loodrecht op een vlk stt noemen we norml-vector vn dt vlk. De component lngs die je in getekend het is een normlvector vn V. De component in de richting vn drukt op het vlk. We nemen n dt deze component geen invloed op de eweging vn de knikker heeft. (In de ntuurkunde zegt men: de rolweerstnd wordt verwrloosd.) De component in de richting vn zorgt voor de eweging vn de knikker. Deze component is groter nrmte de helling vn het vlk groter is. Hiernst is de helling vn het vlk wrop de knikker ligt 37. De lengte vn de zwrtekrchtvector is 1. 37. Leg uit dt de hoek tussen de zwrtekrchtvector en lijn ook 37 is en ender de component vn de zwrtekrchtvector lngs in twee decimlen. y v x De vector v in het pltje hiernst is ontonden in twee onderling loodrechte componenten x en y. Er geldt: x = v cos en y = v sin. 9 1 Vectoren
* 16 Een uto wordt een helling op getrokken. De trekkrcht en de zwrtekrcht die op de uto uitgeoefend worden, zijn weergegeven door pijlen.. Ontind de zwrtekrchtvector in een component in de richting vn het hellend vlk en in de richting vn een norml vn het vlk.. Vergelijk de lengte vn de pijlen. Krijgt hij de uto de helling op? (De rolweerstnd wordt verwrloosd.) 10 De krcht vn vectoren
Op zoek nr evenwicht Iemnd heeft zeven lokken op elkr gestpeld. De stpel helt gevrlijk nr rechts over. Mr hij vlt niet om! Hoe dt te egrijpen is, dr gt deze prgrf over. Mss s schuiven 1 Het moiel hieronder is in evenwicht. De zeven mss s zijn lleml even groot. De tweede situtie krijg je door twee vn de mss s in tegengestelde richting te verpltsen. De derde situtie krijg je door drn twee mss s tegengesteld n elkr te verpltsen over dezelfde fstnd en dt drn nog eens te doen. In de derde situtie zie je goed dt het moiel inderdd in evenwicht is. G deze twee verpltsingen n. Schuifprincipe Het evenwicht wordt niet verstoord ls je twee mss s tegengesteld n elkr verpltst: of Het schuifprincipe is ons uitgngspunt. ls je een lns tot je eschikking het, kun je experimenteel vststellen dt dit juist is. Uitgnde vn dit ntuurkundige principe, gn we wiskundig redeneren. 11 Op zoek nr evenwicht
De lengte vn de ophngtouwtjes is niet vn elng. * Zoek uit wr je de moielen moet ophngen opdt zij in evenwicht zijn. De moielen stn ook op het werkld. In plts vn één mss eenheden te verpltsen, kun je ook twee mss s 1 eenheid verpltsen (in dezelfde richting). In het ltste moiel vn de vorige opgve ws de fstnd tussen de linker en de rechter mss s 10. We verpltsen elk vn de linker mss s 3 pltsen nr rechts en elk vn de drie rechter mss s pltsen nr links. Dn houden we evenwicht. Doen we dt nog een keer dn hngen lle vijf de mss s op dezelfde plts. Die plts verdeelt de oorspronkelijke fstnd in stukken die zich verhouden ls 6:4. Het punt wr de stf met mss s moet worden opgehngen om de stf in evenwicht te krijgen, noemen we het zwrtepunt of mssmiddelpunt vn de stf met mss s. 1 De krcht vn vectoren
6 3. n een mssloze stf hngen twee mss s vn grootte en 6. Wr moet de stf worden opgehngen opdt hij in evenwicht is?. n een mssloze stf hngen twee mss s vn grootte en. Wr moet de stf moet worden opgehngen, opdt hij in evenwicht is? In en evinden zich twee mss's vn grootte en. Het zwrtepunt Z vn de twee mss s ligt op lijnstuk, zodt Z:Z = :. 3 7 4 n een mssloze stf hngen twee mss's vn grootte 3 en 7. epl de plts vn het zwrtepunt Z op twee mnieren:. door te schuiven. door ovenstnde stelling toe te pssen. Nu we weten hoe we het zwrtepunt vn twee mss s kunnen eplen, gn we een systeem vn drie mss s op één lijn npkken. 1 3 5 n een mssloze stf hngen drie mss s vn grootte 1, en 3 op onderling gelijke fstnden, en in deze volgorde.. Wr ligt het zwrtepunt?. En wr ls je de mss s vn grootte en 3 vn plts verwisselt? ij drie mss s kun je er eerst twee smennemen, en vervolgens het resultt vn die twee comineren met het derde mss. ijvooreeld: 60 0 5 7 3 Het zwrtepunt vn 5 en 7 ligt op fstnd 5 vn 7. Dus vervngen we de situtie door: 5 0 1 3 13 Op zoek nr evenwicht
Vervolgens eplen we het zwrtepunt vn 1 en 3, die een onderlinge fstnd 45 heen: 15 We vinden het zwrtepunt vn de oorspronkelijke drie mss s op fstnd 36 vn het rechter mss. 36 6. G n dt je dezelfde plek vindt ls je egint met de mss s 3 en 5 smen te nemen.. Ook ls je egint met de mss s 7 en 3 smen te nemen. Het kn nog nders. Splits de mss vn 7 in twee mss s vn 5 en : 60 0 5 5 3 c. Neem nu eerst de twee mss s vn 5 smen en de mss s vn en 3. Vind je op deze mnier weer hetzelfde zwrtepunt? ij elk ntl mss s op een lijn vind je ltijd hetzelfde eindpunt, hoe je ook de tweetllen kiest die je chtereenvolgens smenneemt. Dt etekent dt je terecht kunt spreken vn het zwrtepunt. Verderop zul je met ehulp vn vectoren egrijpen wrom je ltijd hetzelfde eindpunt vindt. 7 epl het zwrtepunt vn: 8 8 5 7 1 4 8 Hoe gt het ls de mss s niet op één lijn liggen? Ook dn verschuiven we mss s nr elkr toe, tot dt lles in een centrum smenklontert: ls dt punt weer ltijd hetzelfde is, mg dt het zwrtepunt heten. 1 3 * 8 We ekijken een vooreeld met drie mss s: 1, en 3. Voor het gemk heen we een driehoekjesrooster ngercht, wrij de fstnden tussen een tweetl mss s verdeeld is in 15 en.. epl op het werkld het zwrtepunt door eerst de mss s en 3 smen te nemen.. Ook door eerst 1 en smen te nemen. c. En door eerst 1 en 3 smen te nemen. 14 De krcht vn vectoren
Wrom vind je steeds hetzelfde punt? Wrom vind je ltijd hetzelfde eindpunt ls je mss s twee n twee smenneemt? De volgorde wrin je drij te werk gt, doet niet ter zke. Dit kun je egrijpen door met vectoren te werken! O We kiezen een vst punt O in het vlk. Dit noemen we de oorsprong. In het vervolg schrijven we voor O, O enzovoort:,, enzovoort ; dt is gemkkelijker. We noemen,, enzovoort de pltsvector vn,, enzovoort. O * 9. Druk uit in en. = c Het punt verdeelt het lijnstuk zó, dt :=3:.. Ontind c in de richtingen en en toon n dt 3 c. 5 5 Tip. Teken lijnen door evenwijdig n O en O en geruik gelijkvormigheid. O Het punt D verdeelt lijnstuk zó dt D:D=3:5. c. Ontind d in de richtingen en en ereken de getllen k en m wrvoor geldt dt d k m. Z Het punt Z ligt op lijnstuk zó, dt Z:Z=:. We kiezen een willekeurig punt O ls oorsprong, dn: OZ = O + O. O M Gevolg In en evinden zich de mss's en. Het zwrtepunt Z is het eindpunt vn de vector OZ = O + O. Specil gevl Voor het midden M vn geldt: 1 OM 1 O O. O 15 Op zoek nr evenwicht
ewijs OZ = O + = O + (1 )O + O = (O O ) = O + O Opmerking Het specil gevl he je in opgve 1.8 l gezien. * 10 In de punten en evinden zich de mss's en. Geef op het werkld de plts vn het zwrtepunt n in de volgende gevllen.. = 0 en = 6. = 1 en = 5 c. = en = 4 d. = 3 en = 3 e. = 4 en = f. = 5 en = 1 g. = 6 en = 0 O Merk op dt de keuze vn de oorsprong O er niet toe doet. 11. Hoe luidt de stelling ls we voor O het punt kiezen?. Hoe luidt de stelling ls we voor O het punt Z kiezen? 1 Gegeven zijn vijf mss s in een vlk (of in de ruimte, of op een lijn):, 3, 5, 7 en 10, op de pltsen 1,, 3, 4 en 5. Kies een oorsprong O. Om het zwrtepunt te vinden kunnen we (ijvooreeld) ls volgt te werk gn: - epl het zwrtepunt Z 1 vn de mss s en 3, - epl het zwrtepunt Z 34 vn de mss s 5 en 7, - epl het zwrtepunt Z 345 vn het systeem met mss 1 in Z 34 en mss 10 in 5, - epl het zwrtepunt Z vn het systeem vn mss 5 in Z 1 en mss in Z 345. Welke vector OZ vind je op deze mnier, uitgedrukt in O 1, O, O 3, O 4 en O 5? OZ is een soort gemiddelde vector vn O 1, O, O 3, O 4 en O 5. Hoe "zwr" elk vn die vectoren in het gemiddelde meetelt, hngt f vn de grootte vn mss op de etreffende plts. We gn nu het lgemene gevl ekijken. 16 De krcht vn vectoren
Voor drie mss s Gegeven zijn drie mss s 1,, 3 op de pltsen 1,, 3. We kiezen een willekeurig punt O ls oorsprong en erekenen de som vn de mss s: = 1 + + 3. Dn vinden we het zwrtepunt Z ls volgt: OZ = 1 O 1 + O + 3 O 3. 1 Z 1 Z O 3 ewijs Stel dt we eerst de mss s 1 en smennemen. Die twee kunnen we vervngen door het mss = 1 + in hun zwrtepunt Z 1 met OZ 1 = 1 O 1 + O. Dit gecomineerd met mss 3 geeft het punt Z met OZ = = OZ + 3 1 3 ( 1 1 3 O 3 3 O + O ) + 3 O 3 3 = 1 O 1 + O + 3 O 3. Omdt in het eindntwoord de drie mss s en de drie pltsen volkomen symmetrisch voorkomen, is de volgorde wrin de mss s zijn smengenomen kennelijk niet vn elng! Voor vier mss s Gegeven zijn vier mss s 1,, 3, 4 op de pltsen 1,, 3, 4. We kiezen een willekeurig punt O ls oorsprong en erekenen de som vn de mss s: = 1 + + 3 + 4. Dn vinden we het zwrtepunt Z ls volgt: OZ = 1 O 1 + O + 3 O 3 + 4 O 4. ewijs Eerst nemen we de mss s in 1, en 3 smen. Die kunnen we vervngen door mss = 1 + + 3 in plts Z 13, wrij OZ 13 = 1 O 1 + O + 3 O 3. Dit nemen we smen met mss 4 in 4. Dt geeft ons het zwrtepunt Z, wrvoor: OZ = 4 OZ 13 + O 4 = 4 4 4 ( 1 O 1 + O + 3 O 3 ) + 4 4 O 4 = 1 O 1 + O + 3 O 3 + 4 O 4. Weer is het ntwoord volkomen symmetrisch in de vier mss s en pltsen. Kennelijk is de volgorde vn smennemen niet vn elng. 17 Op zoek nr evenwicht
En zo gt dt door voor vijf, zes, mss s. lgemeen vinden we voor elk ntl mss s 1,,, n op de pltsen 1,, n het zwrtepunt Z ls volgt: Stelling De mss s 1,,, n evinden zich op de pltsen 1,, n. Het zwrtepunt noemen we Z. Dn: OZ = 1 O 1 + O + + n Hierij is = 1 + + n. O n. We zien dt OZ een soort gemiddelde vector is vn O 1, O,, O n. Hierij eplt een mss op een plts hoe zwr die plts meetelt. Het doet er niet toe in hoeveel dimensies we werken. De punten mogen est op een rechte lijn liggen, mr dt hoeft niet. En ls drie punten een driehoek in de ruimte vormen, hoeft de gekozen oorsprong niet in het vlk vn de driehoek te liggen. De werkwijze met vectoren is dus lgemeen geldig: de krcht vn vectoren. 5 6 7 9 10 6 7 9 7 13 nneke heeft chtereenvolgens de volgende cijfers voor wiskunde gehld: 7, 6, 5, 9, 9, 10, 6, 7, 7. Ze heeft de cijfers uitgezet op de getllenlijn. epl hr gemiddelde wiskundecijfer. Merk de nlogie op tussen het gemiddelde cijfer en het zwrtepunt. 18 De krcht vn vectoren
3 De stelling vn ev 1 D E X De zijden en vn driehoek zijn in vier gelijke stukken verdeeld. Twee vn de verdeelpunten zijn D en E; zie pltje. De lijn door en het snijpunt vn D en E snijdt in X. Het lijkt erop dt X het midden vn is. In het volgende ewijzen we dt dit inderdd zo is. In het pltje hieronder is de lijn door evenwijdig n lijn getekend.. ewijs dt F en G even lng zijn. Tip. Lt zien dt eide vn zijn.. Lt nu met gelijkvormigheid zien dt X=X. F G D E S X Wt we hieroven heen gezien is een specil gevl vn de stelling vn ev. 19 3 De stelling vn ev
E D Stelling vn ev In driehoek liggen punten D, E en F op de zijden, en. Dn komen de volgende twee dingen op hetzelfde neer. F D E =1 F D E F De lijnen D, E en F gn door één punt. Giovnni ev (1647-1734) studeerde n de jezuïtische hogeschool in Miln en volgde een wiskundestudie n de universiteit vn Pis. In 1678 puliceerde hij het oek De lineis rectis se invicem secntius, sttic constructio wrin ook ovenstnde stelling te vinden is. Het is opvllend dt de stelling vn ev ps zo lt in de geschiedenis is gevonden. De Snt Teres te Mntu Hier ligt ev egrven. Lt zien dt je opgve 1 met de stelling vn ev kunt ewijzen. 3 ewijs vn de stelling vn ev In de punten, en evinden zich mss s, en c. D E F Het zwrtepunt vn de mss s en noemen we F, dt vn en c noemen we D en dt vn c en noemen we E. Het zwrtepunt vn de drie mss s, en c noemen we Z.. Leg uit dt Z op lijnstuk F ligt. Evenzo ligt Z op de lijnstukken E en D, dus gn de lijnen D, E en F door één punt.. Druk de volgende verhoudingen in, en c uit: F D E, en. F D E 0 De krcht vn vectoren
F D E c. Schrijf zo eenvoudig mogelijk. F D E ls de lijnen D, E en F door één punt gn, kun je er gewichten, en c ij verzinnen, en dn is F D E =1. F D E Het omgekeerde moet dn ook wr zijn omdt er mr X D E één punt X op lijn is met =1. X D E y-s D - O - x-s 4 In (-,0), (4,0) en (-1,3) evinden zich de mss s 4, en c. Het zwrtepunt vn de mss s in en is O. Het zwrtepunt vn de mss s in en is D. D ligt op de lijn x=1.. ereken D:D en vervolgens en c. Het snijpunt vn de lijnen O en D is noemen we Z. Lijn Z snijdt lijn in X.. ereken X:X. c. ereken XZ:Z. 5 Hieronder zijn getekend (0,15), (36,0), D(9,0), E(0,6) en O(0,0). De lijnen OF, D en E gn door één punt.. ereken de coördinten vn F. F E O D. ereken de coördinten vn het snijpunt vn de lijnen OF, D en E. 1 3 De stelling vn ev
6 In het pltje hieronder stn de punten (-9,-6), (9,0), (-3,1), D(6,3) en E(-6,3). De lijnen F, D en E gn door één punt X. y-s E X F D x-s ereken de coördinten vn F en vn X. 7 Op de zijden en vn driehoek liggen de punten E en D. Het snijpunt vn E en D is X. D E X Lt zien: lijn X gt door het midden vn E D. E D 8 De krcht vn vectoren
In de linker driehoek zijn de zijden in zes gelijke delen verdeeld en de verindingslijnen vn de hoekpunten nr de verdeelpunten getekend. Het lijkt erop dt er punten zijn die op drie verindingslijnen liggen. Om zeker te weten dt dt inderdd het gevl is, is een erekening nodig.. Lt met de stelling vn ev zien dt het ngegeven punt op drie verindingslijnen ligt. In de rechter figuur is een indeling in zeven delen op de zijden gemkt.. Zijn er ook hier weer punten die op drie verindingslijnen vn hoekpunten met verdeelpunten liggen? Zoek dt uit. Motiveer je ntwoord. 9 Het meetkundige zwrtepunt vn een driehoek In de onderouw he je de volgende definitie gezien. Een zwrtelijn vn een driehoek gt door een hoekpunt en het midden vn de tegenoverliggende zijde. zwrtelijn Stelling De zwrtelijnen vn een driehoek gn door één punt, het zwrtepunt Z vn de driehoek. Het zwrtepunt verdeelt de zwrtelijnen in de verhouding 1:. Er geldt: z c 3 1 3 1 3 1, wrij O enz., met willekeurige oorsprong O. ewijs de stelling. 3 3 De stelling vn ev
4 Met coördinten Vectorvoorstelling vn een lijn O v * 1 In het pltje hiernst is O de oorsprong. De pltsvectoren vn en zijn, net ls in prgrf, geschreven ls en. Verder is er nog een vector v getekend.. Teken op het werkld de punten X met x t v voor lle mogelijke getllen t.. Teken op het werkld de punten X met x t v voor lle mogelijke getllen t. c. Teken op het werkld de punten X met x t voor lle mogelijke getllen t. In onderdeel krijg je de lijn door evenwijdig met de vector v, in de lijn door evenwijdig met de vector v en in c de lijn door evenwijdig met de vector. O q k p P Door in x p t q lle mogelijke getllen voor t in te vullen, krijg je de pltsvectoren vn lle punten op de lijn k door P evenwijdig met q. We noemen x p t q een vectorvoorstelling vn k. We noemen in deze schrijfwijze p de strtvector en q de richtingsvector vn k. * Het pltje nst het grijze hok stt ook op het werkld.. Teken op het werkld de lijnen met vectorvoorstelling: x p q t q x p t q x p t -q x p t q. Welke vectorvoorstellingen uit zijn een vectorvoorstelling vn k? Hoe komt het dt je in die gevllen dezelfde lijn krijgt (terwijl de vectorvoorstelling er nders uitziet)? 4 De krcht vn vectoren
* 3 Vlootschouw Tijdens een onderdeel vn de vlootschouw zijn drie schepen in ctie. De schepen en vren met constnte snelheid en richting (niet dezelfde). Schip heeft vn de leiding de opdrcht gekregen op elk moment precies midden tussen de schepen en in te vren (om esthetische redenen). 0 en 0 zijn de strtposities vn en ; 1 en 1 de posities vn en n 1 minuut, enzovoort.. Zoek uit wr schip zich n 1,, 3,... minuten evindt. Geef die pltsen op het werkld n met 1,, 3,.... De plts 0 is l ngegeven. Het ziet er nr uit dt schip zich over een rechte lijn eweegt. We kunnen dit inzien door geruik te mken vn vectoren. Er is een oorsprong gekozen. De pltsvector vn 0 noemen we 0 en die vn 0 0, de snelheidsvector vn schip noemen we v en die vn schip w.. Druk de pltsvector vn het punt wr schip zich op tijdstip t evindt uit in t. Doe dt ook voor de schip. Nu kun je ook de pltsvector wr zich op tijdstip t evindt in t uitdrukken c. Doe dt. Je krijgt zo een vectorvoorstelling vn een lijn. Welke vector is strtvector? En welke vector richtingsvector? d. Veronderstel dt twee keer zo snel gt ls en dt de richtingen wrin ze vren loodrecht op elkr stn. Hoeveel keer zo snel (exct) gt ls? 5 4 Met coördinten
O lijn 4 Zie het pltje hiernst.. Een richtingsvector vn lijn is. Dus x t ( ) is een vectorvoorstelling vn lijn. G dt n.. Wr liggen de punten X met x t ( ) ls je voor t lleen getllen neemt met 0t1? En ls je voor t lleen getllen neemt met t0? c. Vn welke lijn is x t ( ) een vectorvoorstelling? O k Door de regels voor het rekenen met vectoren te geruiken, kun je x t ( ) herschrijven ls: x (1 t) t, ofwel x s t, met s+t=1. d. G dt n. Een vectorvoorstelling vn lijn is: x t ( ) ook wel: x s t, met s+t=1. Een prmetervoorstelling vn een lijn y-s - - x-s In het vervolg werken we in een ssenstelsel, met drin een x-s en y-s. Elk punt in het vlk kn worden ngeven door een tweetl getllen (een getllenpr). Het getekende punt in het rooster heeft eerste coördint - en tweede coördint 1; we noteren het ls (-,1). Een vector geven we ook met een getllenpr, mr dn verticl genoteerd. Zo geven we de getekende 3 vector n met. De getllen 3 en -1 noemen we de -1 kentllen vn de vector. De pltsvector vn het punt (,) is. 6 De krcht vn vectoren
y-s w - - v x-s * 5 In het rooster hiernst is een ntl vectoren getekend. Verder is een roosterhokje grijs gemkt.. Geef de kentllen vn de vier vectoren en ereken vn elke vector de excte lengte. Het grijze hokje wordt verpltst over vectoren vn de vorm k v m w, wrij k en m gehele getllen zijn.. Geef op het werkld met grijs n welke hokjes ereikt worden. c. Ontind de vectoren en in componenten in de richtingen vn v en w en geef de getllen k en m zó dt k v mw, respectievelijk k v m w. 6 v en -1 3 w -. Teken de vectoren v, w en v w. Wt zijn de kentllen vn v w?. Teken v. Wt zijn de kentllen vn v? Vooreeld 1 ls en -1 3, 3-1 7 dn 3 3 3 0 ls je een vector met een getl vermenigvuldigt, moet je eide kentllen met dt getl vermenigvuldigen. ls je twee vectoren optelt, moet je de kentllen pltsgewijs optellen. In formules: ls v en c w en k een getl, dn: d c k v w en d k v. k 7 Op tijdstip t=0 wordt vnuit het punt P(0,1) een kogel fgeschoten. De kogel eweegt in een rechte lijn, per seconde 5 eenheden in de x-richting en eenheden in de y-richting. N t seconden is de kogel in X t. 7 4 Met coördinten
. Druk de vector OX t in t uit. Ergens tussen t= en t=3 komt de kogel tegen de wnd (de lijn x=14).. N hoeveel seconden precies? In welk punt? 0 5 Er geldt: OX t t, dus X t ( 5t,1 t ). 1 Het ntwoord op kun je ook ls volgt vinden. De kogel komt op de wnd ls zijn eerste coördint 14 is, dus 5t=14, dus t=. Het punt wr de kogel zich dn evindt, vind je door t= in te vullen in (5t,1+t). Je vindt het punt (14,6 53 ). We noemen (x,y)= (0,1)+t(5,) of (x,y)=(5t,1+t) een prmetervoorstelling (pv) vn de lijn wrlngs de kogel eweegt. We noemen t de prmeter. x 5t We schrijven de pv ook wel ls:. y 1 t 8. Teken in een rooster de punten (-,1) en (1,).. Geef een pv vn de lijn. Het punt (-17,-4) ligt op lijn. c. Hoe zie je dt met ehulp vn de pv vn lijn? Een punt vn de lijn is (-+3t,1+t). ls je in een ndere pv het gegeven, controleer dn dt deze pv ook goed is. d. Voor welke wrde vn t is (-+3t,1+t) een punt vn de x-s? En voor welke wrde vn t een punt vn de y- s? Wt zijn dus de coördinten vn de snijpunten vn lijn met de x-s en de y-s? 8 De krcht vn vectoren
9 k is de lijn met pv (x,y)=(,1)+t (1,-)=(+t,1 t) en m de lijn met pv (x,y)=(,0)+t (-,4)=( t,4t).. Teken de lijnen k en m in een rooster, door eerst wt punten vn die lijnen te erekenen.. De lijnen k en m zijn evenwijdig. Dit kun je n de pv vn die lijnen zien. Hoe? c. Geef een pv vn de lijn door (,3) evenwijdig n k en m. d. Teken de lijn met pv (x,y)=(0,4)+t(-1,). De lijn die je in d getekend het is m. Verschillende pv's kunnen dus dezelfde lijn voorstellen. We zeggen dt twee vectoren, eide niet 0, (onderling) fhnkelijk zijn ls ze dezelfde of tegengestelde richting heen. In het pltje zijn v en w fhnkelijk, u en w niet. 10. Voor welk getl zijn de vectoren en 4 fhnkelijk? Voor welk getl zijn de vectoren - 8 en fhnkelijk? 4. Voor welk getl zijn de vectoren en - 5 fhnkelijk? Voor welk getl zijn de vectoren en 7 5 fhnkelijk? Twee vectoren, eide niet 0, zijn fhnkelijk ls de ene een veelvoud vn de ndere is. In formule: v en w, eide niet 0, zijn fhnkelijk ls er een getl k is zó, dt v =kw. c en zijn fhnkelijk d c=0 d 9 4 Met coördinten
11 ewijs dit. Vooreeld 1 In opgve 8 heen we de lijnen k en m met pv (x,y)=(,1)+t(1,-) en (x,y)=(,0)+t(-,4) ekeken. 1 k en m zijn evenwijdig, wnt de richtingsvectoren - - en vn de ijehorende vectorvoorstellingen zijn 4 fhnkelijk. Vooreeld Een pv vn de lijn door (3,3) en (,0) vind je zo. 3 1 Een richtingsvector is 3 0 3 x 1 Een vectorvoorstelling is: t y 0 3 x t Een pv is dn: (x,y)=(,0)+t (1,3) ofwel:. y 3t Vooreeld 3 De lijn p heeft pv (x,y)=(0,)+t (3,1). Een pv vn de lijn n door (3,3) evenwijdig met p: is (x,y)=(3,3)+t (3,1). Je kunt voor p en n dezelfde richtingsvectoren nemen. 1 Lijn k snijdt de x-s in (3,0) en de y-s in (0,).. Geef een pv vn k. m gt door (,) en is evenwijdig met k.. Geef een pv vn m. c. ereken de coördinten vn de snijpunten vn m met de x-s en de y-s. 1 ( ) M In prgrf, opgve 8 he je gezien: 1 ( ) is pltsvector vn het midden vn. Hieruit volgt: Het midden vn lijnstuk met, ) en, ) ( 1 1 1 1 1 1 is het punt, ). ( 1 ( 1 30 De krcht vn vectoren
y-s - - x-s Loodrechte stnd 13. Geef de twee vectoren die loodrecht op de vector (3,-1) stn en even lng zijn ls (3,-1).. Geef de twee vectoren die loodrecht op de vector (1,) stn en even lng zijn ls (1,). c. Geef de twee vectoren die loodrecht op de vector (87,100) stn en even lng zijn ls (87,100). - v L en v R stn loodrecht op - v. v L krijg je door v 90 linksom te drien en v R door v 90 rechtsom (met de wijzers vn de klok mee) te drien. Wrom dt zo is, zie je in het pltje hieronder. v v v R v L ( en zijn de lengten vn zijden wr ze ij stn.) 14 en zijn twee (willekeurig gekozen) vectoren en t is een willekeurig getl. Geldt R R ( ) R? Geldt ( t ) t? R Wt kun je zeggen vn ( )? R R R De vectoren c en 0, eide niet d stn loodrecht op elkr 0 c+d=0. 15 Toon n dt ovenstnde juist is. 31 4 Met coördinten
Opmerking ls c of 0 wel d is, kun je niet over loodrechte 0 stnd vn de vectoren spreken. Vooruitlik Het getl c+d ij de vectoren v en c w d zegt dus iets over de hoek tussen die vectoren. We noemen c+d het inproduct vn v en w. We noteren het inproduct vn v en w met v w. In het volgende hoofdstuk zullen we zien hoe je met het inproduct de hoek tussen vectoren kunt erekenen. 16 Wt is het vernd tussen v v en v? ls v en c w, dn is: v w = c+d het d inproduct vn v en w. ls v en w eide niet 0, dn geldt: v w =0 v en w stn loodrecht op elkr. v v = v 17 Gegeven zijn de punten =(-1,3) en (7,4). Op de x-s ligt een punt P zó, dt hoek P recht is. ereken de coördinten vn P (twee mogelijkheden). Vierknten D 18 In de volgende drie opgven ekijken we vierknten D. De letters,, en D stn steeds linksom in volgorde ij de hoekpunten. epl de coördinten vn en D in de volgende gevllen. Mk eventueel een tekening op roosterppier.. =(1,) en =(4,3);. =(1,) en =(4,0); c. =(11,0) en =(7,83). 3 De krcht vn vectoren
61 In c kun je ls volgt te werk gn:, dus krijg 63-63 je door te verschuiven over, 61 dus =(7+-63,83+61)=(9,144). d. Mk een soortgelijke erekening voor de coördinten vn D, ls =(11,0) en =(7,83). Schrijf je erekening op. e. ereken de coördinten vn en D ls =(-11,0) en =(50,10). Schrijf je erekening op. 19 ls =( 1, ) en =( 1, ), krijg je: dus=,. 1 1 1 1 1,. Schrijf de coördinten vn zonder hkjes, zo eenvoudig mogelijk.. Schrijf een erekening op voor de coördinten vn D. Schrijf die coördinten zonder hkjes, zo eenvoudig mogelijk. 0 epl de coördinten vn en D in de volgende gevllen.. =(-1,-) en =(3,6).. =(-110,115) en =(4,-1). Tip. epl eerst het midden M vn lijnstuk. De coördinten vn de punten en kun je dn vinden door M over MR respectievelijk ML te verschuiven. 1 Twee stven vn lengte vormen een Grieks kruis (dt wil zeggen dt de stven elkr loodrecht middendoor delen). Vn één vn de stven ewegen de eindpunten over de x-s en de y-s. Noem die eindpunten (,0) en (0,).. Wt kun je zeggen over +?. Druk de coördinten vn het centrum vn het kruis uit in en. c. eschrijf de n vn het centrum. d. Druk de coördinten vn de eindpunten vn de ndere stf uit in en. e. epl de n vn de eindpunten vn de ndere stf. Tip. Vergelijk de x- en de y-coördint vn die eindpunten. 33 4 Met coördinten
45 45 v 1 Gegeven is de vector v. Met ehulp vn v L en v R kun je ook vectoren en vinden die hoeken vn 45 met v mken, zie pltje.. Doe dt. Hoe lng zijn de vectoren die je gevonden het?. Geef de kentllen vn de vector die je krijgt door v 45 met de wijzers vn de klok mee te drien. 34 De krcht vn vectoren
Schtgrven op Teleurstellingseilnd 3 Op een onooglijk stukje vergeeld ppier dt nne in een oude kist vindt, stt het volgende. Ze trekt zich niets n vn de gruwelverhlen op http://en.wikipedi.org/wiki/disppointment_islnd. Het eilnd ligt op 50 36 Z, 165 58 OL.: Disppointment Islnd; een vn de onewoonde ucklnd Islnds ten zuiden vn Nieuw Zeelnd. Onewoond? Op 65.000 visverwerkende witkopltrossen n! nne heeft vst een pln gemkt, voor ls ze de stenen en de stronk eenml heeft gevonden. hier ligt de scht stronk vn de oude eik steen 1 steen Op Teleurstellingseilnd ngekomen, vindt ze wel de twee stenen, mr de stronk vn de oude eik is vergn.. Neem een stuk ppier en teken drop twee punten. Dr liggen de stenen. Kies nu een willekeurig derde punt voor de positie vn de stronk en voer de zoekctie uit met je geodriehoek. Kies nog een nder punt voor de stronk en voer de zoekctie nog eens uit. Je kunt de zoekctie ook ekijken met de GeoGer pplet Schtzoeken. Het lijkt wel of de plts vn de scht niet vn de plts vn de stronk fhngt! P(,) (-,0) Q (,0) R Dt dit inderdd zo is, kun je ls volgt inzien. Neem een ssenstelsel zo dt de stenen in de punten (-,0) en (,0) liggen. Zeg dt de eik in P(,) stond.. Druk de coördinten vn de punten Q en R (zie pltje) in en uit. c. Lt zien dt het midden M vn PR niet fhngt vn en. 35 Met coördinten
5 Smenvtting Regels voor het rekenen met vectoren Voor lle getllen k en m en lle vectoren, en c geldt: ( c) ( ) c k ( ) k k k ( m ) ( k m) Wt is het verschil tussen 0 en 0? Wt is v -? is de vector die het punt nr het punt verpltst. We zeggen dt twee vectoren, eide niet 0, (onderling) fhnkelijk zijn ls ze dezelfde of tegengestelde richting heen P Ontind de vector OP in zijn componenten lngs de lijnen O en O. Er geldt: p, voor zekere getllen en. Wt zijn die getllen en ls P=6 en P=4? O De lengte vn de vector v noteren we met I v Het zwrtepunt vn mss s De mss s 1,,, n evinden zich op de pltsen 1,, n. Het zwrtepunt noemen we Z. Dn: OZ = 1 O 1 + O + + n Hierij is = 1 + + n. O n. E 3 3 F D 4 5 Stelling vn ev In driehoek liggen punten D, E en F op de zijden, en. De lijnen D, E en F gn door één punt. De lengte vn 5 vn de 6 stukken wrin de punten D, E en F de zijden verdelen stn in het pltje. ereken de lengte vn het zesde stuk. De zwrtelijnen vn een driehoek gn door één punt, het zwrtepunt Z vn de driehoek. Het zwrtepunt verdeelt de zwrtelijnen in de verhouding 1:. Er geldt: z 3 1 3 1 3 1 c. 36 De krcht vn vectoren
O q p k P Door in x p t q lle mogelijke getllen voor t in te vullen, krijg je de pltsvectoren vn lle punten op de lijn k door P evenwijdig met q. Hierij is q 0. We noemen x p t q een vectorvoorstelling vn k. We noemen in deze schrijfwijze p de strtvector en q de richtingsvector vn k. O lijn E en vectorvoorstelling vn lijn is: x t ( ) ook wel: x s t, met s+t=1. In een ssenstelsel v L v v R c en zijn fhnkelijk d c=0 d en niet eide 0 en c en d niet eide 0. - v L en v R stn loodrecht op - v. v L krijg je door v 90 linksom te drien en v R door v 90 rechtsom te drien. Hoe ereken je het inproduct v w vn twee vectorenv en w? ls v en w eide niet 0, dn geldt: v w =0 v en w stn loodrecht op elkr. Wt is het vernd tussen v v en v? De punten (1 + 3t, + 4t) vormen een rechte lijn. We schrijven ook wel: x 1 3t y 4t en noemen dit een prmetervoorstelling vn die lijn (t is de prmeter). Gegeven zijn de punten (0,1), (-3,4) en (0,-). Geef een prmetervoorstelling vn lijn. Geef een prmetervoorstelling vn de lijn door evenwijdig met de lijn. Gegeven zijn de punten (0,1), (-3,4) en (0,-). In die punten zitten mss s, 3 en 1. ereken de coördinten vn het zwrtepunt met dit msssysteem? 37 5 Smenvtting
1. 6 ntwoorden Prgrf 1 Vectoren v w. Die is hetzelfde 3. 3 cm. Stn resultnte Ollie 4. c. c d 5. is de 0-vector, dus 0. 38 De krcht vn vectoren
. Die zijn tegengesteld. c. 6 - w, v w, w v 7. 0. D EF 0 c. Dus DE F 0 d. Het ewijs gt net zo. e. Dn zijn de grijze zijden evenwijdig en even lng, dus he je een prllellogrm, dus zijn de zwrte zijden ook evenwijdig en even lng. 8 w 1 1 1 1 1 1, v w, v w, v w 9. p 1 en q 1. Enerzijds: r 1 c en c, nderzijds: 1 1 r p q, invullen geeft: 1 ( ) 10 k=- k=-1 k=0 k=1 k= S 11, Sien evenwijdig Sien zwemrichting Sien 1 v 39 6 nwoorden
13. u v s. v = 3 3,75 4,8 De veeroot moet zelf 4,8 km/h vren. 14. vrrichting u w v. u 1,73, w = 1 15.. + = 90 + = 90 = De component lngs heeft lengte 1cos(37) 9,58. 16.. j 40 De krcht vn vectoren
Prgrf Op zoek nr evenwicht 1 Zelf doen. Eerste: 6 vnf de linkse Tweede: 8 vnf de linkse Derde: 8 vnf de linkse Vierde: 6vnf de linkse 3. vn de fstnd vnf links. vn de fstnd vnf links 4.. 7 10 5. 1 vnf 1. 1 vnf 1 6 Zelf doen vn de fstnd vnf links. 7 Dn komt het zwrtepunt op 1 rechts vn 7. 8,, c. 1 3 P c O Q 9. Zie pltje. De driehoeken P en O zijn OP gelijkvormig., dus OP O O 5 5. OQ 3 3 Evenzo:, dus OQ O O 5 5. Dus: O 3 5 5. 5 3 8 8 c. OD 41 6 nwoorden
10. g. f. e. d. c... O 11. Z =. 0 = Z + Z 1 OZ = 7 3 O 1 + 7 5 O + 7 O 3 + 7 7 10 O 4 + 7 O 5 13 1 5 6 3 7 9 110 66. 1 3 1 9 Het gemiddelde is 7,3, Prgrf 3 De stelling vn ev 1. De driehoeken FD en D zijn gelijkvormig, dus F D 1 G E 1. Net zo is. D 3 E 3. De driehoeken FS en SX zijn gelijkvormig, dus F S G S F G. Net zo is. Dus. X SX X SX X X Uit volgt dn dt X=X. X D E D E X =1, verder =1, dus =1 X D E D E X 3. Je kunt het zwrtepunt Z eplen door eerst de mss's in en smen te nemen. Het zwrtepunt vn die twee ligt in F. Vervolgens moet je de mss's in en F smennemen. Dus Z ligt op lijnstuk F. F D c E., en, dus: F D E c F D E c = 1. F D E c 4. O 1, dus =. O 4 D, dus c=3. D 3 c c 4 De krcht vn vectoren
. X is het zwrtepunt vn de mss's in en, dus X 3. X 4 c. Z is het zwrtepunt vn de mss's 7 in X en in. XZ Dus. Z 7 E OD F 9 9 F 5. 1, dus EO D F 6 7 F F 1 3 F. F 1 =(1,-5), dus F=(0+1,15 5)=(1,10).. Noem het snijpunt Z. We leggen in O, en geschikte mss's, ijvooreeld 1 in, in en 3 in O. Dn is Z het zwrtepunt vn de drie mss's. Neem de mss's in en smen. Dt geeft mss 3 in F. Z is dn het zwrtepunt vn de mss's 3 en 3 in O en F, dus het midden vn OF. Dus Z=(6,5). 6 D 1 E 1 F D E en, 1, dus D 3 E 1 F D E F 3, dus F 1 F 1 4 =(-4,-1), dus F=(9 4,0 1)=(4,-1). Om de coördinten vn X te vinden, leg je weer geschikte mss's in, en, resp. 1, 3 en 1. reng ijvooreeld eerst de mss's in en ij elkr in D. X is dn het zwrtepunt vn een mss 1 in en een mss 4 in D, dus DX 1 5 D (-3,-1 5 4 ), dus X=(3, 1 ). 1 5 7 Het snijpunt vn X met noemen we F. Dn X gt F door het midden vn =1. F F D E D E Verder: 1, dus 1, dus F D E D E D E =. D E 8. E D F 43 6 nwoorden
Noem de hoekpunten vn de driehoek, en en de specile verdeelpunten (zie pltje), D, E en F. F D E 4 3 Dn geldt: 1, dus gn de F D E 3 4 lijnen D, E en F door één punt.. G zo te werk ls in. Je moet dn positieve gehele x y z getllen x, y en z zoeken zó, dt 1. 7 x 7 y 7 z N wt proeren, zie je dt dt niet gt. Je kunt ook wel ewijzen dt die x, y en z te vinden zijn ls volgt: Dn moet xyz 43 7xy 7xz 7yz 47x 49y 49z xyz oftewel: xyz 43 7xy 7xz 7yz 47x 49y 49z De rechterknt vn de ltste vergelijking is deelr door 7. De linkerknt moet dn ook deelr zijn door 7. Dit kn lleen ls x, y of z=7. 9 Leg mss's 1 in de hoekpunten! Prgrf 4 Met coördinten 1. v. O v c. O O. k x p q t q x p t q O q p P O q p P 44 De krcht vn vectoren
k x p t -q k x p t q O p P O p P q q. lleen de tweede niet. x p q t q = x p ( t 1) q x p t - q p -t q x p t q p t q En ls t lle mogelijke getllen is, dn t+1, -t en t ook. 3. 0 1 0 3 1 3 1 3 0 v w v w. x 0 t v, x 0 t w c. x 1 ( 0 t v 0 t w ) 1 1 ( 0 0 ) t ( v w ), 1 strtvector ( 0 0 ) en richtingsvector 1 ( ) v w. 1 d. 5, zie pltje, wnt v w is 5 keer zo lng ls v 4. Tussen en ; lle punten rechts vn op de lijn c. Vn de lijn 45 6 nwoorden
5. - 1 5 1 6-3 0 w 3 lengte 9, 37, 1, 18 3. y-s - w - v x-s c. 3 v 1 w 3, 7 v w 1 6. 1 4. 6 w v v v w 5t 7. 1 t. t= in (14,6 53 ) 8. (x,y)=(-+3t,1+t) c. y=1+t=-4 ls t=-5, dn x=-+3-5=-17 d. t=-1, t=. Met de x-s : (-5,0), met de y-s : (0,1). 9. m k. De vectoren - en -1 zijn tegengesteld gericht. 4 c. (x,y)=(,3)+t(1,-) of (x,y)=(,3)+t(-1,) of d. Dezelfde lijn ls m. 46 De krcht vn vectoren
10. =1, =-4. =-, = c 11 Dn t voor een zekere wrde vn t. d We veronderstellen dt c0 (nders d0 en dn gt het net zo). Dn zie je door de ovenste kentllen te vergelijken: t, dus (onderste kentllen): d c d. c c Omgekeerd (we veronderstellen weer dt c0: ls c d, neem dn t c, dn c t. d 1. (x,y)=(3,0)+t(3,-) of (x,y)=(0,)+t(3,-) of. (x,y)=(,)+t(3,-) of c. (x,y)=(,)+t(3,-)= (+3t, t)is pv vn m. Snijpunt met de x-s: dn y=0 t=0 t=1. Dit geeft het punt (5,0) Snijpunt met de y-s: dn x=0 +3t =0 t=-. Dit geeft het punt (0,3). 13. (1,3) en (-1,-3). (,-1) en (-,1) c. (100,-87) en (-100,87) 14 j, j, ( ) R R - 15 Vergelijk de werkwijze met opgve 11. c - Dn c t. Veronderstel 0, dn t -, dus d c d - d -c. Omgekeerd, ls d -c mogen we wel weer veronderstellen dt 0. Neem dn c t -, dn c - t. d 16 v v = v 17 Het punt P is (x,0), dn P x 1-3 en x 7 P. - 4 x 1 7 0 6 5 0-3 x - 4 x x x=1 of x=5. 47 6 nwoorden
Dus (1,0) en (5,0) 18 Schetsjes ij, en c: D D D (7,83) (1,) v (4,3) (1,) v (4,0) (11,0) 3. v, =(4 1,1+3)=(3,4);D=(3 3,4 1)=(0,3) 1 3. v, =(4+,0+3)=(6,3); - D=(6 3,3+)=(3,5) 61 c. v, =(7 63,83+61)=(9,144); 63 D=(9 61,144 63)=(-5,81) d. Zie c. 61 e., dus =(50+10,10+61)=(60,71) en -10 D=(60 61,71+10)=(-1,81). 19. ( 1,- 1 1 ). ( 1 ( 1 1 ),- 1 1 ( ))= ( 1, 1 1 ) 0 M is het midden vn.. M=(1,), M, dus =(1+4, )=(5,0); 4 D=(1 4,+)=(-3,4). 57. M=(-53,57), M, dus - 58 =(-53 58,57 57)=(-111,0); D=(-53+58,57+57)=(5,114) 1. + =4. (,) c. () +() =4=1, dus het centrum eweegt over een cirkel met strl 1 en middelpunt (0,0). d. Zeg =(,0), =(0,). Het midden M vn is dn 1 - (,). M. Noem de eindpunten vn de 1 ndere stf en D, dn =(, ) en D=(+,+). v 48 De krcht vn vectoren
De y-coördint vn istegengesteld n de x-coördint vn ; De y-coördint vn Dis gelijk nde x- coördint vn. Dus loopt over de lijn y=-x en D over de lijn y=x.. v - L en 1 v R. Vectoren die een hoek -1 vn 45 met v mken zijn v + v L = -1 en 3 v + v R = 3. Deze zijn keer zo lng ls v. 1. 1 1 1-3. P, dus Q=(-+,0 )= - 4 (-+,- ). Dn Q en R=(,0+4 )=(-,4 ). c. Het midden vn PR is dn (+-,+(4 )) =(0,), hngt dus niet f vn en. 49 6 nwoorden
1.1 1. v r P w r 1.4 c 1.10 S 1.11 1.1 Sien v r Sien zwemrichting Sien 1.15 De krcht vn vectoren werkld 1
1.16..8 1 3.9.10 c O O De krcht vn vectoren werkld
4.1 v r v r r r r r O O r O r 4. k k O p r P O p r P q r q r k k O p r P O p r P q r q r De krcht vn vectoren werkld 3
4.3 4.5 r y-s r y-s r y-s w r r w r r w r r - x-s - x-s - x-s - v r - v r - v r De krcht vn vectoren werkld 4
ijlge Gelijkvormigheid
Deze ijlge hoort ij het hoofdstuk De krcht vn vectoren juli 011 Opgven gemrkeerd met kunnen worden overgeslgen. Uitgve juli 011 olofon 011 ctwo uteurs d Goddijn, Leon vn den roek, Dolf vn den Homergh Met medewerking vn Josephine uskes, Richrd erends, Sie Kemme, Dick Klingens Illustrties Op dit werk zijn de eplingen vn retive ommons vn toepssing. Iedere geruiker is vrij het mterilen voor eigen, niet-commerciële doeleinden n te pssen. De rechten lijven n ctwo. ijlge Gelijkvormigheid
1 Gelijkvormigheid Twee figuren zijn gelijkvormig ls de ene figuur een vergroting is vn de ndere, eventueel n spiegeling. (Een verkleining is een vergroting met fctor tussen 0 en 1.) De twee driehoeken en PQR hieronder zijn gelijkvormig. P R We noteren dt zó: QPR. We spreken f dt we de volgorde vn de hoekpunten in deze nottie zó nemen dt corresponderende hoekpunten op corresponderende pltsen stn. Hier: correspondeert met Q, correspondeert met P, correspondeert met R. Q 1 3 5 6 Q 4 P Gegeven driehoek met zijden 3, 4 en 5, verder een lijnstuk PQ met lengte 6 cm.. Teken een driehoek PQR zó, dt PQR. ereken de lengte vn de zijden PR en QR.. Teken een driehoek PQR zó, dt PQR. ereken de lengte vn de zijden PR en QR. c. Teken een driehoek PQR zó, dt PQR. ereken de lengte vn de zijden PR en QR. α γ c β Nottie In driehoek noteren we: de zijde tegenover hoek met, de zijde tegenover hoek met, de zijde tegenover hoek met c, de hoek met hoekpunt met α, de hoek met hoekpunt met β en de hoek met hoekpunt met γ. Gelijkvormigheid 1
ls PQR, dn is de vergrotingsfctor p. Mr ook q en c r, dus p q r = =. c In de onderouw he je gezien dt twee driehoeken gelijkvormig zijn ls de hoeken vn de ene driehoek even groot zijn ls de corresponderende hoeken vn de ndere driehoek. Dit geldt niet voor vierhoeken. Lt dt met een vooreeld zien. In het volgende lten we zien dt je verhoudingen nders kunt schrijven. We gn net ls in hoofdstuk 1 op twee mnieren te werk: én lgerïsch én meetkundig. 3 Een rechthoek wordt door een digonl verdeeld in twee stukken met gelijke oppervlkte. Geruik dit om n te tonen dt de twee grijze rechthoeken gelijke oppervlkte heen. 4 In het pltje hieronder is een horizontle hlve lijn h en een verticle hlve lijn v getekend met gemeenschppelijk eginpunt. D is een rechthoek met een zijde op h en een zijde op v. v D h Neem het pltje over.. Teken drie rechthoeken met een zijde op h en een zijde op v die gelijkvormig zijn met D en net ls D de verticle zijde korter heen dn de horizontle zijde.. Wt merk je op over de hoekpunten rechtsoven vn de rechthoeken? ijlge Gelijkvormigheid
5 ekijk nog eens het pltje vn opgve 3. De zijden vn de ene witte rechthoek zijn en, die vn de ndere witte rechthoek c en d.. Druk de oppervlkte vn de grijze rechthoeken in,, c en d uit. c d d. Er geldt ook: =. Wrom? c d lijkr komt de gelijkheid = op hetzelfde neer ls c d = c. d Door eide leden vn de gelijkheid = met hetzelfde c getl te vermenigvuldigen kun je dt ook inzien. c. Met welk getl (uitgedrukt in,, c en d)? d c d = komt ook op hetzelfde neer ls = c d. Hoe kun je dt lten zien? lgerïsch en meetkundig? 6 Veronderstel dt wel of niet-roken niet fhngt vn het feit of iemnd mn of vrouw is. In een enquête werd gevrgd of de persoon mn of vrouw ws en of hij/zij rookte. De resultten stn in de volgende tel: mn vrouw roker 10 90 niet roker 00 Hierin lees je onder ndere f dt er 10 vn de ondervrgden mnnen zijn die roken.. Welk getl verwcht je op lege plts?. Geef twee mnieren om dt getl te erekenen. In opgve 6 kun je zeggen: de getllen in de kolommen heen gelijke verhouding. Je kunt ook zeggen: de getllen in de rijen heen gelijke verhouding, mn vrouw roker niet roker c d Gelijkvormigheid 3
De getllen in de kolommen heen dezelfde verhouding c d etekent: =. De getllen in de rijen heen dezelfde verhouding etekent: =. d c c d d = = d = c c Hierij zijn,, c en d getllen 0. c d = vervngen door d = c noemt men wel: kruislings vermenigvuldigen. 7 In driehoek geldt: =45, = en =3. Vn driehoek KLM is gegeven: K=45. Verder geldt: KL:=KM:.. Teken driehoek. Neem de cm ls eenheid.. Gegeven is: KL=3. ereken KM en teken driehoek KLM. Geldt: KLM? c. Gegeven is: KL=5 ereken KM en teken driehoek KLM. Geldt: KLM? 3 4 5 8 Driehoek hiernst heeft een rechte hoek in. Voor de zijden: zie figuur. Driehoek KLM heeft een rechte hoek in K en KM=6. Verder geldt: KM:=KL:.. ereken de zijden KL en LM.. Zijn de driehoeken KLM en gelijkvormig? Twee driehoeken zijn gelijkvormig ls ze twee hoeken even groot heen; ls ze één hoek even groot heen en de zijden die die hoek vormen in de ene driehoek dezelfde verhouding heen ls die zijden in de ndere driehoek. l eerder heen we opgemerkt: ls KLM, dn k l m = =. Dit komt op hetzelfde neer ls: c : : c = k : l : m ijlge Gelijkvormigheid 4
M l k K m L Gelijkvormigheid KLM = K en = L KLM = K en :c=l:m KLM k l m = = : : c = k : l : m c c Hoe mk je gelijkvormige driehoeken? Teken een stel evenwijdige lijnen: Teken drover heen twee snijdende lijnen: Je krijgt een ptroon vn gelijkvormige driehoeken Dt je gelijkvormige driehoeken krijgt, zie je ls volgt. (We herhlen dit uit de onderouw.) F- en Z-hoeken r r p q p q De lijnen p en q zijn evenwijdig. Dn zijn de hoeken met het puntje erin gelijk. Gelijkvormigheid 5
P Q Q P Specile gevllen vn gelijkvormigheid Zie het pltje hieroven. Omdt de lijnen PQen evenwijdig zijn, geldt: PQ De figuur rechts noemen we wel zndloper. 8 D 4 E x 9 Zie pltje. is een rechthoekige driehoek. Hoek DE is recht. ereken E. D 1 S E 10 Zie pltje. D is een rechthoek vn ij 4. Op D ligt E zó, dt DE=1. Het snijpunt vn E en D is S.. ereken S exct.. G met een erekening n of hoek DS recht is. 4 P 11 In het pltje hiernst is gegeven: P:P=3:7. r r r Er zijn getllen en zó, dt p = + ereken de getllen en. O 1 Gegeven twee gelijkvormige driehoeken met zijden, 3 en 4 en 4, 6 en 8. y 6 3 4 8 4 ereken x en y. Tip. Er zijn nog twee ndere driehoeken gelijkvormig. Schrijf vervolgens een stelsel vn twee vergelijkingen in x en y op, en los dt op. x ijlge Gelijkvormigheid 6
13 In een rechthoekige driehoek is een vierknt getekend, zie pltje hiernst. De rechthoekszijden zijn 4 en 8. ereken de zijde vn het vierknt exct. Gulden rechthoek Een gulden rechthoek heeft de volgende eigenschp. ls je er een vierknt vnf knipt, zie pltje, houd je een rechthoek over die gelijkvormig is met de oorspronkelijke rechthoek. 14 Verhouding vn lengte en reedte in een gulden rechthoek De korte zijde vn de linker rechthoek nemen we 1 en de lnge zijde x.. Druk de zijden vn de rechthoek die je overhoudt in x uit.. Toon n: de rechthoek links is een gulden rechthoek x x 1=0. c. Los de vergelijking exct op. Hoe groot is de zijde x? De lnge zijde vn de rechthoek is dus 1+1 5, dit noemen we het gulden snede getl. De gulden rechthoek vind je terug in kunst, ntuur en rchitectuur. Men eweert dt deze vorm vn lle rechthoeken de mooiste is. Le orusier mkte ijvooreeld geruik vn de gulden snede ij het ontwerpen vn geouwen. x 1 15 De verhouding tussen de zijde en de digonl in een regelmtige vijfhoek Hiernst is een regelmtige vijfhoek getekend met een digonl. De zijde heeft lengte 1 en de digonl lengte x. We tekenen er nog twee digonlen ij. Het snijpunt vn de digonlen E en is S. Gelijkvormigheid 7
E D x S 1. Druk de zijden vn de driehoeken ES en S in x uit. Tip. ESD is een ruit.. Geruik gelijkvormigheid om een vergelijking voor x op te schrijven. c. ereken x. De verhouding tussen de digonl en de zijde vn een regelmtige vijfhoek is het gulden snede getl. D 16 Voor driehoek geldt: =. Verder ligt er op zijde een punt D zó, dt =D=D.. ereken de hoeken vn driehoek. Tip. Noem D=α en druk lle hoeken in de figuur uit in α.. ereken de verhouding :. Tip. Geruik gelijkvormigheid. 17 In driehoek snijdt de issectrice vn hoek de zijde in D. Dn geldt: D:D=:. ewijs dit. Tip. Verleng D. Teken door een lijn evenwijdig n lijn. D S α δ R β 18 Hiernst stt een vierhoek met zijn digonlen.. Lt zien: ls α=β, dn γ=δ.. ls α=β, wt merk je dn op over SRQ QPS? γ P Q 19 Vermenigvuldigen, delen en omgekeerde nemen Gegeven drie lijnstukken vn lengte 1, en.. Hoe mk je een lijnstuk vn lengte? Tip. Geruik een zndloper.. Hoe mk je een lijnstuk vn lengte? ijlge Gelijkvormigheid 8
ntwoorden 1. PR = 6 3 = 1 4 4, QR = 6 5 = 1 4 7. PR = 6 4 8 3 =, QR = 6 5 10 3 = c. PR = 6 3 = 3, 6, QR = 6 4 = 4, 8 5 Dt zou ijvooreeld etekenen dt lle rechthoeken gelijkvormig zijn. 5 3 q r u p s t Noem die oppervlktes p, q, r, s, t en u. Dn: p+q+r=s+t+u, p=s en r=u, dus q=t. 4. Die liggen op lijn. 5. Linksoven: d en rechtsonder c.. Dt is de helling vn de rechthoek linksonder respectievelijk rechtsoven. c. c d. lgerïsch: ls je eide leden vn de eerste gelijkheid met c vermenigvuldigt en de eide leden vn de tweede vergelijking met dn krijg je in eide gevllen d=c. Meetkundig volgt het uit de gelijkvormigheid vn de twee witte rechthoeken. 6. 150. 00 90 en 90 00 10 10 7. 3 45 M. 3:=KM:3, dus KM=41 J K 45 41 3 L ntwoorden 9
c. KM=71 M 71 J K 45 5 L 8. KL:=LM:, dus 6:3=LM:4, dus LM=8 en KM= 7. Nee 8 D 4 E x 9 = 10 + 4 = 6 en E = D = 0 4 5 Dus E=54. 10. E = + 1 = 5. Driehoek DSE is gelijkvormig met S. Dus S:ES=:DE=4:1, dus S = 4 5. 5. D = + 4 = 5 en DS = 1 5 5 5 = 5 D = 4 en DS + S = 4 + 16 = 4, dus j. 5 5 Of (ijvooreeld): de driehoeken DE en SD heen hoek hetzelfde en S:D=D:E, dus DE SD, dus SD= DE=90. O Q P 11 Trek de lijn door P evenwijdig O. Dn is driehoek QP 7 gelijkvormig met driehoek O. Dus Q = 10 O en dus OQ 10 3 = O. Trek ook de lijn door P evenwijdig O en noem het snijpunt met O: R. Dn is 7 3 Dus = en =. 10 10 OR 10 7 = O. 1 Zie pltje. 6 3 4 4 D y x T 8 De grijze driehoeken zijn gelijkvormig, dus =. Mr dn DT T (twee hoeken gelijk). ijlge Gelijkvormigheid 10
Dus: T T = D y x + 4 = + 8 7 8 en DT T = D dus: 8 y + 3 = 7x + 56 en x = 7 y. 8 Dus: 8y + 3 = 7 7 y + 56, dus y=1,8 en x=11,. 8 x y 7 = 8, x x 8 x 13 De grijze driehoek is gelijkvormig met de hele driehoek, x 1 dus: = x = 8 x x = 8 x 3 14. 1 en x 1. De witte rechthoek links is gelijkvormig met de witte x 1 rechthoek rechts, dus: = 1 1 = x x 1 x x x 1 1 1 D c. x = 1 + 1 5 of x = 1 1 5. Omdt x > 0, is x = 1 + 1 5. E x S 1 15. D//E en ED// vnwege symmetrie, dus ESD is een prllellogrm, zelfs een ruit. Dus ES=S=1 en S=S=x 1. E ES. = x = 1 x x 1= 0 S x 1 c. Zie de vorige opgve: x = 1 + 1 5 16. D=α, dn D=α en D=α (uitenhoek vn driehoek D. Dus D=α, dn ook =α. Hoekensom in driehoek geeft: 5α=180, dus α=36. De hoeken zijn dus 7, 7 en 36 grden.. Stel =1, en =x, dn D=D==1, dus D=x 1. De gelijkvormigheid vn de driehoeken D en geeft: =, dus we krijgen weer: D x 1 = x 1, zie vorige opgve dus de verhouding is: 1 1 ( 5 ): 1 x : 1 = +. 1 Je zou ook kunnen vinden (dt is hetzelfde): 1: ( ) zie ijlge 1. 1 5, ntwoorden 11
D 17 Noem E het snijpunt vn de lijnen D en de lijn door evenwijdig met. Dn zijn de hoeken E en E even groot (Z-hoeken), dus E=. De gelijkvormigheid D vn de driehoeken D en DE geeft: = E D D Dus =. D E S α δ T R β 18. Zie pltje: STP RTP (twee gelijke hoeken), dus PT:TQ=ST:TR. Omdt ook de hoeken STR en PTQ even groot zijn, zijn dn ook de driehoeken STR en PTQ. SRQ + SPQ = β + SRP + SPR + γ = α + SRP + SPR + δ = PSR + SRP + SPR = 180. γ P Q 19. Teken een willekeurige driehoek S met S=1 en S=. Teken op het verlengde vn S ij S zó, dt S=. De lijn door evenwijdig n snijdt lijn S in X. Dn heeft SX lengte ; g dt n. 1 S x. Teken nu op het verlengde vn S ij S, zó dt S =. De lijn door evenwijdig n snijdt lijn S in X. Dn heeft SX lengte ; g dt n. X 1 S x X ijlge Gelijkvormigheid 1