1A vwo Leeroek Wiskunde www.leerling.noordhoff.nl
9e editie Moderne wiskunde vwo deel 1A
Serieoverziht Onderouw vmo vmo vmo havo/vwo vwo 1 1 vmo asis 1 vmo k(gt) 1 vmo gt(h) 1 havo/ vwo 1 vwo 2 2 vmo asis 2 vmo k(gt) 2 vmo gt(h) 2 havo/ vwo 2 vwo 3 3 vmo asis 3 vmo kader 3 vmo gt 3 havo 3 vwo 4 4 vmo asis 4 vmo kader 4 vmo gt 345/1110 2007 Noordhoff Uitgevers v, Groningen, The Netherlands Behoudens de in of krahtens de Auteurswet van 1912 gestelde uitzonderingen mag niets uit deze uitgave worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensestand of openaar gemaakt, in enige vorm of op enige wijze, hetzij elektronish, mehanish, door fotokopieën, opnamen of enig andere manier, zonder voorafgaande shriftelijke toestemming van de uitgever. Voor zover het maken van reprografishe verveelvoudigingen uit deze uitgave is toegestaan op grond van artikel 16h Auteurswet 1912 dient men de daarvoor vershuldigde vergoedingen te voldoen aan Stihting Reproreht (Postus 3060, 2130 KB Hoofddorp, www.reproreht.nl). Voor het overnemen van korte gedeelte(n) uit deze uitgave in loemlezingen, readers en andere ompilatiewerken (artikel 16 Auteurswet 1912) kan men zih wenden tot Stihting PRO (Stihting Puliatie- en Reprodutierehten Organisatie, Postus 3060, 2130 KB Hoofddorp, www.edar.nl/pro). Voor het overnemen van niet-korte gedeelte(n) dient men zih rehtstreeks te wenden tot de uitgever. All rights reserved. No part of this puliation may e reprodued, stored in a retrieval system, or transmitted, in any form or y any means, eletroni, mehanial, photoopying, reording or otherwise, without the prior written permission of the pulisher. ISBN 978-90-01-60158-4
9e editie Moderne wiskunde vwo deel 1A Ineke de Bruijn Wim Doekes Emile van der Eijk Sjeng Greefkens Ton Koens Douwe Kok Erik Nauta Gerard van Proosdij Colin Roll Geertrui Shaerg Ron Sinkeldam Noordhoff Uitgevers Groningen
Inhoud Blok 1 - Meetkunde Blok 2 - Algera Hoofdstuk 1 - Ruimtefiguren 12 Voorkennis 14 1-1 Ruimtefiguren 16 1-2 Van oven ekeken 18 1-3 Aanzihten 20 1-4 Kijklijnen 22 1-5 Waar sta je? 24 1-6 Gemengde opdrahten 26 ICT Aanzihten 28 Samenvatting 30 Test jezelf 32 Hoofdstuk 2 - Hoeken en afstanden 34 Voorkennis 36 2-1 Lijnen 38 2-2 Afstanden 40 2-3 Reht, sherp en stomp 42 2-4 Hoeken meten 44 2-5 Hoeken tekenen 46 2-6 Gemengde opdrahten 48 Samenvatting 50 Test jezelf 52 Blok 1 - Vaardigheden Extra oefening - Basis 56 Extra oefening - Gemengd 58 Complexe opdrahten 60 Tehnishe vaardigheden 62 Door elkaar 64 Blok 1 - Keuzemenu Verdieping - Regelmatige veelvlakken 66 Projet - Zonnige tijden 70 ICT Projet - Uitslagen 74 Hoofdstuk 3 - Grafieken 78 Voorkennis 80 3-1 Stijgen en dalen 82 3-2 Grafieken in een assenstelsel 84 3-3 Werken met oördinaten 86 3-4 Grafieken tekenen 88 3-5 Ertussen en verderop 90 3-6 Gemengde opdrahten 92 ICT Grafieken in een assenstelsel 94 Samenvatting 96 Test jezelf 98 Hoofdstuk 4 - Negatieve getallen 100 Voorkennis 102 4-1 Positief en negatief 104 4-2 Blokjes erin 106 4-3 Blokjes eruit 108 4-4 Vermenigvuldigen en delen 110 4-5 Tekenen in vier kwadranten 112 4-6 Gemengde opdrahten 114 ICT Blokjes erin of eruit 116 Samenvatting 118 Test jezelf 120 Blok 2 - Vaardigheden Extra oefening - Basis 124 Extra oefening - Gemengd 126 Complexe opdrahten 128 Tehnishe vaardigheden 130 Door elkaar 132 Blok 2 - Keuzemenu Verdieping - Punten verinden 134 Projet - Gezondheid 138 ICT Projet - Het weer 142
Blok 3 - Rekenen Hoofdstuk 5 - Getallen 146 Voorkennis 148 5-1 Breuken 150 5-2 Volgorde ij erekeningen 152 5-3 Deimale getallen 154 5-4 Kwadraten 156 5-5 Mahten 158 5-6 Gemengde opdrahten 160 Samenvatting 162 Test jezelf 164 Hoofdstuk 6-Verhoudingen 166 Voorkennis 168 6-1 Verhoudingstaellen 170 6-2 Proenten 172 6-3 Shaal 174 6-4 Cirkeldiagrammen 176 6-5 Gemengde opdrahten 178 Samenvatting 180 Test jezelf 182 Blok 3 - Vaardigheden Extra oefening - Basis 186 Extra oefening - Gemengd 188 Complexe opdrahten 190 Tehnishe vaardigheden 192 Door elkaar 194 Blok 3 - Keuzemenu Verdieping - Priemgetallen 196 Projet - Het inaire stelsel 200 ICT Projet - Rekenen in Exel 204 Antwoorden Test jezelf 208 Trefwoorden 215
Hoe werk je met Moderne wiskunde De methode Moderne wiskunde estaat uit een leeroek, een werkoek en ICT. Leeroek Het leeroek is opgedeeld in drie lokken. Elk lok estaat uit twee hoofdstukken, Vaardigheden en een Keuzemenu. HOOFDSTUK Voorkennis Paragrafen Leerstofvervangende ICT-paragraaf Samenvatting Test jezelf VAARDIGHEDEN Extra oefening op paragraafniveau Extra oefening op hoofdstukniveau Complexe opdrahten Tehnishe vaardigheden Door elkaar KEUZEMENU Verdieping Projet ICT Projet Werkoek Knoppenursus VU-Grafiek, Exel en Doorzien Werk- en knipladen Computer Instaptoets aan egin van klas 1 Extra uitleg ij de theorie en oefenopdrahten ICT paragraaf ij ieder hoofdstuk met opdrahten Test jezelf ij ieder hoofdstuk ICT projet met de omputer 6
Werken met het leeroek Met de voorkennisparagraaf aan het egin van ieder hoofdstuk haal je de enodigde kennis weer op. In een paragraaf staat de theorie duidelijk omshreven met één of meer uitgewerkte vooreelden. In ijna ieder hoofdstuk kun je één of meer paragrafen ook op de omputer doen. Aan het eind van een lok vind je tien pagina s met extra oefeningen van wiskundige vaardigheden. In het keuzemenu vind je een verdiepingsparagraaf. Het Keuzemenu estaat verder uit twee projeten. 7
Werken met het werkoek Als in je hoofdoek een voor een opdraht staat, dan vind je in je werkoek een ijehorend werklad. Voor in het werkoek vind je voor de omputerprogramma s VU-Grafiek, Exel en Doorzien een handig overziht van vaak geruikte opties. 8
Werken met de omputer Bij sommige theorie in je leeroek staat op de omputer extra uitleg met extra oefeningen. Bij ieder hoofdstuk vind je op de omputer een digitale test jezelf. Zo kun je ontroleren of je de leerstof goed egrepen het. Als in je oek een staat, dan kun je op de omputer een estand openen. Dit estand he je nodig ij de opdraht. Ook ij het ICT-projet he je de omputer nodig. Als er een in het oek staat, dan moet je op de omputer een estand openen. 9
Werken met Moderne wiskunde Dit jaar krijg je waarshijnlijk voor het eerst wiskunde. Dat doe je met dit oek, een werkoek en met de omputer. Deze ladzijden helpen je om hier goed mee te leren werken. Je ontdekt wat je straks tegenkomt en wat dat etekent. 1a Op ladzijde 12 egint hoofdstuk 1. Op de linker ladzijde zie je een opdraht. Waar gaat deze opdraht over? Elk hoofdstuk egint met een voorkennisparagraaf. Waarover gaat de voorkennisparagraaf van hoofdstuk 1? 2a THEORIE In paragraaf 1-1 staat een theorievlak. In zo n theorievlak staan dingen die je moet weten. Waarover gaat het theorievlak in paragraaf 1-1? Als een woord vet is gedrukt, dan is dat een elangrijk woord waarvan je de etekenis moet kennen. Welke woorden zijn er in het theorievlak van paragraaf 1-1 vet gedrukt? In dit oek kom je vershillende symolen in de kantlijn tegen. In het werkoek staat ij deze opdraht een plaatje dat je kunt geruiken. Op de omputer staat een programma dat je ij deze opdraht nodig het. Je vindt deze programma s op www.leerling.noordhoff.nl 3a Bij opdraht 1 op ladzijde 16 staat in de kantlijn. Op welke ladzijde in het werkoek vind je de tekening die je nodig het? Hoe heet het programma dat je ij opdraht I-2 op ladzijde 28 nodig het? 4a Op ladzijde 44 staat een aanpakvlak. In zo n aanpakvlak staat altijd hoe je iets moet doen. Waarover gaat het aanpakvlak op ladzijde 44? Welk symool staat er in de kantlijn voor het aanpakvlak? Welke etekenis heeft dit symool? 10
AANPAK Hoe ereid je je voor op een proefwerk? Aan het eind van elk hoofdstuk staat een samenvatting. Bestudeer die altijd goed. Daarna kun je de opdrahten van test jezelf maken om erahter te komen of je alles egrepen het. De antwoorden van test jezelf staan ahter in dit oek. Je kunt ook test jezelf op de omputer maken. 5a Op welke ladzijde egint de samenvatting van hoofdstuk 1? Hoeveel vershillende onderwerpen staan er in die samenvatting? 6a Op welke ladzijde staat test jezelf van hoofdstuk 1? Waar vind je de antwoorden van deze test jezelf? En op welke ladzijde? 7a Ahterin het oek staan trefwoorden. Op welke ladzijde staan de trefwoorden? Zoek in de trefwoorden het woord vierkant op. Op welke ladzijden komt het woord vierkant in het oek voor? Zoek de eerste ladzijde op waar het woord vierkant staat en shrijf op wat er over het vierkant staat. 8 Na ieder lok van twee hoofdstukken vind je tien pagina s met extra oefenopdrahten. a Op welke ladzijde eginnen deze extra oefenopdrahten ij lok 1? Welke vijf soorten oefenopdrahten vind je daar? Geef ij elke soort een korte omshrijving. 9a Op ladzijde 70 van dit oek staat een projet. Wat ga je maken in dit projet? Wat he je nodig om dit projet te maken? 11
Figuren indelen Hoe zou jij de figuren hieroven in groepen indelen? Leg uit hoe je dat doet.
Hoofdstuk 1 Ruimtefiguren In dit hoofdstuk Voorkennis 14 1-1 Ruimtefiguren 16 1-2 Van oven ekeken 18 1-3 Aanzihten 20 1-4 Kijklijnen 22 1-5 Waar sta je? 24 1-6 Gemengde opdrahten 26 ICT Aanzihten 28 Samenvatting 30 Test jezelf 32
Hoofdstuk 1 Voorkennis V-1 Bekijk de artikelen hieroven. a De verpakking van de soepstengels estaat uit zes rehthoekige zijkanten. Die zijkanten heen niet allemaal dezelfde vorm. Hoeveel vershillende vormen heeft de verpakking? Hoeveel van de zes zijkanten van de verpakking van de soepstengels kun je op de foto zien? Waarom kun je de andere zijkanten niet zien? Welke andere artikelen heen ook een verpakking met zes zijkanten? d Welke artikelen heen een verpakking met ongeveer dezelfde vorm als Calvé pindakaas? THEORIE Verpakkingen van artikelen heen vaak de vorm van een alk, een kuus, een piramide, een ol of een ilinder. alk kuus piramide ol ilinder V-2 Neem de tael hieronder over en vul de namen van de artikelen op de foto van opdraht V-1 verder in. alk kuus piramide ol ilinder up a soup................................. hoomel...... 14
Hoofdstuk 1 V-3 Hiernaast zie je een figuur met zes gekleurde vierkantjes. a Neem de figuur over, knip hem uit en proeer de figuur diht te vouwen. Hoe heet de verpakking die je zo krijgt? Als de groene kant de odem van de verpakking is, welke kleur komt dan oven te liggen? 4 m 4 m THEORIE Van een verpakking kun je een uitslag of een ouwplaat maken. Hiernaast zie je een uitslag van een kuus. V-4 Elk van de uitslagen hieronder hoort ij één van de verpakkingen van de artikelen op de foto van opdraht V-1. 1 2 3 a Welk artikel hoort ij uitslag 1? En welk artikel hoort ij uitslag 2? En ij uitslag 3? Teken zo goed mogelijk een uitslag van de verpakking van de smarties. V-5 De figuur hiernaast is gemaakt van een alk waarvan een gedeelte tot halverwege de randen gekleurd is. a Hoeveel zijkanten heeft de figuur? Shrijf van elke zijkant op welke vorm die heeft. Teken op ware grootte een uitslag van de figuur. Teken eerst de uitslag van de hele alk en kleur daarna het gekleurde gedeelte. V-6 Van welke uitslagen hieronder kun je een kuus maken? Leg ij de andere uitslagen uit waarom daarvan geen kuus gemaakt kan worden. 6 m 2 m 2 m A B C D E 15
Hoofdstuk 1 1-1 Ruimtefiguren 1a d e f g h i Neem de uitslag hiernaast over en knip hem uit. Welke figuur krijg je als je de uitslag over de rode lijntjes dihtvouwt? Hoeveel zijkanten heeft de gemaakte figuur? Hoeveel randen heeft de gemaakte figuur? En hoeveel punten? Welke vorm heeft de odem? De driehoekige zijkanten zijn allemaal gelijk. Hoe weet je dat? Bekijk je eigen figuur reht van oven met één oog diht. Teken op ware grootte wat je ziet. Kijk nu reht van voren naar je figuur zodat je maar één zijkant ziet. Teken wat je ziet. THEORIE Balk, kuus, piramide, ol en ilinder zijn vooreelden van ruimtefiguren. De zijkanten van een ruimtefiguur noem je grensvlakken. De randen waar de grensvlakken ij elkaar komen noem je rien. De punten waar de rien ij elkaar komen noem je hoekpunten. Bij het tekenen van een ruimtefiguur worden de rien die je niet kunt zien gestippeld. grensvlak rie hoekpunt 2a d Hoeveel grensvlakken heeft de ruimtefiguur hiernaast? En hoeveel rien? En hoeveel hoekpunten? Leg uit hoe je de ruimtefiguur hiernaast kunt maken van één van de ekende ruimtefiguren. 3 Hieronder zie je vier ruimtefiguren. a Shrijf van elke figuur de naam, het aantal grensvlakken, het aantal rien en het aantal hoekpunten op. Waarom zijn sommige rien gestippeld? 1 2 3 4 16
Hoofdstuk 1 4 Hiernaast staat een tekening van een ruimtefiguur. a Uit welke twee ekende ruimtefiguren estaat deze figuur? Hoeveel grensvlakken heeft de ruimtefiguur? Welke vormen heen de grensvlakken? d Hoeveel hoekpunten heeft de ruimtefiguur? e Hoeveel rien zijn er gestippeld? 5 John gaat draadmodellen maken van twee piramides en een kuus. Hiernaast zie je een draadmodel van een piramide. a Hoe kun je aan de tekening zien dat het een draadmodel is? De odem van de eerste piramide wordt een vierkant met zijden van 4 m. Hoeveel ijzerdraad heeft hij nodig voor zijn eerste piramide als de opstaande rien elk 7 m lang worden? Voor zijn tweede piramide wil hij een stuk ijzerdraad van 50 m geruiken. De odem wordt weer een vierkant met zijden van 4 m. Hoe lang worden de opstaande rien van deze piramide? d Voor de kuus heeft hij nog 30 m ijzerdraad over. Hoe lang worden de rien van de kuus als hij al het ijzerdraad geruikt? draadmodel 6 De linker ruimtefiguur hiernaast heeft twaalf grensvlakken. Elke rie is even lang. Ernaast staat een draadmodel van de ruimtefiguur. a d Hoeveel rien heeft de ruimtefiguur? Elke rie van het draadmodel is 8 m lang. Hoeveel m ijzerdraad is er voor dit draadmodel in totaal nodig? Hoeveel hoekpunten heeft de ruimtefiguur? Waarom zijn de rien in het draadmodel niet gestippeld? 7a Is tekening 1 hieronder een uitslag van een ruimtefiguur? Zo ja, shrijf dan de naam van die ruimtefiguur op. Zo nee, shrijf dan op waarom niet. Doe opdraht a ook voor de andere tekeningen hieronder. 1 2 3 4 17
Hoofdstuk 1 1-2 Van oven ekeken 8a d Neem de ouwplaat van de kuus hiernaast twee keer over, knip de ouwplaten uit en zet ze in elkaar. Bewaar de kuussen goed want in dit hoofdstuk he je ze nog nodig. Bekijk één kuus reht van oven met één oog diht. Teken op ware grootte wat je ziet. Hoe heet de ruimtefiguur die je krijgt als je twee kuussen met de grensvlakken tegen elkaar aan zet? Bekijk de ruimtefiguur van opdraht reht van oven met één oog diht. Teken wat je ziet op ware grootte. 4 m 4 m 4 m THEORIE Als je reht van oven op een ruimtefiguur kijkt, dan zie je een ovenaanziht. Een ovenaanziht is een soort plattegrond van de ruimtefiguur. In een ovenaanziht kun je niet zien hoe hoog de ruimtefiguur is. 9 Hiernaast zie je een piramide met zijn ovenaanziht. a Hoeveel grensvlakken heeft deze piramide? Welke vorm heeft de odem? Hoeveel rien en hoeveel hoekpunten heeft deze piramide? ovenaanziht 10 Hiernaast zie je een draadmodel. Alle rien zijn 5 m lang. a Hoeveel grensvlakken heeft dit draadmodel? En hoeveel hoekpunten? Hoeveel m ijzerdraad is er in totaal nodig voor dit draadmodel? d Teken op ware grootte een ovenaanziht. e Van welke ruimtefiguur is het ovenaanziht gelijk aan het ovenaanziht van opdraht d? 11a Bedenk ij elk van de onderstaande ovenaanzihten een ijpassende ruimtefiguur. Kun je aan de ovenaanzihten zien welke ruimtefiguur het hoogste is? Leg je antwoord uit. 1 2 3 4 5 18
Hoofdstuk 1 1 m 5 m 5 m 2 m 12 Hieroven zie je een ouwplaat van een doosje met een vorm van een alk. De zijden zijn 5 m, 2 m en 1 m. De onderkant van het doosje is lauw gekleurd. Langs die kant loopt een patroon van driehoekjes. a Op hoeveel grensvlakken staan er driehoekjes? Teken ook langs de ovenkant van het doosje hetzelfde patroon van driehoekjes en kleur de ovenkant en de driehoekjes. Knip de ouwplaat uit en zet het doosje in elkaar. Controleer of het patroon regelmatig doorloopt. Bewaar het doosje goed, want in dit hoofdstuk he je het nog nodig. d Door het doosje te draaien kun je drie vershillende ovenaanzihten krijgen. Teken deze drie vershillende ovenaanzihten op ware grootte. 13 Met de alk van opdraht 12 en één kuus van opdraht 8 kun je een trapje maken zoals hiernaast. a Teken op ware grootte een ovenaanziht van dit trapje. Kun je in het ovenaanziht zien hoe hoog dit trapje is? Hoe hoog is dit trapje in werkelijkheid? 14 Hieronder zie je twee kunstwerken. a Waaraan kun je zien dat de kunstwerken draadmodellen zijn? Welke twee ruimtefiguren herken je in kunstwerk 1? Teken een ovenaanziht van kunstwerk 1. d Doe opdraht en opdraht ook voor kunstwerk 2. 1 2 19
Hoofdstuk 1 1-3 Aanzihten Deze paragraaf kan ook met de omputer gedaan worden. A B C 15 Een fotograaf is om een tafel met ruimtefiguren gelopen en heeft de foto s hieroven gemaakt. Hiernaast zie je het ovenaanziht. Er is met pijltjes aangegeven vanuit welke rihting de foto s genomen zijn. a Foto A is genomen vanuit rihting 4. Leg uit hoe je dat kunt zien. Vanuit welke rihting is foto B genomen? En foto C? Hoe komt het dat op foto C maar twee figuren te zien zijn? d Uit één van de vier rihtingen staat er geen foto. Laat met een tekening zien hoe die foto eruit ziet. e Kun je in het ovenaanziht zien welke figuur het hoogst is? 1 4 2 3 THEORIE Een zijaanziht krijg je als je een ruimtefiguur reht van opzij ekijkt. Als je een ruimtefiguur reht van voren ekijkt, krijg je een vooraanziht. In een zijaanziht of een vooraanziht kun je niet zien hoe groot het grondvlak is. Om een goed eeld van een ruimtefiguur te krijgen, he je daarom ook een ovenaanziht nodig. De aanzihten hiernaast horen ij het kuusouwsel eronder. ovenaanziht vooraanziht zijaanziht 16a d e f Uit hoeveel kuusjes estaat het kuusouwsel hiernaast? Als je reht van ahteren tegen het kuusouwsel aan kijkt, he je een ahteraanziht. Teken een ahteraanziht. Is het ahteraanziht preies hetzelfde als het vooraanziht? Is het rehterzijaanziht hetzelfde als het linkerzijaanziht? En is het onderaanziht hetzelfde als het ovenaanziht? Bedenk een ruimtefiguur waarvan alle aanzihten aan elkaar gelijk zijn. ovenaanziht vooraanziht zijaanziht 20
Hoofdstuk 1 oven oven oven voor zij voor voor zij 1 2 3 zij 17 Hieroven zie je drie kuusouwsels. a Shrijf van elk ouwsel op uit hoeveel kuusjes het estaat. Teken voor elk kuusouwsel een ovenaanziht, een vooraanziht en een zijaanziht. 18 Om duidelijk te maken hoe een kuusouwsel er uitziet kun je in een ovenaanziht aangeven hoeveel kuusjes er op elkaar staan. Hiernaast zie je zo n ovenaanziht. a Teken een vooraanziht van dit kuusouwsel. Teken ook een zijaanziht. 1 3 2 1 1 1 4 1 1 voor zij 19 Van een kuusouwsel zie je hiernaast twee aanzihten. a Bedenk een kuusouwsel dat past ij deze aanzihten en teken een vooraanziht van dat kuusouwsel. Hoeveel kuussen kun je maximaal geruiken om een kuusouwsel te maken dat past ij de twee aanzihten? Hoeveel kuussen he je minstens nodig? oven zij 20a d Bouw met de kuussen van opdraht 8 en de alk van opdraht 12 het ruggetje hiernaast. De pijltjes geven de rihtingen aan van waaruit de tekenaar het ruggetje tekende. Ga ij elk plaatje hieronder na ij welk pijltje de tekenaar stond. Krijgt de tekenaar als hij reht tegenover pijltje 3 staat, hetzelfde plaatje als ij pijltje 3? Waarom krijgt hij als hij ij pijltje 2 staat niet hetzelfde plaatje als wanneer hij ij pijltje 4 staat? 2 3 1 4 A B C D 21
Hoofdstuk 1 1-4 Kijklijnen 21 Hieroven zie hoe een aantal kinderen in een tuin staan. Ernaast zie je een ovenaanziht van de situatie. a Denk je dat John zijn vriend Manuel kan zien? Wie van de andere kinderen kan Manuel zien? Kan een van de kinderen John zien? THEORIE Een kijklijn is een denkeeldige lijn vanuit je oog naar een voorwerp. In de tekening hiernaast kan Chantal Claire niet zien omdat er iets in de weg staat. De kijklijn van Chantal naar Claire wordt onderroken. Chantal kan Jan wel zien. De kijklijn van Chantal naar Jan wordt niet onderroken. 22a Kijk nog een keer naar het ovenaanziht van opdraht 21. Zoek met ehulp van kijklijnen uit hoeveel oomstronken Henk kan zien. Hoeveel oomstronken kan Manuel zien? d Welke kinderen kunnen het hele poortje zien? Er komt een man langs. Hij lijft ij het poortje staan. Hij kan drie oomstronken zien. Staat de man ij punt A of ij punt B? 23 Hiernaast zie je een plattegrond van een tuin. a Neem de tekening over en maak met kijklijnen duidelijk hoeveel palen Rina kan zien. Hoeveel palen kan Tom zien? Teken de plaatsen van waaruit je nog net alle dertien palen kunt zien. 22
Hoofdstuk 1 24 Jasper zit aan zijn ureau en Tamara zit op de ank tegenover hem. De twee ramen in de kamer lopen tot aan de vloer. Hieroven zie je een plattegrond van de kamer en de tuin. a Kan Tamara de kat zien? En Jasper? Kleur de gedeelten van de tuin die Tamara vanaf haar plaats kan zien geel. Kleur de gedeelten van de tuin die Jasper vanuit zijn plaats kan zien rood. d Welke kleur heen de gedeelten van de tuin die Jasper en Tamara alleei kunnen zien? e Jasper staat op en gaat zo in de kamer staan dat de vuilnisak en de tuinkaouter op dezelfde kijklijn staan. Geef met een kruisje aan waar Jasper kan staan. f Geef met kruisjes nog drie plaatsten waar Jasper kan staan. 25 Aan alle vier kanten van de toren hangt een klok. Toh kun je niet overal vandaan zien hoe laat het is. Soms staat een flat tussen jou en de klok. a De tekening hieronder is van opzij gemaakt. In de tekening zijn drie plaatsen op de grond met ijfers aangegeven. Vanaf welke plaats is de tekening hiernaast gemaakt? Vanaf de ene plaats zie je meer van de toren dan vanaf de andere plaats. Neem de tekening hieronder over en kleur het gedeelte van de toren dat je vanaf plaats 2 kunt zien. d Kun je vanaf plaats 1 het haantje van de toren zien? Kleur in de tekening het geied op de grond waar vandaan je het haantje op de toren kunt zien. 23
Hoofdstuk 1 1-5 Waar sta je? 26 Op een tafel staat een aantal voorwerpen. Julia heeft er een tekening van gemaakt. Naast de tekening zie je een ovenaanziht van de tafel. a Hoe kun je zien dat Julia ij het maken van haar tekening ergens op de getekende lijn heeft gestaan? Je kunt nog een kijklijn aangeven waarop Julia stond toen ze de tekening maakte. Teken deze kijklijn in het ovenaanziht. Geef op je tekening aan waar Julia heeft gestaan. AANPAK Hoe kun je ij een foto of een tekening uitzoeken waar de maker stond? 1 Zoek op de foto of tekening twee lijnen die preies op elkaar lijken te liggen. 2 Teken in een ovenaanziht de twee kijklijnen die daarij horen. 3 Het snijpunt van deze twee kijklijnen is de plaats waar de maker stond. Vooreeld 1 2 3 De stoel en de struik lijken op een lijn te staan. De kruiwagen en de oom ook. Trek in het ovenaanziht een lijn door de stoel en de struik. Trek ook een lijn door de kruiwagen en de oom. Het snijpunt is de plaats waar de fotograaf stond. 24
Hoofdstuk 1 27 Je gaat uitzoeken waar de fotograaf in de plattegrond hieroven stond toen hij de foto s maakte. a Zet de letter A op de plaats vanwaar de linker foto genomen is. Zet de letter B op de plaats vanwaar de rehter foto genomen is. 28 Hieronder staan twee tekeningen die een tekenaar van een entrum heeft gemaakt. a Je gaat in de plattegrond hiernaast uitzoeken waar hij stond toen hij tekening 1 maakte. In tekening 1 lijkt het of een rie van het gele geouw en een rie van het lauwe geouw op elkaar liggen. Teken de kijklijn die hierij hoort in de plattegrond. Zoek de tweede kijklijn en de plaats van de tekenaar. Geef die plaats aan met de letter S. Zoek op dezelfde manier de plaats waar de tekenaar stond toen hij tekening 2 maakte. Zet de letter T ij die plaats. 29 De tekenaar heeft nog een tekening van het entrum gemaakt waarij rien op elkaar lijken te liggen. Je ziet dat in de tekening hiernaast. Waar stond de tekenaar? Geruik de plattegrond van opdraht 28 en zet op de plaats waar de tekenaar stond een stip met de letter R. 25
Hoofdstuk 1 1-6 Gemengde opdrahten 30 Naast de linker ruimtefiguur hieroven is een draadmodel getekend. De ruimtefiguur estaat uit allemaal dezelfde driehoekjes. a Hoeveel grensvlakken heeft de linker ruimtefiguur? En hoeveel rien? d En hoeveel hoekpunten? Voor het draadmodel is in totaal 120 m ijzerdraad geruikt. Hoe lang is een rie? 31 De kuus hieroven heeft rien van 5 m. a Hoeveel rien en hoeveel hoekpunten heeft de kuus? Bij de kuus wordt ij elk hoekpunt op 1 m van het hoekpunt een stukje afgezaagd. Welke vorm heen de afgezaagde stukjes? Hoeveel grensvlakken, hoekpunten en rien heeft de nieuwe ruimtefiguur? d Teken op ware grootte het ovenaanziht van de nieuwe ruimtefiguur. 32 Hiernaast zie je twee aanzihten van een kuusouwsel. a Bedenk een kuusouwsel dat zo n vooraanziht en zo n zijaanziht heeft en dat estaat uit elf kuussen. Teken een ovenaanziht van je kuusouwsel en geef erin aan hoeveel kuussen op elkaar staan. Hoeveel kuussen kun je maximaal geruiken ij deze aanzihten? Elke kuus moet met minstens één vlak tegen een andere liggen. d En hoeveel minimaal? 33 Van zes kuusouwsels staan hieronder de plattegronden. Welke van deze kuusouwsels zijn gelijk? vooraanziht zijaanziht 2 1 1 2 2 2 2 3 2 3 1 1 3 3 1 3 1 2 1 1 3 2 A B C D E F 26
Hoofdstuk 1 34 Karel staat op de parkeerplaats voor het gele geouw en kijkt tussen het gele en het rode geouw door. a Kijk zowel naar de tekening van wat Karel ziet als naar de plattegrond ernaast. Teken op de plattegrond de plaats waar Karel staat. Kleur op de plattegrond het geied ahter de geouwen dat Karel niet kan zien. Als het donker is zie je alleen de silhouetten van de drie geouwen. Vanuit welke windrihting zie je het aanziht hiernaast? 35 Jasper wil een alk van rietjes maken. Hij heeft zes rietjes van 8 m en zes rietjes van 10 m. Is het mogelijk dat Jasper een draadmodel van de alk maakt zonder de rietjes te knippen? Verklaar je antwoord. 36 Hiernaast zie je de uitslag van een doelsteen. a Hoeveel ogen zitten er, als je de doelsteen in elkaar vouwt, tegenover de 1? En hoeveel ogen zitten er tegenover de 2? En hoeveel tegenover de 3? d Hoeveel is som van het aantal ogen op de zijden die tegenover elkaar staan? e Teken een andere uitslag van een doelsteen. 37 Hiernaast zie je een tekening en een ovenaanziht van een kuusouwsel. Het kuusouwsel estaat uit vijf kuussen en is twee kuussen hoog. a Teken alle vershillende ovenaanzihten van ouwsels die uit vijf kuussen estaan en één kuus hoog zijn. Hoeveel vershillende ovenaanzihten estaan er van kuusouwsels die uit vijf kuussen estaan en twee kuussen hoog zijn? Hoeveel vershillende ovenaanzihten van kuusouwsels die estaan uit vijf kuussen zijn er in totaal? 2 2 1 ovenaanziht 27
Hoofdstuk 1 ICT Aanzihten Deze ICT paragraaf vervangt paragraaf 1-3. A B C I-1 Een fotograaf is om een tafel met ruimtefiguren gelopen en heeft de foto s hieroven gemaakt. Hiernaast zie je het ovenaanziht. Er is met pijltjes aangegeven vanuit welke rihting de foto s genomen zijn. a Foto A is genomen vanuit rihting 4. Leg uit hoe je dat kunt zien. Vanuit welke rihting is foto B genomen? En foto C? Hoe komt het dat op foto C maar twee figuren te zien zijn? d Uit één van de vier rihtingen staat er geen foto. Laat met een tekening zien hoe die foto eruit ziet. e Kun je in het ovenaanziht zien welke figuur het hoogst is? THEORIE Een zijaanziht krijg je als je een ruimtefiguur reht van opzij ekijkt. Als je een ruimtefiguur reht van voren ekijkt, krijg je een vooraanziht. In een zijaanziht of een vooraanziht kun je niet zien hoe groot het grondvlak is. Om een goed eeld van een ruimtefiguur te krijgen, he je daarom ook een ovenaanziht nodig. De aanzihten hiernaast horen ij het kuusouwsel eronder. 1 ovenaanziht vooraanziht zijaanziht 4 2 3 I-2a Open het programma Huisjes ouwen. Klik vier keer op één van de vakjes van het linker vierkant. Wat geeurt er op het rehter vierkant? Vink aan, haal alle kuussen weg en maak het kuusouwsel hiernaast. Door op het rehter vierkant te klikken kun je het kuusouwsel draaien. Draai het kuusouwsel zo dat je het vooraanziht ziet. I-3 Open het programma Vlakken kleuren. Van de ruimtefiguur is één grensvlak rood gekleurd. Klik met de muis in de aanzihten dit rode grensvlak aan. Hoeveel he je er van de twintig goed gemaakt? 28 ovenaanziht vooraanziht zijaanziht
Hoofdstuk 1 1 3 2 1 1 1 zij I-4a Open het programma Huisjes ouwen. Maak het kuusouwsel hieroven en draai het zo dat je het vooraanziht ziet. Teken het vooraanziht van dit kuusouwsel. Teken ook het ovenaanziht en het zijaanziht. 4 1 1 voor I-5 Om duidelijk te maken hoe een kuusouwsel er uitziet kun je in een ovenaanziht aangeven hoeveel kuusjes er op elkaar liggen. Hieroven zie je zo n ovenaanziht. a Teken een vooraanziht van dit kuusouwsel. Teken ook een zijaanziht. I-6 Hiernaast zie je ij figuur 1 een vooraanziht en een zijaanziht van een kuusouwsel. a Maak met Huisjes ouwen een kuusouwsel dat ij deze aanzihten hoort. Teken het ijehorende ovenaanziht. Maak ook met zoveel mogelijk kuusjes een kuusouwsel dat ij de aanzihten past en teken het ijehorende ovenaanziht. d In figuur 2 zie je een ovenaanziht en een zijaanziht. Maak ij deze aanzihten een kuusouwsel met zo weinig mogelijk kuusjes en teken het ijehorende vooraanziht. e Doe hetzelfde maar dan met zoveel mogelijk kuusjes. 1 2 vooraanziht ovenaanziht zijaanziht zijaanziht I-7 Hieronder zie je drie aanzihten van een kuusouwsel. a Ga na of de getekende aanzihten passen ij het ouwsel. Hoeveel kuusjes zijn voor dit kuusouwsel geruikt? Welke twee kuusjes kun je weg halen zonder de aanzihten te veranderen? I-8 Open het programma Naouwen met aanzihten. Je krijgt nu aanzihten te zien waarij je een kuusouwsel moet maken met het opgegeven aantal kuusjes. Proeer ij alle figuren een oplossing te vinden. 29
Hoofdstuk 1 Samenvatting Ruimtefiguren, grensvlak, rie en hoekpunt Balk, kuus, piramide, ol en ilinder zijn vooreelden van ruimtefiguren. Een zijkant van een ruimtefiguur noem je een grensvlak. De randen waar de grensvlakken ij elkaar komen noem je rien. De punten waar de rien ij elkaar komen heten hoekpunten. Als je een ruimtefiguur tekent, stippel je de rien die je niet kunt zien. rie grensvlak grensvlak hoekpunt Bovenziht, zijaanziht en vooraanziht Een ovenaanziht krijg je als je reht van oven op een ruimtefiguur kijkt. Het ovenaanziht is een soort plattegrond van de ruimtefiguur. De hoogte van een ruimtefiguur kun je niet in een ovenaanziht zien. Als je een ruimtefiguur reht van opzij ekijkt, krijg je een zijaanziht. Als je een ruimtefiguur reht van voren ekijkt, krijg je een vooraanziht. In een zijaanziht of een vooraanziht kun je niet zien hoe groot het grondvlak is. Om een goed eeld van een ruimtefiguur te krijgen, he je alle drie de aanzihten nodig. ovenaanziht ovenaanziht vooraanziht zijaanziht vooraanziht zijaanziht 30
Hoofdstuk 1 Kijklijn Een kijklijn is een denkeeldige lijn vanaf je oog naar een voorwerp. In de tekening hiernaast kun je vanaf punt A de kat niet goed zien omdat de oom in de weg staat. De kijklijn wordt onderroken. Met kijklijnen kun je in de plattegrond hieronder goed laten zien dat Jan Myrthe en Mathijs wel kan zien, maar Merel niet. Hoe kun je ij een foto of een tekening uitzoeken waar de maker stond? 1 Zoek op de foto of tekening twee lijnen die preies op elkaar lijken te liggen. 2 Teken in een ovenaanziht de twee kijklijnen die daarij horen. 3 Het snijpunt van deze twee kijklijnen is de plaats waar de maker stond. Vooreeld 1 2 3 De linker rand van het gele geouw lijkt op een lijn te liggen met de rehter rand van het rode geouw. Hetzelfde geldt voor de rehter rand van het gele geouw en de linker rand van het lauwe geouw. Trek in het ovenaanziht een lijn door de linker rand van het rode geouw. Trek ook een lijn door de rehter rand van het gele geouw en de linker rand van het lauwe geouw. Het snijpunt is de plaats waar de tekenaar stond. 31
Hoofdstuk 1 Test jezelf Op de omputer vind je ook een Test jezelf met andere opdrahten. T-1a Shrijf van elke ruimtefiguur het aantal grensvlakken, rien en hoekpunten op. Van piramide 1 wordt van ijzerdraad een draadmodel gemaakt. De rien van het grondvlak zijn 4 m en de opstaande rien zijn 6 m. Hoeveel m ijzerdraad is er nodig? Van een stuk ijzerdraad van 100 m maakt Rolf piramide 3. Hij geruikt al het ijzerdraad en maakt alle rien even lang. Hoe lang worden de rien? Deze opdraht hoort ij paragraaf 1-1. 1 2 3 T-2a Bekijk de kuusouwsels hiernaast en teken de ijehorende ovenaanzihten. Hoeveel kuussen kun je ij kuusouwsel 1 weghalen zonder dat het ovenaanziht verandert? Hoeveel kuussen zijn dat ij ouwsel 2? d Kun je ook kuussen toevoegen zonder dat het ovenaanziht verandert? Zo ja, hoeveel? Deze opdraht hoort ij paragraaf 1-2. 1 2 T-3a Het model hieronder is geouwd van speelgoedlokken. Teken ij dit model het ovenaanziht. Hieronder zie je zes aanzihten van het model. Welke kijkrihtingen horen ij deze aanzihten? Teken zo nauwkeurig mogelijk de aanzihten van de overgeleven kijkrihtingen. Deze opdraht hoort ij paragraaf 1-3. 1 2 3 F E D G H A C 4 5 6 B 32
Hoofdstuk 1 T-4 Hiernaast zie je een parkeerterrein. De oniërges Klaas en Roland kunnen door de ramen over het parkeerterrein kijken. De ramen lopen tot aan de vloer. a Kan oniërge Klaas de lauwe auto zien? En kan oniërge Roland de lauwe auto zien? Kleur het geied dat oniërge Klaas kan zien geel. d e Areer het geied dat Roland kan zien. Kleur het geied die ze eiden niet kunnen zien rood. Deze opdraht hoort ij paragraaf 1-4. T-5 Bert is met zijn vrienden Sietze en Thijs op een farieksterrein. Bert kan de shoorsteen net langs het linker geouw helemaal zien. a Geef op de plattegrond de plaatsen aan waar Bert kan staan. Bert kan vanaf de plaats waar hij staat Thijs wel zien maar Sietze niet. Geef zo nauwkeurig mogelijk de plaatsen aan waar Bert kan staan. Deze opdraht hoort ij paragraaf 1-5. T-6a Teken een vooraanziht en een zijaanziht van het kuusouwsel waarvan hiernaast het ovenaanziht staat. Teken alle vershillende ovenaanzihten van kuusouwsels die estaan uit vier kuussen. 1 1 2 1 3 zij voor 33
Doelman Als een voetaller op weg is naar het doel dan zie je de doelman vaak uitlopen om zijn doel te verkleinen. Wat wordt met deze uitdrukking edoeld?
Hoofdstuk 2 Hoeken en afstanden In dit hoofdstuk Voorkennis 36 2-1 Lijnen 38 2-2 Afstanden 40 2-3 Reht, sherp en stomp 42 2-4 Hoeken meten 44 2-5 Hoeken tekenen 46 2-6 Gemengde opdrahten 48 Samenvatting 50 Test jezelf 52
Hoofdstuk 2 Voorkennis THEORIE Op een kompas staan de windrihtingen aangegeven. Je geruikt een kompas om uit te zoeken welke kant je uit moet. V-1 Hieronder zie je de plattegrond van een gedeelte van Amsterdam. Het rode lokje op de spoorlijn is het station Amsterdam Lelylaan. De wegen en de spoorlijn lopen hier preies van oost naar west en van noord naar zuid. a In welke rihting loopt de autosnelweg? En in welke rihting loopt de Sloterplas? In welke rihting ligt Osdorp, gezien vanaf station Amsterdam Lelylaan? d En in welke rihting ligt het Sloterpark, gezien vanaf hetzelfde station? e In welke rihting ligt station Amsterdam Lelylaan, gezien vanaf het Meratorplein? f Welk ziekenhuis ligt in zuidwestelijke rihting, gezien vanaf station Amsterdam Lelylaan? Sloterpark MERCATOR- PLEIN Ant. van Leeuwenhoek Ziekenhuis 36 Alg. Ziekenhuis Slotervaart
Hoofdstuk 2 N V-2 Hieroven zie je een kaartje van het Markermeer en het omliggende land. a Linksoven op de kaart staat het tekentje met de letter N erij. Waarvoor he je dat tekentje nodig? Rihelle staat met helder weer op de dijk Enkhuizen-Lelystad en kijkt om zih heen. Ze ziet Urk preies in oostelijke rihting. Geef aan op welke plaats ze op dat moment staat. Welke plaats ziet Rihelle dan in westelijke rihting? d Geef ook aan waar ze op de dijk moet gaan staan om Volendam preies in zuidwestelijke rihting te zien. e Eén m op de kaart is in werkelijkheid 5 km. Hoeveel km is de kortste afstand van Volendam tot de dijk Enkhuizen-Lelystad? V-3a d Guido vertrekt met zijn zeiloot uit de haven van Volendam en vaart in noordoostelijke rihting. Als hij 15 km heeft gevaren verandert hij van rihting. Hij vaart vervolgens 20 km naar het zuiden. Teken zijn route op de kaart. Bij welke haven komt hij uit? De volgende dag vaart Guido rehtstreeks terug naar Volendam. Beshrijf de toht door de rihting aan te geven en de afstand die wordt afgelegd. Mihelle vertrekt met haar zeiloot uit de haven van Enkhuizen en vaart in zuidelijke rihting. Na een paar uur verandert ze haar koers. Ze vaart dan in oostelijke rihting en komt na verloop van tijd aan in Lelystad. Hoeveel km heeft ze totaal afgelegd ij haar zeiltoht? Caspar wil van Volendam via Lelystad naar Enkhuizen varen. Teken de route op de kaart en eshrijf de route die je het getekend met rihtingen en afstanden. 37
Hoofdstuk 2 2-1 Lijnen 1 Layla krijgt een kamer op zolder. Hieroven zie je twee muren van haar zolderkamer. Op de muur links komen drie oekenplanken over de hele reedte. De planken komen op de hoogte waar je de stippen ziet. a Geef met lijnen op de wand aan waar de planken tegen de muur komen. Tegen de andere muur worden allemaal vierkante vakjes gemaakt. Een deel daarvan is al getekend. Geruik de lijnen op je geodriehoek om de andere vakjes te tekenen. THEORIE De twee lijnen l en m hiernaast snijden elkaar niet, hoe ver je ze ook verlengt. Deze lijnen lopen evenwijdig. Als lijn l evenwijdig loopt met lijn m noteer je dit als l // m. Lijnen die elkaar wel snijden heen een snijpunt. Een ijzonder geval is als lijnen loodreht op elkaar staan. Als de lijnen q en r loodreht op elkaar staan noteer je dit als q r. q P In de meetkunde wordt een punt aangegeven met een hoofdletter en een lijn met een kleine letter. Lijn q staat loodreht op lijn r en punt P is het snijpunt. r l m Lijn l is evenwijdig aan lijn m. Vooreeld Teken een lijn m evenwijdig aan lijn l. Teken lijn q loodreht op lijn r. 2a Neem de lijn l hiernaast over en teken twee lijnen n en m waarvoor geldt n // l en m // l. Neem ook het punt P over en teken door punt P met een andere kleur een lijn r waarvoor geldt r l. Geldt nu r m? Waarom? P l 38
Hoofdstuk 2 3 Hiernaast zie je de vierhoeken ABCD en KLMN. a Meet van eide vierhoeken de lengten van de zijden in mm. Bij welke vierhoek zijn de zijden even lang? Welke vierhoek heeft evenwijdige zijden? d En in welke vierhoek staan de zijden loodreht op elkaar? e Neem de vierhoeken over en teken de lijnen AC, BD, KM en LN. f Staan de lijnen AC en BD loodreht op elkaar? g En de lijnen KM en LN? D A C B K N L M THEORIE Hiernaast zie je een vierhoek, een rehthoek en een vierkant. Rehthoeken en vierkanten zijn eigenlijk ijzondere vierhoeken. De zijden van een rehthoek staan loodreht op elkaar. Ook de zijden van een vierkant staan loodreht op elkaar. Bovendien zijn ze ook nog even lang. De lijnen die de tegenover elkaar liggende hoekpunten verinden noem je de diagonalen. In een vierkant staan de diagonalen loodreht op elkaar. vierhoek diagonalen rehthoek vierkant 4a d Teken een vierkant met zijden van 5 m. Teken de twee diagonalen. Zijn ze even lang? Teken een vierhoek die geen vierkant en geen rehthoek is. Teken ook de diagonalen van deze vierhoek. Zijn deze diagonalen even lang? 5a Hiernaast is al een egin gemaakt van de tekening van een vierkant. Maak het vierkant af en teken de diagonalen. De diagonalen van een ander vierkant zijn 6 m lang. Teken dit vierkant. Teken een vierhoek, die geen vierkant is waarvan de diagonalen loodreht op elkaar staan. 6 Hiernaast zie je een rehthoek PQRS. a Waarom is PQRS geen vierkant? Neem het laadje onder de rehthoek over en vul op de plaats van de stippen // of in. Teken in de rehthoek de diagonalen. d Zijn de diagonalen even lang? e Staan de diagonalen loodreht op elkaar? f Teken een rehthoek waarvan de diagonalen loodreht op elkaar staan. g Hoe noem je zo n rehthoek? S P PQ RQ PQ RS PQ PS RQ RS RQ PS RS PS R Q 39
Hoofdstuk 2 2-2 Afstanden 7 Hieroven zie je een kanaal met daarover drie ruggen. De oevers van het kanaal lopen evenwijdig. a Welke rug is het langst en welke rug is het kortst? Teken een rug die zo kort mogelijk is. 8 Shipper Shuitema vaart op zee. Hij kijkt op zijn kaart en vraagt zih af hoe ver hij uit de kust is. Op de tekening hiernaast is 1 m gelijk aan 2 km in werkelijkheid. Shipper Shuitema meet op de kaart dat de lengte van vaarroute 1 naar de kust 3,3 m is. a Hoeveel kilometer is dat in werkelijkheid? Hoeveel kilometer is vaarroute 6? In de tekening staan nog vier vaarroutes van het ship naar de kust. Welke van de vaarroutes staat loodreht op lijn l? d Welke vaarroute is het kortst? e Hoeveel kilometer is de lengte van de kortste vaarroute? l 6 5 ship 4 2 3 1 land THEORIE De afstand tussen twee evenwijdige lijnen is de lengte van de kortste verinding tussen deze twee lijnen. Deze verindingslijn staat loodreht op de twee lijnen. De afstand van een punt tot een lijn is de lengte van de kortste verindingslijn tussen het punt en de lijn. Deze verindingslijn staat loodreht op de lijn. Vooreeld Meet de afstand tussen de lijnen m en n. Meet de afstand van punt P tot lijn m. m p n m De afstand tussen de lijnen m en n is 5 m. De afstand van punt P tot lijn m is 5,5 m 40
Hoofdstuk 2 P Q R n 1 l 2 m 3 9a Hoeveel mm is de afstand van punt P tot lijn l hieroven? En hoeveel mm is de afstand van punt Q tot lijn m? En van punt R tot lijn n? 10a Meet de afstand tussen lijn l en lijn m hiernaast. Neem de lijnen over en teken links van lijn l de punten U, V en W op een afstand van 3 m van lijn l. Trek een lijn n door de punten U, V en W. d Leg uit dat lijn n evenwijdig loopt aan lijn l. e Waarom loopt lijn n ook evenwijdig aan lijn m? f Hoe kun je met ehulp van je antwoord op opdraht a de afstand tussen lijn m en lijn n erekenen? l m 11a Zet ergens op je papier een punt. Zet er de letter M ij. Teken tien vershillende punten, die allemaal op een afstand 5 m van punt M liggen. Als je doorgaat met nog meer punten te tekenen die allemaal op een afstand 5 m van punt M liggen, wat voor figuur ontstaat er dan? THEORIE Alle punten met afstand 1 m tot een punt M liggen op een irkel met middelpunt M. Dat is een irkel met een straal van 1 m. straal middelpunt M irkel 12a d e Teken twee punten A en B, die 7 m van elkaar liggen. Teken een irkel met middelpunt A en straal 5 m. Teken een irkel met middelpunt B en straal 4 m. Er zijn twee punten die op 5 m afstand van punt A en op 4 m afstand van punt B af liggen. Welke punten zijn dit? Teken ook de punten die op 2 m afstand van punt A en op 6 m afstand van punt B liggen. A B 13a Teken een lijn m en een punt Q op 4 m afstand van lijn m. Teken alle punten die op 5 m afstand van punt Q liggen. Teken ook alle punten die op 2 m afstand van lijn m liggen. d Welke punten liggen op een afstand van 5 m van punt Q en van 2 m van lijn m? 41
Hoofdstuk 2 2-3 Reht, sherp en stomp 14 Hiernaast zie je een keukenwekker. Als je de wekker op 15 minuten zet maakt de wijzer een kwart draai. a Bij hoeveel minuten maakt de wijzer een halve draai? Hoe groot is de draai die de wijzer ij 45 minuten maakt? Op hoeveel minuten staat de keukenwekker als de wijzer één derde draai maakt? d En op hoeveel minuten is de wekker ijvooreeld ingesteld als de wijzer minder dan een kwart draai maakt? e Hoe groot is de draai als de wekker tussen 15 en 30 minuten is ingesteld? THEORIE Elke hoek heeft twee enen. Het punt waar de twee enen elkaar snijden noem je het hoekpunt. Een hoek met hoekpunt P noem je hoek P. In plaats van het woord hoek wordt het tekentje geruikt. Je shrijft dan P. De enen van hoek A hiernaast staan loodreht op elkaar. Zo n hoek noem je een rehte hoek. Vaak staat in zo n hoek het tekentje. Hoek B hiernaast is kleiner dan een rehte hoek. Zo n hoek noem je een sherpe hoek. Hoek C is groter dan een rehte hoek. Zo n hoek noem je een stompe hoek. een P hoekpunt een B sherpe hoek A rehte hoek C stompe hoek B C D 15 Hieroven zijn zes hoeken getekend. a Welke hoeken zijn sherp? Welke hoeken zijn stomp? En welke hoek is reht? A E F 16a De vijfhoek hiernaast heeft alleen maar rehte hoeken en stompe hoeken. Hoeveel van elk? Teken zelf een vijfhoek met twee rehte hoeken, twee stompe hoeken en één sherpe hoek. Kun je een vijfhoek tekenen met twee rehte hoeken en drie stompe hoeken? 42
Hoofdstuk 2 A B 17a THEORIE Bekijk de twee hoeken hieroven. Volgens Hanneke is A groter dan B. Volgens Helma is B groter dan A. Wie heeft er volgens jou gelijk? Verklaar je antwoord. Rangshik de hoeken van opdraht 15 van klein naar groot. Hiernaast zie je een kompasroos. Deze kompasroos is verdeeld is in 360 gelijke hoekjes. Eén zo n hoekje heet een graad. Je shrijft 1. De hoek tussen de rihtingen noord en oost is reht en is gelijk aan 90. Een rehte hoek is dus 90. Een sherpe hoek ligt tussen 0 en 90. Een stompe hoek ligt tussen 90 en 180. 18a Hoeveel graden is de hoek tussen de rihtingen noord en noordoost? Hoeveel graden is de hoek tussen de rihtingen zuid en noordoost? En hoeveel graden is de hoek tussen de rihtingen zuidoost en noordoost? 19a Hiernaast zie je een hoek met de enen p en q met daarop een kompasroos. De rihting noord ligt op het een met de letter p. Welk aantal graden lees je af ij een q? Hoe groot is de hoek tussen de enen p en r? Leg uit dat de hoek tussen de enen q en r gelijk is aan 26. d De enen p en s maken een stompe hoek met elkaar. Hoe groot is deze hoek? e Bereken de hoek tussen de enen s en r. f Er zijn nog twee enen die een stompe hoek met elkaar maken. Welke twee enen zijn dit? g En hoe groot is de hoek die ze met elkaar maken? 20a Leg uit waarom de helft van een stompe hoek altijd een sherpe hoek is. Is het duele van een sherpe hoek altijd een stompe hoek? Verklaar je antwoord. 21a Hoeveel graden is de hoek die de wijzers van een klok maken om vijf uur? En hoeveel graden is de hoek tussen de wijzers om half negen? 43
Hoofdstuk 2 2-4 Hoeken meten 22a Bekijk de drie hoeken van je geodriehoek. Zijn die hoeken sherp, reht of stomp? Leg twee geodriehoeken zó tegen elkaar dat je een vierkant krijgt. Wat weet je nu van de twee sherpe hoeken van je geodriehoek? Hoeveel graden zijn de twee sherpe hoeken van je geodriehoek? 23 Op je geodriehoek staan graden aangegeven die je kunt geruiken om de grootte van een hoek te meten. Hiernaast zie je een geodriehoek op hoek Q liggen. De langste zijde van de geodriehoek is met het 0-punt op het hoekpunt gelegd preies langs één een van de hoek. a Is hoek Q een sherpe of een stompe hoek? Hoe zie je dat één een van de driehoek naar 0 wijst? Bij het andere een kun je op je geodriehoek twee getallen aflezen. Welke twee getallen zijn dat? d Hoeveel graden is hoek Q? AANPAK Hoe meet je een hoek met een geodriehoek? 1 Leg het 0-punt van de langste zijde van de geodriehoek op het hoekpunt. 2 Draai de geodriehoek zo dat de langste zijde preies langs één van de enen van de hoek ligt. 3 Lees ij het andere een af hoeveel graden de hoek is. Bedenk daarij of het een sherpe of een stompe hoek is. Vooreeld Hoeveel graden is A? 1 3 2 0-punt Bij het andere een kun je de getallen 78 en 102 aflezen. Hoek A is stomp dus A = 102. A A 44
Hoofdstuk 2 M N K L P 24a Merlijn meet K in de tekening hieroven. Hij shrijf op K 135. Wat heeft hij fout gedaan? Wat is het juiste antwoord? Meet de grootte van L, M, N en P. 25a Meet A, B 1, D 1 en E in de figuur hiernaast. Hoeveel graden zijn A, B 1, D 1 en E samen? Meet ook B 2, C en D 2. d Hoeveel graden zijn B 2, C en D 2 samen? E D 1 2 C 26 Ali wil weten hoeveel graden H hieronder is. a Hoe kun je zien dat H groter is dan 180? Om H te meten tekent Ali een hulplijn zoals hieronder en hij meet de hoek met het sterretje. H A 1 2 B * H d Hoe groot is de hoek met het sterretje? En hoeveel graden is H? Proeer nog een andere manier te edenken om H te meten. 45
Hoofdstuk 2 2-5 Hoeken tekenen 27a Shets zonder geruik te maken van je geodriehoek een hoek van 40 en een hoek van 155. Meet de hoeken die je het getekend. Hoeveel graden vershillen jouw hoeken van 40 en 155? 28 Klaas moet een hoek van 40 tekenen. Hij tekent een punt A en één een van de hoek. Hiernaast is een egin gemaakt. a Neem de tekening over, leg je geodriehoek met de langste zijde langs het getekende een en laat punt A samenvallen met het 0-punt van de geodriehoek. Op je geodriehoek staat twee keer het getal 40. Bij welke van die getallen moet je een stip zetten? Waarom? Verind punt A met de stip die je gezet het ij 40. A AANPAK Hoe teken je een hoek? 1 Teken één een van de hoek en zet een letter ij het hoekpunt. 2 Leg je geodriehoek met het 0-punt op het hoekpunt en laat de langste zijde samenvallen met het een dat je al getekend het. 3 Kijk op de geodriehoek waar het aantal graden van de hoek staat en zet daar een stip. Bedenk of je een sherpe of een stompe hoek moet tekenen. 4 Trek een lijn vanuit het hoekpunt naar deze stip. Vooreeld Teken een hoek van 72. 72 A 1 2 3 A 4 A 29a Teken een hoek van 65. Teken ook hoeken van 41, 134 en 238. 30 Van een driehoek PQR is ekend dat P 72, Q 58 en PQ 7 m. a Teken eerst PQ en teken de hoeken ij punt P en ij punt Q. Maak de driehoek af en zet de letter R ij het derde hoekpunt. Meet hoek R. d Teken ook driehoek STU met S 34, T 105 en ST 6 m. 46
Hoofdstuk 2 31 De vijfpuntige ster hiernaast is gemaakt van vijf lijnstukken met een lengte van 7 m. a Hoeveel vershillende hoeken komen er voor in deze vijfpuntige ster? Meet elke hoek die in de figuur voorkomt. Quint eweert dat de grootste hoek driemaal zo groot is als de kleinste en dat de andere hoek tweemaal zo groot is als de kleinste. Zoek uit of hij gelijk heeft. d Teken deze vijfpuntige ster op ware grootte na. 32a d e Teken een rehte hoek. Verdeel de rehte hoek in drie gelijke hoeken. Hoeveel graden is elk van die drie hoeken? Teken een driehoek ABC met A 60 en B 60. De lengte van de zijden mag je zelf kiezen. Welke ijzonderheid heeft de driehoek die je ij opdraht d het getekend? 33 Een rondvaartoot maakt een toht op een meer. In de tekening hieronder zie je het eerste deel van de toht. In de tekening is 1 m in werkelijkheid 1 km. a d e Met welke hoek ten opzihte van het noorden verlaat de oot de haven? Hoeveel km heeft de oot afgelegd als deze ij punt B is? Bij punt B verandert de shipper de vaarrihting. Hij vaart 5 km met een hoek van 80 ten opzihte van het noorden. Neem de tekening over en teken het tweede gedeelte van de toht. Vervolgens vaart de oot 3 21 km met een hoek ten opzihte van het noorden van 170. Geef ook dit gedeelte van de toht aan in de tekening. Daarna kiest de shipper de kortste weg terug naar de haven. Welke hoek ten opzihte van het noorden moet de shipper volgen en hoeveel km is het laatste gedeelte van de toht? 47