Heilige Mgdcollege Dendermonde Prte kennis wiskunde 4 Lt A Lt B Wet A Wet B Ec C Vkgroep wiskunde Hemco Dit document is edoeld ls smenvtting vn wt ls prte kennis wordt ngenomen ij nvng vn het tweede jr vn de tweede grd ASO voor richtingen met een mjor wiskunde.
1. TAALVAARDIGHEID BINNEN WISKUNDE ) Begrippen uit de getllenleer Bewerking Nottie Vooreeld Benming Som 35 8 3 en 5 zijn termen, 8 is de som Verschil 9 5 4 9 en 5 zijn termen, 4 is het verschil Product. of.7 14 en 7 zijn fctoren, 14 is het product Deling : of...... Kwdrtering... of...... 7 3,5 7 is het deeltl, is de deler, 3,5 is het quotiënt. 4 16 Mchtsverheffing... n 3 5 43 4 is het grondtl, is de exponent, 16 is het kwdrt. 3 is het grondtl, 5 is de exponent, 43 is de mcht. Worteltrekking 81 9 81 is het grondtl, 9 de vierkntswortel ) Begrippen uit de meetkunde Meetkundige entiteiten Begrip Grfisch Woorden & symolen Punt Het punt A Lijnstuk Het lijnstuk AB Hlfrechte De hlfrechte AB Rechte De rechte AB of rechte r Hoek De hoek of B of ABC Ligging Grfisch Woorden & symolen A ligt op r, in symolen: A r AB is een deel vn r, in symolen: AB r en zijn evenwijdig, in symolen: of // stt loodrecht op, in symolen Prte kennis wiskunde ij nvng vierde middelr Vkgroep wiskunde Hemco Pgin
c) Instructietl Schetsen Binnen wiskunde etekent schetsen iets in grote lijnen tekenen om een idee te krijgen vn een gegeven situtie. Je mkt geruik vn de gegevens, een definitie, eigenschppen, Een schets hoeft heleml niet nuwkeurig te zijn. Het geeft je enkel een eerste indruk. Om te schetsen volstt een potlood. Je het geen lt, psser of geodriehoek nodig. Tekenen Binnen wiskunde etekent tekenen een nuwkeurige voorstelling mken vn een situtie. De nuwkeurigheid is fhnkelijk vn het meetinstrument. Zo teken je een lijnstuk op één millimeter nuwkeurig en teken je een hoek op één grd nuwkeurig. Om te tekenen geruik je potlood en geodriehoek, en om cirkels te tekenen een psser. Construeren Binnen wiskunde etekent construeren in tekening rengen, met psser en linil. Als de constructie goed is uitgevoerd zou dit moeten leiden tot een nuwkeurige tekening. Je mkt geruik vn potlood, psser en linil. Bij constructies wordt er zo weinig mogelijk (liefst niet op het gegeven n) gemeten. Definiëren Het duidelijk omschrijven vn een nieuw egrip met ehulp vn reeds gekende egrippen. Dit kn zowel in woorden ls in symolen. Bewijzen Argumenteren wrom een eplde vststelling wr is. Bij het opstellen vn een ewijs kun je steunen op lle eerder geziene egrippen, definities, eigenschppen, stellingen, d) Symolen en fkortingen Symool Betekenis Symool Betekenis Is gelijk n Is groter dn of gelijk n Is niet gelijk n... De solute wrde vn Is ij endering 1... Het omgekeerde vn Is kleiner dn... De hoek Is groter dn Is gelijkvormig met Is kleiner dn of gelijk n Is congruent met e) Elementire verzmelingenleer Gekende verzmelingen,1,,3,..., dit noemen we de ntuurlijke getllen., 1,1,,,..., dit noemen we de gehele getllen. z n z, n, dit noemen we de rtionle getllen (ook wel reuken genoemd). Prte kennis wiskunde ij nvng vierde middelr Vkgroep wiskunde Hemco Pgin 3
, dit noemen we de reële getllen (v.:,1,,, 3,... 5 ). Een onderindex ij een verzmeling wil zeggen dt we het getl weglten uit de verzmeling. Een ovenindex + of wil zeggen dt we enkel de positieve respectievelijk negtieve getllen ekijken. Kwntoren Deze kwntor etekent voor lle. Hij duidt n dt een eigenschp geldt voor lle elementen uit een eplde verzmeling. Deze kwntor etekent er estt of er estn. Hij duidt n dt er uit een eplde verzmeling ltijd een element kn gevonden worden zodt een eplde eigenschp geldt. Vooreeld: Het feit dt elk rtionl getl kn geschreven worden ls een reuk vn gehele getllen kn in symolen geschreven worden ls q : z1, z : q z1 z. Logische opertoren symool etekenis geruik en Eist dt twee uitsprken smen gelden of Eist dt één vn twee uitsprken geldt (of lle twee) niet Eist dt een uitsprk niet geldt wruit volgt Als uit een uitsprk een ndere volgt (voldoende voorwrde) ls Als uit een uitsprk een ndere volgt (nodige voorwrde) ls en slechts ls Als twee uitsprken elkr impliceren Enkele vooreelden:, : c,, c : c m, n : m n m n f) Letters uit het Griekse lfet Symool Lees Symool Lees Symool Lees lf gmm epsilon et delt pi g) Lengte-, oppervlkte- en volumemten Lengtemten Nm kilometer hectometer decmeter meter decimeter centimeter millimeter Afkorting km hm dm m dm cm mm Betekenis 1 m 1 m 1 m 1 m,1 m,1 m,1 m Oppervlktemten Afkorting km² hm² dm² m² dm² cm² mm² Betekenis 1 m² 1 m² 1 m² 1 m²,1 m²,1 m²,1 m² Alterntief h (hectre) (re) c (centire) Prte kennis wiskunde ij nvng vierde middelr Vkgroep wiskunde Hemco Pgin 4
Volumemten Afkorting dm³ m³ dm³ cm³ Betekenis 1 m³ 1 m³,1 m³,1 m³ Alterntief l (liter). GETALLENLEER ) Tekenregels Som en verschil Product en quotiënt........ ) Mchtsverheffing Definitie n, n :...... : 1 n fctoren (merk op dt niet gedefinieerd is). n 1, n : n Rekenregels, m, n :. m n m n,, n :.. n n n, m, n : m n, m, n : m.,, n : mn n m n,, n : n n n n n c) Vierkntswortels en derdemchtswortels Definitie Een vierkntswortel vn een reëel getl is een reëel getl wrvn het kwdrt gelijk is n het gegeven getl. Enkel positieve getllen heen dus vierkntswortels. De nottie wordt geruikt voor de positieve vierkntswortel. Toegepst geeft dit dt 3 een vierkntswortel is vn 9, mr dt 9 3 en 9 3. Als er in een context sprke is vn de vierkntswortel dn gn we er vn uit dt de positieve wordt edoeld! Prte kennis wiskunde ij nvng vierde middelr Vkgroep wiskunde Hemco Pgin 5
Een derdemchtswortel vn een reëel getl is een reëel getl wrvn de derdemcht gelijk is n het gegeven getl. Elk reëel getl r heeft een unieke derdemchtswortel, die we noteren met 3 r. Rekenregels :, :, :.. : : d) Volgorde vn ewerkingen 1) Berekeningen tussen de hkjes moeten ltijd eerst worden uitgevoerd. ) Dn mchtsverheffing en de vierkntsworteltrekking uitvoeren. 3) Dn vermenigvuldiging en de deling uitvoeren in de volgorde wrin ze voorkomen. 4) Tot slot optellingen en ftrekkingen uitvoeren in de volgorde wrin ze voorkomen. 1 3 4 3 3 9: 3 49 1 1.5 9: 3 49.5 9: 9 7 8.5 1 7 4 43 Vooreeld: e) Eigenschppen vn ewerkingen Eigenschp In symolen 1. Commuttiviteit vn de optelling, :. Commuttiviteit vn de vermenigvuldiging, :.. 3. Associtiviteit vn de optelling,, c : c c 4. Associtiviteit vn de vermenigvuldiging,, c :.. c.. c 5. Elk getl heeft een (uniek) tegengestelde : : 6. Elk getl verschillend vn nul heeft een (uniek) omgekeerde 1 1 : :. 1 7. Het getl is het neutrl element vn de optelling : 8. Het getl 1 is het neutrl elemnt vn de vermenigvuldiging :.1 9. Distriutiviteit vn de vermenigvuldiging t.o.v. de optelling,, c :. c.. c De eigenschppen 1, 3, 5, 7 impliceren dt, een commuttieve groep is. De eigenschppen, 4, 6, 8 impliceren dt,. een commuttieve groep is. Alle eigenschppen smen impliceren dt,,. een veld is. f) Evenredigheden Twee grootheden zijn recht evenredig ls hun verhouding constnt is. Twee grootheden zijn omgekeerd evenredig ls hun product constnt is. g) Merkwrdige producten / ontinden in fctoren A B A AB B A B A AB B A B A B A B Prte kennis wiskunde ij nvng vierde middelr Vkgroep wiskunde Hemco Pgin 6
h) Vergelijkingen vn de eerste grd Een vergelijking mg je ls volgt mnipuleren: Bij eide leden eenzelfde getl optellen (of ervn ftrekken). Beide leden vermenigvuldigen met (of delen door) een vn nul verschillend getl. Algemeen ken je ook het nulpunt vn een eerstegrdsfunctie: x x (met ). i) Ongelijkheden vn de eerste grd Een ongelijkheid mg je ls volgt mnipuleren: Bij eide leden eenzelfde getl optellen (of ervn ftrekken). Beide leden vermenigvuldigen met (of delen door) een strikt positief getl. Beide leden vermenigvuldigen met (of delen door) een strikt negtief getl, ermee rekening houdend dt dn het teken omdrit. j) Stelsels vergelijkingen vn de eerste grd De sustitutiemethode Hierij ereken je uit één vergelijking een onekende en sustitueert wt je vindt in de ndere vergelijking(en). Vooreeld: x 3y 4 4y9 3y 4 11 y y. x 4y 9 x4y9 x 4y 9 x 1 De comintiemethode Hierij mk je een lineire comintie vn twee vergelijkingen om zo een onekende te elimineren. Vooreeld: x 3y 4 1 4 11 y y. x 4y 9 3 11x 11 x 1 3. REELE FUNCTIES ) Eerstegrdsfuncties Definitie Eerstegrdsfuncties zijn functies vn de vorm f x x, met en. De grfiek ervn is een rechte. Hierij noemen we de richtingscoëfficiënt ( rico ) en de intercept. De richtingscoëfficiënt eplt hoe steil de rechte stijgt ( ) of dlt ( ). Op de grfiek is dit de verticle toenme (of fnme) ij een horizontle toenme vn één eenheid. De intercept geeft het snijpunt met de y -s, nmelijk,. Prte kennis wiskunde ij nvng vierde middelr Vkgroep wiskunde Hemco Pgin 7
Bespreking Het nulpunt (snijpunt met de x -s) vn een eerstegrdsfunctie ijhorende vergelijking x op te lossen. Het nulpunt is dus,. f x x vind je door de Het tekenverloop is een duidelijke tel wrin je ngeeft wt het teken vn de functiewrden is. Het verloop of stijgen en dlen vn een functie is een duidelijke tel wrin je ngeeft wr de functie stijgend en dlend is. Voor een eerstegrdsfunctie is dt uiterrd zeer eenvoudig. Vooreeld: We espreken de eerstegrdsfunctie f x x 1. Snijpunt met de x-s (nulpunt): 1,. Snijpunt met de y-s:, 1. Tekenverloop: x 1/ f x - + Stijgen en dlen: x f x Stelsels grfisch oplossen Een stelsel vn twee lineire vergelijkingen kn je ook grfisch oplossen (met of zonder rekenmchine). 4 y x x 3y 4 3 3 Vooreeld:. x 4y 9 1 9 y x 4 4 x 1 Op de grfiek lees je f:. y Prte kennis wiskunde ij nvng vierde middelr Vkgroep wiskunde Hemco Pgin 8
4. MEETKUNDE ) Soorten hoeken Hoek Figuur Beschrijving Rechte hoek Een rechte hoek is een hoek vn 9 Gestrekte hoek Een gestrekte hoek is een hoek vn 18 Nulhoek Een nulhoek is een hoek vn Scherpe hoek Een scherpe hoek is een hoek tussen en 9 Stompe hoek Een stompe hoek is een hoek tussen 9 en 18 ) Verwnte hoeken Verwchtschp Figuur Beschrijving Complementire hoeken Complementire hoeken zijn hoeken wrvn de som 9 is Supplementire hoeken Supplementire hoeken zijn hoeken wrvn de som 18 is Overstnde hoeken Overstnde hoeken zijn hoeken met hetzelfde hoekpunt wrvn de enen in elkrs verlngde liggen Anliggende hoeken Anliggende hoeken zijn hoeken met hetzelfde hoekpunt wrvn twee enen smenvllen, en die n weerszijden vn het gemeenschppelijke een liggen Nevenhoeken Nevenhoeken zijn hoeken die nliggend en supplementir zijn Prte kennis wiskunde ij nvng vierde middelr Vkgroep wiskunde Hemco Pgin 9
Specile rechten (in een driehoek) Soort rechte Figuur Beschrijving middelloodlijn De middelloodlijn vn een lijnstuk is de rechte die loodrecht stt op dt lijnstuk en door het midden ervn gt. Bissectrice De issectrice vn een hoek is de rechte die die hoek in twee gelijke delen deelt. Hoogtelijn (in ) Een hoogtelijn in een driehoek is een rechte die door een hoekpunt gt en loodrecht stt op de overstnde zijde vn dt hoekpunt Zwrtelijn (in ) Een zwrtelijn in een driehoek is een rechte die door een hoekpunt gt en door het midden gt vn de overstnde zijde vn dt hoekpunt c) Soorten driehoeken Soort driehoek Figuur Beschrijving Rechthoekige driehoek Een rechthoekige driehoek is een driehoek wrvn één hoek recht is. Scherphoekige driehoek Een scherphoekige driehoek is een driehoek met drie scherpe hoeken Stomphoekige driehoek Een stomphoekige driehoek is een driehoek met één stompe hoek Gelijkenige driehoek Een gelijkenige driehoek is een driehoek met twee gelijke zijden (en dus ook twee gelijke hoeken) Gelijkzijdige driehoek Een gelijkzijdige driehoek is een driehoek met drie gelijke zijden (en dus ook drie gelijke hoeken) Voor lle driehoeken geldt de oppervlkteformule: h. A Prte kennis wiskunde ij nvng vierde middelr Vkgroep wiskunde Hemco Pgin 1
d) Soorten vierhoeken Soort vierhoek Figuur Beschrijving, omtrek en oppervlkte Trpezium Prllellogrm Rechthoek Een trpezium is een vierhoek met één pr evenwijdige zijden. B A. h; P som der zijden. Een prllellogrm is een vierhoek met twee pr evenwijdige zijden. A. h ; P som der zijden. Eig.: Overstnde hoeken zijn gelijk. Overstnde zijden zijn even lng. Digonlen snijden elkr middendoor. Een rechthoek is een vierhoek met 4 rechte hoeken. A l. ; P. l. Eig.: Eigenschppen prllellogrm lijven gelden! Digonlen zijn even lng. Ruit Een ruit is een vierhoek met 4 zijden die even lng zijn. Dd. A ; P 4z. Eig.: Eigenschppen prllellogrm lijven gelden! Digonlen stn loodrecht op elkr. Vierknt Een vierknt is een vierhoek met 4 even lnge zijden en 4 rechte hoeken. A z ; P 4z. Eig.: Eigenschppen prllellogrm en ruit gelden! e) De cirkel Een cirkel is een verzmeling punten die op vste fstnd (de strl) vn een gegeven punt (het middelpunt) liggen. Een koorde is een lijnstuk dt twee punten die op de cirkel liggen verindt. Het lijnstuk dt het midden vn een koorde verindt met het middelpunt vn de cirkel, noemen we het pothem vn die koorde. Een dimeter is een koorde die door het middelpunt gt (de lengte ervn noemen we ook de dimeter d vn de cirkel). Een rechte door het middelpunt noemen we een middellijn vn de cirkel. Verder geldt: A. r en P. r(met 3, 1415965...). Vn.: Op de figuur is dus AB een koorde, met ijhorend pothem MD, en is PP een dimeter. 1 Prte kennis wiskunde ij nvng vierde middelr Vkgroep wiskunde Hemco Pgin 11
f) Ruimtefiguren Ruimtefiguur Figuur Oppervlkte Volume Kuus A 6z V z 3 Blk A. ld dh hl V lhd Prism A som der zijvlkken V A. h G Cilinder A r rh V r h Bol A 4 r V 4 r 3 3 g) Twee evenwijdige rechten en een snijlijn Figuur Betekenis Figuur Betekenis Overeenkomstige hoeken zijn gelijk (op de figuur hoeken met dezelfde kleur). Ook overstnde hoeken zijn gelijk (rood-luw en geelgroen). Verwisselende uitenhoeken zijn gelijk (op de figuur hoeken met dezelfde kleur). Verwisselende innenhoeken zijn gelijk (op de figuur hoeken met dezelfde kleur). Binnenhoeken (en uitenhoeken) n dezelfde knt vn de snijlijn zijn supplementir (op de figuur groen-luw en rood-geel). Deze eigenschppen worden vk ook omgekeerd geruikt in de meetkunde om n te tonen dt twee rechten evenwijdig zijn. Prte kennis wiskunde ij nvng vierde middelr Vkgroep wiskunde Hemco Pgin 1
h) Congruente driehoeken Twee driehoeken zijn congruent ls en slechts ls lle overeenkomstige hoeken en zijden gelijk zijn. In symolen: AB PQ A P ABC PQR BC QR B Q CA RP C R Kenmerk Figuur In woorden ZZZ Twee driehoeken zijn congruent ls hun overeenkomstige zijden even lng zijn. ZHZ Twee driehoeken zijn congruent ls twee pr overeenkomstige zijden en hun ingesloten hoek gelijk zijn. HZH Twee driehoeken zijn congruent ls twee pr overeenkomstige hoeken en hun ingesloten zijde gelijk zijn. i) Gelijkvormige driehoeken De drie gelijkvormigheidskenmerken Kenmerk Figuur In symolen ZZZ ZZZ AB BC CA ABC ABC AB BC CA Z Z H Z Z BC BC CA C C ABC ABC CA Prte kennis wiskunde ij nvng vierde middelr Vkgroep wiskunde Hemco Pgin 13
HH B B C C ABC ABC De schlfctor Zijn twee driehoeken gelijkvormig ( ABC AB C) dn noemen we de constnte verhouding vn hun zijden ook wel eens de schlfctor ( A B B C C A k ). AB BC CA Belngrijk om weten is dt de verhouding vn de oppervlktes dn gelijk is n k. (Dus A A ABC ABC k ) Zijn twee ruimtefiguren gelijkvormig met schlfctor k, dn is de verhouding vn hun volumes j) De stelling vn Thles De stelling vn Thles zegt: Bij evenwijdige projectie vn een rechte op een ndere rechte lijft de verhouding vn lijnstukken ehouden. Op een figuur vertlt deze stelling zich op drie mnieren (rode rechten zijn evenwijdig: 3 k. AB BC AB BC CA AB BC CA, AB BC, BC BC en CA CA C A AB C A AB SA SA AA SB SB BB SB SB BB SC SC CC Ook hier geldt de omgekeerde eigenschp. De ekendste vrint is de volgende: Als een rechte twee zijden vn een driehoek in evenredige stukken verdeelt, dn is die rechte evenwijdig met de derde zijde. AB AC In symolen: BC BC AB AC Prte kennis wiskunde ij nvng vierde middelr Vkgroep wiskunde Hemco Pgin 14
k) Meetkundige trnsformties Kenmerk Figuur Opmerkingen Verschuiving Bij een verschuiving krijg je ltijd een vector v gegeven. Deze eplt de richting, zin en lengte vn de verschuiving. Verschuivingen eelden figuren f op congruente figuren. Lengtes en hoekgroottes lijven ewrd. Spiegeling Bij een spiegeling krijg je ltijd de spiegels gegeven. Spiegelingen eelden figuren f op congruente figuren. Lengtes en hoekgroottes lijven ewrd. Puntspiegeling Bij een puntspiegeling krijg je ltijd het spiegelpunt gegeven. Puntspiegelingen eelden figuren f op congruente figuren. Lengtes en hoekgroottes lijven ewrd. Driing Homothetie Bij een driing krijg je ltijd een centrum gegeven, lsook een dririchting en hoek wronder gedrid wordt (in het vooreeld is het centrum S, en de drihoek 5 in wijzerzin). Driingen eelden figuren f op congruente figuren. Lengtes en hoekgroottes lijven ewrd. Bij een homothetie krijg je ltijd een centrum en een schlfctor gegeven (in het vooreeld is het centrum S en schlfctor 1,5). Homothetieën eelden figuren f op gelijkvormige figuren. Lengtes worden vermenigvuldigt met de schlfctor, hoekgroottes lijven ewrd. l) De stelling vn Pythgors De projectiestellingen Stel dt ABC rechthoekig is in A, en noem D het voetpunt BC, dn gelden de volgende stellingen: vn A op AB BD. BC, AC CD. CB en AD DB. DC. Noteren we (zols meestl): AB c, BC, CA, AD h, BD c en CD, dn krijg je de formules die onder de figuur stn. Deze formules stn ekend ls de projectiestellingen. c c h c Prte kennis wiskunde ij nvng vierde middelr Vkgroep wiskunde Hemco Pgin 15
De stelling vn Pythgors In een rechthoekige driehoek geldt: de som vn de kwdrten vn de rechthoekszijden is gelijk n het kwdrt vn de schuine zijde. In symolen: Als in ABC geldt dt A 9 dn is c. Ook omgekeerd geldt de stelling: ls in een driehoek geldt dt het kwdrt vn een zijde gelijk is n de som vn de kwdrten vn de ndere zijden, dn is deze driehoek rechthoekig. Driehoeksmeting in rechthoekige driehoeken In een rechthoekige driehoek definiëren we sinus, cosinus en tngens vn een scherpe hoek ls volgt: overstnde rechthoekszijde sin schuine zijde nliggende rechthoekszijde cos schuine zijde overstnde rechthoekszijde tn nliggende rechthoekszijde Hieruit volgt dt voor elke scherpe hoek geldt: sin sin cos 1 en tn. cos 5. ANALYTISCHE MEETKUNDE Crtesische vergelijking vn een rechte Elke rechte in het (x,y)-vlk kn je voorstellen met een lineire vergelijking: r ux vy w. Hierij zijn u en v niet eide nul. In deze nottie lees je ls : heeft ls vergelijking. We onderscheiden 3 gevllen: u v : De rechte is evenwijdig met de x-s en heeft ook ls vergelijking y. u v : De rechte is evenwijdig met de y-s en heeft ook ls vergelijking x. u u v : De rechte snijdt eide ssen, we noemen m de richtingscoëfficiënt. v Een rechte eplen door twee punten of door een punt met gegeven richtingscoëfficiënt y y1 De vergelijking vn de rechte door P1 x1, y 1 en P x, y is r y x x1 y1. Hierij is x x de richtingscoëfficiënt m r y x y. x 1 1 1 De rechte met richtingscoëfficiënt m door P x, y heeft vergelijking: 1 1 1 r y m x x y. 1 1 Het midden en de lengte vn een lijnstuk Het midden vn het lijnstuk 1 PP, met P x, y en, 1 1 1 P x y is het punt x M x, y y 1 1. De lengte vn dit lijnstuk wordt gegeven door PP x x y y. 1 1 1 Prte kennis wiskunde ij nvng vierde middelr Vkgroep wiskunde Hemco Pgin 16
6. Sttistiek Centrummten Modus: het meest voorkomend element. Medin: het middelste getl vn een ntl geordende getllen. Dit wordt vk genoteerd met Me. Gemiddelde: het getl, gevonden door de som vn lle getllen te delen door het ntl. Dit wordt vk genoteerd ls x. Spreidingsmten. De kwdrtische fwijking vn een gegeven x i ten opzichte vn het gemiddelde x is het getl x i x. De vrintie is het gemiddelde vn de kwdrtische fwijkingen vn de gegevens ten opzichte vn x. De stndrdfwijking is de vierkntswortel vn de vrintie. Prte kennis wiskunde ij nvng vierde middelr Vkgroep wiskunde Hemco Pgin 17