MEETKUNDE en LINEAIRE ALGEBRA

UNIVERSITEIT GENT Faculteit Ingenieurswetenschappen Vakgroep Wiskundige Analyse MEETKUNDE en LINEAIRE ALGEBRA H. De Schepper Academiejaar 2010-2011 1ste bachelor Ingenieurswetenschappen

Inhoudsopgave m1vectoren 2 1.1 Vrije vectoren.................................. 2 1.2 Bewerkingen met vectoren........................... 4 1.3 De ruimte V als driedimensionale vectorruimte................ 9 1.4 De gepunte ruimte E O............................. 12 1.5 Scalair product van vectoren.......................... 19 1.6 Vectorieel product............................... 23 1.7 Gemengd product van een drietal vectoren.................. 26 m2voorstelling van rechten en vlakken 29 2.1 Voorstelling van rechten in E......................... 29 2.2 Voorstelling van vlakken in E......................... 34 2.3 Onderlinge stand van punten, rechten en vlakken.............. 40 m3affiene transformaties 55 3.1 Affiene afbeeldingen in E............................ 55 3.2 Geïnduceerde afbeeldingen in V........................ 57 3.3 Affiene afbeeldingen in E O........................... 59 3.4 Inverteerbaarheid van een affiene afbeelding................. 62 3.5 Isometrieën in de euclidische ruimte...................... 63 3.6 Affiene afbeeldingen in het vlak........................ 64 3.7 Affiene afbeeldingen in de euclidische ruimte................. 70 3.8 Coördinatentransformaties........................... 74 m4beschrijving van krommen en oppervlakken 78 4.1 Krommen.................................... 78 4.2 Oppervlakken.................................. 84 m5omwentelingsoppervlakken 93 5.1 Definitie en parametervoorstelling....................... 93 5.2 Een rechte als beschrijvende kromme..................... 96 5.3 Een cirkel als beschrijvende kromme..................... 100 5.4 Een kegelsnede als beschrijvende kromme................... 102 i

m6kwadrieken 117 6.1 Definities.................................... 117 6.2 Herleiding tot standaardgedaante....................... 118 m7regeloppervlakken 126 7.1 Definities en elementaire voorbeelden..................... 126 7.2 Parametervoorstelling en raakvlak....................... 127 7.3 Enkele bijzondere regeloppervlakken...................... 129 7.4 Kwadratische regeloppervlakken........................ 133 m8regelmatige veelvlakken 137 8.1 Geometrische lichamen en veelvlakken.................... 137 8.2 Formule van Euler voor convexe veelvlakken................. 139 8.3 Uniforme veelvlakken.............................. 140 8.4 Reciproke veelvlakken............................. 146 a1 Lineaire ruimten 148 1.1 Definities en voorbeelden............................ 148 1.2 Deelruimte van een lineaire ruimte...................... 150 1.3 Basis en dimensie van een lineaire ruimte................... 152 1.4 Coördinatisering................................. 158 1.5 Bewerkingen met deelruimten......................... 158 a2 Matrices, determinanten en stelsels 162 2.1 Inleiding..................................... 162 2.2 Bewerkingen met matrices........................... 163 2.3 De ring der n n matrices........................... 169 2.4 Blokmatrices.................................. 172 2.5 Determinant van een vierkante matrix.................... 176 2.6 Elementaire rijbewerkingen........................... 191 2.7 Gauss-normale vorm van een matrix...................... 197 2.8 Hermite-normale vorm van een matrix.................... 201 2.9 Normale vorm van een matrix......................... 208 a3 Matrices en lineaire transformaties 211 3.1 Matrices als lineaire transformaties...................... 211 3.2 Transponeringsalgoritme voor lineaire stelsels................ 218 3.3 Lineaire transformaties tussen vectorruimten................. 223 a4 Eigenwaarden en eigenvectoren van lineaire transformaties 237 4.1 Definities.................................... 237 4.2 Stelling van Cayley Hamilton......................... 244 4.3 Diagonaliseerbaarheid van matrices...................... 248 ii

a5 Inproductruimten 255 5.1 Definities en elementaire eigenschappen.................... 255 5.2 Orthogonaliteit................................. 259 5.3 Normale, unitaire en hermitische matrices.................. 267 5.4 Bilineaire en kwadratische vormen....................... 271 A Een axiomastelsel voor de driedimensionale reële affiene ruimte A.1 A.1 De incidentie-axioma s............................. A.1 A.2 De ordeningsaxioma s.............................. A.2 A.3 De continuïteitsaxioma s............................ A.2 B Algebraïsche structuren B.1 B.1 Groepen en semi-groepen............................ B.1 B.2 Ringen en velden................................ B.3 iii

gedeelte Meetkunde What is it that gives us the feeling of elegance in a solution? It is the harmony of the diverse parts, their symmetry, their happy balance; it is all that introduces order, gives unity, and permits us to comprehend at once both the ensemble and the details. Jules Henri Poincaré (1854-1912)

Hoofdstuk m1 Vectoren Voor het bestuderen en grafisch voorstellen van geometrische objecten is een wiskundige beschrijving noodzakelijk. Daartoe zal men in de driedimensionale ruimte een geschikt coördinatenstelsel invoeren om over te gaan tot een algebraïsche representatie: dit is het uitgangspunt van de analytische meetkunde. Vermits de gebruikte coördinaten slechts een hulpmiddel vormen, mogen conclusies omtrent eigenschappen van de beschouwde objecten niet afhangen van het gekozen stelsel; ze moeten m.a.w. cöordinaat-onafhankelijk zijn. De fundamentele bouwstenen in de ruimte zijn enerzijds punten en anderzijds vectoren, concepten die dikwijls door elkaar worden gebruikt, waardoor de overtuiging ontstaat als zouden ze in essentie hetzelfde zijn. Hoewel er natuurlijk een sterk verband is tussen beide, is deze perceptie niet correct, zoals zal blijken in dit hoofdstuk. 1.1 Vrije vectoren De elementen van de driedimensionale affiene ruimte E zijn punten, die we voorstellen door middel van hoofdletters. We noemen E daarom ook de puntenruimte. Rechten en vlakken zijn bijzondere deelverzamelingen van E. Definitie 1.1.1 Puntenkoppels (P,Q) en (P,Q ) van de affiene ruimte E heten equipollent als en slechts dan als één van de volgende gevallen zich voordoet: (P,Q) = (P,Q ); P = Q en P = Q ; P, Q, Q en P zijn in deze volgorde de hoekpunten van een parallellogram; (P,Q) en (P,Q ) zijn koppels van eenzelfde rechte, waarvoor een koppel (P,Q ) bestaat, niet op die rechte gelegen, zodanig dat PQQ P en P Q Q P parallellogrammen zijn. De equipollentie van puntenkoppels bepaalt een equivalentierelatie op E E. 2

Definitie 1.1.2 Een (vrije) vector is een klasse van equipollente puntenkoppels. Aldus bepaalt elk koppel punten (P,Q) op ondubbelzinnige wijze een (vrije) vector v = PQ. Elk koppel punten (R,S) dat equipollent is met (P,Q) bepaalt dezelfde vector. Men noemt (P,Q) en (R,S) representanten van de vector v, zie Figuur 1.1. Het adjectief vrij geeft aan dat elk punt van de ruimte het beginpunt kan zijn van een koppel dat de vector representeert. Figuur 1.1: Representanten van een vrije vector Vrije vectoren worden aldus gekenmerkt door een richting, een zin (of oriëntatie) en een lengte of norm, maar hebben geen vaste positie in de ruimte. De richting van een vector v is bij definitie gegeven door de richting van elke rechte waarmee v parallel is. Twee vectoren met dezelfde richting worden dan ook parallelle (of evenwijdige) vectoren genoemd. Merk op dat de nulvector, gedefinieerd door elk koppel identieke punten, de enige vector is die geen richting bezit. Wordt de vector v gerepresenteerd door (P, Q), dan is QP de tegengestelde vector, die we noteren als v. Deze vectoren hebben dezelfde richting, maar tegengestelde zin of oriëntatie. De notatie door v en de benaming tegengestelde vector zullen gerechtvaardigd blijken, wanneer we in volgende paragraaf de optelling van vectoren beschouwen. Om het derde intrinsieke kenmerk, de lengte van een vector, te kunnen hanteren, moeten we werken in de euclidische ruimte: dit is de puntenruimte E voorzien van een metriek voor het meten van afstanden en hoeken. In de euclidische ruimte kan aan elk lijnstuk een lengte worden toegekend, een positief getal dat de verhouding aangeeft van het lijnstuk tot een vooraf gekozen lengte-eenheid. I.h.b. bepalen equipollente puntenkoppels lijnstukken met dezelfde lengte, en kan men dus aan elke vrije vector een lengte of norm associëren. Definitie 1.1.3 (1) De afstand tussen twee punten P en Q, genoteerd d(p,q), is de lengte van het lijnstuk PQ. (2) De norm van een vector v, genoteerd v, is de afstand tussen twee willekeurige punten P en Q die een representant van v bepalen. De nulvector is de enige vector met norm 0; elke vector waarvan de norm 1 is, wordt een eenheidsvector genoemd. 3

We besluiten derhalve tot volgende karakterisatie van punten en (vrije) vectoren: een punt wordt gekarakteriseerd door zijn positie in de ruimte; deze positie is trouwens het enige kenmerk dat het ene punt van het andere onderscheidt; een (vrije) vector heeft juist géén vaste positie, maar wordt gekarakteriseerd door een richting (die van de rechte PQ), een oriëntatie (van P naar Q) en een norm (de lengte van het lijnstuk [PQ]); de nulvector is uniek bepaald door zijn norm. Verderop zullen we ook zien dat de bewerkingen op punten en op vectoren van een fundamenteel verschillende aard zijn. 1.2 Bewerkingen met vectoren We leggen vooreerst een verband tussen vectoren en translaties. Alle representanten van een vrije vector u kunnen namelijk ook worden geïnterpreteerd als koppels van een permutatie van de puntenruimte E, namelijk de translatie met translatievector u. Definitie 1.2.1 De permutatie van E die een willekeurig punt P van E afbeeldt op het punt P bepaald door u = PP, noemt men de translatie met translatievector u (of: over de vector u), genoteerd T u. Of: T u (P) = P u = PP. De translatie met translatievector 0 is de identieke permutatie. Elke translatie T u van E beeldt een willekeurig koppel (P,Q) af op een koppel dat ermee equipollent is, m.a.w. als (P,Q) een representant is van de vector v, dan is (T u (P),T u (Q)) eveneens een representant van v, zie Figuur 1.2. Figuur 1.2: Translatie van een vector We definiëren nu de optelling van vectoren en de vermenigvuldiging van een vector met een scalair (d.w.z. met een reëel getal). Definitie 1.2.2 Representeert men twee willekeurige vectoren v en w door opeenvolgende puntenkoppels (P,Q) en (Q,R), dan is hun som v + w de vector waarvoor het koppel (P,R) een representant is. 4

Merk op dat v + w de translatievector is van de samenstelling der translaties met respectieve vectoren v en w. De optelling der vectoren correspondeert aldus met de samenstelling van translaties, zie Figuur 1.3. Figuur 1.3: Som van vectoren versus samenstelling van translaties Propositie 1.2.1 De verzameling der vrije vectoren (notatie V ), voorzien van de hierboven gedefinieerde optelling is een commutatieve groep (zie Appendix B). D.w.z. dat u, v, w V volgende eigenschappen gelden: (1) ( u + v) + w = u + ( v + w) (2) v + 0 = 0 + v = v (3) v + ( v) = ( v) + v = 0 (4) v + w = w + v Deze groep is isomorf met de groep der translaties van E. Voor elke n N 0 N\{0} en elke v 0 voeren we nu de volgende verkorte notaties in: n v = v +... + v (n termen) ( n) v = n( v) Verder stellen we bij definitie n v = 0 zodra n = 0 of v = 0. Hiermee is het produkt van een vector met een willekeurig geheel getal gedefinieerd. Analoog willen we betekenis geven aan de vermenigvuldiging van een vector met een willekeurig reëel getal. We doen dit in het kader van de euclidische ruimte. Steunend op de axioma s (11a)-(11b) van de affiene ruimte (zie Appendix A), zou men deze bewerking nochtans ook affien kunnen invoeren, zonder beroep te doen op het begrip norm. We gaan hierop evenwel niet dieper in en beperken ons tot de praktische euclidische definitie. Definitie 1.2.3 Zij v 0 een vector en s 0 een reëel getal. Dan is s v = u de vector die voldoet aan (1) u is parallel met v (2) u en v hebben dezelfde zin als s > 0; u en v hebben tegengestelde zin als s < 0; (3) u = s v 5

Propositie 1.2.2 De hierboven gedefinieerde vermenigvuldiging met scalairen voldoet, s,t R en v, w V aan volgende eigenschappen: (1) s( v + w) = s v + s w (2) (s + t) v = s v + t v (3) s(t v) = (st) v (4) 1 v = v Uit Proposities 1.2.1-1.2.2 en gezien de definitie van het abstracte begrip lineaire ruimte (zie Hoofdstuk a1) volgt onmiddellijk: Stelling 1.2.1 De verzameling der vrije vectoren V, voorzien van de optelling en de vermenigvuldiging met scalairen is een lineaire ruimte over R. Aansluitend bij de vermenigvuldiging van een vector met een scalair kunnen we ook de verhouding van twee parallelle vectoren invoeren. Definitie 1.2.4 Zij ( v, w) met w 0 een koppel parallelle vectoren. Onder de verhouding v verstaan we w het reëel getal s bepaald door v = s w, m.a.w. (1) s = v w (2) s > 0 als v en w dezelfde zin hebben; s < 0 als v en w tegenstelde zin hebben. De zeer belangrijke stelling van Thales handelt over het behoud van de verhouding van vectoren onder een parallelprojectie. Vooraleer deze te formuleren, moeten we dus het begrip parallelprojectie correct definiëren. Definitie 1.2.5 Zij P E, α een vlak en a een rechte, niet parallel met α. Het beeld van P onder de parallelprojectie op α volgens de richting van a is het snijpunt P van het vlak α met de rechte a door P, evenwijdig met a, zie Figuur 1.4a. Men noemt a de projecterende rechte van P. Definitie 1.2.6 Zij P E, a een rechte en α een vlak, niet parallel met a. Het beeld van P onder de parallelprojectie op a volgens de richting van α is het snijpunt P van de rechte a met het vlak α door P, evenwijdig met α, zie Figuur 1.4b. Men noemt α het projecterend vlak van P. 6

Figuur 1.4: Parallelprojecties volgens de richting van (a) een rechte (b) een vlak De richting van de rechte, respectievelijk van het vlak, volgens de welke er wordt geprojecteerd, noemt men ook de projecterende richting, respectievelijk de projecterende vlakkenrichting. Merk onmiddellijk op dat een parallelprojectie een vector op zichzelf zal afbeelden, als en slechts dan als die vector evenwijdig is met rechten-, respectievelijk vlakkenrichting waarop wordt geprojecteerd. Merk bovendien op dat elke parallelprojectie de equipollentie van puntenkoppels behoudt. Stelling 1.2.2 [Thales] De verhouding van een willekeurig koppel parallelle vectoren ( v, w) is invariant voor elke parallelprojectie waarvan de projecterende richting niet parallel is met de gegeven vectoren, of nog, v w = v p w p, zie Figuur 1.5. Figuur 1.5: Stelling van Thales In de lineaire ruimte V kunnen we nu de begrippen lineaire combinatie, lineair afhankelijk (of onafhankelijk) stel van vectoren en basis invoeren (zie ook Hoofdstuk a1). Definitie 1.2.7 Een eindig stel vectoren ( v 1,..., v n ) van V wordt lineair afhankelijk genoemd indien er in R n een stel scalairen (s 1,...,s n ) (0,...,0) bestaat zodanig dat s 1 v 1 +... + s n v n = 0 In het tegenovergestelde geval wordt het stel lineair onafhankelijk genoemd. 7

Definitie 1.2.8 Een vector v is een lineaire combinatie van ( v 1,..., v n ) indien er een stel scalairen (s 1,...,s n ) in R n bestaat zodanig dat v = s 1 v 1 +... + s n v n Figuur 1.6: Lineaire combinatie van de vectoren u, v en w Gevolg 1.2.1 Is v een lineaire combinatie van een aantal vectoren v 1,..., v n, dan is ( v, v 1,..., v n ) een lineair afhankelijk stel. Definitie 1.2.9 Een deelverzameling W van V, die zelf een lineaire ruimte is voor de gewone optelling en de vermenigvuldiging met scalairen, wordt een deelruimte van V genoemd. Propositie 1.2.3 Zij ( v 1,..., v n ) een n-tal vectoren van V. De deelverzameling W van V die bestaat uit alle lineaire combinaties van dit n-tal, is een deelruimte van V. Men zegt dat W wordt voortgebracht door ( v 1,..., v n ). Definitie 1.2.10 Zij W een deelruimte van V en beschouw een stel vectoren ( v 1,..., v n ) in W. Dit n-tal wordt een basis van W genoemd als aan volgende voorwaarden is voldaan: v 1,..., v n zijn lineair onafhankelijk v 1,..., v n zijn voortbrengend voor W, d.w.z. v W, (s 1,...,s n ) R n : v = s 1 v 1 +... + s n v n Men kan aantonen dat elke ruimte die wordt voortgebracht door een eindig aantal vectoren minstens één basis bezit en dat alle basissen dan evenveel elementen bevatten. Het aantal elementen van een basis van een lineaire ruimte noemt men de dimensie van die vectorruimte. Voor details hieromtrent verwijzen naar Hoofdstuk a1. In wat volgt zullen we beredeneren dat, aansluitend bij de fysische realiteit waaruit ze is ontstaan, de ruimte V wordt voortgebracht door elk stel van drie lineair onafhankelijke vectoren; ze is derhalve driedimensionaal in de algebraïsche betekenis van het woord. 8

1.3 De ruimte V als driedimensionale vectorruimte Beschouw de verzameling V a der vectoren die parallel zijn met een gegeven rechte a (inclusief 0). Kiest men een willekeurige vector e ( 0) in V a, dan is voor elke andere vector v V a de verhouding v e goedgedefinieerd, zodat v V a, s R : v = s e Omgekeerd is elke vector van de vorm s e parallel met e en behoort derhalve tot V a. M.a.w., V a is een lineaire ruimte, waarvoor elke vector ( e) verschillend van de nulvector tot basis kan worden gekozen. De scalair s noemt men het kental (of de abscis) van v t.o.v. de basis ( e). Propositie 1.3.1 De verzameling V a, bestaande uit de nulvector en alle vectoren parallel met een gegeven rechte a, is een ééndimensionale deelruimte van V. Gevolg 1.3.1 Twee vectoren in V zijn lineair onafhankelijk als en slechts dan als ze beide verschillen van de nulvector en onderling niet parallel zijn. Beschouw vervolgens de verzameling V α der vectoren die parallel zijn met een gegeven vlak α (opnieuw inclusief 0). We kiezen twee vectoren e 1 0 en e 2 0, beide parallel met α, maar onderling niet parallel; ( e 1, e 2 ) is derhalve een lineair onafhankelijk stel in V α. Merk eerst en vooral op dat elke lineaire combinatie van e 1 en e 2 parallel is met α en dus tot V α behoort. Omgekeerd, neem een willekeurige vector v in V α. Vanuit een willekeurig, maar vast gekozen punt P α kan men v, e 1 en e 2 representeren door koppels (P,Q), (P,E 1 ) en (P,E 2 ) met Q,E 1,E 2 α. Daar e 1 en e 2 onderling niet parallel zijn, kunnen we het punt Q projecteren op PE 1 volgens de richting e 2, respectievelijk op PE 2 volgens de richting e 1. We bekomen aldus een parallellogram PQ 1 QQ 2 in α waarvan de zijden parallel zijn met e 1 en e 2, zie Figuur 1.7. Figuur 1.7: Decompositie van de vector PQ Aangezien deze punten zich alle in eenzelfde vlak bevinden en gezien de definitie van de optelling der vectoren kunnen we schrijven v = PQ 1 + PQ 2 v 1 + v 2 9

Verder weten we reeds dat er unieke getallen s 1 en s 2 zullen bestaan zodanig dat Derhalve geldt er s 1 = v 1 e 1 en s 2 = v 2 e 2 v V α, (s 1,s 2 ) R 2 : v = s 1 e 1 + s 2 e 2 m.a.w., V α is een lineaire ruimte waarvoor ( e 1, e 2 ) een basis is. Het stel scalairen (s 1,s 2 ) noemt men de kentallen van v t.o.v. de basis ( e 1, e 2 ). Propositie 1.3.2 De verzameling V α, bestaande uit de nulvector en alle vectoren parallel met een gegeven vlak α, is een tweedimensionale deelruimte van V. Gevolg 1.3.2 Drie vectoren van V zijn lineair onafhankelijk als en slechts dan als ze alle verschillen van de nulvector en niet parallel zijn met eenzelfde vlak. Kies dus drie vectoren e 1, e 2 en e 3 van V, alle verschillend van 0 en niet parallel met eenzelfde vlak; ( e 1, e 2, e 3 ) is dan een lineair onafhankelijk stel. Representeren we deze vectoren vanaf een vast punt P door koppels (P,E i ), i = 1, 2, 3, dan weten we dat de rechte PE 3 niet tot het vlak PE 1 E 2 behoort. Zij v = P Q een willekeurige vector van V, dan kunnen we dus de parallelprojectie van Q op PE 1 E 2 volgens de richting van de rechte PE 3 beschouwen; noem dit punt Q. Analoog kunnen we de parallelprojectie van Q op PE 3 volgens de richting van het vlak PE 1 E 2 beschouwen; dit punt noemen we Q 3, zie Figuur 1.8. Figuur 1.8: Decompositie van de vector PQ We vinden aldus v = PQ = PQ + Q Q = PQ + PQ 3 waarbij PQ parallel is met het vlak PE 1 E 2 en PQ 3 parallel is met de rechte PE 3. Uit wat voorafgaat weten we dat er scalairen s 1, s 2 en s 3 zullen bestaan zodanig dat PQ 3 = s 3 e 3 en PQ = s 1 e 1 + s 2 e 2 10

Derhalve geldt er v V, (s 1,s 2,s 3 ) R 3 : v = s 1 e 1 + s 2 e 2 + s 3 e 3 Omgekeerd is elke lineaire combinatie van e 1, e 2 en e 3 uiteraard een vector en behoort dus tot V. Bijgevolg kunnen we besluiten dat ( e 1, e 2, e 3 ) een basis vormt voor V. Het stel scalairen (s 1,s 2,s 3 ) noemt men de kentallen van v t.o.v. de basis ( e 1, e 2, e 3 ). Propositie 1.3.3 De ruimte V der vrije vectoren is een driedimensionale lineaire ruimte over R. Elk stel van drie lineair onafhankelijke vectoren vormt een basis van V. Gevolg 1.3.3 Elk stel van minstens vier vrije vectoren is lineair afhankelijk. Leggen we de volgorde van de gekozen basisvectoren e 1, e 2 en e 3 vast, zoals reeds door de notatie werd gesuggereerd we spreken dan van een geordende basis dan zijn de kentallen van een willekeurige vector v t.o.v. ( e 1, e 2, e 3 ) uniek. Inderdaad, stel dat v = s 1 e 1 + s 2 e 2 + s 3 e 3 = t 1 e 1 + t 2 e 2 + t 3 e 3 dan volgt hieruit onmiddellijk dat s i = t i, i = 1, 2, 3, wegens de lineaire onafhankelijkheid van de basisvectoren. Na het kiezen van een (geordende) basis kunnen we derhalve met elke vector v V een unieke rij- of kolommatrix identificeren, die de kentallen van v bevat: v (s 1 s 2 s 3 ) of v In het kader van deze cursus zullen we doorgaans de kolommatrixnotatie hanteren. Zij verder λ R en v, w V met respectieve kentallen (s 1,s 2,s 3 ) en (t 1,t 2,t 3 ), dan zien we ook dadelijk dat de kentallen van λ v + w worden gegeven door (λs 1 + t 1,λs 2 + t 2,λs 3 + t 3 ) Aangezien men een willekeurig drietal lineair onafhankelijke vectoren tot basis van V kan nemen, is het belangrijk te weten hoe de kentallen van een vector v zullen wijzigen wanneer men een andere basis kiest. Met een licht taalmisbruik we zullen de term coördinaten immers reserveren voor punten, niet voor vectoren noemen we een dergelijke verandering van basis een coördinatentransformatie in V. Veiliger en correcter zou zijn te spreken over een kentallentransformatie. Hieronder beredeneren we dat een dergelijke kentallen- of coördinatentransformatie kan worden geïdentificeerd met een matrix. s 1 s 2 s 3 11

Veronderstel dus dat ( e 1, e 2, e 3 ) een eerste basis is voor V en beschouw een willekeurige vector v, met kentallen (s 1,s 2,s 3 ). Kies vervolgens een nieuwe basis ( e 1, e 2, e 3 ). We noteren de kentallen van de nieuwe basisvector e j, j = 1, 2, 3, t.o.v. de oorspronkelijke basis door (a 1j,a 2j,a 3j ), m.a.w. e j = a 1j e 1 + a 2j e 2 + a 3j e 3, j = 1, 2, 3 (1.1) De kentallen van de vector v t.o.v. de nieuwe basis noteren we (s 1,s 2,s 3). Aldus geldt er v = s 1 e 1 + s 2 e 2 + s 3 e 3 = s 1 e 1 + s 2 e 2 + s 3 e 3 Met behulp van (1.1) en door het lineair onafhankelijk zijn van ( e 1, e 2, e 3 ), leidt dit tot of, in matrixnotatie s 1 s 2 = s 3 s 1 = s 1a 11 + s 2a 12 + s 3a 13 s 2 = s 1a 21 + s 2a 22 + s 3a 23 s 3 = s 1a 31 + s 2a 32 + s 3a 33 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 s 1 s 2 s 3 of s = As Dit levert het verband tussen de kentallen van een willekeurige vector v t.o.v. twee verschillende basissen. Een coördinatentransformatie in V wordt dus voorgesteld door een (3 3)-matrix A, waarvan de j-de kolom de kentallen bevat van de j-de nieuwe basisvector t.o.v. de oude basis. Willen we logischerwijze de nieuwe kentallen uitdrukken i.f.v. de oude, dan komt er s = Bs, met B = A 1 Dat de matrix A inverteerbaar is, volgt onmiddellijk uit het feit dat de nieuwe basis bij definitie moet bestaan uit lineair onafhankelijke vectoren. De kolommen van A zijn dus eveneens lineair onafhankelijk, zodat det(a) 0 en A 1 bestaat, zie ook Hoofdstuk a2. 1.4 De gepunte ruimte E O In de affiene ruimte wordt soms een bevoorrecht punt O gekozen tot oorsprong; de ruimte met oorsprong noemen we de gepunte ruimte, genoteerd E O. Na keuze van O correspondeert met elk punt P E een vector v V waarvoor (O,P) een representant is. Deze representant noemen we de plaatsvector of gebonden vector met beginpunt O, genoteerd OP. Een gebonden vector heeft dus een vast beginpunt, in tegenstelling tot een vrije vector die in elk punt van de ruimte kan aangrijpen. Op die manier onstaat een één éénduidig verband tussen punten van E en gebonden vectoren in E O, zie Figuur 1.9. 12

Figuur 1.9: Vrije en gebonden vectoren Om de affiene ruimte te coördinatiseren, kiezen we bijgevolg een oorsprong O en een basis ( e 1, e 2, e 3 ) van V. Definitie 1.4.1 Zij P een punt in E. Met P correspondeert een unieke gebonden vector OP en een unieke vrije vector v V, waarvoor (O,P) een representant is. De coördinaten van het punt P zijn bij definitie de kentallen van deze vector v t.o.v. ( e 1, e 2, e 3 ). Zijn OE i, i = 1, 2, 3, de gebonden vectoren die corresponderen met e i, i = 1, 2, 3, dan noemt men de halfrechten OE i, georiënteerd van O naar E i de (coördinaat)assen. Het geheel van oorsprong en (coördinaat)assen noemt men een coördinatenstelsel of assenstelsel. Verder noemen we OE 1 E 2 E 3 een rechtshandig (respectievelijk linkshandig) assenstelsel, als duim, wijsvinger en middenvinger van de rechterhand (respectievelijk de linkerhand) in die volgorde langs de halfrechten OE 1, OE 2 en OE 3 kunnen worden gestrekt. In wat volgt zullen we, tenzij anders vermeld, steeds met een rechtshandig assenstelsel werken. Naar analogie noemen we dan het stel vrije vectoren ( e 1, e 2, e 3 ) een rechtshandige basis van V. Gevolg 1.4.1 Zijn (p 1,p 2,p 3 ) de coördinaten van een punt P, dan geldt er aldus OP p 1 = 1, e 1 OP p 2 = 2, e 2 OP p 3 = 3, e 3 waarbij P 1, P 2 en P 3 de beelden zijn van P onder een parallelprojectie op de respectieve coördinaatassen OE 1, OE 2, OE 3, volgens de respectieve vlakrichtingen OE 2 E 3, OE 1 E 3, OE 1 E 2, zie ook Figuur 1.10. Figuur 1.10: Coordinaatprojecties van een punt P 13

In een veelgebruikte benaming zullen we de OE 1 -as ook de X-as noemen, de OE 2 -as de Y -as en de OE 3 -as de Z-as. De vlakken die worden bepaald door telkens twee van de drie coördinaatassen noemen we de coördinaatvlakken, en we noteren ze als het XY -vlak, het XZ-vlak en het Y Z-vlak, respectievelijk. De coördinaten van een punt zullen we ook als (x,y,z) noteren en noemen we respectievelijk de abscis, de ordinaat en de hoogte. Zowel de coördinaten van punten als de kentallen van vectoren zijn dus geordende drietallen reële getallen. Omgekeerd kan een geordend drietal reële getallen corresponderen met twee essentieel verschillende objecten in de ruimte: een punt of een vector. We zagen reeds dat een lineaire combinatie van vectoren opnieuw een vector is, gedefinieerd los van oorsprong of basis. Voert men met het oog op berekeningen een coördinatenstelsel in, dan zijn de kentallen van een lineaire combinatie van vectoren de overeenkomstige lineaire combinaties van de kentallen van deze vectoren. Nu kunnen we ons omgekeerd ook afvragen welke betekenis er kan worden gehecht aan willekeurige lineaire combinaties van drietallen reële getallen, afkomstig van kentallen van vectoren, coördinaten van punten of zelfs van een vermenging van beide. Willen we hiermee bewerkingen op de corresponderende objecten laten overeenstemmen, dan is het van belang dat deze bewerkingen, uitgevoerd t.o.v. een bepaald coördinatenstelsel, objecten bepalen die er onafhankelijk van zijn. Eens de coördinatisering doorgevoerd, zal men immers het verschil niet meer waarnemen tussen een vector en een punt: beide zijn herleid tot een drietal reële getallen en men kan er met het grootste gemak dezelfde (rekenkundige) bewerkingen op uitvoeren. Het komt er dus op aan te weten of het resultaat van een reeks louter rekenkundige manipulaties wel een meetkundig zinvolle interpretatie heeft. We beginnen met twee eenvoudige voorbeelden. Zijn (p 1,p 2,p 3 ) en (q 1,q 2,q 3 ) de respectieve coördinaten van twee punten P en Q, dan worden de kentallen van de vector v = PQ gegeven door (q 1 p 1,q 2 p 2,q 3 p 3 ). Immers, de vector waarvoor (O,Q) een representant is, kan worden geschreven als de som van de vectoren waarvoor (O, P) en (P, Q) representanten zijn, waaruit het verband tussen kentallen en coördinaten volgt, zie Figuur 1.11. Figuur 1.11: Verschil van twee punten som van een vector en een punt Deze vector is uiteraard onafhankelijk van het gekozen coördinatenstelsel, wat meteen leidt tot de definitie van het verschil van twee punten. 14

Definitie 1.4.2 Het verschil van twee punten P en Q, genoteerd Q P is de (unieke) vector v waarvoor (P,Q) een representant is. Zij vervolgens P een punt en v een vector. Zijn (p 1,p 2,p 3 ) de coördinaten van P en (v 1,v 2,v 3 ) de kentallen van v, dan weten we reeds dat (p 1 +v 1,p 2 +v 2,p 3 +v 3 ) de coördinaten zijn van het punt Q, dat het beeld is van P onder de translatie T v. Dit geordend drietal reële getallen correspondeert derhalve met een object (een punt) dat onafhankelijk is van het coördinatenstelsel. Hierdoor wordt dus een betekenis gegeven aan de uitdrukking P + v als som van een punt en een vector, zie opnieuw Figuur 1.11. Definitie 1.4.3 De som van een punt P en een vector v, genoteerd P + v, is het (unieke) punt Q waarvoor geldt dat v = PQ. Nu blijft de vraag of we, via overeenkomstige bewerkingen met coördinaten, een betekenis kunnen geven aan de som van twee punten en algemener aan een lineaire combinatie van punten. Figuur 1.12: Som van twee punten Beschouw hiertoe twee punten P en Q, met respectieve coördinaten (p 1,p 2,p 3 ) en (q 1,q 2,q 3 ). Dan zou men het drietal (p 1 +q 1,p 2 +q 2,p 3 +q 3 ) kunnen interpreteren als de coördinaten van een punt P +Q. Proberen we echter dit punt meetkundig te bepalen, dan blijkt dit afhankelijk te zijn van het beschouwde coördinatenstelsel, zie Figuur 1.12. Het begrip som van twee punten en de notatie P +Q hebben dus geen betekenis los van een coördinatenstelsel. Dit geldt bijgevolg in het algemeen ook voor lineaire combinaties van de vorm ( n α i p i1, i=0 n α i p i2, i=0 n α i p i3 ), waarmee men een punt n i=0 α ip i zou willen laten corresponderen, als (p i1,p i2,p i3 ) de coördinaten zijn van punten P i E. Toch zullen we met specifieke lineaire combinaties van punten een goedgedefinieerd punt kunnen associëren dat onafhankelijk is van het gehanteerde assenstelsel. i=0 15

Stelling 1.4.1 Beschouwen we n + 1 punten P i, i = 0,...,n en een (n + 1)-tal reële getallen (α 0,...,α n ), waarvoor geldt n α i = 1 dan stelt n i=0 α ip i een punt voor. Bewijs. Merk op dat i=0 n α i P i = P 0 + i=0 n α i (P i P 0 ). Het rechterlid kan, steunend op wat voorafgaat, worden geïnterpreteerd als de som van een punt en een vector. Hierdoor wordt een punt voorgesteld, dat onafhankelijk is van het coördinatenstelsel. Merk verder nog op dat dit punt evenmin afhangt van het bevoorrechten van P 0 in de hierboven gebruikte werkwijze. Immers, stelt men en, voor j {1,...,n}, Q 0 = P 0 + Q j = P j + i=1 n α i (P i P 0 ) i=1 n i=0,i j α i (P i P j ), dan kan men gemakkelijk nagaan dat Q 0 Q j = 0, zodat het puntenkoppel (Q 0,Q j ) een representant is van de nulvector. M.a.w., Q 0 en Q j stellen hetzelfde punt voor. Definitie 1.4.4 Een lineaire combinatie, waarbij de som der coëfficiënten gelijk is aan 1, noemt men een barycentrische combinatie. Barycentrische combinaties van punten zullen in tal van meetkundige toepassingen een belangrijke rol spelen. Een bijzondere klasse van barycentrische combinaties wordt gevormd door de convexe combinaties, waarvoor geldt dat elke optredende coëfficiënt α i positief of nul is (en dus automatisch tot het interval [0, 1] behoort). Definitie 1.4.5 De verzameling van alle convexe combinaties van een eindige verzameling punten noemt men de convexe omhullende van deze verzameling. Men kan aantonen dat de convexe omhullende van een stel coplanaire punten de (unieke) convexe veelhoek is waarvoor geldt dat alle hoekpunten van de veelhoek zijn punten van het gegeven stel, en dat alle andere punten van het stel gelegen zijn binnen de veelhoek of op de rand ervan, zie Figuur 1.13. 16

Figuur 1.13: Convexe omhullende van een stel coplanaire punten Gevolg 1.4.2 Het lijnstuk bepaald door elk puntenpaar van een gegeven verzameling behoort volledig tot de convexe omhullende van deze verzameling. Tenslotte zijn er ook specifieke lineaire combinaties van punten waarmee een vector kan worden geassocieerd, zoals blijkt uit de volgende stelling. Stelling 1.4.2 Beschouwen we n + 1 punten P i, i = 0,...,n en een (n + 1)-tal reële getallen (α 0,...,α n ), waarvoor geldt n α i = 0 dan stelt n i=0 α ip i een vector voor. Bewijs. Merk op dat i=0 n α i P i = i=0 n α i (P i P 0 ). i=1 Het rechterlid stelt een vector voor die een lineaire combinatie is van de vectoren met representanten (P 0,P i ). Analoog als in het bewijs van stelling 1.4.1, kan men gemakkelijk nagaan dat deze vector niet afhangt van het bevoorrechten van het punt P 0. Tot slot vermelden we nog enkele eenvoudige, maar belangrijke voorbeelden van barycentrische combinaties van punten. Definitie 1.4.6 Het punt M wordt het midden van het puntenkoppel (A,B) genoemd als M voldoet aan de voorwaarde AM + BM = 0. Men zegt ook dat M het midden is van het lijnstuk AB. Propositie 1.4.1 Het midden M van het lijnstuk bepaald door de punten A en B wordt gegeven door de convexe combinatie M = 1 2 A + 1 B van de eindpunten. 2 17

Figuur 1.14: Midden van een lijnstuk Bewijs. Na keuze van een oorsprong O, kan de voorwaarde AM + BM = 0 worden herschreven als AO + OM + BO + OM = 0 of nog 2OM = OA + OB. Voor de respectieve coördinaten (m 1,m 2,m 3 ), (a 1,a 2,a 3 ) en (b 1,b 2,b 3 ) van M, A en B geldt aldus dat m i = 1 2 (a i + b i ), i = 1, 2, 3. Aangezien het een convexe combinatie betreft, hangt het resultaat niet af van de keuze van O, zodat we inderdaad kunnen schrijven M = A + B. 2 Als tweede voorbeeld van een barycentrische (zelfs convexe) combinatie, nemen we het zwaartepunt van een gegeven puntenstel, dat op analoge wijze wordt ingevoerd als het midden van een puntenkoppel. Definitie 1.4.7 Het zwaartepunt of barycentrum van een stel punten P i, i = 1,...,n, is het (unieke) punt P dat voldoet aan de volgende voorwaarde: PP 1 + PP 2 +... + PP n = 0. Propositie 1.4.2 Het zwaartepunt van een stel punten P i, i = 1,...,n, wordt gegeven door de convexe combinatie P = 1 n P i n van deze punten. i=1 Bewijs. Verloopt analoog als het bewijs van Propositie 1.4.1. In verdere hoofdstukken zullen krommen worden bepaald d.m.v. uitdrukkingen van de vorm n i=0 f i(t)p i, waarbij P i, i = 0,...,n, gegeven punten zijn. Hierbij zal voor de optredende gewichtsfuncties f i steeds moeten gelden dat n i=0 f i(t) = 1, voor alle waarden van t die in aanmerking komen: inderdaad, deze eigenschap zorgt ervoor dat met alle t-waarden een punt correspondeert dat onafhankelijk is van het coördinatenstelsel dat men voor verdere berekeningen zou invoeren. We beëindigen dit hoofdstuk met het herhalen van een aantal begrippen en bewerkingen uit de euclidische meetkunde. 18

1.5 Scalair product van vectoren Definitie 1.5.1 De hoek tussen twee vectoren v 0 en w 0, genoteerd ( v, w), is de gewone nietgeoriënteerde hoek tussen de halfrechten OV en OW vanuit de oorsprong, waarbij (O,V ) een representant is van v en (O,W) een representant is van w, zie Figuur 1.15. Figuur 1.15: Hoek θ tussen twee vectoren v en w Met een licht misbruik van notatie zullen we ook het maatgetal van die hoek als ( v, w) noteren. De hoek is nul voor parallelle vectoren met dezelfde zin en π voor parallelle vectoren met tegengestelde zin. In alle andere gevallen geldt 0 < ( v, w) < π. Definitie 1.5.2 We noemen twee vectoren v en w orthogonaal, notatie v w, als hun ingesloten hoek gelijk is aan π 2. Definitie 1.5.3 Zij P E en zij α een vlak. Dan is de loodlijn door P op α de unieke rechte door P waarvan de richtingsvector orthogonaal is met alle vectoren in V α, met uitzondering van de nulvector. Het beeld van P onder de orthogonale projectie op α is het voetpunt P van de loodlijn door P op α. Definitie 1.5.4 Zij P E en zij a een rechte. Dan is de loodlijn door P op a de unieke rechte door P waarvan de richtingsvector orthogonaal is met alle vectoren in V a, met uitzondering van de nulvector. Het beeld van P onder de orthogonale projectie op a is het voetpunt P van de loodlijn door P op a. Een orthogonale projectie is natuurlijk een bijzondere parallelprojectie: er wordt geprojecteerd volgens de gemeenschappelijke richting der loodlijnen op α (respectievelijk der loodvlakken op a). Zij v de orthogonale projectie van een willekeurige vector v 0 op een rechte evenwijdig met de eenheidsvector u, dan noemen we v de component van v volgens u. Er geldt: v = v cos( v, u) (1.2) Merk op dat de keuze van de rechte waarop wordt geprojecteerd geen invloed heeft, zolang ze maar evenwijdig is met u. 19

Definitie 1.5.5 Het scalair product v w van een koppel vectoren ( v, w) wordt gegeven door: (1) is v = 0 of w = 0, dan is v w = 0; (2) is v 0 en w 0, dan is v w = v w cos( v, w) Dit product wordt scalair product genoemd omdat het resultaat ervan een reëel getal, dus een scalair is. Merk op v w = 0 v = 0 of w = 0 of v w. Het scalair product van twee vectoren kan dus nul worden, zonder dat één van beide de nulvector is. Uit u v = u w mag men dus zeker niet besluiten dat v = w! Gevolg 1.5.1 Zijn v 0 en w 0, dan is het scalair product van v en w gelijk aan het scalair product van v met de component van w volgens v (of omgekeerd). Figuur 1.16: Illustratie van het scalair product van de vectoren v en w Propositie 1.5.1 Het scalair product van vectoren voldoet voor alle λ R en voor alle u, v, w V aan: (1) v v = v 2 en v v = 0 v = 0 (2) v w = w v (3) ( u + v) w = u w + v w (4) (λ v) w = λ ( v w) Figuur 1.17: Illustratie van eigenschap (3) van het scalair product Bewijs. De eigenschappen (1),(2) en (4) volgen rechtstreeks uit Definitie 1.5.5; eigenschap (3) volgt uit Gevolg 1.5.1. 20

De in Propositie 1.5.1 vermelde eigenschappen zorgen ervoor dat het scalair product van vectoren een voorbeeld is van een zogenaamde inwendig product, zie ook Hoofdstuk a5. Ook de volgende eigenschappen kunnen onmiddellijk worden afgeleid. Propositie 1.5.2 Er geldt, u, v, w V : (1) cos( v, w) = v w v w, als v 0 en w 0 (2) v w v w v w waarbij, voor v 0 en w 0, het linkse (respectievelijk rechtse) gelijkheidsteken geldt als v en w parallel zijn met tegengestelde (respectievelijk dezelfde) oriëntatie. (3) v w v + w 2 = v 2 + w 2 (Pythagoras) (4) v w v + w v + w (5) als u en w parallel zijn, dan ( u v) w = ( v w) u Propositie 1.5.3 Beschouw een stel vectoren ( v 1,..., v n ), die alle verschillen van de nulvector en twee aan twee orthogonaal zijn. Er geldt: (1) het stel ( v 1,..., v n ) is lineair onafhankelijk; (2) n 3 Propositie 1.5.4 Beschouw een stel vectoren ( v 1,..., v n ) en zij W de deelruimte van V, voortgebracht door dit stel. Als voor een vector v geldt dat v v i, i = 1,...,n, dan w W : v w Definitie 1.5.6 Een basis van V wordt orthonormaal (of georthonormeerd) genoemd, als de basisvectoren twee aan twee orthogonale eenheidsvectoren zijn. In deze cursus zullen we steeds (tenzij expliciet anders vermeld) met een rechtshandige, orthonormale basis van V werken, die we zullen noteren als ( e 1, e 2, e 3 ). T.o.v. dergelijke basis kan gemakkelijk een coördinaatvoorstelling worden afgeleid van het hierboven ingevoerde scalair product. 21

Stelling 1.5.1 Zijn v en w vectoren met, t.o.v. de orthonormale basis ( e 1, e 2, e 3 ), respectieve kentallen (v 1,v 2,v 3 ) en (w 1,w 2,w 3 ), dan geldt er: v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + v 3 w 3 Bewijs. Hou rekening met e 1 e 1 = e 2 e 2 = e 3 e 3 = 1 en e 1 e 2 = e 1 e 3 = e 2 e 3 = 0. Gevolg 1.5.2 Voor elke vector v met kentallen (v 1,v 2,v 3 ) geldt: v = v1 2 + v2 2 + v3 2 Eens een orthonormale basis van V gekozen, kunnen we elke vector karakteriseren aan de hand van zijn norm, en de hoeken die hij insluit met de respectieve basisvectoren. Definitie 1.5.7 De richtingshoeken en richtingscosinussen van een vector v 0 t.o.v. de basis ( e 1, e 2, e 3 ) zijn de hoeken α, β en γ van v met de respectieve basisvectoren en de cosinussen van die hoeken. Propositie 1.5.5 Zijn (v 1,v 2,v 3 ) de kentallen van v t.o.v. ( e 1, e 2, e 3 ), dan geldt er cos α = v 1, cos β = v 2 1 + v2 2 + v3 2 v 2, cos γ = v 2 1 + v2 2 + v3 2 v 3 v 2 1 + v 2 2 + v 2 3 Gevolg 1.5.3 Voor de richtingscosinussen van een willekeurige vector v V geldt cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1 (1.3) In 1.4 hebben we reeds gezien dat een coördinatentransformatie in V wordt gerepresenteerd door een (3 3)-matrix A. We gaan nu na aan welke bijkomende voorwaarden deze matrix moet voldoen, als zowel de oorspronkelijke als de nieuwe basis orthonormaal zijn. Definitie 1.5.8 Een coördinatentransformatie in V wordt orthogonaal genoemd als zowel de oude als de nieuwe basis orthonormaal zijn. Propositie 1.5.6 Een coördinatentransformatie is orthogonaal als en slechts dan als de representerende matrix een orthogonale matrix is. 22

Bewijs. Zij (a 11,a 21,a 31 ), (a 12,a 22,a 32 ) en (a 13,a 23,a 33 ) de kentallen van de nieuwe basisvectoren e 1, e 2 en e 3 t.o.v. de gebruikelijke rechtshandige orthonormale basis van V. Als ( e 1, e 2, e 3 ) eveneens orthonormaal is, moet er gelden, zie Stelling 1.5.1 en Gevolg 1.5.2: 3 a pq a pr = δ qr, q,r = 1, 2, 3, (1.4) p=1 met δ qr = 1 als q = r en δ qr = 0 als q r. Gezien de definitie van matrixvermenigvuldiging, is (1.4) evenwaardig met AA t = A t A = I, (1.5) waarbij de matrix A op de gebruikelijke wijze de coördinatentransformatie representeert, zie 1.4. Omgekeerd, onderstel dat de matrix A orthogonaal is en dus voldoet aan (1.5). Hieruit volgt direct (1.4), waaruit volgt dat ( e 1, e 2, e 3 ) een orthonormale basis is. Gevolg 1.5.4 Zij A een matrix die orthogonale coördinatentransformatie representeert, dan is het element a pq van A de p-de richtingscosinus van de q-de nieuwe basisvector. Gevolg 1.5.5 Zij A de (3 3)-matrix die een orthogonale coördinatentransformatie representeert. Dan geldt er dat det(a) = ±1. Als det(a) = 1, dan zijn de beide betrokken basissen gelijk georiënteerd (ofwel beide rechtshandig, ofwel beide linkshandig); is det(a) = 1, dan zijn ze tegengesteld georiënteerd. 1.6 Vectorieel product We voorzien V opnieuw van een rechtshandige, orthonormale basis ( e 1, e 2, e 3 ). Definitie 1.6.1 Het vectorieel product v w van een koppel vectoren v en w is de vector die als volgt wordt gedefinieerd. Is v = 0 of w = 0, of zijn v en w parallel, dan is v w = 0. In alle andere gevallen worden zin, richting en norm van v w door de volgende voorwaarden bepaald: (1) v w v en v w w (m.a.w., v w is orthogonaal met de vlakrichting bepaald door ( v, w)); (2) ( v, w, v w) is een rechtshandige basis; (3) v w = v w sin( v, w) 23

Gevolg 1.6.1 De norm v w van het vectorieel product van v en w is gelijk aan de oppervlakte van het parallellogram opgespannen door representanten (O,V ) van v en (O,W) van w. Bewijs. De hoogte van het parallellogram met OV en OW als zijden is h = OW sin θ = w sin θ, met θ de hoek van v en w, zie ook Figuur 1.18. De oppervlakte van het opgespannen parallellogram is dan h OV = h v = v w. Figuur 1.18: Parallellogram, opgespannen door v en w Een representant van het vectorieel product v w kan op de volgende manier eenvoudig worden geconstrueerd. Representeer beide vectoren v en w vanuit de oorsprong door (O, V ) en (O,W) en beschouw de orthogonale projectie W van W op het loodvlak door O op de rechte OV. Roteer vervolgens de vector OW over 90 rond OV (in tegenwijzerzin). De laatstbekomen vector heeft dan reeds de correcte richting en oriëntatie, zie ook Figuur 1.19, maar dient nog vermenigvuldigd met v. Figuur 1.19: Constructie van het vectorieel product van v en w Verder kunnen we meteen enkele eigenschappen van het vectorieel product afleiden. Propositie 1.6.1 Er geldt, u, v, w V en λ R: (1) v w = w v (2) u ( v + w) = u v + u w ( u + v) w = u w + v w (3) v (λ w) = (λ v) w = λ( v w) 24

Bewijs. Eigenschappen (1) en (3) volgen onmiddellijk uit de definitie. Eigenschap (2) volgt uit de bovenstaande constructie van het vectorieel product. Immers, representeert men v, w en v + w als de drie zijden van een driehoek, dan zullen u v, u w en u ( v + w) nog steeds een driehoek vormen, waaruit de gelijkheid volgt. Zoals bij het scalair product van vectoren, wensen we ook hier een coördinaatvoorstelling af te leiden. Er geldt: Stelling 1.6.1 Zij v en w een stel vectoren met, t.o.v. ( e 1, e 2, e 3 ) de respectieve kentallen (v 1,v 2,v 3 ) en (w 1,w 2,w 3 ), dan geldt er: v w = (v 2 w 3 v 3 w 2 ) e 1 + (v 3 w 1 w 3 v 1 ) e 2 + (v 1 w 2 v 2 w 1 ) e 3 = v 2 w 2 v 3 w 3 e 1 + v 3 w 3 v 1 w 1 e 2 + v 1 w 1 v 2 w 2 e 3 Louter formeel kunnen we dit noteren als v w = Bewijs. Hou rekening met en met e 1 v 1 w 1 e 2 v 2 w 2 e 3 v 3 w 3 e 1 e 1 = e 2 e 2 = e 3 e 3 = 0 e 2 e 3 = e 3 e 2 = e 1 e 3 e 1 = e 1 e 3 = e 2 e 1 e 2 = e 2 e 1 = e 3 Het verband tussen het scalair en het vectorieel product van vectoren komt tot uiting in volgende identiteit, die de identiteit van Lagrange voor een koppel vectoren wordt genoemd. Stelling 1.6.2 Voor twee willekeurige vectoren v en w geldt er: v w 2 = v 2 w 2 ( v w) 2 (1.6) Bewijs. Onderstel eerst dat v 0 en w 0, en zij θ de hoek van het koppel ( v, w), met 0 θ π. We vinden dadelijk v w 2 = v 2 w 2 sin 2 θ = v 2 w 2 v 2 w 2 cos 2 θ = v 2 w 2 ( v w) 2 ook in het geval dat v en w parallel zijn. Is v = 0 of w = 0, dan kan men rechtstreeks controleren dat de betrekking klopt. 25

1.7 Gemengd product van een drietal vectoren Definitie 1.7.1 Het gemengd product van drie vectoren u, v en w, genoteerd ( u v w), is de scalair gegeven door u ( v w). Propositie 1.7.1 Het gemengd product ( u v w) is nul als en slechts dan als de vectoren u, v en w lineair afhankelijk zijn. Bewijs. Zij ( u v w) = 0, dan is u = 0 of v w = 0 of u v w. In de eerste twee gevallen is het stel ( u, v, w) duidelijk lineair afhankelijk. Beschouwen we derhalve het geval waarbij u v w. Aangezien steeds v w v en v w w, en er geen drie lineair onafhankelijke vectoren kunnen bestaan die alle orthogonaal zijn met eenzelfde vector (verschillend van 0), volgt ook hier onmiddellijk de lineaire afhankelijkheid van het stel ( u, v, w). Omgekeerd, zijn u, v en w lineair afhankelijk. Zodra één van de vectoren de nulvector is, is klaarblijkelijk ( u v w) = 0. Onderstel dus dat alle verschillen van de nulvector, dan kan één van de drie worden geschreven als lineaire combinatie van de andere twee, waaruit ook dadelijk volgt dat ( u v w) = 0. Propositie 1.7.2 Het gemengd product ( u v w) is positief (respectievelijk negatief) als en slechts dan als het stel ( u, v, w) een rechtshandige (respectievelijk linkshandige) basis voor V vormt. Figuur 1.20: Teken van het gemengd product Bewijs. Uit de definitie van het gemengd product volgt onmiddellijk dat ( u v w) = u v w cos( u, v w) zodat het teken ervan enkel afhangt van de cosinus van de hoek θ = ( u, v w). Bijgevolg zal ( u v w) > 0 als en slechts dan als θ < π. Aangezien de vector v w zo georiënteerd 2 is dat ( v, w, v w) een rechtshandige basis vormt, zie Definitie 1.6.1, komt de voorwaarde θ < π overeen met de voorwaarde dat ook ( v, w, u) rechtshandig is, zie Figuur 1.20. Daar 2 een cyclische permutatie van de basisvectoren de oriëntatie van de basis behoudt, volgt hieruit het gestelde. 26

Ook aan dit product van vectoren kan aldus een meetkundige interpretatie worden gegeven, zoals blijkt in onderstaande propositie. Propositie 1.7.3 Beschouw het parallellepipedum opgespannen met behulp van representanten (O, U), (O, V ) en (O, W) van drie lineair onafhankelijke vectoren u, v en w. Kennen we aan het volume van dit lichaam het toestandsteken + of toe, naargelang ( u, v, w) een rechtshandige of een linkshandige basis is, dan is het aldus georiënteerde volume gelijk aan het gemengd product ( u v w). Figuur 1.21: Parallellepipedum, opgespannen door u, v en w Bewijs. Beschouwen we het parallellogram met zijden OV en OW als grondvlak van het parallellepipedum, dan is OV OW(= v w) een vector loodrecht op dit grondvlak, met norm gelijk aan de oppervlakte ervan, zie Gevolg 1.6.1. Het beschouwde volume is derhalve gelijk aan h v w, met h de hoogte van het lichaam. Deze hoogte is echter niets anders dan de norm van de component van u volgens v w, of h = u cos θ, met θ de hoek van de vectoren u en v w, zie ook Figuur 1.21. Het volume van het parallellepipedum wordt dus gegeven door u v w cos θ, wat op het teken na gelijk is aan het gemengd product ( u v w). Hierbij zal het teken inderdaad overeenstemmen met de oriëntatie van het stel ( u, v, w), zie Propositie 1.7.2. Verder kunnen we uit de reeds vermelde eigenschappen van scalair en vectorieel product en de hierboven gegeven meetkundige interpretatie, direct een aantal eigenschappen van het gemengd product afleiden. Propositie 1.7.4 Er geldt, voor alle u, v, w V en voor alle t R: (1) ( u v w) = ( v w u) = ( w u v) (2) ( u v w) = ( u w v) (3) ((t u) v w) = ( u(t v) w) = ( u v(t w)) = t( u v w) (4) is u = u 1 + u 2, dan ( u v w) = ( u 1 v w) + ( u 2 v w), en analoge eigenschappen voor de tweede en derde component. 27

Steunend op de reeds bekomen uitdrukkingen voor scalair en vectorieel product, vinden we bovendien ook hier gemakkelijk een coördinaatvoorstelling. Propositie 1.7.5 Zij u, v en w vectoren met, t.o.v. ( e 1, e 2, e 3 ) de respectieve kentallen (u 1,u 2,u 3 ), (v 1,v 2,v 3 ) en (w 1,w 2,w 3 ), dan geldt er: v u ( v w) = u 2 w 2 1 v 3 w 3 + u 2 v 3 w 3 v 1 w 1 + u 3 v 1 w 1 v 2 w 2 of nog u ( v w) = u 1 v 1 w 1 u 2 v 2 w 2 u 3 v 3 w 3 28

Hoofdstuk m2 Voorstelling van rechten en vlakken De bedoeling van dit hoofdstuk is het analytisch voorstellen van rechten en vlakken, speciale deelverzamelingen van de puntenruimte E. Bovendien zal ook aandacht worden besteed aan hun onderlinge stand. We beschouwen de gepunte ruimte E O, waarin een willekeurig, doch vast punt O tot oorsprong werd gekozen. In 1.4 zagen we reeds dat elk punt P dan gekarakteriseerd wordt als eindpunt van een unieke gebonden vector OP, die zelf een representant is van een unieke vrije vector v. Vertrekkend van een rechtshandige orthonormale basis ( e 1, e 2, e 3 ) van de ruimte V der vrije vectoren, voorzien we E O van een coördinatenstelsel OE 1 E 2 E 3, ook genoteerd als OXY Z. We herhalen dat de cartesiaanse coördinaten (x,y,z) van P t.o.v. OXY Z niets anders zijn dan de kentallen van v OP t.o.v. ( e 1, e 2, e 3 ). We herhalen tevens dat willekeurige lineaire combinaties van punten geen intrinsieke betekenis hebben: het eindresultaat hangt doorgaans af van het gekozen coördinatenstelsel. Uitzondering hierop vormen de combinaties waarvan de som der coëfficiënten hetzij 0, hetzij 1 is; deze stellen respectievelijk een vector en een punt voor. 2.1 Voorstelling van rechten in E We beginnen met het invoeren van enkele noodzakelijke begrippen. Definitie 2.1.1 Men noemt richtingsvector van een rechte a elke vector u 0 die parallel is met die rechte, m.a.w., elke vector van V a \{ 0}. De kentallen van een willekeurige richtingsvector van een rechte noemt men een stel richtingsgetallen van die rechte. Gevolg 2.1.1 Een stel richtingsgetallen van een rechte is op een evenredigheidsfactor na bepaald. Gevolg 2.1.2 Zijn twee punten P 1 (x 1,y 1,z 1 ) en P 2 (x 2,y 2,z 2 ) van een rechte gegeven, dan is P 2 P 1 = u een richtingsvector van de rechte en (x 2 x 1,y 2 y 1,z 2 z 1 ) een stel richtingsgetallen. 29