TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT WERKTUIGBOUWKUNDE DIVISIE COMPUTATIONAL AND EXPERIMENTAL MECHANICS Tentamen Polymeerverwerking (4K550) dinsdag 21 juni 2005, 09:00-12:00. Bij het tentamen mag het boek Modeling in Materials Processing van Dantzig en Tucker gebruikt worden. Het gebruik van andere aantekeningen en laptop is NIET toegestaan. Het tentamen levert maximaal 40 punten op waarvan de verdeling aan het eind is aangegeven. 1. Beantwoord de volgende vragen met ja of nee en geef daarbij een korte argumentatie. Bij een goed antwoord met juiste argumentatie krijgt men per vraag 1 punt. Bij een ernstige fout in de argumentatie wordt geen punt toegekend ondanks een correct antwoord. Bij een correct antwoord zonder argumentatie wordt een 1 2 punt toegekend. (a) Bij het spuitgieten onder constante druk is de vultijd van de matrijs evenredig met de totale stromingslengte indien we Newtons materiaalgedrag veronderstellen. Is dit waar? (b) Een globale analyse van een spuitgietproces laat zien dat voor het capillair getal Ca >> 1 geldt. Dit kan alleen indien Re>> 1. Is dit waar? (c) Het snelheidsveld v = (u, v) van een stationaire stroming in het xy-vlak wordt gegeven door u = αxy, v = 1 2 αy2. Is het waar dat een materie-deeltje op de y-as een versnelling ondervindt ter grootte van 1 2 α2 y 3? (d) Gegeven is de volgende temperatuurverdeling in een polymere smelt T(x,y,t) = x 2 + 2(x 2t) + (y + t) 2, stromend met een vast snelheidsveld v x = 1, v y = 1. Is het waar dat de tijdsafgeleide van de temperatuur, gemeten op t = 0, voor een waarnemer op een vaste positie x = 2, y = 3 gelijk is aan 0? (e) Beschouw het spuitgietproces in een smalle strip met dimensies H = 3.5 mm, W = 15 mm, L = 275 mm en V = 60 mm/s voor een polymeer met de eigenschappen ρ = 1000 kg/m 3, µ = 550 N s/m 2 en Γ = 0.0025 N/m. Is het waar dat als we naar lokale effecten kijken oppervlaktespanning niet van belang is? (f) Beschouw de volgende axisymmetrisch roterende stroming gegeven door het snelheidsveld v = (v r,v θ,v z ) met v r = αr, v θ = Ωr, v z = 2αz, met α en Ω constanten. Is deze stroming incompressibel? (g) Is het waar dat de latente warmte verwaarloosd kan worden als het Stefan getal St << 1? (h) Een vers gespuitgiete polymere plaat met een dikte van 2mm en een thermische diffusiviteit van 5 mm 2 /s kan als halfoneindig worden beschouwd indien t 5 16s. Is dit waar?
(i) We spreken van Marangoni effecten indien we alleen een sprong in de tractie over het interface in tangentiële richting hebben en niet in de normaalrichting. Is dit waar? (j) Is het waar dat in een stationaire axisymmetrische buisstroming de snelheid in stromingsrichting schaalt met de drukgradiënt? 2. Het begrijpen van de stroming van polymere oplossingen in micro kanalen wordt steeds belangrijker; ook binnen de sectie Polymeerverwerking wordt hiernaar gekeken. In figuur 1 is een schematische tekening te zien van een zogenoemde 4-1-4 contractie-expansie stroming. De breedte van het kanaal bij de contractie is dus W/4. Een van de meest simpele constitutieve L contractie W V H L 1 L 2 Figuur 1: Geometrie van een 4-1-4 contractie-expansie stroming. viscoelastische vergelijkingen is de zogenoemde upper-convected Maxwell vergelijking ( ) τ λ t + u τ τ u ( u)t τ + τ = 2η p D, (1) waarbij η p de polymeerviskositeit is en λ de relaxatietijd van het polymeer. (a) Veronderstel voor het gemak dat V de karakteristieke snelheid, L de karakteristieke lengteschaal en T de karakteristieke tijd is. Maak vergelijking (1) dimensieloos en laat zien dat deze in de volgende vorm geschreven kan worden: De τ ( ) t + We u τ τ u ( u) t τ + τ = 2η p D, (2) waarbij De het Deborah getal is en We het Weissenberg getal. Geef relaties voor deze twee dimensieloze groepen. (b) Leg in woorden uit wat het verschil is tussen De en We. (c) We beschouwen voor het gemak dat we in het vervolg een stationaire stroming hebben. Gegeven is dat W = 400µm, H = 50µm, L 1 = 4mm en L 2 = 3mm; L contractie = 100µm. Bepaal We. (d) Het bepalen van het snelheidsveld in deze geometrie is een hele uitdaging en kan alleen numeriek bepaald worden. Voor het gemak veronderstellen we hier dat het materiaalgedrag beschreven kan worden met een power law functie. Ter vereenvoudiging verwaarlozen we de overgangsgebieden bij de contractie en de expansie (we delen dus het domein op in drie stukken) en zijn we geïnteresserd in een relatie tussen het debiet en de totale drukval. Leidt zelf zo n relatie af.
3. In deze opgave kijken we naar een onderdeel van het productieproces van een Blue-Ray-schijfje. Een vereenvoudigde geometrie is weergeven in Figuur 2 en we zien dat vanuit het centrum van de disc, waar dus een gat zit (handig om de Blue-Ray vast te kunnen pakken), de ruimte tussen de twee parallelle schijven gevuld wordt; het opgelegd debiet is Q. Het constitutief gedrag van het polymeer kan prima beschreven worden met een power law functie: η = m γ n 1. We zijn geïnteresseerd in de stationaire stroming met gegeven debiet Q van een incompressibele gegeneraliseerde Newtonse stroming, waarbij traagheid (=inertia!) en zwaartekracht verwaarloosd kunnen worden. Veronderstel dat de hoogte tussen de twee schijven 2h bedraagt en dat het polymeer binnen komt bij een radius R in en uitstroomt bij R out. De afstand tussen de twee schijven is veel kleiner dan de radius van de disc, dus h << R out. De stroming is axi-symmetrisch, dus v θ = 0 en θ = 0. De druk op r = R out is gelijk aan p 0 en verder kijken we niet naar randeffecten en mag de druk alleen als functie van de radius verondersteld worden, dus p = p(r). Q Q z 2h r 2h Rout Rout Figuur 2: Geometrie van de radiële stroming tussen twee schijven. (a) Voer dimensieloze variabelen in om de continuiteitsvergelijking te schalen. Laat zien dat v r >> v z. (b) Laat zien dat een snelheidsveld van de vorm v r = f(z) r, v θ = 0, v z = 0 aan de continuiteitsvergelijking voldoet. (c) Geef de r component van de impulsvergelijking waarbij alle basisveronderstellingen gebruikt zijn om deze zo veel mogelijk te vereenvoudigen. (d) Omdat het materiaalgedrag niet-newtons is, is het handig om een karakteristieke η c in te voeren om de viscositeit te schalen. Startend met het constitutief verband τ = 2ηD, geef de vergelijkingen voor de individuele geschaalde spanningscomponenten τ rr,τ θθ en τ rz en verveenvoudig deze zover mogelijk gebruikmakend van onze basisveronderstellingen. (e) Substitueer de dimensieloze spanningscomponenten in de r component van de impulsvergelijking, bepaal een uitdrukking voor het karakteristieke drukverschil en toon aan dat de impulsvergelijking reduceert tot τ rz z = dp dr. (3)
(f) Laat door een schalingsargument zien dat we de afschuifsnelheid kunnen benaderen met γ = v r z. (g) Integreer de gevonden impulsvergelijking (3) en gebruik de bij onderdeel (f) gevonden uitdrukking voor de afschuifsnelheid om af te leiden dat ( 1 v r = (s + 1)m s dp ) s [h s+1 z s+1 ], (4) dr met s = 1/n. Geef aan welke randvoorwaarden je gebruikt. (h) Integreer het snelheidsveld om een uitdrukking te bepalen voor het debiet Q en gebruik deze vergelijking om dp uit te drukken in het bekend veronderstelde debiet Q. dr Substitueer de uitdrukking voor dp in (4) en toon op simpele wijze aan dat het snelheidsveld aan de continuiteitsvergelijking voldoet, veronderstellend dat v z = 0. dr (i) De uitdrukking voor dp kan gebruikt worden om de druk te vinden. Bepaal een uitdrukking voor p = p in p out en laat zien dat p schaalt met Q n dr.
4. De ontwikkeling op het gebied van brandstofcellen staat niet stil; met name de nieuwe strategiën met polymeermembranen ondervindt een snelle impuls. In deze opgave kijken we naar het gebruik van poreuze cilindermembranen. z polymere staaf poreuze cilinder r R1 R2 Figuur 3: Geometrie van de polymere staaf in een poreuze cilinder. Beschouw een staaf met lengte L veel groter dan zijn radius R 1, die centraal wordt opgehangen in een poreuze buis met radius R 2 > R 1. Verder is gegeven dat R 2 << L. De concentratie binnen de staaf mag constant worden verondersteld en het diffussieproces is dusdanig langzaam dat de staaf niet dunner wordt. Het geheel bevindt zich in een oneindig groot vat waarin stevig wordt geroerd zodat de concentratie buiten de poreuze buis constant mag worden verondersteld (dus c(r 1 ) = c s ;c(r 2 ) = 0). Vanuit de theorie is gegeven dat de concentratie c(r,t) binnen de buis wordt gegeven door Dc Dt = D c, waarbij D de diffusiecoëfficient is. (a) Laat zien dat, als vloeistof binnen de buis in rust is, de concentratie c(r, t) beschreven wordt door de vergelijking ( ) c t = D1 c r r r voor R 1 r R 2. r (b) Na verloop van tijd stelt zich een evenwicht in en is de polymeerconcentratie binnen de poreuze buis alleen nog maar een functie van de straal r en geen functie meer van de tijd t. Geef een schatting van de tijd, in termen van de procesparameters, die nodig is voor het instellen van het evenwicht. (c) Geef de differentiaalvergelijking met de bijbehorende randvoorwaarden die de evenwichtssituatie beschrijft. (d) Laat zien dat de stationaire concentratieverdeling gegeven wordt door: c(r) = c s ln r/r 2 ln R 1 /R 2.
(e) Bepaal de diffusieflux zowel ter plaatse van de poreuze buis (r = R 2 ) als ter plaatse van de polymere staaf (r = R 1 ). Verdeling van de punten Opgave 1 Opgave 2 Opgave 3 Opgave 4 a) 1 2 1 2 b) 1 1 1 2 c) 1 2 1 2 d) 1 2 1 2 e) 1 2 2 f) 1 1 g) 1 2 h) 1 2 i) 1 2 j) 1