Glas persen door een mal

Transcriptie

1 Glas persen door een mal Jeroen Wessels Ruben Kwant juni 212 1

2 Samenvatting Een glasfabriek maakt glazen jampotjes. Ze willen de productie van jampotjes graag vergroten. Glas is stroperig als het heet is. De glasfabriek wil het vloeibaar glas door middel van een pers in een mal persen. Bij afkoeling neemt de weerstand van het glas erg toe. Als er dus vloeibaar glas in de mal wordt geperst, dan moet er rekening worden gehouden met de temperatuur en de perskracht. Om de productie te vergroten kan de fabriek meer persen installeren, de snelheid per pers opvoeren of de temperatuur van het glas te verhogen. Aan de hand van een aantal aannames hebben we een model gemaakt die het verband tussen de kracht van de pers, temperatuur en productietijd geeft. Het blijkt dat als de temperatuur groter wordt de kracht die je nodig hebt om in dezelfde tijd het buisje te vullen kleiner wordt. Dit betekent dus dat wij aanraden om, als het glas sneller geperst moet worden, de temperatuur te verhogen, maar niet hoger dan 86 graden. Vanaf 86 graden is de winst die je behaald met het verhogen van de temperatuur namelijk relatief klein. 2

3 Inhoudsopgave 1 Inleiding 4 2 Het model berekening resultaten Conclusie 8 3

4 Glas persen in een mal. 1 Inleiding Glas is stroperig-vloeibaar als het heet is. Bij afkoeling blijft het wel vloeibaar (het stolt of kristalliseert Een niet glasfabriek zoals bijvoorbeeld wil de rubber productie of water), van glazen maar jampotjes de viscositeit gaan (de vergroten. stroperigheid ) Glas isneemt stroperig-vloeibaar enorm toe. Als als wehet vloeibaar heet is. glas Bijin afkoeling een malblijft willenhet persen wel vloeibaar moeten we (het dus stolt rekening of kristalliseert houden met niet dezoals temperatuur bijvoorbeeld en de rubber eventuele of water), afkoeling. maar de viscositeit (de stroperigheid) neemt enorm toe. Als we vloeibaar glas in een mal willen persen moeten we dus rekening houden met de temperatuur en de eventuele afkoeling. De fabriek Stel, een wilglasfabriek de productie wil vergroten. de productie Dit kan vandoor glazen meer jampotjes persen te gaan installeren, vergroten. of de Dit snelheid kan door per(1) pers meer op te persen voeren. te installeren, Voor dit laatste of (2) kan demen snelheid de perskracht op vergroten, voeren. of de Voor temperatuur dit laatste van kan het men glas (2a) verhogen de perskracht vergroten, het vloeibaarder of (2b) de wordt temperatuur en met dezelfde van hetperskracht glas verhogen sneller waardoor wordt verwerkt. het vloeibaarder De vraagwordt voor de en waardoor fabriek met dezelfde is nu wat perskracht de voordeligste sneller wordt oplossing verwerkt. is. Hiervoor moet men de relatie weten tussen temperatuur, perskracht en productietijd. Om ze te kunnen adviseren gaan we een modelprobleem oplossen dat inzicht De vraag geeft voor in deze fabriek relatie. is nu Ditwat probleem de voordeligste betreft een oplossing cilindrisch is. buisje Hiervoor vanmoet doorsnede men ded relatie = πaweten 2, dat we tussen middels temperatuur, een pers van perskracht oppervlak en productietijd. A en kracht F vullen Om zemet te kunnen glas. Eerst adviseren lossengaan we het weprobleem een modelprobleem datoplossen de temperatuur dat inzicht verandert, geeft in daarna deze dat relatie. de temperatuur Dit modelprobleem wel verandert. betreft een cilindrisch buisje op zonder van doorsnede D = πa 2, dat we middels een pers van oppervlak A en kracht F vullen met glas. F A D l(t) Figure 1. Schets geometrie Figuur 1: Schets Geonometrie Enig literatuuronderzoek leert ons dat de volgende modelaannamen redelijk lijken, de wrijvingskracht van een visceuze vloeistof tangentieel aan een oppervlak is evenredig met 1. de snelheid, gedifferentiëerd naar de coördinaat loodrecht op het oppervlak, en 2. de grootte van het natte oppervlak; de evenredigheidscoefficient η (de viscositeit), in Pa s, is een exponentiële functie van de temperatuur T in Celsius, gegeven door log 1 η = T 17 ; de snelheidsverdeling van de vloeistof (het glas) in een nauwe ronde buis met straal a is gegeven door u(r) = (1 r 2 ) U, a 2 waarbij r de radiële coördinaat is en U de snelheid in het midden, op r =. Vragen: 1. Hoe hard moet je persen bij een zekere temperatuur T van het glas om een buisje van radius a en lengte L in zekere tijd t max te vullen? Maak grafieken van F tegen t max bij verschillende temperaturen. Kies de probleemparameters zo dat er informatieve en interessante grafieken ontstaan. Trek conclusies voor te voeren beleid door de glasfabriek. 2. Veronderstel dat de temperatuur exponentieel daalt volgens de functie T = T +(T T ) e αt. Bepaal de kracht waarmee je in zekere tijd t max en begintemperatuur T een buis van lengte L kunt vullen. Als je integralen moet uitrekenen, doe dat dan numeriek. Maak grafieken van F tegen t max bij verschillende begintemperaturen T. 4

5 2 Het model Er worden een aantal aanname gedaan in ons model: de wrijvingskracht van een visceuze vloeistof tangentieel aan een oppervlak is evenredig met de snelheid, gedifferentiëerd naar de cordinaat loodrecht op het oppervlak de grootte van het natte oppervlak de evenredigheidscoëficient η (de viscositeit), in Pas, is een exponentiële functie van de temperatuur T in Celsius, gegeven door log 1 η = T 17 (1) de snelheidsverdeling van de vloeistof (het glas) in een nauwe ronde buis met straal a is gegeven door u(r) = (1 r 2 )U (2) a2 waarbij r de radiële coördinaat is en U de snelheid in het midden, op r =. de snelheid van de vloeistof (het glas) is constant. de temperatuur van het glas halveert in 1 minuten en de temperatuur van het glas in overal gelijk en neemt overal gelijk af. de buitentemperatuur is 2 graden Celsius. 2.1 berekening De formule voor de druk P is P = F pers A waarbij F de kracht in Newton en A de oppervlakte in m 2 is. (3) Het debiet(flow rate) is: q(t) = 2π a r u(r)dr = 2π a r (1 r 2 )Udr (4) a2 De lengte van het vloeistof op tijdstip t is dan: l(t) = v t = (1 r 2 )U t (5) a2 (Tijdens de presentatie zijn we er achter gekomen dat dit een foute formule is, we konden dit niet meer tijdig herstellen.) 5

6 De kracht op het begin van de buis is gelijk aan: F voorwaarts = π a 2 P = π a2 F pers A τ, de visceuze weerstand of de schuifspanning, is gegeven door: (6) τ = η dv dr r=a = 2 U η (7) a De weerstand in de buis wordt gegeven door: F w = τ 2π a l = 4π U l η (8) De snelheid in de buis is constant. Dan zijn F voorwaarts en F w gelijk: Dan is U: F voorwaarts F w = π a2 F pers A U = Dan wordt het debiet q, als we U invullen: a q(t) = 2π 2 F pers 4 t A η 4π U 2 (1 r 2 ) t η = (9) a2 a 2 F pers 4 t A η 1 (1) 1 r 2 a 2 a r 1 r 2 a 2 dr = 2π 3 a 2 F pers 4 t A η (11) Dan moet de totale inhoud van de buis gelijk zijn aan het debiet vanaf begin tot eindtijd: tmax L π a 2 = q(t)dt = 2 t max 2π a 2 F pers 3 4 A η (12) waarbij L de totale lengte van de buis is. Dan is F pers : F pers = 9 L2 η A a 2 4 t max (13) Dit is de formule die we nodig hebben voor de oplossing van vraag 1. Voor vraag 2 moesten we ook rekening houden met de afkoeling van het glas. We veronderstellen dat de temperatuur exponentiëel daalt volgens de functie: T = T + (T T )e αt (14) Dan nemen we T = 2, want de buitentemperatuur is 2 graden celsius en α =.11, want Dan e 6α = 1 2 en dus α = 6 ln 1 2 =.11 Het debiet is dan: q(t) = 2π 3 a2 F pers 1 4 A t η (15) 6

7 Dan is het totale debiet vanaf begin tot eindtijd weer gelijk aan de inhoud van de buis tmax L π a 2 = q(t)dt = 2π a2 F tmax pers 1 dt (16) 3 4 A t η De evenredigheidscoëficient η verandert nu de temperatuur ook verandert. Dat wordt: η = e.11t (T 2) 15 (17) Als je nu formule (16) en (17) combineert, krijg je een formule voor F. Die is: F pers = ( t max ( 9L 2 a 2 A 1 t e.11t (T 2) 15) )) 2 (18) De integralen rekenen we numeriek uit voor verschillende tijdstippen en temperatuur. Dit is de formule die we nodig hebben voor onze oplossing. 2.2 resultaten 2 F T 8 15 T 82 T 84 1 T 86 T 88 5 T 9 t max Figuur 2: Temperatuur niet afhankelijk van de tijd Bij deze grafieken hebben we de lengte van de buis op 1 meter gekozen, de straal van de buis op 2 centimeter en de grootte van het persoppervlak een halve vierkante meter. We hebben bij deze grafieken de temperatuur tussen de achthonderd en negenhonderd graden Celsius genomen, nadat op internet bleek dat dit ongeveer de temperatuur was waarop ze dit deden. Bron: 3 Conclusie Als eerste keken we naar de benodigde kracht als de temperatuur niet afhankelijk is van de tijd. Je kan dan aan de eerste grafiek duidelijk zien dat als de temperatuur groter wordt de kracht die je nodig hebt om in dezelfde tijd het buisje te vullen kleiner wordt. Je ziet ook dat in het begin het verschil tussen 7

8 F T 8 T 82 T 84 T 86 T 88 T 9 Figuur 3: Temperatuur afhankelijk van de tijd de grafieken groter is. Dit betekent dus dat je met een verhoging van 8 graden naar 82 graden bij dezelfde tijd de kracht meer afneemt dan bij een verhoging van 88 naar 9. Ook zie je dat het verschil groter is bij een lagere maximale tijd. Dit betekent dus dat wij aanraden om, als het glas sneller geperst moet worden, de temperatuur te verhogen, maar niet hoger dan 86 graden. Vanaf 86 graden is de winst die je behaald met het verhogen van de temperatuur namelijk relatief klein. Als de temperatuur wel afhankelijk is van de tijd kan je aan de tweede grafiek zien dat weer een verhoging tot 86 graden veel winst oplevert, maar dat je daarna weer beter de kracht kan verhogen in plaats van de temperatuur. 8