Fractale en Wavelet Beeldcompressie Wiskunde voor Informatici II. Prof. Dr. Ann Dooms

Transcriptie

1 Fractale en Wavelet Beeldcompressie Wiskunde voor Informatici II Prof. Dr. Ann Dooms

2 Inhoudsopgave Introductie iii Het beeldcompressie proces iv Fractale Beeldcompressie vi Wavelet Beeldcompressie vii Vectorruimten en matrices. Vectorruimte Deelruimte Lineair onafhankelijk Basis Matrices Lineaire stelsels Dimensie Basisverandering Fractale beeldcompressie 3. Banach-fixpuntstelling Complete metrische ruimten Contracties Affiene transformaties Fractale compressie voor binaire beelden Binair beeld De ruimte (H(R, h Geïtereerde functiesystemen Collagestelling voor binaire beelden Codering: implementatie van de collagestelling Decodering: bepalen van de attractor van een IFS Fractale dimensie Fractale compressie voor grijswaardige beelden i

3 ii.3. Grijswaardig beeld De ruimte (G nm ([0, ], d Gepartitioneerde geïtereerde functiesystemen Collagestelling voor grijswaardige beelden Codering: implementatie van de collagestelling Decodering: bepalen van de attractor van een PIFS Foutmeting Kleurbeelden Wavelet beeldcompressie Inproductruimten Orthonormale en orthogonale basissen Orthogonaal complement Orthogonale matrices De inproductruimten V i Toepassing van de projectiestelling op V i Haar Wavelet transformatie: basisverandering Codering Decodering Daubechies D4 wavelets Wavelet Transformatie in twee dimensies Bibliografie 7 Index 73 A 76 A. Eigenwaarden en eigenvectoren A. Diagonalisatie A.3 Toepassing B Oefeningen 84 Inhoudsopgave

4 Inleiding Digitale beelden nemen een steeds belangrijkere positie in binnen de informatica. De groei van internet samen met zeer krachtige, maar tegelijk ook betaalbare computers en de populariteit van digitale camera s, scanners en printers zorgen ervoor dat digitale beelden niet meer weg te denken zijn uit het dagelijkse leven. Beeldcompressie is daarom van belang zowel bij overdrachtssnelheid als bij het efficiënt opslaan van die beelden. Men heeft immers al gauw een aantal megabyte nodig om een beeld op te slaan. Kleur Dimensie Bits Niet-gecompresper pixel seerde grootte 56 (= 8 Grijswaarden Kb RGB = Kb RGB = 4 3 Mb Definitie. Compressie is het anders voorstellen van data (i.e. coderen zodat de opslagruimte ervan kleiner wordt, maar met weinig verlies aan informatie wanneer men terugkeert naar de oorspronkelijke voorstelling (i.e. decoderen. Zonder compressie-technieken zouden er dus niet zo veel beelden en andere data op een harddisk of een CD kunnen worden opgeslagen. Over een netwerk zouden slechts een paar beelden per seconde kunnen worden verstuurd, wat onvoldoende is voor de huidige praktijken. Dit resulteert natuurlijk in grote interesse voor het verbeteren van de bestaande compressiealgoritmes. In deze cursus spenderen we aandacht aan twee gebieden binnen de wiskunde die enorm hebben bijgedragen aan beeldcompressie: fractalen en wavelets. Structuur vinden in data is een sleutelaspect bij het efficiënt representeren en opslaan van data. Fractale en wavelet compressies hebben elk een verschillende aanpak voor het vinden van structuur in beelddata. iii

5 iv Het beeldcompressie proces Een digitaal beeld op ons computerscherm bestaat uit een eindig aantal pixels die elk een eindig aantal kleuren kunnen aannemen. Dit zou in een computer kunnen opgeslagen worden als een rechthoekige array gevuld met pixelwaarden, maar in werkelijkheid vindt er steeds beeldcompressie plaats bij het opslaan. Wanneer men het bestand terug opent, wordt het gedecodeerd. Wanneer het gedecodeerd beeld altijd hetzelfde is als het originele beeld noemt men het compressie-algoritme verliesloos. Als het gedecodeerde beeld verschilt van het originele, dan spreekt men van een verlieslatend algoritme. Fractale en wavelet compressies zijn beiden verlieslatend, zoals de meeste compressie-algoritmes. Er zijn twee manieren om een lijst van waarden te comprimeren:. de lijst van waarden inkorten,. de waarden zelf inkorten zodat die gemiddeld uit minder bits bestaan. Onder. valt algoritmische codering, zoals fractale en wavelet codering, alsook Fourier en DCT codering die we niet behandelen in deze cursus. Deze laatste twee zijn de basis voor JPG-bestanden. De output van deze algoritmische coderingen kan dan verder gecomprimeerd worden met extra coderingen. Men kan bijvoorbeeld entropie codering toepassen (o.a. Huffman en arithmetische codering, zie [, p. 4-5]. Dit type codering onderzoekt de verdeling van de waarden om zo tot een efficiënte bit-representatie te komen. Waarden die frequent voorkomen in de lijst krijgen een kleiner aantal bits. Men kan ook quantizatie gebruiken, wat minder bits per getal geeft (o.a. scalaire en vector quantizatie, [, p.5-6] en/of de lijst van waarden inkort, wat gebeurt bij decimatie. Dit laatste proces bestaat erin een deel van de waarden gelijk te stellen aan nul. Dit deel kan bepaald worden als een percentage van het totaal aantal waarden of kan bepaald worden door een threshold test. Bijvoorbeeld bij wavelet codering kan een percentage van de wavelet coëfficiënten (meestal 90% gelijk gesteld worden aan nul of men kan ook die coëfficiënten nul stellen die kleiner zijn dan een vooropgestelde waarde, de threshold. Merkwaardig genoeg vinden we dan nog steeds een vrij goed gedecodeerd beeld. Introductie

6 v Figuur : Beeldcompressie proces. Introductie

7 vi Fractale beeldcompressie Barnsley en Sloan waren de eersten die het potentiëel zagen in het toepassen van geïtereerde functiesystemen (of IFS op het probleem van beeldcompressie en ze patenteerden hun ideeën in 990. Met hun methode kunnen beelden gecodeerd worden die een globale zelfsimilariteit vertonen zoals in Figuur. Figuur : Globale zelfsimilariteit in een blad. Jacquin introduceerde in 99 een fractale codering die gebruik maakt van een systeem van zogenaamde domein- en bereik-deelblokken van een beeld en ze is de basis voor de meeste huidige fractale coderingen. Deze methode zoekt naar lokale zelfsimilariteit in een beeld op de volgende manier: ze verdeelt een beeld in disjuncte bereik-deelblokken en definieert op het beeld een geheel van overlappende domein-deelblokken. Voor elk bereikdeelblok zoekt het coderingsproces naar het beste domein-deelblok dat door een affiene transformatie op het bereik-deelblok kan worden afgebeeld. Veel van het huidig onderzoek in fractale beeldcompressie gebeurt naar het trachten te reduceren van de lange coderingstijden. Dit kan gebeuren door gebruik te maken van zogenaamde feature extractie of via een classificatiesysteem voor de domein-deelblokken (zie [, Hoofdstuk 4]. Introductie

8 vii Figuur 3: Lokale zelfsimilariteit. Wavelet beeldcompressie Wavelet beeldcompressie werkt op een totaal andere manier. Ze zoekt niet meer naar zelfsimilariteit in een beeld, maar tracht overbodige informatie te vinden. Data komende van wavelet transformaties kan men in een boomstructuur plaatsen waarin men overtollige informatie kan detecteren (en dan elimineren en die makkelijk gecodeerd kan worden. Op deze boomstructuur kan men bijvoorbeeld ook het fractale coderingsproces toepassen. Figuur 4: Heel veel detail! Te veel? Introductie

9 Hoofdstuk Vectorruimten en matrices Op het eerste zicht ziet men niet meteen een verband tussen wiskunde en beeldcompressie. Vele praktische problemen kunnen echter opgelost worden in een wiskundig kader. Men moet hiervoor het probleem vertalen naar een wiskundige structuur en het dus abstraheren. In dit hoofdstuk voeren we enkele wiskundige begrippen in die we zullen nodig hebben in deze cursus.. Vectorruimte Definitie... Zij V een niet-lege verzameling voorzien van twee operaties + : V V V : (x, y x + y (optelling : R V V : (k, x kx (scalaire vermenigvuldiging die aan de volgende eigenschappen voldoen voor alle x, y, z V en k, l R:. x + y = y + x (commutativiteit van +. x + (y + z = (x + y + z (associativiteit van + 3. een neutraal element o V voor de optelling, i.e. x + o = o + x = x 4. x V bestaat er een invers element x V zodat x + ( x = ( x + x = o 5. k(x + y = kx + ky 6. (k + lx = kx + lx 7. k(lx = (klx 8. x = x. We noemen V een reële vectorruimte en de elementen van V vectoren.

10 .. Deelruimte We merken op dat deze definitie noch de vectoren noch de operaties specifieert. Elk object kan een vector zijn. Voorbeeld.... Zij V = R n, welke bestaat uit n-tupels x = (x, x,..., x n met x i R, i =,..., n. De optelling van x en y = (y, y,..., y n is gedefinieerd door x + y = (x + y, x + y,..., x n + y n en de scalaire vermenigvuldiging van x met k R door kx = (kx, kx,..., kx n. Ga na dat R n een reële vectorruimte is.. Zij V = M nm (R, de n m-matrices over R, welke (rechthoekige n m arrays zijn van getallen, welke we entries noemen. De optelling van twee matrices bekom je door de corresponderende entries op te tellen, de scalaire vermenigvuldiging van een matrix met k R wordt gegeven door elke entry te vermenigvuldigen met dat getal k. Ga na dat M nm (R een reële vectorruimte is. Wanneer m = n, schrijven we M n (R. Enkele voorbeelden van matrices: 3 0 ( π e Een matrix met maar één kolom noemen we een kolomvector en een matrix met maar één rij een rijvector.. Deelruimte Definitie... Een deelverzameling W van een vectorruimte V noemt men een deelruimte van V als het zelf een vectorruimte is voor de operaties van V. Bijvoorbeeld een rechte door de oorsprong is een deelruimte van R.. Vectorruimten en matrices

11 .3. Lineair onafhankelijk 3 Definitie... Een vector y V noemt men een lineaire combinatie van de vectoren x, x,..., x n V als hij kan geschreven worden als waarbij k i R, i =,..., n. y = k x + k x +... k n x n In R is (3, een lineaire combinatie van (, en (,, want (3, = (, + 5(,. Als x, x,..., x n vectoren zijn in V, dan in het algemeen kunnen sommige vectoren uit V een lineaire combinatie zijn van x, x,..., x n V, andere niet. Notatie..3. Als we de verzameling W construeren bestaande uit alle vectoren die een lineaire combinatie zijn van x, x,..., x n V, dan kan je gemakkelijk nagaan dat W een deelruimte van V, die we noteren door vect{x, x,..., x n }..3 Lineair onafhankelijk Definitie.3.. De vectoren x, x,..., x n noemen we lineair onafhankelijk als uit k i x i = o volgt dat i k i = 0 voor alle i =,..., n. Voorbeeld.3.. Zij e i het n-tupel met op de i-de plaats en nullen elders. We noemen e i de i-de eenheidsvector van R n. Als n i= k ie i = o, dan volgt dat (k, k,..., k n = (0, 0,...,, 0 en dus zijn de e i, i =,..., n lineair onafhankelijke vectoren..4 Basis Definitie.4.. Zij V een reële vectorruimte en B = {b,..., b n } een verzameling vectoren in V. We noemen B een basis voor V als. vect{b,..., b n } = V en. b,..., b n lineair onafhankelijk zijn. Vectorruimten en matrices

12 .4. Basis 4 We noemen V eindig-dimensionaal als er zulk een eindig aantal vectoren bestaan. Voorbeeld.4.. De n eenheidsvectoren van R n vormen een basis die we de standaardbasis van R n noemen. Stelling.4.3. Zij B = {b, b,..., b n } een basis voor een vectorruimte V, dan kan elke vector x V uniek geschreven worden als een lineaire combinatie van de basisvectoren n x = k i b i. i= Bewijs. Omdat vect{b,..., b n } = V, kan elke vector x van V geschreven worden als lineaire combinatie van b,..., b n. Om de uniciteit te bewijzen, veronderstel dat x = c i b i = k i b i. i i Het verschil van de twee laatste geeft dat o = i (c i k i b i. De lineaire onafhankelijkheid van b,..., b n geeft dat c i k i = 0 voor alle i =,..., n. De scalairen k i ( i n noemt men de coördinaten van x ten opzichte van B. De vector x B = (k, k,..., k n R n noemt men de coördinaat rijvector van x ten opzichte van B. De vector k x T k B =. k n noemt men de coördinaat kolomvector van x ten opzichte van B. De vector x R n identificeren we vaak met x B en x T B. Ga na dat dit compatibel is met de vectorruimte-structuur. Definitie.4.4. Zij A een n m-matrix, dan is de getransponeerde matrix A T de m n-matrix die men bekomt door de rijen en kolommen van A te wisselen. Vectorruimten en matrices

13 .5. Matrices 5.5 Matrices We hebben gezien dat M nm (R een reële vectorruimte is, dus we kunnen matrices optellen en vermenigvuldigen met een getal k R. Men kan nu echter nog operaties op matrices definiëren. Definitie.5.. Zij A = (a ij een n r-matrix en B = (b ij een r m- matrix. Het product AB = (c ij is de n m-matrix met entries r c ij = a ik b kj. Men vermenigvuldigt dus de i-de rij van A met de j-de kolom van B. k= De rang van een matrix B M mn (R is het (maximaal aantal lineair onafhankelijke kolommen van B. Zij I n de n n-matrix met eentjes op de diagonaal en voor de rest nullen. Wanneer A een n n-matrix is waarvoor er een matrix B bestaat zodat AB = BA = I n, dan noemt men B de inverse van A en noteert men deze door A. Met een n n-matrix A = (a ij kan men een getal det A associëren, de determinant van A, als volgt n det A = a k ( +k M k, k= waarbij M k de determinant is van de deelmatrix van A die men bekomt door de eerste rij en k-de kolom weg te laten. Wanneer ( a b A =, c d een -matrix, dan is det A = ad bc. Stelling.5. (Zonder bewijs. Men kan tonen dat volgende eigenschappen equivalent zijn voor A M n (R:. det A 0,. A is inverteerbaar, 3. de kolommen van A zijn lineair onafhankelijke vectoren in R n, 4. de rijen van A zijn lineair onafhankelijke vectoren in R n, 5. rang A=n. Vectorruimten en matrices

14 .6. Lineaire stelsels 6.6 Lineaire stelsels Een lineair stelsel is van de vorm c x + c x c n x n = d c x + c x c n x n = d (S :. c m x + c m x c mn x n = d n met tweede leden d i R en met coëfficiënten c ij R waarbij i {,..., m} en j {,..., n}. We zoeken x = (x,..., x n R n die aan (S voldoen. We kunnen het stelsel herschrijven als of kort c c... c n c c... c n c m c m... c mn Cx = d. Als d = o noemen we het stelsel homogeen. x x. x n = Stelling.6.. Elk lineair stelsel heeft ofwel geen oplossingen, ofwel juist één oplossing ofwel oneindig veel oplossingen. Bewijs. Als (S : Cx = d een lineair stelsel is, dan geldt juist één van de volgende beweringen: (a (S heeft geen oplossingen, (b (S heeft juist één oplossing of (c (S heeft meer dan één oplossing. Als we tonen dat in geval (c, (S oneindig veel oplossingen heeft, is de stelling bewezen. Zij x en x twee verschillende oplossingen. Stel x 0 = x x, dan is x 0 o. We hebben dat Zij nu k R, dan is Cx 0 = Cx Cx = d d = o. C(x + kx 0 = Cx + ko = d, dus x + kx 0 is een oplossing van (S. Nu zijn er oneindig veel keuzes voor k en dus oneindig veel oplossingen voor (S. Gevolg.6. (Zonder bewijs. Een homogeen stelsel met meer onbekenden dan vergelijkingen heeft oneindig veel oplossingen. d d. d n Vectorruimten en matrices

15 .6. Lineaire stelsels 7 Om het stelsel op te lossen voeren we de uitgebreide matrix C u in c c... c n d c c... c n d C u = (C d = c m c m... c mn d m Stelling.6.3 (Zonder bewijs. Een stelsel (S heeft juist oplossing in R n als en slechts als rang C u =rang C=n. Wanneer het stelsel vierkant is, i.e. m = n, en rang C=n vinden we de unieke oplossing van (S door C u om te vormen tot de n n-eenheidsmatrix I n via elementaire rij-transformaties. Deze zijn. permutaties van de rijen van C u. een rij vervangen door een lineaire combinatie van deze rij en een andere rij. Deze transformaties wijzigen de rang van C u niet en het alzo bekomen stelsel heeft dezelfde oplossing als (S. Schematisch (C d (I n d en dan is x = d. We noemen dit de oplossingsmethode van Gauss-Jordan. Een nuttige toepassing van deze methode is het bepalen van de inverse matrix A van een inverteerbare matrix A M n (R. De inverse moet voldoen aan de vergelijking AX = I n, met X M n (R. We krijgen dan een vierkant stelsel met n vergelijkingen en n onbekenden. We kunnen X schrijven als (x, x,..., x n met x i = x i x i. x ni, waar i n. Zij e i, i n, de kolomvector met overal nullen buiten een op de i-de rij. We kunnen dan het stelsel herschrijven als n vierkante Wanneer (S daarenboven homogeen is, vinden we dus enkel de nuloplossing. Vectorruimten en matrices

16 .7. Dimensie 8 stelsels met n vergelijkingen en n onbekenden Ax = e Ax = e. Ax n = e n, elk met een unieke oplossing aangezien rang A=n. We vinden de oplossing van zo één stelsel door de oplossingsmethode van Gauss-Jordan toe te passen op (A e i. We kunnen echter deze n stelsels tegelijk oplossen door Gauss-Jordan toe te passen op (A e e... e n = (A I n en we vinden een unieke oplossing B. Dus AB = I n en bijgevolg is B = A AB = A. Schematisch (A I n (I n A..7 Dimensie Stelling.7.. Zij V een eindig-dimensionale vectorruimte met als basis B = {b,..., b n }. Elke verzameling met meer dan n vectoren bevat lineair afhankelijke vectoren. Bewijs. Zij S = {x,..., x m } een verzameling van m vectoren in V met m > n. Omdat B een basis is, kan men elk van deze vectoren schrijven als een lineaire combinatie van de basisvectoren, x = x = x m = n a i b i i= n a i b i i=. n a im b i. i= Vectorruimten en matrices

17 .7. Dimensie 9 We zoeken nu scalairen k i R, niet allen nul, zodat k x + k x +... k m x m = o. Wanneer we de uitdrukking voor de x i hierin substitueren krijgen we dat (k a + k a + + k m a m b + (k a + k a + + k m a m b +. (k a n + k a n + + k m a nm b n = o. Uit de lineair onafhankelijkheid van B volgt dat de k i moeten voldoen aan k a + k a + + k m a m = 0 k a + k a + + k m a m = 0. k a n + k a n + + k m a nm = 0. Dit is een homogeen stelsel met meer onbekenden dan vergelijkingen en dus hebben we wegens Stelling.6. niet-triviale oplossingen. We krijgen onmiddellijk hetvolgende belangrijk resultaat. Gevolg.7.. Alle basissen van een eindig-dimensionale vectorruimte V hebben hetzelfde aantal vectoren. We noemen dit aantal de dimensie van V en noteren dit als dim V. Bewijs. Zij B = {b,..., b n } en B = {b,..., b m} twee basissen van V. Uit het feit dat B een basis is en B bestaat uit lineair onafhankelijke vectoren volgt uit Stelling.7. dat m n. Omgekeerd krijgen we uit het feit dat B een basis is en B bestaat uit lineair onafhankelijke vectoren dat n m, dus is m = n. Voorbeeld.7.3. dim R n = n en dim M nm (R = nm. Er bestaat een subtiel verband tussen dimensie, basis, voortbrengend en lineair onafhankelijk. Lemma.7.4. Zij S = {x,... x n } een niet-lege verzameling vectoren in een vectorruimte V. Vectorruimten en matrices

18 .7. Dimensie 0. Onderstel dat alle vectoren in S lineair onafhankelijk zijn. Als y / vect{x,... x n }, dan bestaat S {y} nog steeds uit lineair onafhankelijke vectoren.. Onderstel dat een x j S een lineaire combinatie is van andere vectoren uit S, dan brengt S \ {x j } dezelfde deelruimte voort als S. Bewijs.. Onderstel dat S = {x,... x n }, waarbij alle x i lineair onafhankelijk zijn, en dat y / vect{x,... x n }. We moeten tonen dat alle vectoren uit S {y} nog steeds lineair onafhankelijk zijn, dus dat uit volgt dat n k i x i + k n+ y = o i= k = k = = k n = k n+ = 0. We moeten hebben dat k n+ = 0, want anders is y een lineaire combinatie van x,..., x n, wat strijdig is met de onderstelling. Dus het probleem reduceert tot tonen dat uit i= n k i x i = o volgt dat alle k i = 0, i =,..., n. Dit is zo wegens de lineaire onafhankelijkheid van x,... x n.. Onderstel dat S = {x,... x n } en dat (door hernummering van de vectoren x n voldoet aan n x n = k i x i. i= We willen tonen dat als we x n verwijderen uit S, de overige vectoren nog steeds vect{x,... x n } voortbrengen. We moeten dus tonen dat elke vector y uit deze ruimte een lineaire combinatie is van x,... x n. Nu is n y = c i x i, i= en als we de uitdrukking voor x n hierin substitueren, krijgen we inderdaad het gevraagde. Vectorruimten en matrices

19 .8. Basisverandering Stelling.7.5. Zij V een eindig-dimensionale vectorruimte van dimensie n. Zij S een verzameling in V bestaande uit exact n vectoren, dan is S een basis voor V als ofwel S de ruimte V voortbrengt ofwel alle vectoren in S lineair onafhankelijk zijn. Bewijs. Onderstel dat S een verzameling is in V bestaande uit exact n vectoren die V voortbrengen. Als we willen tonen dat S een basis is, moeten we tonen dat alle vectoren uit S lineair onafhankelijk zijn. Als dit niet het geval zou zijn, dan bestaat er een vector y in S die een lineaire combinatie is van de andere vectoren. Wanneer we deze vector verwijderen uit S, dan volgt uit Lemma.7.4. dat de overige n vectoren nog steeds V voortbrengen. Dit is strijdig met Gevolg.7.. Onderstel dat S exact n vectoren x,..., x n bevat die allen lineair onafhankelijk zijn. Als we willen tonen dat S een basis is, moeten we tonen dat deze vectoren V voortbrengen. Als dit niet het geval zou zijn, dan bestaat er een vector y / vect{x,..., x n }. Als we deze vector toevoegen aan S, dan volgt uit Lemma.7.4. dat deze n + vectoren nog steeds lineair onafhankelijk zijn. Dit is strijdig met Stelling Basisverandering Wanneer we nu van basis willen veranderen, hoe veranderen dan de coördinaten van x? Stelling.8.. Zij V een reële vectorruimte. Wanneer we een basis B = {b, b,..., b n } vervangen door een nieuwe basis B = {b, b,..., b n}, dan wordt de nieuwe coördinaat kolomvector van x (dus ten opzichte van B gegeven door volgende matrixvermenigvuldiging x T B = P x T B, waarbij de kolommen van P de coördinaat kolomvectoren zijn van de nieuwe basisvectoren ten opzichte van de oude basis, dus P = ((b T B, (b T B,..., (b n T B. De matrix P noemen we de transitiematrix van B naar B. Deze matrix is steeds inverteerbaar met als inverse de transitiematrix van B naar B. Bewijs. We geven het bewijs voor n =. analoog. Het algemene geval verloopt Vectorruimten en matrices

20 .8. Basisverandering Zij B = {b, b } en B = {b, b } respectievelijk de oude en de nieuwe basis. Onderstel dat de coördinaat kolomvectoren van de nieuwe basis ten opzichte van de oude gegeven worden door Dus Onderstel nu dat (b T B = ( a b en (b T B = b = ab + bb, b = cb + db. (x T B = ( k k ( c d de nieuwe coördinaat kolomvector van x V is. We zoeken nu het verband met de oude coördinaat kolomvector. We hebben dat. x = k b + k b = k (ab + bb + k (cb + db, en dus (x T B = ( k a + k c k b + k d ( a c = b d ( k k = P (x T B. Er rest nog te tonen dat P inverteerbaar is. We zullen tonen dat de transitiematrix Q van B naar B de inverse is van P. Nu is (x T B = P (x T B = P Q(xT B. Omdat (b i T B = e i krijgen we met x = b i uit het voorgaande dat de i-de kolom van P Q gelijk is aan e i voor i =,..., n en dus P Q = I n. Vectorruimten en matrices

21 Hoofdstuk Fractale beeldcompressie Van fundamenteel belang voor de ganse theorie van fractale beeldcompressie is de Banach-fixpuntstelling. Deze stelling en de begrippen die zullen besproken worden in dit hoofdstuk dateren van het begin van vorige eeuw. Ze werden door wiskundigen, zoals Hausdorff en Banach, ontwikkeld om vragen binnen de wiskunde te beantwoorden. Hausdorff noch Banach hadden enig idee over de toepassingen die er vanaf 980 zouden uit voortkomen.. Banach-fixpuntstelling.. Complete metrische ruimten Zij X een verzameling. Definitie... Een functie d : X X R + die voldoet aan. d(x, y = 0 als en slechts als x = y. d(x, y = d(y, x 3. d(x, z d(x, y + d(y, z (driehoeksongelijkheid noemen we een metriek op X. Een verzameling X met een metriek d noemen we een metrische ruimte en noteren we door (X, d. Voorbeeld... Zij X = R en x = (x, x en y = (y, y punten (vectoren in X. Definieer. d (x, y = (x y + (x y (Euclidische afstand 3

22 .. Banach-fixpuntstelling 4. d (x, y = x y + x y dan zijn (R, d en (R, d metrische ruimten. We hebben dat d ((0, 0, (, = en d ((0, 0, (, =. Definitie..3. Zij (X, d een metrische ruimte en (x n n een rij van punten. Als ε > 0, N > 0 zodat n N : d(x n, x < ε dan zeggen we dat de rij (x n n convergeert naar een punt x X. We noteren dit als (x n n x of lim x n = x n en we noemen x de limiet van de rij (x n n. Als ε > 0, N > 0 zodat m, n > N : d(x m, x n < ε dan zeggen we dat de rij (x n n een Cauchy rij in X is. Voorbeeld..4. Zij S = {(x, y R 0 < d((x, y, (0, 0 < }, dan is (S, d een metrische ruimte. De rij (( n, n is een Cauchy rij in S. Nu is lim n n ( n, = (0, 0, n maar (0, 0 / S. Dus de rij convergeert in R, maar niet in S. Definitie..5. Een metrische ruimte (X, d waarin elke Cauchy rij convergeert naar een punt in X noemen we een complete metrische ruimte. Voorbeeld..6 (Zonder bewijs. (R, d is een complete metrische ruimte (idem voor (R, d. Fractale beeldcompressie

23 .. Banach-fixpuntstelling 5.. Contracties Zij (X, d een metrische ruimte. Definitie..7. Een functie f : X X noemen we een contractie op (X, d als er een constante s bestaat met zodat voor alle x, x X 0 s < d(f(x, f(x s d(x, x. De constante s noemt men een contractiefactor van f. Stelling..8. Een contractie f : X X op (X, d is continu. Bewijs. Zij x, y X. We willen tonen dat ε > 0, δ > 0 zodat als d(x, y < δ : d(f(x, f(y < ε. Kies een ε > 0 en zij s een contractiefactor van f. Dan is voor δ = ε/s d(f(x, f(y s d(x, y < ε. Contracties op een complete metrische ruimte vertonen een interessant gedrag wanneer men deze meerdere keren na elkaar toepast of dus itereert. Notatie..9. Als we f (x = f(x stellen dan is de tweede iteratie van f f (x = f(f (x = f(f(x. Algemeen is de n-de iteratie van f gegeven door f n (x = f(f n (x. Definitie..0. Een functie f : X X heeft een fixpunt x als f(x = x. Fractale beeldcompressie

24 .. Banach-fixpuntstelling 6 Stelling.. (Banach-fixpuntstelling of Contractiestelling. Zij f : X X een contractie op een complete metrische ruimte (X, d met contractiefactor s. Dan geldt dat. f precies één fixpunt x f X heeft,. voor alle x X lim f n (x = x f. n Bewijs. Zij x X. Wegens de definitie van een contractie geldt er d(f n (x, f k+n (x s d(f n (x, f k+n (x s d(f n (x, f k+n (x s n d(x, f k (x Wegens de driehoeksongelijkheid hebben we dat d(x, f k (x d(x, f(x + d(f(x, f (x + + d(f k (x, f k (x want 0 s <. Dus d(x, f(x + s d(x, f(x + + s k d(x, f(x ( + s + s + + s k d(x, f(x d(x, f(x, s d(f n (x, f n+k (x sn d(x, f(x. s Voor n, k gaat het rechterlid naar 0, aangezien s <. Bijgevolg is (f n (x n een Cauchy rij in de complete metrische ruimte (X, d en heeft dus een limiet x f X, i.e. lim n f n (x = x f. Nu bewijzen we dat x f een fixpunt is van f door te tonen dat de afstand tussen x f en f(x f nul is. De driehoeksongelijkheid geeft ons voor x X en n N dat d(x f, f(x f d(x f, f n (x + d(f n (x, f(x f d(x f, f n (x + s d(x f, f n (x, omdat f een contractie is. Omdat lim n f n (x = x f kunnen de twee afstanden in het rechterlid willekeurig klein gemaakt worden door gepaste keuze van n, wat dus geeft dat f(x f = x f. Fractale beeldcompressie

25 .. Banach-fixpuntstelling 7 Stel dat y f een ander fixpunt is van f, dan is d(x f, y f = d(f(x f, f(y f s d(x f, y f, wat geeft dat een contradictie. s, Voorbeeld... Zij f : R R : x 0.9 cos(x. We starten met het punt x 0 = 0. en tekenen achtereenvolgens x = f(x 0, enzovoort. x = f(x = f (x 0, x 3 = f(x = f 3 (x 0, Figuur.: f : R R : x 0.9 cos(x en x 0 = 0.. Vervolgens wordt in Figuur. dezelfde functie iteratief toegepast, maar het punt waarmee we nu starten is x 0 =.. Beschouw nu de functie g : R R : x x welke geen contractie is. We starten in Figuur.3 bij x 0 = 0. en passen opnieuw g iteratief toe. Fractale beeldcompressie

26 .. Banach-fixpuntstelling 8 Figuur.: f : R R : x 0.9 cos(x en x 0 =.. Figuur.3: g : R R : x x en x 0 = 0.. Fractale beeldcompressie

27 .. Banach-fixpuntstelling 9..3 Affiene transformaties Deze klasse van afbeeldingen geeft ons kandidaat contracties. Definitie..3. Een affiene transformatie op R is een functie f : R R : x ax + b, waarbij a, b R. Als 0 a <, dan is f een contractie op R. Een affiene transformatie op R is een functie f : R R : (x, y (ax + by + e, cx + dy + f, waarbij a, b, c, d, ( e, f R. Wanneer we de vector x = (x, y identificeren met x de kolomvector kunnen we dit ook schrijven als y ( ( ( ( x a b x e f(x = f = + = Ax + b, y c d y f waarbij ( a b A = c d ( e het matrixgedeelte en b = het translatiegedeelte van f. f Wanneer is een affiene transformatie op R een contractie? Stelling..4 (Substitutieformule (Zonder bewijs. Zij G een gebied in R dat bijectief getransformeerd wordt in een gebied R door een continu partieel afleidbare functie f : R R : (u, v f(u, v = (x, y die we de coördinaattransformatie noemen met componenten (g, h, dus Zij x = g(u, v ( g J(u, v = det u y = h(u, v. h u g v h v de Jacobiaan van de coördinaatransformatie. Zij ϕ een continue functie op R. Als J(u, v 0, dan ϕ(x, ydxdy = ϕ(g(u, v, h(u, v J(u, v dudv. R=f(G G Fractale beeldcompressie

28 .. Banach-fixpuntstelling 0 Voorbeeld..5 (Poolcoördinaten. Zij f : R R : (r, θ (r cos θ, r sin θ = (x, y. Dus g(r, θ = r cos θ en h(r, θ = r sin θ. Dan is J(r, θ = det ( g r h r g θ h θ De substitutieformule luidt dan ϕ(x, ydxdy = R = ( cos θ r sin θ = det sin θ r cos θ G G = r 0. ϕ(g(r, θ, h(r, θ J(r, θ drdθ ϕ(r cos θ, r sin θrdrdθ. Zij nu R het gebied ingesloten door de X-as en y = x. De dubbele integraal e x +y dxdy R kan men makkelijk berekenen door over te stappen op poolcoördinaten. π ( π [ ] e x +y dxdy = e r rdr dθ = R er dθ = π (e. 0 Herinner dat wanneer ϕ een positieve continue functie is op R, de dubbelintegraal R ϕ(x, ydxdy geïnterpreteerd kan worden als het volume van het object uit volgende figuur: Stelling..6. Zij G een gebied in R en zij f : R R : x Ax + b een affiene transformatie. Dan is Opp f(g = det A Opp G. Fractale beeldcompressie

29 .. Banach-fixpuntstelling Bewijs. We kunnen f als een coördinaattransformatie zien met componenten Dan is u = g(x, y = ax + by + e v = h(x, y = cx + dy + f. Bijgevolg is Opp f(g = ( a b J(x, y = det c d f(g dudv = G = det A. J(x, y dxdy = det A Opp G. Gevolg..7. Een affiene transformatie f : R R : x Ax + b is een contractie op (R, d als det A <. Uit Figuur.4 kunnen we afleiden dat ( r cos θ A = r sin θ r sin θ r cos θ, waar (r, θ de poolcoördinaten zijn van f(, 0 = (a, c en (r, θ + π de poolcoördinaten zijn van f(0, = (b, d. Figuur.4: Bepalen van het matrixgedeelte van f. We kunnen verschillende types van affiene transformaties op R onderscheiden. Fractale beeldcompressie

30 .. Banach-fixpuntstelling. dilatatie (r, r R Bijzondere gevallen: f d ( x y ( r 0 = 0 r ( x y (a reflectie tov. X-as ( x f x y (b reflectie tov. Y -as ( x f y y = = ( 0 0 ( 0 0 ( x y ( x y. translatie (e, f R f t ( x y = ( 0 0 ( x y ( e + f 3. rotatie over een hoek θ [0, π[ ( ( x cos θ sin θ f r = y sin θ cos θ ( x y 4. similitude over een hoek θ [0, π[ (r, e, f R ( ( ( x r cos θ r sin θ x f s = y r sin θ r cos θ y of f s ( x y ( r cos θ r sin θ = r sin θ r cos θ ( x y ( e + f ( e + f Een similitude combineert een dilatatie, translatie en rotatie. 5. scheve transformatie (b, c R ( x f st = y of f st ( x y = ( b 0 ( 0 c ( x y ( x y Telkens blijft er één coördinaat onveranderd. Fractale beeldcompressie

31 .. Fractale compressie voor binaire beelden 3. Fractale compressie voor binaire beelden.. Binair beeld Definitie... Herinner dat een digitaal beeld op ons computerscherm bestaat uit een eindig aantal pixels die elk een eindig aantal kleuren kunnen aannemen. Wanneer er voor elke pixel maar twee kleuren mogelijk zijn, spreken we van een binair beeld. Denk bijvoorbeeld aan een zwart-wit bitmap van 56 bij 56 pixels. Wanneer het aantal rijen pixels gelijk is aan n en het aantal kolommen pixels gelijk is aan m, kan een binair beeld op een computer worden voorgesteld door een matrix F = [f ij ], waar i n, j m en f ij {0, }. Er wordt overeengekomen dat f ij = 0 wanneer de pixel op plaats (i, j in F wit is, terwijl f ij = wanneer hij zwart is. We gaan een binair beeld nu voorstellen door een deelverzameling van [0, ] R door de punten ( j m, n i n te tekenen wanneer f ij =, dus wanneer de pixel op plaats (i, j in F zwart is. Een binair beeld kan dus gezien worden als een eindige verzameling punten van R die de zwarte pixels voorstellen. Dit is een zogenaamde compacte verzameling van R. Voorbeeld... Zij n = m = 3. Beschouw volgend binair beeld. Als matrix is dit F = Fractale beeldcompressie

32 .. Fractale compressie voor binaire beelden 4.. De ruimte (H(R, h Om al de compacte verzamelingen van R te beschrijven voeren we twee nieuwe begrippen in. In Voorbeeld..4 hebben we gezien dat de rij (( n, n niet convergeert in (S, d, maar wel in de grotere complete ruimte (R, d. Definitie..3. Zij (X, d een metrische ruimte en A een deelverzameling van X. Een punt x X is een afsluitingspunt van A als er een rij (x n n in A \ {x} bestaat zodat lim n x n = x. Een deelverzameling A van (X, d noemt men gesloten als A al zijn afsluitingspunten bevat. Voorbeeld..4.. Het punt (0, 0 is een afsluitingspunt van S uit Voorbeeld..4. Bijgevolg is S niet gesloten, maar is dat wel. T = {(x, y R d ((x, y, (0, 0 }. Het singleton A = {x} met x X is gesloten. Hetzelfde geldt voor een eindige unie van singletons, dus een binair beeld is gesloten. Definitie..5. Zij (X, d een metrische ruimte en A een deelverzameling van X. We zeggen dat A begrensd is als x 0 X, R R + 0 zodat x A : d(x 0, x < R. Voorbeeld..6. De verzamelingen S en T uit de vorige voorbeelden zijn beiden begrensd. Dit geldt ook voor binaire beelden. Definitie..7. Gesloten en begrensde delen van (R, d worden compact genoemd. Er bestaat een algemene definitie van compact in een metrische ruimte (X, d, maar deze gaan we hier niet invoeren. n Fractale beeldcompressie

33 .. Fractale compressie voor binaire beelden 5 Notatie..8. De verzameling van compacte delen van (R, d noteren we door H(R. Dus elk element van H(R is een gesloten en begrensde deelverzameling van (R, d. Nu willen we op H(R een metriek zetten en we doen dit in verschillende stappen. Definitie..9.. Zij x R en B H(R dan stellen we d(x, B = min{d (x, y y B}. Dit minimum bestaat omdat B gesloten en begrensd is.. Zij A, B H(R dan stellen we d(a, B = max{d(x, B x A}. Dit maximum bestaat omdat A gesloten en begrensd is. 3. Omdat in het algemeen d(a, B d(b, A stellen we h(a, B = max{d(a, B, d(b, A}. Dan is h een metriek op H(R (ga na! die we de Hausdorff metriek noemen en (H(R, h is een complete metrische ruimte (Zonder bewijs. Figuur.5: Over het algemeen is d(a, B d(b, A. Fractale beeldcompressie

34 .. Fractale compressie voor binaire beelden 6..3 Geïtereerde functiesystemen We kunnen met een contractie op (R, d een contractie op (H(R, h maken. Stelling..0. Zij w : R R een contractie op (R, d met contractiefactor s. Dan is w : H(R H(R gegeven door w(a = {w(x x A}, voor alle A H(R, een contractie op (H(R, h met contractiefactor s. Bewijs. Dat w(h(r H(R volgt uit Stelling..8 (Zonder bewijs. Zij A, B H(R, dan d(w(a, w(b = max{d(w(x, w(b x A} = max{min{d (w(x, w(y y B} x A} max{min{s d (x, y y B} x A} = s d(a, B Analoog geldt d(w(b, w(a s d(b, A. Dus h(w(a, w(b = max{d(w(a, w(b, d(w(b, w(a} s max{d(a, B, d(b, A} = s h(a, B. Definitie... Een geïtereerd functiesysteem (IFS op een complete metrische ruimte (X, d is een eindige collectie contracties {w n n =,..., N} op (X, d. In (H(R, h kan men contracties van een IFS aan elkaar lijmen (anders dan ze gewoon samen te stellen en zo een nieuwe contractie maken. Stelling... Zij {w n n =,..., N} een IFS is op (R, d met respectievelijke contractiefactoren s, s,..., s N. We definiëren dan een afbeelding W op H(R door W (A = w (A w (A w N (A N = w n (A n= voor A H(R. Dan is W een contractie op (H(R, h met contractiefactor s = max{s n n =,..., N}. Fractale beeldcompressie

35 .. Fractale compressie voor binaire beelden 7 Bewijs. We geven het bewijs voor N =. Een inductie-argument vervolledigt dan het bewijs. Zij A, B, C, D en E H(R. Per definitie is h(a B, C D = max{d(a B, C D, d(c D, A B}. Onderstel dat h(a B, C D = d(a B, C D. Merk op dat d(a B, E = max{d(x, E x A B} = max{max{d(x, E x A}, max{d(x, E x B}} = max{d(a, E, d(b, E}. Dan is voor E = C D, h(a B, C D = max{d(a, C D, d(b, C D}. Onderstel dat h(a B, C D = d(a, C D. Nu is C C D, dan is het duidelijk dat d(a, C d(a, C D. Dus h(a B, C D d(a, C h(a, C max{h(a, C, h(b, D}. De andere mogelijkheden verlopen analoog. We besluiten dat Dan is h(a B, C D max{h(a, C, h(b, D}. h(w (A, W (B = h(w (A w (A, w (B w (B max{h(w (A, w (B, h(w (A, w (B} max{s h(a, B, s h(a, B} s h(a, B De Banach-fixpuntstelling kan nu worden toegepast op de contractie W op de ruimte (H(R, h die we met een IFS op (R, d kunnen maken. Definitie..3. Het unieke fixpunt F is van de contractie W op H(R uit Stelling.. noemen we de attractor van het IFS. Fractale beeldcompressie

36 .. Fractale compressie voor binaire beelden 8 Voorbeeld..4. Beschouw volgende affiene transformaties op R, ( ( x ( ( w = 0 x 0 + y 0 y ( ( x ( ( w = 0 x + 4 y 0 y 0 ( ( x ( ( w 3 = 0 x + 4 y 0 y 0 Merk op dat de determinant van elk matrixgedeelte 4 is en dus is {w, w, w 3 } een IFS op (R, d. Beschouw een driehoek A in R, we tekenen nu W (A = w (A w (A w 3 (A. Wanneer we W iteratief toepassen op A krijgen we het unieke fixpunt. Figuur.6: W (A en W 3 (A. Fractale beeldcompressie

37 .. Fractale compressie voor binaire beelden 9 Figuur.7: De attractor F van het IFS, de Sierpinski driehoek...4 Collagestelling voor binaire beelden Stelling..5 (Collagestelling. Zij L H(R en zij W de contractie komende van het IFS {w n n =,..., N} op (R, d met contractiefactor s zodat h(l, W (L ε met ε > 0, dan is h(l, F ε h(l, W (L s s, waarbij F de attractor van het IFS is. Bewijs. Zij w een contractie op (R, d met fixpunt x w. Zij x R zodat d (x, w(x < ε. Dan d (x, x w = d (x, w(x w d (x, w(x + d (w(x, w(x w d (x, w(x + s d (x, x w. Dus d (x, x w d (x, w(x s ε s. Fractale beeldcompressie

38 .. Fractale compressie voor binaire beelden 30 We kunnen dus een binair beeld L benaderen door de attractor van een IFS door L te overdekken met kleinere copieën van zichzelf (dus het beeld onder een contractie, waarvan de unie W (L niet teveel mag afwijken van L zelf in de Hausdorff metriek. We kunnen dan W iteratief toepassen op om het even welk binair beeld B en we krijgen zo een beeld dat dicht (in de Hausdorff metriek bij L is, want lim W n (B = F L. n Figuur.8: Terwijl de Banach-Fixpuntstelling ons toelaat aan fractale beeldcodering te doen, geeft de Collagestelling ons een hint hoe het coderingsproces te implementeren. Fractale beeldcompressie

39 .. Fractale compressie voor binaire beelden 3 Hoe construeren we nu zulke contracties? affiene transformatie We hebben gezien dat een f : R R : x Ax + b bepaald wordt door 6 onbekenden a, b, c, d, e, f. Wanneer we het beeld van 3 lineair onafhankelijke vectoren x = (x, y, x = (x, y en x 3 = (x 3, y 3 bepalen, krijgen we 6 vergelijkingen in de 6 onbekenden, namelijk ax + by + e = x cx + dy + f = y ax + by + e = x cx + dy + f = y ax 3 + by 3 + e = x 3 cx 3 + dy 3 + f = y 3 waar f(x i, y i = (x i, y i, i 3. We kunnen deze hergroeperen als (S x a + y b + e = x x a + y b + e = x x 3 a + y 3 b + e = x 3 (S x c + y d + f = y x c + y d + f = y x 3 c + y 3 d + f = y 3 De vierkante stelsels (S en (S hebben beiden dezelfde coëfficiëntenmatrix C x y C = x y, x 3 y 3 welke van rang 3 is aangezien x, x en x 3 lineair onafhankelijk zijn. Beide stelsels hebben dus een unieke oplossing die we kunnen vinden door Gauss- Jordan (C d (I n d (C d (I n d met d = x x x 3 en d = y y y 3. Merk op dat we de oplossing ook kunnen bekomen door C te inverteren en dan te vermenigvuldigen met d i (i =,. Fractale beeldcompressie

40 .. Fractale compressie voor binaire beelden 3..5 Codering: implementatie van de collagestelling De Collagestelling vertelt ons dat we een binair beeld L kunnen benaderen door de attractor van een IFS waarvan W (L ongeveer L overdekt. Bij fractale codering van een binair beeld gaat men een IFS van contractieve affiene transformaties maken. We leggen dit proces uit aan de hand van een voorbeeld. Voorbeeld..6. Zij L de Sierpinski driehoek uit Figuur.7. Dit is een binair beeld, want bestaat enkel uit de kleuren blauw en wit. We kunnen de Sierpinski driehoek perfect overdekken met drie kleinere copieën van zichzelf. We kunnen het voorschrift van de affiene transformaties w, w en w 3 vinden door een lineair stelsel op te lossen. We bepalen bijvoorbeeld w, dus hebben we drie punten nodig van de L en hun beeld onder w. Zij x = (0,, x = (, 0 en x 3 = (, 0. Dan is w (0, = ( 4, w (, 0 = (, 0 w (, 0 = (0, 0 Fractale beeldcompressie

41 .. Fractale compressie voor binaire beelden 33 We gaan de matrix C = inverteren. We noteren de rijvectoren van C met r, r en r 3 en passen elementaire rij-transformaties toe op (C I n r r r r + r r 3 r r r r r r r r 0 0 r r r Zij dan is Bijgevolg is en dus a b e d = a b e w ( x y 4 0 = C d en = = 0 4 en d = ( 0 0 en c d f ( x y c d f 0 0, = C d. = 0 0 ( De afbeeldingen w en w 3 worden op dezelfde manier bepaald en we vinden het IFS uit Voorbeeld..4 terug, waarvan we weten dat de attractor inderdaad de Sierpinski driehoek is.. Fractale beeldcompressie

42 .. Fractale compressie voor binaire beelden 34 Vergeet niet na te kijken of de bekomen affiene transformaties inderdaad contracties zijn! Voorbeeld..7. Laat ons nu een voorbeeld uitwerken met het binair beeld van een echt blad uit Figuur.8, waarvan we a priori niet weten of het de attractor van een IFS is. Wanneer we op het beeld een coördinatenstelsel tekenen, kunnen we de drie transformaties bepalen die resp. het blauwe, groene en rode blad geven. We kiezen daartoe punten zoals in Figuur.9. Figuur.9: We kiezen drie punten (geel gekleurd en hun beeld onder de resp. transformaties. We voegen nog een vierde transformatie toe die het ganse blad op de steel stuurt. Door stelsels op te lossen krijgen we ( ( ( ( x x w = + y y ( ( ( x x w = y y ( ( ( x x w 3 = y y ( ( ( x x w 4 = y y ( ( ( Fractale beeldcompressie

43 .. Fractale compressie voor binaire beelden Decodering: bepalen van de attractor van een IFS Stel dat we voor een binair beeld L een IFS gevonden hebben die aan de voorwaarden van de Collagestelling voldoet. Merk op dat L dan in feite een globale zelfsimilariteit moet vertonen. We hoeven dan enkel te onthouden hoeveel affiene transformaties er nodig zijn om L te overdekken en telkens de 6 coëfficiënten waardoor ze bepaald zijn. In het vorige voorbeeld hoeven we dus slechts 4 getallen te bewaren ipv. alle zwarte pixels. Dit geeft dus grote compressie! Om de attractor F te genereren en dus het originele binaire beeld L te benaderen, kunnen we starten met om het even welk binair beeld en W iteratief toepassen. Deze implementatie noemen we het deterministisch algoritme. Deterministisch algoritme Zij L een binair beeld en ε > 0. Onderstel dat {w n n =,..., N} een IFS van contractieve affiene transformaties is met contractiefactor s zodat h(l, W (L ε. Neem een willekeurige binair beeld B 0 H(R en plot telkens B n = W (B n. Wegens Stelling.. en Stelling..5 hebben we dat lim B n = F L. n Omdat de resolutie van een beeldscherm eindig is, zal voor voldoende grote n het beeld B n niet meer wijzigen. Merk op dat elke B n bestaat uit een eindig aantal punten in R die we moeten identificeren met pixels wanneer we deze willen plotten. Voorbeeld..8. Zie Figuur.6. We hadden ook kunnen starten met bijvoorbeeld een cirkel, doch na een eindig aantal iteraties is het resultaat hetzelfde, namelijk Figuur.7. Bij dit algoritme zie je het effect van het IFS bij elke iteratie, maar het is niet efficiënt. Er bestaat echter een alternatief algoritme, gebaseerd op het zogenaamde Chaos Game, dat nog steeds makkelijk te implementeren is en veel sneller de attractor genereert. Het is gebaseerd op de volgende observatie. Wanneer men een punt uit de attractor F neemt, is dit in feite afkomstig van een rij w i s toegepast op een punt b 0 uit B 0. We zouden dus ook van een punt kunnen vertrekken en een rij van w i s construeren. Fractale beeldcompressie

44 .. Fractale compressie voor binaire beelden 36 Random algoritme Zij L een binair beeld en ε > 0. Onderstel dat {w n n =,..., N} een IFS van contractieve affiene transformaties is met contractiefactor s zodat h(l, W (L ε. Wegens Stelling..6 verandert de oppervlakte van een gebied in R onder een affiene transformatie w i met de determinant van het matrixgedeelte A wi. Associeer nu met elke w i een getal p i = det A wi N j= det A w j. Als w i (L een groot deel van W (L bepaalt, is 0 < p i dus groot. Neem een willekeurig punt x 0 = (x 0, y 0 R. Neem nu telkens een random getal r tussen 0 en en vergelijk met de p i s. Zij w i zodanig dat r p i het kleinst is en plot x n = w i (x n. De rij van punten x n noemen we de orbiet van een dynamisch systeem. Wanneer p i groot is, is er meer kans dat r p i het kleinst is en dan passen we een w i toe die een groter oppervlak van de attractor F bepaalt dan de andere. Het random algoritme produceert zo veel sneller beelden van goede kwaliteit dan het deterministisch algoritme en zelfs met minder werk. Inderdaad, het deterministisch algoritme plot bij elke iteratie de hele verzameling B n (al de voorgaande verzamelingen plotten we wel niet meer. Het random algoritme anderzijds, plot bij elke iteratie slechts één nieuw punt en alle voorgaande punten. Dit algoritme kan dus 000 iteraties doen op de tijd dat het deterministische er slechts één doet als B 0 uit 000 punten bestaat en x 000 W 000 (B 0 = B 000, welke al heel dicht bij F zal liggen. Dus de rij punten geven een beeld dat veel sneller dichter bij de attractor is. Opmerking..9. Wanneer we Figuur.6 bekijken, kan het dus zijn dat x zich bevindt in de bovenste punt van de rode driehoek w (A, welke geen deel uitmaakt van F. Om zulke uitschieters te vermijden in onze attractor worden vaak de eerste 0 iteraties niet geplot. Vanaf dan zitten de x n zeer dicht bij of in F. Fractale beeldcompressie

45 .. Fractale compressie voor binaire beelden 37 Figuur.0: Attractor van het IFS uit Voorbeeld..7 geplot met het random algoritme na iteraties...7 Fractale dimensie Er bestaat in feite geen rigoureuze definitie van wat een fractaal juist is. Definitie..0. Wij definiëren een fractaal als de attractor van een IFS. Deze vertoont dus een globale zelfsimilariteit en heeft daardoor dezelfde hoeveelheid detail op welke resolutie we ook kijken. De naamgeving gebeurde door Mandelbröt (983 en komt van het feit dat we een soort dimensie voor binaire beelden kunnen definiëren die niet-gehele waarden aanneemt voor fractalen, maar breuken ( fractions. Onder het woord dimensie verstaan we steeds een maatstaf voor grootte. Hoe kunnen we nu de grootte van een compact deel meten? We definiëren daartoe hetvolgende. Fractale beeldcompressie

46 .. Fractale compressie voor binaire beelden 38 Definitie... Zij L een compact deel van R. Zij ( N n het aantal vierkanten met zijde nodig om het compact L te overdekken, n dan noemen we ln(n( D = lim n n n ln( de fractale dimensie van L. Voorbeeld... Voor een vierkant krijgen we Figuur.: Bepalen van de dimensie D. D = Voor de Sierpinski driehoek krijgen we D = ln( n lim n n ln( =. ln(3 n lim n n ln( = ln(3 ln(. Fractale beeldcompressie

47 .3. Fractale compressie voor grijswaardige beelden 39.3 Fractale compressie voor grijswaardige beelden.3. Grijswaardig beeld Wanneer het aantal rijen pixels gelijk is aan n en het aantal kolommen pixels gelijk is aan m, dan wordt een grijswaardig beeld op je computer voorgesteld door een matrix F = [f ij ], waar i n, j m en f ij {0,,..., N } R, waar N het aantal grijswaarden is. Kleine waarden voor f ij komen overeen met donkere pixels, grotere waarden met lichtere. Nu kunnen we echter geen onderscheid maken in grijswaarden door enkel punten te tekenen in R! We moeten dus een andere voorstelling voor onze beelden zoeken. Merk op dat we een binair beeld F ook hadden kunnen zien als het beeld van de stuksgewijs constante functie n f : [0, ] R : (x, y i=0 m j=0 f ij [ j m, j+ m [ [ n i n, n i n [ (x, y waar f ij {0, } de (i, j-plaats (we beginnen nu te nummeren vanaf 0 is in F en { wanneer (x, y A B A B (x, y = 0 anders voor A, B [0, ], de indicatorfunctie op A B. Figuur.: Grafiek van A B (x, y. Fractale beeldcompressie

48 .3. Fractale compressie voor grijswaardige beelden 40 Op deze manier verkrijgen we echter geen compact deel van R en is dus Stelling..5 niet toepasbaar. Doch heeft deze voorstelling van een digitaal beeld zijn voordelen, zeker voor grijswaardige beelden waarvoor de binaire techniek niet toepasbaar is. Voor een grijswaardig beeld gaan we nu als volgt tewerk. We kunnen een grijswaardig beeld zien als n f : [0, ] R : (x, y i=0 m j=0 f ij [ j m, j+ m [ [ n i n, n i n [ (x, y, waar f ij {0,,..., N } de (i, j-plaats (we beginnen opnieuw te nummeren vanaf 0 is in F. Figuur.3: Een grijswaardig beeld. Figuur.4: Grafiek van f. Fractale beeldcompressie

49 .3. Fractale compressie voor grijswaardige beelden 4 We zoeken nu een nieuwe ruimte waarin deze functies leven en waarop een complete metriek bestaat, zodat we de Banach-Fixpuntstelling kunnen toepassen en zo een Collagestelling voor grijswaardige beelden bekomen..3. De ruimte (G nm ([0, ], d Zij V een reële vectorruimte. Definitie.3.. Een functie. : V R + die voldoet aan. x = 0 als en slechts als x = o. kx = k x k R 3. x + y x + y (driehoeksongelijkheid noemen we een norm op V. Een reële vectorruimte V met een norm. noemen we een genormeerde ruimte. Merk op dat we een metriek verkrijgen op V door te stellen d(x, y = x y. We kunnen dan ook over compleetheid spreken. Een complete genormeerde vectorruimte noemen we een Banachruimte. We hebben dat elke eindigdimensionale genormeerde vectorruimte een Banachruimte is (Zonder bewijs. Voorbeeld.3... Zij V = R en x = (x, x een vector in V. Definieer x = x + x (Euclidische norm. De bijhorende metriek is de Euclidische metriek uit Voorbeeld.... Zij V = C([a, b], de reële vectorruimte van reëelwaardige continue functies op een gesloten interval [a, b]. Voor f C([a, b] definieer b f = a f(x dx. We bewijzen nu dat. een norm is. Fractale beeldcompressie