53 60 ). = 1, (in rekenmachine laten

Transcriptie

1 11 Vrigheen Wiskune in e ntuurkune vwo Uitwerkingen sisoek 11.1 REKENVAARDIGHEDEN = = = 4 3 = 8 3 = 3 = 1 = = 4 15 = 4 15 = 15 = (= ). π l l = 0,45 (π ) = 0,45 4 π l = 9,81 9,81 9,81 0,45 l = 0,45 9,81 4 π = 0, ,5 u = 4,7 u = 4,7 u = 4,7 = 10,5 10,5 0,95. (3, ) 4π = r 3 6, , r3 = (3, ) 6, , π = 1, (in rekenmhine lten stn!) r = 1, = (1, ) 1/3 = 1, De remkrht lijft gelijk en e eginsnelhei is 90/50 = 9/5 e keer zo groot. De remweg is evenreig met v egin, us is s rem = 13,8 ( ) = 45 m. De eginsnelhei lijft gelijk en e remkrht wort 6,5/8,4 keer zo groot. De remweg is omgekeer evenreig met e remkrht, us is s rem = 13,8 8,4 = 18 m. 6,5 4 De omtrek is π r us,07 = π r r =,07 = 0,395 m (in π rekenmhine lten stn!). De oppervlkte is π r us A = π r = π 0,395 = 0,341 m. Mk een tekening: Pythogors: + 4,5 = 5,8 = 5,8 4,5 = 3,66 m. De omtrek is 5,8 + 4,5 + 3,66 = 14,0 m. De oppervlkte is 1 4,5 3,66 = 8, m. De strl vn e l is 14 m. Het volume vn e l is 4 3 π r3 = 4 3 π 143 = 1, m 3 = 0,011 m 3. De oppervlkte vn e l is 4π r = 4π 14 =, m = 0,5 m. Het volume vn een iliner is π r h us = π r 1,0 r = π 1,0 = 0,300 m. De imeter is us 60,0 m. 5 De springrum wort in e hn gehouen, us e hoogte zl ongeveer 10 m zijn. Op e foto is e golflengte ongeveer keer zo groot ls e springrum. We shtten e golflengte us op x 10 = 0 m. De frequentie is n v = λ f ThiemeMeulenhoff v CONCEPT Pgin 1 vn 15

2 f = v = = 10 Hz. Dit wijkt erg veel f vn e gegeven grontoon vn 300 Hz, us λ 0,0 e hypothese vn Snr is onjuist. 6 Bewering 1: De reltieve toenme vn e slgfrequentie toeneemt is 0,880 0,833 = 0,047 = 0,056 en e reltieve fnme vn e slglengte is 0,833 0,833,50,40 = 0,040. Deze ewering is juist.,50 = 0,10,40 Bewering : De snelhei vn Joep is gelijk n e slglengte ml e slgfrequentie. De oorspronkelijke snelhei is us,50 0,833 =,083 m/s en e snelhei wrop Joep wil gn trinen is,40 0,880 =,11 m/s. De snelhei neemt toe us eze ewering is ook juist. De snelheistoenme is,11, % = 1,4%,083 7 Wr of niet wr? Beie strlen zijn even groot, us S = (n 1) ( ) = (n 1). Het gt R R R om een wterlens, us n is e rekingsinex vn wter Bins tel 18 n = 1,330 voor roo liht 40 = (1,330 1) R R = (1,330 1) = 0,0165 m = 1,7 m. 40 R 1 wort een ftor kleiner: R 1 = 1 R en R wort een ftor groter: R 1 = R. Dit invullen in e formule voor e sterkte vn e lens geeft: S = (n 1) ( R R ) = (n 1) ( R + 1 R ) = (n 1) ( 4 R + 1 R ) = (n 1) ( 5 ) = (n 1) (,5 R R ).,5 R is groter n us e sterkte vn e lens wort groter. R 8 [v] = [ F s ] [v ] = [ F s ] m = N m l m l s [m l ] [m l ] = N kg m s m = s s m = kg m m = kg/m. De frequentie moet 300/00 = 1,5 keer zo groot woren. Voor e golfsnelhei gelt: v = λ f, wrij e golflengte λ hierij onstnt lijft, us moet e golfsnelhei v 1,5 keer zo groot woren. Volgens e formule is e golfsnelhei is evenreig met F s us zl e spnkrht 1,5 =,5 keer zo groot moeten woren. 9 Oriënttie: De wrmteoorgngsoëffiiënt μ wort 3,5/1, =,5 keer zo klein, us zl ook e wrmtestroom P,5 keer zo klein woren. Het jrlijks gsverruik V is reht evenreig met e wrmtestroom, us it zl ook,5 keer zo klein woren. Uitwerking: V vuümgls = V uelgls,5 = 1, 103,5 = 0, J. De espring is us ThiemeMeulenhoff v CONCEPT Pgin vn 15

3 1, , = 0, m De strl vn het eel vn e krnevel is 1, = 7, m. De oppervlkte is us A = π r = π (7, ) = 1, m. De oppervlkte vn één pixel is 5, m, us het ntl pixels met informtie over e krnevel is 1, = 3,53 5, De strl vn e krnevel is ongeveer 5,5 lihtjr. Dt is 5, , = 5, m. De imeter is in werkelijkhei us 5, = 1, m. Dt is 1, , = 6, keer zo groot. 11 Stel t we x liter vn e eerste vloeistof voegen ij y liter vn e tweee vloeistof. De totle hoeveelhei vloeistof is n x + y = 1,0 liter. Het loholperentge vn eze vloeistoffen smen is n: 0,50 x+0,1 y = 0,30 0,50 x + 0,1 y = 0,30 (x + y). x+y Nu moeten we e volgene vergelijkingen oplossen: x + y = 1,0 0,50 x + 0,1 y = 0,30 (x + y). Vul y = 1,0 x in in e tweee vergelijking: 0,50 x + 0,1 (1,0 x) = 0,30 (x + 1,0 x) (0,50 0,1) x + 0,1 = 0,30 x = 0,30 0,1 = 0,474 L = 474 ml en y = 1,0 0,474 = 0,56 L = 56 ml. 0,38 1 Stel t e lengte vn e rehthoek x m is en e reete y m. De oppervlkte is n x y en e omtrek (x + y). De twee vergelijkingen zijn us: x y = 00 en (x + y) = 90. Shrijf e tweee vergelijking ls y = 45 x en vul it in in e eerste vergelijking: x (45 x) = 00 45x x = 00 x 45x + 00 = 0. Dit is op te lossen met e -formule: x = 45± = 45± 15 = 45±35 x = 5 of x = 40. Als x = 5 volgt t y = 45 5 = 40 en ls x = 40 volgt t y = = 5. De rehthoek is us 5 ij 40 m. 13 v uit = v in Zie figuur. + v. Op het tekenl is F win,5 m lng. De shl is us 450 N /,5 m = 180 N/m. Ontin e F win en epl e lengte vn e krhtomponent in vrrihting: ThiemeMeulenhoff v CONCEPT Pgin 3 vn 15

4 De krhtomponent in vrrihting is 1,0 m, us is e grootte vn eze krhtomponent 1,8 10 N. Teken ook e krhtomponent looreht op e vrrihting, zie figuur hieroven. Deze is,3 m, us is e grootte vn eze krhtomponent:,3 x 180 = 4,1 10 N. 14 F 1 is op het tekenl 5,6 m lng, us 5,6 5 = 1,4 10 N en F is op het tekenl 4,9 m lng, us 4,9 5 = 1, 10 N. Hoek α is 8 en hoek β is 53. Zie figuur. De somkrht F som is 6,8 m lng, us 6,8 5 = 1,7 10 N en e hoek γ is 73. F 1,x = F 1 os α = 1,4 10 os 8 = 1, 10 N, F 1,y = F 1 sin α = 1,4 10 sin 8 = 66 N, F,x = F os α = 1, 10 os 53 = 7 N, F,y = F sin α = 1, 10 sin 53 = 96 N. e F som,x = F 1,x F,x = 1, 10 7 = 48 N, F som,y = F 1,y + F,y = = 16 N f F som = F som,x + F som,y = = 169 N = 1,7 10 N en e hoek is te eplen met tn γ = F som,y F som,x = = 3,38 γ = tn 1 (3,38) = 73. De ntwooren vn vrg en e komen met elkr overeen. 15 Op het punt B werkt e zwrtekrht en e twee krhten ie in e rihting vn e twee stngen werken. B oefent op zijn eurt op e onerste stng een uwkrht uit en op e ovenste stng een trekkrht. Dt etekent t e ovenste stng een trekkrht op B uitoefent, terwijl e onerste een uwkrht uitoefent op B. Zie figuur. ThiemeMeulenhoff v CONCEPT Pgin 4 vn 15

5 Zie figuur. 16 De rihting vn e snelhei vn e plnetoïe is lngs e stippellijn. Deze snelheisvetor is ontonen in e getekene omponent ie in e rihting vn e zon wijst en in een omponent r looreht op. Construeer een rehthoek met v rihting zon wrij e stippellijn e igonl is. De igonl is e werkelijke snelhei vn e plnetoïe. Zie figuur. De lengte vn v rihting zon is op het tekenl,5 m en e lengte vn v is 5,5 m, us is e grootte vn e snelhei vn e plnetoïe: v = 5,5 v,5 rihting zon = 5,5 8,0,5 103 = 1, m/s. 17 Op t = 60 s is er 60 3, =, kg rnstof uitgestoten. De hoeveelhei rnstof ie er nog in zit is n m(60) = m(0), = 7, , = 4, kg. v(60) = u ln ( m(0) m(60) ) g 60 = 3,0 7, ln ( 4,98 105) 9,81 60 = 4,9 10 m/s. Aflezen in figuur 5 geeft iner t v(60) = 4,9 10 m/s. v(100) = u ln ( m(0) ) g 100 en flezen in figuur 5 geeft: m(100) v(100) = 1, m/s u ln ( m(0) ) g 100 = 1,13 m(100) 103 3, ln ( 7, m(100) ) 9, = 1, ln ( 7, m(100) ) = 1, , , = 0,7037 7, m(100) = e0,7037 =,01 m(100) = 7,14 105,01 = 3,5 105 kg. 18 Het elektrish vermogen is evenreig met e kinetishe energie vn e luhteeltjes en met hoeveel luhteeltjes er per seone oor e molen heen gn. De kinetishe energie vn e luhteeltjes is evenreig met v en e hoeveelhei luhteeltjes ie per seone oor e winmolen heen gn is evenreig met e winsnelhei v. Het vermogen is us evenreig met v v = v 3. Als e snelhei hlveert zl wort het vermogen (0,5) 3 = 0,15 keer zo groot. De fnme is n P 0,15 P 100% = 1 0,15 100% = 87,5%. P 1 ThiemeMeulenhoff v CONCEPT Pgin 5 vn 15

6 Als e ihthei vn e luht twee keer zo groot wort, zullen er per seone twee keer zoveel luhteeltjes oor e winmolen gn (eze luhteeltjes heen een even grote kinetishe energie). Het vermogen is us evenreig met e ihthei vn e luht. 19 In figuur 6 is f te lezen t ij een hoogte vn 10 km e ihthei 0,40 kg/m 3 is. Dit geruiken we in e gegeven formule: ρ(h) = 1, e h k 0,40 = 1, e k e k = 0,40 1, = 0, k = ln(0,38) = 1,115 k = ,115 = 9, De vrg is op welke hoogte gelt: ρ(h) = 1 5 ρ(0) 1, e h k = 1 1, 5 e0 e h k = 0, h = ln 0, = 1,609 k h = k ( 1,609) = 9, ( 1,609) = 1, m = 14 km. 11. ONDERZOEKSVAARDIGHEDEN 0 De formule ziet er n uit ls y = x. Grvittiekrht: F g = G mm, intensiteit: I = P ron r 4πr, wet vn Coulom: F el = f qq r, perkenwet vn Kepler: ωr = onstnt. Als e fstn tot e lihtron twee keer zo groot wort, wort e oppervlkte wroorheen e lihtstrlen gn 4 keer zo groot, en us vereelt het liht zih over een twee keer zo groot oppervlk, e lihtsterkte wort n twee keer zo klein. 1 De vergelijking vn een rehte lijn is: s = t +. Invullen vn twee punten, ijvooreel en (4,3) en (10,100) geeft: 3 = 4 + en 100 = Oplossen: = 3 4 invullen 100 = = 68 = 11 en = 13. De vergelijking is s = 11 t 13. Die snelhei is 11 m/s. Zie figuur. ThiemeMeulenhoff v CONCEPT Pgin 6 vn 15

7 N t = 4,0 s is e erekene verpltsing uit het v, t-igrm s = 1 4,0 11 = m terwijl uit het s, t-igrm fgelezen wort t e verpltsing op t = 4,0 s 3 m is. De grfiek is een wel lene lijn mr ls e tempertuur stijgt vn 0 C nr 80 C, lt e weerstn vn 0,58 Ω nr 0,08 Ω, t is niet vier keer zo klein. Bekijk e rie meetpunten (0, 0,58), (40, 0,31) en (60, 0,16). Bij even grote stppen vn 0 C nr rehts, hlveert (grofweg) e weerstn stees. Per 100 C gt R vn 1,1 nr 0,04, us g 10 = 0,04/1,1 = 0,0357 en g = 0,0357 1/10 = 0,7. R NTC = 0,7 T 10 en voor T = 0 C is R NTC = 1,1 kω = 1,1 kω R NTC = 1,1 0,7 T 10, wrij R NTC in kω en T in gren Celsius. 3 e f De hlveringstij is e tij wrop e tiviteit gel is vn 400 kbq nr 00 kbq, t 1/ = 10 gen Vnf t = 60 gen is niet goe meer f te lezen hoe e tiviteit fneemt. A(0) = 400 kbq. N 10 gen is e tiviteit 00 kbq, n 0 gen 100 kbq, n 30 gen 50 kbq, et. Dus e hlveringstij is 10 gen. t Een exponentieel vern: A = 400 ( 1 ) 10, wrij A in kbq en t in minuten. Zie figuur. 4 De lijn vn e open-open uis loopt oor e punten (0, 840), (40, 40), (80, 10) en e gesloten-open uis oor e punten (0, 40), (40, 10) en (80,105). Voor eie uizen gelt t ij een verueling vn e lengte e frequentie hlveert, us hypothese 1 is juist. Verer is te zien t frequentie vn e grontoon ij e open-open uis telkens twee keer zo groot is ls ie ij e gesloten-open uis. De geluisnelhei is in eie uizen gelijk en v = λ f, us een twee keer zo grote frequentie etekent een twee keer zo kleine golflengte. De golflengte vn e grontoon vn e open-open-open uis is us stees twee keer zo klein ls ij een gesloten-open uis en rmee is hypothese onjuist. 5 Als e elektronenihthei twee keer zo groot is, is e otskns voor een foton twee keer zo groot en us ook e kns op sorptie. N e helft vn e ikte zijn er n us twee keer zo veel otsingen geweest, us is e hlveringsikte n twee keer zo klein. ThiemeMeulenhoff v CONCEPT Pgin 7 vn 15

8 De eenhei vn ρ is kg/m 3, Z heeft geen eenhei en e eenhei vn m t is kg, us is Z [Z] e eenhei vn n e : [n e ] = [ρ ] = [ρ] = kg 1 = 1 = m t [m t ] m 3 kg m 3 m 3. Uit Bins, tel 8 F, lijkt t ls e energie vn het foton toeneemt, e hlveringsikte voor e stof toeneemt. Uit formule lijkt t ls e hlveringsikte toeneemt, e effetieve trefoppervlkte σ fneemt. 6 Aflezen op t = 0,36 s geeft F w = 0,90 kn en v = 3,5 m/s. Aflezen op t = 0,78 s geeft F w = 0,40 kn en v =,3 m/s. Hiermee zijn twee vergelijkingen op te stellen: 0,90 = 3,5 n en 0,40 =,3 n. 0,90 0,40 = (3,5,3 )n,5 = 1,5 n n = log,5 log 1,5 [F w ] = [] [v n ] N = [] ( m s ) kg m m s = [] s [] = kg m s = kg m s m. =. Dus = 0,90 3,5 = 0, De grootheen lngs e ssen vn een grfiek zijn reht evenreig met elkr ls er oor e metingen een rehte lijn getrokken kn woren én eze lijn ook oor e oorsprong gt. Dit is lleen het gevl in figuur 49. In eze figuur is er een reht evenreig vern tussen v en f, us hypothese 3 wort onersteun. De helling vn e lijn in figuur 49 is 100 =,9, us: v =,9 f. 34 Als e omlooptij 1,98 1,00 = keer zo groot wort, wort e hoogte = 4 keer zo 0,99 0,5 groot, en niet keer zo groot zols ij een evenreig vern. De helling vn e lijn in figuur 5 is 3,9 = 1,0 3,9, us: T = 3,9 h T = 3,9 h T =,0 h. De eenhei vn e onstnte,0 is s/m 1/. 9 Op re gelt: F g = G m M R wrij G M = g R G M = g R. m M m Op hoogte h oven het roppervlk gelt: F g = G (R+h) = G M Invullen vn G M = g R geeft: F g = g R m = m g R (R+h) (R+h). (R+h). 30 Als e mss tweeml zo groot wort n wort e remkrht ook tweeml zo groot. De vertrging = F rem /m is n gelijk. De remvertrging is evenreig met e remkrht en e remkrht is evenreig met e mximle wrijvingsoëffiiënt, us is evenreig met f. Bij remmen gelt: F net = F rem. Invullen vn F net = m en F rem = f F n = f m g geeft: m = f m g = f g. Bij het remmen wort e kinetishe energie omgezet in rei vn e remkrht. Volgens Bins is E k = 1 m v en is e rei W = F rem s. De kinetishe energie is us evenreig met v en e rei is evenreig met e remweg s rem, us is e remweg evenreig met v. ThiemeMeulenhoff v CONCEPT Pgin 8 vn 15

9 31 B, U, en q. Volgens e eerste formule gelt voor het versnellen t q U = 1 m v. U en q zijn voor lle ionen gelijk, us heeft e isotoop met e kleinste mss e grootste snelhei. Dt is loo-06. Volgens e eerste formule gelt t v evenreig is met 1/m, us is v evenreig met 1/ m. Volgens e tweee formule is e strl r evenreig met m en met v, us is e strl evenreig met m = m. De isotoop met e grootste mss zl us e m grootste irkeln eshrijven. Dt is loo [v] = m s en [ F s l ] = m [F s ] [l] = N m = m [m] kg kg m/s = m = m kg s s. 33 Eerste stuit: S = 1,4 = 0,79, tweee stuit: S = 0,80 =,00 1,4 0,80, ere stuit: S = 0,49 0,80 = 0,78. J, e stuitftor is miniml 0,78 en mximl 0,91. De gemiele stuitftor is 0,79, us h s h = 0,79 h s = 0,79 h. De hoogte n e n-e stuit is nu te erekenen met h s = (0,79 ) n,0. Bereken e n wrvoor h s = 10 m: (0,79 ) n,0 = 0,10 (0,79 ) n log 0,050 = 0,050 n = = log(0,79 ) 6,4. Dus n e zevene stuit is e stuiterhoogte vn e l kleiner n 10 m. Bij het vllen vnf een hoogte h tot n e gron wort zwrte-energie omgezet in kinetishe energie. N e stuit wort e kinetishe energie vn e l weer omgezet in zwrte-energie. We verwrlozen e luhtwrijving en stellen t e zwrteenergie en e kinetishe energie even groot zijn ij het vllen of ij het omhoog stuiten: E k,s = E z,s en E k = E z. De ftor wrmee e ewegingsenergie fgenomen is n gelijk n e ftor wrmee e zwrte-energie is fgenomen: E k,s E k Dit is niet gelijk n e stuitftor. = E z,s E z = m g h s m g h = h s h. Uit E k = E z volgt t 1 m v = m g h v = g h en ook v s = g h s. De ftor wrmee e snelhei is fgenomen is n v s v = g h s g h = h s h. De tweee verklring is juist. 34 Oriënttie: Als e ruppel met onstnte snelhei vlt gelt t F z = F w,l, wrij F z = m ruppel g en m ruppel = ρ w V. Het volume vn e ruppel is V = 4 3 π r3 en e frontle oppervlkte is A = π r. Uitwerking: Alles invullen in e evenwihtsvergelijking F z = F w,l geeft: m ruppel g = 1 w ρ l A v ρ w 4 π 3 r3 g = 1 w ρ l π r v ρ w 4 3 r g = 1 ρ l v v = 8 ρ w g r us k = 8 ρ w g. 3 ρ l w 3 ρ l w ThiemeMeulenhoff v CONCEPT Pgin 9 vn 15

10 35 36 [F] = N = kg m/s en [ m v] = kg m = kg t s s m/s. Geruik in formule 1 t m = ρ V, it geeft: F = m ρ V v = v. t t Het volume t per seone (us ij t = 1 s) wort oorsneen is A v, us V = t A v. Dit invullen geeft F = ρ V v = ρ A v v = ρ A t v. Voor het vermogen gelt P = F v, us het vermogen is evenreig met e krht en e snelhei. De krht is volgens F w = k v evenreig met v, us is het vermogen evenreig met v 3. Invullen vn F w = k v in P = F w v geeft P = k v 3 k = P = = v 3 0,93. ( 100 3,6 )3 37 Voor e n vn e ISS gelt t F g = F mpz. Invullen vn F g = G m ISS M re r en F mpz = m ISS v geeft: r G m ISS M re = m ISS v r G M re r r = v v = G M re. r G = 6, N m kg, M re = 5, kg en r = R re = 6, , = 8, m. Dit geeft: v = 6, , , = 7014 m/s. De omlooptij is te erekenen met v = π r T T = π r v = π 8, = 757 s = 757 =,016 uur [W] Hrmonishe trilling 11.3 DE AFGELEIDE GEBRUIKEN 39 m (meter). De oppervlkte oner e grfiek in een v, t-igrm is e verpltsing. m/s. De helling vn e rklijn n e grfiek in een v, t-igrm is e snelhei. e De fgeleie vn e snelhei v(t) is e versnelling (t). f De fgeleie vn e oppervlktefuntie Opp(t) ie e oppervlkte oner het v, tigrm eshrijft is gelijk n e funtie vn e oorspronkelijke grfiek, us n t v(t). 40 N m. De oppervlkte oner e grfiek in een F, x-igrm is e rei ie e krht verriht ij e verpltsing x. ThiemeMeulenhoff v CONCEPT Pgin 10 vn 15

11 De fgeleie vn e oppervlktefuntie Opp(x) ie e oppervlkte oner het F, xigrm eshrijft is gelijk n e funtie vn e oorspronkelijke grfiek, us n x F(x). 41 N 4 s is e snelhei 80 km/h =, m/s, us is e versnelling = v =, = 5,6 t 4 m/s. De verpltsing tijens e RTO is gelijk n e oppervlkte oner e grfiek. Bener e oppervlkte oor e lijn te verelen in riehoeken: e eerste riehoek vn (0,0) tot (43,400) en e tweee riehoek vn (43,30) tot (68,0). Reken e snelheen om vn km/h nr m/s. Oppervlkte vn e eerste riehoek: = 389 m en e oppervlkte vn 3,6 e tweee riehoek: 1 30 (68 43) = 1111 m. De totle verpltsing is 3, = 3500 m = 3,5 km. Een strtn met een lengte vn 4,00 km is us lng genoeg voor eze test. 4 De mss m en e grvittieversnelling g zijn onstnt. De enige vriele in e formule is e hoogte h, us is E z (h) = E z h. E z (h) = m g. E z (h) is gelijk n e zwrtekrht F z. 43 De formule voor e grvittie-energie is E g = G mm r. Constnt zijn e grvittieonstnte G, e mss vn e re M en e mss vn e stelliet m. E g (r) = E g r m M = G ( 1) r = G mm = F r g(r). 44 F v (u) = C u wrij C e helling vn e lijn in e grfiek is: C = 4,4 Dus F v (u) = 13 u. 0,35 = 1,6 N/m. ThiemeMeulenhoff v CONCEPT Pgin 11 vn 15

12 Bij een uitrekking vn 40 m is e veerkrht 5,0 N. De rei is W = F v,gem u = 1 5,0 0,40 = 1,0 J. In it vooreel is e oppervlkte oner e grfiek ij een eple uitrekking u te erekenen met 1 F v u = 1 1,6 u u = 6,3 u. E v (u) = E v u = 1 C u = C u = F v (u). 45 Voor e irkeln ie e stelliet eshrijft gelt t e mielpuntzoekene krht F mpz gelever wort oor e grvittiekrht F g. Zoek op in Bins: F mpz = mv r Dit levert: mv r en F g = G mm r. = G mm r v r = G M. De omlooptij is te erekenen met ehulp vn e formule voor e nsnelhei uit Bins: v = πr T. Vul it in: ( πr T ) r = G M 4π r 3 = G M T T = 4π r 3 T = π r3 G M G M. Teken een rklijn in het punt t hoort ij een hoogte vn 400 km: ( ) km De helling vn eze rklijn is = 0,395 km. Bij een hoogte vn 400 km 10 g g oven e re is e fstn vn het mielpunt vn e re tot e stelliet: r = R re = 6, = 6, m Zoek R re, G en M re op in Bins: R re = 6, m, G = 6, Nm kg en M re = 5, kg. Dus r = 6, = 6, m. Dit invullen in T = π r3 G M geeft T = π (6, ) 3 6, , = 5554 s = Het hoogteverlies per omwenteling is us 0,395 km 0,0643 g = 0,054 km/omwenteling = 5,4 m/omwenteling. = 0,0643 g. g omwenteling 46 In e formule zijn ln() en onstnten, us is A(t) evenreig met N(t). A = N t. Als A(t) evenreig is met N(t) en A = N(t), n etekent it t e fgeleie t N (t) evenreig is met N(t). Dit etekent t e funtie N(t) een exponentiële funtie moet zijn, wnt voor een exponentiële funtie zols f(x) = g x gelt t f (x) = g x ln(g) = ln(g) f(x). ThiemeMeulenhoff v CONCEPT Pgin 1 vn 15

13 Als N(t) een exponentiële funtie is en ls A(t) evenreig met N(t) is, moet A(t) ook een exponentiële funtie zijn. A(t) = N = t N (t) = N(0) ( 1 ) = ln() 1 N(0) ( 1 ) t = ln() t N(t). ln ( 1 ) 1 47 e Uit formule 1 lijkt t u~α. Uit formule lijkt t F res ~ sin(α) en omt voor kleine hoeken gelt t: sin(α) = α volgt t F res ~α. Dit etekent t F res ~u. Formule luit: F res = m g sin(α). Met ehulp vn e tweee wet vn Newton: F res = m weten we t F res evenreig is met e mss en met e versnelling. Dt etekent t e versnelling niet zl fhngen vn e mss. F res = m g sin(α) omineren met F res = m levert: m g sin(α) = m = g sin(α). Voor kleine hoeken gelt t sin(α) = α en met ehulp vn formule 1 weten we t α = u = g u. l l (t) = v (t) en v(t) = u (t) us is (t) = u (t), en uit vrg weten we t (t) = g u(t) us u (t) = g l l u(t). Alleen ij een sinusfuntie (of osinusfuntie) is e tweee fgeleie vn e funtie weer e oorspronkelijke funtie, mr n met een minteken, en t is wt we zien ij u (t) = g l u(t). f u (t) = A π T os (π T t) g u (t) = A ( π T ) sin ( π T t) = (π T ) u(t) en ij is fgelei t u (t) = g l u(t) us (π T ) = g l T = π (l g ). 48 [W] Moel: Hrmonishe trilling 49 [W] Moel: De strt vn een sprinter 50 e f A(0) = λ N(0) = 0, = 10 3 Bq. Als e helft vn e kernen is vervllen, is e tiviteit ook nog mr e helft, us Bq. In elke volgene seone vervlt telkens 1/1000 ste eel e kernen en lijft er us 999/1000 ste. Het ntl kernen zl us uiteinelijk wel stees kleiner woren, mr nooit heleml nul woren. N elke seone is nog 99,9% over vn het ntl kernen. Je kunt het verloop vn het ntl kernen us shrijven ls N(t) = N(0) (0,999) t. De tiviteit is e fnme per seone vn het ntl tieve kernen, us is e tiviteit e fgeleie vn het ntl tieve kernen (met een minteken). De fgeleie vn een exponentiële funtie is weer een exponentiële funtie met hetzelfe grontl, zot e grfiek vn A(t) ook een exponentieel vern met hetzelfe grontl is. N (3 ) = N(0) ( 1 ) 3 = N(0) ( 1 )3 = 1 8 N(0). ThiemeMeulenhoff v CONCEPT Pgin 13 vn 15

14 51 g h i De tiviteit is e fnme per seone vn het ntl kernen, terwijl e fgeleie vn N(t) e toenme per seone vn het ntl kernen etekent. Dus is A(t) = N (t). N (t) = N(0) ( 1 ) t ln ( 1 ) = ln() N(0) ( 1 ) t = ln() N (t) = ln() N(t) en N (t) = λ N(t) λ = ln() λ = ln(). N(t). Als e snelhei nul is, evint Lis zih in het hoogste of in het lgste punt. Het hoogtevershil is us gelijk n e oppervlkte oner e grfiek tussen twee nuloorgngen. Deze oppervlkte kn ener woren met een riehoek of oor hokjes tellen: s = 1 1,9 5,0 = 4,8 m. Zie figuur. Als e elstieken geen invloe meer uitoefenen op het hoogste punt, is e versnelling gelijk n g (= 9,8 m/s ). Dit kunnen we ontroleren oor in e grfiek e steilhei te meten op een len geeelte, ij een punt t oor nul gt. Zie figuur. e = ( 5,0) 5,0 = 7,1, 0,8 m/s. Dit is soluut gezien (7,1), kleiner n e vlversnelling (9,8), us e elstieken trekken het meisje ook op het hoogste punt nog iets omhoog, zot ze miner nr oner versnelt. De mximle snelhei lijft vrijwel onstnt, us is e rei vn e wrijvingskrhten verwrloosr. De veerkrht is voorturen positief, wnt ook in het hoogste punt oefenen e elstieken nog een krht nr oven uit (zie ook het ntwoor ij onereel ). De elstishe kooren hngen niet vertil en e trmpoline wort ron het lgste punt ingerukt. 5 E z = E k mgh = 1 mv v = gh. 1. Het volume I t per seone oor e krn loopt is v A krn.. Bij een ling h vn het wter in t seonen, neemt het volume vn het wter in ThiemeMeulenhoff v CONCEPT Pgin 14 vn 15

15 het vt f met h A vt. In t seonen stroomt er I t kuieke meter wter uit het vt. Dus h A vt = I t h = I h = I. t A vt t A vt Lees f t h(0) = 1,6 m 1,6 =. De top vn e prool ligt op t = 640 s us h(640) = 0,0 m 0,0 = ( 600) = 640. Dit invullen in 1,6 = geeft 1,6 = 640 = 3, en = 640. Uit vergelijking 1 volgt t v~ h en uit vergelijking volgt t I~v us I~ h. Uit vergelijking 3 volgt t h ~( I), us is h ~( h) h = h. e h = I = v A krn = gh A krn = g A krn h. A vt A vt A vt A vt Dus = g A krn. A vt f h(t) = ( t) h (t) = ( t). Dit invullen in h (t) = h(t) geeft: ( t) = ( t) ( t) = ( t). Deze vergelijking is oplosr, us pst een lprool ij eze grfiek (wrij = ). 53 [W] Moel: voor een slinger 54 [W] Moel: voor een leeglopen vt ThiemeMeulenhoff v CONCEPT Pgin 15 vn 15