Vector-en matrixvergelijkingen (a) Parallellogramconstructie (b) Kop aan staartmethode Figuur: Vectoren, optellen
(a) Kop aan staartmethode, optellen (b) Kop aan staart methode, aftrekken Figuur: Het optellen en aftrekken van vectoren 9 september 06
Voorbeeld Het stelsel vergelijkingen: x + 5x + x = x + x + 5x = 8 x + x + x = kan ook geschreven worden als: x a { }} {{ }} {{ }} { 5 + x + x 5 a a = b { }} { 8 Vraag: zijn er coëfficiënten x = s, x = s en x = s van a, a en a te vinden zodat s a + s a + s a precies b oplevert? 9 september 06
We hebben gezien dat (s, s, s ) = (, 6, ) voldoet. a 6 a + a = 6 5 6 6 6 5 + + 5 5 = = 5 6 + 6 + 5 6 + = Hierbij hebben wij gebruik gemaakt van de vermenigvuldiging van een vector uit R met een scalar (getal) en de som van vectoren uit R zoals in de video. 8 9 september 06
Definitie De vergelijking x a + x a + x a = b wordt vectorvergelijking genoemd. We zeggen dat b geschreven kan worden als een lineaire combinatie van de vectoren a, a en a. 9 september 06 4
Opgaven., Opgave 9 Schrijf het stelsel vergelijkingen: x + 5x = 0 4x + 6x x = 0 x + x 8x = 0 als vectorvergelijking. 9 september 06 5
., Opgave Onderzoek of b = 6 combinatie van a = geschreven kan worden als lineaire 0, a = 0 en a = 5 6 8. 9 september 06 6
Vectoren in R n Notatie De verzameling van alle geordende n-tallen reële getallen wordt aangeduid met R n. Als u R n dan u = [u, u,..., u n ] of u u =. u u n u, u,, u n heten de kentallen of componenten van u. 9 september 06 7
Opmerking Voor n =, en heeft R n een meetkundige interpretatie. Definitie Als u, v R n en u = [u, u,..., u n ], v = [v, v,..., v n ] dan wordt de som van u en v gedefinieerd door: [u + v, u + v,..., u n + v n ] Notatie u + v 9 september 06 8
Definitie Als u R n en c R is een scalar dan wordt de scalaire vermenigvuldiging van u met c gedefinieerd door: [c u, c u,..., c u n ]. Notatie c u 9 september 06 9
Eigenschappen Laten u, v en w vectoren zijn en c, d scalairen. Dan geldt: a. u + v = v + u (Commutatieve eigenschap) b. (u + v) + w = u + (v + w) (Associatieve eigenschap) c. u + 0 = u d. u + ( u) = 0 e. c (u + v) = c u + c v (Distributieve eigenschap) f. (c + d) u = c u + d u (Distributieve eigenschap) g. c(du) = (c d) u h. u = u 9 september 06 0
Definitie Een vector v heet een lineaire combinatie van de vectoren v, v,..., v n als er scalairen c, c,, c n bestaan zodat: v = c v + c v + + c n v n c, c,, c n heten de coëfficiënten van de lineaire combinatie. Definitie Als a, a,..., a n, b R m dan heet de vergelijking: x a + x a + + x n a n = b een vectorvergelijking in de onbekenden x, x,..., x n. 9 september 06
We kunnen onderzoeken of de vectorvergelijking: x a + x a + + x n a n = b een oplossing heeft door te onderzoeken of het equivalente stelsel vergelijkingen met als aangevulde matrix: [ a a... a n b] oplossingen heeft. 9 september 06
., Opgave Onderzoek of b = 6 combinatie van a = geschreven kan worden als lineaire 0, a = 0 en a = 5 6 8. x a + x a + x a = b x 0 + x 0 + x 5 6 8 = 6 9 september 06
x 0 + x 0 + x 5 6 8 = 6 x + 5x = x + x 6x = x + 8x = 6 0 5 6 0 8 6 0 5 0 4 0 8 6 0 5 0 4 0 0 0 0 (x, x, x ) = ( 5t, 4t, t) (t R) 9 september 06 4
Definitie Als a, a,..., a n, b R m dan heet de vectorvergelijking: x a + x a + + x n a n = b consistent als het minstens één oplossing heeft. 9 september 06 5
Stelling De vectorvergelijking x a + x a + + x n a n = b is consistent alleen maar als: b geschreven kan worden als lineaire combinatie van a, a,..., a n het stelsel vergelijkingen met aangevulde matrix: [ a a... a n b] consistent is. 9 september 06 6
Definitie Als a, a,..., a n R m dan heet de verzameling van alle lineaire combinaties van deze vectoren het opspansel van a, a,..., a n Notatie Span {a, a,..., a n } Voorbeeld Als u, v R \{0} wat is dan een meetkundige interpretatie van Span {u, v}? En van Span {u}? 9 september 06 7
Stelling De vectorvergelijking x a + x a + + x n a n = b is consistent alleen maar als b Span {a, a,..., a n } Conclusie Het oplossen van een stelsels vergelijkingen en vectorvergelijkingen komt in essentie op hetzelfde neer. 9 september 06 8
Matrixvergelijkingen Definitie Als a, a,..., a n R m en x R n, x = x x. dan heet x n x a + x a +... + x n a n het product van de vector x en de matrix A = [ a a... a n ]. Notatie Ax = x a + x a +... + x n a n. A is een matrix met m rijen en n kolommen, een m n-matrix. 9 september 06 9
Voorbeeld Als A = 4 5 6 7 8 9 0, en x = x x x x 4 dan 9 september 06 0
Voorbeeld Als A = 4 5 6 7 8 9 0, en x = x x x x 4 dan Ax = x 5 + x = 9 6 0 + x x + x + x + 4x 4 5x + 6x + 7x + 8x 4 7 + x 4 4 8 9x + 0x + x + x 4 9 september 06 0
Opmerkingen Het product van een vector x en een matrix A is alleen gedefinieerd als het aantal kolommen van A gelijk is aan het aantal kentallen van x. Als Ax bestaat dan is het aantal kentallen van deze vector gelijk aan het aantal rijen van A. 9 september 06
Voorbeeld Als A = x 5 5 5 5 x =, b = 8 8 matrixvergelijking {}}{ (Ax = b) 5 + x + x 5 vectorvergelijking {}}{ (x a + x a + x a = b) en x = = 8 x x x dan 9 september 06
x + x 5 + x 5 = 8 vectorvergelijking {}}{ (x a = x a + x a = b) x + 5x + x = x + x + 5x = 8 x + x + x = }{{} stelsel vergelijkingen 9 september 06
Stelling Als A een m n matrix is met kolommen a, a,..., a n in R m en b R m dan heeft de matrixvergelijking: Ax = b dezelfde oplossingen als de matrixvergelijking: x a + x a +... + x n a n = b en die heeft op haar beurt dezelfde oplossingen als het stelsel vergelijkingen met als aangevulde matrix: [ A b ] = [ a a... a n b] 9 september 06 4
Stelling Als A een m n matrix zijn. Dan zijn de volgende beweringen allemaal waar of allemaal niet waar. Voor iedere b R m heeft de matrixvergelijking Ax = b minstens één oplossing. Iedere b R m is een lineaire combinatie van de kolommen van A. De kolommen van A spannen R m op. A heeft een pivotpositie in elke rij. 9 september 06 5