Stabiiteit verdiepingbouw Kritiche beatingen van tabiiteiteementen Dit artike bechrijft een eenvoudige methode voor het berekenen van de kritiche beatingen van tabiiteiteementen in verdiepinggebouwen. Hiermee i het mogeijk naat de buigtijfheid van de contructie óók de afchuiftijfheid en de rotatietijfheid van de fundering in rekening te brengen. De methode maakt gebruik van echt drie individuee tijfheden die impe worden gecombineerd tot één kritiche beating. De methode i het meet gechikt voor contructie met een uniforme geometrie over de hoogte van het gebouw en eent zich daardoor het bet voor het voorontwerp. De uitkomten verchien maximaa 5% met een berekening met de eindige-eementenmethode []. dr.ir. J.C.D. Hoenderkamp Han Hoenderkamp i univeritair hoofddocent aan de Techniche Univeriteit Eindhoven Facuteit Bouwkunde, Contructief Ontwerpen. Hij verricht onderzoek naar ontwerpmethoden voor tabiiteitcontructie voor hoogbouw. Een horizontae beating op een verdiepinggebouw veroorzaakt uitbuiging van de tabiiteiteementen. Daarnaat kan de invoed van verticae beating op de horizontae uitbuiging van beang zijn. Ook de initiëe cheeftand, in combinatie met de verticae beating, evert een bijdrage aan de horizontae uitbuiging. De excentriciteit van de verticae beatingen veroorzaakt additionee verpaatingen en extra buigende momenten in de contructieve eementen. In het extreme geva kan dit tot bezwijken eiden. Meeta zijn de tweede-orde effecten kein en kunnen ze worden genegeerd. Indien deze effecten toch van beang zijn, kunnen ze in een tweede-orde berekening worden meegenomen óf kan met aangepate doorneden van de individuee eementen een tweede orde anaye worden vermeden [2/3]. Hoe dan ook, het i in de meete gevaen beangrijk om in een vroeg tadium te weten of het geeecteerde tabiiteityteem gevoeig i voor tweede-orde effecten of niet. Kritiche beating De gevoeigheid voor tweede-orde effecten in een contructie kan worden gechat met behup van de kritiche beating, die meeta vogt uit een voedige knikberekening. Een dergeijke berekening kan tijdrovend en compex zijn. Het igt daarom in de bedoeing hier een anaytich mode te preenteren dat de ontwerper in taat tet zowe de buigtijfheid EI en de afchuiftijfheid GA van het tabiiteiteement amede de rotatietijfheid C van de fundering op een eenvoudige manier in rekening te brengen bij het bepaen van de gecombineerde kritiche beating van een contructie. Voor de anaye van de contructie zijn de vogende aannamen gedaan: de geometrie en de tijfheden zijn uniform over de totae hoogte van het gebouw; de fundering kan worden gemodeeerd a een rotatieveer; het contructiemateriaa gedraagt zich ineair-eatich; de verbindingen tuen de koommen zijn charnieren op eke verdieping. Deze aatte aanname maakt de methode zeer gechikt voor vakwerken a verticae tabiiteiteementen. Eenvoudige formue voor het berekenen van de chuiftijfheid van vercheidene karakteritieke vakwerkytemen zijn bijvoorbeed te vinden in [/4/5/6]. De koom in afbeeding a, met buigtijfheid EI, i charnierend verbonden met de fundering en heeft bovenin een tranatieveer met een tijfheid k. De beating betaat uit horizontae en verticae puntaten Q en P die boven aangrijpen. Indien de veer a oneindig tijf wordt aangenomen i de kritiche at de Euerat van een pendekoom: P E π 2 EI/. Afbeeding b toon een ituatie waarbij de veer geen oneindige tijfheid bezit, dan i er even- 46 BOUWEN MET STAAL 67 AUGUSTUS 2002
foto: Tom de Rooij. Verend geteunde pendekoom. wicht bij Q + Py ky. De horizontae verpaating aan de top van de koom i nu: y Q () k P Intabiiteit treedt op wanneer de noemer nu i. De kritiche beating voor het yteem i du: P cr k (2) Bij afwezigheid van de verticae beating P, i de horizontae uitbuiging bovenin: y 0 Q (3) k De horizontae verpaating van de koom, incuief het effect van de verticae beating P, wordt verkregen door ubtitutie van formue (2) en (3) in formue (): y k (4) k P y 0 P cr P P y 0 Indien nu wordt aangenomen dat n P cr /P i het mogeijk de vogende vergeijking op te teen voor de maximum horizontae uitbuiging van de contructie [7] : y n (5) n y 0 Door de eerte orde uitbuiging y 0 te vermenigvudigen met de vergrotingfactor n/(n ) kan de tweede-orde uitbuiging op eenvoudige wijze verkregen worden. Concuie 2. Vakwerk met puntaten aan de top met bijbehorende vervormingen. De hier bechreven methode voor het berekenen van kritiche beatingen maakt het mogeijk om naat de buigtijfheid van een tabiiteiteement en de rotatietijfheid van de fundering ook de afchuiftijfheid van de contructie op eenvoudige wijze te gebruiken in de anaye. De gecombineerde kritiche beating tet de ontwerper in taat op een nee manier de tweede-orde effecten op de contructie te bepaen en de redeijkheid van computer anaye te toeten. De methode i opgezet voor verdiepinggebouwen met een uniforme geometrie en uniforme tijfheden over de hoogte en i daardoor nauwkeuriger voor zuke contructie. Grote dakbeatingen hebben een ignificante invoed op de totae kritiche beating van de contructie en op de tweede-orde effecten. AUGUSTUS 2002 BOUWEN MET STAAL 67 47
foto: AVEQ 3. Modeen voor een koom met puntaten. Voor het bepaen van de kritiche beating op het vakwerk worden nu de vogende drie ituatie bekeken: puntaten op dakniveau; geijkmatig verdeede beatingen; dakbeatingen. Puntaten op dakniveau Het vakwerk in afbeeding 2 toont vier K-verbanden over de hoogte. Het zou een tabiiteiteement kunnen zijn voor een fabriekha, waarbij aeen verticae en horizontae beatingen aan de top aangrijpen. De afbeeding toont verder de vervormingen van het vakwerk onder een horizontae puntat op dakniveau. Deze vervormingen onttaan door: axiae rekken in de koommen (buiging), axiae rekken in de diagonaen (afchuiving) en door rotatie van de fundering. De contructie kan eenvoudig worden gemodeeerd door een enkee koom en een rotatieveer. De koom in afbeeding 3a heeft een buigtijfheid EI en een afchuiftijfheid GA. De contructie taat op een fundering met een rotatieveertijfheid C. De beating op de koom i een verticae puntat P en een horizontae puntat Q. De horizontae verpaating door at Q aan de top betaat uit drie componenten: buiging en afchuiving in de koom y b en y, en een horizontae verpaating door rotatie van de fundering y f :y 0 y b + y + y f. Voor een horizontae puntat aan de top wordt dit: y 0 Q 3 (6) 3EI + Q GA + Q C Afbeeding 3b toont een anaoge contructie met een tranatieveer a onderteuning aan de top. Deze veer repreenteert de drie tijfheden van het gehee tabiiteiteement in afbeeding 3a. De tijfheid van de tranatieveer i: k Q (7) y 0 Voor een pendekoom met een tranatieveer aan de top a onderteuning i de kritiche beating van dit yteem: P cr k (8) Na ubtitutie van de formue (6) en (7) in formue (8) vogt een eenvoudige formue voor de kritiche beating van een vakwerkcontructie onderhevig aan puntaten aan de top: (9) P cr 3EI + GA + C Deze vergeijking kan in een meer agemene vorm worden herchreven a een ommering van de individuee kritiche beating, P cr; en P cr;f die de buiging, de afchuiving en de rotatie van de fundering vertegenwoordigen van het tabiiteityteem: + + (0) P cr P cr; P cr;f Een oortgeijke uitdrukking voor buiging en funderingrotatie werd eerder geuggereerd [7]. De additionee kritiche beating voor afchuiving maakt het mogeijk om meerdere typen tabiiteiteementen met een beangrijke afchuifvervormingcomponent op een eenvoudige manier te anayeren voor tweede orde effecten []. De eerte term aan de rechterzijde in formue (9) i een benadering van de kritiche beating voor de buigingcomponent van de contructie: 3EI () De kritiche beating voor een ingekemde koom met een buigtijfheid EI en een verticae puntat aan de top i ongeveer 8% keiner 48 BOUWEN MET STAAL 67 AUGUSTUS 2002
4. Koompaatingen in een vakwerk. 5. Vakwerk met geijkmatig verdeede beatingen en bijbehorende vervormingen. dan vogt uit formue (). De exacte waarde voor een ingekemde koom i: π2 EI (2) 4 Deze aatte waarde wordt nu gebruikt in formue (0) voor contructie met puntaten aan de top. Indien wordt aangenomen dat de koommen van een vakwerk op eke verdieping charnierend met ekaar zijn verbonden, kan de buigtijfheid van deze contructie op de vogende manier worden berekend: EI Σ EA ci c i 2 (3) Hierin i A ci de oppervakte van de doornede van de koom en c i de aftand tuen de neutrae a van de contructie en de koom (afb. 4). Geijkmatig verdeede beatingen Bij verdiepinggebouwen worden in de ontwerpfae zowe de verticae a de horizontae beatingen op voerniveau aangebracht vogen afbeeding 5. In deze figuur zijn verder de horizontae verpaatingen door buiging, afchuiving en rotatie van de fundering weergegeven. Voor het ontwikkeen van een vereenvoudigde anaytiche methode om de kritiche beating te bepaen worden beide beatingen vervangen door geijkmatig verdeede verticae (f) en horizontae beatingen (q) over de gehee hoogte van de contructie. Afbeeding 6 toont de verdeede beatingen op een enkee koom met dezefde tijfheden a de werkeijke contructie, gepaatt op een rotatieveer met dezefde rotatietijfheid a de fundering. De totae verticae beating op het tabiiteiteement wordt dan F f met a totae hoogte van de contructie. Anaoog aan de ituatie met de puntaten aan de top i de maximae horizontae verpaating door buiging van de contructie onderhevig aan een geijkmatig verdeede horizontae beating q in de nieuwe ituatie: y b q 4 (4) 8EI De verpaating aan de top door afchuifing (rek in de diagonaen) i: y q (5) 2GA en voor de rotatie van de fundering: y f q 3 (6) 2C Anaoog aan formue (9) wordt de kritiche beating voor het tabiiteiteement onder een geijkmatig verdeede horizontae beating [] : (7) F cr 8EI + 2GA + 2C In agemene vorm kan dit a vogt worden herchreven: + + (8) F cr F cr; De eerte term aan de rechterzijde van formue (7) geeft een benadering van de kritiche at van de buigingcomponent van de contructie: 8EI (9) De exacte waarde van de kritiche beating voor een ingekemde koom met een buigtijfheid EI en een geijkmatig verdeede verticae beating [8] i ongeveer 2% keiner dan vogen formue (9). 7,837EI (20) Dakbeatingen In de berekeningen van de kritiche aten i aangenomen dat de verticae voerbeatingen vervangen kunnen worden door een geijkmatig verdeede verticae beating. Dit i uituitend correct indien de beating op het dak de heft bedraagt van de typiche voerbeating. Indien de dakbeating groter i dan de have voerbeating, i de vervangende geijkmatig verdeede verticae beating in afbeeding 7a minder dan de totae verticae beating gedeed door de hoogte van het gebouw. Dit heeft tot gevog dat de in formue (7) gegeven kritiche beatingen te groot zijn. Deze waarden kunnen echter worden aangepat via reductiefactoren voor de individuee tijfheden van de tabiiteitcontructie. De verticae beating op het dak i F d γf v. Hierin i F v de verticae voerbeating per verdieping. De verticae beating op de contructie die kan worden omgezet tot een geijkmatig verdeede beating F F v. Hierin i het aanta verdiepingen in het gebouw. De vervangende geijkmatig verdeede verticae beating voor de anaye i dan f F/. Deze beating f (afb. 7b) i minder dan de totae verticae beating op het gebouw. Naat de verdeede beating moet er nog een extra puntat boven op de koom worden gezet. Deze at i aangegeven door het gearceerde gedeete in afbeeding 7a en apart in afbeeding 7c en bedraagt: PF d (2) 2 F v F (γ 0,5) De werkeijke kritiche beating voor afchuiving van een verdiepingcontructie i du een combinatie van de kritiche beatingen voor een geijkmatig verdeede beating en een puntbeating. AUGUSTUS 2002 BOUWEN MET STAAL 67 49
6. Eénzijdige ingekemde koom met geijkmatig verdeede beatingen. Rekenvoorbeed Gegeven i een pattegrond en de fundering van een verdiepinggebouw met een taakeet met twaaf verdiepingen (zie afbeeding). De verdiepinghoogte bedraagt 3,2 m. De totae hoogte van het gebouw H 38,4 m. De geijkmatig verdeede windbeating bedraagt,0 kn/m 2, de voumieke maa van het gebouw ρ 50 kg/m 3 en de veercontante van één funderingpaa k 00 kn/mm. Voor taa gedt E 20 06 kn/m 2. De vier kernen (tabiiteiteementen) betaan uit enkebeukige vakwerken met K-verbanden vogen tabe. Buiging Vogen Dunkerey theorema [9/0] kan de vogende combinatie voor de kritiche beating van de buigcomponent worden gebruikt: F + P (22) Vogen de kaieke theorie in de formue (2) en (20) i de verhouding tuen de kritiche beatingen voor geijkmatig verdeede beatingen en puntaten aan de top a vogt: 7,837EI 4 π 2 3,76 EI Subtitutie van formue (2) en (23) in (22) eidt tot: (23) Gevraagd wordt de twee-orde horizontae uitbuiging voor de vogende twee ituatie: de dakbeating i de heft van de voerbeating, du α β,0; de dakbeating i tweemaa de voerbeating, γ 2,0 en α +,588 (2γ ) 2 2 +,588 (2 2,0 ) 0,758 β +2γ 2 2 + 2 2,0 0,8000 De reutaten voor de hoge dakbeating worden teken tuen haakje gegeven. De engte van de diagonaen in het vakwerk vogt uit: a 3,2 2 + 2 2 5,4 4,9m De buigtijfheid van het vakwerk vogt uit formue (3): F 3,76(γ 0,5) + (24) EI E ΣA ci c i 2 20 0 6 2 27,0 0 3 2 2 5,4 8,267 0 7 knm 2 Hieruit vogt een reductiefactor voor de kritiche beating voor buiging van een tabiiteiteement met geijke verticae voerbeatingen en een afwijkende dakbeating: F +,588(2γ ) α (25) Wanneer de dakbeating de heft bedraagt van de voerbeating, dan gedt γ 0,5 en wordt α,0. Het i dan niet nodig een aparte puntat aan de top te bechouwen. Dit i de ituatie zoa bechreven bij geijkmatig verdeede beatingen. Bij γ,0 vogt een formue voor α die a eerder i gepubiceerd [0]. De kritiche beating voor buiging kan nu meer agemeen a vogt worden herchreven: 7,837αEI (26) De afchuiftijfheid van een vakwerk met een K-verband taat onder meer in [5]: GA a 2 he 2d 3 + a3 A d 4A b Hierin i: a breedte van het vakwerk; h verdiepinghoogte; d engte van de diagonaa; A d doornede van de diagonaa; A b doornede van de igger. 5,4 2 3,2 20 0 6 2 4,9 3 4,348 0 5 kn 3 3,55 0 3 + 5,4 4 0,6 0 3 De rotatieveertijfheid van de fundering wordt bepaad vogen [7] : CkΣd 2 00 0 3 4 0,9 2 +2,7 2 +4,5 2,34 0 7 knm Hierin i d de aftand tuen een funderingpaa en de neutrae a van de paagroep. 50 BOUWEN MET STAAL 67 AUGUSTUS 2002
Pattegronden van de kantoorvoer en de fundering. Tabe. Gegeven van de tabiiteiteementen eement profie A (m 2 ) I (m 4 ) koom HEB 600 27,0 0 3,7 0 3 igger HEB 240 0,6 0 3 2,6 0 6 diagonaa0x20x8 3,55 0 3 7,38 0 6 Met boventaande gegeven zijn de individuee kritiche beatingen dan: buiging De gecombineerde kritiche beating van het tabiiteiteement vogt uit formue (8) en (34): De totae verticae beating (incuief pendekoommen) op een enke tabiiteiteement i: F (engte breedte hoogte) ρ 0 2 4 4 7,837EI H 2 7,837 8,267 0 7 38,4 2 4,394 0 5 kn (3,45 0 5 ) afchuiving F cr; 2GA 2 4,348 0 5 8,696 0 5 kn (6,957 0 5 ) fundering 2C H 2,34 07 5,906 0 5 kn (4,725 0 5 ) 38,4 F cr + + F cr; 4,394 0 5 + 8,696 0 5 + 5,906 0 5,954 0 5 kn (,485 0 5 ) (5 7,2) (7,2 + 5,4 + 7,2) (38,4) 50 0 2,043 0 4 kn (,30 0 4 ) Om een vergrotingfactor te bepaen wordt eert n berekend: Het tweede-orde effect op de gegeven contructie i du 5,6%. De extra dakbeating vergroot dit effect tot 8,2%. Dit betekent derhave een vermeerdering van 46%! Indien uituitend de buigcomponent zou worden gebruikt in de berekeningen dan bedraagt het tweede-orde effect 2,4%. De ituatie waarin buiging en rotatie van de fundering worden gecombineerd evert een effect op van 4,3%. De windbeating per tabiiteiteement i q,0 5 7,2/4 9,0 kn/m. Voor de eerte-orde verpaating op dakniveau wordt hiermee gevonden: buigingvakwerk y b qh 4 afchuivingvakwerk y qh 2 rotatie fundering De cheeftand van het gebouw i: ψ y b +y +y f H 8EI 9,0 38,4 4 8 8,267 0 7 0,02959m 2GA 9,0 38,4 2 2 4,348 0 5 0,0526m y f MH C qh 3 2C 9,0 38,4 3 2,34 0 7 0,02247m 0,02959+ 0,0526+ 0,02247,753 0 3 rad 38,4 Bij het berekenen van de tweede-orde uitbuigingen moet ook de initiëe cheeftand van het vakwerk worden meegenomen. Voor een hoogbouw met twaaf verdiepingen i dit op 400 of 2,50. Gevonden wordt dan: n F cr F,954 05 8,73 (3,4) 4,043 0 De vergrotingfactor i hiermee: n n 8,73,056 (,082) 8,73 cheeftand door wind,753 initiëe cheeftand 2,500 totae eerte-orde cheeftand 4,253 tweede orde effect ( 0,056 4,253) 0,238 (0,349) totae cheeftand 4,49 (4,602) eatiche uitbuiging ( 4,49 2,500),99 (2,02) AUGUSTUS 2002 BOUWEN MET STAAL 67 5
7. Verticae gebouwbeatingen. Afchuiving Voor het bepaen van de invoed van afwijkende dakbeatingen op de kritiche beating voor afchuiving kan dezefde redenering worden gebruikt a voor buiging. Vogen de kaieke theorie in de formue (9) en (7) voor de afchuifcomponenten i de verhouding tuen de kritiche beatingen voor geijkmatig verdeede beatingen en puntaten aan de top a vogt: F cr; 2GA P cr; GA 2,0 (27) Na ubtitutie van de formue (2) en (27) in een Dunkerey-ommering (formue (22)) vogt voor afchuiving: F 2,0 (γ 0,5) + F cr; (28) Anaoog i de reductiefactor voor de kritiche beating voor afchuiving van een tabiiteiteement met geijke verticae voerbeatingen en een afwijkende dakbeating: F F cr; +2γ β (29) Ook hier gedt dat wanneer de dakbeating de heft i van de voerbeating: γ 0,5 en γ,0. Het i dan niet nodig een aparte puntat aan de top te bechouwen. Dit i de ituatie zoa bechreven bij geijkmatig verdeede beatingen. De vergeijking voor de kritiche beating voor afchuiving in een agemene vorm i nu: F cr; 2βGA (30) Rotatie van de fundering Bijna identiek aan de berekening van de kriti- che beating voor afchuiving wordt ook de gereduceerde kritiche beating voor de rotatiecomponent van de fundering bepaad. Nu i: P cr;f 2C C 2,0 en du gedt ook dezefde reductiefactor voor de rotatie van de fundering: F +2γ β (3) (32) De agemene vergeijking voor de kritiche beating voor funderingrotatie van een contructie wordt nu: 2βC (33) Totae kritiche beating Voor de berekening van de totae kritiche beating van een gebouw met een geijkmatig verdeede horizontae beating, met geijke voerbeatingen en een afwijkende dakbeating kan nu de vogende vergeijking worden gebruikt: F cr 7,837αEI + 2βGA + 2βC (34) Deze vergeijking i verkregen door de formue (26), (30) en (33) in de baiformue (8) te ubtitueren. De factor n wordt nu: n F cr (35) F Deze factor kan worden gebruikt in formue (5) om de tweede-orde verpaatingen in contructie te bepaen. De vergrotingfactor n/(n ) mag ook worden gebruikt bij de berekening van het tweede-orde buigende moment in de rotatieveer. Literatuur. J.C.D. Hoenderkamp, Critica oad of atera oad reiting tructure for ta buiding, The Structura Deign of Ta Buiding (2002) 2. Nog niet gepubiceerd. 2. D. Nixon, D. Beauieu en P.F. Adam, Simpified econd order frame anayi, Canadian Journa of Civi Engineering 2 (975) 4, p. 602-605. 3. A. Rutenberg, Simpified P-Deta anayi for aymmetric tructure, Journa of the Structura Diviion 08 (982) 9, p. 995-203. 4. B. Stafford Smith en A. Cou, Ta buiding tructure. Anayi and deign, New York 99. 5. P.W.M. Schroijen, H.H. Snijder en j.c.d. Hoenderkamp, Effectief traagheidmoment van amengetede taven (), Bouwen met Staa 33 (2000) 57, p. 50-56. 6. K.A. Zaka, Fu-height bucking of framework with crobracing, Structure & Buiding 34 (999) May, p. 8-9. 7. D. Dicke, Stabiiteit voor ontwerper, Deft 99. 8. S. Timohenko en J. Gere, Theory of eatic tabiity, New York 96 (2e druk). 9. S. Dunkerey, On the whiring and vibration of haft, Phioophica Tranaction of the Roya Society of London, Ser. A (894) 85, p. 279-360. 0. K.A. Zaka, Goba tructura anayi of buiding, London 2000. 52 BOUWEN MET STAAL 67 AUGUSTUS 2002