Aanvullingen bij Hoofdstuk 6

Aanvullingen bij Hoofdstuk 6 We veralgemenen eerst Stelling 6.4 tot een willekeurige lineaire transformatie tussen twee vectorruimten en de overgang naar twee nieuwe basissen. Stelling 6.4. Zij A : V W een lineaire afbeelding tussen eindigdimensionale vectorruimten. Zij A de matrix van A ten opzichte van basissen E van V en F van W, en anderzijds A de matrix van A ten opzichte van basissen E van V en F van W. Zij tenslotte P de matrix van basisverandering van E naar E en Q de matrix van basisverandering van F naar F. Dan is A = Q 1 AP. Bewijs. Oefening. 6.5 Isomorfisme van vectorruimten We vermelden eerst een elementair resultaat over de samenstelling van (algemene) lineaire afbeeldingen. Herinner u dat de samenstelling van twee speciale lineaire afbeeldingen uit Hoofdstuk 4 opnieuw een dergelijke afbeelding is. Dit geldt ook in het algemeen. Stelling 6.7. De samenstelling van twee lineaire afbeeldingen is opnieuw een lineaire afbeelding. Bewijs. Zij A : U V en B : V W lineaire afbeeldingen. We moeten aantonen dat B A : U W ook lineair is, dus dat (a) (B A)(u 1 + u 2 ) = (B A)(u 1 ) + (B A)(u 2 ) voor alle u 1, u 2 U, en (b) (B A)(λu) = λ ( (B A)(u) ) voor alle u U en alle λ R. We geven de tussenstappen voor (a) en laten (b) als (eenvoudige) oefening. We gebruiken gewoon de definitie van samenstelling van afbeeldingen en het feit dat A en B lineair zijn; ga zelf na wat je precies gebruikt bij elke gelijkheid : (B A)(u 1 + u 2 ) = B ( A(u 1 + u 2 ) ) = B ( A(u 1 ) + A(u 2 ) ) = B ( A(u 1 ) ) + B ( A(u 2 ) ) = (B A)(u 1 ) + (B A)(u 2 ). 1

We willen nu een begrip invoeren dat zegt dat twee vectorruimten eigenlijk dezelfde zijn, maar dat de elementen ervan in zekere zin gewoon anders genoteerd worden. Een flauw voorbeeld van dergelijke twee vectorruimten is R[X] en R[Y ], waarbij we de onbepaalde in de veeltermen in het eerste geval met X, en in het tweede geval met Y noteren. Een minder flauw voorbeeld bestaat uit R q p, de vectorruimte van de (q p)-matrices, en R qp, de vectorruimte van de qp-tallen. Bij de eerste worden de coördinaten in rechthoekvorm geschreven, en bij de tweede in één lange rij. Zo identificeren we bijvoorbeeld R 2 3 met R 6 via ( ) a1 a 2 a 3 (a b 1 b 2 b 1, a 2, a 3, b 1, b 2, b 3 ). 3 Pas op; we kunnen beide beschouwen als eigenlijk dezelfde vectorruimte omdat som en scalaire vermenigvuldiging in R q p OVEREENKOMEN met som en scalaire vermenigvuldiging in R qp na identificatie van (q p)-matrices met qp-tallen. We voeren nu de geschikte exacte definitie in voor zo n identificatie. Definitie 6.2. Zij V en W vectorruimten. Een functie A : V W is een isomorfisme als (1) A een bijectie is, en (2) A een lineaire afbeelding is. We zeggen dat V en W isomorf zijn als er een isomorfisme bestaat van V naar W ; we noteren dit met V = W. Merk op dat deze laatste definitie en notatie suggereert dat isomorf zijn een symmetrisch begrip is; dus dat V isomorf is met W als en slechts als W isomorf is met V. Dit is inderdaad zo en volgt uit het eerste deel van volgend resultaat. Stelling 6.8. (1) Als A : V W een isomorfisme is, dan is A 1 : W V ook een isomorfisme. (2) De samenstelling van twee isomorfismen is opnieuw een isomorfisme. Bewijs. (1) Omdat A een bijectie is bestaat A 1 en is deze ook een bijectie. We moeten dan nog aantonen dat A 1 lineair is. (a) Neem w 1 en w 2 in W. We moeten bewijzen dat A 1 (w 1 + w 2 ) = A 1 (w 1 ) + A 1 (w 2 ). Zij v 1 en v 2 de unieke elementen van V waarvoor A(v 1 ) = w 1 en A(v 2 ) = w 2, of, equivalent hiermee, waarvoor A 1 (w 1 ) = v 1 en A 1 (w 2 ) = v 2. Dan is A 1 (w 1 + w 2 ) = A 1( A(v 1 ) + A(v 2 ) ) = A 1( A(v 1 + v 2 ) ) = (A 1 A)(v 1 + v 2 ) = v 1 + v 2 = A 1 (w 1 ) + A 1 (w 2 ). 2

(Waar gebruiken we de lineariteit van A?) (b) Bewijs zelf voor w W en λ R dat A 1 (λw) = λa 1 (w). (2) Oefening. Voorbeeld 6.10. R[X] d = R d+1 via het isomorfisme A : R[X] d R d+1 : a 0 + a 1 X + a 2 X 2 + + a d X d (a 0, a 1, a 2,..., a d ). Voorbeeld 6.11. Zij V een eindigdimensionale vectorruimte en e = {e 1,..., e n } een basis van V. Dan is V = R n via de coördinatenafbeelding C e : V R n, die een vector v in V afbeeldt op zijn coördinaten (x 1,..., x n ) ten opzichte van e. Dit voorbeeld is enorm belangrijk. Je hebt dit bijvoorbeeld impliciet al gebruikt telkens je een punt in het vlak of in de ruimte identificeert met zijn coördinaten in R 2 of R 3. Misschien heb je intussen ook al begrepen dat er, op isomorfisme na, nogal weinig vectorruimten zijn van een vaste dimensie n. We werken dit nu uit; eerst een eenvoudig voorbereidend resultaat. Stelling 6.9. Zij A : V W een isomorfisme en e 1,..., e n een basis van V. Dan is A(e 1 ),..., A(e n ) een basis van W. Bewijs. We tonen aan dat er voor elke w W unieke λ 1,..., λ n R bestaan zodat w = n i=1 λ ia(e i ). Omdat e 1,..., e n een basis is van V bestaan er unieke λ 1,..., λ n R zodat A 1 (w) = n i=1 λ ie i, dus zodat n n w = A(A 1 (w)) = A( λ i e i ) = λ i A(e i ). Stelling 6.10. Zij V en W eindigdimensionale vectorruimten. (1) dim V = n V = R n, (2) V = W dim V = dim W. i=1 Bewijs. (1) Via de keuze van een basis in V ; zie Voorbeeld 6.11. Uit Stelling 6.9. (2) Opnieuw uit Stelling 6.9. Zij dim V = dim W = n. Dan zijn wegens (1) zowel V als W isomorf met R n, en is dus ook V isomorf met W (wegens Stelling 6.8(2)). We besluiten dus: er bestaat, op isomorfisme na, juist één vectorruimte van dimensie n. 3 i=1

Voorbeeld 6.12. R p q = R q p = R pq = R[X] pq 1 = R[Y ] pq 1. Vraag. Zij V de deelruimte van R die bestaat uit alle rijen met slechts eindig veel elementen verschillend van 0. Met welke gekende vectorruimte is V isomorf? 6.6 De vectorruimte van de lineaire afbeeldingen Je kan willekeurige afbeeldingen van een verzameling V naar R optellen en scalair vermenigvuldigen met een reëel getal; en met die twee bewerkingen vormen deze afbeeldingen de vectorruimte R V. (Dit is Voorbeeld 2.6.) Als V zelf een vectorruimte is, kunnen we de deelruimte van R V beschouwen, die bestaat uit alle lineaire afbeeldingen van V naar R. (Ga na dat deze deelverzameling wel degelijk een deelruimte is!) Een klassieke notatie voor deze deelruimte is Hom(V, R). Meer algemeen vormen alle lineaire afbeeldingen tussen willekeurige vectorruimten V en W zelf een vectorruimte. We formuleren dit nu nauwkeurig. Definitie 6.3. Zij V en W vectorruimten. (1) Zij A : V W en B : V W lineaire afbeeldingen. De lineaire afbeelding A + B : V W is gedefinieerd door (A + B)(v) := A(v) + B(v) voor elke v V. (2) Zij A : V W een lineaire afbeelding en λ R. De lineaire afbeelding λ A : V W is gedefinieerd door (λ A)(v) := λ (A(v) ) voor elke v V. We moeten natuurlijk nagaan dat deze A+B en λ A wel degelijk lineaire afbeeldingen zijn van V naar W. Stelling 6.11. Zij V en W vectorruimten. (1) In Definitie 6.3 zijn A + B en λ A lineaire afbeeldingen. (2) De verzameling van alle lineaire afbeeldingen van V naar W vormt een vectorruimte voor de som en het scalair product van Definitie 6.3. We noteren deze vectorruimte als Hom(V, W ). Bewijs. Oefening. 4

Stelling 6.12. Zij U, V en W vectorruimten. Zij A en A lineaire afbeeldingen van U naar V, en B en B lineaire afbeeldingen van V naar W. Dan is (1) B (A + A ) = (B A) + (B A ), (2) (B + B ) A = (B A) + (B A), (3) (λ B) A = λ (B A) = B (λ A) voor alle λ R. Bewijs. Eenvoudige oefening. Alles rolt uit de definities. 5