Constructieve berekening vn tentdoek bevestigd n kbes dr.ir. P.C.J. Hoogenboom, 9 ugustus 0, Technische Universiteit Deft De constructie bestt uit vier koomen, een rndkbe en een doek (Fig. ). Eke koom is bij de voet ingekemd. De besting is een vertice geijkmtig verdeede drukspnning (ind). HADBEREKEIG Beperkingen - De overspnning in beide richtingen is geijk. - De doorbuiging vn het doek is kein. - De rek vn het doek kein is ten opzichte vn de doorbuiging vn de kbes. - De spnning in het doek is geijkmtig verdeed. Deze beperkingen zijn nodig omdt nders de vergeijkingen te groot orden voor hndberekeningen. Symboen invoer.. overspnning (in beide richtingen geijk) h. koomhoogte EI... buigstijfheid vn de koomen (in beide richtingen geijk) EA.. rekstijfheid vn de rndkbe p. vertice geijkmtig verdeede besting op het doek uitvoer u. verptsingen vn de koomkoppen... kbekrcht q. spnkrcht in het doek per eenheid vn engte (in beide richtingen geijk) v. doorbuiging vn de rndkbes in het midden doorbuiging vn het doek in het midden M moment in de koomvoet h u u v q v p v kbe doek v kbe M koom inkemming Figuur. Afmetingen en vervorming vn een horizont zonnescherm
Vergeijkingen De horizonte doorbuiging vn de koomen is ( + ) u = q h. EI Voor keine doorbuigingen vn de kbes is vee groter dn q (zie vergeijking 4). Drom is dit benderd tot u = h EI. () De verenging vn een rndkbe is Δ= EA. () De doorbuiging vn een rndkbe is (zie bijge ) v= 8 ( u +Δ). () De verdeede besting op de kbe is (zie bijge ) 8v q =. (4) De doorbuiging vn het doek is = 8 v. (5) De besting op het doek is 8q p =. (6) Het moment in de koomvoet is M = ( + q ) h. (7) Opossing Uit vergeijking () tot en met (6) kn de krcht in de kbe orden opgeost:
6 5 4 7 7 7 7 7 h = p +. (8) 4 EI EA In figuur zijn de fctoren vn deze formue gepot. As toeneemt dn neemt de kbekrcht sterk toe. As de besting p toeneemt dn neemt de kbekrcht een beetje toe. Bijvoorbeed, een veiigheidsfctor vn.0 toegepst op de besting p vergroot de kbekrcht met een fctor 4.07 =.6. Onzekerheid in de besting erkt dus minder sterk door dn in geone constructies. Opvend is ook dt nneer de stijfheden EI en EA toenemen dn neemt de kbekrcht ook toe. Het is dus bengrijk om deze stijfheden zo kein mogeijk te kiezen. (De uitdrukking buigen of brsten is bijkbr vn toepssing op deze constructie.) As hoogte h toeneemt dn neemt de kbekrcht f. Hierbij bijft het moment in de koomvoet vrije hetzefde. 5 4 y 7 x 4 x 7 x 7 x 0 4 5 Figuur. Fctoren in formue (8) vn de kbekrcht Voorbeed = 6000 mm h = 4000 mm buisprofie, dimeter 40 mm, nddikte 5 mm EI =. 0 5 π 70 5 = 0 9 mm² W = π 70 4 = 76966 mm³ stkbe, dimeter 0 mm EA =. 0 5 π 0 = 846 0 4
p = 0. k/m² = 0,000 /mm² (Beufort 7 op uchtdoortend doek) 6 5 4 7 4 7 7 7 7 h 0,654 0.0007 6000 7 = p + = ( 0, + 0,00) 7 = 87 4 EI EA σ= = 48 /mm² π 0 4 u = h = 5 mm EI Δ= =,4 mm EA v = 8 ( u Δ) = 40 mm 8v q = = 0,67 /mm = 8 v = 45 mm M = ( + q ) h=,4 0 6 mm σ= M W = 74 /mm² Controe: 8q p = = 0,000 /mm² kopt De spnningen in de koomen en de kbe zijn niet te groot. De doorbuiging vn het doek is hee groot. UMERIEKE BEREKEIG Door de grote vervormingen kn het dt de hndberekening niet vodoende nukeurig is. Anderzijds geven grote vervormingen keine krchten. Het is dus bengrijk dt het mode e nukeurig is bij grote vervormingen (Fig. ). Beperking - De spnning in het doek is geijkmtig verdeed, qx in de x-richting en q y in de y-richting. Symboen invoer x, y. overspnningen h. koomhoogte EI x, EI y buigstijfheid vn de koomen EA.. rekstijfheid vn de rndkbe Et rekstijfheid vn het doek p. oodrechte geijkmtig verdeede besting op het doek u ix, u iy. verkortingen vn de rndkbe tijdens montge (voorspnning) v ix, v iy.. verkortingen vn het doek tijdens montge (voorspnning) 4
uitvoer u x, u y... verptsingen vn de koomkoppen x, y. kbekrchten q x, q y... spnkrcht in het doek per eenheid vn engte v x, v y... doorbuiging vn de rndkbes in het midden doorbuiging vn het doek in het midden M moment in de koomvoet u y q x v x y y y p v y x x doek kbe h u x v y q y x v x kbe inkemming M x koom y Figuur. Afmetingen en vervorming vn een horizont zonnescherm ukeurige vergeijkingen De horizonte doorbuiging vn de koomen is ( ) x+ qx yαx h ux =, EIx ( ) y + qy xαy h uy =, (9) EI y rin (zie bijge ) x α x x =, x y y α y =. (0) y De vervormde engte vn de rndkbes is x ( x uix) kx = x uix +, EA y( y uiy) ky = y uiy +. () EA Hierin zijn u ix en u iy kbeverkortingen ngebrcht tijdens montge (voorspnning). De doorbuiging vn de rndkbes is prboisch vnege de geijkmtig verdeede spnning in het doek. 5
z x x kx = 4 v y ( ), x u x x z y y 4 ( ) u ky = v x. x y u y y u y De vervormde engten zijn x ux x ux d ( ) kx = dx + dz = + zkx dx dx x= 0 x= 0, y uy d ( ) ky = + zky dy. () dy y= 0 De verdeede bestingen op de kbes zijn (zie bijge ) 8yvx qx = ( ) y uy, 8xvy qy =. () ( ) x ux De vervormde engten vn het doek zijn qx ( x vix) dx = x vix +, Et qy( y viy) dy = y viy +. (4) Et Hierin zijn v ix en v iy verkortingen vn het doek ngebrcht tijdens montge (voorspnning). De doorbuiging vn het doek is cirkevormig omdt de inddruk oodrecht op het doek stt. z dx = x x, z dy = y y, rin x en y de kromtestren zijn, ( ) x x ux vxα x x = +, 8x ( ) y y uy vyαy y = +. (5) 8y De vervormde engten vn het doek zijn (bijge 4) rccos( x y dx = x ), dy = y rccos( ). (6) x y De besting op het doek is (zie bijge ) qx qy p = + x. (7) y De doorbuiging vn het doek is = x + vxβ x = y + vyβ y, (8) 6
rin (zie bijge ), x ux vxα β x x =, x De normkrcht in een koom is y uy vyαy β y =. (9) y P= p( 4 )( 4 ) 4 x ux v xαx y uy v yα y. (0) Het moment in de koomvoet is M ( x = x + qx ( ) ) y uy α x h+ Pux, M ( y = y + qy ( ) ) x ux α y h+ Puy, M = M x + My. () De grootste normspnning in de koomvoet is M x M y P σ= + +. () Wx Wy A Opossing Vergeijkingen (9) tot en met (9) zijn vergeijkingen. Er zijn ook onbekenden: x, y, q x, qy u x, u y, v x, y v,, x, y, x, y, α x, α y, β x, β y, kx, ky, dx, dy. Voor het opossen is het eton-rphson-goritme gebruikt. De hndberekening geeft geschikte strtrden voor de iterties. De broncode stt hieronder (progrmm Mpe). > restrt: ith(ing): > x:=6000.: # mm > y:=4000.: # mm > h:= 000.: # mm > R:=0.: # mm > t:=5.: # mm > d:=8.: # mm > E:=.e5: # /mm > Et:=000: # /mm > p:=0.5e-: # /mm > uix:=0.: # mm > uiy:=0.: # mm > vix:=50.: # mm > viy:=50.: # mm > > IIx:=.45*R^*t: > IIy:=IIx: > Wx:=IIx/R; > Wy:=IIy/R: > Ak:=*.45*R*t: > EIx:=E*IIx; # mm 7
> EIy:=E*IIy: > A:=/4*.45*d^ */; > EA:=E*A; # > > f:=(x+qx*/*y*phx)*h^/(*eix)-ux: > f:=(y+qy*/*x*phy)*h^/(*eiy)-uy: > f:=(x-x)/x-phx: > f4:=(y-y)/y-phy: > f5:=(x-uix)+x*(x-uix)/ea-kx: > f6:=(y-uiy)+y*(y-uiy)/ea-ky: > zkx:=4*vy*x/(x-*ux)*(-x/(x-*ux)): > zky:=4*vx*y/(y-*uy)*(-y/(y-*uy)): > f7:=int(sqrt(+diff(zkx,x)^),x=0..x-*ux)-kx: > f8:=int(sqrt(+diff(zky,y)^),y=0..y-*uy)-ky: > f9:= 8*y*vx/(y-*uy)^-qx: > f0:=8*x*vy/(x-*ux)^-qy: > f:=(x-vix)+qx*(x-vix)/et-dx: > f:=(y-vix)+qy*(y-viy)/et-dy: > f:=bs(x/+(x-*ux-*vx*phx)^/(8*x))-x: > f4:=bs(y/+(y-*uy-*vy*phy)^/(8*y))-y: > f5:=*x*rccos(-x/x)-dx: > f6:=*y*rccos(-y/y)-dy: > f7:=qx/x+qy/y-p: > f8:=x+vx*betx-: > f9:=y+vy*bety-: > f0:=(x-*ux-*vx*phx)/(*bs(x))-betx: > f:=(y-*uy-*vy*phy)/(*bs(y))-bety: > J_ :=diff(f,x): J_ :=diff(f,y): J_ :=diff(f,qx): J_4 :=diff(f,qy): J_5 :=diff(f,ux): J_6 :=diff(f,uy): J_7 :=diff(f,vx): J_8 :=diff(f,vy): J_9 :=diff(f,): J_0:=diff(f,x): J_:=diff(f,y): J_:=diff(f,x): J_:=diff(f,y): J_4:=diff(f,phx): J_5:=diff(f,phy): J_6:=diff(f,betx): J_7:=diff(f,bety): J_8:=diff(f,kx): J_9:=diff(f,ky): J_0:=diff(f,dx): J_:=diff(f,dy): J_ :=diff(f,x): J_ :=diff(f,y): J_ :=diff(f,qx): J_4 :=diff(f,qy): etceter > > x:=evf( ^(6/7)*^(5/7)/4 * x^(/7) * p^(4/7) * (*h^/eix + *x/ea)^(-/7) ): > y:=x: > ux:=x*h^/(*eix): uy:=ux: > Det:=x*x/EA: > vx:=sqrt(/8*x*(*ux+det)): vy:=vx: > qx:=x*8*vx/x^: qy:=qx: > :=sqrt(./8*x**vx): x:=: y:=: x:=x/+x^/8/x-000: y:=y/+y^/8/y-000: > phx:=: phy:=: betx:=0: bety:=0: kx:=x+det: ky:=y+det: dx:=x: dy:=y: > X:=mtrix([[x],[y],[qx],[qy],[ux],[uy],[vx],[vy],[],[x],[y],[x],[y],[phx],[ph y],[betx],[bety],[kx],[ky],[dx],[dy]]): 8
> > for i from hie i < 0 do F:=mtrix([[f],[f],[f],[f4],[f5],[f6],[f7],[f8],[f9],[f0],[f],[f],[f],[f4],[f 5],[f6],[f7],[f8], [f9],[f0],[f]]): J:=mtrix([[J_,J_,J_,J_4,J_5,J_6, etceter J_0,J_]]): X:=evm(X-inverse(J).F): x:=x[,]: y:=x[,]: qx:=x[,]: qy:=x[4,]: ux:=x[5,]: uy:=x[6,]: vx:=x[7,]: vy:=x[8,]: :=X[9,]; x:=x[0,]: y:=x[,]: x:=x[,]: y:=x[,]: phx:=x[4,]: phy:=x[5,]: betx:=x[6,]: bety:=x[7,]: kx:=x[8,]: ky:=x[9,]: dx:=x[0,]: dy:=x[,]: end do; > > P:=/4*p(x-*ux-4/*vx*phx)*(y-*uy-4/*vy*phy): > Mx:=(x+qx*/*(y-*uy)*phx)*h+P*ux: > My:=(y+qy*/*(x-*ux)*phy)*h+P*uy: > M:=sqrt(Mx^+My^): > sigm[kbex]:=x/a; sigm[kbey]:=y/a; sigm[koom]:=mx/wx+my/wy+p/ak; Het goritme geconvergeerd meest nr vodoende nukeurigheid in een pr iterties. De rekentijd bedrgt ongeveer 0 seconden. Divergentie trd op nneer x > y of y > x. Voorbeed As voorbeed mr berekend met het numerieke mode. Invoer x = y = 6000 mm h = 4000 mm EI x = EI y = 0 9 mm² EA = 846 0 Et = 000 /mm p = 0,000 /mm² u ix = u iy = v ix = v iy = 0 uitvoer x = y = 8 q x = q y = 0,80 /mm u x = u y = 4, mm v x = v y = 44 mm = 498 mm Het verschi met de hndberekening is kein: De hndberekening overscht de kbekrcht met %. De hndberekening onderscht de spnning q in het doek met 7%. Voorbeed Invoer x = 0000 mm y = 0000 mm h = 5000 mm EI x = EI y = 0 0 9 mm² EA = 649 0 Et = 649 /mm p = 0,0005 /mm² u ix = u iy = 0,6 mm v ix = v iy = 0,6 mm numerieke berekening x = 6987 y = 6987 q x =,08 /mm q y =,08 /mm u x = 70 mm u y = 70 mm v x = 660 mm v y = 660 mm = 400 mm hndberekening 7598 7598 0.95 0.95 06 06 5 5 78 Krus [] 87 87 0,648 0,648 775 775 67 De hndberekening overscht de kbekrcht met 9 % ten opzichte vn de numerieke berekening. De hndberekening onderscht de krcht q in het doek met 4% ten opzichte vn de numerieke berekening. Dit is verrssend nukeurig gezien de hee grote vervormingen. De numerieke berekening zou dezefde resutten moeten geven s de berekening gemkt in []. Echter, de verschien zijn 7% voor de kbekrcht en 40% voor de krcht in het doek. Een 9
mogeijke oorzk is dt de vergeijkingen in [] niet heem hetzefde zijn s in dit rpport: In [] is de verenging vn de kbes benderd met teede-orde Tyor-ontikkeingen en in de numerieke berekening vn dit rpport is geen bendering toegepst. In [] heeft het doek een prboische doorbuiging (ederom benderd met een Tyor-ontikkeing) en in de numerieke berekening vn dit rpport heeft het doek een cirkevormige doorbuiging. Voorbeed 4 invoer x = 9000 mm y = 6000 mm h = 000 mm EI x = EI y = 6944 0 9 mm² W x = W y = 87960 mm³ EA = 5498 0 A = 6, mm² Et = 000 /mm p = 0,0005 /mm² u ix = u iy = 0 mm v ix = v iy = 50 mm Voorbeed 5 invoer x = 6000 mm y = 000 mm h = 500 mm EI x = EI y = 6944 0 9 mm² W x = W y = 87960 mm³ EA = 797 0 A = 7,7 mm² Et = 000 /mm p = 0,0005 /mm² u ix = u iy = 0 mm v ix = v iy = 50 mm Voorbeed 6 invoer x = 6000 mm y = 4000 mm h = 000 mm EI x = EI y = 5700 0 9 mm² W x = W y = 688 mm³ EA = 58 0 A = 6,8 mm² Et = 000 /mm p = 0,0005 /mm² u ix = u iy = 0 mm v ix = v iy = 50 mm uitvoer x = 758 y = 756 q x =,7 /mm q y =, /mm u x = 7,69 mm u y = 7,59 mm v x = 8 mm v y = 40 mm = 69 mm σ kbe = 05 /mm² σ koom = 4 /mm² uitvoer x = 066 y = 4689 q x =, /mm q y =,0 /mm u x =, mm u y = 5,5 mm v x = 576 mm v y = 98 mm = 657 mm σ kbe = 90 /mm² σ koom = 96 /mm² uitvoer x = 04 y = 86 q x = 0,958 /mm q y = 0,74 /mm u x = 8,8 mm u y = 6,0 mm v x = 9 mm v y = 9 mm = 994 mm σ kbe = 67 /mm² σ koom = 9 /mm² 0
Prmeterstudie De onderstnde tbe gt uit vn voorbeed 6. Eke rege is een nieu voorbeed rbij één invoerprmeter is verhoogd met 0% ten opzichte vn voorbeed 6. De vernderingen vn de uitvoerprmeters zijn fgebeed in de tbe. x y qx qy ux uy vx v y σ kbe σ koom 7 x +0% 8% % 6% 0% 8% 4% % % 6% 8% 6% 8 y +0% 5% 9% % 8% 5% 9% % % 7% 5% 7% 9 h +0% -8% -% -6% -% % 8% 7% 7% 4% -8% -% 0 EI x +0% 5% -% -% % -6% -% -% -% -% 5% -4% EI y +0% -% 7% 6% -% -% -4% -% -% -% -% -% EA +0% % % 0% % % % -% -% 0% -7% % Et +0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 4 p +0% 5% 5% 8% 9% 6% 5% % % % 5% 5% 5 u ix +0% % -% -% % % 0% -% 0% 0% % 0% 6 u iy +0% -% % % -% 0% % 0% 0% 0% -% 0% 7 v ix +0% 0% % % 0% 0% % 0% 0% 0% 0% 0% 8 v iy +0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% Het vt op dt de engte x, breedte y en de hoogte h de bengrijkste invoed hebben op de kbekrchten x en y. De besting p heeft de bengrijkste invoed op de krchten q x en q y in het doek. Door een toenme vn de koombuigstijfheid EI orden de kbekrchten en kbespnningen groter. iettemin ordt de koomspnning keiner (omdt het eerstndsmoment ook groter ordt). Een toenme vn de kbestijfheid EA geeft een beetje grotere kbekrcht. iettemin ordt de kbespnning hierdoor keiner (omdt het kbeoppervk ook groter ordt). De stijfheid Et vn het doek heeft geen invoed op de resutten. De voorspnningen u ix, u iy, v ix en v iy hebben einig invoed op de resutten. Concusies. De voorgestede hndberekening voor vierknte doeken vodoet.. De voorgestede numerieke berekening convergeert goed mits het doek niet ng is ten opzicht vn de breedte.. Voor rechthoekige doeken is de krcht in de ngsrichting nmerkeijk groter dn die in de drsrichting. Voor deze doeken zijn de krchten in de korte en nge kbedeen ongeveer geijk. 4. Het vt op dt de engte x, breedte y en de hoogte h de bengrijkste invoed hebben op de kbekrchten x en y. De besting p heeft de bengrijkste invoed op de krchten q x en q y in het doek. 5. Voorspnnen vn de kbes of het doek heeft vrije geen invoed op de spnningen bij hee grote bestingen (uiterste grenstoestnd).
Anbeveingen. Weicht is het mogeijk om de hndberekening uit te breiden nr rechthoekige doeken. Dit zou de bruikbrheid sterk kunnen vergroten.. Ter controe moeten de resutten orden getoetst met een geometrisch niet-ineire eindigeeementenberekening (GL).. In dit rpport zijn de stijfheden invoer en de spnningen uitvoer. Weicht is het mogeijk om deze te verisseen. Dit zou de bruikbrheid kunnen vergroten. Litertuur. J. Krus, Krchtserking in horizonte zonneschermen, Bcheoreinderk, Technische Universiteit Deft, Juni 0.
. Bijge x x z = 4 v ( ) 4 6 dz 8v v 56v s= dx + dz = + ( ) dx + +... dx 5 7 5 x= 0 x= 0 8 s + v mits v << z 8v u = s v v u 8 dz dx dx + dz s = + u x Bijge q v= 0 4 8v q = v q = + 8 q = p q p = + 8 q p q
Bijge α= β= Bijge 4 k cosφ= k = φ k = rccos( ) φ 4