Hoofdstuk - Werken met algera Oplossen door ontinden ladzijde a ( )( ) 0 0 of 0 of of of of 0 ( )( ) 0 0 of 0 of ( )( ) a 0( )( ) 0 of,, of 0 stel a a a a 0( a )( a ) 0 a of a a of a De oplossingen zijn dus en stel a a a a a 0 ( a )( a ) 0 a of a a dit kan niet Of a of d ( ) 0 stel aa a 0( a)( a ) 0 a of a a en a a f () 0 9 0( )( ) 0 of,, of f () 9 9 0 ( )( ) 0 of,, of De snijpunten zijn dus: (, ),(, ),(, ) en (, ) De vergelijking f () p heeft twee oplossingen als de lijn pde grafiek van f in twee punten snijdt De vergelijking a 9a p heeft dan één negatieve en één positieve oplossing Dat geeurt als p > De vergelijking 9 p heeft ook twee oplossingen als de vergelijking a 9a p één oplossing heeft, dus moet gelden dat de disriminant van a 9a p 0 gelijk is aan 0 ( 9) ( p) 0 p 0 p p Dus p of p> ladzijde a ( ) 0 ( )( ) 0 0 of 0 of Wanneer de kwadraten van twee getallen aan elkaar gelijk zijn, dan zijn of de getallen gelijk of ze zijn elkaars tegengestelde Dus: of 0 of 0 of ( ) ( ) of ( ) of of 0
Hoofdstuk - Werken met algera a Dan staat er 0 getal 0 getal en dit klopt Wanneer 0 dan kun je door delen ( )( ) ( )( ) 0 of 0 en 0 ( ) 0 0 of De oplossing zijn dus, 0 en a ( ) ( ) of ( ) of 0 of 0 ( ) ( )( 0) 0 of 0 of 0 0 of ( )( ) 0,, ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) 0 of of 0 ( ) ( ) ( ) ( ) of 0 of of of of De oplossingen zijn dus of of ( ) ( ) ( 0) 0 of ( 0) 0 of 0 0 of 0 0 of a g () 0( )( ) 0 0 of ( ) 0 of 0 of,, 0, Beide funties evatten de fator en deze fator geeft de twee gemeenshappelijke nulpunten f () g () ( ) ( )( ) 0 of ( ) 0 of 0 ( ) 0 of ( )( ) 0 0,,, De snijpunten zijn dus (0, 0), (, 0) en (, 0) In het punt (, 0) raken de grafieken elkaar a Onder het wortelteken mag geen negatief getal staan Het domein is dus D h [, 0 > Met ehulp van de grafiek en de oplossing van h () 0 0 9 9 0 ( 9) 0 0 of 9 0 of Dus h ()< 0 als > 09
Hoofdstuk - Werken met algera Algera met reuken ladzijde 9a d 0a Wanneer je teller en noemer vermenigvuldigd met het omgekeerde van de noemer, dan wordt de noemer en krijg je dus als uitkomst de teller vermenigvuldigd met het omgekeerde van de noemer ladzijde a D : 0, f () f D : 0, f () : f D :, f ( ) () f d D : 0, f () f e D : 0, f () f f D : 0 en, f ( ) ( ) () f ( ) ( ) a ( ) ( ) 0 ( )( ) 0 of ( )( ) ( ) 0( )( ) 0 of ( ) ( ) 0
Hoofdstuk - Werken met algera d 0 9 0 9 ( 0 ) ( 0) 0 909 0 0 0 a ( ) Snijpunt is dus (, ) (, 0) 0 0( )( ) 0 of f( ) en 9 f( ) De snijpunten zijn dus (, ) en (, ) Rekenen met wortels ladzijde a d e f ()en g () heen vershillende grafieken D f [, 0 en D g [, f ()en g () heen dezelfde grafieken D D [, 0 f g f ()en g () heen dezelfde grafieken D D 0, f g f ()en g () heen vershillende grafieken D f en D g f ()en g () heen vershillende grafieken D f en D g a B f [, en B g Het ereik is vershillend, dus geldt niet voor elke dat 9 ( in feite geldt alleen voor 0 dat 9 ) 0 9 9 Het snijpunt is het punt (0, ) Een wortel is altijd groter of gelijk aan 0, dus moet gelden 0 a 00 00 0 9 000 00 0 0 0 9 Vierkant ABCD Er geldt: AC AB BC AC z z z AC z z
Hoofdstuk - Werken met algera a D D [, 0 f 9 g 0 f () h () met D g () h 0,, dus de grafiek van h is een deel van de rehte lijn ladzijde 9 a O Voor 0 vallen de grafieken van f en samen 9a O De knik zit ij f () als als >
Hoofdstuk - Werken met algera O De nulpunten van g zijn: en 0 0a O O Voor geldt: f () h () O
Hoofdstuk - Werken met algera Voor geldt g() en f (), dus k () Voor < < geldt g () en f (), dus k () Voor geldt g () en f (), dus k () a O ( ) De grafiek van k ()ontstaat uit de grafiek van l () door het deel van de grafiek van l () dat onder de -as ligt te spiegelen in de -as d Eerst oplossen h () k () en dan met de grafiek de ongelijkheid oplossen Eerst h() en k () 0 ( ) 9, vervalt, of ( ) 9, voldoet < < h() en k () 0 ( ) ( ) 0, vervalt, of ( ) ( ) 0, voldoet h() en k () 0 (Zie eerste vergelijking) 9, voldoet, of 9, vervalt > h() en k () 0(Zie tweede vergelijking) 0, voldoet, of 0, vervalt Dus h () > k () met de grafiek en de oplossingen, als < < en < <
Hoofdstuk - Werken met algera Stelsels vergelijkingen ladzijde 0 a Gegeven is dat de som,dus p q 0 q 0 p Gegeven is dat het produt, dus p q en omdat q 0 p geldt dus p q p( 0 p) 0 p p 0 p p p 0 p 0p p 9 0 ( ) 9 p 9 q 0 of p ( ) 9 9 q 0 a - Inhoud van de alk lengte reedte hoogte a a a Oppervlakte totaal voorvlak zijvlak grondvlak a a a a a a Inhoud a a d Oppervlakte a a a a a e a a a 0 Deze vergelijking oplossen met de a a rekenmahine geeft a en a, 9, f De alk is dus ij ij of, ij, ij,9 a a invullen in de eerste geeft: a a ( a) a a a a a 0 ( ) a 9 ( ) a 9 Dus a en of a en of a a ( ) invullen in de tweede geeft: a ( ) 0 ( 9)( ) 0 9 a ( 9 ) of a ( ) Dus 9 en a of en a
Hoofdstuk - Werken met algera a a invullen in de tweede geeft: a ( a ) a 0 a a 0a a 0 a ( ) ( ) ( ) of a ( ) ( ) ( ) Dus a en of a en ladzijde a Noem het aantal d s van Charlotte Er geldt dan: en vul de ovenste in in de onderste, je krijgt dan: 9 en 9 Charlotte heeft d s en Rianka heeft 9 d s a Uit de gegevens volgt dan: k m Zes jaar leter is Karin k jaar en Merle m jaar Dus volgt uit de gegevens: k ( m ) k m de eerste in de tweede invullen geeft: k ( m ) m ( m ) m m m m en dus k Op april 000 was Karin jaar en Merle jaar a De grafiek gaat door A( 0, ), dus 0 invullen geeft Dus Door B(, ) a a a DoorC(, 0) a 0 a De eerste in de tweede invullen geeft: 9 a ( a) a a 9a 9 a 0, en dus 9 9, 9 9 Het funtievoorshrift: f () 0,, 9 a kippen verkopen dan houden ze er k over Ze kunnen dan 0 dagen langer met het voer doen, dus d 0 De hoeveelheid voer is dus ook evenredig met ( k )( d 0 ) En dus geldt: kd ( k )( d 0 ) kd ( k )( d 0) kd kd 0kd00 0k d d 00 k, d het ijkopen van kippen geeft de vergelijking: kd ( k 00)( d) kd kd k 00d00 k 00d 00 De eerste in de tweede invullen geeft: (, d ) 00d00, d 00d00, d d 0 en dus is k, 0 00 De oer heeft nu dus 00 kippen
Hoofdstuk - Werken met algera 9a Snijden geeft: 0 ( ) ( ) snijpunt (, ) of ( ) ( ) snijpunt ( (, ) Snijden geeft: 0 Stel p dan: p p 0( p )( p ) 0 p of p (vervalt) p of De snijpunten zijn dan (, ) en (, ) Gelijkwaardige formules ladzijde 0a Het vermoeden is dat eide funties gelijk zijn g () f () Jeroen edoelt dat wanneer je twee van de drie variaelen kent er voor de derde ij eide formules dezelfde waarde uitkomt a P I R R P I P I R I P I R P I 0 I P 0 0 P R P I P 0 a M 0 0 O S 9 en M S S S,,, ( ) 0 0 0,, M S S M, S M S M ( ) 0 0 0 S 0 ladzijde a m f v (Dit wil zeggen dat het eeld aan dezelfde kant van de lens ontstaat als het voorwerp)
Hoofdstuk - Werken met algera d a f 9 f v f 0 0 f 0 0 0 m v 0 v 0 0v f v 0 v 0 v 0v 0v 0v v 0 Zie opdraht e f 0 v v 00 Wanneer v heel groot wordt dan geldt v 0 v 0v 0 v Dit klopt met de werkelijkheid, wanneer het voorwerp ver weg is komt het eeld in het randpunt tereht f f 0 en N, geeft het stelsel: 0v v 0 De tweede vergelijking invullen in de eerste geeft:,, v v, v 0v 0 0, vv ( ) v, v v 0v, v v 0 v 0 v(, v ) 0 v 0 vervalt, of, v v T l l T l T Tg l g g g 9, T en g 9, l 0, meter Wanneer de slingertijd twee keer zo groot moet worden dan moet l twee keer zo g groot worden Omdat de versnelling tengevolge van de zwaartekraht, een onstante is, moet dus de lengte van de slinger vier keer zo groot worden, want Meetkundige toepassingen ladzijde a Hellinggetal 0 en het startgetal is Dus AB 0 : -oördinaat van P is a dan is Pa (, a ) Ra (, 0 ) enq(, 0 a ) De oppervlakte wordt danor OQ a( a ) a a Opgelost moet worden: a a a a 0a a 0 ( ) ( ) a of a a, of a, d De oppervlakteformule invoeren in de rekenmahine geeft ma voor a ladzijde a Geheel langs de weg zijn de kosten: 000 0 0 000, euro Geheel door het land zijn de kosten: 000 000 0, euro PQ km PH, km en CP km De kosten zijn dan: 000 0 9 00, euro
Hoofdstuk - Werken met algera 0 d PQ km PH km en CP km Totale kosten in duizenden euro: K () 0 ( ) 00 0 e > > K () 00 0 > 00 0 00 a De oppervlakte van de doos is: oppervlakte voorkant oppervlakte zijkant oppervlakte grondvlak h h 0 h h 0 h 0 h 0 h 0 Inhoud van de doos is lengte reedte hoogte d I 0 0 0 Voer de formule voor de inhoud in in je rekenmahine en epaal voor welke de inhoud maimaal is Je vindt:, dm h 0 h 0 h 0 0 h 0 0 Dit is een tweedegraads vergelijking met oplossing: h h ( ) 0 h 9h 0 De tweede oplossing is altijd negatief en voldoet dus niet e 9h 0 > 9h h h 9h 0 > 0 h 9h 0 > 0 9a Qa (, 0) Pa (, 0aa ) QM a De afstand van M tot het willekeurige punt P: dm (, P) QM QP ( a ) ( 0a a ) a 0a 0a a Deze afstand is onafhankelijk van a Dus alle punten op de grafiek heen dezelfde afstand tot M namelijk Gemengde opdrahten ladzijde 0a z en h O m en I m O z z h z h z zh m en I z z h zh m Dan moet gelden: O I z zh z h d z h h h h h h e z h h h h 0h geen oplossing z 9 h 9 h h 9h h h kan niet f z zh z hz h zh z hz ( z) z h z z z z z g z ; z ; z ; z h Dit zijn de alken met afmetingen: 0 ; ; en 9
Hoofdstuk - Werken met algera a Ten opzihte van het getekende assenstelsel geldt dan A(, 0), B(, 0) en C( 0, ) a door A, B en C geeft: 0 a de tweede invullen in de eerste geeft 0 a a 00 a a Dus a en a a a a a d door A, B en C geeft: of a 0 d de tweede invullen in de eerste geeft 0 d d Dus en d d Het vershil van de -waarden is: h () ( ) ( ) Deze funtie invoeren in de rekenmahine geeft maimum 0, voor, en, ladzijde a ( ) ( ) 0 0 of 0 Dus of ( )( ) 0 9 of 9 Dus of ( ) 0 0 0 0 of 0 0 Dus als > d als 0 vervalt 0( )( ) 0 of eide voldoen 0 geen oplossing want de disriminant is kleiner dan 0 Dus of 0
Hoofdstuk - Werken met algera e 0Stel a de vergelijking wordt dan: a a 0( a )( a ) 0 a of a a a ( ) f Dus of ( ) ( ) ( ) Stel a dan krijg je: a a a a 0( a )( a ) 0 a of a a a geen oplossing Dus a Tijd nodig voor AB is uur BC in uur (volgens Brown 0 minuten uur meer) 9 9 De afstanden AB, BC en CA zijn even groot dus elk van de totale afstand AB BC AC Smith: eerste driekwart duurde uur ( ) d Jones: laatste driekwart duurde uur ( ) e Opgelost moet worden het stelsel: ovenste invullen in de onderste geeft ( ) 9 uur uur AB duurde uur, BC duurde uur en CA duurde uur Totaal duurde de toht dus uur Test jezelf ladzijde 0 T-a 0 stel aa a 0 a 9 of a 9 a of, a geeft geen oplossing Dus of ( ) of 0( )( ) 0 of 0 9, of 9 0, Dus of of, of 0,
Hoofdstuk - Werken met algera T-a ( ) ( )( ) 0 of of 0( )( ) 0 of Dus of of d 9 ( ) ( ) of ( ) ( ) 0 ( )( ) 0 of ( ) 0 0 0 0 0 of 0 0 0 De oplossing is dus of of of 0 f ( ) () ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 0 ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( 9) 0 9 0 0 ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) 0 0 of De -oördinaten van de snijpunten zijn dus en T-a De grafiek van f ontstaat uit de grafiek van g door het deel van de grafiek van g dat onder de -as ligt te spiegelen in de -as als < 0 of > f () als 0 als > h () als oplossen van f () > h () met ehulp van de grafiek en de erekende snijpunten O Met de rekenmahine de snijpunten enaderen geeft : < 0: 0, of, (vervalt) 0, 0 : 0, of, (vervalt) 0, < < : 0, (vervalt) of,, : 0, (vervalt) of,, Dus f () > h () heeft oplossing < 0, of 0, < <, of >,
Hoofdstuk - Werken met algera T-a De oppervlakte is 00 l 00 ; de omtrek is 00 l 00 l 00 l 00 De tweede in de eerste invullen geeft: l 00 l 00 ( 00 ) 00 00 00 00 00 0 00 0000 00 00 0000 00 00 00 00 00 00 0 0 of 00 0 0 0 en l 0 of 0 en l 0 T-a d 0, v 0 h h Nee, neem ijvooreeld h v 0 9, Dus een muur van meter hoog wordt ij een windsnelheid van, m/s omgelazen Neem h v 0 omver gelazen, De muur wordt juist ij een lagere snelheid Dan wordt de waarde van v heel groot Dit is wel realistish, want een heel laag muurtje zal niet snel omwaaien ladzijde T-a De inhoud van een ilinder is gelijk aan de oppervlakte van het grondvlak maal de hoogte Dus: 0 r h h 0 r De oppervlakte van een ilinder is de oppervlakte van oven- en onderkant plus de oppervlakte van de ilindermantel De lengte van de ilindermantel is de omtrek van de grondirkel Dus: O r r hen met ehulp van opdraht a wordt dat: O r r h O r r 0 O r 00 r r O r 00 met ehulp van de rekenmahine vind je dat O is minimaal als r r, m en dan is h 0, 0, m T-a ( )( ) ( )( ) 0 of of 0 0( )( ) 0 of Dus:, of ( ) of ( ) of ( geen oplossing) ( )( ) ( )( ) 0 0 0 of Dus of
Hoofdstuk - Werken met algera d de tweede in de eerste invullen geeft: ( ) 0 of of e of of of f Stel aa a a a 0 g a 0 of a 0 a of a geen oplossing Dus of ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 0( ) ( ) 0 0 0 0( )( ) 0 of h 0 De eerste vergelijking invullen in de tweede geeft: ( ) 9 of of T-a P (, ) S T O Q (a, a ) R Helling PQ PR a a a ( )( ) a QR a a Stel Ss (, ) S ligt op lijnstuk PQ, dus is ook de helling van PS a maar geldt helling PS s, dus geldt s a ( s)( a) s s a s s Dus punt S (, ) a a a T (, ) en S (, ) De lengte van ST is dan a ( ) ( ) a a Dus moet gelden < 00, met de rekenmahine, < a <, a (want Q lijft tussen O en T, dus a < )