Hoofdstuk 1 - Funties en de rekenmahine ladzijde 1 V-1a Bij A hoort een kwadratish verand, want de toename van de toename is steeds 4. Bij B hoort een lineair verand, de toename is steeds 5. Bij C hoort een hyperolish verand, het produt van de getallen die oven elkaar staan in de tael is steeds 6. Bij D hoort een eponentieel verand, want de getallen in de onderste rij van de tael worden steeds met 4 vermenigvuldigd. B: y= 5+ 4 C: y=6 D: y = 0754, V-a 1 0 1 3 y 16 10 8 10 16 6 y= + 7 Het hellingsgetal is 6 = 1. De formule is y= + 14 6 ladzijde 13 V-3a Als = dan is y = 6 en als = dan is y = 6 1 0,5 0,5 1 3 y 6 1 4 4 1 6 4 y = 1 d Als steeds groter wordt dan nadert y naar nul. V-4a Als + 4= 0 dus = 4 h = 0 is de kleinst mogelijke uitkomst. Als 4= 0 is = 4, dus 4 is de kleinste waarde voor. h = 0 is de kleinst mogelijke uitkomst. V-5a 3 1 0 1 3 y 486 64 0 64 486 Een negatief getal tot de vijfde maht levert een negatieve uitkomst. Een positief getal tot de vijfde maht levert een positieve uitkomst. V-6a Is een wortelformule, B een lineaire, C een kwadratishe, D een hyperolishe, E een mahtsformule en F een lineaire formule. V-7a Dit noem je een mahtsverand. t = 3 levert h = 97, dus 97 meter en 0 entimeter hoog. Dan is h = 1000 Maak een tael: t 4 5 4,7 4,8 h 409,6 150 917 1019 Dus na (ijna) 4,8 seonden is de vuurpijl een kilometer hoog. 4
Hoofdstuk 1 - Funties en de rekenmahine ladzijde 14 1a a De y-waarden lopen van 8 tot 3a Het este eeld krijg je als loopt van tot Top ( 0,5; 9,375) Snijpunten met de -as ( 1,5; 0) en (1, 0) Snijpunt met de y-as (0, 9) Grafiekshets (plot): De grafiek lijkt ij deze instellingen door de oorsprong te gaan. 4a t 1 0 1 3 4 5 6 y 7 1 3 5 5 3 1 7 15 - Top (1,5: 5,5) 5 5
Hoofdstuk - Funties en de rekenmahine 6a 7= 14 dus 14 m Als B = 3 dan is er 5 meter over. 35 = 15 dus oppervlakte 15 m d De top is (,75; 15,15) De grootst mogelijke oppervlakte is 15,15 m ladzijde 15 7a De grafiek: v = 70 levert R = 36, 75 dus de remweg is dan 36,75 meter. v 70 80 90 100 110 10 R 37 48 61 75 91 108 Bij een snelheid v = 80 hoort een remweg R = 48 Bij een snelheid v = 60 hoort een remweg R = 7 8a f( 4) = 6 4 = 6 = 4 f( 7) = 6 7 3, 35 f( 9) = 3, f( 16) = en f( 100) = 4 ladzijde 17 9a h( 4) = 3en g( 4) = 5 4, h ()= 4 als = 3 dus als = 9 h( 5) = 6, h( 49) = 8 en g( 8) = 3 d h heeft geen funtiewaarde ij negatieve waarden van. g heeft geen funtiewaarde als een waarde lager dan 1 heeft. 10a L( ) = en L( 5) = 31 De lengte van de veer is m als er kilogram aan hangt. De lengte van de veer is 31 m als er 5 kilogram aan hangt. Per kilogram rekt de veer 3 m uit. Het hellingsgetal is dan en het startgetal is 0, dus Lm ( )= m + 0 d Als 3m+ 16= m+ 0 dus als m = 4 Bij een massa van 4 kilogram zijn de veren even lang. 6
Hoofdstuk 1 - Funties en de rekenmahine 11a y 14 1 10 8 6 4 5 4 3 1 1 3 4 5 4 6 8 Van (0, 3) naar (4, 11) is 4 naar rehts en 8 omhoog. Het hellingsgetal is dan 8 = 4 Het startgetal is 3 dus f ()= + 3 1a g( 0) = 3dus grafiek A hoort ij funtie g f( 0) = 10 De funtiewaarde is nul als f ()= 0 Dit is als 7+ 10= 0 ofwel als ( )( 5) = 0 dus als = en = 5 d Bij opdraht is gelijk aan nul, ij opdraht is de funtiewaarde gelijk aan nul. e g ()= 0 als 4+ 3= 0 ofwel als ( 1)( 3) = 0 dus als = 1 en = 3 f g( 0) = 3 ladzijde 18 13a 10 5 1 0 1 5 10 f() 0,5 0 4 * 6 1,5 5 heeft geen uitkomst want delen door 0 is onmogelijk, en dus estaat f( 0 ) ook niet. 0 f( 0, 0001) = 50001 en d In de uurt van = 0 loopt de grafiek steeds meer vertiaal. e Als steeds groter wordt, loopt de grafiek steeds meer horizontaal. f y 1 9 6 3 0 15 10 5 5 10 15 0 3 6 9 1 7
Hoofdstuk - Funties en de rekenmahine ladzijde 19 14a De grafiek ziet er nu uit als een rehte lijn, terwijl f een tweedegraads funtie is. De grafiek van f moet dan een paraool zijn. 0 10 0 30 40 50 60 70 80 90 100 110 f() 3 16 33 48 61 7 81 88 93 96 97 96 De top ligt dus ij = 100 Bijvooreeld: X van 300 tot 400 en Y van 300 tot 600 15a De ijehorende standaardfuntie is f ()=, de grafiek is een dalparaool. De ijehorende standaardfuntie is f ()= 1, de grafiek is een hyperool. 16a 17a Grafiek A B C D Funtievoorshrift 4 1 3 Soort funtie h g f k P(0, 4), Q(0, 5), R( 4, 0) en S(0, ) 18a GK is een geroken funtie, dus de grafiek is een hyperool. Neem Y van 0 tot 0 d Als er veel wordt geprodueerd, zijn de gemiddelde kosten volgens de formule laag, deze naderen 3 euro. Bij weinig produtie zijn de gemiddelde kosten hoog. Dat lijkt wel in overeenstemming met de werkelijkheid. 8
Hoofdstuk 1 - Funties en de rekenmahine ladzijde 0 19a De derde plot geeft het este eeld. De maimale y-waarde moet lager worden. Neem y maimaal 10 0a d Zowel de tijd (X) als de hoogte (Y) kunnen nooit onder de waarde nul komen. De steen komt aan de plot te zien ongeveer 50 meter hoog. Aan de plot te zien komt de steen na ongeveer vier seonden op de grond. Neem X van 0 tot 5 en Y van 0 tot 50. ladzijde 1 1a Neem X van 15 tot 15 en Y van 150 tot 50. Neem X van 5 tot 5 en Y van 10 tot 0. Neem X van 5 tot en Y van 15 tot 15. a Het randpunt is ( 50, 0) en de grafiek zal stijgen. Neem X van 60 tot 50 en Y van 10 tot 0. 3a t loopt van 0 tot 10 en C van 0 tot 3 Maak een tael: Dan is C maimaal,4 mg/liter. 9
Hoofdstuk - Funties en de rekenmahine ladzijde 4a f( ) = ( ) ( ) 1) = 0en f( 3) = 3 3 1) = 0 Als tussen en 3 ligt, dan is de uitkomst van 1 kleiner dan nul. De wortel daarvan estaat niet. y 10 8 6 4 10 8 6 4 4 6 8 10 5a Er is een sprong in de grafiek als = 35, Maak een tael: Ook voor grote positieve waarden van komt g() steeds dihter ij 1. ladzijde 3 6a Randpunt als 3 + 6 = 0. Dan is 3 + 6= 0 ofwel = g( ) = 4 dus randpunt (, 4) Randpunten als 16 = 0. Dan is = 16 dus = 4 of = 4 De randpunten zijn dan ( 4, 0) en (4, 0) Shets: 10
Hoofdstuk 1 - Funties en de rekenmahine 7a Vertiale asymptoot als 3= 0 ofwel als = 15, Met een tael kun je, door voor grote waarden te nemen, vinden dat de horizontale asymptoot y = 4 is. Dit zie je aan het funtievoorshrift door in te zien dat de reuk 6 3 voor grote waarden van steeds dihter ij nul komt. 8a + 4= 0heeft geen oplossing en 4= 0 wel. Bij eide grafieken is de horizontale asymptoot y = 0 9a + 4= 0heeft geen oplossing en 4= 0 wel 4= 0levert = of = De randpunten zijn dan (, 0) en (, 0) 30a 3 uur en 0 minuten is 00 minuten. Dan is = P( ) = 0, 13 + 01, = 019, dus 19 euroent per elminuut. De totale kosten zijn dan 00 elminuten maal 19 euroent ofwel 38 euro. Als de waarde van steeds groter wordt, komt de uitkomst P() steeds dihter ij 0,13. d P = 013, e Als je per maand heel veel elt etaal je op den duur vrijwel 13 euroent per minuut. Maar onder dit edrag kom je nooit! 31 Randpunt ij de grafiek van g als p 1= 0 dus p = 05,. g( 05,) = 0 dus randpunt (0,5; 0) Horizontale asymptoot ij de grafiek van h. Met een tael vind je voor grote waarden van t dat de uitkomst steeds dihter ij 0 komt, dus: y = 0 Vertiale asymptoot ij de grafiek van f als = 0 ofwel = Horizontale asymptoot ij de grafiek van f is y =, want ij grote waarden van komt de uitkomst steeds dihter ij. ladzijde 4 3a f is een wortelfuntie. Dan kan 4 niet onder nul komen, dus mag niet kleiner zijn dan 4. 11
Hoofdstuk - Funties en de rekenmahine Het randpunt is (4, ). Je ziet aan de plot dat de grafiek stijgt. Mogelijke funtiewaarden zijn dan en groter. 33a De grafiek heeft een randpunt (, 5) en de grafiek daalt. Domein, ereik y 5 Domein, ereik De grafiek is een dalparaool met top (,5: 0,5) Domein, ereik y 05, d De grafiek is een stijgende lijn. Domein, ereik 34a p loopt van 0 tot 38 en C van 1 tot 10 Iemand met 31,5 punten krijgt als ijfer een 8,5 Iemand met een 5,5 heeft 19 punten ehaald. 35 Ongelijkheid < 6 > 9 < 0 < 1 Getallenlijn Interval [ 6, 9,,0, 1] 36 Wortelfuntie (zwart): domein [, en ereik, 3 ] Geroken funtie (groen): domein,3 en 3, en ereik, en, Kwadratishe funtie (rood): domein en ereik [, 37a h loopt van 0 tot 60 dus [0,60] t loopt van 0 tot 15 dus [0,15] 1
Hoofdstuk 1 - Funties en de rekenmahine Linkervaas: als t = 4 dan is h = 16 dus hoogte 16 m. Rehtervaas: als t = 4 dan is h = 31 dus hoogte 31 m. ladzijde 6 38a t = 0 levert C( 0) = 5+ 6508, = 90 dus 90 C Maak een tael: d Tijd in minuten 0 1 3 Temperatuur in graden Celsius 90 77 66,6 58,3 0 In de eerste minuut is de thee 90 77 = 13 graden afgekoeld. In de derde minuut is de thee 66, 6 583, = 83, graden afgekoeld Als je voor t hele grote waarden neemt, komt de uitkomst C steeds dihter ij 5 te liggen. Dus op den duur wordt de theetemperatuur 5 C Maak weer een tael: Tijd in minuten 0 1 3 Temperatuurvershil in graden Celsius 65 5 41,6 33,8 =,, 41, 6 =,, 5 08 65 5 08 33, 8 = 08, 41, 6 De groeifator per minuut is steeds 0,8. Het vershil in temperatuur neemt dus per minuut met 0% af 39a De grafiek van f is een ergparaool (lauw), de grafiek van g is een hyperool (groen), h is een wortelfuntie (zwart) en m is een eponentiele funtie (rood). Met de GR ereken je de top van f. Dit is ( 4, 10) Met ehulp van de grafiek: domein en ereik, 10 ] De grafiek van g heeft een vertiale asymptoot = 4 en een horizontale asymptoot y = 05, Met ehulp van de grafiek: domein,4 en 4, en ereik ; 05, en 05, ; De grafiek van h heeft een randpunt (5, 0). Met ehulp van de grafiek is dan het domein, 5 ] en het ereik [ 0, De grafiek van m heeft een horizontale asymptoot y = 0. Met ehulp van de grafiek: domein en ereik 0, 40a 3 De grafiek van f snijdt de -as als 16= 0 dus als ( 16) = 0 Dan volgt = 0 of 16 = 0 dus = 16 ofwel = 4 of = 4 Snijpunten: (0, 0), (4, 0) en ( 4, 0) 3 De grafiek van g snijdt de -as als g ()= 0 ofwel als 16= 0 Met ehulp van opdraht volgt dan dat de punten (0, 0), (4, 0) en ( 4, 0) op de grafiek van g liggen. d Het domein van g estaat uit preies die waarden van waarvoor de grafiek van f op of oven de -as ligt. e Het ereik van g is [ 0, 13
Hoofdstuk - Funties en de rekenmahine ladzijde 7 41a De oppervlakte van de tunnel is 30 3= 90 m De module is dan 90 = 075, dus dat is per voetganger 0,75 m 10 30 meter in 36 seonden dus de snelheid van de voetganger is dan 30 = 5 0, 833 36 6 meter per seonde. Dat is 5 60 = 50 meter per minuut, dus V = 50 6 Met je rekenmahine vind je dan dat M 0, 657, dus Dan is het aantal voetgangers 90 138 dus 138 voetgangers. 0, 657 90 0 657 aantalvoetgangers =, d 5 km/uur is gelijk aan 5000 83, 33 meter per minuut, dus V 83, 33 60 Dan volgt met ehulp van de rekenmahine dat M 704, Dan is er dus per voetganger 704, m eshikaar. Dan kun je spreken van ongehinderd lopen. e Lees af uit de grafiek dat het aantal voetgangers dat per minuut de tunnel verlaat maimaal is als M 05,. Dan is V = 87 6 = 39, 7, dus de snelheid is dan 05, + 005, 39,7 meter per minuut ofwel,4 km/uur. ladzijde 8 I-1a De funtie estaat niet voor 5. De vertiale asymptoot is = 5. De funtie estaat niet voor 1. d Ja, de funtie estaat niet voor = 5. e Bij alle drie zijn de funtiewaarden groter dan nul. I-a Er estaat geen funtiewaarde voor 5< < 0. Voor 5< < 0is + 5< 0 en dan estaat + 5 dus niet. I-3a De lijn = 1 is vertiale asymptoot. Wanneer je ijvooreeld 1 vervangt door 5, is = 5 de vertiale asymptoot. Alleen wanneer je 1 vervangt door, lijkt er geen vertiale asymptoot te ontstaan er zit dan wel een gaatje in de grafiek in het punt (, 0). Het ereik van de funtie f is, 0] en [ 1,. ladzijde 9 I-4a Domein f: en het ereik van f is: ; 1, 5 ]. Domein k: [ 5, en het ereik van k is:[ 0,. Domein g:, 0 en 0,. Het ereik van g is, 0 en 0,. 14
Hoofdstuk 1 - Funties en de rekenmahine A () I-5 D () = =. Het domein van D is [ 0,. Het ereik van D is [ 00515 ;, ]. B () C () E () = = 1. Het domein van E is 0,. Het ereik van E is 0,. A () F () = B () C () =. Het domein van F is, 0 en 0,. Het ereik van F is, 0 en [ 1, 884;. I-6a Het domein is en het ereik is [,. I: nee; II: ja, door elk getal 0 ; III: ja, door elk getal < 0. ladzijde 3 T-1a - Tael: h in meters a 0 4 6 8 10 1 14 16 18 0 h 0 1,8 3, 4, 4,8 5 4,8 4, 3, 1,8 0 5 4 3 1 0 4 6 8 10 1 14 16 18 0 a in meters d De al komt maimaal 5 meter hoog. e Voor a = 18 geeft deformule uitkomst h = 18,. De al is dan dus 1 meter 80 hoog. Een speler van gemiddelde lengte moet de al dan koppend kunnen innenhouden. T-a Tael: 3 1 0 1 3 f() 1 4 7 8 7 4 1 f( 4) = 4 etekent dat 8 = 4 ofwel = 4 Dan is = of = Als g( 4) = 4 dan is + 1= 4 ofwel = 3 dus = 15, De grafiek van f snijdt de -as als f ()= 0 ofwel 8 = 0 Dan is = 8 dus = 8, 83 of = 8, 83 T-3a Grafiek 1 is een rehte lijn, daarij hoort een lineaire funtie dus k; Grafiek een eponentiele funtie dus f. Grafiek 3 is een hyperool, daarij hoort een geroken funtie dus h; Grafiek 4 heeft een randpunt, daarij hoort een wortelfuntie dus g; Punt A: = 0 en y= k() 0 = 3 dus oördinaten (0, 3) Punt B: y = 0 dus k ()= 0 ofwel 3 1 = 0. Dan volgt = 6 dus oördinaten (6, 0) Punt C: = 0 en y= f() 0 = 3 dus oördinaten (0, 3) Punt D: het randpunt van g () dus 9 = 0 ofwel = 45,. De oördinaten zijn dan (4,5; 0) Grafiek heeft een horizontale asymptoot y = 0 Grafiek 3 heeft een horizontale asymptoot y = 1 15
Hoofdstuk - Funties en de rekenmahine T-4 Bij f: de snijpunten met de assen zijn (0, 5) en (,5; 0). Neem X van 5 tot 10 en Y van 10 tot 15 Bij g: randpunt (, ). Neem X van 5 tot 10 en Y van 0 tot 10 Bij h: eponentieel, met eginhoeveelheid 4. Neem X van 3 tot en Y van 1 tot 0 Bij k: Neem X van 3 tot 3 en Y van 0 tot 10 T-5a Randpunt als 16 = 0 dus als = 8. f( 8) = dus het randpunt is (8, ) Vertiale asymptoot als 6 = 0 dus als = 3 Horizontale asymptoot y = Omdat + 3 altijd groter dan nul is, heeft + 3= 0 geen oplossing. T-6a De top van f is (10, 5). Domein en ereik, 5] Randpunt (8, 0). Domein, 8 ] en ereik [, Lineaire funtie, dus domein en ereik. d Geroken funtie, asymptoten = 3 en y =. Domein,3 en 3,. Bereik, en, T-7a Neem X van 0 tot 10 en Y van 0 tot 10 v = 10 levert S = 111, 6 dus 111meter en 60 entimeter. v = 40 levert S = 1, dus dat lukt net aan. d v = 50 levert S = 9 dus stopafstand 9 meter v = 50 levert R = 1, 5 dus remweg 1,5 meter. Het vershil is dan 16,5 meter. T-8a lineaire funtie f ()=. Domein en ereik kwadratishe funtie f ()=. Domein en ereik [ 0, d geroken funtie f ()= 1. Domein,0 en 0,. Bereik,0 en 0, mahtsfuntie f ()= 3. Domein en ereik wortelfuntie f ()= Domein [ 0, en ereik [ 0, eponentiele funtie f ()=. Domein en ereik 0, Soms ken je de vorm van de grafiek, omdat er een standaardfuntie ij de gegeven funtie hoort. De vorm van de grafiek is dan ekend. Maak een tael: je weet niet altijd welke waarden je moet nemen, ijvooreeld niet hoe groot of hoe klein. De variaelen heen etekenis: dan kun je, eventueel met ehulp van een tael, meestal vrij snel de juiste instellingen vinden. Bij veel eponentiele funties is dit het geval, ijvooreeld ij f ()= Dat moet een wortelfuntie worden, met drie nulpunten onder de wortel. 3 Vooreeld: f () = ( 1)( ) = 3 + De randpunten zijn dan (0, 0), (1, 0) en (, 0). 16
Hoofdstuk 1 - Funties en de rekenmahine Plot: 17