TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT WERKTUIGBOUWKUNDE DIVISIE COMPUTATIONAL AND EXPERIMENTAL MECHANICS Tentamen Polymeerverwerking (4K550 vrijdag 4 juli, 14:00-17:00. Bij het tentamen mag het boek Modeling in Materials Processing van Dantzig en Tucker gebruikt worden. Het gebruik van andere aantekeningen en laptop is NIET toegestaan. Het tentamen levert maximaal 40 punten op waarvan de verdeling aan het eind is aangegeven. 1. Beantwoord de volgende vragen met ja of nee en geef daarbij een korte argumentatie. Bij een goed antwoord met juiste argumentatie krijgt men per vraag 1 punt. Bij een ernstige fout in de argumentatie wordt geen punt toegekend ondanks een correct antwoord. Bij een correct antwoord zonder argumentatie wordt een 1 punt toegekend. 2 (a Gegeven is het stationaire twee-dimensionale stromingsveld v = (v x,v y in het x y vlak: v x = αx, v y = αy (α > 0 (1 Is het snelheidsveld divergentievrij? (b Is het waar dat voor een Newtonse vloeistof de normaalspanningen behorende bij het snelheidsveld gegeven door (1 voldoen aan σ x x = 2αµ, σ yy = 2αµ, waarbij µ de viscositeit is. (c Is de stroming gegeven door (1 rotatievrij? (d Het temperatuurveld in een draad tijdens een spinproces wordt gegeven door T = 12.5 ln(x 2 + y 2 (2 De thermische warmtegeleidingscoefficient is gelijk aan k = 0.10 W/mK. Is het waar dat de radiële component van de warmteflux gegeven wordt door q r = 5 r? (e Is het waar dat in een volledig ontwikkelde laminaire stroming de convectieve versnellingen nul zijn? (f Is het waar dat de latente warmte verwaarloosd kan worden als het Stefan getal, St >> 1? (g Alle niet-newtonse consitutieve modellen zijn tijdsafhankelijk en vertonen elastisch gedrag? Is dit waar? (h Is het waar dat een klontje boter in een hete koekepan zo soepel verplaatst vanwege de Marangoni effecten? (i Een stalen plaat met een dikte van 10mm en een thermische diffusiviteit van 5 mm 2 /s kan als halfoneindig worden beschouwd indien t 5 s. Is dit waar? 16 (j Is het waar dat indien het Pearson getal Pn 1 de viscositeit bij benadering niet afhankelijk is van de temperatuur?
2. De sectie Polymeertechnologie is nauw betrokken bij recente ontwikkelingen in de printer wereld. Inkjettechnologie wordt continu verbeterd en toekomstige nieuwe printers zullen vooral sneller worden met een toenemende resolutie. Een van de grootste nadelen van conventionele inkjettechnologie is de waterachtige inkt. Een print die een beetje vochtig wordt is al snel als verloren te beschouwen. Druppel Diameter Do Snelheid Vo Spreiding Splashing Terugkaatsen Figuur 1: Verschillende modes van impact. Een nieuwe techniek is hot melt inkjet printing waarbij gesmolten polymeren druppels ge jet worden. De druppels stollen zodra ze het papier raken en de kwaliteit van de afdruk is in meerdere opzichten superieur vergeleken met bestaande producten. lucht vloeistof vaste stof papier Figuur 2: Geometrie van een druppel die stolt. (a Figuur 1 laat verschillende modes van impact zien. Welke dimensieloze groepen zijn belangrijk om de verschillende modes te karakteriseren als we uitgaan van isotherme druppel impact? (b Figuur 2 toont een druppel na impact op papier. Ter vereenvoudiging kijken we naar de stolling van de druppel over de centerlijn; we hebben dus een één-dimensionaal probleem. We veronderstellen even dat het papier en de vloeistof oneindig dik zijn, omdat we slechts gedurende een korte tijd het stollingsgedrag wil bepalen. Verder is er geen interne warmteproductie, geen stroming en zijn de materiaalcoefficienten constant. Verder veronderstellen we geen warmteweerstand tussen het papier en het gestolde polymeer. Stel de energiebalans op voor de drie gebieden en vereenvoudig deze zoveel mogelijk gebruikmakend van de veronderstellingen. (c Welke randvoorwaarden gelden hier?
3. In deze opgave kijken we naar een onderdeel van het productieproces van een DVD-schijfje. Een vereenvoudigde geometrie is weergeven in Figuur 3 en we zien dat vanuit het centrum van de disc, waar dus een gat zit (handig om de DVD vast te kunnen pakken, de ruimte tussen de twee parallelle schijven gevuld wordt; het opgelegd debiet is Q. Het constitutief gedrag van het polymeer kan prima beschreven worden met een power law functie: η = m γ n 1. We zijn geïntresseerd in de stationaire stroming met gegeven debiet Q van een incompressibele gegeneraliseerde Newtonse stroming, waarbij traagheid (=inertia! en zwaartekracht verwaarloosd kunnen worden. Veronderstel dat de hoogte tussen de twee schijven 2h bedraagt en dat het polymeer binnen komt bij een radius R in en uitstroomt bij R out (=R 0 in Figuur 3. The afstand tussen de twee schijven is veel kleiner dan de radius van de disc, dus h << R out. De stroming is axi-symmetrisch, dus v θ = 0 en θ = 0. De druk op r = R out is gelijk aan p 0 en verder kijken we niet naar randeffecten en mag de druk alleen als functie van de radius verondersteld worden, dus p = p(r. Figuur 3: Geometrie van de radiële stroming tussen twee schijven. (a Voer dimensieloze variabelen in om de continuiteitsvergelijking te schalen. Laat zien dat v r >> v z. (b Laat zien dat een snelheidsveld van de vorm v r = f (z, v r θ = 0, v z = 0 aan de continuiteitsvergelijking voldoet. (c Geef de r component van de impulsvergelijking waarbij alle basisveronderstellingen gebruikt zijn om deze zo veel mogelijk te vereenvoudigen. (d Omdat het materiaalgedrag niet-newtons is, is het handig om een karakteristieke η c in te voeren om de viscositeit te schalen. Startend met het constitutief verband τ = 2ηD, geef de vergelijkingen voor de individuele geschaalde spanningscomponenten τ rr,τ θθ en τ rz en verveenvoudig deze zover mogelijk gebruikmakend van onze basisveronderstellingen. (e Substitueer de dimensieloze spanningscomponenten in de r component van de impulsvergelijking, bepaal een uitdrukking voor het karakteristieke drukverschil en toon aan dat de impulsvergelijking reduceert tot τ rz z = dp dr. (3 (f Laat door een schalingsargument zien dat we de afschuifsnelheid kunnen benaderen met γ = v r z.
(g Integreer de gevonden impulsvergelijking (3 en gebruik de bij onderdeel (f gevonden uitdrukking voor de afschuifsnelheid om af te leiden dat ( 1 v r = dp s [h s+1 z s+1 ], (4 (s + 1m s dr met s = 1/n. Geef aan welke randvoordwaarden je gebruikt. (h Integreer het snelheidsveld om een uitdrukking te bepalen voor het debiet Q en gebruik deze vergelijking om dp uit te drukken in het bekend veronderstelde debiet Q. dr Substitueer de uitdrukking voor dp in (4 en toon op simpele wijze aan dat het snelheidsveld aan de continuiteitsvergelijking voldoet veronderstellend dat v z = dr 0. (i De uitdrukking voor dp kan gebruikt worden om de druk te bepalen. Bepaal een uitdrukking voor p = p in p out en laat zien dat p schaalt met Q n dr.
4. In deze opgave kijken in meer detail naar het spuitgietproces om de DVD te maken uit de vorige opgave. We gaan hier het vullen van een matrijs, zoals gebruikt in de vorige opgave en weergegeven in Figuur 3, in meer detail analyseren. Veronderstel weer dat de hoogte tussen de twee schijven 2h bedraagt en dat het polymeer binnen komt bij een radius R in, het polymeer uniform verdeelt in de θ richting. De buiten radius is gelijk aan R out. Traagheid en zwaartekracht kunnen verwaarloosd worden en voor het gemak gaan we even uit van een Newtonse vloeistof (de power law coefficient is dan gelijk aan een met constante dichtheid en viscositeit. We kunnen dan de relaties voor het snelheidsveld, de druk en het debiet gebruiken zoals gegeven in paragraaf 5.2.6 in het boek Modeling in Materials Processing van Dantzig en Tucker: v r = 1 r 3Q 8πh p p 0 = 3µQ 4πh 3 ln Q = 4πh3 p 3µ (1 z2 h 2 ( Rout r 1 ln(r out /R in (a Veronderstel dat r f (t de positie van het vloeifront geeft op tijdstip t. Laat zien dat dr f (t dt = Q 4πhr f. (b Geef een relatie tussen het debiet Q en de spuitgietdruk p in. (c De matrijs wordt gevuld onder een constante druk p in. Combineer de resultaten uit onderdeel (a en (b en laat zien dat de vultijd gegeven wordt door t f = 3µ ph 2 ( R 2 in R 2 out 4 + R2 out 2 ln( R out R in. (5 (d Een DVD heeft een buitenradius van 60 mm, een binnenradius van 7, 5 mm en een dikte van 1 mm. De viscositeit van het polymeer is 300 Ns/m 2. Bepaal de druk waarmee we de matrijs volledig kunnen vullen in twee seconden. Verdeling van de punten Opgave 1 Opgave 2 Opgave 3 Opgave 4 a 1 2 1 1 b 1 3 2 2 c 1 3 1 3 d 1 1 2 e 1 2 f 1 1 g 1 2 h 1 2 i 1 2 j 1