Inleiding Anlyse Dictt E.P. vn den Bn c Mthemtisch Instituut Universiteit Utrecht Voorjr 2013, herzien
Voorwoord Dit dictt wordt gebruikt bij het eerstejrs college Inleiding Anlyse. Het is ls op zichzelf stnde tekst te bestuderen. Het dictt behndelt de stof die n het eind vn de cursus beheerst moet worden. Vn de student wordt verwcht dt hij/zij bij het college Infinitesimlrekening reeds kennis gemkt heeft met een ntl belngrijke technieken, wrbij de ndruk gelegd is op het hnteren drvn en minder op de theoretische fundering. In de huidige opzet vn de Anlyse wordt niet gestreefd nr het grondig funderen vn lles wt bij de Infinitesimlrekening n de orde is geweest. Gekozen is voor een representtieve nvullende bendering, met ndruk op een grondige behndeling vn een ntl fundmentele principes uit de Anlyse. Tesmen vormen die een goede bsis voor verdere studie. De constructie vn het systeem der reële getllen wordt niet uitputtend in de hoofdtekst behndeld. Wel is er een ppendix n dit onderwerp gewijd. De volledige xiomtiek vn de reële getllen komt evenmin n de orde. De ndruk wordt gelegd op de eigenschp vn volledigheid, die xiomtisch vstgelegd wordt. Bovendien komt een ntl belngrijke gevolgen hiervn voor de Anlyse n de orde, zols het bestn vn limieten, vn extrem en vn oplossingen vn vergelijkingen. Vn de elementire functies worden slechts de exponentiële en de logrithmische functie rigoreus ingevoerd. De lezer krijgt zo een representtief idee vn de mogelijkheid de Anlyse vnuit fundmentele principes op te bouwen. In de voorbeelden en opgven wordt vrijelijk gebruik gemkt vn begrippen en objecten die bij de Infinitesimlrekening ingevoerd zijn. In logische zin is de in dit dictt opgebouwde theorie echter onfhnkelijk vn hetgeen bij Infinitesimlrekening ontwikkeld is. Nottie In dit dictt gebruiken we de volgende notties die fwijken vn de notties bij het college Wt is Wiskunde. () N D f0; 1; 2; : : :g; wij beschouwen dus ook 0 ls ntuurlijk getl en schrijven N D Nnf0g. (b) Als A; B verzmelingen zijn, dn betekent A B dt ieder element vn A ook tot B behoort. Bij Wt is Wiskunde ws de nottie A B gebruikelijk. Verder gebruiken wij de nottie A B voor de uitsprk A B en A B: Bij Wt is Wiskunde ws hiervoor de nottie A B gebruikelijk.
(c) Intervllen worden ls volgt genoteerd, voor ; b 2 R met < b W Œ; b D fx 2 R j x bg; ; b Œ D fx 2 R j < x < bg: Verder gebruiken we bijvoorbeeld de nottie: Œ; 1 Œ D fx 2 R j xg: Tenslotte gebruiken we nog de nottie WD b voor de uitsprk is per definitie gelijk n b:
Inhoudsopgve 1 Limieten en continuïteit 1 1.1 De fstnd in R n.................................. 1 1.2 Limieten vn functies................................ 5 1.3 Rekenregels voor limieten............................. 11 1.4 Limieten en ongelijkheden............................. 16 1.5 Continuïteit..................................... 18 1.6 Toepssing: rekenregels voor differentiëren.................... 20 1.7 Appendix: kwdrtische functies.......................... 26 1.8 Appendix: fwijkende definitie vn limiet..................... 27 2 Open en gesloten verzmelingen 31 2.1 Het visuliseren vn functies vn meer vernderlijken............... 31 2.2 Continuïteit en topologie.............................. 34 2.3 Metrische ruimten.................................. 35 2.4 Rekenregels voor limieten in metrische ruimten.................. 41 2.5 Appendix: verzmelingen en fbeeldingen..................... 44 2.6 Appendix: linker- en rechterlimiet, oneigenlijke limiet.............. 47 3 Rijen en volledigheid 51 3.1 Limieten vn rijen.................................. 51 3.2 De volledigheid vn R............................... 58 3.3 Boven- en ondergrenzen, mx en min, sup en inf.................. 61 3.4 Toepssing: de tussenwrdestelling........................ 65 3.5 Monotone rijen................................... 66 4 Mxim en minim 71 4.1 Inleiding....................................... 71 4.2 De Stelling vn Bolzno-Weierstrss........................ 71 4.3 Intermezzo: Cuchy-rijen en volledigheid..................... 74 4.4 De Contrctiestelling................................ 77 4.5 Rijcompctheid en de mximum-minimum stelling................ 81 4.6 Prtiële fgeleiden................................. 84 4.7 Toepssing: extrem................................ 86
4.8 Rijcompctheid en uniforme continuïteit...................... 90 5 Inversen vn functies vn één vribele 95 5.1 Inversen vn continue functies........................... 95 5.2 Inversen vn differentieerbre functies....................... 98 6 Middelwrdestellingen 101 6.1 De stelling vn Rolle, de middelwrdestelling en toepssingen..................................... 101 6.2 Toepssing: de exponentiële functie........................ 103 6.3 De regel vn de l Hôpitl.............................. 108 6.4 De formule vn Tylor............................... 109 7 Integrtie 115 7.1 Definitie vn de Riemnn-integrl......................... 115 7.2 Rekenregels voor Riemnn-integrtie........................ 120 7.3 Eigenschppen vn Riemnn-integrtie....................... 125 7.4 Riemnn-integrtie vn continue functies..................... 128 7.5 Primitieven en integrtie.............................. 131 7.6 Schtten vn integrlen............................... 134 7.7 Riemnn-sommen.................................. 135 8 Definitie vn de reële getllen 139 8.1 Rtionle getllen.................................. 139 8.2 Reële getllen.................................... 144
Hoofdstuk 1 Limieten en continuïteit 1.1 De fstnd in R n In deze prgrf behndelen we het fstndsbegrip op de Euclidische ruimte. Dit fstndsbegrip zl lter een belngrijke rol spelen bij de behndeling vn het limietbegrip. De verzmeling reële getllen noteren we met R: Het n-voudige Crtesisch product vn R noteren we met R n : De elementen vn R n zijn geordende rijtjes.x 1 ; : : : ; x n / vn n reële getllen, vectoren (of punten) genmd. In het lgemeen gebruiken we de kortere nottie x voor een rijtje.x 1 ; : : : ; x n /: De reële getllen x i ; met 1 i n; heten de componenten of coördinten vn x: In R n is een optelling gedefinieerd: ls x D.x 1 ; : : : ; x n / en y D.y 1 ; : : : ; y n /, dn is x C y D.x 1 C y 1 ; : : : ; x n C y n /: Verder is een vermenigvuldiging met reële scliren gedefinieerd: ls x D.x 1 ; : : : ; x n / en 2 R, dn is x D.x 1 ; : : : ; x n /: Hierbij wordt voldn n de bekende xiom s voor een lineire ruimte met het grondlichm R; die behndeld worden in het college Lineire Algebr. Voor de introductie vn een limietbegrip op R n zullen we een fstndsbegrip op R n nodig hebben. Zo n fstndsbegrip kn gedefinieerd worden met behulp vn het stndrdinproduct. Het stndrdinproduct op R n is per definitie de fbeelding R n R n! R die n een tweetl vectoren x D.x 1 ; : : : ; x n / en y D.y 1 ; : : : ; y n / het getl hx; yi WD x 1 y 1 C : : : C x n y n toevoegt. Men gt gemkkelijk n dt deze fbeelding inderdd voldoet n de (in de lineire lgebr geïntroduceerde) eigenschppen die een inproduct krkteriseren. Hieronder zetten we deze eigenschppen nog eens op een rij. Voor lle x; y; z 2 R n ; 2 R geldt: () (b) hx; yi D hy; xi; hx C y; zi D hx; zi C hy; zi; 1
2 HOOFDSTUK 1. LIMIETEN EN CONTINUÏTEIT (c) hx; xi 0; (d) hx; xi D 0 x D 0: Voor 1 i; j n definiëren we het Kronecker symbool ı ij ls volgt 1 ls i D j I ı ij WD 0 ls i j: De vectoren e 1 D.1; 0; : : : ; 0/; e 2 D.0; 1; 0; : : : ; 0/; : : : ; e n D.0; : : : ; 0; 1/ vormen de stndrdbsis vn R n : Met behulp vn de hierboven ingevoerde Kronecker symbolen noteren we deze bsis gemkkelijker ls volgt e i WD.ı i1 ; : : : ; ı in /;.i D 1; 2; : : : ; n/: Ten opzichte vn het stndrdinproduct op R n is dit een orthonormle bsis, d.w.z. he i ; e j i D ı ij voor lle 1 i; j n: Merk op dt x D P n id1 x ie i ; voor elke x 2 R n : Als x 2 R n ; dn definiëren we de Euclidische lengte of norm vn x door kxk WD p q hx; xi D x1 2 C C x2 n : (1.1) Merk op dt deze definitie geoorloofd is wegens eigenschp (c) vn het inproduct. Opmerking 1.1 De lezer kn hier terecht het bezwr nvoeren dt de wortelfunctie p W Œ0; 1 Œ! Œ0; 1 Œ niet rigoreus gedefinieerd is. In het vervolg zullen we voorlopig veronderstellen dt deze functie gedefinieerd is ls de unieke functie w W Œ0; 1 Œ! R die voldoet n w.x/ 0 en w.x/ 2 D x voor lle x 0: Vn deze functie veronderstellen we bekend dt hij strikt monotoon stijgend is, d.w.z. 0 < x 1 < x 2 ) 0 < w.x 1 / < w.x 2 /; voor lle x 1 ; x 2 2 R: Uit de ontwikkelde theorie vn limieten en continuïteit voor functies op R zl blijken dt deze definitie correct is en dt de zo gedefinieerde functie w continu is, zie Voorbeeld 3.49 en Stelling 5.6. Het lijkt erop dt we zo een cirkelredenering volgen: vi de bovenstnde definitie vn de Euclidische norm gebruiken we de wortelfunctie in de verdere ontwikkeling vn de theorie. Die theorie gebruiken we vervolgens voor de definitie vn de wortelfunctie. Toch is er geen sprke vn een cirkelredenering. De wortel is lleen nodig in (1.1) voor n 2: Voor n D 1 kn de bovenstnde definitie geïnterpreteerd worden ls kxk WD jxj voor x 2 R: Alleen de voor R ontwikkelde theorie zl nodig blijken te zijn voor een correcte definitie vn de wortelfunctie. Het volgende resultt zl een belngrijke rol spelen bij de ontwikkeling vn het fstndsbegrip. Lemm 1.2 (Ongelijkheid vn Cuchy-Schwrz) Voor ieder tweetl x; y 2 R n geldt: jhx; yij kxk kyk: (1.2) De bovenstnde ongelijkheid is een gelijkheid dn en slechts dn ls x en y lineir fhnkelijk zijn (dus x 2 Ry of y 2 Rx).
1.1. DE AFSTAND IN R N 3 Bewijs: Lt x; y 2 R n gegeven zijn. Als x D 0 of y D 0 dn vlt er niets te bewijzen, dus we mogen veronderstellen dt x 0 en y 0: Beschouw de functie ' W R! R gedefinieerd door '.t/ D hx C ty; x C tyi: Uit de positiviteit vn het inproduct (eigenschp (c)) volgt dt '.t/ 0 voor lle t 2 R: Anderzijds levert uitwerken dt ' een kwdrtische functie is: '.t/ D t 2 C bt C c; met D kyk 2 ; b D 2hx; yi; c D kxk 2 : Uit ' 0 volgt voor de bij ' behorende discriminnt dt b 2 4c 0; zie Appendix 1.7. Hieruit volgt dt hx; yi 2 kxk 2 kyk 2 D 1 4.b2 4c/ 0: (1.3) Dit levert de gewenste schtting (1.2). Wegens (1.3) is de schtting (1.2) een identiteit precies dn ls de bovenstnde discriminnt gelijk n 0 is. In dt gevl heeft de kwdrtische functie ' precies één nulpunt t 0 ; zie wederom Appendix 1.7. Drvoor geldt: '.t 0 / D 0; dus kx Ct 0 yk D 0; wruit weer volgt dt x D t 0 y; dus x en y zijn lineir fhnkelijk. De Euclidische norm heeft de volgende eigenschppen: Lemm 1.3 Voor lle x; y 2 R n en 2 R geldt: () kxk 0 en kxk D 0 x D 0I (b) kxk D jj kxki (c) kx C yk kxk C kyk (driehoeksongelijkheid). Bewijs: De eerste twee bewijst men zonder moeite uit de eigenschppen vn het inproduct. Voor het bewijs vn de derde eigenschp (de driehoeksongelijkheid) gebruikt men de ongelijkheid vn Cuchy-Schwrz: kx C yk 2 D hx C y; x C yi D hx; xi C hx; yi C hy; xi C hy; yi D kxk 2 C 2hx; yi C kyk 2 kxk 2 C 2jhx; yij C kyk 2 kxk 2 C 2kxkkyk C kyk 2 D.kxk C kyk/ 2 : Opmerking 1.4 () Teken twee vectoren x en y in R 2 : Dn is x C y de vectoriële som vn x en y: De punten 0; x en x C y beplen een driehoek wrvn de zijden lengten kxk; kyk en kx C yk hebben. Verklr nu zelf de nm driehoeksongelijkheid. (b) De Euclidische norm is een specil gevl vn een lgemener begrip vn norm. Is E een (wellicht oneindig dimensionle) reële lineire ruimte dn verstt men onder een norm op E een fbeelding kk W E! R met de eigenschppen () t/m (c) uit het bovenstnde lemm (voor lle x; y 2 E; 2 R).
4 HOOFDSTUK 1. LIMIETEN EN CONTINUÏTEIT Het volgende resultt zl verderop gebruikt worden in tl vn rgumenten die schttingen betreffen. Gevolg 1.5 () ( Herhlde driehoeksongelijkheid ) Voor lle m 2; x 1 ; : : : ; x m 2 R n geldt: kx 1 C C x m k kx 1 k C C kx m k: (b) ( Omgekeerde driehoeksongelijkheid ) Voor lle x; y 2 R n geldt: kx yk j kxk kyk j : Bewijs: De eerste ongelijkheid volgt door herhld toepssen vn de driehoeksongelijkheid. Voor de tweede ongelijkheid merken we op dt wruit volgt dt Op soortgelijke wijze ziet men in dt kxk D k.x y/ C yk kx yk C kyk; kx yk kxk kyk: (1.4) kx yk kyk kxk D.kxk kyk/: (1.5) De omgekeerde driehoeksongelijkheid volgt door combintie vn de twee gevonden ongelijkheden (1.4) en (1.5). Opmerking 1.6 Merk op dt in deze redenering lleen lgemene eigenschppen vn de norm gebruikt worden; de ongelijkheden () en (b) gelden derhlve voor iedere norm. Tenslotte zullen we de volgende ongelijkheden vk gebruiken ls we de norm vn een vector met zijn componenten vergelijken. Lemm 1.7 (Relties tussen norm en coördinten) Voor elke x 2 R n geldt: () jx i j kxk voor lle 1 i n: (b) kxk P n id1 jx ij: Bewijs: De eerste ongelijkheid volgt uit kxk 2 D nx jx j j 2 jx i j 2 : De tweede ongelijkheid volgt uit de herhlde driehoeksongelijkheid. Immers j D1 kxk D kx 1 e 1 C C x n e n k kx 1 e 1 k C C kx n e n k D jx 1 jke 1 k C C jx n jke n k D jx 1 j C C jx n j:
1.2. LIMIETEN VAN FUNCTIES 5 Met behulp vn de door (1.1) gedefinieerde norm kunnen we ls volgt een fstndsbegrip op R n definiëren. Definitie 1.8 Als x; y 2 R n dn definiëren we de (Euclidische) fstnd vn x tot y door d.x; y/ WD kx yk: Opmerking 1.9 Merk op dt de norm kxk vn een vector x 2 R n gelijk is n zijn fstnd d.0; x/ tot de oorsprong. Lemm 1.10 De Euclidische fstnd d op R n voldoet n de volgende eigenschppen, voor lle x; y; z 2 R n : () d.x; y/ 0; en d.x; y/ D 0 x D yi (b) d.x; y/ D d.y; x/ (symmetrie); (c) d.x; z/ d.x; y/ C d.y; z/ (driehoeksongelijkheid). Bewijs: Uit Lemm 1.3 () volgt direct dt d.x; y/ D kx yk 0: Ook volgt eruit dt Uit Lemm 1.3 (b) volgt dt d.x; y/ D 0 kx yk D 0 x y D 0 x D y: d.x; y/ D kx yk D Tenslotte volgt uit Lemm 1.3 (c) dt k.x y/k D ky xk D d.y; x/: d.x; z/ D kx zk D k.x y/ C.y z/k kx yk C ky zk D d.x; y/ C d.y; z/: Verklr zelf de nm driehoeksongelijkheid voor de schtting in bewering (c) vn het bovenstnde lemm. 1.2 Limieten vn functies Lt A en B verzmelingen zijn. Met een fbeelding f W A! B zullen we bedoelen een fbeelding f W D! B; met D een deelverzmeling vn A: De verzmeling D heet het domein vn f en wordt genoteerd met Dom.f /: De nottie f W A! B kn opgevt worden ls smentrekking vn de nottie f W A Dom.f /! B; en bewijst nuttige diensten in situties wrbij we niet telkens het domein vn f willen specificeren. Is B een lineire ruimte, dn noemen we een fbeelding f W A! B ook wel een B-wrdige functie, gedefinieerd op een deel vn A:
6 HOOFDSTUK 1. LIMIETEN EN CONTINUÏTEIT Opmerking 1.11 () Het is gemkkelijk om te kunnen spreken vn de functie f W R! R; x 1 x ; zonder expliciet het domein te noemen. Wij zullen de conventie hnteren dt voor een zo gegeven functie het domein de grootste deelverzmeling vn R is wrop de formule zinvol is. Dus, in dit gevl, Dom.f / D R n f0g: (b) Het is gemkkelijk om te kunnen spreken vn de functie r W R 2! R; gegeven door r.x/ D x 1x 2 x1 2 : x2 2 Met de hierboven genoemde conventie blijkt uit de gegeven formule dt het domein Dom.r/ vn r bestt uit de punten x 2 R 2 met x 1 x 2 : (c) Er zijn situties wrin het vn belng kn zijn een nder domein te kiezen dn het voor de hnd liggende. Als zo n situtie zich voor doet dn zullen we dit expliciet ngeven. We geven nu een precieze definitie vn het begrip limiet voor een functie f W R n! R m : Definitie 1.12 (Limiet vn een functie) Lt f W R n! R m een functie zijn, en 2 R n en b 2 R m punten. Men zegt dt f in de limiet b heeft, nottie lim f.x/ D b; x! ls voor ieder positief reëel getl " > 0 een positief reëel getl ı > 0 bestt met de volgende eigenschp: ls x 2 Dom.f / en d.x; / < ı dn d.f.x/; b/ < ": (1.6) Men zegt ook wel dt f.x/ convergeert nr b ls x nr gt, in formule: f.x/! b ls x! : Opmerking 1.13 Men is wellicht gewend om op de volgende mnier over limieten n te denken: ls x willekeurig dicht bij komt, dn komt f.x/ willekeurig dicht bij b te liggen. Het ndeel vn deze uitsprk is dt het niet duidelijk is wt het betekent dt een getl dicht bij een nder getl komt te liggen. De bovenstnde definitie kn goed ls volgt gelezen worden. De constnte " > 0 kn gezien worden ls voorgeschreven foutenmrge wrmee f.x/ een bendering voor b moet zijn. Bij iedere willekeurige gegeven " > 0 moet een ı > 0 te vinden zijn die de begrenzing vn een fwijking beschrijft. Ligt x dicht bij, met een fwijking kleiner dn ı; dn bendert f.x/ het punt b; met foutenmrge " > 0: Tenslotte merken we op dt de uitsprk (1.6) ook in de volgende veel voorkomende vorm geschreven kn worden ls x 2 Dom.f / en kx k < ı dn kf.x/ bk < ":
1.2. LIMIETEN VAN FUNCTIES 7 Voorbeeld 1.14 In dit voorbeelden illustreren we hoe de definitie vn limiet gebruikt kn worden om concrete uitsprken over limieten te bewijzen. We zullen bewijzen dt 1 lim x!1 1 C x D 1 2 : Deze uitsprk vlt in het bovenstnde kder, met f W R! R; x 1 ; dus Dom.f / D 1Cx R n f 1g; en met D 1 en b D 1 : 2 Bewijs: Zij " > 0 willekeurig. (Commentr: Het is prettig om deze " > 0 vst te leggen. Omdt we geen enkele beperking n " opleggen, zl de nu volgende redenering gelden voor iedere " > 0:) We stellen ons nu ten doel bij deze " een ı > 0 te vinden zo dt x 2 Dom.f /; jx 1j < ı ) jf.x/ 1 2 j < ": Eerst lten we de precieze wrde vn ı > 0 in het midden. Gndeweg zullen we de geschikte eisen op het spoor komen. We merken op dt voor lle x 2 R n f 1g met jx 1j < ı geldt jf.x/ 1 2 j D j 1 1 C x 1 2 j D j 1 x j1 xj j D 2.1 C x/ 2j1 C xj < ı 2j1 C xj : (1.7) De noemer gt nr nul ls x de wrde 1 ndert; dit kunnen we vermijden door een eis n ı op te leggen. Zorgen we ervoor dt ı < 1 (eerste eis op ı), dn zien we dt uit jx 1j < ı volgt x 2 1 ı; 1 C ıœ; dus x > 1 ı > 0: Hieruit volgt weer dt x C 1 > 1; dus 0 < jx C 1j 1 < 1: Gebruiken we dit in (1.7) dn zien we dt voor lle x 2 R met jx 1j < ı geldt: jf.x/ 1 2 j < ı 2 : N deze vereenvoudiging zien we wt de tweede (en ltste) conditie op ı moet zijn, nmelijk ı < 2": Wnt dn volgt uit jx 1j < ı dt jf.x/ 1 j < ": 2 Het bovenstnde bewijs is nogl lng geworden omdt we ook de procedure gegeven hebben wrmee we bij " > 0 een geschikte ı > 0 vinden. Voor een correct bewijs is dit niet vereist. We kunnen bij willekeurige " > 0 ook meteen ı > 0 geven en vervolgens ntonen dt n de definitie vn limiet voldn is. Het bewijs dt zo ontstt hebben we hieronder in zijn geheel opgeschreven. Bewijs: Zij " > 0 willekeurig. Neem ı > 0 zo dt ı < min.1; 2"/: Lt verder x 2 R n f 1g voldoen n jx 1j < ı: Dn geldt x 2 1 ı; 1 C ıœ; dus x > 0; dus j1 C xj > 1: Er volgt dt jf.x/ 1 2 j D j 1 1 C x 1 2 j D j 1 x j1 xj j D 2.1 C x/ 2j1 C xj < ı 2j1 C xj < ı 2 1 < ": Hiermee is ngetoond dt voor elke x 2 R n f 1g met jx 1j < ı geldt: jf.x/ 1 j < ": Dus 2 lim x!1 f.x/ D 1 2 :
8 HOOFDSTUK 1. LIMIETEN EN CONTINUÏTEIT Het ltste bewijs wordt gekenmerkt door de logische opbouw, wrbij steeds in kleine stppen conclusies uit de voorfgnde tekst getrokken worden. Dit mkt het gemkkelijker de correctheid vn het bewijs te verifiëren. Lter zl blijken dt dit voorl extr helderheid geeft in gecompliceerdere situties. In de huidige wiskundige litertuur (boeken en wetenschppelijke rtikelen) - en ook in dit dictt - wordt drom bijn uitsluitend voor de tweede mnier vn het presenteren vn een bewijs gekozen. De kunst drbij is de gevolgde redenering zo helder mogelijk over het voetlicht te brengen. Wij rden de lezer n zich deze stijl eigen te mken door veel te oefenen. Ndeel vn de genoemde stijl is dt n de lezer overgelten wordt te chterhlen hoe men de redenering gevonden heeft. We rden de lezer n dit wel steeds te proberen, met voldoende kldppier bij de hnd. Alleen door op een dergelijke ctieve mnier met de stof om te gn kn men wiskunde leren. Voorbeeld 1.15 We geven ook een voorbeeld vn een situtie wrbij niet n de definitie vn limiet voldn is. Definieer f W R! R door 1 ls x 0I f.x/ D 0 ls x D 0: Bewering: Het is niet zo dt lim x!0 f.x/ D 1: Bewijs: Zij " D 1 en zij ı > 0 willekeurig. Neem x D 0: Dn geldt x 2 Dom.f / en jx 0j < ı; mr jf.x/ 1j D j0 1j D 1 ": Het volgende resultt is bijn vnzelfsprekend, mr komt toch zo vk voor, dt we het prt noemen. Lemm 1.16 Zij f W R n! R m ; 2 R n en b 2 R m : Dn zijn de volgende beweringen gelijkwrdig. () lim x! f.x/ D bi (b) lim x! d.f.x/; b/ D 0: Bewijs: () ) (b) : Stel dt () geldt. Zij " > 0 willekeurig. Dn bestt er een ı > 0 zo dt voor lle x 2 Dom.f / met d.x; / < ı geldt d.f.x/; b/ < ": Voor zulke x geldt dn ook jd.f.x/; b/ 0j D d.f.x/; b/ < ": Dus (b) geldt. (b) ) () : Stel dt (b) geldt. Zij " > 0 willekeurig. Dn bestt er een ı > 0 zo dt voor lle x 2 Dom.f / met d.x; / < ı geldt jd.f.x/; b/ 0j < ": Voor zulke x geldt dus ook d.f.x/; b/ D jd.f.x/; b/j < ": Dus () geldt. Men kn de definitie vn limiet meetkundig visuliseren door gebruik te mken vn bollen. Definitie 1.17 r door Is 2 R n en r > 0 dn definiëren we de (open) bol met middelpunt en strl B.I r/ WD fx 2 R n j d.x; / < rg:
1.2. LIMIETEN VAN FUNCTIES 9 f B.I ı/ B.bI "/ ı b " D f.d \ B.I ı// D \ B.I ı/ R n R m Figuur 1: Visulistie vn f.d \ B.I ı// B.bI "/ Opmerking 1.18 Als n D 1; dn is B.I r/ gelijk n r; Cr Œ ; het open intervl bestnde uit de punten x 2 R met r < x < C r: Met behulp vn de bolnottie kn de uitsprk (1.6) herschreven worden ls de volgende gelijkwrdige bewering, wrbij we de nottie D D Dom.f / gebruiken, f.d \ B.I ı// B.bI "/: (1.8) Zie Figuur 1 voor een visulistie vn deze uitsprk. Volledigheidshlve tonen we de gelijkwrdigheid vn de uitsprken (1.6) en (1.8) n. Veronderstel eerst dt (1.6) geldt en lt x 2 D \ B.I ı/ willekeurig zijn. Dn geldt x 2 D en d.x; / < ı: Er volgt dt d.f.x/; b/ < " ofwel f.x/ 2 B.bI "/: Hiermee is ngetoond dt x 2 D \ B.I ı/ ) f.x/ 2 B.bI "/; dus (1.8). We hebben ngetoond dt (1.6) ) (1.8). Om de omgekeerde implictie n te tonen veronderstellen we dt (1.8) geldt. Lt x 2 D en d.x; / < ı: Dn is x 2 D\B.I ı/; dus f.x/ 2 f.d\b.i ı// B.bI "/; dus d.f.x/; b/ < ": Hiermee is ngetoond dt uit x 2 Dom.f / en d.x; / < ı volgt dt d.f.x/; b/ < "; dus (1.6) geldt. We hebben ngetoond dt (1.8) ) (1.6). Uit de geldigheid vn de twee genoemde implicties volgt dt de beweringen (1.6) en (1.8) gelijkwrdig zijn. De definitie vn limiet kn derhlve ook ls volgt geformuleerd worden. Definitie 1.12 Lt f W R n! R m een functie zijn, en 2 R n en b 2 R m punten. Dn betekent dt voor iedere " > 0 een ı > 0 bestt zo dt lim f.x/ D b x! f.dom.f / \ B.I ı// B.bI "/:
10 HOOFDSTUK 1. LIMIETEN EN CONTINUÏTEIT Opmerking 1.19 Er kn zich de merkwrdige situtie voordoen dt een functie f W R n! R m meer dn één limiet heeft voor x! : Dit gebeurt ls er een ı > 0 bestt zo dt B.I ı/ \ Dom.f / D ;: Bewering: Veronderstel dt er een ı > 0 bestt zo dt B.I ı/ \ Dom.f / D ;: Dn geldt voor elke b 2 R m dt lim x! f.x/ D b: Bewijs: Zij b 2 R m willekeurig en zij " > 0 willekeurig. Kies ı > 0 zo dt B.I ı/ \ Dom.f / D ;: Dn geldt f.dom.f /\B.I ı// D f.;/ D ; B.bI "/: Dus lim x! f.x/ D b; wegens Definitie 1.12. Als er een ı > 0 bestt zo dt B.I ı/ \ Dom.f / D ; dn heeft ieder punt x 2 Dom.f / een fstnd minstens ı tot het punt I deze situtie is in de prktijk totl oninteressnt voor het nemen vn een limiet. Sommige uteurs eisen drom in de definitie vn limiet dt de bovenstnde situtie zich niet voordoet. Dit grndeert wel de eenduidigheid vn de limiet, zols in het onderstnde zl blijken. Definitie 1.20 Zij A R n : Onder een limietpunt vn A verstn we een punt 2 R n met eigenschp dt voor lle ı > 0 geldt: B.I ı/ \ A ;: De verzmeling vn lle limietpunten vn A heet de fsluiting vn A; en wordt genoteerd met A: Opmerking 1.21 Uit de bovenstnde definitie volgt dt ieder punt vn A een limietpunt vn A is; dus A A: Het volgende resultt drukt uit dt lim x! f.x/ hoogstens één wrde kn hebben ls een limietpunt vn Dom.f / is. Lemm 1.22 (Eenduidigheid vn de limiet) Zij f W R n! R m een functie, en een limietpunt vn Dom.f /: Veronderstel dt b; c 2 R m en dt Dn b D c: lim f.x/ D b en lim f.x/ D c: x! x! Bewijs: Zij " > 0 willekeurig. Dn bestn er ı 1 > 0 en ı 2 > 0 zo dt voor x 2 Dom.f / geldt: d.x; / < ı 1 ) d.f.x/; b/ < " 2 en d.x; / < ı 2 ) d.f.x/; c/ < " 2 : Zij ı D min.ı 1 ; ı 2 /: Dn is ı > 0: Angezien een limietpunt vn Dom.f / is, bestt er een x 2 B.I ı/ \ Dom.f /: Voor deze x geldt d.x; / < ı 1 en d.x; / < ı 2 ; dus: d.b; c/ d.b; f.x// C d.f.x/; c/ < " 2 C " 2 D ": Het reële getl d.b; c/ is niet-negtief en voldoet wegens het bovenstnde n d.b; c/ < " voor elke " > 0: Hieruit volgt dt d.b; c/ D 0; dus b D c:
1.3. REKENREGELS VOOR LIMIETEN 11 Opmerking 1.23 In het bovenstnde bewijs is het gegeven dt 2 Dom.f / ook ddwerkelijk gebruikt. Het is in het lgemeen verstndig om te controleren of in een bewijs ook lle voorwrden gebruikt zijn. G n dt in het bovenstnde bewijs lle eigenschppen ()-(c) uit Lemm 1.10 gebruikt zijn, mr geen ndere eigenschppen. 1.3 Rekenregels voor limieten In deze prgrf behndelen we rekenregels die het ons mogelijk zullen mken tl vn limieten te berekenen. Lemm 1.24 (Eenvoudige limieten) () Zij f W R n! R m een functie die constnt is, d.w.z., er bestt een c 2 R m zo dt f.x/ D c voor lle x 2 Dom.f /: Dn geldt, voor elke 2 R n ; dt lim x! f.x/ D c: (b) Zij 2 R n : Dn is lim x! x D : Bewijs: Het bewijs bestt uit het controleren dt n de definitie voldn wordt. Formuleer het bewijs zelf. Zijn f; g W R n! R m functies, dn definiëren we de functie f C g W R n! R m door.f C g/.x/ D f.x/ C g.x/;.x 2 Dom.f / \ Dom.g//: Het domein vn de functie f C g wordt dus gegeven door Dom.f C g/ D Dom.f / \ Dom.g/: Lemm 1.25 (Somregel) Lt f W R n! R m en g W R n! R m functies zijn, en 2 R n en b; c 2 R m punten. Als lim f.x/ D b en lim g.x/ D c dn lim.f.x/ C g.x// D b C c: x! x! x! Bewijs: Veronderstel dt lim x! f.x/ D b en lim x! g.x/ D c: Zij " > 0 willekeurig. Dn bestt er een ı 1 > 0 zo dt voor x 2 Dom.f / met d.x; / < ı 1 geldt kf.x/ bk < " 2 : (1.9) Tevens bestt er een ı 2 > 0 zo dt voor x 2 Dom.g/ met d.x; / < ı 2 geldt kg.x/ ck < " 2 : (1.10) Neem ı WD min.ı 1 ; ı 2 / en lt x 2 Dom.f C g/ voldoen n d.x; / < ı: Dn is x 2 Dom.f / en d.x; / < ı 1 ; dus (1.9) geldt. Voorts is x 2 Dom.g/ en d.x; / < ı 2 ; dus (1.10) geldt. Combintie vn (1.9) en (1.10) geeft: k.f.x/ C g.x//.b C c/k D k.f.x/ b/ C.g.x/ c/k kf.x/ bk C kg.x/ ck < " 2 C " 2 D ": Hiermee is bewezen dt voor lle x 2 Dom.f C g/ met d.x; / < ı geldt d.f.x/ C g.x/; b C c/ < ": Dus f.x/ C g.x/! b C c ls x! :
12 HOOFDSTUK 1. LIMIETEN EN CONTINUÏTEIT Voor functies f W R n! R en g W R n! R m definiëren we de functie fg W R n! R m door fg.x/ D f.x/g.x/;.x 2 Dom.f / \ Dom.g//: In het bijzonder is Dom.fg/ D Dom.f / \ Dom.g/: Lemm 1.26 (Productregel) Lt f W R n! R en g W R n! R m functies zijn, en 2 R n ; 2 R; b 2 R m : Als lim f.x/ D en lim g.x/ D b; dn lim f.x/g.x/ D b: x! x! x! Bewijs: Veronderstel dt n de hypothese voldn is. Zij " > 0 willekeurig. Definieer " 0 WD min.1; " 2.1 C kbk C jj/ /: Dn bestt er een ı 1 > 0 zo dt voor x 2 Dom.f / met d.x; / < ı 1 geldt jf.x/ j < " 0 : (1.11) Tevens bestt er een ı 2 > 0 zo dt voor x 2 Dom.g/ met d.x; / < ı 2 geldt kg.x/ bk < " 0 : (1.12) Zij nu ı D min.ı 1 ; ı 2 / en lt x 2 Dom.fg/ voldoen n d.x; / < ı: Dn gelden de schttingen (1.11) en (1.12), en er volgt dt Uit (1.12) volgt ook dt kf.x/g.x/ bk D kf.x/g.x/ g.x/ C g.x/ bk D k.f.x/ /g.x/k C k.g.x/ b/k jf.x/ jkg.x/k C jjkg.x/ bk " 0 kg.x/k C jj" 0.kg.x/k C jj/ ".1 C kbk C jj/ 2 : (1.13) kg.x/k D k.g.x/ b/ C bk kg.x/ bk C kbk < " 0 C kbk 1 C kbk: Combineren we dit met (1.13), dn vinden we dt, voor lle x 2 Dom.fg/ met d.x; / < ı; kf.x/g.x/ bk 1 C kbk C jj " 1 C kbk C jj 2 < ": We concluderen dt f.x/g.x/! b ls x! :
1.3. REKENREGELS VOOR LIMIETEN 13 Opmerking 1.27 Combineren we Lemm s 1.24 () en 1.26, dn vinden we dt, voor f W R n! R m ; 2 R n ; b 2 R m en 2 R; het volgende geldt. Als lim f.x/ D b; dn lim f.x/ D b: x! x! Lemm 1.28 (Quotiëntregel) Lt f W R n! R een functie zijn, 2 R n en 2 R; 0: Als 1 lim f.x/ D ; dn lim x! x! f.x/ D 1 : Bewijs: Veronderstel dt f voldoet n de hypothese. Zij " > 0 willekeurig, en definieer " 0 WD min. jj 2 ; "jj2 2 /: Dn is " 0 > 0 dus er bestt een ı > 0 met de eigenschp dt voor lle x 2 Dom.f / met d.x; / < ı geldt jf.x/ j < " 0 : (1.14) Lt x 2 Dom. 1 / voldoen n d.x; / < ı: Dn geldt (1.14), dus ook f 1 j f.x/ 1 j D f.x/ ˇ f.x/ ˇ < "0 1 jj jf.x/j "jj 2jf.x/j : (1.15) Uit (1.14) volgt ook dt dus jf.x/j D j C.f.x/ /j jj jf.x/ j > jj " 0 1 2 jj; 1 jf.x/j < 2 jj : Combineren we dit met (1.15), dn zien we dt, voor lle x 2 Dom.f / met d.x; / < ı; 1 j f.x/ 1 j < "jj 2jf.x/j < "jj 2 2 jj D ": Hiermee is ngetoond dt 1=f.x/! 1= ls x! : Opmerking 1.29 Combineren we Lemm s 1.26 en 1.28, dn vinden we, met de gegevens vn Lemm 1.26, en ls 0; dt het volgende geldt. Als 1 lim f.x/ D en lim g.x/ D b; dn lim x! x! x! f.x/ g.x/ D 1 b: Voor m D 1 geeft dit de bekende quotiëntregel voor de limiet vn het quotiënt vn twee reëelwrdige functies.
14 HOOFDSTUK 1. LIMIETEN EN CONTINUÏTEIT Ten slotte is er nog een belngrijke rekenregel die het mogelijk mkt limieten vn vectorwrdige functies te herleiden tot limieten vn sclire functies. Is f W R n! R m dn definiëren we de componentfuncties f j W Dom.f /! R; voor 1 j m; door f.x/ D.f 1.x/; : : : ; f m.x//: We schrijven ook wel f D.f 1 ; : : : ; f m /: Lemm 1.30 Lt f W R n! R m een functie zijn, en 2 R n en b 2 R m punten. Dn zijn de volgende beweringen gelijkwrdig. () lim x! f.x/ D bi (b) voor elke 1 j m geldt lim x! f j.x/ D b j : Bewijs: Uit Lemm 1.7 volgt dt voor iedere 1 j m en voor iedere x 2 Dom.f / geldt: jf j.x/ b j j kf.x/ bk mx jf k.x/ b k j: (1.16) Veronderstel nu dt () geldt. Zij 1 j m: Zij " > 0 willekeurig. Wegens () bestt er een ı > 0 zo dt voor lle x 2 Dom.f / met d.x; / < ı geldt dt kf.x/ bk < ": Wegens de eerste ongelijkheid in (1.16) volgt dt voor zulke x ook geldt dt jf j.x/ b j j < ": We concluderen dt lim x! f j.x/ D b j : Dit geldt voor iedere j; dus (b) volgt. Veronderstel nu dt (b) geldt. Wegens Lemm 1.16 geldt voor elke 1 j m dt lim x! jf j.x/ b j j D 0: Wegens de somregel voor limieten, herhldelijk toegepst, volgt dt mx lim jf k.x/ b k j D 0: (1.17) x! kd1 Zij " > 0: Dn bestt wegens (1.17) een ı > 0 zo dt voor lle x 2 Dom.f / met d.x; / < ı geldt: P m kd1 jf k.x/ b k j < ": Wegens de ltste ongelijkheid in (1.16) geldt voor zulke x ook dt kf.x/ bk < ": We concluderen dt () geldt. Voorbeeld 1.31 limiet te beplen kd1 We gebruiken de in het bovenstnde gegeven rekenregels om de volgende lim.x;y/!.0; 2/ 1 y. x C y xy 1 ; x 2 C y2 x C y /: We geven één keer lle detils om precies te lten zien hoe de rekenregels gebruikt worden. Uit Lemm 1.24 volgt dt lim.x; y/ D.0; 2/:.x;y/!.0; 2/ Uit het vorige lemm volgt nu dt lim.x;y/!.0; 2/ x D 0 en lim.x;y/!.0; 2/ Door toepssing vn de productregel leiden we hieruit f dt y D 2: lim.x;y/!.0; 2/ x 2 D 0; lim y 2 D. 2/. 2/ D 4 en lim xy D 0. 2/ D 0:.x;y/!.0; 2/.x;y/!.0; 2/
1.3. REKENREGELS VOOR LIMIETEN 15 Door toepssing vn de somregel vinden we lim x C y D 0 C. 2/ D 2 en lim x 2 C y 2 D 0 C 4 D 4;.x;y/!.0; 2/.x;y/!.0; 2/ en ls we tevens Lemm 1.24 () toepssen, dn vinden we lim xy 1 D 0 C. 1/ D 1:.x;y/!.0; 2/ Door toepssing vn de quotiëntregel vinden we lim.x;y/!.0; 2/ x C y x 2 C y D 2 2 4 D 1 2 en lim.x;y/!.0; 2/ xy 1 x C y D 1 2 D 1 2 : Tenslotte vinden we door toepssing vn het vorige lemm en vn de quotiënt- en de productregel dt 1 lim.x;y/!.0; 2/ y. x C y xy 1 ; x 2 C y2 x C y / D 1 2. 1 2 ; 1 2 / D.1 4 ; 1 4 /: Een ndere belngrijke rekenregel is de substitutieregel. Is f W R n! R m een functie, en B R m een verzmeling, dn is het volledig origineel vn B onder f; nottie f 1.B/; de deelverzmeling vn R n gedefinieerd door f 1.B/ D fx 2 Dom.f / j f.x/ 2 Bg: Is g W R m! R p een tweede functie, dn is de smenstelling g ı f W R n! R p gedefinieerd door g ı f.x/ D g.f.x//;.x 2 f 1.Dom.g///: In het bijzonder is Dom.g ı f / D f 1.Dom.g//: Lemm 1.32 (Substitutieregel) Lt f W R n! R m en g W R m! R p functies zijn, en 2 R n ; b 2 R m en c 2 R p punten. Als lim f.x/ D b en lim g.y/ D c; dn lim g.f.x// D c: x! y!b x! Bewijs: Veronderstel dt f en g voldoen n de hypothesen. Lt " > 0 willekeurig zijn. Er bestt een ı 1 > 0 zo dt g.b.bi ı 1 / \ Dom.g// B.cI "/: Hierbij bestt een ı > 0 zo dt f.b.i ı/ \ Dom.f // B.bI ı 1 /: Veronderstel nu dt x 2 B.I ı/ \ Dom.g ı f /: Dn is x bevt in B.I ı/ \ Dom.f / en f.x/ 2 Dom.g/; dus f.x/ 2 f.b.i ı/ \ Dom.f // \ Dom.g/ B.bI ı 1 / \ Dom.g/; wruit volgt dt g.f.x// 2 B.cI "/: We concluderen dt g.f.x//! c ls x! :
16 HOOFDSTUK 1. LIMIETEN EN CONTINUÏTEIT 1.4 Limieten en ongelijkheden In deze prgrf behndelen we enige resultten die de reltie tussen limietgedrg en ongelijkheden tot onderwerp hebben. Lemm 1.33 (Behoud vn ongelijkheden bij limieten) Lt D R n zijn en een limietpunt vn D: Lt f; g W D! R functies zijn en veronderstel dt lim x! f.x/ D b en lim x! g.x/ D c; met b; c 2 R: Als f.x/ g.x/ voor lle x 2 D; dn geldt ook: b c: Bewijs: Zij " > 0 willekeurig. Dn bestn er ı 1 ; ı 2 > 0 met de eigenschp dt voor elke x 2 D geldt: d.x; / < ı 1 ) f.x/ 2 b "; b C " Œ en d.x; / < ı 2 ) g.x/ 2 c "; c C " Œ : Zij ı D min.ı 1 ; ı 2 /: Dn is ı > 0 en omdt een limietpunt is vn D; is de verzmeling B.I ı/ \ D niet leeg. Kies een x in die verzmeling. Dn geldt f.x/ g.x/: Tevens geldt d.x; / < ı 1 ; dus f.x/ > b ": Ook geldt d.x; / < ı 2 ; dus g.x/ < c C ": We concluderen dt b < f.x/ C " g.x/ C " < c C 2": Hiermee is ngetoond dt voor iedere " > 0 geldt: b < c C 2": We concluderen dt b c: Opmerking 1.34 (Strikte ongelijkheden blijven niet ltijd behouden) Uit de veronderstelling dt f.x/ < g.x/ voor lle x 2 D kn niet geconcludeerd worden dt b < c: Dit blijkt uit het volgende voorbeeld. Zij n D 1 en D D 0; 1 Œ : Dn is D 0 een limietpunt vn D: Lt f; g W D! R gedefinieerd zijn door f.x/ D 0 en g.x/ D x: Dn geldt f.x/ < g.x/ voor lle x 2 D; mr lim x!0 f.x/ D 0 en lim x!0 g.x/ D 0: Lemm 1.35 (Insluitstelling) Lt D R n zijn, en f; g; h W D! R een drietl functies met f.x/ g.x/ h.x/ voor lle x 2 D: Veronderstel dt 2 R n en dt er een 2 R bestt met lim f.x/ D en lim h.x/ D : x! x! Dn geldt ook lim g.x/ D : x! Bewijs: Zij " > 0 willekeurig. Dn bestt er een ı > 0 zo dt voor lle x 2 D met d.x; / < ı geldt f.x/ 2 "; C " Œ en h.x/ 2 "; C " Œ : (Hier is één ı > 0 gekozen om twee schttingen te reliseren. G n wrom dit mg.) Voor lle x 2 D met d.x; / < ı geldt dus ook " < f.x/ g.x/ h.x/ < C"; dus jg.x/ j < ": We concluderen dt g.x/! voor x! :
1.4. LIMIETEN EN ONGELIJKHEDEN 17 1 sin t tn t t 0 1 cos t Figuur 2: Toepssing vn de insluitstelling Voorbeeld 1.36 Als toepssing vn de insluitstelling behndelen we de bekende limiet sin t lim t!0 t D 1: (1.18) We doen dit met meetkundige rgumenten, die uiteindelijk in de nlyse ondergebrcht kunnen worden. In dit stdium kunnen wij dt niet doen, omdt we (nog) niet beschikken over correcte definities vn lengte en oppervlkte. Verder zullen we vrijelijk gebruik mken vn goniometrische formules, hoewel we die strikt genomen eerst zouden moeten fleiden. Zelfs de sinus functie hebben we nog niet gedefinieerd. Dit gezegd zijnde is de volgende redentie toch illustrtief voor de krcht vn de insluitstelling. We beschouwen het punt.t/ D.cos t; sin t/ op de eenheidscirkel in R 2 : Zie Figuur 2. De driehoek D 1.t/ met hoekpunten 0;.t/ en.1; 0/ heeft oppervlkte 1 sin t: De cirkelsector 2 S.t/ tussen de punten 0;.1; 0/ en.t/ heeft oppervlkte opp S.t/ D t 2 r 2 j rd1 D 1 2 t: Tenslotte heeft de driehoek D 2.t/ met hoekpunten 0;.1; 0/ en.1; tn t/ de oppervlkte 1 tn t: 2 Uit de inclusies D 1.t/ S.t/ D 2.t/; voor 0 < t < ; volgt dt 2 sin t t tn t;.0 < t < /: (1.19) 2 Angezien sin t > 0 voor 0 < t < ; volgt uit de eerste ongelijkheid ook dt 2 0 j sin tj jtj: (1.20)
18 HOOFDSTUK 1. LIMIETEN EN CONTINUÏTEIT Omdt sin.t/ D sin. t/; zien we dt (1.20) lgemener geldt voor lle t 2 ; Œ : Met de 2 2 insluitstelling volgt hieruit dt lim sin t D 0: t!0 Uit cos 2 t C sin 2 t D 1 volgt dt sin 2 t D.1 cos t/.1 C cos t/; dus j1 cos tj D j sin tj2 j1 C cos tj j sin tj2 : Door nogmls toepssen vn de insluitstelling vinden we dt lim t!0 j1 cos tj D 0; wruit weer volgt dt lim cos t D 1: (1.21) t!0 Tenslotte volgt uit (1.19), vi deling door sin t; gevolgd door inverse nemen, dt cos t sin t t 1; voor 0 < t < : Alle in de ongelijkheid optredende functies zijn even, dus de ongelijkheid geldt 2 voor lle t 2 ; Œ met t 0: Door gebruik te mken vn (1.21) en de insluitstelling, 2 2 concluderen we tenslotte dt (1.18) geldt. Voorbeeld 1.37 Uit (1.18) en lim x!0 x 2 D 0 leiden we met behulp vn de substitutiestelling f dt sin.x 2 / lim D 1: x!0 x 2 1.5 Continuïteit Met behulp vn het limietbegrip kunnen we het begrip continue functie introduceren. Definitie 1.38 Een functie f W R n! R m heet continu in een punt 2 R n ls 2 Dom.f / en bovendien: lim f.x/ D f./: x! De functie f heet continu op een verzmeling A R n ls f continu is in elk punt 2 A: De functie f heet continu ls hij continu is op Dom.f /: Opmerking 1.39 Als f continu is op A; dn geldt in het bijzonder dt A Dom.f /: Voorbeeld 1.40 Uit de bovenstnde definitie, gecombineerd met Lemm 1.24, volgt dt iedere constnte functie op R n continu is. Tevens is de functie x x; R n! R n continu. De rekenregels voor limieten hebben rekenregels voor continuïteit ten gevolge die we in de volgende stellingen op een rijtje zetten.
1.5. CONTINUÏTEIT 19 Lemm 1.41 Zij f D.f 1 ; : : : ; f m / W R n! R m een functie, en 2 R n een punt. Dn zijn de volgende uitsprken gelijkwrdig. () De functie f is continu in I (b) Voor iedere 1 j m is de functie f j continu in : Bewijs: Dit is een direct gevolg vn Lemm 1.30 en Definitie 1.38. Voorbeeld 1.42 Uit Voorbeeld 1.40 en het bovenstnde lemm volgt dt de coördintfuncties continu zijn. x x j ; R n! R Lemm 1.43 Lt f; g W R n! R m functies zijn en 2 R n een punt. Als f en g continu zijn in ; dn is de somfunctie f C g dt ook. Bewijs: Dit is een direct gevolg vn Lemm 1.25 en Definitie 1.38. Lemm 1.44 Lt f W R n! R en g W R n! R m functies zijn, en 2 R n een punt. () Als f en g continu zijn in ; dn is fg dt ook. (b) Als f continu is in en ls bovendien f./ 0; dn is ook de functie 1=f W x 1=f.x/ continu in : Bewijs: Dit is een direct gevolg vn Lemm s 1.26 en 1.28 gecombineerd met Definitie 1.38. Onder een monomile veeltermfunctie op R n verstn we een functie R n! R vn de vorm f W x cx k 1 1 xk n n met c 2 R en k j 2 N D f0; 1; : : :g; voor 1 j n: Hierbij vtten we xj 0 op ls de constnte functie x 1: Onder een veelterm- of polynomile functie op R n verstn we een eindige som vn monomile veeltermfuncties. Onder een rtionle functie op R n verstn we een functie f W R n! R vn de vorm f W x p.x/ q.x/ ; met p en q veeltermfuncties op R n ; q 0: Het domein Dom.f / vn een dergelijke functie bestt uit de punten x 2 R n met q.x/ 0: In het gevl dt n D 1; is een rtionle functie dus een functie vn de vorm x rx r C r 1 x r 1 C C 0 b s x s C b s 1 x s 1 C C b 0 ; met r; s 2 N; i ; b j 2 R voor 0 i r en 0 j s; en b s 0: Lemm 1.45 Iedere rtionle functie op R n is continu op zijn domein. Bewijs: Dit is een direct gevolg vn de Voorbeelden 1.40 en 1.42 gecombineerd met Lemm s 1.43 en 1.44.
20 HOOFDSTUK 1. LIMIETEN EN CONTINUÏTEIT Opmerking 1.46 De volgende bekende functies R! R zijn continu op hun domein: p x; e x ; log x; sin x; cos x; tn x; rctn x: Men kn precieze definities geven vn deze functies en vervolgens hun continuïteit bewijzen. Wij zullen dt -nu nog- niet doen, en de genoemde functies vrijelijk gebruiken in voorbeelden en opgven. De opbouw vn de nlyse zl echter niet vn het bestn vn deze functies fhngen; lter zl dn de theorie vn de nlyse eventueel gebruikt kunnen worden om de genoemde functies te behndelen. We zullen verderop een pr voorbeelden geven vn hoe dit in zijn werk gt. Met de genoemde rekenregels en de volgende substitutiestelling kn men vele continue functies bouwen. Lemm 1.47 Lt f W R n! R m en g W R m! R p functies zijn. () Is f continu in en g continu in f./; dn is de smenstelling g ı f continu in : (b) Zijn f en g continu op hun domein, dn is ook g ı f continu op zijn domein. Bewijs: () Er geldt dt 2 Dom.f / en f./ 2 Dom.g/; dus 2 Dom.g ı f /: De continuïteit vn g ı f in volgt nu direct uit de substitutieregel voor limieten, Lemm 1.32. (b) Is 2 Dom.g ı f /; dn is 2 Dom.f / en f./ 2 Dom.g/; dus f is continu in en g is continu in f./: Met () volgt nu dt g ı f continu is in : Voorbeeld 1.48 We beschouwen de functie h W R 2! R 2 ;.x; y/. p x C y; sin xy/: Merk op dt h D g ı f; met f W R 2! R 2 ;.x; y/.x C y; xy/; en g W R 2! R 2 ;.u; v/. p u; sin v/: De componenten f 1 ; f 2 zijn veeltermfuncties, dus continu. Met Lemm 1.41 concluderen we dt f continu is. De componenten g 1 en g 2 vn g zijn continu op hun domeinen. Derhlve is g continu op zijn domein Dom.g/ D Dom.g 1 /\Dom.g 2 / D f.u; v/ 2 R 2 j u 0g: We concluderen dt h continu is op zijn domein. De ltste verzmeling bestt uit de punten.x; y/ 2 Dom.f / D R 2 met f.x; y/ 2 Dom.g/; dus Dom.h/ D f.x; y/ 2 R 2 j x C y 0g: 1.6 Toepssing: rekenregels voor differentiëren Met behulp vn het limietbegrip kunnen we de fgeleide vn een functie f W R! R n invoeren en rekenregels voor differentiëren fleiden. Onder een intervl I in R verstn we een verzmeling die voorkomt in de onderstnde lijst: () I D ;I (b) I is een verzmeling vn de vorm Œ; b met ; b 2 R; b: (b) I is een vn de verzmelingen ; b ; Œ; b Œ ; of ; b Œ ; met ; b 2 R; < bi (c) I is een vn de verzmelingen 1; ; 1; Œ ; Œb; 1 Œ ; of b; 1 Œ ; met ; b 2 RI
1.6. TOEPASSING: REKENREGELS VOOR DIFFERENTIËREN 21 (d) I D R: De bovenstnde verzmelingen worden op de gebruikelijke wijze gedefinieerd, dus bijvoorbeeld Œ; b Œ WD fx 2 R j x < bg en 1; b Œ WD fx 2 R j x < bg: Verderop in het dictt zullen we een elegntere definitie vn een intervl geven, zie Definitie 5.1. In de drop volgende stelling wordt dn bewezen dt het zo gedefinieerde begrip intervl overeenkomt met het bovenstnde. In het vervolg veronderstellen we dt I R een intervl is dt meer dn één punt bevt. Definitie 1.49 Zij f W I! R n en 2 I: De functie f heet differentieerbr in ls er een vector v 2 R n bestt met f.x/ f./ lim D v: (1.22) x! x Is dit het gevl, dn wordt de (unieke) limiet v de fgeleide vn f in genoemd, en genoteerd met f 0./ of df./: dx Is f differentieerbr in ieder punt vn I; dn heet de functie x f 0.x/; I! R n de fgeleide vn f; nottie: f 0 of df : dx Opmerking 1.50 Het quotiënt in (1.22) dient gelezen te worden ls f.x/ f./ x D 1 x.f.x/ f.// 2 Rn en heet ook wel het differentiequotiënt vn f in x en : De fgeleide f 0./ wordt ook wel het differentilquotiënt vn f in genoemd. Opmerking 1.51 Angezien lim h!0. C h/ D ; is de uitsprk (1.22) wegens de substitutiestelling voor limieten gelijkwrdig met de uitsprk f. C h/ f./ lim h!0 h D v: (1.23) We kunnen in de bovenstnde definitie de uitsprk (1.22) dn ook vervngen door (1.23). Voorbeeld 1.52 Uit de definitie vn differentieerbrheid volgt direct dt, voor iedere c 2 R n ; de constnte functie f W I! R n ; x c differentieerbr is op I: De fgeleide functie wordt gegeven door d dx c D 0: Uit de definitie volgt tevens direct dt functie x x; I! R differentieerbr is met fgeleide d dx x D 1: Lemm 1.53 Lt f W I! R n differentieerbr zijn in : Dn is f continu in :
22 HOOFDSTUK 1. LIMIETEN EN CONTINUÏTEIT Bewijs: Voor lle x 2 I n fg geldt f.x/ f./ D.x / f.x/ f./ : x Zij f 0 de beperking vn f tot I n fg: Dn volgt met de productregel voor limieten uit het bovenstnde dt lim x! Œf 0.x/ f./ D 0 f 0./ D 0: Hieruit concluderen we dt lim x! f 0.x/ D f./; dus ook lim x! f.x/ D f./: We concluderen dt f continu is in : Lemm 1.54 (Componentsgewijs differentiëren) Zij f D.f 1 ; : : : ; f n / W I! R n een functie en 2 I: De functie f is differentieerbr in dn en slechts dn ls elk vn de functies f i ; voor 1 i n; differentieerbr is in : Is f differentieerbr in ; dn geldt f 0./ D.f 0 1./; : : : ; f 0 n.//: Bewijs: Dit is een direct gevolg vn Lemm 1.30 en Definitie 1.49. Wegens de hierboven beschreven reductie tot componenten beperken we ons hieronder tot sclire functies. Lemm 1.55 Lt f; g W I! R differentieerbr zijn in 2 I I zij 2 R: Dn zijn ook de functies f C g; fg en f differentieerbr in : Voorts geldt () (b) (c).f C g/ 0./ D f 0./ C g 0./I.fg/ 0./ D f 0./g./ C f./g 0./I.f / 0./ D f 0./: Is bovendien g./ 0; dn is ook de functie f =g differentieerbr in ; en er geldt: (d) f 0./ D f 0./g./ f./g 0./ : g g./ 2 Bewijs: Het bewijs berust op de rekenregels voor limieten. Allereerst merken we op dt Œf C g. C h/ Œf C g./ h D f. C h/ f./ h C g. C h/ g./ ; h voor h 2 R n f0g met C h 2 I: De beide differentiequotiënten in het rechterlid hebben limieten f 0./ respectievelijk g 0./ voor h! 0: Met de somregel voor limieten volgt dt het differentiequotiënt in het linkerlid voor h! 0 de limiet f 0./ C g 0./ heeft. Hieruit volgt dt f C g differentieerbr is in met formule () voor de fgeleide.
1.6. TOEPASSING: REKENREGELS VOOR DIFFERENTIËREN 23 We beschouwen nu het differentiequotiënt voor de functie fg; voor h 2 R n f0g met C h 2 I W.fg/. C h/.fg/./ D h f. C h/g. C h/ f./g./ D h f. C h/g. C h/ f./g. C h/ f./g. C h/ f./g./ D C h h f. C h/ f./ g. C h/ g./ D g. C h/ C f./ : h h Wegens Lemm 1.53 is g continu in ; en met de substitutiestelling volgt lim h!0 g. C h/ D g./: Met de rekenregels voor limieten zien we dt de uitdrukking in het ltste lid vn de bovenstnde reeks gelijkheden een limiet heeft voor h! 0; nmelijk f 0./g./ C f./g 0./: Hieruit volgt de differentieerbrheid vn fg in ; met formule (b) voor de fgeleide. De constnte functie x is differentieerbr in met fgeleide 0: Toepssing vn de productregel (b) op de functie f geeft het gewenste resultt, met formule (c). We veronderstellen tenslotte dt g./ 0 en beschouwen eerst de functie 1=g: Uit de continuïteit vn g volgt dt er een ı > 0 bestt zo dt g.x/ 0 voor lle x in het intervl I ı WD I \ ı; C ı Œ: Het differentiequotiënt vn deze functie, voor h 2 R n f0g met C h 2 I ı ; is gelijk n 1 g.ch/ 1 g./ h g. C h/ g./ D h 1 g./g. C h/ (reken n). Zols gezegd geldt lim h!0 g. C h/ D g./: Met de rekenregels voor limieten volgt nu dt het rechterlid vn de bovenstnde identiteit een limiet heeft voor h! 0; nmelijk g 0./=g./ 2 : Hieruit volgt dt 1=g differentieerbr is in met fgeleide 1 0./ D g0./ g g./ 2 Tenslotte merken we op dt f =g D f.1=g/: Toepssing vn (b) en het zojuist fgeleide geeft dt f =g differentieerbr is in met formule (d) voor de fgeleide. We eindigen deze prgrf met een bewijs vn de kettingregel voor het differentiëren vn smengestelde functies. Stelling 1.56 (De kettingregel) Zij f W I! R; 2 R; J R een intervl dt f.i / bevt, en g W J! R: Als f en g differentieerbr zijn in ; respectievelijk f./; dn is g ı f differentieerbr in ; met fgeleide:.g ı f / 0./ D g 0.f.//f 0./:
24 HOOFDSTUK 1. LIMIETEN EN CONTINUÏTEIT Voor het bewijs vn dit resultt ligt het voor de hnd het differentiequotiënt vn de smenstelling te herschrijven ls g.f. C h// g.f.// h D g.f. C h// g.f.// f. C h/ f./ f. C h/ f./ ; (1.24) h en vervolgens op te merken dt lim h!0 f. C h/ D f./ en met de substitutiestelling voor limieten te concluderen dt.g ı f / 0 g.y/ g.f.//./ D lim y!f./ y f./ f. C h/ f./ lim h!0 h D g 0.f.//f 0./: Dit bewijs zou correct zijn ls voor voldoend kleine ı > 0 zou gelden 0 < jhj < ı ) f. C h/ f./ 0; zodt de uitdrukking in het rechterlid vn (1.24) gedefinieerd is. Er is echter geen enkele grntie dt zo n ı bestt. In het gevl dt de functie f constnt is, is dit onmiddellijk duidelijk. Om de hierboven optredende problemen te vermijden geven we een krkterisering vn differentieerbrheid wrbij het differentiequotiënt vermeden wordt. Lemm 1.57 Zij f W I! R n ; 2 I: Dn zijn de volgende uitsprken gelijkwrdig. () De functie f is differentieerbr in : (b) Er bestt een v 2 R n zo dt de functie W R! R n gedefinieerd door.h/ D f. C h/ f./ hv voldoet n k.h/k lim h!0 jhj D 0: (1.25) (c) Er bestt een functie ' W I! R n die continu is in ; en zo dt voor lle x 2 I: f.x/ f./ D.x /'.x/; Is n de bovenstnde condities voldn, dn is de vector v 2 R n in (b) uniek bepld, en gelijk n f 0./: Tevens is de functie ' in (c) uniek bepld, en er geldt dt './ D f 0./: Bewijs: Stel dt () geldt en neem v D f 0./: Dn geldt voor h 2 R n f0g met C h 2 I dt.h/ h f. C h/ f./ D v: h Wegens de definitie vn differentieerbrheid heeft de uitdrukking in het rechterlid limiet f 0./ v D 0 voor h! 0: Hieruit volgt dt lim h!0 jhj 1 k.h/k D lim h!0 kh 1.h/k D 0; wrmee (b) is ngetoond.
1.6. TOEPASSING: REKENREGELS VOOR DIFFERENTIËREN 25 Stel dt (b) geldt. We definiëren de functie ' W I! R n door '.x/ D f.x/ f./ x ls x ; v ls x D : (1.26) Dn volgt uit het gegeven dt '. C h/ v D.h/ h (1.27) voor h 2 Rnf0g met Ch 2 I: Uit (1.25) volgt dt lim h!0 kh 1.h/k D 0; dus lim h!0 h 1.h/ D 0; dus het linkerlid vn (1.27) heeft limiet 0 voor h! 0: Met behulp vn de substitutiestelling volgt hieruit dt lim x! '.x/ D v D './; dus ' is continu in : Veronderstel tenslotte dt (c) geldt. Schrijf ' 0 voor de beperking vn ' tot I n fg: Dn volgt uit de continuïteit vn ' in direct dt f.x/ f./ lim x! x D lim x! ' 0.x/ D './; (1.28) dus f is differentieerbr in met fgeleide f 0./ D './: We hebben ngetoond dt (), (b) en (c) gelijkwrdig zijn. Veronderstel nu dt ()-(c) gelden, dn rest ons n te tonen dt ' en v uniek bepld zijn. Uit (c) volgt dt de beperking ' 0 vn ' tot I n fg uniek bepld is. Anderzijds volgt uit (1.28) dt './ D f 0./: Dus ' is uniek bepld. Als v voldoet n (b), dn voldoet de functie ' gedefinieerd door (1.26) n (c). Hieruit leiden we f dt v D './ D f 0./; dus v is uniek bepld en gelijk n f 0./: Bewijs vn Stelling 1.56: Volgens Lemm 1.57 (c) bestt er een unieke functie ' W I! R; continu in ; en zo dt f.x/ f./ D.x / '.x/;.x 2 I /: Volgens het genoemde lemm geldt './ D f 0./: Schrijf b D f./: Dn bestt er volgens Lemm 1.57 (c) een unieke functie W J! R; continu in b; en zo dt g.y/ g.b/ D.y b/.y/;.y 2 J /: (1.29) Volgens het genoemde lemm geldt.b/ D g 0.b/ D g 0.f.//: Is x 2 I; dn is f.x/ 2 J; dus (1.29) geldt met y D f.x/: Gebruiken we nog dt b D f./; dn volgt, voor lle x 2 I; g.f.x// g.f.// D.f.x/ f.//.f.x// D.x / '.x/.f.x//: Wegens Lemm 1.44 () en Lemm 1.47 is de functie x '.x/.f.x//; I! R continu in : Hieruit volgt wegens Lemm 1.57 dt de functie g ı f differentieerbr is in : Bovendien wordt de fgeleide in gegeven door.g ı f / 0./ D './.f.// D f 0./g 0.f.//:
26 HOOFDSTUK 1. LIMIETEN EN CONTINUÏTEIT 1.7 Appendix: kwdrtische functies Onder een reële kwdrtische functie op R verstn we een functie ' W R! R; gegeven door '.t/ D t 2 C bt C c; (1.30) wrbij ; b; c 2 R gegeven zijn, en 0: Onder een nulpunt vn de functie ' verstn we een punt t 0 2 R met '.t 0 / D 0: Vn het VWO weet u dt het bestn vn nulpunten smenhngt met het teken vn de discrimnt D WD b 2 4c vn ': We vtten de bekende resultten smen in een lemm. Het bewijs vn dit lemm berust op de techniek kwdrt fsplitsen, die u dient te beheersen. Lemm 1.58 De kwdrtische functie ' gegeven door (1.30) heeft tenminste één nulpunt in R dn en slechts dn ls de discrimnt D D b 2 4c voldoet n D 0: () Is D 0 dn worden de nulpunten gegeven door t 12 D b pd in het bijzonder heeft ' precies één nulpunt ls D D 0 en precies twee nulpunten ls D > 0: (b) Is D < 0 en > 0 dn is '.t/ > 0 voor lle t 2 R: (c) Is D < 0 en < 0 dn is '.t/ < 0 voor lle t 2 R: Bewijs: Door kwdrt fsplitsen herschrijven we ' ls volgt (merk drbij op dt 0) '.t/ D t 2 C 2 bt! b 2 b 2 2 C C c 2 2 D Hieruit volgt dt, voor t 2 R; 2 I.t C b 2 /2 D 4 : (1.31) '.t/ D 0 2.t C b 2 2 / D D: (1.32) Heeft ' een nulpunt, dn volgt uit (1.32) dt D een kwdrt is vn een reëel getl, dus D 0: Is omgekeerd D 0; dn is (1.32) te herschrijven ls dus ls '.t/ D 0 t C b 2 D p D 2 ; '.t/ D 0 t D b 2 C p D 2 :