Blok - Vrdigheden ldzijde 0 Dt geldt voor h, len m ; de grfieken zijn symmetrish in de y -s. Die zijn tegengesteld; ijvooreeld g( ) g () De grfiek is symmetrish in de oorsprong. funtie symmetrie in de y-s symmetrie in de oorsprong f - h - l - - n - q - - r - ldzijde g( ) + ( + ) g () dus symmetrish in de oorsprong. k( ) k () dus symmetrish in de oorsprong. 0 + ( ) 0 + m( ) ( ) 7 + 7 ( 7 ) m () dus symmetrish in de oorsprong. 0 ( ) d p( ) 0 + ( ) 0 p () dus symmetrish in de y-s. 0 + voor geen enkele wrde vn is de noemer nul, dus het domein is. f( ) + + + f () + f( ) f () dus de grfiek is puntsymmetrish in de oorsprong (, 0 0) ( p) ( p)( p) p p+ p p p+ ( + p) ( + p) ( + p) ( P + 0p+ )( + p) p + p + 7p + ( ) ( ) ( ) ( 6+ )( ) + 7 + 7 d ( + q) ( + q) ( + q) ( + q+ q )( + q+ q ) q + 8q + q + q + 6 e ( p+ ) p + p + 8p+ 6 f ( q) q 0q + 0q 00q + 6 6 Y 0, X 8X + 0 Vensterinstelling: min 0; m 0; ymin ; ym 0 minimum geeft top (, 8 ) de vertile lijn 8 is de symmetrie-s 8
Blok - Vrdigheden f( 8+ p) ( 8+ p) 88 ( + p) + 0 + 8p+ p 6 8p + 0 p d f( 8 p) ( 8 p) 88 ( p) + 0 8p+ p 6+ 8p + 0 p e f( 8 p) f( 8+ p) implieert een symmetrie-s 8 ldzijde 7 de grfiek vn f heeft symmetrie-s 6 wnt f( 6+ ) f( 6 ) de grfiek vn g heeft symmetrie-s 0 (y-s) wnt g() g( ) de grfiek vn h heeft symmetrie-s wnt h( + ) h( ) d de grfiek vn k heeft symmetrie-s wnt k( + ) k( ) e de grfiek vn l heeft symmetrie-s 0 (y-s) wnt l() l( ) f de grfiek vn m heeft symmetrie-s wnt m( + ) m( ) g de grfiek vn p heeft symmetrie-s wnt p( + ) p( ) h de grfiek vn q heeft symmetrie-s 6 wnt q( + ) q( ) 8 0 f() 7 7 f() 0 + f() 7 f() f( ) + f() + 7 f() punt vn symmetrie is (, ) wnt f( p) + f( + p) punt vn symmetrie is (, 0 ) wnt ( p) + g( + p) 0 punt vn symmetrie is (, 0 ) wnt h( p) + h( + p) 0 d punt vn symmetrie is (, ) wnt k( p) + k( + p) e punt vn symmetrie is (, ) wnt m( p) + m( + p) f punt vn symmetrie is (, 0 ) wnt n( p) + n( + p) 0 8
Hoofdstuk Blok -- Ruimtefiguren Vrdigheden ldzijde 0 Het domein is, wnt de noemer wordt nooit nul. Y ( 8+ ^ X)/( + ^ X) Vensterinstelling: min 0; m 0; ymin ; ym g () f( ) + 8 + 8 + + d f( + ) 8 + + 8 + + + + f( ) 8 + + + ( ) 8 + 8 + + f( + ) dus f( + ) + f( ) f( ) f( ) + wt de puntsymmetrie rond (, ) ewijst. Het domein is wnt de noemer wordt nooit nul. Y 8X /( X ^ + ) Vensterinstelling: min 0; m 0; ymin 0 en ym (, ) en ( 0, 0) en (, ) d p< 0 of p> e domein, 0 en 0, 8 8 f k () 8 h () mits 0 + + + 8
Blok - Vrdigheden Y X /( X ) Vensterinstelling: min 0; m 0; ymin 0 en ym 0 domein, en, of de grfiek vn f is puntsymmetrish rond (, ) ( ) f( ) + + ( + ) f( ) + + + dus f f ( ) ( 8 + + ) ( ) g () f ( ) vertile symptoot: 0 dus of ( + ) d h () f ( + ) + + + + + e de grfiek vn h ontstt uit die vn f door een trnsltie over ten opzihte vn de y-s (vershuiving vn nr links) door het punt (, 0 0) f () 0 0 6 0 p 0 + 0 p f () ( 6 + p ) p f () 0 ls 0 of 6 + p 0 p 0 heeft één oplossing en 6+ pheefthoogstenstwee oplossingen. Dus zijn er in totl hoogstens drie oplossingen. De disriminnt vn 6+ p 0is dn 0. ( 6) p 0 6 p 0dus p d f () 6 + heeft ls symmetrie-s de vertile lijn f ( + ) ( + ) 6 ( + ) + ( + ) + + 6 + + 6 8 8 6 + + + f ( ) + + dus f ( + ) f ( ) 8
ICT - Rklijnen ldzijde f () Er is geen symmetrie in een vertile lijn. Alle rklijnen heen een positief hellingsgetl. Wrshijnlijk (0, 0). d f () e - ldzijde Geruik dt d y om de hellingsgetllen vn de rklijnen te erekenen. d In (0, 0) is de helling 0 en is y 0 de rklijn. In (, ) is de helling en is de vergelijking vn de rklijn y In (, ) is de helling en is de vergelijking vn de rklijn y In (, ) is de helling en is de vergelijking vn de rklijn y In (, ) is de helling en is de vergelijking vn de rklijn y In (, ) is de helling en is de vergelijking vn de rklijn y In (, ) is de helling en is de vergelijking vn de rklijn y d In (, ) is de helling en dus is de vergelijking vn de rklijn y ( ) + Hkjes wegwerken geeft y + en dus y invullen in y geeft de vergelijking y J, dt is ij opdrht d ngetoond. Uit 6, 0, 060 6 volgt 0, 0 0, 060 dus, 00 en y 6, 00, 0 Dus is het snijpunt vn de rklijnen (, 00; 0, ). Op de prool ligt het punt (, 00;, 00 ) (, 00;, 000). Beide punten liggen slehts 0,0000 vn elkr verwijderd. d Voor 8, is de rklijn y 6, 8, 6, 6, 6 en voor 8 is de rklijn y 6 8 6 6 6, Het snijpunt volgt uit 6, 66, 6 6 dus 80, en 0, y 6 80, 6 68, Dus is (, 80; 68, ) het snijpunt vn de rklijnen. Op de prool ligt (, 80; 8, 0 ) ( 80, ; 6, 80). Beide punten liggen slehts 0,00 vn elkr. ldzijde 6 De grfiek vn y + ontstt uit de grfiek vn y door deze omhoog te shuiven. Je vindt de -oördint vn de top door het kwdrt 0 te stellen. De toppen zijn dn: (, 0); (, 0); (, 0 ) en (, ). 8
ICT - Rklijnen y 0 8 7 6 6 7 8 d De rklijn heeft voor deze vier prolen steeds ls vergelijking y y TOP Dus geldt: y 0 ; y ; y en y 0 6 Vnwege symmetrie moet gelden TOP De lijn y is de rklijn n de top dus y TOP Dus is (, ) de top vn de prool. y ( ) De niet-horizontle rklijnen zijn nders. d Onderzoek met de shuifprmeter p of y p( ) p 0, te voldoen. e Onderzoek vn y p( ) + 7 geeft p voldoet. Dn lijkt 7 Het tekenen vn veel rklijnen geeft een eeld vn de prool wrn l deze rklijnen rken. Neem drtoe en stpjes 0,. En plot 0 rklijnen. f () + lijkt te voldoen. Controle: In (, + ) is de helling en is de vergelijking vn de rklijn: y ( ) + Dit kun je herleiden tot y + +, de gegeven fmilie rklijnen. ldzijde 7 86 8 Toenemend stijgend en nr links lijkt er een horizontle symptoot te zijn. Een eponentiële funtie. Plotten vn y p met shuifprmeter p lt zien dt p voldoet. d omhoog ls je let op de symptoot. Mr ook moet de grfiek nr rehts. e Plotten vn y q + met shuifprmeter q lt zien dt q 0, voldoet. Dus is de gezohte funtie f () 0, + + f () In het punt (, ) is de helling en is de formule voor de rklijn y ( ) + Dit kun je herleiden tot y + Kies voor enkele wrden om formules voor meer rklijnen te vinden.
ICT - Rklijnen 0 Rklijnen met in het egin vrij grote positieve hellingsgetllen en hellingsgetllen die positief lijven mr wel steeds kleiner worden. f () y O 6 7 8 0 d omhoog shuiven. e Geruik de shuifprmeter p in y + p Dn lijkt dt f () + voldoet. Voor is de formule niet gedefinieerd. Plotten vn veel rklijnen lt zien om welke grfiek het gt. Drn vind je met de shuifprmeter p in y p ( ) dt p voldoet. Dus is f () ( ) de gezohte funtie. 87
Verdieping - Geluid ldzijde 8 periode π 00π 00 dus één trilling duurt 0,0 seonde frequentie 00 Hertz 00, periode frequentie 0, 00 seonde 0 y 06, sin( 880πt) je leest dn vn y sin( π 0t) diret de frequentie f: 0 Hertz ldzijde Het volume wordt twee keer zo hoog mr de frequentie lijft gelijk. Het volume is lger dn ij opdrht mr de toonhoogte lijft gelijk. De toonhoogte lijft gelijk; het volume vrieert tussen 0 en keer die vn één stemvork. ldzijde 0 B 0, sin( π 0t) B 06, sin( π 760t) B 0, sin( π 00t) y O 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 ( + k) 0 0000 + k 8 dus k 80 oventonen met k > 80 zijn niet meer hoorr Het volume verndert voortdurend en geleidelijk tussen hrd en (zeer) zht. Hertz Het vershil vn de frequenties vn de twee trillingen die de zweving veroorzken. 6 De periode is gelijk mr de vorm is sterk vershillend. De gelijkenis met de lokgolf wordt steeds groter. Alleen de oventonen met even k komen voor. De mplitude gt met + k d y sin+ sin( ) + sin( ) + sin( 7) + sin( ) +... 7 De regelmt nog verder voortzetten levert een zeer goede endering vn de lokgolf. 88
Verdieping - Geluid ldzijde [ ] [ ] voor op [ 0;,] 7 voor op 0; 0, voor op 0, voor op 0;,8 7 y + +... 7 6 8 7 6 De regelmt nog verder voortzetten geeft een zeer goede endering vn de sinusoïde. 6 Pron 6 8 0, geeft P 0, π 70 0, 7 Wtt ron π 70 00 0, 7 π 00r dus r 0, 7 π 00 r 0, 0007 0, 0 m, m 0 0, 7 πr 0 r, 68 0 000 m km 0 0000 πr r 8 km (onrelistish, omdt nog geen rekening gehouden is met energieverlies ) groeiftor 0, ij % fnme per meter Y 0, ^ X 0000 /( πx ) Y 0^ interset geeft r 7 m ; deze uitkomst is relistish! 8