Rise Poortig Lieire Alger e Voortgezette Alyse 6 Afgeleide e itegrl houd: 61 Prtiële fgeleide 6 Differetieerre fucties 63 Prtiële fgeleide v hogere orde 64 Cotiu differetieerre fucties 65 Differetieerre feeldige 66 tegrle et ee preter i de itegrd 67 tegrere over ee copct itervl i 68 tegrere over ee copct itervl i 69 Riesoe 610 Herhlde itegrl 611 tegrere over ee vldeel v type of i 61 Eele toepssige Trefwoorde: 61 Prtiële fgeleide, prtieel differetieerr, 'differetiëre r of r y', ettigregel voor sestellige 6 Rvl of rhypervl de grfie v ee fuctie, fgeleide, grdiët 63 Prtiële fgeleide v hogere orde 64 Cotiu differetieerre fucties, fucties v lsse 65 Differetieerre feeldige, lieire e ffiee feeldige, tri, de fgeleide v ee feeldig i ee put 66 tegrle et ee preter i de itegrd, itegrtievriele, preter, liietee oder het itegrltee, differetiëre oder het itegrltee, prtitie v ee 67 tegrere over ee copct itervl i itervl, de or v ee prtitie, oveso, oderso, itegreerr, itegrtiedoei, itegrd, itegreerrheidscriteriu 68 tegrere over ee copct itervl i, schoelig of vritie, ulverzelig, ij overl cotiu 69 Riesoe, oderitegrl, oveitegrl, geeeschppelije verfijig v prtities, covergete rij prtities 610 Herhlde itegrl 611 tegrere over ee - of y-orl itegrtiedoei, vldeel v type of
61 Toepssige, oweteligslich, oweteligsoppervl, ihoud, ol, cilider, egel, piride
6 Afgeleide e itegrl 61 Prtiële fgeleide - Defiitie Stel f is ee -fuctie et doei V e A( 1, ) is ee iwedig put v V We oee d f prtieel differetieerr i A t de -coördit, weer de liiet f ( 1 h, ) f ( 1, ) li h h0 estt s dt het gevl, d otere deze liiet ls f ( A ) Het getl f ( A) is i feite de fgeleide v de - -fuctie : f (, ) i 1 Evezo oee we f prtieel differetieerr i A t de y-coördit, ls f ( 1, h) f ( 1, ) li h h0 estt e otere deze liiet ls f ( A ) We oee f prtieel differetieerr i y A, weer eide liiete f ( A) e f y ( A) est s f prtieel differetieerr i ieder put A V, d heet f prtieel differetieerr op V [dit houdt i dt V ee ope verzelig is] De prtiële fgeleide v f op V zij d de fucties f ( f ( P) P V ) e f ( f ( P) P V ) y y Operig f (, y) speelt de ' ' i f ee geheel dere rol speelt d de '' i (, y ) Met, y gt f (, y) over i f (, ) e de wrde v f i put ( y, ) is f ( y, ) Mer op dt y de -coördit is v put ( y, ) e de y- coördit O isverstd te vooroe ue we over de eerste e de tweede coördit v (, y) spree ipv over de - e y-coördit We ue f oo de prtiële fgeleide v f t de eerste coördit oee e fgeleide t de tweede coördit Als ltertieve ottie voor fy de prtiële f e f y geruie we oo 1 f resp f Als f (, y) 3 y 5 7y voor, y, d rijge we f (, y) door te 'differetiëre r ', dwz door de fuctie 3 y 5 7y rijge d f (, y) 6y 5 Aloog r y' te differetiëre, wri y ls ee getl wordt eschouwd We - f y (, y ) 3 14 y, ls we 'differetiëre Prtieel differetiëre v ee -fuctie (, y) f (, y) is i feite gewoo differetiëre v de et ehulp v f gedefiieerde - -fucties f (, y) of y f (, y) et vste y resp Dus voor prtieel differetiëre gelde de eede reeregels voor het differetiëre v - -fucties
134 Alyse i - Als de -fucties f e g ee geeeschppelij doei V hee, d zij oo f g, f g e f / g gedefiieerd op V [its oeer 0 ] Zij f e g prtieel differetieerr op V, d geldt dit oo voor f g, f g e f / g ' -ottie' rijge we d i ( f g) i f ig, i ( f g) f i g g i f g i f f ig e i ( f / g) g et i 1 of i Voor de sestellig h g( f ) ( g f ), wri f ee - -fuctie is et prtiele fgeleide 1 f e f e g ee differetieerre - -fuctie, geldt de ettigregel voor 1 e dt gevl (*) 1h g( f ) 1 f e h g( f ) f Vooreeld Stel y 3 f (, y) 5 y 6y D f (, y) 15 y 1y voor (, y) Met 1 (, ) g y y y (, y) \ { O} y resp 3 f (, y ) 10 y 6 y e g(, y) l y rijge we g y (, y ) y y voor Het egrip 'prtiële fgeleide' lt zich eevoudig geerlisere r - - fucties s A( 1,, i,, ) ee iwedig put v V e f ee - -fuctie et doei V, d oee we f prtieel differetieerr i A t de i - coördit, weer de liiet f ( 1,, i h,, ) f ( 1,, i,, ) li h h0 estt s dt het gevl, d duide we deze liiet et f i ( A) of i f ( A ) oee deze liiet de prtiële fgeleide v f i put A t de i -coördit of i de richtig v de i-de coördits Fuctie f heet prtieel differetieerr i A, weer f i A prtiële fgeleide i de richtig v lle coörditsse heeft Ee - -feeldig F ( f1,, f ) heet prtieel differetieerr i A t de i -coördit, weer dit geldt voor l zij copoete e i dt gevl if( A) ( i f1( A),, i f ( A)) Prtieel differetiëre ot i feite eer op het differetiëre v - -fucties, dus voor prtieel differetiëre gelde dezelfde reeregels ls voor het differetiëre v - -fucties 611 s de - -fuctie f prtieel differetieerr op ee geied G e zij lle prtiële fgeleide v f dr gelij 0, d is f costt op G Operig Oo het ogeeerde geldt tuurlij: is f costt op G, d zij de prtiële fgeleide v f dr gelij 0 e
6 Afgeleide e itegrl 135 Bewijs Stel f is prtieel differetieerr op ee geied G, AG e lle prtiële fgeleide v f zij op G gelij 0 edere X G et A verode door ee trplij die geheel i G ligt [zie 513] De eperig v f tot ee lijstu i G, dt evewijdig is et ee coördit-s, is ee costte fuctie Hieruit volgt dt f ( X ) f ( A) 6 Differetieerre fucties s ee - -fuctie f differetieerr i ee put v zij doei, d is de lij y f ( ) f ( ) ( ) de rlij de grfie v f i het put (, f ( )) De fgeleide f ( ) is de richtigscoëfficiët (rc) v deze rlij De grfie v f estt uit de pute (, y) zo dt y f ( ) Stelle we g( ) f ( ) f ( ) ( ) voor, d is de ffiee fuctie g ee zeer goede ederig v de fuctie f op ee leie ogevig (evetueel lierof rechterogevig) v D f ( ) g( ) o( ), dwz er is ee fuctie q zo dt li q( ) 0 e f ( ) g( ) q( ) ( ) voor uit ee ogevig v De grfie v ee - -fuctie f estt uit de pute (,,, y) y f 1 1 1 zo dt (,, ) We ue ( 1,,, y) orter otere ls ( X, y) e schrijve 1 d y f ( X ) ipv y f ( 1,, ) Ee hypervl i, dt iet evewijdig is et de y-s e dt gt door put ( A, f ( A )), heeft ee vergelijig v de vor y f ( A) p ( ) p ( ) Zo' hypervl is de grfie v de 1 1 1 ffiee fuctie g zo dt g( X ) f ( A) p1 ( 1 1 ) p ( ) voor X e we oee dit hypervl het rhypervl de grfie v f i put ( A, f ( A )), weer f ( X ) g( X ) o( X A) Zie de volgede defiitie 61 Defiitie o-syool voor - -fucties f ( X ) g( X ) o( X A) er is ee - -fuctie q zo dt li q( X ) 0 e f ( X ) g( X ) q( X ) X A voor X A X uit ee ogevig v A Operig deze defiitie v f ( X ) g( X ) o( X A) wordt verodersteld dt de fucties f e g gedefiieerd zij op ee ogevig V v A Voor X V \ { A} geldt d q( X ) f ( X ) g( X ) X A De wrde v q( A) doet er iet toe, r we ue er voor zorge dt q cotiu is i A door q( A) li q( X ) 0 te stelle X A de volgede toepssige is g steeds ee ffiee fuctie [Als 1, d oge f e g evetueel llee op ee lier- of op ee rechterogevig v gedefiieerd zij] NB! Voor - -fucties f, g e q heeft f ( X ) g( X ) q( X ) ( X A) gee eteeis, ls 1 Wro?
136 Alyse i f ( X ) g( X ) Opgve Stel f ( X ) g( X ) o( X A) D geldt li 0 e X A X A f ( A) g( A) s de fuctie g ovedie cotiu i A, d is oo f cotiu is A Too dit Bewijs oo: 6 Stel de - -fucties f e g zij gedefiieerd op ee ogevig v A e f ( X ) g( X ) g( A) f ( A) Verder is g cotiu i A e li 0 X A X A D is f cotiu i A e f ( X ) g( X ) o( X A) 63 Defiitie We oee de - -fuctie f differetieerr i put A, weer er ee ffiee - -fuctie g is zo dt f ( X ) g( X ) o( X A) We veroderstelle hierij dt A ee iwedig put v het doei v f is Too : 64 Weer de - -fuctie f differetieerr is i A, d is f cotiu i A Dt de - -fuctie f differetieerr is i A eteet eetudig dt de grfie v f ee rhypervl heeft i put ( A, f ( A )) Dit r(hyper)vl is de grfie v de ffiee fuctie g zo dt f ( X ) g( X ) o( X A) De pute ( X, y) i het rvl voldoe ee vergelijig y f ( A) p ( ) p ( ) 1 1 1 De getlle p1,, p zij hw de richtigscoëfficiëte v het rvl De vor p1 ( 1 1 ) p ( ) y f ( A) v de vergelijig v het rvl lt zie dt vector ON et N ( p1,, p,1) ee orlvector v dit rvl is e dt OR1,, OR et Ri ( Ei, pi ), i 1,,, ee lieir ofhelij stel richtigsvectore v dit vl is De hellig v richtigsvector ORi tov het grodvl y 0 pute 1 v 1 is gelij p i [Dit grodvl estt uit de ( X, y) et y 0 ] We g dt pi gelij is de prtiële fgeleide i f ( A ) Druit volgt dt ee - -fuctie f die differetieerr is i A oo prtieel differetieerr is i A Het ogeeerde hoeft iet te gelde Differetieerrheid is ee veel sterere eigeschp d prtiële differetieerrheid 65 s de - -fuctie f differetieerr i put A e f ( X ) g( X ) o( X A) et g ffie, d is f prtieel differetieerr i A e g( X ) f ( A) f ( A) ( ) f ( A) ( ) voor 1 1 1 X Bewijs Stel f ( X ) g( X ) q( X ) X A, voor X uit ee ogevig v A, et g( X ) f ( A) p ( ) p ( ) e li q( X ) q( A) 0 1 1 1 X A
6 Afgeleide e itegrl 137 Nee X A h Ei ( 1,, i h,, ) D f ( A h Ei ) f ( A) i f ( A) li h0 h g( A h Ei ) g( A) q( A h Ei ) h Ei li li h0 h h0 h pi h li li q( A h Ei ) pi h0 h h0 Uit het ewijs v 65 lijt: 66 Weer f differetieerr is i A e f ( X ) g( X ) o( X A) et g ffie, d is g uie door f e A epld Vooreeld 3 f : (, y) 5y y 3 heeft ls doei, f (, y ) 5 y 3 y, f y (, y ) 10 y e z f (1,) f (1,) ( 1) f y (1,) ( y ) is het rvl de grfie v f i put (1,, f (1,)) De vergelijig v dit rvl ue we oo schrijve ls z 18 14 ( 1) 19 ( y ) of ls z 14 19y 34 [Er is og iet eweze dt f iderdd differetieerr is i put (1,) We zulle lter zie hoe we dit eevoudig ue vststelle] Vooreeld De y f (, y) y - -fuctie f, die wordt gedefiieerd door f (0,0) 0 e voor (, y) (0,0), is prtieel differetieerr i O, r iet differetieerr i O [G dt f (0,0) f (0, 0) 0, terwijl f iet cotiu e dus zeer iet differetieerr is i (0,0) ] Uit het ltste vooreeld lijt dt ee fuctie die prtieel differetieerr is i A, iet differetieerr hoeft te zij i A s de - -fuctie f i put A differetieerr, d heeft f i A de prtiele fgeleide 1 f ( A ),, f ( A ) We oee hier put ( 1 f ( A),, f ( A)) i de fgeleide v f i A Nottie: f ( A) ( f ( A),, f ( A)) Met deze ottie geldt 1 f ( X ) f ( A) f ( A), X A o( X A) of ders gezegd f ( X ) f ( A) f ( A), X A q( X ) X A et li q( X ) 0 y X A De vector Of ( A) et f ( A) ls eidput wordt de grdiët v f i A geoed
138 Alyse i We geve og ee dere rteriserig v differetieerrheid 67 De - -fuctie f is precies d differetieerr i ee iwedig put A v zij doei, weer er ee ffiee fuctie - -fuctie g e ee - - feeldig H is zo dt op ee ogevig v A geldt (i) f ( X ) g( X ) H ( X ), X A e (ii) li H ( X ) 0 X A Bewijs Stel dt op ee ogevig v A geldt f ( X ) g( X ) H ( X ), X A et g ffie e li H ( X ) 0 D f ( X ) g( X ) H ( X ) X A cos X, wri X A X H ( X ) O( X A) Stel q( X ) H ( X ) cos X D geldt li q( X ) 0 X A f ( X ) g( X ) q( X ) X A ofwel f is differetieerr i A De dere richtig v de equivletie is wt lstiger Stel f is differetieerr i A D f ( X ) g( X ) q( X ) X A, voor X uit ee ogevig V v A, et g ffie e li q( X ) 0 We ue q( X ) X A schrijve ls H ( X ), X A, X A wri H ee - -feeldig is zo dt li H ( X ) 0 Stel dt H ( h1,, h ) X A D geldt li H ( X ) 0 li h ( X ) 0, voor i 1,, Verder X A X A H ( X ), X A h ( X ) ( ) h ( X ) ( ) 1 1 1 i e Voor X V \ { A} geldt 1 1 q( X ) q( X ) q( X ) 1 1 1 1 Met gerui v i i ( i i ) sig( i i ) rijge we u voor i 1,, X V \ { A} e q( X ) X A h ( X ) ( ) h ( X ) ( ) 1 1 1 1 1 sig( i i ) q( X ) X A hi ( X ) et G dt X A 1 1 Dus hi ( X ) q( X ) Dt eteet dt li h ( X ) 0 Verder voldoet H oo (i) Dree zij we lr X A i
Gevolg: 6 Afgeleide e itegrl 139 68 De - -fuctie f is precies d differetieerr i ee iwedig put A v zij doei, weer er ee - -feeldig is zo dt op ee ogevig v A geldt (i) f ( X ) f ( A) ( X ), X A e (ii) is cotiu i A s f differetieerr i A, d ( A) f ( A) Operig Als 1, d vide we ee eed differetieerrheidscriteriu voor - -fucties terug [ vlt het iproduct se et het gewoe product] Bewijs Defiieer H door ( X ) ( A) H ( X ) e g( X ) f ( A) ( A), X A D is g ffie, f ( X ) g( X ) H ( X ), X A e li H ( X ) 0 Adere forulerige v 67 e 68 zij X A 69 De - -fuctie f is precies d differetieerr i ee iwedig put A v zij doei, weer f ( X ) g( X ) h ( X ) ( ) h ( X ) ( ), 1 1 1 voor X uit ee ogevig v A, et g ffie e wri h 1,, h - -fucties zij zo dt li h ( X ) 0 voor i 1,, resp X A i 610 Ee - -fuctie f is precies d differetieerr i ee iwedig put A v zij doei, ls er - -fucties 1,, zij, gedefiieerd op ee ogevig V v A e cotiu i A, zo dt voor X V f ( X ) f ( A) ( X ) ( ) ( X ) ( ) 1 1 1 s f differetieerr i A, d ( A) f ( A) voor i 1,, Eele reeregels voor de fgeleide i i 611 Zij de - -fucties f e g differetieerr i A, d geldt dit oo voor de fucties f g e c f ( c ) dt gevl ( f g) ( A) f ( A) g( A) e ( c f ) ( A) c f ( A) Bewijs Stel c, f ( X ) f ( A) ( X ), X A, g( X ) g( A) ( X ), X A et e cotiu i A D ( f g)( X ) ( f g)( A) ( )( X ), X A e ( c f )( X ) ( c f )( A) ( c )( X ), X A et e c cotiu i A Dus f g e c f zij differetieerr i A e ( f g) ( A) f ( A) g( A), ( c f ) ( A) c f ( A)
140 Alyse i Verder geldt de volgede ettigregel: 61 (ettigregel) s de - -fuctie f differetieerr i A e is de - - fuctie g differetieerr i f ( A ), d is de sestellig h g f ee - - fuctie die differetieerr is i A e er geldt h( A) g( f ( A)) f ( A) Operig Met 1 geeft dit de ettigregel voor - -fucties Bewijs Stel de - -fuctie f is differetieerr i A e de - -fuctie h is differetieerr i f ( A ) D is er ee - -feeldig zodt voor X uit ee ogevig v A geldt f ( X ) f ( A) ( X ), X A et cotiu i A e ( A) f ( A) Oo is er ee - -fuctie zo dt voor y uit ee ogevig v f ( A) geldt g( y) g( ) ( y) ( y ) et cotiu i e ( ) g( ) g( f ( A)) Voor y f ( X ) geeft dit d g( f ( X )) g( f ( A)) ( f ( X )) ( f ( X ) f ( A)) et f ( X ) f ( A) ( X ), X A We rijge zo ofwel g( f ( X )) g( f ( A)) ( f ( X )) ( X ), X A h( X ) h( A) ( f ( X )) ( X ), X A et ( f ( X )) ( X ) cotiu i A Dus h is differetieerr i A e Gevolg: h( A) ( f ( A)) ( A) g( f ( A)) f ( A) 613 Productregel e quotiëtregel Zij de - -fucties f e g differetieerr i A, d zij oo de fucties f g e f / g differetieerr i A [ij dit ltste oete we tuurlij veroderstelle dt g( A) 0 ] gevl v differetieerrheid geldt ( f g) ( A) f ( A) g( A) f ( A) g( A) e f f ( A) g( A) f ( A) g( A) ( A) g ( g( A)) Bewijs De eerste ewerig volgt uit de vorige twee stellige et ehulp v f g 1 f g f g (( ) ) Wt etreft de tweede ewerig: we ewijze eerst dt 1 / g differetieerr is i A, weer g( A) 0
6 Afgeleide e itegrl 141 Als g differetieerr is i A, d is g cotiu i A, dus ls g( A) 0, d g( X ) 0 voor X uit ee ogevig v A Er geldt 1 / g( X ) h( g( X )) et h( y) 1/ y Volges ettigregel 61 is 1 / g dus differetieerr i A D is oo f / g f (1/ g) differetieerr i A Uit de reeregels voor de prtiële fgeleide volgt teslotte dt voor i 1,, e dus e ( f g)( A) f ( A) g( A) f ( A) g( A) e i i i f i f ( A) g( A) f ( A) i g( A) i ( A) g ( g( A)) ( f g) ( A) f ( A) g( A) f ( A) g( A) f f ( A) g( A) f ( A) g( A) ( A) g ( g( A)) Dree is het gestelde eweze Operig Uit 611 e 61 volgt dt - -fucties et eleetire opouw differetieerr zij, weer ij het toepsse v stp (iii) i 5151 v f r f g f v de - -fuctie g geëist wordt dt g differetieerr is op het erei v i f i De coörditfucties 1,, op zij sowieso differetieerr op Het toepsse v stp (ii) leidt v differetieerre fucties r differetieerre fucties Ee roe K (( 1 ( t),, ( t)) t ) i is differetieerr i c, weer l zij copoete differetieerr zij i c e d K( c) ( 1 ( c),, ( c)) K( t) K( c) e K( c) li [Zie 510] Hieruit volgt eevoudig dt K differetieer- tc t c r is i c precies d, weer er ee cotiue - -feeldig is et doei zo dt K( t) K( c) ( t) t c voor t, t c s dt het gevl, d geldt K( t) K( c) ( t c) ( t) et ( c) K( t) Dit geruie we i het ewijs v de volgede ettigregel 614 (ettigregel) s de roe K (( 1 ( t),, ( t)) t ) differetieerr i c e de - -fuctie f is differetieerr i het put A K( c), d is de segestelde - -fuctie f K differetieerr i c e er geldt ( c) f ( A) ( c) f ( A) ( c) f ( K( c)), K ( c) 1 1 Operig Met 1 is dit weer de ettigregel voor - -fucties i
14 Alyse i Bewijs Stel K e f voldoe de voorwrde e A K( c) D is er ee - -feeldig zo dt K( t) K( c) ( t c) ( t) et cotiu op e ( c) K( t) Verder is er ee - -feeldig zo dt f ( X ) f ( A) ( X ), X A et cotiu i A e ( A) f ( A) Met X K( t) rijge we d f ( K( t)) f ( K( c)) ( K( t)), K( t) K( c) wri K( t) K( c) ( t c) ( t) Dt geeft f ( K( t)) f ( K( c)) ( K( t)), ( t) ( t c) ofwel f ( K( t)) f ( K( c)) q( t) ( t c) et q( t) ( K( t)), ( t) voor t De - -fuctie q is cotiu i c, dus de sestellig f K is differetieerr i c e heeft dr q( c) f ( K( c)), K( c) ls fgeleide Operig Het elg v deze ettigregel is voorl theoretisch Bij cocreet gegeve f e K ue we ( t) seller rechtstrees ereee Nee ijv y f (, y) e et 3 cos t, y t D ( t) e 3 t cos t e dus t 3 cos t 3 ( t) e (3t cos t t cost si t) G dt gerui v ettigregel 614 hetzelfde resultt geeft We oee de - -fuctie f differetieerr op V, ls f differetieerr is i ieder put v ee ope verzelig U die V ovt eder put v V is d ee iwedig put v U het gevl 1 oee we ee - -fuctie f et doei [, ] differetieerr op [, ], ls f differetieerr is op, e rechts- resp lisdifferetieerr is i resp Door voortzettig vi de rlije i (, f ( )) resp (, f ( )) de grfie v f ue we f eevoudig uitreide tot ee fuctie die differetieerr is op ee ope itervl p, q dt [, ] ovt Aloog voor fucties et doei [,, [,, ezovoort
6 Afgeleide e itegrl 143 Bij ee - -fuctie f wordt st de ccetottie f voor de fgeleide oo de d- ottie v geruit, et e i cotete et itegrle Bij differetieerre - -fucties f e g schrijve we i de d-ottie d( f ) ipv f, d( f g) ipv ( f g) etc Voor de sestellig f g schrijve we oo f ( g ), weer dit gee isververstd dreigt op te levere D stelt f ( g) de fuctie f ( g( )) voor e de ettigregel voor - -fucties zou i d-ottie geschreve oete worde ls d( f ( g)) d( f )( g) d( g), r dt is door de vele hjes erg ooverzichtelij Door ee coitie v de d-ottie e de ccetottie rijge we de eer overzichtelije uitdruig d( f ( g)) f ( g) d( g) We spree f dt we i ee product f ( g) d( g) ltijd de fctor die egit et d ltijd ls ltste schrijve, i de eerste fctor geruie we de ccetottie Differetiëre ot d eer op r rechts ewege v de d-opertor Bij priitivere ewege we de d-opertor juist r lis We ue i d( f ( g)) og ee pr hjes espre door de fspr dt we df ( g) ltijd iterpretere ls d( f ( g)) d( f g) e iet ls ( df )( g) f ( g) f g Door ee sptie i d f ( g) ue we evetueel og edrue dt de differetitieopertor iet llee op f, r op het geheel f ( g) etreig heeft De ettigregel voor f ( g) f g wordt et deze fspre geschreve ls d f ( g) f ( g) dg Hjes lijve wel st i d( f g), d( f g), d( f / g) etc Soregel, productregel e quotiëtregel worde i d-ottie geschreve ls d( f g) df dg, d( f g) f dg g df resp f g df f dg d g g Aloog zulle we ij ee roe K (( 1 ( t),, ( t)) t ) die ie het doei v ee - -fuctie f ligt, de sestellig f K oo otere ls f ( 1,, ) Dus f ( 1,, ) stt voor de - -fuctie t f ( 1 ( t),, ( t)) et doei Hier zij 1,, gee getlle, r - -fucties Zij f e K differetieerr, d is oo de sestellig f K differetieerr Fuctie f K f 1 (,, ) is ee - -fuctie e volges ettigregel 614 geldt d( f ( 1,, )) 1 f ( 1,, ) d1 f ( 1,, ) d Vooreeld Stel K (( ( t), y( t)) t [0,1]) is ee roe i het doei v de differetieerre - -fuctie f D d( f (, y)) f (, y) d f (, y) dy Als K [ P Q] ( P t ( Q P) t [0,1]) ee pretriserig is v lijstu PQ, ( t) p t ( q p ), y( t) p t ( q p ) voor t [0,1] e dus d 1 1 1 d( f (, y)) f (, y) ( q p ) f (, y) ( q p ) 1 1 y y
144 Alyse i - Meetudige iterprettie Stel de -fuctie f is differetieerr op ee tweediesiol itervl R De grfie v f R is d het oppervl 3 G {(, y, f (, y)) (, y) R} f i Ee put (, y) R represetere we i door het correspoderede put (, y,0) i het grodvl z 0 e we geruie dezelfde letter voor de pute (, y) e (, y,0) tervl R wordt zo ee rechthoe i het vl z 0 Put (, y, f (, y)) ligt op de verticle lij door put (, y,0) Nee u dt roe X (( ( t), y( t),0) t ) ee differetieerre roe i rechthoe R is 3 Lt V het oppervl zij dt gevord wordt door de verticle lije door de pute v roe X Het verticle oppervl V sijdt de grfie G d i de differetieerre roe f K (( ( t), y( t), f ( ( t), y( t))) t ) Stelle we ( t) f ( X ( t)) f ( ( t), y( t)), d geldt volges ettigregel 614 K( t) ( ( t), y( t), ( t)), wri ( t) 1 f ( ( t), y( t)) ( t) f ( ( t), y( t)) y( t) De rlij i put K( c) K die ij preter t c hoort, heeft OK( c) ls richtigsvector, ls K( c) O Dit geldt ih ls X ( A t P t ) et A R e P O i het vl z 0 dt gevl ligt X op de lij door A et richtigsvector OP Het oppervl V is d ee verticl plt vl door * X dt grfie G f sijdt volges de roe 3 K (( t p, t p, f ( t p, t p )) t ) 1 1 1 1 Kroe X is de projectie v roe K op het grodvl z 0 Het put Q( 1,, f ( 1, )) op K hoort ij preter t 0 De rlij i Q K ij preter t 0 heeft OTP ls richtigsvector, et T K (0) Zie de figuur K(0) ( p, p, f (, ) p f (, ) p ) 1 1 1 y 1 Met P E1 (1, 0,0) is vl V ee verticl vl door A evewijdig et de -s e vide we T T (1,0, f (, )) 1 E1 1 Met P E (0,1,0) is vl V ee verticl vl door A evewijdig et de y-s e vide we T T (0,1, f (, )) E y 1 * P
6 Afgeleide e itegrl 145 De vectore OT1 e OT zij richtigsvectore v het vl W dt i Q de grfie v f rt Rvl W heeft vergelijig z f (, ) f (, ) ( ) f (, ) ( y ) 1 1 1 y 1 lig- Voor willeeurige P( p1, p,0) geldt TP p1 T1 p T Alle vectore OTP ge dus i het richtigsvl OT1 T v W Opgve Met de ottie v hierove: stel K is ee differetieerre roe zo * * dt K G f e Q K Too dt de rlij i put Q K i rvl W ligt s X (( ( t), y( t),0) t ) de (loodrechte) projectie v roe K op het vl z 0, d is de rlij i A X de projectie v de rlij i Q K De iddelwrdestellig voor - -fucties heeft de volgede uitreidig r - -fucties: 615 Middelwrdestellig s de - -fuctie f differetieerr i ieder put v lijstu AB, d is er ee put C tusse A e B zo dt ofwel f ( B) f ( A) f ( C), B A f ( B) f ( A) f ( C) ( ) f ( C) ( ) 1 1 1 (Dit geldt oo og et A B C ) [ het gevl 1 vlt het iproduct se et het gewoe product i e rijge we de iddelwrdestellig voor - -fucties terug] Bewijs Stel f, A e B voldoe de voorwrde e A B Defiieer de - - fuctie et doei [0,1] dv ( t) f ( A t ( B A)) Fuctie is de segestelde fuctie f K et K ( A t ( B A) t [0,1]) K is ee pretriserig v lijstu AB e voor t [0,1] geldt K( t) B A Kettigregel 614 geeft ( t) f ( K( t)), K( t) f ( K( t)), B A Volges de iddelwrdestellig voor - -fucties is er ee 0 c 1 zo dt (1) (0) ( c) (1 0) Met C K( c) A c( B A) eteet dit f ( B) f ( A) f ( C), B A et C tusse A e B Gevolg: 616 s de - -fuctie f differetieerr op ee covee verzelig V e is zij fgeleide f egresd op V, d is f Lipschitzcotiu op V Bewijs Stel V is cove e f ( X ) M voor X V Voor X, Y V f ( X ) f ( Y ) f ( C), X Y M X Y (C tusse X e Y) geldt d
146 Alyse i 63 Prtiële fgeleide v hogere orde - De prtiële fgeleide v ee -fuctie f, ls ze est, zij -fucties, die zelf ogelij oo weer prtieel differetieerr zij s dt het gevl d ue we ij de prtiële fgeleide v de eerste orde f e f de prtiële fgeleide f, f ( f ), f ( f ) e f v de tweede orde vore Mogelij est y y y y yy er oo og prtiële fgeleide v de derde of og hogere orde s pricipe is de volgorde wri we prtieel differetiëre v elg: fy ( A) hoeft iet gelij te y zij f ( A ) Geluig zulle we zie dt i de eeste voor os elgrije gevlle de volgorde v prtieel differetiëre er iet toe doet, i deze gevlle geldt f f Dit is ijvooreeld het gevl ij ee - -fuctie f et ee eleeti- y y re opouw, weer eide prtiële fgeleide f e f v de tweede orde est Too dit door iductie lgs de opouw v de fuctie y - de -ottie schrijve we f ( f ) e f ( f ) ls ( 1 f ) resp 1 y y ( f ) of og orter ls 1, f resp,1 f er overiges eestl iet toe doet] y y y y [let op de volgorde v de idices, die Soortgelije operige gelde t - -fucties et j, i i j j i i, j 631 Voor - -fucties f et ee eleetire opouw geldt f ( f ) ( f ) f ofwel f ( f ) ( f ) f, weer de etroe prtiële fgeleide est j i j i i j i j De - -fuctie f heet l prtieel differetieerr i ee iwedig put A v zij doei, weer lle prtiële fgeleide v de orde v f i A est [d heeft f i A tuurlij oo lle prtiële fgeleide v lgere orde] s V ee ope verzelig e is f l prtieel differetieerr i ieder put v V, d heet f l prtieel differetieerr op V Dt f prtieel differetieerr is op V, houdt i dt f istes eel prtieel differetieerr is op V Opgve Beree fy (, y) e f y (, y) voor f (, y) cos( y) zoder gerui te e v 631 Beree oo 64 Cotiu differetieerre fucties f e f yy We oee ee - -fuctie f cotiu differetieerr i A, ls f prtieel differetieerr is op ee ogevig v A e lle prtiële fgeleide v f zij cotiu i A Fuctie f is cotiu differetieerr op V, ls f cotiu differetieerr is i ieder put v V Dit ltste houdt i dt ieder put v V ee iwedig put v het doei v f is Prtiële differetieerrheid v f i A is iet voldoede o differetieerrheid v f i A te grdere Dt wordt ders weer f cotiu differetieerr is i A
6 Afgeleide e itegrl 147 Cotiue differetieerrheid ipliceert differetieerrheid: 641 s de - -fuctie f cotiu differetieerr i A, d is f differetieerr i A Bewijs Stel de - -fuctie f is cotiu differetieerr i A D is er ee ope itervl et A ls iddelput zo dt f prtieel differetieerr is op e l zij prtiële fgeleide zij cotiu i A Als X, d veride we A et X dv K [ P0 P1 P ] et P0 A e voor 1,, ee we P P 1 ( ) E D is lijstu P 1P evewijdig et de -s e P X Trplij P 0 P 1 P ligt geheel ie e (#) f ( X ) f ( A) ( f ( P1 ) f ( P0 )) ( f ( P ) f ( P 1)) Op ee lijstu evewijdig et de -s zij lle coördite costt et uitzoderig v de -de coördit Stelle we h ( t) f ( P 1 ( t ) E ) voor t [, ], d f ( P ) f ( P 1) h ( ) h ( ) Fuctie f is differetieerr i de richtig v de -s, dus h is ee differetieerre - -fuctie e 1 h ( t) f ( P ( t ) E ) voor t [, ] Uit de iddelwrdestellig voor - -fucties volgt u dt h ( ) h ( ) h ( c ) ( ) voor zeere c [, ] Met c correspodeert het put C op lijstu P 1P zo dt f ( P ) f ( P ) f ( C ) ( ) Dit geldt voor 1,,, dus (#) wordt 1 (*) f ( X ) f ( A) f ( C ) ( ) f ( C ) ( ) 1 1 1 1 Put C wordt [iet uie] epld door X Kies ij iedere X éé zo' C e stel ( X ) f ( C ) Als X A, d C A De prtiële fgeleide f is cotiu i A, dus oo li ( X ) ( A) ofwel is cotiu i A Vergelijig (*) wordt u et X A (**) f ( X ) f ( A) ( X ) ( ) ( X ) ( ) 1 1 1 1,, cotiu i A Volges 610 is f dus differetieerr i A Defiitie De - -fuctie f heet l cotiu differetieerr op V, wri op V lle prtiële fgeleide v de -de orde est e cotiu zij op V Dt houdt i dt oo lle prtiële fgeleide v lgere orde est e cotiu zij op V s f l cotiu differetieerr op V, d zegge we oo dt f v lsse is op V of orter f ( V ) Fuctie f is v lsse op V houdt i dt f cotiu is op V s f oeidig v prtieel differetieerr op V, d otere we dit ls f ( V ) 0 Uit 641 volgt: 64 s f v lsse 1 op V, d is f differetieerr op V
148 Alyse i Oo de volgede stellig ue we ewijze et ehulp v iddelwrdestellig voor - -fucties 643 s f v lsse op V, d j, i f i ( j f ) j ( i f ) i, j f ofwel f ( f ) ( f ) f op V voor i, j 1,, j i j i i j i j [Voor i j is dit vzelfspreed 631 zge we l dt dit geldt voor fucties et eleetire opouw, ls de etroe prtiële fgeleide est] Bewijs Het is voldoede dt we dit voor het gevl ewijze [wro?] Stel f ( V ) et V e A V [A ee iwedig put v V] Uit de cotiuïteit v fy e f y op V volgt li fy ( X ) fy ( A) e li f y ( X ) f y ( A) X A X A Nee u ee geslote itervl [ 1, 1 ] [, ] dt geheel ie V ligt Lijstu AB is ee digol v de rechthoe Kies put B zodig dt 1 1 e Beij u p f (, ) f (, ) f (, ) f (, ) 1 1 1 1 Met ( ) f (, ) f (, ) ue we p et ehulp v de iddelwrdestellig voor - -fucties voor schrijve ls p c ( 1) ( 1) ( 1) ( 1 1) et c1 1, 1 ( f ( c, ) f c, )) ( ) 1 1 1 1 Nogls de iddelwrdestellig toepsse geeft p f c c c, y ( 1, ) ( 1 1 )( ) et Het put C( c1, c ) ligt ie het itervl e p fy ( C ) ( 1 1 )( ) Met ( y) f ( 1, y) f ( 1, y) e tweel toepsse v de iddelwrdestellig voor - -fucties rijge we op soortgelije ier p ( ) ( ) f ( D) ( )( ) et D y 1 1 Hieruit volgt f ( C) f ( D) [door de euze v B geldt ( 1 1 )( ) 0 ] y y Lt put B u ee rij pute B1, B, B3, i V doorlope die r A covergeert De rij B1, B, B3, eplt op de hierove eschreve ier rije C1, C, C3, e D1, D, D 3,, die oo r A covergere Er geldt fy ( C ) f y ( D ) voor, li f ( C ) f ( A) e li f ( D ) f ( A) Dus f ( A) f ( A) y y y y Door iductie volgt eevoudig dt ij f ( V ) et V de volgorde v prtieel differetiëre ij het ereee v de prtiële fgeleide v de orde (of ider) er iet toe doet Voor 6 3 f ( V ) e V geldt ijv f yyzzz fyyzzz op V y y
- 6 Afgeleide e itegrl 149 Opgve s de -fuctie f prtieel differetieerr op ee ogevig v A e zij de prtiële fgeleide f e f dr egresd, d is f cotiu i A Too dit Vooreeld De f (, y) 1 y is gedefiieerd op de eeheidscirel i eeheidsol i - -fuctie 3 y e zij iegeied G De grfie v f is de oveste helft v iclusief de cirel et iddelput O e strl 1 i het vl 3 z 0 De verzelig {(, y,0) y 1} ue we idetificere et het doei v f Put (, y, f (, y)) op de grfie v f ligt verticl ove het put (, y,0) i het grodvl z 0 We g dt f cotiu differetieerr is op het geied G De prtiële fgeleide v f i X (, y) G zij f ( X ) 1 y f ( X ) resp f ( X ) y y 1 y y f ( X ) e zij dr cotiu Fuctie f is dus differetieerr op G De oeer v deze reue is gelij 0, ls y 1, dus f is iet prtieel differetieerr e zeer iet differetieerr op de eeheidscirel Als A G, d heeft het rvl de grfie v f i put Q( 1,, f ( 1, )) de vergelijig z f ( A) f ( A) ( ) f ( A) ( y ) ofwel 1 y 1 y f ( A) ( ) f ( A) ( y ) z f ( A) Dus ON et 1 N,,1 is orlvector v dit rvl e d is f ( A) f ( A) oo OQ f ( A) ON orlvector v het vl dt i Q de eeheidsol rt Dt is eetudig duidelij De fuctie f is iet differetieerr i pute op de eeheidscirel, r uit de eetudige syetrie v de ol lijt dt de grfie v f wel degelij ee rvl heeft i ee put Q( 1,,0) op de eeheidsol OQ is oo i dit gevl orlvector v het rvl Het rvl i Q de ol heeft vergelijig 1 ( 1 ) ( y ) 0 e is ee verticl vl
150 Alyse i 65 Differetieerre - -feeldige De eerder voor - -fucties gedefiieerde egrippe prtieel differetieerr resp differetieerr lte zich eevoudig geerlisere r - -feeldige Defiitie Als F ee - -feeldig is et doei V e A is ee iwedig put v V, d oee we F prtieel differetieerr i A t de i -coördit, weer F( A h Ei ) F( A) li h h0 estt s dt het gevl, d duide we deze liiet et F ( A) of F( A) e oee deze liiet de prtiële fgeleide v F i put A t de i -coördit of i de richtig v de i-de coördits Too dt F ( f1,, f ) prtieel differetieerr is i A precies d, weer l zij copoete prtieel differetieerr zij i A s dt het gevl, d F( A) ( f1( A),, f ( A)) voor 1,, Defiitie We oee de - -feeldig F differetieerr i ee iwedig put A v zij doei, weer er ee ffiee - -feeldig G is zo dt F( X ) G( X ) o( X A) Dit ltste eteet dt er ee - -feeldig Q is zo dt li Q( X ) O e F( X ) G( X ) Q( X ) X A voor iedere X uit het X A doei v F s F differetieerr i A, d oee we het lieire deel L v de ffiee feeldig G de fgeleide v F i A, ottie F ( A) Operig Het lieire deel L v ee ffiee - -feeldig G is epld door L( X ) G( X ) G( O) voor X Opgve Too dt F ( f1,, f ) differetieerr is i A precies d, weer l zij copoete differetieerr zij i A Ee lieire - -fuctie is ee fuctie ( X ) 1 1 et doei Er geldt ( O) 0 e ( Ei ) i voor i 1,,, dus [ 1,, ] e de tri v is de 1 tri [ 1 ] Het ligt voor de hd de tri v te idetificere et het put A ( 1,, ) Er geldt ( X ) [ 1 ]( X ) A, X 1 1 voor X Ee ffiee - -fuctie g is ee fuctie g gedefiieerd door g( X ) ( X ) c et lieir e c g( O) s g ffie, d is ( X ) g( X ) g( O) het lieire deel v g Ee - -feeldig is lieir resp ffie ls zij copoete dt zij i i
6 Afgeleide e itegrl 151 s L ( 1,, ) ee lieire - -feeldig et copoete i gedefiieerd door i ( X ) Ai, X, d L( X ) ( A1, X,, A, X ) voor X 1,, A A zij de rije v de tri v L opgevt ls pute v De oloe v deze tri worde gevord door L( E1 ),, L( E ), de - de olo estt uit de coördite v L( E ) verticl oder elr geschreve Met Ar ( r1,, r ) voor r 1,,, is A1, E1 A1, E 11 1 A, E A, E 1 1 de tri v L et A, E i rij r, olo r r Als L( X ) Y, d y1 A1, X 11 1 1 y A, X 1 1 Oo geldt Y L( X ) L( 1E 1 E ) L( E ) L( E ) A A 1 1 1 1 Met ehulp v trices ue we dit overzichtelijer verticl otere ls: y1 11 1 11 1 1 1 y 1 1 1 s F differetieerr i A e F( X ) G( X ) o( X A) et G ffie, d G( X ) F( A) L( X A) wri L het lieire deel v de ffiee - - feeldig G is e L [ 1F( A),, F( A)] De tri v L [ F( A),, F( A)], 1 die we eveees duide et L, wordt gegeve door 1 f1( A) f1( A) L 1 f ( A) f ( A) et i rij r, olo het getl fr ( A) De ffiee - -feeldig G wordt gegeve door G( X ) F( A) F( A) ( ) F( A) ( ) 1 1 1
15 Alyse i De coördite v 1 F( A),, F( A) vore, oder elr geschreve, de oloe v tri L F is differetieerr op V, ls F differetieerr is i ieder put v V Dit ltste ipliceert dt ieder put v V ee iwedig put v het doei v F is Segevt: 651 s de - -feeldig F differetieerr i A, d is de fgeleide v F i A de lieire - -feeldig F( A) [ 1F ( A),, F( A)] e F( X ) F( A) F( A)( X A) o( X A) Hieri stt F( A)( X A) voor de lieire feeldig F( A) toegepst op X A, F( A)( X A) ( ) F( A) ( ) F( A) dus 1 1 1 De prtiële fgeleide 1 F( A),, F( A) zij pute i Als de tri v F( A) ee 1 -tri of ee 1 -tri is, d is het eestl hdig o de fgeleide F( A) iet ls ee lieire feeldig op te vtte Dit hee we i 6 l ged ij - -fucties [zie () hieroder] We e de volgede fspre: () Als de - -feeldig F differetieerr is i, d 1 f1( ) f1( ) F( ) [ 1F ( )] f ( ) f ( ) 1 Dit is de lieire - -feeldig t t ( f1( ),, f ( )) We oge F( ) oo opvtte ls het put ( f1( ),, f ( )) i We idetificere d [ 1F ( )] et 1 F( ) () s de - -fuctie f differetieerr i A, d f ( A) [ f ( A),, f ( A)] 1 Dit is de lieire - -feeldig ( 1,, ) 1 f ( A) 1 f ( A) Als dt eter uitot oge we f ( A) oo opvtte ls het put ( 1 f ( A),, f ( A)) i We idetificere d de fgeleide v f i A et het eidput v de grdiet v f i A e schrijve f ( A), X ipv f ( A)( X ) Het specile gevl 1 vlt zowel oder () ls () s de - -fuctie f differetieerr i, d is de fgeleide f ( ) de lieire fuctie 1 f ( ) et tri f ( ) [ 1 f ( )] Ee 11-tri [ 1 f ( )] idetificere we et het getl 1 f ( ) e ij ee - -fuctie f is 1 f ( ) hetzelfde ls f ( ), dus f ( ) vtte we op ls ee getl
6 Afgeleide e itegrl 153 De lieire feeldig L [ 1F( A),, F( A)] estt oo ls de - - feeldig F iet differetieerr is A, r 'slechts' prtieel differetieerr We oee d L iet de fgeleide v F Het gerui v de ottie F( A) ipliceert dt F differetieerr is i A Bewijs 65 e 653 hieroder: 65 s de - -feeldig F prtieel differetieerr op ee geied G e zij lle prtiële fgeleide v F dr gelij 0, d is F differetieerr op G, F( X ) O voor X G e F is costt op G 653 s de - -feeldig F ( f1,, f ) differetieerr op ee covee verzelig V e zij de fgeleide v zij copoete egresd op V, d is f Lipschitzcotiu op V h geldt: is F cotiu differetieerr op ee copcte e covee verzelig V, d is F Lipschitzcotiu op V Meer over differetieerre - -feeldige i het volgede hoofdstu 66 tegrle et ee preter i de itegrd ee itegrl ls f (, y ) d is de itegrtievriele e we oee d y ee preter v de itegrd 661 (Liietee e differetiëre oder het itegrltee) Stel de - -fuctie f is cotiu op het tweediesiole itervl [, ] [ c, d] D is de fuctie ( y) f (, y) d cotiu op het itervl [ c, d ] (dwz li f (, y ) d li f (, y ) d f (, p ) d y p y p voor p [ c, d] ) Als ovedie de prtiële fgeleide f y ( f ) estt e cotiu is op, d is cotiu differetieerr op [ c, d] e ( y) f y (, y) d Bewijs Stel f is cotiu op [, ] [ c, d] We g dt ofwel li( ( y h) ( y)) 0 voor y [ c, d] h0 li ( y h) ( y) h0 Bij iedere 0 is er ee 0 zo dt f (, y h) f (, y), weer h, wt f is uifor cotiu op het copcte itervl D ( y h) ( y) f (, y h) f (, y) d ( ), ls h Dus is iderdd cotiu op [ c, d ] Stel u dt ovedie f y estt e cotiu is op D ( y h) ( y) ( f (, y h) f (, y)) d h f (, ) y y h d voor zeere 0 1
154 Alyse i Dus Odt stellig ( y h) ( y) ( y) li li f y (, y h) dy h0 h h0 li f y (, y h) dy y (, y ) d h0 f f y cotiu is op, is cotiu op [ c, d] volges het eerste deel v de G dt dit oder voor de hd liggede voorwrde oo geldt ls de itegrd eer d éé preter heeft Schrijve we ( y1,, y ) f (, y1,, y ) d ls orter ( Y ) f (, Y ) d, d li ( Y ) ( P) e y ( Y ) (, ) Y P i y f Y d i Dit erust llel rechtstrees op 661 67 tegrere over ee copct itervl i Stel [, ] [ c, d] e de - -fuctie f is positief op het itervl de figuur hierst zie we 3 V {(, y, z) (, y), 0 z f (, y)} V wordt de ovet egresd door de grfie v f Als fuctie f eplde voorwrde voldoet is het ogelij de ihoud v V te defiiëre Deze ihoud zl oete voldoe de eis dt opp( ) ihoud( V ) M opp( ), ls f (, y) M voor (, y) Er geldt opp( ) ( )( d c) Verder zl de ihoud dditief oete zij Door het itervl op te splitse i ee eidig tl iet-overlppede rechthoejes R1,, R wordt oo V opgesplitst i correspoderede deelverzelige V 1,, V et deze rechthoejes ls grodvle Additiviteit v de ihoud eteet dt d de ihoud v V gelij is de so v de ihoude v V 1,, V Defiitie Met dit i gedchte defiiëre we u de itegrl v ee egresde - f -fuctie f over ee itervl [, ] [ c, d] i het doei v f Er hoeft iet te gelde dt f 0 op Door prtities 0 1 e c y y y d v [, ] resp [ c, d] wordt verdeeld i rechthoejes 0 1 Ri j [ i 1, i ] [ y j1, y j ] Twee verschillede rechthoejes Ri j hee hooguit rdpute geee Ee op deze ier verrege opsplitsig v i ietoverlppede rechthoejes R oee we ee prtitie v i j
6 Afgeleide e itegrl 155 De or v deze prtitie stelle we gelij de grootste dieter v de rechthoejes R i j De oppervlte v rechthoeje Ri j is gelij y ( )( y y ) i j i i1 j j1 De oveso s e de oderso s ij ee prtitie v is de so s M y j1 i1 i j i j resp i j i j, j1 i1 s y wri M sup f ( R ) e if f ( R ) [Bij cotiue f ue we e i j i j i j i leze ipv sup e if] Lt de grootste odergres v lle ovesoe e de leiste ovegres v lle odersoe v f op zij [G dt e est] D oee we f itegreerr op [, ] [ c, d] ls e schrijve ls f i j et itegrtiedoei e itegrd f Als ltertieve otties voor f geruie we oo (, ) (, ) f y d y of ( ) f X dx A d(, y) of dx oet voorlopig gee fzoderlije eteeis gehecht worde Allee de uitdruige f (, y ) d (, y ) e ( ) f X dx ls geheel hee eteeis, ze eteee iets ders d ( f (, y) (, y) ) resp ( f ( X ) X ) 68 tegrere over ee copct itervl i Op soortgelije wijze ls i de vorige prgrf defiiëre we de itegrl v ee - -fuctie f over ee copct itervl [ 1, 1 ] [, ] v Prtities v de itervlle [ 1, 1],, [, ] eple ee prtitie P v, die het itervl opsplitst i deelitervlle R et ee volue vol( R ) 0 De or v deze prtitie stelle we ge- lij de grootste dieter v de deelitervlle oderso s ij prtitie P v is de so s M vol( R ) resp s vol( R ) f R De oveso s e de et dri M sup f ( R ) e if f ( R ) [Bij cotiue f ue we e i leze ipv sup e if] Lt de grootste odergres v lle ovesoe e de leiste ovegres v lle odersoe v f op zij [G dt e est] De getlle e hete oveitegrl resp oderitegrl v f op We schrijve e oo uitvoeriger ls (, f ) resp (, f ) Mer op dt de oveitegrl (, f ) e de oderitegrl (, f ) v f op ltijd est, ls f egresd is op het copcte itervl Er geldt s (, f ) (, f ) s P voor iedere oderso Q s P e oveso s Q ij prtities P e Q v
156 Alyse i We oee fuctie f itegreerr op itervl ls (, f ) (, f ) e schrijve d (, f ) (, f ) (, f ) ls f et itegrtiedoei e itegrd f pv f schrijve we oo f ( 1,, ) d ( 1,, ) of orter ( ) f X dx A d( 1,, ) of dx oet voorlopig gee fzoderlije eteeis gehecht worde, llee de uitdruige f ( 1,, ) d ( 1,, ) e ( ) f X dx ls geheel hee eteeis, ze eteee iets ders d ( f ( 1,, ) ( 1,, ) ) resp ( f ( X ) X ) 681 tegreerrheidscriteriu De egresde - -fuctie f is itegreerr op het copcte itervl precies d weer er ij iedere 0 ee oderso s e ee oveso s estt zo dt s s Operig De ogelijheid s s hierove oge we tuurlij vervge door s s c, wri c ee willeeurig positief getl is Bewijs Stel f is egresd op D est resp s s ee oderso e s ee oveso v f op, d s s s er ij iedere 0 ee oderso s e ee oveso s zo dt s s, d oet gelde Oderso s e oveso s hoeve iet ij dezelfde prtitie v te hore Ogeeerd: is f itegreerr op [, ], d e is er oderso s e ee 1 oveso s e dus s s 1 G : 68 Als fuctie f itegreerr is op het copcte itervl, d is f itegreerr op ieder deelitervl v 683 s fuctie f cotiu op het copcte itervl, d is f itegreerr op Operig Zie oo de uitreidig 685 v deze stellig Bewijs s f cotiu op het copcte itervl, d is f egresd e uifor cotiu op Dit ltste eteet dt er ij iedere 0 ee 0 is zo dt f ( P) f ( Q), ls P, Q e P Q Bij cotiue f zij er i ieder deelitervl R v pute P e Q zo dt f ( P) M f ( R ) e f ( Q) i f ( R ) Nee de or v de prtitie v zo lei dt de fstd v twee pute ie eezelfde deelitervl leier is d D M e voor de ijehorede oveso e oderso geldt s s ( M ) vol( R ) vol( R ) vol( ) Hieruit volgt Dus ee - -fuctie f, die cotiu is op, is itegreerr op Er geldt M di( f ( R )) R
6 Afgeleide e itegrl 157 684 Defiitie Ee verzelig N heet ee ulverzelig i, ls er ee copct itervl is zo dt N e er ij iedere 0 ee prtitie P v estt wrij de deelitervlle R die pute v N evtte, ee gezelije oppervlte hee Stellig 683 geldt oo og ls de pute i wr f iet cotiu is, ee ulverzelig vore We zegge i dt gevl dt f ij overl cotiu is op Wel oete we d epliciet eise dt f egresd is op 685 s de - -fuctie f ij overl cotiu e egresd op het copcte itervl, d is f itegreerr over Bewijs dit et ehulp v het itegreerrheidscriteriu 69 Riesoe Twee prtities P e Q v ee copct itervl [ 1, 1 ] [, ] hee ltijd ee geeeschppelije verfijig Stel P ( P1,, P ), wri P 1,, P prtities v [ 1, 1 ],,[, ] zij, e ide Q ( Q1,, Q ) D is ( P Q,, P Q ) 1 1 de geeeschppelije verfijig v P e Q Bij toeeede fijheid (dwz feede or) v de prtitie ee de ijehorede ovesoe f e de ijehorede odersoe toe (iet oodzelij strit) edere oveso is groter d of gelij iedere oderso Defiitie Ee rij prtities P1, P, P3, v ee copct itervl wri de or v de prtities ij toeeede ide r 0 covergeert, oee we ee covergete rij prtities v Ee Rieso v fuctie f ij ee prtitie P v het copcte itervl is ee so r f ( X ) vol( R ), wri X ee willeeurig geoze eleet v R is e wrij gesoeerd wordt over lle deelitervlle wri P het itervl opsplitst Het is duidelij dt s r s, wri e de oderitegrl e de oveitegrl v f op zij e s e s ee oderso resp oveso ij prtitie P v Aloog de correspoderede stellige voor - -fucties geldt hier: 691 s de - -fuctie f egresd op het copcte itervl e is P1, P, P3, ee covergete rij prtities v, d covergeert de ijehorede rij odersoe r (, f ) e de ijehorede rij ovesoe covergeert r (, f ) R
158 Alyse i Hieruit volgt weer: 69 Stel de - -fuctie f is itegreerr op het copcte itervl e P, P, P, is ee covergete rij prtities v D covergeert de ijehorede 1 3 rij odersoe r f e hetzelfde geldt voor de rij ijehorede ovesoe s r 1, r, r 3, ee rij Riesoe ij P1, P, P3,, d oo li r f De ewijze g et leie pssige wt etreft de diesie op dezelfde ier ls die voor het gevl 1 [Zie ijv AM863 e AM864] Verder geldt: 693 Stel de - -fucties f e g zij itegreerr op het copcte itervl D: (1) Fuctie f g (, ) is itegreerr op e ( f g) f g () Als f g op, d f g o- (3) s de - -fuctie h Lipschitzcotiu op ee geslote itervl dt f ( ) vt, d is oo de sestellig h f itegreerr op,, (4) Fuctie f is itegreerr op e f f (5) Fuctie f g is differetieerr op, (6) Fuctie 1/ f is itegreerr op, ls f ( X ) c 0 voor X Bewijs Oderdeel (1) ewijze we door f e g te schrijve ls de liiet v ee rij Riesoe rp f ( X ) vol( R ) resp sp g( X ) vol( R ) wrij P ee covergete rij prtities P1, P, P3, v doorloopt Oderdeel () volgt uit (1) e het feit dt f 0, ls f 0 op Het ewijs v de dere oderdele gt et ls het ewijs v de loge stellige t - - fucties [zie ijv AM467] Opgve Als f e g itegreerr zij op, d geldt dit oo voor f, f, g, g, 1 ( f, g) e i( f, g ) [ f ( f f ) 1 e f ( f f ) ] Too dit Verder: s f itegreerr op e f ( X ) c 0 voor X, d is oo de fuctie f itegreerr op Oo het ewijs v de volgede stellige gt op dezelfde ier ls dt v de correspoderede stellige voor - -fucties [zie ijv AM865 e AM866]
6 Afgeleide e itegrl 159 694 Fuctie f is itegreerr op het copcte itervl iedere rij Riesoe v f, die hoort ij ee covergete rij prtities v, is coverget 695 Fuctie f is itegreerr op het copcte itervl er is ij iedere 0 ee 0 zo dt rp sq voor ieder tweetl Riesoe r P e s Q v f, die hore ij prtities P e Q v et or leier d 610 Herhlde itegrl De itegrl herhlde itegrl Er geldt: - f v ereed worde dv ee 6101 Fuii s de -fuctie f itegreerr op [, ] [ c, d] e de itegrl ( y) f (, y) d estt voor iedere y [ c, d], d estt oo d d d ( y) dy e f ( y) dy f (, y) d dy c c c d De itegrl f (, y) d dy c is ee herhlde itegrl, er wordt eerst geïtegreerd et ls itegrtievriele e [, ] ls itegrtie-itervl, dr et y ls itegrtievriele e [ c, d] ls itegrtie-itervl A de voorwrde v stellig 6101 is i ieder gevl vold, ls f ij overl cotiu e egresd is op [, ] [ c, d] Bewijs Nee dt er is vold de voorwrde v de stellig Lt P ( P, P ) ee prtitie v het itervl zij die estt uit de prtities y P : e Py : c y0 y1 y d 0 1 v [, ] resp[ c, d ] Voor (, y) Ri j [ i 1, i ] [ y j1, y j ] geldt f (, y) M et M sup f ( R ) e if f ( R ) i j i j i j Voor y j1 t j y j estt de itegrl f (, t j ) d e volges de iddelwrdestellig voor itegrle [zie ijv AM48] is er ee zo i 1 dt i 1 i i j i j i j i f (, t j ) d i j i et i j i j Mi j Er geldt d s y y M y s P i j i j P i j i j i j i j P j1 i1 j1 i1 j1 i1 s u P 1, P, P 3, ee willeeurige covergete rij prtities v et ijehorede odersoe s 1, s, s 3, e ovesoe s 1, s, s 3,, d li s p li s p f e dus oo li p f p p p i j
160 Alyse i A de dere t geldt oo i P i ji y j f (, t j ) d y i 1 j1 i1 j1 i1 Dus j1 P j j j1 f (, t j ) d y j ( t j ) y j, wri y j1 t j y j j1 d ( t ) y is ee Rieso v de itegrl ( y) dy ij de prtitie Py : c y0 y1 y d v het itervl [ c, d ] Druit volgt dt de rij Riesoe 1,, 3, die hoort ij de covergete rij prtities P, P, P, v [ c, d ], covergeert Druit volgt u dt itegreerr is op y,1 y, y,3 d c p f p [Voor ee ewijs zie ijv AM865] [ c, d] e dt ( y) dy li Net ls 6101 e et ee soortgelij ewijs geldt tuurlij: s f itegreerr op d e de itegrl ( ) f (, y) dy estt voor iedere [, ], d estt oo c d ( ) d e f ( ) d f (, y) dy d c Bestt de itegrl f (, y ) d voor iedere y [ c, d] d j c e estt oo de itegrl f (, y ) dy voor iedere [, ], d volgt uit het ovestde dt c d f (, y) d d dy c f (, y) dy d De itegrtievolgorde ij herhld c itegrere doet er d iet toe Operig Als f (, y) 0 voor (, y), d is uit de defiitie v de itegrl, et [, ] [ c, d], duidelij dt deze itegrl (ls hij estt) de ihoud f 3 v V {(, y, z) (, y) e 0 z f (, y)} i voorstelt V wordt de ovet egresd door de grfie v f, die estt uit de pute 3 (, y, z) et (, y) e z f (, y)} Bij ee prtitie v ee itervl [, ] [ c, d] ie het doei v ee - -fuctie f hoort ee oderso d stelt de ter i j i y i 3 f i j i i Als f positief is op, i1 j1 s y i de so s de ihoud voor v het rechthoeige loje et grodvl Ri j [ i 1, i ] [ y j1, yi ] e hoogte i j Bij toeeede fijheid v de prtities wordt de ihoud v V v ie uit ederd door de odersoe v f op Op dezelfde ier wordt de ihoud v V v de uitet ederd door de ovesoe v f op
6 Afgeleide e itegrl 161 Opgve Als (, y) f ( ) g( y), et f itegreerr op [, ] e g itegreerr op [ c, d ], d d (, y) dy d d (, y) d d dy c c ( ) ( ) f d g y dy c Too dit Deze regel t het ijv eevoudig o d (, y) dy d te ereee ls (, y) ee veelter i de vriele e y c is Stellig 6101 lt zich geerlisere tot: 610 Fuii s 1 J ee itervl, de - -fuctie f is itegreerr op [, ] J e de itegrl ( Y ) f (, Y ) d estt voor iedere Y J estt oo ( Y ) dy e f ( Y ) dy f (, Y ) d dy J J J [We veroderstelle hier dt ], d Herhld toepsse v 610 t, weer teles de voorwrde vold is [ijv odt f cotiu is op ], v de itegrl f ee herhlde itegrl 6103 s de - -fuctie f itegreerr op [ 1, 1 ] [, ], d 1 f f ( 1,, ) d 1 d d, weer lle i het rechterlid 1 vooroede itegrle est Hetzelfde geldt ij ee dere itegrtievolgorde 611 tegrere over ee vldeel v type of i 6111 Als de - -fuctie itegreerr is op het itervl [, ], d is zij grfie {(, ( ) [, ]} ee ulverzelig Bewijs Stel is itegreerr op [, ] D is er ij iedere 0 ee prtitie v [, ] et ijehorede oveso s e oderso s zo dt s s Het getl s s is de gezelije oppervlte v de grijze rechthoejes i de figuur hierst De verzelig {(, ( ) [, ]} is de grfie v [, ] Deze grfie wordt volledig overdet door de grijze rechthoejes Hieruit lijt dt {(, ( ) [, ]} ee ulverzelig is
16 Alyse i 1 De verzelig V {(, y), ( ) y ( )} wordt de odere ovet egresd door de grfiee v 1 resp e lis e rechts door verticle lijstue op de lije e [deze lijstue zij evetueel gereduceerd tot pute, ls 1( ) ( ) of 1( ) ( ) We veroderstelle verder dt 1 e itegreerr zij op [, ] e dt 1( ) ( ) voor [, ] De rd v V is d ee ulverzelig Stel u dt de op de copcte verzelig V D defiiëre we de itegrl - -fuctie f cotiu is V f ls volgt: we ee ee willeeurig itervl [, ] [ c, d] zo dt V Lt de fuctie f V et doei gedefiieerd zij dv f (, y) f (, y), ls (, y) V, e fv (, y) 0, ls (, y) V Fuctie f V is d egresd e ij overl cotiu op, dwz ogelij et uitzoderig v ee ulverzelig Druit volgt dt de itegrl V estt We stelle u f fv wrde v f V f V Het g duidelij zij dt de V iet fhgt v het geoze itervl Ee itegrtiedoei ls V oee we ee y-orl itegrtiedoei of ee vldeel v type s ee - -fuctie f cotiu op ee vldeel V v type, d ue we de i- f f V V ereee et ehulp v de herhlde itegrl tegrl c d fv (, y) dy d G dt hieri ( ) f f (, y) dy d V 1( ) 611 tegrl over ee y-orl itegrtiedoei s de - d ( ) f V (, y ) dy f (, y ) dy e dus c 1( ) -fuctie f cotiu op ee y-orl itegrtiedoei V {(, y), ( ) y ( )}, d estt ( ) f f (, y) dy d V 1( ) 1 Aloog heet ee verzelig W {(, y) c y d, ( y) ( y)}, et 1 e V f e 1 itegreerr e 1 op [ c, d ], ee -orl itegrtiedoei of ee vldeel v type Er geldt: 6113 tegrl over ee -orl itegrtiedoei s de - -fuctie f cotiu op ee -orl itegrtiedoei W {(, y) c y d, ( y) ( y)}, d estt d ( y) f f (, y) ddy W c 1( y) 1 Copyright Rise Poortig W f e
6 Afgeleide e itegrl 163 61 Eele toepssige deze prgrf eschouwe we eele itegrle V f wri V ee vldeel v type of is hoofdstu 8 zulle we itegrle over lgeeere itegrtiedoeie i defiiëre Vooreeld Stel V {(, y), 1( ) y ( )}, 1 e eide itegreerr op [, ] Verder f 1, de costte fuctie zo dt f ( X ) 1 voor iedere X D f ( ) 1 dy d ( ( ) 1 ( )) d V 1( ) e wrde v de ltste itegrl hee we eerder geruit o de oppervlte v het itegrtiedoei V te defiiëre Vooreeld De cotiue - -fuctie f heeft [, ] ls doei e f ( ) 0 voor [, ] De grfie v f wetelt op de -s e eschrijft i ee oweteligsoppervl S, dt ee oweteligslich W osluit De pute (, y, z) S et z 0 vore de grfie v ee dt - -fuctie g et doei V G g(, y) ( f ( )) y e V {(, y), f ( ) y f ( )} De oveste helft v W is de verzelig 3 W {(, y, z) (, y) V e 0 z g(, y)} W evt de pute v W et z 0 evt, De ihoud v W is gelij f ( ) g g(, y) dy f ( ) d V, wri (, ) f ( ) g y dy de oppervlte v ee hl- f ( ) ve cirel et strl f ( ) voorstelt Dus het hele oweteligslich W is gelij 1 g ( f ( )) d V e de ihoud v ( f ( )) d Opgve Vooreelde v oweteligsliche zij cilider, ol e egel G dt de ihoud v ee ol et strl r gelij is 4 3 r 3 3 De ihoud v ee egel et ee cirel ls grodvl e ee top loodrecht ove het iddelput v deze cirel heeft ee ihoud 1 opp cirel hoogte De ihoud v ee cilider et 3 ee cirel ls grodvl e ee s loodrecht door het iddelput v deze cirel heeft ee ihoud opp cirel hoogte Opgve De piride OABC heeft driehoe OAB ls grodvl e C ls top Met A(,0,0), B(0,,0) e C(0,0, c ),,, c 0, ligt driehoe ABC ligt i het vl et y z y vergelijig 1, dus z f (, y) c 1 c G dt de ihoud v de piride gelij is 1 c ( 1 grodvl hoogte) 6 3 Copyright Rise Poortig