Getltheore ee troducte 1
Iledg Getltheore s ee v de oudste deelgebede de wskude I het oude Grekeld, Itlë, Id, Ch e og vele dere lde vde we broe v de eerste wskudge de gehele getlle bestudeerde Zo hebbe we Eucldes (65-00 vc) Grekeld, Fbocc (c 1170 - c 150) Itlë, Brhmgut (598-668) e Bhāskr (1114-1185) ls vertegewoordgers v Id e oze Chese vred Su Tzu (c 400 - c 473) met zj lom bekede Chese reststellg De Dutse wskudge Guss beschreef de getltheore ls 'de kog v de wskude', e terecht! Het woderbrljke getltheore s dt ze et, of slechts zelde, steut o dere domee ut de wskude, zols lyse of meetkude Dt mkt hr zo zuver e essete zo eevoudg 'I essete', wt heel wt robleme ut de getltheore zj s heel lt ogelost of zj dt og steeds et Het bewjs v de ltste stellg v Fermt heeft 350 jr o zch lte wchte, tot de Brtse wskudge Adrew Wles 1993 ee bewjs ublceerde Het vermoede v Ctl werd s beweze 00 door oze Roemeese colleg Pred Mhălescu, mr lefst 158 jr dt oze ldgeoot Eugèe Ctl het vermoede 1844 formuleerde Het vermoede v Goldbch, het robleem v Brocrd, het bc-vermoede, het vermoede v Colltz, het robleem v Wrg, het vermoede v Adrc, v Colltz, zj slechts ekele v de tlloze obeweze hyothese e oogeloste robleme Mr voor het olosse v dt soort rdsels s er tuurljk eerst wt kes odg, e we weet k je het leze v deze utgebrede troducte wel het bewjs ee v de hersekrkers o jouw m zette
Hoofdstuk 1 Deelbrhed Deelbrhed s mssche wel het meest essetële begr be de getltheore Het s ee mer om meer formte te creëre over ee getl Deelbrhed lt os toe om de deere betekes v getlle te vde, e te otdekke welke merkwrdge egesche ee getl k hebbe 11 Deler e veelvoud De begre de de bss vorme v de getltheore zj deler e veelvoud Stel e b zj gehele getlle met b 0 Bj delg v door b oeme we het deeltl e b de deler Per defte s deelbr door b ls e slechts ls er ee derde geheel getl k bestt zodt kb We zegge b s ee deler v, s ee veelvoud v b, of kortweg b deelt We otere: b Zo geldt bjvoorbeeld dt 7 1 omdt er ee geheel getl k bestt wrvoor 1 7k, meljk k 3 Ook voor het tegeovergestelde feomee bestt er ee symbool Als et deelbr s door b otere we b Als ee getl ee veelvoud s v oeme we dt getl eve I het dere gevl oeme we het getl oeve Zo s bjvoorbeeld eve, e s 3 oeve Gevolge 1 Ee gevolg s dt 0 deelbr s door elk geheel getl Immers, voor elk geheel getl bestt er ee getl k zodt 0 k, meljk k 0 0 s dus ee eve getl, wt het s deelbr door Als e b ostef zj met 0 e b, d geldt dt b Wt kb, e omdt e b ostef zj s k ook ostef Nu geldt dt b k 3 Als e b ostef zj zodt b e b, d geldt b Wt ut het tweede gevolg wete we dt b e dt b, dus moet oodzkeljk b 4 Als twee osteve getlle e b dezelfde delers hebbe, d zj ze geljk Wt s ee deler v zchzelf, dus omdt geldt d b Om ee loge rede geldt dt b Ut het derde gevolg wete we d dt b Voorbeeld Stel dt b e b c Too dt c Olossg Omdt b c bestt er ee geheel getl k wrvoor c kb Omdt b bestt er ee tweede geheel getl x wrvoor b x Dt vulle we de eerste geljkhed, zodt c kx Dus c s deelbr door, wt er bestt ee geheel getl y wrvoor c y, meljk y kx 1 Lere combte Als x e y gehele getlle zj, oeme we x by ee lere combte v e b Voorbeeld 1 Bewjs dt ls d e d b, d d x by voor lle gehele getlle x e y Olossg Ut d e d b volgt dt md e b d Dus x+by = mdx+dy =(mx+y)d Bjgevolg s x by deelbr door d 13 Rest e quotët Voor lle gehele getlle e b met b 0 bestt er just éé koel gehele getlle ( qr, ) wrvoor qb r e 0 r b q oeme we d het quotët e r de rest v bj delg door b Voor de rest zegge we ook wel modulo b s r e otere we 3
mod b r De voorwrde 0 r b s her v ktl belg, e mg je oot vergete om te cotrolere of ee getl wel de juste rest s Bjvoorbeeld, bj delg v 19 door 6 s het quotët 3 e de rest 1, wt 19 36 1 e 0 1 6 De rest v ee getl bj delg door oeme we ook de rtet v De rtet v ee getl s dus steeds 0 of 1 De rtet v ee eve getl s dus 0, e ee oeve getl heeft rtet 1 Oefeg Bewjs dt het quotët e de rest bj delg v door b uek zj, met b 0 Veroderstel dt er twee quotëte zj met bjbehorede rest, zeg ( q 1, r1 ) e ( q, r ) A Too dt r1 r deelbr s door b B Too dt r 1 e r et bede groter of geljk 0 e kleer d b kue zj Bjgevolg zj rest e quotët uek Oefeg Bel rest e quotët bj delg v A 6 door 10 B 100 door 7 We veroderstelde tot u toe dt de deler ostef moet zj Dt s echter et steeds het gevl Ook voor ee egteve deler defëre we de rest e het quotët, mr d o ee lcht dere mer Voor gehele getlle e b met b 0 defëre we de rest r e quotët q ls de gehele getlle wrvoor qb r, e 0 r b (Merk o dt b ee ostef getl s) Ook her geldt dt de rest e het quotët uek zj Oefeg Bewjs dt het quotët e de rest bj delg v door b uek zj, met b 0 Oefeg Bel rest e quotët bj delg v A 5 door 8 B 50 door 9 We kue de defte u verlgemee Voor lle gehele getlle e b zj de rest r e het quotët q de gehele getlle wrvoor qb r e 0 r b Wt ls b 0 d s b gewoo geljk b e ls b 0 s b geljk b Tot u toe me we dt er steeds ee quotët e ee rest best Dt ljkt tuurljk vzelfsreked mr toch k je dt, ls wskudge, et eme zoder bewjs Sterker og, zo goed ls lles wt her volgt steut ero dt er ee rest e ee quotët bestt Voorbeeld Too dt er voor getlle e b met b 0 ee rest e ee quotët best Olossg Het getl s ee reëel getl Dt lgt dus tusse twee oeevolgede gehele getlle I b symbole, er bestt ee geheel getl q zodt q q 1 Dus bq bq b (merk o dt b we her de voorwrde b 0 gebruke), wt we kue schrjve ls 0 bq b Stelle we u r bq, d hebbe we getlle q e r wrvoor bq r e 0 r b A de twee voorwrde s vold, dus best er ee quotët e ee rest Oefeg Too dt er voor getlle e b met b 0 ee rest e ee quotët best 4
14 Grootste gemee deler Twee gehele getlle hebbe ltjd gemeescheljke delers Zo hebbe 6 e 10 reces 4 gemeescheljke delers, meljk, 1,1, De grootste gemee deler d v twee gehele getlle e b, de et bede 0 zj, s het grootste geheel getl dt ee deler s v zowel ls b We otere ggd(, b) d Bjvoorbeeld: ggd(6,10), ggd(0,5) 5, ggd( 1, 16) 4 Merk o dt het oodzkeljk s dt e b et bede 0 zj, ders zou er gee grootste gemee deler best, wt 0 s deelbr door elk geheel getl groter d 0 De grootste gemee deler v ee wllekeurg tl gehele getlle defëre we loog ls het grootste geheel getl dt ee deler s v elk v de getlle Bjvoorbeeld: ggd(15, 1,3) 3 Merk o dt de grootste gemee deler ltjd ee ostef getl s Als ggd( b, ) 1 d oeme we e b oderlg odeelbr, corem of reltef rem Als,, 1, gehele getlle zj zodt ggd (, j ) 1 voor lle j, d oeme we,, 1, rsgewjs reltef rem Dt beteket et hetzelfde ls ggd( 1,, ) 1 Zo s bjvoorbeeld ggd(,3,9) 1, mr de getlle,3,9 zj et rsgewjs reltef rem wt ggd(3,9) 1 Prsgewjs reltef rem houdt dus dt de grootste gemee deler v elke twee getlle geljk s 1 Voorbeeld 3 Bewjs dt ggd (, b) ggd (, b ) voor elk geheel getl Olossg We toe dt d ee deler s v ggd( b, ) ls e slechts ls d ee deler s v ggd(, b ) Als d ggd(, b ), d d e d b, zodt d 1b- = b-, dus d ggd(, b ) Als d ggd(, b ), d d 1 ( b ) = b dus d ggd(, b ) (Her gebrukte we dus tweeml de egesch v ee lere combte) De getlle ggd( b, ) e ggd(, b ) hebbe dezelfde delers e zj dus geljk, wt dt ws éé v de gevolge v de defte v deelbrhed Omerkg Behlve het fet dt e b et bede ul zj, hdde we her gee ekele beerkede voorwrde voor deze egesch Dt mkt ze heel krchtg, zols je zl merke bj het lgortme v Eucldes 15 Stellg v Bézout Als e b gehele getlle zj s ggd( b, ) te schrjve ls lere combte v e b (Ook her g we erv ut dt e b et bede ul zj Je zl merke dt we zoets lter ook stlzwjged zulle veroderstelle Je mg er dus steeds v ut g dt de beerkede voorwrde vold s) Oefeg Bewjs de stellg v Bézout Noem V de verzmelg v lle lere combtes v e b A Too dt V mstes éé getl bevt dt groter s d 0 Bjgevolg heeft V ee kleste strkt ostef elemet, zeg d Noem q het quotët e r de rest v bj delg door d B Too dt r ee lere combte s v e b C Too dt r 0 We hebbe dus dt d Aloog geldt dt d b d s dus ee gemeescheljke deler v e b Stel dt c ook ee gemeescheljke deler s v e b 5
D Too dt c d, e dt c d Bjgevolg s d de grootste gemee deler v e b, e s de grootste gemee deler te schrjve ls lere combte Gevolge 1 Als c e c b, d c ggd(, b ) Wt c deelt elke lere combte v e b, dus c deelt ook ggd( b, ) ggd( b, ) de klest mogeljke strkt osteve lere combte s v e b Wt ggd( b, ) deelt e b, dus ggd( b, ) deelt elke lere combte x by v e b Bjgevolg geldt dt ls x by 0, d ggd (, b) x by (Dt s het tweede gevolg v de defte v deelbrhed) 3 Elk veelvoud v ggd( b, ) k geschreve worde ls lere combte v e b Stel bjvoorbeeld c k ggd(, b), d s c k( x yb) voor belde getlle x e y, zodt c kx ky b Hermee s c dus ee lere combte v e b Voorbeeld 4 Stel dt ggd( b, ) 1 e bc Bewjs dt c Olossg Omdt ggd( b, ) 1 best er x e y zodt x by 1 Dus xc byc c Omdt bc s bc k D s xc yk c, of dus ( xc yk) c Dus c Omerkg De crucle st dt bewjs ws om de eerste geljkhed lks e rechts te vermegvuldge met c Dt komt ogl ut de lucht gevlle, mr egeljk s het ee logsche zet We wlle meljk bekome dt c, dus c Het s dus erges wel voor de hd lgged dt we c fzodere éé kt v het geljkhedsteke, zoder dt er extr fctore bj st Oefeg Stel dt c, b c e ggd( b, ) 1 Bewjs dt b c Omerkg Deze oefeg e de volgede ljke heel vzelfsreked Je dekt mssche: dt klot toch, zoets moet je toch et bewjze? Iderdd, mr voor ee wskudge k je met tuïte ets bewjze Geef trouwes toe dt ee bewjsje ls het vorge heel moo s ls je het etjes oschrjft e de tuïte chterwege lt Probeer dt dus ook te doe e mk ekel gebruk v egesche de je tot u toe bet tegegekome, zoder zelf egesche te verze Oefeg Stel dt ggd( b, ) 1 Too dt ggd(, c) ggd(, bc) Oefeg Stel d s ee geheel getl A Bewjs dt ggd( d, db) d ggd(, b) Stel u g ggd(, b) b B Bewjs dt ggd, 1 g g Oefeg De stellg v Bézout k worde verlgemeed r meerdere getlle Ook d s de stellg geldg: ls 1,,, gehele getlle zj, d k ggd( 1,,, ) geschreve worde ls lere combte v,, 1, Bewjs deze verlgemeg 6
16 Algortme v Eucldes Het lgortme v Eucldes s ee techek om de grootste gemee deler v twee getlle te bele Het mkt gebruk v het rce ut voorbeeld 3 Als r de rest s bj delg v b door, d geldt dt ggd (, b) ggd (, r) Wt ut voorbeeld 3 wete we dt ggd(, b) ggd(, b ) ook geldt ls het quotët s bj delg v b door E d s b r Om ggd( b, ) te berekee voor gegeve getlle e b met b bereke je de rest r bj delg v b door e je zoekt d ggd (, r) Door dt te herhle bekom je steeds kleere getlle totdt er ggd ( d,0) komt te st D geldt dt ggd (, b) d Zo vde we bjvoorbeeld dt ggd (459,34) ggd (117,34) ggd (117,108) ggd (9,108) ggd (9,0) 9 Deze werkwjze kue we ook otere het zogemde rekeschem v Eucldes Eerst otere we het grootste v de twee getlle lks het mdde e drst het kleste 459 34 Vervolges bele we het quotët bj delg v het grootste door het kleste, 1 Dt otere we bove de deler D berekee we het roduct v het quotët met de deler, 134 34, e dt otere we oder het deeltl 1 459 34 34 D trekke we het bekome roduct f v het deeltl, 459 34 117, e we hebbe de rest 1 459 34 117 34 Dt roces herhle we, met de rest ls euwe deler e de vorge deler ls deeltl 1 459 34 117 108 34 34 We bljve dt herhle totdt er 0 ls rest komt te st 1 1 1 459 34 117 108 9 0 34 34 108 108 De ltste deler, 9, s d de grootste gemee deler Gevolg We hebbe ee mer om de grootste gemee deler v twee getlle te schrjve ls lere combte Dt llustrere we met het bovestde voorbeeld Als we de eerste delg utvoere bekome we dt de rest geljk s 117 1 459 1 34 Dt verschl werke we et ut e lte we zo st 7
Bj de tweede delg vde we ls rest 108 134 117 Her vervge we 117 door 1459 1 34 e we schrjve 108 ls lere combte v 459 e 34, meljk 108 134 117 134 (1 459 134) 3 34 459 We doe hetzelfde voor 9 e we vde 9 1117 1108 1 (1 459 134) 1 (334 459) 3459 4 34 We hebbe 9 dus geschreve ls lere combte v 459 e 34 Omerkg Het zl et steeds odg zj om het rekeschem v Eucldes te gebruke om de grootste gemee deler te schrjve ls lere combte Soms zl je o zcht ee lere combte kue bedeke, mr dt lgortme geeft ee lgemee mer wr je steeds o k vertrouwe Zo s bjvoorbeeld de grootste gemee deler v twee oeevolgede getlle gewoo hu verschl: ggd(8, 9) 19 1 8 E drmee heb je metee ee lere combte Oefeg Too dt je met het lgortme v Eucldes steeds de grootste gemee deler bekomt A Too dt je ee edg tl ste steeds 0 ls rest bekomt B Too dt de voorltste rest ee veelvoud s v de grootste gemee deler C Too dt de voorltste rest ee deler s v elke voorgde rest D Too dt de voorltste rest de grootste gemee deler s 17 Lere dohtsche vergeljkg Ee dohtsche vergeljkg s ee vergeljkg éé of meerdere vrbele wrbj we zoeke r gehele olossge voor de vrbele Ee lere dohtsche vergeljkg s ee vergeljkg v de vorm x by c, wrbj, b e c gehele getlle zj e we olossge gehele getlle zoeke voor x e y Oefeg Vd lle mogeljke olossge v de dohtsche vergeljkg x by c Stel dt zo' dohtsche vergeljkg ee olossg heeft A Too dt ggd(, b) c Ide er ee olossg s, geldt dus dt ggd(, b) c Bjgevolg kue we c schrjve ls lere combte v e b V het rekeschem v Eucldes bele we d getlle x 0 e y 0 zodt x0 by0 c Dt geeft l éé olossg voor x e y Stel u d ggd (, b) Stel dt x e y olossge zj We kue zegge dt x x 0 m e y y 0 B Too dt m b b C Too dt m d kb Bjgevolg s m d k D Too dt d kb k De lgemee olossg s dus x x 0 e y y 0, wr k elk geheel getl mg zj d d Voor k 0 bekome we oeuw de oorsrokeljke olossg de we vode v het rekeschem v Eucldes Omerkg 8
Omdt d, b, c hdde we ook d0, b db0 e c dc0 kue stelle, zodt we de vergeljkg 0x b0 y c0 bekwme, met ggd( 0, b0) 1 Dt s wt we de rktjk zulle doe bj het olosse v zo' vergeljkg, mr her zou dt de oefeg et bjzoder eevoudger hebbe gemkt Gevolge 1 De grootste gemee deler d v twee getlle e b k o oedg veel mere worde geschreve ls lere combte v e b Wt de wrde v k mocht elk geheel getl zj We kue de grootste gemee deler d v twee strkt osteve getlle e b schrjve ls x by met x 0 e y 0, of met x 0 e y 0 Wt de lgemee olossg, kb k x x 0 e y y 0, kue we k ee voldoede grote wrde geve, zodt x 0 d d e y 0, of ee voldoede klee wrde, zodt x 0 e y 0 De voorwrde dt e b strkt ostef zj s her dus odg Wt ls b 0 e 0, d zou het verhoge v k ervoor zorge dt x kleer wordt of geljk bljft, terwjl y ook kleer wordt Merk dus o dt we zo' lere combte dus wel kue vde ls e b bede strkt egtef zj Voorbeeld Bel lle olossge voor x e y v de vergeljkg 7x30 y 18 Olossg We bege met het os zelf et te moeljk te mke We kue dele door 6 e het rekewerk zl heel wt lchter zj: 1x5y 3 We schrjve eerst ggd(1, 5), of dus ggd(1,5), ls lere combte v 1 e 5 v het rekeschem v Eucldes We lte het mteke eve weg om zeker te zj dt we gee foute mke met mtekes, dt mkt het rekewerk eevoudger 1 5 1 0 10 4 We vde ggd(1,5) 115 15 (11 5) 1 5 5 Om de getlle x 0 e y 0 te vde moete we ggd(1, 5) wel schrjve ls lere combte met 5, e et met 5 Dus 1 1 5 ( 5) Om 3 te schrjve ls lere combte vde we d 3 31 61 15 ( 5) We hebbe dus dt x 6 e y 15 0 0 k ( 5) k 1 De lgemee olossg s d x x0 6 5k e y y0 15 1k, met k 1 1 ee wllekeurg geheel getl Als je lever et zo veel mtekes zet, mg je tuurljk ook k vervge door t, zodt je x5t 6 e y1t 15 hebt, of zelfs door t zodt er x5t 4 e y1t 9 komt te st Al de ottes zj goed, wt ze geve dezelfde olossge Oefeg Bel lle olossge voor x e y v de vergeljkg 50x 8y 16 18 Kleste gemee veelvoud Twee gehele getlle hebbe gemeescheljke veelvoude Zo zj bjvoorbeeld b e 3b gemeescheljke veelvoude v e b Het kleste gemee veelvoud k v twee 9
gehele getlle e b s het kleste geheel getl, groter d 0, dt ee veelvoud s v e b We otere kgv(, b) k Bjvoorbeeld: kgv(8,6) 4, kgv(,5) 10, kgv( 10, 18) 90 De voorwrde dt k 0 s oodzkeljk, wt ders zou het kleste gemee veelvoud steeds 0 zj, wt 0 s ee veelvoud v elk geheel getl Het kleste gemee veelvoud v ee wllekeurg tl gehele getlle defëre we loog ls het kleste tuurljk getl, groter d 0, dt ee veelvoud s v elk v de getlle Bjvoorbeeld: kgv(1,5, 6) 60 Voorbeeld Stel dt c e b c Bewjs dt kgv (, b) c Olossg Stel kgv(, b) k, e q e r zj het quotët e de rest v c bj delg door k, dus r k D s c qk r Omdt c e k, s c m e k x, zodt r c qk ( m qx) Dus r O ee volledg loge mer vd je dt b r r s dus ee veelvoud v e v b Mr r k e k s het kleste strkt ostef getl dt ee veelvoud s v e v b De ege mogeljkhed s dus dt r 0, dus k c Omerkg Mssche ws je zelf et metee o het dee gekome o de rest e het quotët v c bj delg door k te bekjke A ee oefeg ls deze gt d ook heel wt geklugel voorf, tot je bj de juste werkwjze terecht komt Je moet dus et te sel ogeve, mr soms toch ees ee dere methode utrobere Her wre er og reltef weg mogeljkhede Om te bewjze dt ee getl x deelbr s door y zj er egeljk mr ekele otes: 1 Ut de gegeves ledt je f dt x ky voor ee zeker geheel getl k Je toot dt ls ee getl ee deler s v y, d ook ee deler s v x 3 Je robeert te bewjze dt de rest bj delg v x door y geljk s 0 Hoe dt d reces gebeurt k verschlle v oefeg tot oefeg Er zj wrschjljk og lterteve methodes, mr hermee heb je toch l dre relevte I het lgemee moet je heel vk gebruk mke v lere combtes 19 Premgetlle Ee remgetl s ee ostef geheel getl dt reces osteve delers heeft Bjgevolg zj deze delers 1 e We zegge ook wel s rem De kleste te remgetlle zj,3,5,7,11,13,17,19,3,9 Als ee getl groter s d 1 e gee remgetl s, d oeme we dt getl smegesteld Als ee remgetl ee deler s v ee getl, d zegge we ook wel s ee remdeler v Voorbeeld Als e q verschllede remgetlle zj, bewjs dt ggd( q, ) 1 Olossg Er geldt dt ggd(, q), dus de ggd( q, ) 1 of ggd(, q) Wt 1 e zj de ege delers v Aderzjds geldt dt ggd(, q) q, dus ggd( q, ) 1 of ggd(, q) q De ege mogeljkhed s dus dt ggd( q, ) 1 Oefeg Zj ee remgetl Too dt voor elke met 0 110 Hoofdstellg v de rekekude 10
Elk tuurljk getl groter d 1 s o ee ueke mer te schrjve ls het roduct v r remgetlle, 1 1 r wrbj 1,,, r remgetlle zj met 1 r e 1,,, r tuurljke getlle groter d 0 Dt roduct oeme we de remotbdg of remfctorste v Bjvoorbeeld, de remotbdg v 48 s 4 3 Als we de symbole ut de defte gebruke, hebbe we dus r, 1, 3, 1 4 e 1 Gewooljk schrjve we de remgetlle dus v kle r groot de remotbdg Vk wordt deze stellg ls rede gebrukt dt 1 et tot de remgetlle wordt gereked Wt de 1 wel ee remgetl ws, d zou de remotbdg et uek zj D 4 4 zoude bjvoorbeeld zowel 3, 1 3 ls 1 13 4 3 verschllede remotbdge zj v 48 Het bewjs v de hoofdstellg bestt ut twee dele: bewjze dt er zo' remotbdg bestt, e bewjze dt ze uek s Oefeg Bewjs dt er voor elk tuurljk getl met 1 ee otbdg bestt remgetlle We bewjze dt v volledge ducte Bssst Er bestt ee remotbdg voor, wt s ee remgetl Iductest Veroderstel dt e dt lle getlle kleer d ee remotbdg hebbe A Too dt ee remotbdg heeft ls ee remgetl s B Too dt ee remotbdg heeft ls ee smegesteld getl s Het bewjs volgt u v volledge ducte Oefeg Bewjs dt de remotbdg uek s Stel s het kleste tuurljk getl groter d 1 dt gee ueke remotbdg heeft Dus 1 r q1 q qs, met 1 r e q1 q qs A Too dt q s et de rj 1,,, r voorkomt q s s ee deler v e dus v 1 r B Too dt q s ee deler s v 3 r C Herhl deze werkwjze e too dt q s ee deler moet zj v r Bjgevolg s het omogeljk dt gee ueke remotbdg heeft Gevolge 1 De grootste gemee deler v twee tuurljke getlle s het roduct v lle remfctore met hu klest voorkomede exoet r I formulevorm, ls x e y tuurljke getlle zj met x e 11 1 1 b b b y 1 r m( 1, b1 ) m(, b ) m( r, br) 1 r, d geldt ggd( x, y) 1 r Wt ee getl met ee fctor k met k m(, b ) zl gee deler zj v x e y, geze de exoet v et bj zowel x e y mstes k k zj Het kleste gemee veelvoud v twee tuurljke getlle s het roduct v lle remfctore met hu hoogst voorkomede exoet r I formulevorm, ls x e y tuurljke getlle zj met x e 1 1 b b b y 1 r mx( 1, b1 ) mx(, b ) mx( r, br) 1 r, d geldt kgv( x, y) 1 r r r
Wt ee getl wrbj de exoet v k et deelbr zj door mx( b, ) de remotbdg kleer s d mx(, b ),, e dus et door zowel ls Oefeg Bewjs dt er oedg veel remgetlle best Veroderstel dt er slechts ee edg tl remgetlle bestt Noem de remgetlle 1,,, Beschouw u het getl x 1 1 A Too dt x gee remgetl s B Too dt x et deelbr s door ee remgetl Bjgevolg heeft x gee remotbdg, wt et k weges de hoofdstellg v de rekekude Het s dus omogeljk dt er slechts ee edg tl remgetlle bestt Oefeg Bereke de grootste gemee deler e het kleste gemee veelvoud v A 75 e 60 B 1000 e 350 40 30 C 30 e 40 Oefeg Too dt ggd(, b) kgv(, b) b voor lle tuurljke getlle e b Oefeg Too dt ggd(, b ) (ggd(, b)) voor elk tuurljk getl Oefeg Too dt met 1 ee volkome kwdrt s ls e slechts lle remfctore v tot ee eve mcht voorkome de remotbdg Voorbeeld Too dt ggd (kgv(, b),kgv(, c)) kgv(,ggd ( b, c)) voor ostteve getlle, b, c Olossg We beschouwe eerst slechts éé remgetl Stel dt de remotbdg v tot de mcht x voorkomt, bj b tot de mcht y e bj c tot de mcht z We toe u dt het lker- e rechterld tot ee geljke mcht voorkomt I het lkerld s de exoet v geljk m(mx( x, y),mx( x, z)) Her sse we gewoo het eerste e tweede gevolg v de hoofdstellg v de rekekude toe Immers, de exoet v kgv (, b) s mx( x, y), e kgv (, c) s de mx( x, z) Als we d de grootste gemee deler v deze twee getlle eme, komt dr voor tot de klest voorkomede mcht: m(mx( x, y),mx( x, z)) I het rechterld s de exoet v geljk mx( x,m( y, z)), om ee geljkrdge rede We moete u dus toe dt m(mx( x, y),mx( x, z)) mx( x,m( y, z)) We kue veroderstelle dt y z, wt de geljkhed s symmetrsch y e z Het rechterld s d geljk mx( x, y) We bekjke u het lkerld Omdt y z, k mx( x, y) et groter zj d mx( x, z) Stel bjvoorbeeld dt mx( x, y) x e dt x mx( x, z) D moet x z e x x, wt ee belcheljke tegestrjdghed s I het gevl dt mx( x, y) y e y mx( x, z) geldt dt y x e y z Mr we hdde gesteld dt y z dus ook dt s omogeljk b 1
Bjgevolg s mx( x, y) mx( x, z), zodt het lkerld geljk s mx( x, y) Lker- e rechterld zj dus geljk, wrut we beslute dt de twee lede v de oorsrokeljke geljkhed tot dezelfde mcht voorkomt Deze redeerg geldt voor elk remgetl Dus de twee lede hebbe dezelfde remotbdg, e zj dus geljk Oefeg Too dt kgv (ggd (, b),ggd (, c)) ggd (,kgv( b, c)) voor ostteve getlle, b, c 111 Atl delers v ee tuurljk getl Als 1 ee tuurljk getl s met remotbdg osteve delers ( ) v geljk ( 1 1)( 1) ( r 1) Oefeg Too de formule voor ( ) Oefeg Bel het tl gehele delers v A 10 B 1000 1 C 10 D 10 13 1 r 1 r, d s het tl Oefeg Welke tuurljke getlle hebbe reces 101 osteve delers? Oefeg Too dt ee tuurljk getl groter d 0 ee oeve tl delers heeft ls e slechts ls dt getl ee volkome kwdrt s 11 Som v de delers v ee tuurljk getl Als 1 s ee tuurljk getl s met remotbdg ( ) v de osteve delers v geljk r 1 1 r, d s de som 11 1 1 1 1 1 r r 1 1 1 1 1 r 1 r 1 1 1 r r r (1 )(1 ) (1 ) Oefeg Too de formule voor ( ) Oefeg Bel de som v de osteve delers v A 10 B 1000 1 C 10 D 10 Oefeg Welke tuurljke getlle hebbe 31 ls som v hu osteve delers? of dus Oefeg Zj 1 ee oeve tuurljk getl Too dt som v de osteve delers v oeve s ls e slechts ls ee volkome kwdrt s 113 Idctor
De dctor of totët v ee tuurljk getl 1 s het tl tuurljke getlle groter d 0 e kleer d of geljk de reltef rem zj met We otere (), wr de Euler totët fucte of h fucte s r Als 1 e 1 1 1 r 1, d s ( ) ( 1) ( 1) ( 1 1 1 r 1 1 r ) Oefeg Too de formule voor () Stel s ee remdeler v A Wt s de ks dt ee tuurljk getl groter d 0 e kleer of geljk et deelbr s door? r Stel 1 1 r s de remotbdg v B Wt s de ks dt ee tuurljk getl groter d 0 e kleer of geljk deelbr s door gee ekele remdeler v? C Bel het tl tuurljke getlle groter d 0 e kleer of geljk de reltef rem zj met Oefeg Too dt () eve s voor Oefeg Bel lle tuurljke getlle zodt ( ) 8 Oefeg Bel lle tuurljke getlle zodt ( ( ( ))) ee remgetl s 114 Olostecheke I dt oderdeel besreke we ekele olosstrtegeë de v s kue kome bj het olosse v dohtsche vergeljkge of bj secfeke oefege Her lgt de bss v het olosse v meer gevceerde oefege 1141 Otbde Otbde s het omzette v ee som r ee roduct Het s ee hdge techek om dohtsche vergeljkge o te losse Het voordeel v de otte ls roduct s dt de fctore ee getl odele delers, e zols je odertusse wel weet drt het hem de getltheore lleml om delers Voorbeelde v otbdge zj b ( b)( b), 3 3 b ( b)( b b ) e b b 1 ( 1)( b 1) I de edx chter vd je het bomum v Newto e og ekele otbdge Soms zl je echter oefege tegekome wrbj de otbdg et voor de hd lgt, e wr je mssche et o het dee zl kome om te otbde Het s echter te rde om toch steeds te robere, wt zols je de volgede oefeg zl merke zj er ogl wt otbdge de et vzelfsreked zj Oefeg Otbd fctore A b b b 1 B 3 4b b 6 3 C b b b b 4 4 D 4b 3 3 3 E b c 3bc F x 10 5 x 1 r 14
Oefeg Vd lle tuurljke getlle e remgetlle zodt 1 Oefeg Vd lle gehele getlle e b zodt b b Oefeg (JWO 010 fle vrg ) Vd lle gehele getlle e b zodt 1 1 6 b Oefeg Zj ee remgetl Vd lle tuurljke getlle e b zodt b b Oefeg Vd lle remgetlle e tuurljke getlle zodt 8 7 Oefeg Ee remgetl v de vorm 1 oeme we ee Merseeremgetl Stel dt 1 ee remgetl s Too dt ee remgetl s Oefeg Ee remgetl v de vorm 1 oeme we ee Fermtremgetl Stel dt 1 ee remgetl s Too dt ee mcht v s Oefeg Vd lle tuurljke getlle e remgetlle e q zodt q 114 Ogeljkhede Ogeljkhede kue voorkome o verschllede mere Ee eerste toessg s het utslute v deelbrhed Als e b osteve getlle zj, groter d 0, e b, d geldt dt b Dus ls je twee getlle xy, 0 hebt zodg dt x y, s het omogeljk dt x y Voorbeeld Vd lle tuurljke getlle zodt Olossg Voor 0 hebbe we 1 5 1, wt 1 deelbr s door 5 1 1 Stel u 1 D s 5 1 5 4 D k 5 1 dus gee deler zj v 1 De ege olossg s 0 Omerkg 1 We hebbe her de 'kettg' v ogeljkhede 5 1 5 4 gebrukt Er zj tuurljk og dere mogeljkhede Je hd het bjvoorbeeld ook kue bewjze met 1 1 1 1 1 5 1 5 55 45 4 Dt mkt dus et ut Het belgrjkste s dt je heel strkt bewjst dt het ee groter s d het dere, e dt elk stje de kete dudeljk s Mk voorl dt je er et slordg overgt zoder de ogeljkhed uwkeurg te toe E het gevl dt lle tekes de je de kettg ltst groter-of-geljk- tekes zj, moet je og bewjze dt geljkhed omogeljk s, of, g weer dt wel og mogeljk s Als je er d og et ut gerkt, k je mssche beter ee dere kettg vorme, of evetueel ee extr wrde v g zodt je meer k doe met de ogeljkhed Bjvoorbeeld, 5 4 s et wr voor 0, mr wel voor 1 We zj dus eerst het gevl 0 geg zodt we 1 kode stelle Dt s wt heel vk zl voorkome ls je ogeljkhede gebrukt: eerst ee voorwrde stelle e d s verder doe Vergeet d et om de overge gevlle f te g 15
Oefeg Vd lle tuurljke getlle zodt 1 1 Oefeg Vd lle tuurljke getlle wrvoor 7 9 1 Het k ook gebeure dt ee dohtsche vergeljkg gee olossge heeft omdt het ee ld steeds groter s d het dere, mts te voldoe belde voorwrde Het volstt d v de ogeljkhed te bewjze om te toe dt er gee olossge zj Immers, twee getlle wrv het ee groter s d het dere, kue omogeljk geljk zj Voorbeeld Vd lle tuurljke getlle, b e c zodt! b! c! Olossg Als, b zj er slechts ekele mogeljkhede te g, e we krjge de olossge (0,0,), (0,1,), (1,0,) e (1,1,) voor ( bc,, ) Stel u dt b, 1 We kue veroderstelle dt b, geze het wssele v e b ook ee olossg geeft Als we u olossge vde, moete we er chterf wel rekeg mee houde dt we e b moge wssele Omdt c!! b! b! s c groter d b D s c! ( b 1)! ( b 1) b! (1 1) b!! b!, dus s het omogeljk dt! b! c! omdt c! steeds groter s De ege olossge zj dus de olossge de eerder l wre vermeld Omerkg Bj de kettg v ogeljkhede hdde we og just éé groter-d teke Gelukkg mr, ders kode we et beslute dt c! steeds groter s Oefeg Vd lle tuurljke getlle zodt 1 Oefeg (CMO 1983 vrg 1) Vd lle tuurljke getlle w, x, y, z de voldoe w! x! y! z! Oefeg Vd lle tuurljke getlle, b e c zodt b c b c Oefeg (JBMO 010 vrg ) Vd lle tuurljke getlle 1 zodt 1 1 ee kwdrt s Ogeljkhede kue ook gebrukt worde om te bewjze dt ee getl gee volkome kwdrt s Herbj steue we o het rce dt er oot ee geheel getl bestt zodt ( 1) Om ee loge rede geldt dt ls ( ), d 1 Hetzelfde geldt tuurljk ook voor derdemchte, e -de mchte, ls 0 J, ook voor 1, wt er lgge meljk gee gehele getlle tusse e 1 Voorbeeld Vd lle gehele getlle zodt Olossg 1 ee volkome kwdrt s 16
0 geeft l ee olossg Stel eerst 0 D s k 1 dus gee volkome kwdrt zj Stel u 0 D s volkome kwdrt Omerkg 1 1 ( 1) Ook her s De ogeljkhed 1 1 s llee geldg ls 0, e ls 0 Het ws dus odg om gevlsodersched te mke 1 1 ( 1) D 1 omogeljk ee 1 1 llee Oefeg Vd lle gehele getlle xy, zodt x y1 y1 x 1 Oefeg (Q-E-D Comette ju 01) A Vd lle tuurljke getlle wrvoor geldt dt s B Vd lle tuurljke getlle wrvoor geldt dt kwdrt s 1 0 ee volkome kwdrt 4 3 1 ee volkome 1143 Het extremerce Het extremerce wordt soms ook omschreve door "Descete Ife" of, ut het Frs vertld, oedge fdlg Het s ee techek om te toe dt ee vergeljkg gee olossge heeft We schetse eerst met ee voorbeeld hoe de techek zj werk gt Voorbeeld Vd lle gehele getlle e b wrvoor 3b Olossg Om te bege hebbe we de olossg b 0 Stel u dt b, 0, e dt de kleste wrde s wrvoor er ee bjbehorede wrde v b bestt Er geldt dt ls 9x 3b Er geldt dt 17 3, dus moet 3 Stel dus 3x We kue de vergeljkg herschrjve, of dus 3x b 3 b, dus moet 3 b Stel dus b 3y We herschrjve de vergeljkg ls x 3y Dus x e y geve ook ee olossg Mr ws de kleste wrde de ee olossg gf, e x wt kleer s d, geze 0 Herut kue we beslute dt er gee 3 kleste wrde voor s ls 0, dus s er ook gee dere olossg Omerkg Bj deze oefeg s het erg omslchtg om het extremerce toe te sse Je hd deze wrschjljk ogelost door de remotbdg v bede lede te bekjke, e o te merke dt 3 het lkerld tot ee eve mcht voorkomt e het rechterld tot ee oeve mcht, wrdoor geljkhed omogeljk s ls b, 1 Deze oefeg dede d ook llee mr om het rce dudeljk te mke Bj dt voorbeeld koze we ee mmle wrde, e toode dt er toch og ee kleere wrde bestt Soms k het ook zj dt je ee mxmle wrde kest Het getl wrvoor je het mxmum beschouwt hoeft ook et oodzkeljk smelweg éé v de obekede te zj Wt ook k s de som v twee getlle, of hu roduct, of de som v hu kwdrte,
om mr ekele voorbeelde te geve Nu ljkt het mssche moeljk om te wete voor welke wrde je ee extremum kest, mr vk zl dt dudeljk worde ees je je o het robleem hebt gestort Merk trouwes o dt we het extremerce stlzwjged l toeste bj het bewjs dt de remotbdg uek s Oefeg Bewjs dt er gee strkt osteve gehele getlle x e y zj de voldoe x y 4xy Oefeg Vd lle gehele getlle x, y e z zj de voldoe 3 3 x 3y 9z 1144 Vet jumg Vet jumg s ee techek de secfek s voor ee beld soort robleme de getltheore De techek s otst r ledg v ee IMO-vrg ut 1988 De jury hd deze vrg eerst et wlle eme omdt ze de te moeljk vode, mr utedeljk hebbe ze de vrg toch gecceteerd Slechts elf deelemers slgde er de vrg o te losse Omdt de techek zo zelde odg s zulle we deze vrg ook gebruke om Vet jumg te llustrere Voorbeeld (IMO 1988 dg vrg 3) Gegeve zj osteve gehele getlle e b wrvoor geldt dt b 1 ee deler s v geheel getl s Olossg b Bewjs dt b b 1 het kwdrt v ee b We bekjke eerst de gevlle 0 e 1 Als 0, d s b, ee volkome b 1 kwdrt Als 1, d moet 1 b b 1, dus b 1 ( b 1) ( b 1) ( b 1), dus b 1 of b 0 I bede gevlle geldt dt de verhoudg ee volkome kwdrt s We kue loog dezelfde redeerg mke voor b 0 e b 1 We veroderstelle u dus dt, b 1 b Om te bege oeme we de breuk k Voor ee vste wrde v k oeme we b 1 S de verzmelg v lle koels osteve getlle (, b) de voldoe de vergeljkg k b k Merk o dt (, b) Sk ls e slechts ( b, ) Sk b 1 We beschouwe dt u ls ee kwdrtsche vergeljkg : kb b k 0 De som v de olossge voor v deze vergeljkg s kb, e het roduct s b k De tweede b k olossg, verschlled v s d c kb Vervolges toe we dt c 0 c b 1 1 Ut bc 1 0 volgt dt bc 1 0, dus c Omdt c kb ee geheel k b getl s, geldt dt c 0 Dus ls (, b) Sk, d ( kb, b) Sk Weges symmetre e b geldt ook dt ls (, b) S k, d (, k b) Sk 18
x b Stel dt x de kleste strkt osteve wrde s wrvoor er ee b bestt zodt k, xb 1 e y de kleste strkt osteve wrde v b de her voldoet D geldt dt x y, wt ders zou y x e d ws x et de klest mogeljke wrde Als x y, d geldt x 1 x, dus x 1 ( x 1) x, wt llee k voor x 1 Mr dt gevl s k ee volkome kwdrt e zj we dus klr Stel dus x y x k x x Als kx y 0, d geldt ( x, kx y) Sk Mr kx y x y Mr y y x d ws y et de klest mogeljke wrde de bj x hoort x k Omdt we kx y 0 hdde, moet dus kx y 0 Dus 0, zodt k x Bjgevolg y s k ee volkome kwdrt Omerkg Als je dt volledg hebt begree be je l ver gerkt Deze vrg wordt vk geze ls de moeljkste IMO-vrg de er oot s geweest Mr lte we eve dudeljk mke wt Vet jumg egeljk s De m Vet jumg s geoemd r de Frse wskudge Frços Vète Hj stelde formules o voor de coëffcëte v veelterme fucte v de ulute v de veelterm, wroder de voor de som e het roduct bj ee kwdrtsche vergeljkg Het grootste deel v de olossg steut o deze formules voor de som e het b k roduct, e de geljkhed kb De techek bestod er voorl ut om ut éé olossg (, b) dere olossge te creëre: ( b, ), ( kb, ), ( b, k b), (, k b) e ( k b, b) Deze bleke et lleml odg te zj, mr levere wel ee wer v mogeljkhede Zols je hebt gemerkt s her ook het extremerce bj kome kjke Het mmlsere v e b ws ook ee crucle st e ljkt mssche ver gezocht, hoewel zoets het lgemee vk meer formte k geve Immers, over ee kleste getl k je l ets meer zegge d over ee wllekeurg getl, meljk reces het fet dt het het kleste s Oefeg (IMO 007 dg vrg ) Stel e b zj gehele getlle groter d 0, zodt 4b 1 ee deler s v ( 4 1) Too dt b Oefege Oefeg (VWO 013 rode vrg 17) Als je 10! deelt door 9! 1 krjg je ls rest A 0 B 1 C 8 D 9 E 10 Oefeg Stel dt ggd( b, ) 1 Bewjs dt ggd( b, b ) {1, } Oefeg Bewjs dt ggd (3,6 1) 1 Oefeg (IMO 1959 dg 1 vrg 1) Bewjs dt de breuk 1 4 14 3 getl vereevoudgbr s voor gee ekel tuurljk Oefeg Bewjs dt ggd( 1, 1) 1 19
Oefeg Too dt kgv(, 1) Oefeg Stel dt ggd( b, ) 1 Bewjs dt ggd( b, b b ) {1, 3} Oefeg Vd lle remgetlle, q e r zodt q r e q r Oefeg (CMO 1978 vrg ) Vd lle koels ( b, ) v tuurljke getlle de voldoe 3 3b Oefeg (VWO 013 fle vrg 1) Ee getl v zes cjfers s evewchtg weer lle cjfers verschlled zj v ul e de som v de eerste dre cjfers geljk s de som v de ltste dre cjfers Bewjs dt de som v lle evewchtge getlle v zes cjfers deelbr s door 13 Oefeg (JWO 009 fle vrg ) Zoek het kleste tuurljk getl zodt 003 005 007 009 ee volkome kwdrt s Oefeg (JWO 007 fle vrg 3) Wt s het kleste getl xyz bestde ut 3 verschllede cjfers x, y e z elk verschlled v 0 zodt het gemddelde v de getlle xyz, xzy, yxz, yzx, zxy, zyx ee tuurljk getl s dt edgt o 0? Oefeg (VWO 1991 fle vrg 1) Too dt het getl, gevormd door 1991 keer het cjfer 1 elkr te schrjve, et rem s Oefeg Too dt het roduct v de osteve delers v ee tuurljk getl geljk s ( ) Oefeg (JWO 011 fle vrg 3) Ee tuurljk getl s rm ls eder deel v het getl, bestde ut oeevolgede cjfers erv, zelf ee remgetl s Bel lle rmgetlle Oefeg (IrMO 007 dg vrg 4) Vd het tl ulle o het ede v 007!, e vd ook het ltste cjfer dt et 0 s Oefeg (BrMO 003 rode 1 vrg 1) Stel 34! 953799 cd96041408476186096435 b000000 Bel de cjfers, b, c e d Oefeg (IrMO 007 dg 1 vrg 1) Vd lle koels remgetlle (, q) zodt q 6 e q 7 Oefeg (JWO 013 fle vrg 1) Bel het tuurljk getl zodg dt 013 1 013 3 013 5 013 1005 1 1 1 1 4 0
Oefeg Bewjs dt voor tuurljke getlle x e y geldt dt 17 x 3y ls e slechts ls 17 9x 5y Oefeg (NWO 007 vrg 4) Voor hoeveel tuurljke getlle met 1 100 geldt dt ee volkome kwdrt s? Oefeg (JWO 004 fle vrg 4) Vd lle koels tuurljke getlle ( b, ) zodt 1 1 1 b 004 Oefeg (NWO 198 rode vrg 4) Defeer 753 9 Bel 3 ggd(, 1) Oefeg (Q-E-D Comette ugustus 01) Voor welke tuurljke getlle s ee remgetl? 4 4 Oefeg Vd lle tuurljke getlle 1 wrvoor ( ) Oefeg (USAMO 197 vrg 1) Too dt voor tuurljke getlle, b e c geldt dt ggd(, b, c) kgv(, b) kgv( b, c) kgv( c, ) kgv(, b, c) ggd(, b) ggd( b, c) ggd( c, ) Oefeg Stel 1 Too dt het tl koels tuurljke getlle ( x, y) dt voldoet kgv ( x, y) geljk s ( ) Oefeg Vd lle tuurljke getlle 1 wrvoor ( ( )) Oefeg Too dt voor tuurljke getlle k, met rem geldt dt k k ggd( ( ), ( )) 1 Oefeg (Pole MO 013 fle vrg 1) Vd lle gehele getlle xy, zodt 4 3 x y x y Oefeg (Q-E-D Comette ugustus 01) Voor welke tuurljke getlle s ee remgetl? 1 Oefeg (VWO 009 fle vrg ) Ee tuurljk getl heeft ver tuurljke delers: 1, zchzelf e twee echte delers Dt getl vermeerderd met 9 s geljk 7 keer de som v de echte delers Bewjs dt dt getl uek s e zeg welk getl we zochte Oefeg Ee volmkt getl s ee tuurljk getl dt geljk s de som v zj osteve delers, zchzelf et begree Vd de lgemee vorm v ee eve volmkt getl Stel s volmkt e eve Dus m x met m 0 e x oeve m1 A Too dt ( ) ( 1) ( x) 1
Omdt volmkt s, s ( ) Stel u y ( x) x B Too dt y x C Too dt 1 y x D Too dt y x et k E Too dt 1 y x et k F Too dt x ee remgetl s e dt x m1 1 m m De lgemee vorm v ee eve volmkt getl s dus ( 1 1) met m1 1 ee Merseeremgetl Oefeg (BMO 1989 vrg 1) Vd lle tuurljke getlle de de som zj v de kwdrte v hu ver kleste osteve delers Oefeg (APMC 006 dg vrg 1) Ee geheel getl d 6 s moo ls voor lle gehele 5 5 5 7 7 7 getlle xy, geldt dt d ( x y) x y ls e slechts ls d ( x y) x y A Is 9 moo? B Is 006 moo? C Bewjs dt er oedg veel mooe getlle zj m ggd( m, ) Oefeg Stel 1 e m, 0 Too dt ggd( 1, 1) 1 Oefeg (IMOSL 00 vrg 10) Zj ee tuurljk getl, met delers 1 d1 d dk Bewjs dt d1d dd3 dk 1dk ltjd kleer s d bel weer het ee deler s v e Oefeg (USAMO 1998 vrg 5) Bewjs dt voor eder tuurljk getl, er ee verzmelg S v gehele getlle bestt zodt ( b) b voor edere verschllede, b S Oefeg (IMOSL 004 vrg 9) Bewjs dt er oedg veel tuurljke getlle best zodt de vergeljkg ( ) gee tuurljk getl ls olossg heeft
Hoofdstuk Modulr rekee 1 Cogruete e restklsse Bj het modulr rekee of modulo rekee voere we ee euw begr, cogruete Als twee gehele getlle e b dezelfde rest hebbe bj delg door c, d zegge we s cogruet met b modulo c e we otere b (mod c) Bjvoorbeeld: 5 17 (mod 3), 8 1 (mod 4) Als ee getl deelbr s door c kue we dus otere 0 (mod c) Ee restklsse modulo ee geheel getl c met c 0 s ee verzmelg v lle gehele getlle de bj delg door c dezelfde rest hebbe, of dus cogruet zj modulo c Bjgevolg zj er c restklsse modulo c Voorbeeld 1 Bewjs dt b (mod c) ls e slechts ls b 0 (mod c) Olossg We bewjze de egesch twee dele Deel 1: ls b (mod c) d b 0 (mod c) Stel q1c r1 e b qc r met 0 r1, r c Omdt b (mod c) wete we dt r 1 r D s b q1c qc ( q1 q) c Dus b 0 (mod c) Deel : ls b 0 (mod c) d b (mod c) Omdt b 0 (mod c) s b kc Stel qc r D s b kc ( q k) c r b heeft dus dezelfde rest ls, dus b (mod c) Omerkg Het s belgrjk om te wete dt het cogruetesymbool ets meer s d ee korte otte Het k vk hdg zj om deze otte te verlte e b (mod c) te schrjve ls b kc Het schrjve de vorm b kc oeme we "verborge modulo rekee" Oefeg Bewjs de volgede egesche v cogruetes A Bewjs dt b (mod c) ls e slechts ls d b d (mod c) voor elk geheel getl d B Stel dt b (mod c) e d e (mod c) Too dt d b e (mod c) C Stel dt b (mod c) Too dt b (mod c) voor elk geheel getl D Stel dt b (mod c) e d e (mod c) Too dt d be (mod c) E Stel dt b (mod c) Too dt b (mod c) voor elk tuurljk getl 0 Oefeg Too telkes met ee voorbeeld dt het omgekeerde v de egesche B, C, D e E et steeds wr s Voorbeeld Bereke de rest bj delg v je gebrukt Olossg Er geldt dt 5 4 (mod 7) Nu berekee we 9 9 9 5 8 door 7 e zeg steeds welke egesche 9 8 mod 7 Er geldt dt 8 1 (mod 7), dus weges egesch E geldt 8 1 (mod 7), dus 8 1 (mod 7) (Als we de letters ut de egesch gebruke s her dus 8, b 1, c 7 e 9 ) 9 Ut egesch C volgt u 58 4 1 (mod 7) (Met de letters ut de egesch: 5, b 4, c 7, 9 d 8 e e 1) De utedeljke rest zl dus 4 zj 9 3
Oefeg Bereke de rest bj delg door 3 v A 77 88 4 B 5 C 11 10 3 31 D 31 3 e zeg steeds welke egesche je gebrukt Omerkg Je wordt utdrukkeljk gevrgd om bj te houde welke egesche je gebrukt Dt s omdt je goed zou wete wr je reces mee bezg bet e ee dee krjgt v hoe je de egesche k gebruke 014 Oefeg Bereke de rest v 013 bj delg door A 7 B 8 C 9 D 10 e zeg ook her steeds welke egesche je gebrukt Oefeg Bel het kleste tuurljk getl zodt 0 9 41 ee tuurljk getl s Voorbeeld Bereke Olossg We bekjke eerst 1 4 mod1 4 mod1, wt geljk s 4 Er geldt dus dt 4 4 4 (mod1) Dus ook 3 4 4 4 44 4 4 (mod1) Dt kue we loog utbrede voor grotere exoete, e we kue dus beslute dt 4 4 (mod1) voor elk tuurljk getl 0 1 Dus ook 4 4 (mod1) Omerkg Als we streg zj hdde we 4 4 (mod1) moete bewjze v ducte, mr omdt het her zo vzelfsreked s lete we dt eve weg Hou dus wel gedchte dt het 'loog utbrede' ee vorm v ducte s, e dt je rce bj zo' werkwjze moet vermelde dt je het met ducte k bewjze Met dt voorbeeld heb je og ee extr techek om modulr te rekee Er zj tuurljk og heel wt dere mere, mr v zodr je wt zcht hebt verkrege het modulo rekee zl je de vzelf otdekke Oefeg Bereke 8 A 3 mod 6 B C D 0 9 mod ( 36) 3 5 mod 40 000 7 mod ( 4) Oefeg Bewjs dt ee tuurljk getl deelbr s door 9 ls e slechts ls de som v zj cjfers deelbr s door 9
Oefeg Stel b Bewjs dt voor 0 geldt dt b deelbr s door b, e dt voor oeve getlle geldt dt b deelbr s door b Doe dt zoder gebruk te mke v de otbdg chter de edx, de je odertusse ogetwjfeld ket Oefeg Stel d 0 Too dt b (mod c) ls e slechts ls d bd (mod cd) Oefeg Bewjs dt ls ee remgetl s e b (mod ), d geldt dt 1 b (mod ) voor elk tuurljk getl Oefeg Bewjs dt er oedg veel remgetlle v de vorm 4k 3 best Iverse Ee getl x oeme we ee verse v modulo b ls e slechts ls x 1 (mod b) Bjvoorbeeld, 5 s ee verse v 8 modulo 13 wt 5 8 40 1 (mod 13) Mr merk o dt ook bjvoorbeeld 513 18 e 513 8 verse zj v 8 modulo 13 Oefeg Bewjs dt ee verse heeft modulo b ls e slechts ls ggd( b, ) 1 A Stel dt ggd( b, ) 1 Too dt ee verse heeft modulo b B Stel dt ee verse heeft modulo b Too dt ggd( b, ) 1 Oefeg Bewjs dt lle verse v modulo b oderlg cogruet zj modulo b Voorbeeld Vd lle tuurljke getlle met 0 17 zodt 6 8 (mod 17) Olossg 6 heeft ee verse modulo 17, bjvoorbeeld 3 Weges egesch C v cogruetes geldt dt 36 38 (mod 17), dus 4 (mod 17) D moet 4 mod 17 7 Oefeg Stel dt ggd( b, ) 1 e b 0 Bewjs dt er voor elk geheel getl c reces éé getl x met 0 x b bestt wrvoor x c (mod b) Voorbeeld Vd lle tuurljke getlle met 0 1 zodt 9 6 (mod1) Olossg Er geldt dt 3 (mod 4) ls e slechts ls 9 6 (mod1), wt 34k ls e slechts ls 91k 6 We zoeke u ee verse v 3 modulo 4, bjvoorbeeld 3 D geldt 33 3 (mod 4), of dus (mod 4) Omdt 0 1 zj de olossge dus,6,10 Omerkg Om de cogruete te vereevoudge gge we over o verborge modulo rekee Her merk je dus dt je, soms, et of moeljk verder gerkt ls je bj de euwe otte bljft Nu kode we met het verborge modulo rekee meer formte verkrjge Oefeg Stel dt ggd (, b) d met b 0 e dt d c Vd het tl gehele getlle x met 0 x b wrvoor x c (mod b) 5
3 Chese reststellg De Chese reststellg zegt dt ls m1, m,, m gehele getlle zj de rsgewjs reltef rem zj, e 1,,, zj wllekeurge gehele getlle, d best er oedg veel getlle x zodt x (mod m ) voor elke De olossge voor x zj bovede cogruet modulo m1m m De stellg wordt gewooljk fgekort ls CRS Eve ee voorbeeld om dt dudeljk te mke We eme het dretl gehele getlle ( m1, m, m3 ) (3,5, 8) de reltef rem zj, e de gehele getlle ( 1,, 3) (4,0,) We hebbe og gee systemtsche mer om ee getl te vde dt voldoet, mr eve zoeke vde we dt 10 voldoet de dre voorwrde: 10 4 (mod 3), 10 0 (mod 5) e 10 (mod ( 8)) Oefeg Bewjs de Chese reststellg Stel y m1m m qy A Too dt voor elke er getlle e q best zodt m 1 m Stel u r qy m B Too dt r 1 (mod m) e dt r 0 (mod m ) ls j C Too dt x r 1 1 r r voldoet de voorwrde D Too dt er oedg veel olossge zj voor x Vervolges bewjze we dt lle olossge voor x cogruet zj modulo y Zj x 1 e x twee olossge E Too dt m x1 x voor elke F Too dt x x (mod y) 1 j Oefeg Too dt er voor elk tuurljk getl 0 ee getl m bestt zodt 1 m e m 1 Oefeg Vd lle gehele getlle x zodt 5x 3 (mod 7) e 6x 8 (mod10) Oefeg Too dt er ee rj bestt v 19 oeevolgede tuurljke getlle de elk deelbr zj door de 17 -de mcht v ee tuurljk getl De Chese reststellg k me utbrede met ee meer lgemee voorwrde voor het best v gehele olossge x de voldoe x (mod m ) voor elke De receze voorwrde ludt ls volgt: Als m1, m,, m e 1,,, rje gehele getlle zj, d heeft het stelsel cogruetes x (mod m ) ee olossg ls e slechts ls 6
(mod ggd( m, m )) voor lle j Als het stelsel ee olossg heeft, d heeft het j j oedg veel olossge de bovede cogruet zj modulo kgv( m1, m,, m ) Oefeg Bewjs de utbredg v de Chese reststellg De stellg bevt 'ls e slechts ls', e bestt dus ut twee dele, de we rt zulle bewjze Mr eerst e voorl et het rdgevl vergete cotrolere: A Too dt de stellg geldt voor 1 B Stel dt x (mod m ) voor elke Too dt (mod ggd( m, m )) voor lle j j j Hermee s het eerste deel reeds voltood Vervolges bewjze we dt er mstes éé olossg bestt de voor lle j geldt dt (mod ggd( m, m )) We bewjze dt j j v volledge ducte o Bssst We toe de stellg voor C Too dt er gehele getlle q 1, q, r, s, t best zodt 1 q1sm1 q1tm r e q sm q tm r 1 D Too dt lle getlle x met x q1tm qsm1 r (mod m1m ) voldoe Er zj dus oedg veel olossge E Too dt elke twee olossge steeds cogruet zj modulo kgv ( m 1, m ) Hermee s de bssst voltood Iductest We veroderstelle dt de stellg telkes wr s voor ee stelsel v m cogruetes, met m Beschouw u zo stelsel v 1 cogruetes Weges de ductehyothese zj de ltste twee cogruetes x (mod m ) e x (mod ) 1 m 1 geljkwrdg met x b (mod ) voor ee belde wrde v b, e met kgv ( m, m 1), wt de stellg s wr voor (We vervge de ltste twee cogruetes dus door éé) Stel u b e m voor lle met 1 We wlle de ductehyothese ogmls toesse, mr deze keer o het stelsel cogruetes x b (mod ) Drvoor moete we er eerst zeker v zj dt de voorwrde b b (mod ggd (, )) s vold j j F Too dt b b (mod ggd (, )) geldt voor lle j met, j Het wordt dus ee robleem weer j j j Nu bewjze we og voor lle dt b b (mod ggd (, )) We bekjke drvoor ee vste wrde v G Too dt b (mod ggd (, m )) e b 1 (mod ggd (, m 1)) H Too dt b b (mod ggd (, m )) e b b (mod ggd (, m 1)) I Too dt b b (mod kgv(ggd (, m ),ggd (, m 1))) We zch og de oefeg ut hoofdstuk 1, bove g 13 herert, heeft mssche ogemerkt dt kgv (ggd (, m ),ggd (, m 1)) ggd (,kgv( m, m 1)) ggd (, ) 7
Bjgevolg geldt dt b b (mod ggd (, )) Herdoor kue we de ductehyothese toesse, e wete we dt het stelsel oedg veel olossge heeft, de bovede cogruet zj modulo kgv( 1,, ) We zj bj klr: J Too dt de olossge cogruet zj modulo kgv ( m1, m,, m 1) Zezo, drmee s de kous f Weges volledge ducte geldt de stellg u voor elk tuurljk getl Oefeg (BSMC 008 vrg 4) Bewjs dt er voor elk tuurljk getl k oedg veel r ( ) tuurljke getlle best zodt ee geheel getl s, voor elke r {1,,, k} r 4 Kwdrtrest Stel e b zj gehele getlle met b 0 We zegge dt ee kwdrtrest s modulo b ls e slechts ls er ee geheel getl x bestt zodt x b (mod ) Ee et-kwdrtrest modulo b s ee getl dt gee kwdrtrest s modulo b Bjvoorbeeld, 3 s ee kwdrtrest modulo 7 wt 3 9 3 (mod 7) Ee kwdrtrestklsse s ee verzmelg v lle gehele getlle wrvoor door c dezelfde rest geeft bj delg Voorbeeld Too dt gee kwdrtrest s modulo 3 We bekjke eerst wt lle mogeljke kwdrtrestklsse zj modulo 3 Als b (mod 3), d geldt b (mod 3) Voor elk geheel getl bestt er ee getl b met 0b 3 wrvoor b (mod 3), meljk de rest v bj delg door 3 Het volstt dus om de reste v 0, 1 e te berekee, wt elk der geheel getl heeft ee kwdrt dt cogruet s met éé v deze kwdrte We ze dt deze reste steeds 0 of 1 zj Het s dus omogeljk dt ee kwdrtrest s modulo 3 Oefeg Too dt 0 e 1 de ege kwdrtrestklsse vorme modulo 4 Oefeg Too dt het tl kwdrtreste r modulo ee oeve remgetl e met 1 met 0 r, geljk s A Too dt het volstt om het tl verschllede reste v met 0 te bekjke B Weer geldt dt b ls 0, b? 1 C Too u dt het tl verschllede reste geljk s Oefeg Vd lle kwdrtrestklsse modulo 5 Oefeg Vd de mogeljke reste v ee derdemcht modulo 7 8
Oefeg Too dt 1 oot deelbr s door 3 Oefeg Stel dt 3 b Too dt 9 b Voorbeeld Vd lle gehele getlle m e zodt 1 4m ( m 1) Olossg Omdt het lkerld e rechterld geljke gehele getlle zj hebbe ze dezelfde rest bj delg door Dt beteket dt et eve k zj, ders zou 1 1 (mod 4) terwjl 4m ( m 1) 0 (mod 4) Dus s oeve We bekjke u de vergeljkg modulo 4, dt wl zegge: we beschouwe de reste v bede lede bj delg door 4 Omdt oeve s, s 1 (mod 4) e dus 1 (mod 4) Het rechterld s echter cogruet met 0 modulo 4 Er zj dus gee olossge, omdt het lkerld e rechterld omogeljk dezelfde rest kue hebbe bj delg door 4 Omerkg Het ljkt mssche vreemd om de vergeljkg modulo 4 te beschouwe, omdt dr egeljk gee rede toe ws Bj het olosse v ee dergeljke vergeljkg k het best gebeure dt je de vergeljkg eerst modulo dere getlle beschouwt, e et metee beslute k trekke Het s dus belgrjk v et metee o te geve e te bljve robere Her ws 4 og ee vrj logsche keuze omdt het rechterld deelbr s door 4, e dus cogruet s met 0 Dt verklet het tl gevlle omdt er d voor het rechterld mr éé mogeljkhed s Voorbeeld Vd lle gehele getlle x e y wrvoor x 1 5y Olossg We beschouwe de vergeljkg modulo 5 We bekjke eerst wt de mogeljke kwdrtrestklsse zj modulo 5 : 0 0, 1 1, 1, 3 1, 4 1 Meer reste hoeve we et te berekee De mogeljke reste zj dus 0, 1 e 1 Dus x 1 k modulo 5 ekel cogruet zj met 0 1 1, 11 3 e ( 1) 1 1 Het lkerld s echter cogruet met modulo 5 Dt beteket dt er gee olossge zj Oefeg Vd lle tuurljke getlle e remgetlle e q zodt q Oefeg Vd lle gehele getlle e met 0 zodt ( ) 3 5 Pythgorees dretl Ee tuurljk dretl ( bc,, ) wrvoor b c oeme we ee Pythgorees dretl Ide geldt dt ggd( bc,, ) 1 oeme we het dretl rmtef Oefeg Vd lle rmteve Pythgorese dretlle A Too dt e b et tegeljk oeve kue zj Veroderstel u dt b eve s We kue veroderstelle omdt de geljkhed symmetrsch s e b Mr we moete er chterf d wel rekeg mee houde dt ook eve ko zj 9
B Too dt ggd( c b, c b) C Too dt er getlle x e y best zodt D Too dt xy, b x y e Alle rmteve dretlle zj dus v de vorm c x y c b x, c b y ( xy, x y, x y ) of ook ( x y, xy, x y ) omdt we e b kode omwssele e ggd(, ) 1 xy Oefeg Vd ee Pythgorees dretl ( bc,, ) met eve, dt et v de vorm ( xy, x y, x y ) s 6 Klee stellg v Fermt Als ee remgetl s e s ee geheel getl dt gee veelvoud s v, d s 1 1 (mod ) De voorwrde dt s her belgrjk e mg je zeker et vergete bj de oefege Oefeg G dt de stellg klot voor 13 e Oefeg Bewjs de stellg v Fermt Beschouw de getlle x1, x,, x 1 ( 1) A Too dt x x (mod ) omogeljk s ls j j Beschouw u de reste v de getlle x modulo Weges het vorge zj de dus lleml verschlled B Too dt de reste de getlle 1,,, 1 zj, ee wllekeurge volgorde C Defeer u y x1 x x 1 Too dt y ( 1)! (mod ) D Too dt gee deler s v ( 1)! E Gebruk vrge C e D e too dt 1 1 (mod ) Oefeg Bewjs dt voor elk geheel getl e elk remgetl geldt dt (mod ) Oefeg Too dt 10 10 10 1 + + + 9999 deelbr s door 11 Oefeg Stel s ee remgetl Vd lle tuurljke getlle, kleer d zodt 1 1++ + + Oefeg Vd lle remgetlle e tuurljke getlle e b zodt 1 b Oefeg (BrMO 1 007 vrg 1) Vd ver remgetlle 100 de delers zj v 3 3 3 7 Orde Stel e b zj gehele getlle Het kleste tuurljk getl met 0 wrvoor 1 (mod b) oeme we de orde v modulo b Merk o dt de voorwrde 0 oodzkeljk s, ders zou de orde steeds 0 zj De orde v modulo b wordt gewooljk 30
geoteerd ls ord b( ) of O b ( ) Er geldt dt ee orde heeft modulo b ls e slechts ls ggd( b, ) 1 Oefeg Bewjs dt ls ee orde heeft modulo b, d ggd( b, ) 1 A Bewjs dt ls ee orde heeft modulo b, d ggd( b, ) 1 Nu bewjze we og de omgekeerde egesch Stel dus dt ggd( b, ) 1 A Too dt er tuurljke getlle k e l best met k l zodt k l (mod b) B Too dt er ee tuurljk getl bestt met 0 zodt 1 (mod b) Bjgevolg bestt er ook ee klest mogeljke wrde voor e heeft ee orde modulo b Oefeg Stel dt de orde s v modulo b, e dt m ee tuurljk getl s zodt m 1 (mod b) Bewjs dt m Oefeg Zj, b,, q gehele getlle met q, 0 e zj de orde v modulo b Too dt q (mod b) ls e slechts ls q (mod ) 8 Stellg v Euler De stellg v Euler zegt dt ls e gehele getlle zj met ggd(, ) 1 e 1, d ( ) s 1 (mod ) Oefeg Bewjs de stellg v Euler We bewjze eerst v ducte dt de stellg geldt voor A Too dt de stellg geldt voor k 1 ( ) k Veroderstel u dt de stellg geldt voor k D s m 1 k 1 k ( ) ( ) B Too dt k 1 ( ) k1 C Too dt 1 (mod ) Weges ducte geldt de stellg u voor elke Stel 1 1 ( ) r r D Too dt E Too dt 1 (mod ) voor elke ( ) 1 (mod ) k 9 Stellg v Wlso Als ee remgetl s, d geldt ( 1)! 1 (mod ) k k met rem e 0 k Oefeg Bewjs de stellg v Wlso Het s eevoudg te cotrolere dt de stellg geldt voor Veroderstel u dt A Vd eerst lle gehele getlle met 0 zodt 1 (mod ) B Too dt voor elk geheel getl met 0 dt et voldoet vrg A er ee der geheel getl b met 0 b bestt zodt b 1 (mod ), e dt zo' getl b et voor verschllede getlle wordt 'gebrukt' C Too dt ( 1)! 1 (mod ) 31