Tentamina Lineaire Algebra Cursussen Fons Daalderop, Joost de Groot, Roelof Koekoek Mei 4 Uitgangspunten, aanbevelingen en opmerkingen De inhoud van de cursus Lineaire Algebra is voor wat betreft de basisstof en de keuzeonderwerpen omschreven in het Eindrapport Commissie Instellingspakket Lineaire Algebra ( januari ). In dit rapport is ook een paragraaf opgenomen met een aanbeveling over de toetsvorm. Daarin wordt geadviseerd om een tentamen te laten bestaan uit een deel met acht korte antwoordvragen (goed voor 4 punten), en een deel met open vragen (goed voor 5 punten). In de praktijk blijken de tentamina echter qua opzet, moeilijkheidsgraad en type opgaven nogal uiteen te lopen. Om de tentamens op een verantwoorde manier meer te laten overeenkomen, pleiten we er voor om de verantwoordelijke docenten binnen de groepen Design, Construction en Science bij het opstellen van tentamens te laten samenwerken. Van belang is hierbij dat men bij deze tentamens aan de hieronder omschreven (aanbevolen) uitgangspunten probeert te voldoen. Deze zijn opgesteld met betrekking tot A. De opzet van een tentamen Lineaire Algebra B. De organisatie rond het opstellen van een tentamen C. Een databank van tentamenopgaven met uitwerkingen. Aanbevelingen met betrekking tot de opzet van een tentamen Lineaire Algebra Om de uniformiteit te waarborgen bevelen wij de volgende punten aan: In elk tentamen een opgave opnemen waarin naar drie definities gevraagd wordt. Tip: Bij uitwerkingen van een tentamen (op Blackboard) de volledige definitie tonen om te laten zien wat er van de studenten verwacht wordt en niet volstaan met een verwijzing naar het boek. In elk tentamen een opgave opnemen waarin van drie beweringen gevraagd wordt ze te bewijzen dan wel te weerleggen. In het werkschema en bij behandeling tijdens colstructie aandacht geven aan dit soort opgaven. Doel ervan is dat studenten vaardig met begrippen en eigenschappen kunnen omgaan en exacte (logische) afleidingen kunnen geven. Bovenstaande twee opgaven (met in totaal zes onderdelen) bepalen 5% van het eindcijfer.
Wat betreft de rest van het tentamen. Uitgangspunt is dat het tentamen opgaven bevat van dezelfde aard en moeilijkheidsgraad als de opgaven uit het werkschema waarmee studenten tijdens de cursus aan de slag gaan. Suggesties:. Om het genoemde uitgangspunt handen en voeten te geven: bij de meeste opgaven moet in principe expliciet een verwijzing gegeven kunnen worden naar vraagstukken uit het werkschema die vergelijkbaar zijn met de gestelde opgave.. Een opgave liefst focussen op één of twee te toetsen onderdelen. 3. Zoveel mogelijk vermijden dat identieke rekenvaardigheden meerdere keren voorkomen. 4. Aandeel aan rekenwerk behoorlijk beperkt houden [in weinig stappen tot gereduceerde echelonvorm, kleine matrices], handigheidjes vermijden (bijvoorbeeld bij bepaling van determinanten, nulpunten van karakteristieke vergelijking). Accent op juiste keuze en correcte toepassing van rekenmethode. NB. Rekenwerk betreft in wezen niet veel meer dan: vegen tot gereduceerde echelonmatrix; eigenwaarden en eigenvectoren bepalen; determinant uitrekenen; inproduct; Gram Schmidt; matrixproduct uitrekenen. Simpel voorbeeld: Een opgave waarin het toepassen van rijbewerkingen wordt getoetst, een andere opgave waarin het bepalen van de basis voor een kolom- of nulruimte wordt getoetst waarbij de echelonvorm, waarmee de matrix rijequivalent is, al is uitgerekend en wordt aangeboden. Tenminste één opgave is duidelijk op toepassing van de lineaire algebra gericht, dat wil zeggen kleinste-kwadratenmethode, differentievergelijkingen, (differentiaalvergelijkingen, kwadratische vormen). In dergelijke opgaven kan eventueel de optie worden ingebouwd om met de grafische rekenmachine onderdelen uit te werken. Ervaringen met en werkwijze rond het tentamen bij LR (juni 4) zijn wellicht interessant in deze. Normering: Een gelijke normering gebaseerd op 5 punten voor een tentamen. Aanbevelingen met betrekking tot de organisatie rond het opstellen van een tentamen Uitgaan van drie groepen [zie ook Analyse] die voor wat betreft de basisstof vergelijkbare tentamens opstellen: Design-groep (Bk, IO, TB, TI) Construction-groep (CT, LR, ST, TA, WbMT) Science-groep(ET,TNW,TW) Elke groep op zich probeert voor wat betreft de basis (kern)stof tentamenopgaven op te stellen van hetzelfde niveau dan wel uit eenzelfde voorraad aan opgaven te putten. Wij hebben hiertoe voorbeelden bij elkaar gebracht van ons inziens geschikte tentamenopgaven (die aan bovenstaande uitgangspunten voldoen). Tevens hebben we een voorbeeldtentamen opgesteld (groep Design).
Suggestie: Bij de uitkomsten/uitwerkingen ten behoeve van de studenten, per opgave verwijzen naar een overeenkomstige opgave uit het werkschema meegeven. Kanttekeningen: Door uiteenlopende tentamenformats, met name: uurs voor aparte delen [kwartalen] dan wel 3 uurs tentamina [semester], wel/geen multiple choice of kort antwoordvragen, wel/geen bonus/quizz systemen, zal in de praktijk het laten samen vallen van tentamina niet zo eenvoudig realiseerbaar zijn. Wij vermoeden dat het verschil in moeilijkheidsgraad en type van opgaven tussen de Construction- en Science-groep wel eens duidelijk groter zou kunnen zijn, dan tussen de Design- en Construction-groep [nog eens versterkt door de accenten op keuze-onderwerpen die een aparte behandeling krijgen (eigen dictaat ed)]. Databank met tentamenopgaven en uitwerkingen Suggestie: Laat een databank ontstaan met tentamenopgaven, in LATEX ingevoerd en volgens een format die het mogelijk maakt om naar believen een tentamen op te stellen door uit de databank opgaven (met bijbehorende uitwerkingen/uitkomsten) [stukjes L A TEX] te plukken - en daar eventueel wat kleine variaties in aan te brengen. Joost geeft aan dat er vrij snel een format voor een L A TEX-document in elkaar is te zetten waarmee relatief eenvoudig tentamens samen te stellen zijn, door middel van verwijzingen naar opgaven uit de databank. Hij kan dit idee desgewenst verder toelichten. Tentamenvoorbeeld Op de volgende bladzijden geven we een voorbeeld van een twee-uurstentamen voor de designgroep over de stof van één kwartaal. 3
Technische Universiteit Delft Faculteit voor Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Mekelweg 4, Delft Voorbeeldtentamen Lineaire Algebra voor de Design groep, deel tijdsduur: twee uur. ELK ANTWOORD DIENT TE WORDEN BEARGUMENTEERD.. Vul de volgende definities aan: () (a) S = {v,...,v p } is een verzameling vectoren uit R n. Onder Span(S) verstaat men... () (b) Onder een basis voor een deelruimte H van R n verstaat men... () (c) Matrix A is orthogonaal als.... Geef in elk van de volgende gevallen aan of de uitspraak waar is of niet waar is. Beargumenteer uw antwoord. () (a) Als de rang van een m n matrix A gelijk is aan m, danisax = b oplosbaar voor iedere b uit R n. () (b) {u, u + v, u + v} is een lineair onafhankelijke verzameling. () (c) Als A en B vierkante matrices van gelijke afmetingen zijn, dan geldt algemeen: (A B) = A AB+ B. 3. Gegeven is het volgende stelsel vergelijkingen in de onbekenden x, x, x 3 en x 4 : x 3 + 7x 4 = x + 4x 7x 3 =. x x + 3x 3 x 4 = () (a) Veeg de bij dit stelsel behorende aangevulde coëfficiëntenmatrix tot gereduceerde echelonvorm. () (b) Geef de algemene oplossing van dit (consistente) stelsel. () (c) Hoeveel oplossingen heeft het bijbehorende homogene stelsel vergelijkingen? 4. De matrix A is rijequivalent met matrix F 4 A = 3 4 4 () (a) Behoort de vector 3 tot Nul A? () (b) Bepaal een basis voor Nul A, de nulruimte van A. () (c) Bepaal een basis voor Col A, de kolomruimte van A. () (d) Heeft Ax = b voor elke b uit R 3 een oplossing? / 3 7/ = F. 4
() 5. (a) Welke vector in R 3 heeft homogene coördinaten (,, 3, 4 )? (5) (b) (i) Bepaal de 3 3 matrix die gebruik makend van homogene coördinaten de D transformatie beschrijft die roteert over 6 (tegen de klok in) met (6, 8) als rotatiecentrum. () (ii) Bepaal het beeld van punt (, ) onder de bovengenoemde D transformatie. 6. Gegeven zijn de volgende vectoren a =, a = 4, a 3 = 5, b = () (a) Toon aan dat {a, a } eenbasisisvanw = Span{a, a, a 3 }. () (b) Bepaal, met behulp van Gram-Schmidt, een orthogonale basis voor W. () (c) Bepaal een orthogonale projectie van de vector b op W. () (d) Is de kleinste-kwadratenoplossing van Ax = b uniek? (dit is te beantwoorden zonder de kleinste-kwadratenoplossing te bepalen). 5 3 7 4 7. [GR] Een zeker fysisch probleem wordt gemodelleerd door de vergelijking y = Ae 3t + Be t. Verder zijn gegeven de (x, y)-data (,.6), (, 6) en (, 3). A en B worden bepaald met behulp van de kleinste kwadraten methode. (3) (a) Geef de design-matrix, de parameter -vector en de observatie-vector. (3) (b) Bereken met je grafische rekenmachine A en B. Zonder GR Bereken (door toepassing van de kleinste kwadraten methode) β en β zo dat de grafiek van y = β + β x zo goed mogelijk aansluit bij de punten (, ), (, ), (, ) en (, 4). Opgave 3 4 5 6 7 Punten 6 6 5 6 8 8 6 (+5 = 5) 5
Voorbeelden van tentamenopgaven In de nu volgende verzameling zijn voorbeeldopgaven opgenomen over de basisstof zoals die omschreven is in het Eindrapport Commissie Instellingspakket Lineaire Algebra van januari en die voldoen aan de uitgangspunten zoals die geformuleerd zijn in het rapportje Tentamina Lineaire Algebra Cursussen. Tevens zijn enkele voorbeeldopgaven opgenomen over keuzeonderwerpen (lineaire afbeeldingen, algemene vectorruimten, inwendig productruimten, kwadratische vormen en definiete matrices), die bij veel opleidingen worden gekozen. Voorbeeldopgaven over keuzeonderwerpen (zoals numerieke methoden, stelsels lineaire differentiaalvergelijkingen, de singuliere-waardendecompositie en de vectorruimte C n ) die minder vaak worden gekozen zijn achterwege gelaten. Bij de opgaven is steeds aangegeven voor welk niveau (Design-, Construction- en/of Sciencegroep) deze geschikt zijn. Sommige opgaven zijn alleen geschikt als bepaalde accenten zijn aangebracht tijdens de cursus, zoals bijvoorbeeld opgaven over de toepassing van determinanten bij oppervlakte- en volumeberekeningen of over het maximum/minimum van een kwadratische vorm onder bepaalde voorwaarden. Kort antwoord vragen. 3 definitie-vragen. Op basis van 5 punten punten per onderdeel. Voorbeelden. Vul de volgende definities aan: () Als S = {v,...,v p } een verzameling vectoren uit R n is, dan geldt Span(S) =... () De verzameling vectoren {v,...,v p } is lineair onafhankelijk als... () Een afbeelding T : R n R m is een lineaire afbeelding (transformatie) als.... () Een deelruimte van R n is een verzameling H van vectoren uit R n waarbij aan de volgende eigenschappen wordt voldaan:... () Zij U een deelruimte van de vectorruimte V (van R n ). De verzameling {b,...,b n } is een basis voor U als.... () Laat B = {b,...,b n } een basis zijn voor R n en x R n.deb-coördinaten van x zijn... () De dimensie van een deelruimte H van R n (met H { }), is... () De kolomruimte van een matrix A is... () De nulruimte van een matrix A is... () De rang van een matrix A is per definitie gelijk aan... () Twee vectoren u en v uit R n zijn orthogonaal als... () Laat W een verzameling vectoren uit R n zijn. W,hetorthogonaal complement van W,is dan... () Een matrix A is orthogonaal als... () Zij A een m n-matrix en b R m.eenkleinste-kwadratenoplossing van Ax = b is... () Een eigenvector van een (vierkante) matrix A is... () Een getal λ is een eigenwaarde van een matrix A als... () Een (vierkante) matrix A is diagonaliseerbaar als... () Een (vierkante) matrix A is orthogonaal diagonaliseeerbaar als... () Een kwadratische vorm Q op R n is indefiniet als... 6
. 3 onderdelen. punten per onderdeel. Uitspraken waarvan waarheid dan wel onwaarheid moet worden aangegeven, met korte beargumentatie. Voorbeelden. Geef in elk van de volgende gevallen aan of de uitspraak waar is of niet waar is. Beargumenteer je antwoord. Design, Construction, Science () Als de rang van een m n-matrix A gelijk is aan m, danisax = b oplosbaar voor iedere b uit R n. () Een stelsel lineaire vergelijkingen met twee verschillende oplossingen heeft oneindig veel oplossingen. () Als p een oplossing is van Ax = b en q een oplossing is van Ax =, danisp + αq voor elke α R een oplossing van Ax =. () Als A en B vierkante matrices zijn, dan geldt algemeen: (A B) = A AB+ B. () Als A en B inverteerbare matrices van gelijke afmetingen zijn, dan is A + B ook inverteerbaar. () {u, u + v, u + v} is een lineair onafhankelijke verzameling. () Als {u, v, w, z} lineair onafhankelijk is, dan zijn u, v, w en z geen vectoren in R 3. () w is een vector van Span{u, u + v, u + v + w}. () Gegeven is dat {v,...,v p } een lineair onafhankelijke verzameling vectoren is (p >). Dan is {v,...,v p } ook lineair onafhankelijk. () Gegeven is dat W = Span{v,...,v p }. Dan geldt ook W = Span{v,...,v p+ }. [ ] x () De verzameling van vectoren uit R y met de eigenschap xy > is een deelruimte van R. () De verzameling {(x, y) x eny } is een lineaire deelruimte van R. x () De verzameling van vectoren y uit R 3 met de eigenschap x+3y z = is een deelruimte z van R 3. () Als A een 6 5-matrix is, dan is Col(A) een deelruimte van R 5. () Als W = Span{v,...,v 3 } en v 4 W,danis{v,...,v 4 } lineair afhankelijk. () Als T : R n R m een surjectieve (dus onto ) lineaire afbeelding is, dan moet gelden: m>n. () Als A een m n-matrix is en de rang van A is m, dan is de lineaire afbeelding x Ax injectief (dus one-to-one ). ([ ]) [ ] () De afbeelding T : R R x x 3x met T = is een lineaire afbeelding. x x x () Gegeven is dat A en B inverteerbare matrices zijn. Als ACB = D, dan geldt C = A B D. () Als twee vectoren orthogonaal zijn, dan vormen ze een lineair onafhankelijk tweetal vectoren. () Als u v = u + v,danu v. () Als x W en ook x W,danx =. () Als U orthonormale kolommen heeft, dan geldt UU T = I. 7
() Als A vierkant is en orthonormale kolommen heeft, dan heeft A ook orthonormale rijen. () De matrix is een orthogonale matrix. () Als U een vierkante matrix is met det UU T =, dan geldt det U = ±. () det A T A. () Als det A =endetb = 3, dan geldt det(a + B) =5. () Als v en v twee lineair onafhankelijke eigenvectoren zijn van matrix A, danhorenzebij verschillende eigenwaarden. () Als de n n-matrix Anverschillende eigenwaarden heeft, dan is A diagonaliseerbaar. () Matrix A is niet inverteerbaar dan en slechts dan als een eigenwaarde is van A. () Als λ een eigenwaarde is van een inverteerbare matrix A, danisλ eigenwaarde van A. () Als n n-matrix A diagonaliseerbaar is, dan heeft Anverschillende eigenwaarden. () Als 6 6-matrix A precies twee verschillende eigenwaarden heeft en elke eigenruimte is 3-dimensionaal, dan is A diagonaliseerbaar. () Elke eigenwaarde van A is ook eigenwaarde van A. () Gelijkvormige matrices hebben precies dezelfde eigenwaarden. () De som van twee eigenvectoren van matrix A is ook een eigenvector van A. () Als A en B inverteerbaar zijn, dan is AB gelijkvormig met BA. Construction, Science () Als A inverteerbaar is, dan is A ook inverteerbaar () Als de vierkante matrices A en B rij-equivalent zijn, dan zijn hun determinanten gelijk. () Voor elke matrix A geldt rang(a) =rang(a T ). () {+t, 3+t, t } is een basis voor P. () Als P een inverteerbare projectiematrix is, dan P = I. () Als A en B positief definiete symmetrische matrices zijn, dan is A + B ook een positief definiete symmetrische matrix. Science () Als voor de matrices A en B geldt dat AB inverteerbaar is, dan zijn A en B inverteerbaar. () In de vectorruimte van reëelwaardige functies met domein R nemen we de deelruimte W = Span{, cos x, sin x, cos x, sin x, sin x cos x}. Dan geldt dim W =3. () De afbeelding T : M 3 3 R 3 gedefinieerd door T (A) =A is lineair. 8
() 5 5 =. () Elke vierkante reële matrix heeft tenminste één reële eigenwaarde. () De uitdrukking x, y =x y +x y +3x 3 y 3 + x y + x y x y 3 x 3 y definieert een inwendig product op R 3. () De kwadratische vorm Q : R 3 R wordt gedefinieerd door Q(x) = x x 3x 3 +x x +6x x 3 +4x x 3. Er bestaat een x zo dat Q(x) =. 9
Stelsels Design, Construction, Science 3. Gegeven is het volgende stelsel vergelijkingen in de onbekenden x, x, x 3 en x 4 : x 3 + 7x 4 = x + 4x 7x 3 =. x x + 3x 3 x 4 = (a) Geef de algemene oplossing van dit stelsel. (b) Hoeveel oplossingen heeft het bijbehorende homogene stelsel vergelijkingen? (c) Kan men de getallen -,, rechts van de gelijktekens zodanig wijzigen dat het resulterende stelsel strijdig is? (d) Men voegt de vergelijking x 3 = x 4 toe aan het hierboven gegeven stelsel. Hoeveel oplossingen heeft dit nieuwe stelsel van 4 vergelijkingen? 4. Beschouw het stelsel vergelijkingen x x + 5x 3 = 3x x + 7x 3 = β 5x + αx 3 =. (a) Veeg de aangevulde matrix die bij dit stelsel hoort tot echelonvorm. (b) Voor welke waarde(n) van α en β is het stelsel strijdig? (c) Voor welke waarde(n) van α en β heeft het stelsel oneindig veel oplossingen? (d) Voor welke waarde(n) van α en β heeft het stelsel precies één oplossing? (e) Bepaal de oplossing in het geval dat α = β =. Construction, Science 5. Beschouw het volgende stelsel vergelijkingen: x + x x 3 = x + αx + x 3 = x + αx + (α +6)x 3 = β (α, β R). (a) Voor welke α heeft dit stelsel precies één oplossing? (b) Voor welke α heeft dit stelsel geen oplossing? (c) Voor welke α heeft dit stelsel oneindig veel oplossingen? (d) Los dit stelsel op voor α = 4 enβ =. 6. Gegeven zijn de volgende matrix en vector: 3 A = 3α en b = 4 6α α α 3 β (α, β R).
(a) Voor welke waarden van α en β heeft Ax = b géén oplossingen? (b) Los het stelsel Ax = b op voor α =enβ =.
Vectoren Construction, Science 7. Gegeven zijn vier vectoren t, u, v en w in R 3, waarbij t zowel in Span{u, v} als in Span{v, w} ligt. Verder is {u, v, w} lineair onafhankelijk. Laat zien dat t een scalair veelvoud is van v. 8. Gegeven is de matrix A = 3 3α 4 6α α α Leg uit zonder te rekenen: Voor iedere α R zijn de kolommen van de matrix A afhankelijk.
Matrixalgebra Design, Construction, Science 9. Gegeven zijn de matrices A = [ ] [, B = 5 5 ] en C = 3 5 4 (a) Bereken (zo mogelijk) de matrices AA T, AB en BA + C. (b) Bepaal alle matrices X zodanig dat AX = B. (c) Bepaal alle matrices Y zodanig dat YA= C. (d) Is C inverteerbaar? Construction, Science. Gegeven is de matrix: A = 3 6 a a a a Voor welke waarden van a is A inverteerbaar? Science. Zij A een m n-matrix waarbij matrices B en C bestaan zo dat AB = I en CA = I. (a) Wat zijn de afmetingen van B en van C? (b) Toon aan: Ax = heeft precies één oplossing. [Aanwijzing: Gebruik de gegevens; een pivotargument werkt niet!] (c) Toon aan: Ax = b heeft voor elke b R m tenminste één oplossing. [Aanwijzing: Gebruik de gegevens; een pivotargument werkt niet!] (d) Toon aan: A is vierkant. [Aanwijzing: Gebruik (b) en (c) en een pivotargument.] 3
Lineaire afbeeldingen (behoort niet tot basisstof) Design, Construction, Science. Gegeven is de matrix A = 3 3α 4 6α α α Voor welke waarden van α is de afbeelding T : R 4 R 3 gedefinieerd door T (x) =Ax surjectief (dus onto )? 3. De lineaire afbeelding T : R R spiegelt een vector eerst in de lijn y = x en spiegelt het resultaat daarna in de x-as. Geef de standaardmatrix van deze lineaire afbeelding. 4. Is de afbeelding T : R 3 R gedefinieerd door T (x,x,x 3 )=(π x +3x,x + x 3) een lineaire afbeelding? 5. Is de lineaire afbeelding T : R 4 R 3 gedefinieerd door T (x,x,x 3,x 4 )=(x + x + x 4,x 3 + x 4,x + x + x 3 +x 4 ) injectief (dus one-to-one )? En surjectief (dus onto )? 4
Deelruimten van R n Design, Construction, Science 6. De matrix A is rijequivalent met matrix F 4 A = 3 4 4 / 3 7/ = F. (a) Bepaal een basis voor Nul A, de nulruimte van A. (b) Bepaal een basis voor Col A, de kolomruimte van A. (c) Heeft Ax = b voor elke b uit R 3 een oplossing? Alternatieven voor (c) kunnen zijn: Laat zien dat Ax = b géén oplossing heeft als b =[3] T. matrixvergelijking op te lossen. Toon dit aan zonder de Er is gegeven dat b = a 3 + a 5 (waarbij A =[a a...a 5 ]). Geef alle oplossingen van de matrixvergelijking Ax = b. Er geldt dat de dimensie van de kolomruimte van A gelijk is aan de dimensie van de kolomruimte van A T. Wat is de dimensie van de nulruimte van A T? 7. Beschouw het vlak V gegeven door de vergelijking x +3x x 3 =. Toon aan dat V een deelruimte van R 3 is. 8. Gegeven is de n n-matrix A en de verzameling W = {x R n Ax = 3x}. BewijsdatW een lineaire deelruimte is van R n. Construction, Science 9. Gegeven zijn de matrix A en de vectoren v en v : 3 A =, v = 4 (a) Bepaal een basis voor Col A, de kolomruimte van A. (b) Bepaal een basis voor Nul A, de nulruimte van A. (c) Is {v, v } een basis voor Col A? Alternatieven voor (c) kunnen zijn: en v = Laat zien dat (, 4, 5) tot Col A behoort en bepaal de coördinaten t.o.v. de basis B = {v, v } voor Col A; Laat zien dat de kolomruimte van A en Span {v, v } gelijk zijn? 3 Science Zijn de kolomruimte van A en Span {v, v } hetzelfde? 5
Algemene vectorruimten (geen basisstof) Design, Construction, Science. Laat B = {b, b } de basis voor R zijn, waarbij [ ] b = en b 8 = [ ] (a) Bepaal y als gegeven is dat [y] B =. [ ] (b) Bepaal [x] B als gegeven is dat x =. (c) Geef de overgangsmatrix P B. [ 5 ].. Gegeven is dat B = {b, b } en C = {c, c } basis zijn voor R, waarbij [ ] [ ] [ ] [ b =, b 8 =, c 5 = en c 4 = (a) Bepaal de overgangsmatrix P van de basis B naar de basis C. C B (b) Bepaal de overgangangsmatrix P van C naar B. B C (c) Bepaal [x] C als x = 3b +4b. ].. De lineaire afbeelding T : R R spiegelt een vector eerst in de lijn y = x en spiegelt het resultaat daarna in de x-as. (a) Geef de standaardmatrix van deze lineaire afbeelding. {[ ] [ ]} Neem nu B =, als basis voor R. (b) Bepaal de matrix [T ] B van T ten opzichte van de basis B. Construction, Science 3. Neem b = 4 A =, b = 3 4 5, c =, en c = 3 3 (a) Bepaal de dimensie van de nulruimte van A. (b) Laat zien dat B = {b, b } een basis voor de nulruimte van A is. 6
Een tweede basis voor de nulruimte van A is C = {c, c }. (c) Bepaal de overgangsmatrix P van de basis B naar de basis C. C B (d) Bepaal de coördinaten van v =(9, 3, 4,, 5) ten opzichte van de basis B (dus bepaal [v] B ) en bepaal daarna [v] C met behulp van de bij (c) gevonden matrix. 4. In R 3 zijn de bases B = {b, b, b 3 } en C = {c, c, c 3 } gegeven, waarbij b = c c, b = c + c + c 3 en b 3 = c c 3. Bepaal [x] B als x =3c +4c + c 3. 5. Gegeven is een onafhankelijk stelsel vectoren {b,...,b k } in R n. Toon aan dat als x R n een lineaire combinatie is van de vectoren uit stelsel {b,...,b k }, zeg x = c b +...+ c k b k,dat dan de gewichten c,...,c k uniek zijn bepaald. 6. Voor i =,, 3 definiëren we de functies f i : R R door f (x) = (voor alle x), f (x) =cos x en f 3 (x) =sinx cos x. Definieer verder V = Span{f,f,f 3 }. Gegeven is dat B = {f,f,f 3 } een basis voor V is (dit hoef je dus niet te bewijzen). De functie g : R R wordt gedefinieerd door g(x) =cosx en de lineaire afbeelding T : V V door T (f) =f + f. (a) Laat zien dat g element van V is en bepaal de coördinaten van g t.o.v. de basis B (dus bepaal [g] B ). [Aanwijzing: cos x =cos x sin x.] (b) Bepaal de matrix [T ] B van T t.o.v. de basis B. (c) Bepaal [T (g)] B. 7
Orthogonale projecties Design, Construction, Science 7. Gegeven zijn de volgende vectoren a =, a = 4, a 3 = 5, b = (a) Toon aan dat {a, a } eenbasisisvanw = Span{a, a, a 3 }. (b) Bepaal, met behulp van Gram-Schmidt, een orthogonale basis voor W. (c) Bepaal een orthogonale projectie van de vector b op W. Laat A =[a a a 3 ]. (d) Is de kleinste-kwadratenoplossing van Ax = b uniek? (dit is te beantwoorden zonder de kleinste-kwadratenoplossing te bepalen). Alternatieven voor (d) kunnen zijn: Bereken b Ae en b Ae en laat zien dat e geen kleinste-kwadratenoplossing kan zijn van Ax = b. Bepaal een kleinste-kwadratenoplossing van Ax = b. Dit kan hier met weinig rekenwerk door gebruik te maken van onderdeel (c). 8. Gegeven zijn de volgende deelruimte van R 4 en vectoren: V = Span 3,, 5, b = 3 6 5 3 7 4 en p = (a) Laat zien dat p de orthogonale projectie van b op V is. (b) Geef een vector z die loodrecht op V staat. (c) Geef twee verschillende vectoren ongelijk aan b waarvan de orthogonale projectie gelijk is aan p. 9. Gegeven zijn de volgende matrix en vector: 3 5 B = 4 4 6 3 5 4 en b = (a) Bepaal een basis voor Col(B) en geef, door toepassing van Gram-Schmidt op deze basis, een orthogonale basis voor Col(B). 5 8 9 8
(b) Geef een matrix U met orthonormale kolommen waarvan de kolomruimte gelijk is aan de kolomruimte van B. IsU een orthogonale matrix? (c) Bepaal die vector w in Col(B) waarvan de afstand tot b minimaal is en bereken deze afstand. (d) Geef een vector, ongelijk aan b en ongelijk aan w, waarvan de orthogonale projectie op Col(B) gelijk is aan w. (e) Geef een basis voor het orthogonale complement van Col(B). 3. Hoeveel kleinste-kwadratenoplossingen heeft het stelsel Ax = b als A =? 3 3. Bereken (door toepassing van de kleinste-kwadratenmethode) β en β zo dat de grafiek van de functie y = β + β x zo goed mogelijk aansluit bij de punten (, ), (, 6) en (, 4). 3. Gegeven zijn de volgende matrix en vectoren A = 3 4, b =, p = en q = Bereken Ap en Aq en beredeneer vervolgens, zonder de kleinste-kwadratenmethode te gebruiken, welke van de vectoren p en q onmogelijk een kleinste-kwadratenoplossing van het stelsel Ax = b kan zijn. 33. Beschouw de puntenwolk : (, ), (, 6), (4, 3) en (9, ) in het (x, y)-vlak. (a) Bepaal de kleinste-kwadratenkromme van de vorm y = γ + γ x die deze puntenwolk het best benadert. Gegeven is dat y = + x de kleinste-kwadratenlijn is die deze puntenwolk het best benadert. (b) Welke van deze benaderingen is beter en waarom? [Aanwijzing: denk aan de kleinste-kwadratenfout.] Construction, Science 34. Neem A = en b = 5. (a) Bepaal een kleinste-kwadratenoplossing van Ax = b. (b) Bepaal de orthogonale projectie van b op de kolomruimte van A. (c) (i) Leg uit hoe de matrix P van de orthogonale projectie op de kolomruimte van A gevonden kan worden (je hoeft P dus niet uit te rekenen!). (ii) Wat is de meetkundige betekenis van P x voor x R 3? 35. Beschouw de punten P =(6,, ), Q =(4,, ) en R =(,, ) in de ruimte en het vlak V gegeven door de vergelijking x +3x x 3 =. 9
(a) Bereken de oppervlakte van driehoek PQR. (b) Bepaal een orthogonale basis voor V. (c) Bepaal de afstand van het punt P tot het vlak V. 36. Gegeven zijn A = en b = 3. (a) Bereken een QR-ontbinding van de matrix A. (b) Bepaal een kleinste-kwadratenoplossing van Ax = b. (c) Bepaal de (orthogonale) projectie van b op Col A, de kolomruimte van A. Science 37. Laat B = {b, b, b 3 } een orthogonale basis voor een inwendig productruimte V zijn met b = b =en b 3 = 3. Laat verder x een vector in V zijn met [x] B =(,, ). Bewijs of weerleg: x = 6.
Determinanten Design, Construction, Science 38. Gegeven de n n-matrices A en B met det A =3endetB =. (a) Bepaal det(b A). (b) Bepaal det(3b T ). (c) Hoeveel oplossingen heeft A 5 x =? 39. Beschouw de vectoren a =, b = 3 3 5 en c = 4 p (a) Bepaal die waarde(n) van p waarvoor het volume van het parallellepipedum opgespannen door de drie vectoren a, b en c gelijk is aan 7. (b) Voor welke waarde(n) van p is de matrix A =[ abc] inverteerbaar? 4. Beschouw de punten P =(, 3), Q =(, 5), R =(5, 4) en S =(3, ) in het platte vlak. Bereken de oppervlakte van vierhoek PQRS met behulp van determinanten. 4. Gegeven is de matrix A = a b+ c b a+ c c a+ b Laat met behulp van veegoperaties zien dat det(a) =. Construction, Science 4. Gegeven zijn 4 4-matrices A en B met det(a) =3endet( A B) =. Bepaal det(b). 43. De n n-matrix U heeft de eigenschap dat U T U = I en dat det(u ) <. Bepaal det(u) en det(u). 44. Gegeven zijn de punten A =(, ), B =(, 4) en C =(, 5) in het platte vlak. Bepaal met behulp van determinanten alle punten D =(,y)op de y-as zodanig dat de oppervlakte van driehoek ABD gelijk is aan de oppervlakte van driehoek BCD.
Eigenvectoren en eigenwaarden Design, Construction, Science 45. Beschouw de matrix A = 4 6 6 8. Gegeven is dat en 9 eigenwaarden zijn van A. (a) Bepaal bases voor de eigenruimten behorende bij de eigenwaarden en 9. (b) Heeft matrix A nog andere eigenwaarden? Leg uit. (c) Waarom is A diagonaliseerbaar? Is A orthogonaal diagonaliseerbaar? (d) Diagonaliseer matrix A (d.w.z. geef een matrix P en een diagonaalmatrix D zodat A = PDP ). (e) Beschouw de lineaire afbeelding T : R 3 R 3 met T (x) =Ax. Geef een basis B voor R 3 waarbij de B-matrix voor de transformatie T een diagonaalmatrix is. Wat is de bijbehorende matrix [T ] B? 46. Gegeven een 8 8-matrix A met eigenwaarden -, 3 en 7. Voor de eigenruimten E en E 3 geldt: dim E =5endimE 3 =. (a) Wat is dim E 7? (b) Geef de (algebraïsche) multipliciteit van elke eigenwaarde. (c) Waarom is A gelijkvormig met een diagonaalmatrix D? (d) Toon aan dat det A =detd en bereken hiermee det A. (e) Laten v en w eigenvectoren zijn van A bij respectievelijk eigenwaarden - en 3. Toon aan dat v + w geen eigenvector kan zijn van A bij eigenwaarde 7. 47. Gegeven zijn de volgende symmetrische matrix B en drie vectoren v, v en v 3 : 4 B = 4, v =, v = 3 en v 3 = 4 4 6 4 (a) Toon aan dat de drie vectoren v, v en v 3 eigenvectoren van B zijn en bepaal de bijbehorende eigenwaarden. (b) Waarom is A diagonaliseerbaar? (c) Bepaal een matrix P en een diagonaalmatrix D zodat B = PDP. (d) Bepaal een orthogonale diagonalisering van de matrix B. 48. Gegeven zijn de volgende matrix en vectoren: 4 3 A = 3, b = en c = (a) Welke van de vectoren b en c is (zijn) eigenvector(en) van de matrix A en welke niet? Waarom?
(b) Laat zien dat en 3 de enige eigenwaarden van A zijn. Geef ook de algebraïsche multipliciteit van deze eigenwaarden. (c) Bepaal bij elke eigenwaarde een basis voor de bijbehorende eigenruimte. (d) Is A diagonaliseerbaar? Zo ja, bepaal een diagonalisering van A (d.w.z. geef een inverteerbare matrix P en een diagonaalmatrix D zo dat A = PDP ). Zo nee, waarom niet? (e) Bepaal de oplossing van de differentievergelijking x k+ = Ax k als x = b. 3
Construction, Science 49. Gegeven zijn de volgende matrices: P = en D = 3 Verder is A = PDP. Beantwoord de volgende vragen zonder A uit te rekenen! Geef argumenten! (a) Wat zijn de eigenwaarden van A? Geef ook de algebraïsche multipliciteiten. (b) Bepaal bij elke eigenwaarde een basis voor de bijbehorende eigenruimte. (c) Waarom is A symmetrisch? (d) Welke van de volgende eigenschappen heeft A wel en welke niet: positief definiet, positief semidefiniet, negatief definiet, negatief semidefiniet, indefiniet? Beargumenteer! (e) Is A een projectiematrix? (f) Is A gelijk aan RCR als R = 3 3 en C = 5. De matrix A is gefactoriseerd in de vorm PDP met 4 3 P = 3 4 en D = 5 (a) Bepaal de eigenwaarden van A en bepaal de eigenruimten van A. (b) Laat, zonder A uit te rekenen, zien dat de matrix A symmetrisch is. (c) Geef een spectraalontbinding van de matrix A. (d) Is de matrix A inverteerbaar? Zo ja, geef een diagonalisering van A. Science 5. Gegeven is dat A een symmetrische 3 3-matrix is met Nul(A I) = Span, 4. Verder is gegeven dat det(a) =. (a) Leg uit dat A de eigenwaarden en heeft. Geef ook de algebraïsche multipliciteiten. (b) Bepaal bij elke eigenwaarde een basis voor de bijbehorende eigenruimte. (c) Bestaat er een symmetrische matrix B zo dat A = B T B? Zo ja, geef aan hoe B gevonden kan worden. Zo nee, waarom niet? [Aanwijzing: Probeer de diagonaalmatrix D van een orthogonale diagonalisering van A te schrijven als D = C = C T C]? 4
5. Zij A een nilpotente n n-matrix (d.w.z. er is een k zo dat A k =). (a) Toon aan: A heeft slechts de eigenwaarde nul. (b) Toon aan: Als A danisa niet diagonaliseerbaar. (c) Geef een voorbeeld van een nilpotente matrix ongelijk aan de nulmatrix. 53. Laat u R n een vector met lengte zijn. Definieer H = I n uu T. (a) Toon aan: u is een eigenvector van H bij de eigenwaarde. (b) Toon aan: Als x u dan is x een eigenvector van H bij de eigenwaarde. (c) Toon aan: en zijn de enige eigenwaarden van H. 5
Inwendig product ruimten (geen basisstof) Science 54. Op de vectorruimte van alle continue functies op het interval [, ] nemen we het inwendig product f,g = f(x)g(x) dx. (a) Bepaal de afstand tussen de functies p(x) =x en q(x) =x. (b) Bepaal een orthogonale basis voor Span{p, q}. (c) Bepaal de functie g(x) =ax + bx (a, b R) die de functie f(x) =x 3 op het interval [, ] (met betrekking tot dit inwendig product) het best benadert. 55. (a) Op P, de vectorruimte van polynomen met graad of minder, definiëren we p, q = p()q() + p()q(). Waarom is dit geen inwendig product op P? De uitdrukking p, q = p()q() + p()q() + p()q() definieert wel een inwendig product op P (dit hoef je niet aan te tonen!). We beschouwen de polynomen p (x) =x x, p (x) =x 3 en p(x) =3x 4x 3. (b) Bepaal een orthogonale basis voor Span{p,p }. (c) Bereken de orthogonale projectie van p op Span{p,p }. 6
Kwadratische vormen en definiete matrices Zie ook opgave 49 Design, Construction, Science 56. Gegeven zijn de volgende kwadratische vormen op R 3 : Q (x) =x + x +x x 3 +x x 3 en Q (x) = (x +x ) 3(x 4x 3 ). (a) Welke van de volgende eigenschappen heeft Q : positief definiet, negatief definiet, positief semidefiniet, negatief semidefiniet en/of indefiniet? (b) Welke van de volgende eigenschappen heeft Q : positief definiet, negatief definiet, positief semidefiniet, negatief semidefiniet en/of indefiniet? (c) Bepaal het maximum M van Q (x) onder de voorwaarde dat x T x = en bepaal een eenheidsvector x zo dat Q (x) =M. (d) Bepaal het minimum m van Q (x) onder de voorwaarde dat x T x = en bepaal een eenheidsvector x zo dat Q (x) =m. 57. Gegeven is de matrix [ A = 3 3 ] en de kwadratische vorm Q(x) =x T Ax. (a) Welke van de volgende eigenschappen heeft Q: positief definiet, negatief definiet, positief semidefiniet, negatief semidefiniet en/of indefiniet? (b) Geef een orthogonale matrix P, zo dat voor de verandering van variabele x = P u geldt dat de kwadratische vorm Q geen kruisproducten meer bevat. Geef de vorm zonder kruisproducten. (c) Construction, Science Schets de niveaukromme Q(x) =. Van welke coördinatentransformatie heb je hierbij gebruik gemaakt? Hoe ziet de kwadratische vorm eruit in de nieuwe coördinaten? Teken in de schets de nieuwe assen. (d) Science Bestaat er een inverteerbare matrix W zo dat A = W T W? Zo ja, geef zo n matrix W. Zo nee, waarom niet? [Aanwijzing: Probeer de diagonaalmatrix D van een orthogonale diagonalisering van A te schrijven als D = C = C T C] 7