Differentiaalvergelijkingen en Matrices. R.R. van Hassel

Transcriptie

1 Differentiaalvergelijkingen en Matrices R.R. van Hassel

2 2

3 Inhoudsopgave 0 Algemeen Diktaat Literatuur Computer Opgaven Onderwijsvorm College en Practicum Week Introductie Complexe getallen Definitie Algebraïsch Meetkundig ( poolcoördinaten) Complexe functies College en Practicum Week Introductie Algemene begrippen Homogene differentiaalvergelijkingen met constante coëfficiënten Geval Geval Geval Inhomogene lineaire differentiaalvergelijkingen Basis regels Aanpassings regels Som regel College en Practicum Week Introductie Toepassingen van de voorafgaande theorie Een polynoom als inhomogene term De mathematische en fysische slinger De aardbevingsmeter Aannamen maken Dimensies tellen Bijzondere oplossingen Resonantie Slot

4 Lijst van figuren 1 Exacte en benaderde oplossing Slinger Aardbevingsmeter Demper-veer systeem Diverse gedempte trillingen Resonantie Lijst van tabellen 1 Probeer oplossingen

5 0 Algemeen 0.1 Diktaat Dit diktaat gaat zoals de titel al zegt over differentiaalvergelijkingen en matrices. De twee onderwerpen staan in deze cursus wat los van elkaar. Vandaar dat het diktaat eigenlijk uit twee delen bestaat. Eén deel gaat over differentiaalvergelijkingen en het andere deel over matrices. Daarentegen hebben de beide onderwerpen wel degelijk met elkaar te maken en dat met name bij het numeriek oplossen van differentiaalvergelijkingen. 0.2 Literatuur Het college staat voor een deel in de volgende boeken: Kreyszig [4], hierop is feitelijk het college gebaseerd en is prettig om dit boek in bezit te hebben, James [2], een deel van de matrixrekening kan hierin worden teruggevonden, Adams [1], dit boek hebben de studenten en hierin kunnen zij een deel van de stof terugvinden. Kolman [3], in dit boek kunnen de studenten ook terecht voor het deel van de matrixrekening, dit boek wordt ook bij andere studierichtingen voor matrixrekening gebruikt. 0.3 Computer De studenten hebben ervaring met Maple. Misschien komt er een soort van handleiding waardoor het duidelijk wordt hoe Maple bij dit vak kan worden gebruikt. Het pakket Matlab zou handig zijn bij het behandelen van de matrices. Gezien de beperkte tijd wordt hiervan afgezien. 0.4 Opgaven Het is de bedoeling dat de studenten zelf de opgaven proberen en tijdens het practicum zelf met vragen komen. 5

6 0.5 Onderwijsvorm College met een aparte instructie. Docent: René van Hassel, kamer: HG 8.89, Suggesties voor verbetering van het diktaat zijn van harte welkom. Indeling van de middag. In principe 3 uur college en 3 uur practicum. Referenties [1] Robert A. Adams. Complete Course Calculus. Addison-Wesley, Reading, Massachusetts, third edition, [2] Glyn James. Modern Engineering Mathematics. Addison-Wesley, Reading, Massachusetts, second edition, [3] Bernard Kolman. Elementary Linear Algebra. Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ 07458, 7th edition, [4] Erwin Kreyszig. Advanced Engineering Mathematics. Wiley, New York, 8th edition, College en Practicum Week Introductie College zal 3 keer 3 kwartier in beslag nemen. Probeer de opgaven van Practicum 1 thuis te maken. Het een en ander na te lezen in Kreyszig, hoofdstuk 12. De behandelde stof zal veel worden gebruikt in de hierop volgende weken! 6

7 1.2 Complexe getallen Complexe getallen zijn nodig bij het oplossen van DV en ook bij berekeningen aan matrices spelen zij een rol van betekenis. Definitie van een complex getal. Algebraïsche manipulaties. Meetkundige voorstelling. Functies over de complexe getallen Definitie Definitie 1 Een complex getal z is een geordend paar reële getallen (x, y). Wij noemen x het reële deel van z, dus x = Re(z) en y het imaginaire deel van z, dus y = Im(z). De complexe getallen worden ook wel aangeduid met C. De reële getallen zullen steeds worden aangeduid met R. Het element (0, 1) C wordt de imaginaire eenheid genoemd en aangeduid met i, dus i = (0, 1) C Algebraïsch Met de complexe getallen wordt gerekend en er zal dus een optelling en een vermenigvuldiging moeten worden gedefinieerd. Definitie 2 Binnen C is een optelling en een vermenigvuldiging gedefinieerd door middel van z 1 + z 2 = (x 1 + x 2, y 1 + y 2 ) (1) z 1 z 2 = (x 1 x 2 y 1 y 2, x 1 y 2 + x 2 y 1 ) (2) voor z 1 = (x 1, y 1 ) C en z 2 = (x 2, y 2 ) C. Opmerking 1 Het is aan te bevelen om een complex getal z = (x, y) te schrijven als z = x+iy. Op deze manier is een vermenigvulding niets anders dan het uitvermenigvuldigen van en gebruiken dat i 2 = 1. (x 1 + iy 1 ) (x 2 + iy 2 ) 7

8 In principe gelden eigenlijk alle rekenregels die ook voor de reële getallen worden gebruikt. Dus optellen, aftrekken en vermenigvuldigen leveren in principe geen problemen op. Delen gaat ook goed mits het complexe getal ongelijk is aan nul. Bij het delen is het wel handig gebruik te maken van een nieuw begrip en dat is de complex geconjugeerde van een complex getal. Definitie 3 Indien z = x+iy dan wordt z = x iy de complexe geconjugeerde van z genoemd. Hieronder volgen een aantal handige eigenschappen van de complex geconjugeerde. Eigenschap 1 Voor z = x + iy geldt z z = x 2 + y 2, (3) Re(z) = x = z + z 2, (4) Im(z) = y = z z. (5) 2i Het is handig om 1 = 1 uit te kunnen drukken in de standaard vorm z x+iy a + ib met a en b reëel. Daarbij wordt gebruik gemaakt van de complex geconjugeerde, omdat deze de eigenschap heeft dat z z = x 2 + y 2 = z 2 R. Oftewel Eigenschap 2 Voor z = x + iy 0 geldt 1 z = z z z = x iy x 2 + y = 2 x x 2 + y i y (6) 2 x 2 + y 2 Er ontbreekt echter zoiets als een groter en kleiner dan begrip, er bestaat dus geen ordening op C. Wel bestaat er zoiets als het begrip lengte, er kan dus wel worden gekeken naar hoever complexe getallen van elkaar vandaan liggen. Tevens kunnen een heleboel functies, die gebruikt worden bij de reële getallen, ook worden gebruikt met complexe getallen. Pas echter wel op, het gedrag kan dramatisch wijzigen! Zo is de cosinus en sinus niet langer begrensd tussen 1 en -1, maar zelfs onbegrensd. Voorbeeld 1 Met deze complexe getallen kunnen wij nu vergelijkingen van de vorm z 2 + az + b = 0, ( a, b R) 8

9 oplossen, met de discriminant D = a 2 4b < 0. Immers (z + a 2 )2 = a2 4 b = c2 = i 2 c 2 met c R. Er volgt dus uit dat er twee oplossingen zijn z 1 = a 2 + i b a2 (7) 4 z 2 = a 2 i b a2 4. (8) Een belangrijke constatering hierbij is dat z 1 = z Meetkundig ( poolcoördinaten) De optelling van complexe getallen kan eenvoudig worden weergegeven door middel van een parallelogramconstructie, evenals het aftrekken van complexe getallen. De complex geconjugeerde van een complex getal is te verkrijgen door het spiegelen in de x-as. De vermenigvuldiging met gebruik making van poolcoördinaten. Aan deze meetkundige interpretatie kan worden gekoppeld de schrijfwijze met behulp van poolcoördinaten. Definitie 4 Indien z = x + iy dan is θ de hoek tussen z en de positieve reële as en de straal r is de afstand van z tot 0. Voor π < θ π heet θ de hoofdwaarde van z en dit wordt genoteerd als θ = Arg(z). Omdat x = r cos(θ) en y = r sin(θ) is z = r(cos(θ) + i sin(θ)). Waarschuwing 1 Met r = x 2 + y 2 wordt dus de straal ( ook wel modulus genoemd) bedoeld en r is dus altijd positief! Opmerking 2 Indien niet wordt gekeken naar de grootte van de hoek, welke het complexe getal z maakt met de positieve reële as, dan wordt θ het argument van z genoemd. Notatie: θ = arg(z). Waarschuwing 2 Pas op met het gebruik van de functie arctan deze functie geeft slechts waarden tussen π en π. Kijk dus eerst in het complexe vlak, 2 2 waar het complexe getal z ligt! Daarna is de hoofdwaarde te bepalen met behulp van de arctan op een 0, +π of -π na. 9

10 Met behulp van deze poolcoördinaten is dan ook fraai aan te geven, wat er gebeurt bij vermenigvuldigen en delen. Eigenschap 3 Het vermenigvuldigen en delen. V.: Laat z 1 = r 1 (cos(θ 1 ) + i sin(θ 1 )) en z 2 = r 2 (cos(θ 2 ) + i sin(θ 2 )) dan volgt hieruit z 1 z 2 = r 1 r 2 (cos(θ 1 + θ 2 ) + i sin(θ 1 + θ 2 )). (9) Oftewel z 1 z 2 = r 1 r 2 en arg(z 1 z 2 ) = θ 1 + θ 2. D.: Indien z = r(cos(θ) + i sin(θ)) dan is Oftewel 1 z = 1 r en arg( 1 z ) = θ. 1 z = 1 (cos( θ) + i sin( θ)) (10) r Het vervelende van tot nu toe gebruikte schrijfwijze is dat alle mogelijke somformules van de cos en sin gebruikt moeten worden. Dat kan beter worden voorkomen en daarom wordt er een nieuwe schrijfwijze ingevoerd, ook wel deformule van Euler genoemd. Definitie 5 Als y R dan geldt exp(iy) = cos(y) + i sin(y). Met behulp van deze notatie kan dus gemakkelijk worden nagegaan, wat er gebeurt bij een vermenigvuldiging of een deling. Voorbeeld 2 Laat z 1 = r 1 exp(iθ 1 ) en z 2 = r 2 exp(iθ 2 ) dan volgt hieruit z 1 z 2 = r 1 exp(iθ 1 )r 2 exp(iθ 2 ) = r 1 r 2 exp(i(θ 1 + θ 2 )). (11) Met behulp van deze notatie is ook gemakkelijk de formule van de Moivre af te leiden. Eigenschap 4 Laat z = r(cos(θ) + i sin(θ)) dan geldt Immers z n = r n exp(inθ). z n = r n (cos(nθ) + i sin(nθ)). (12) Ook kun je zien wat er gebeurt bij het delen van twee complexe getallen. 10

11 Voorbeeld 3 Laat z 1 = r 1 (cos(θ 1 )+i sin(θ 1 )) = r exp(iθ 1 ) en z 2 = r 2 (cos(θ 2 )+ i sin(θ 2 )) = r 2 exp(iθ 2 ) dan volgt hieruit z 1 = r 1 exp(i(θ 1 θ 2 )) = r 1 (cos(θ 1 θ 2 ) + i sin(θ 1 θ 2 )). (13) z 2 r 2 r 2 Oftewel z 1 z 2 = r 1 r 2 en arg( z 1 z 2 ) = θ 1 θ 2 = arg(z 1 ) arg(z 2 ). Met behulp van deze notatie zijn ook redelijk gemakkelijk vergelijkingen van de volgende vorm z n = a + ib op te lossen, met a, b R. Voorbeeld 4 Oplossingen van Zoals gemakkelijk is te zien geldt z n = 1. 1 = 1 exp(ik2π) met k N. Schrijf z = r exp(iθ) met r, θ R dan kan de gegeven vergelijking worden herschreven tot z n = r n exp(inθ) = 1 exp(ik2π). Dit betekent dat er twee vergelijkingen overblijven De oplossingen zijn dus r n = 1!Let op: r 0. (14) nθ = k2π. (15) z k = cos( 2kπ n ) + i sin(2kπ n ) met k = 0,, n 1. Deze vergelijking heeft dus n verschillende oplossingen, alle andere oplossingen vallen samen met de reeds gevonden oplossingen. Een belangrijk middel dat vaak wordt gebruikt bij het maken van afschattingen is de driehoeksongelijkheid en deze mag natuurlijk niet onvermeld blijven. Eigenschap 5 Voor z 1, z 2 C geldt z 1 + z 2 z 1 + z 2. In het algemeen kan worden gezegd dat voor z 1, z 2,, z n C geldt z 1 + z z n z 1 + z z n. De omgekeerde driehoeksongelijkheid blijft ook geldig. Eigenschap 6 Voor z 1, z 2 C geldt z 1 z 2 z 1 + z 2. 11

12 1.2.4 Complexe functies De complexe e-macht is van groot belang in deze paragraaf. Het gedrag van complexe functies is anders dan van reële functies. Onder een complexe functie wordt verstaan een functie welke werkt op een deelverzameling S van C, de functie waarden kunnen dus ook weer complexe getallen zijn. Definitie 6 Indien f een complexwaardige functie is op S C, dan kent f aan iedere z C één element w C toe. Oftewel als z = x + iy en w = f(z) dan volgt w = f(z) = u(x, y) + iv(x, y) met u(x, y), v(x, y) R. Evenals bij reëelwaardige functies kan er worden gesproken over het continu zijn, danwel differentieerbaar zijn van een functie. In dit college wordt er gebruik gemaakt van hoofdzakelijk continue en differentieerbare functies. Deze definities worden gegeven voor de volledigheid. Definitie 7 De functie f is continu in z 0 als f(z 0 ) bestaat en lim f(z) = f(z 0 ). z z 0 De functie f is continu op S als f continu is voor alle z 0 S. Een functie waarvan de afgeleide moet worden uitgerekend in een punt z 0 zal in ieder geval continu moeten zijn in dat punt. Definitie 8 De functie f is differentieerbaar in z 0 als bestaat. f f(z 0 + z) f(z 0 ) (z 0 ) = lim z 0 z Dit laatste betekent dus dat op wat voor manier er ook naar z 0 wordt toegelopen, die limiet altijd dezelfde waarde moet krijgen, dan wordt f differentieerbaar in z 0 genoemd. Verrassender wijs gaat dit al bij een hele simpele functie mis. 12

13 Voorbeeld 5 Laat f(z) = z, dan f(z + z) f(z) z = z + z z z Duidelijk moge zijn dat als y = 0 dan en als x = 0 dan Conclusie f (z) bestaat niet. f(z + z) f(z) lim z 0 z f(z + z) f(z) lim z 0 z = z z = 1, = 1. = x i y x + i y Opmerking 3 Alle gewone rekenregels zijn geldig bij het differentiëren van complexwaardige functies. De volgende functie is eigenlijk al gebruikt, maar wordt hier eigenlijk nog een keer gedefinieerd en dat is de complexe exponentiële functie. Deze functie is nodig bij het uitrekenen van oplossingen van gewone differentiaalvergelijkingen, waarbij met name trillingen optreden. Definitie 9 Voor z = x + iy wordt de exponentiële functie gedefinieerd door e z = e x (cos(y) + i sin(y)). Het moge duidelijk zijn dat hier niets geheimzinnigs wordt gedaan, immers e z = e x+iy = e x e iy = e x (cos(y) + i sin(y)). Deze functie heeft een aantal eigenschappen die allemaal eenvoudig kunnen worden nagerekend. Bij het berekenen van oplossingen van differentiaalvergelijkingen vaak gebruik wordt gemaakt van complexe getallen. Meestal neemt men geen genoegen met de complexe oplossing maar wel met de reële oplossing. Dan wordt vaak gebruik gemaakt van (4), om het reële deel van een complexwaardige functie te kunnen bepalen. Indien dit wordt toegepast bij de exponentiële functie, dan is er een belangrijke eigenschap nodig, welke niet in Kreyszig staat. Eigenschap 7 Laat z = x + iy dan geldt e z = e z. Immers e z = e x+iy = e x e iy = e x cos(y) + i sin(y) = e x (cos(y) i sin(y)) = e x (cos( y) + i sin( y)) = e x e iy = e x iy = e z. 13

14 Een andere belangrijke eigenschap is dat de cos en sin functies, ookwel de trigoniometrische functies genaamd, uitgedrukt kunnen worden in de complexe e-macht. Eigenschap 8 Voor x R geldt cos(x) = eix + e ix 2 sin(x) = eix e ix 2i (16) (17) Immers Re(e ix ) = eix +e ix 2 =, en netzo Im(e ix ) =. Niets staat ons nu meer in de weg om ook de cos en sin functies te definiëren voor complexe getallen. Definitie 10 Voor een willekeurige z C worden de cos en sin functie als volgt gedefinieerd cos(z) = eiz + e iz Opmerking 4 Voor de volledigheid Dezelfde rekenregels als bij de reële getallen! 2 (18) sin(z) = eiz e iz. (19) 2i (cos(z)) = sin(z), (20) (sin(z)) = cos(z), (21) (e iz ) = ie iz. (22) Naast de trigoniometrische functies zijn er ook de hyperbolische functies, en wel de cosh en sinh functies. Dit zijn ook functies, welke als oplossingen van gewone differentiaalvergelijkingen kunnen optreden. Definitie 11 Voor een willekeurige z C worden de cosh en sinh functie als volgt gedefinieerd cosh(z) = ez + e z 2 (23) sinh(z) = ez e z. 2 (24) 14

15 Opmerking 5 Voor de volledigheid Dezelfde rekenregels als bij de reële getallen! (cosh(z)) = sinh(z) (25) (sinh(z)) = cosh(z). (26) Vergelijk beide bovenstaande definities met elkaar en zie de verschillen dan wel overeenkomsten. De verbanden tussen de goniometrische en de hyperbolische functies worden gegeven in de onderstaande eigenschap. Eigenschap 9 Voor z C geldt cosh(iz) = cos(z) (27) sinh(iz) = i sin(z) (28) cos(iz) = cosh(z) (29) sin(iz) = i sinh(z) (30) Waarschuwing 3 De cos en sin functies zijn niet langer begrensd, als x R dan geldt lim cos(ix) = lim cosh(x) = x x 2 College en Practicum Week Introductie Algemene begrippen welke gebezigd worden bij het gebruik van differentiaalvergelijkingen. Homogene differentiaalvergelijkingen met constante coëfficiënten. Voorbeelden. Inhomogene 2 e orde differentiaalvergelijkingen met constante coëfficiënten. Met name het gericht zoeken naar geschikte oplossingen komt aan bod. Voorbeelden, waarbij de rand- en begin-voorwaarden niet van betekenis zijn. Opgaven thuis proberen. Het een en ander is na te lezen in Kreyszig, de paragrafen: 2.1, 2.2, 2.3,2.4, 2.8, 2.9, en

16 2.2 Algemene begrippen In dit college worden gewone differentiaalvergelijkingen behandeld. Onder gewoon wordt verstaan dat de oplossing afhangt van slechts één variabele. Er wordt gesproken over de oplossing, maar een differentiaalvergelijking kan meerdere oplossingen hebben. Naast de gewone differentiaalvergelijkingen zijn er de partiële differentiaalvergelijkingen. Oplossingen van partiële differentiaalvergelijkingen hangen van meerdere variabelen af. Zodoende bevatten de partiële differentiaalvergelijkingen ook afgeleiden naar andere variabelen, en zelfs gemengde afgeleiden. Gedurende dit college wordt steeds verondersteld oplossingen van differentiaalvergelijkingen voldoende vaak differentieerbaar zijn.( Opmerking: dit is niet altijd het geval!) Definitie 12 Een gewone differentiaalvergelijking is een vergelijking van de vorm F (x, y, y,, y (n) ) = 0, die één of meerdere afgeleiden naar x van een onbekende functie y bevat. Voorbeeld 6 Voorbeelden van differentiaalvergelijkingen zijn y = cos x, (31) y + 4y = 0, (32) x 2 y y + 2e x y = (x 2 + 3)y 2, (33) hierbij is y de onbekende functie van de variabele x Definitie 13 Een oplossing van een gewone differentiaalvergelijking op een open interval a < x < b is een functie y(x), die voor alle x in dat interval voldoet aan de gegeven differentiaalvergelijking. Voorbeeld 7 y(x) = x 2 is een oplossing van xy = 2y voor alle x R. y(x) = sin(x) is een oplossing van y = cos(x) voor alle x R. Zo ook y(x) = sin(x) + a met a R. y(x) = sin(2x) en y(x) = cos(2x) zijn oplossingen van y + 4y = 0 voor alle x R. Zelfs y(x) = a sin(2x) + b cos(2x) is een oplossing van de gegeven differentiaalvergelijking, en a, b mogen gerust uit C komen. Definitie 14 De orde van een gewone differentiaalvergelijking is gerelateerd aan de orde van de hoogste afgeleide, welke voorkomt in de differentiaalvergelijking. 16

17 Voorbeeld 8 Zo is in (31) een differentiaalvergelijking gegeven van de eerste orde. Van de tweede orde zijn de vergelijkingen, zoals gegeven in (32) en (33). De volgende definitie komt uit Kreyszig, men kan hier kritiek op hebben. Definitie 15 Een tweede orde differentiaalvergelijking wordt lineair genoemd, indien deze te schrijven is als a(x)y + b(x)y + c(x)y = r(x). (34) Mocht a(x) = 0 dan hebben wij dus te maken met een eerste orde lineaire differentiaalvergelijking, en natuurlijk kunnen op een soortgelijke manier ook hogere orde differentiaalvergelijkingen worden gedefinieerd. Opmerking 6 Vaak wordt het lineair zijn of niet, bepaald door alleen naar dat gedeelte te kijken, waar de onbekende, ofwel bekende oplossing y in voorkomt, met al zijn hogere orde afgeleiden. Dit wordt dan vaak de operator genoemd, en deze kan lineair zijn of niet. Voorbeeld 9 De differentiaalvergelijking gegeven in (33) is niet lineair. De differentiaalvergelijkingen in (32) en (31) zijn lineair, volgens de hierboven gegeven definitie. Definitie 16 De differentiaalvergelijking gegeven in (34) wordt homogeen genoemd, indien r(x) = 0 en inhomogeen voor het geval r(x) 0. Voorbeeld 10 De differentiaalvergelijking gegeven in (31) is dus een lineaire inhomogene differentiaalvergelijking en de vergelijking zoals gegeven in (32) is een lineaire homogene differentiaalvergelijking. Dit college zullen wij ons hoofdzakelijk bezig houden met lineaire differentiaalvergelijkingen met constante coëfficiënten en al of niet voorzien van een inhomogene term ongelijk aan 0. Hier kan aan worden gerekend. Differentiaalvergelijkingen met variabele coëffciënten zijn al een stuk moeilijker en niet-lineaire differentiaalvergelijkingen zijn nog moeilijker. Deze differentiaalvergelijkingen worden meestal numeriek benaderd, of men probeert er een analytische benadering voor te construeren. De analytische benaderingen worden vaak weer gebruikt om numerieke benaderingen mee te testen. Zie literatuur hierover. Eigenschap 10 Een heel belangrijke eigenschap van lineaire homogene differentiaalvergelijkingen is, dat iedere lineaire combinatie van oplossingen y 1 en y 2, weer een oplossing is. Dat wil dus zeggen dat ay 1 + by 2 weer een oplossing is van de desbetreffende differentiaalvergelijking voor willekeurige a, b C. 17

18 Voorbeeld 11 De differentiaalvergelijking y y = 0 (35) is een lineaire homogene differentiaalvergelijking. Het is gemakkelijk na te gaan dat e x en e x oplossingen zijn. En deze heeft dus de eigenschap dat ae x + be x ook een oplossing is, voor willekeurige a, b R. Voorbeeld 12 De differentiaalvergelijking y + y = 1 (36) is er een van het type: lineair, inhomogeen en met constante coëfficiënten. Oplossingen, welke gemakkelijk nagegaan kunnen worden, zijn y 1 = cos(x)+1 en y 2 = sin(x) + 1. Echter y 1 + y 2 = 2 + cos(x) + sin(x) is geen oplossing. Opgemerkt dat cos(x) en sin(x) oplossingen zijn van de homogene differentiaalvergelijking en alle lineaire combinaties ook. De homogene vergelijking is dus lineair. Voorbeeld 13 De differentiaalvergelijking y y xy = 0 (37) is een niet-lineaire tweede orde homogene differentiaalvergelijking. Het is gemakkelijk na te gaan dat y 1 = x 2 en y 2 = 1 oplossingen zijn van deze differentiaalvergelijking. Willekeurige lineaire combinaties echter niet, probeer bijvoorbeeld y 1 + y Homogene differentiaalvergelijkingen met constante coëfficiënten Beschouw de differentiaalvergelijking y + ay + by = 0, a, b R. (38) Probeer een oplossing van de vorm y(x) = e λx. Invullen in de gegeven differentiaalvergelijking en delen door e λx geeft (λ 2 + aλ + b) = 0. (39) Deze vergelijking wordt de karakteristieke vergelijking genoemd. De oplossingen zijn dan te onderscheiden in 3 gevallen, en dat is afhankelijk van het teken van de discriminant D = a 2 4b 1: D = a 2 4b > 0 2: D = a 2 4b = 0 3: D = a 2 4b < 0 18

19 2.3.1 Geval 1 De vergelijking λ 2 + aλ + b = 0 heeft twee verschillende reële oplossingen λ 1 en λ 2 en de oplossing van de gegeven differentiaalvergelijking wordt dan y(x) = C 1 e λ 1x + C 2 e λ 2x, C 1, C 2 R. (40) Voorbeeld 14 Een gemakkelijk voorbeeld is y + y 2y = 0, y(0) = 0, y(1) = 1. (41) De vergelijking λ 2 + λ 2 = 0 heeft als oplossingen λ 1 = 2 en λ 2 = 1 en zoals hierboven vermeldt wordt de algemene oplossing van de gegeven differentiaalvergelijking y h (x) = C 1 e 2x + C 2 e x, C 1, C 2 R. (42) Indien wij de oplossing laten voldoen aan de randvoorwaarden dan wordt C 1 = C 2 en C 2 ( exp( 2) + exp(1)) = 1. Dit is een kwestie van lineaire vergelijkingen oplossen Geval 2 De vergelijking λ 2 + aλ + b = 0 heeft twee samenvallende reële oplossingen λ 1 = a 2 en λ 2 = a 2. Omdat λ 2 + aλ + b = (λ + a 2 )2 = 0, (43) immers b = a2 4 = ( a 2 )2. Twee oplossingen van deze lineaire differentiaalvergelijking zijn y 1 (x) = e a 2 x en y 2 (x) = xe a 2 x. De oplossing van de gegeven differentiaalvergelijking wordt dan y(x) = C 1 e λ 1x + C 2 xe λ 2x, C 1, C 2 R. (44) Let op de x voor de 2 e oplossing! Deze kan worden uitgerekend met behulp van variatie van constante. Dat wil zeggen, dat als 2 e oplossing wordt gezocht naar een oplossing van de vorm y 2 (x) = u(x)y 1 (x). (45) Vul deze probeer-oplossing in bij de differentiaalvergelijking en leidt een differentiaalvergelijking af voor de onbekende functie u(x). De functie y 2 moet een oplossing zijn en van y 1 is bekend dat het een oplossing is! Gebruik alles wat bekend is. 19

20 Voorbeeld 15 Een gemakkelijk voorbeeld is y 2y + y = 0, y(0) = 1, y (0) = 2. (46) De vergelijking λ 2 2λ + 1 = 0 heeft als oplossingen λ 1 = 1 en λ 2 = 1 en zoals hierboven vermeldt wordt de algemene oplossing van de gegeven differentiaalvergelijking y h (x) = C 1 e x + C 2 xe x, C 1, C 2 R. (47) Indien wij de oplossing laten voldoen aan de beginvoorwaarden dan wordt C 1 = 1 en C 1 + C 2 = 2. Dit is een kwestie van lineaire vergelijkingen oplossen Geval 3 De oplossingen van de karakteristieke vergelijking zijn bekend, dit zijn twee complexe oplossingen λ 1 = a 2 + i 2 4b a2 en λ 2 = a 2 i 2 Als complexe oplossingen worden op deze manier verkregen 4b a2 = λ 1. (48) y 1 (x) = e a 2 x e i 2 4b a 2x en y 2 (x) = e a 2 x e i 2 4b a 2x = y 1 (x). (49) Merk op, dat er precies dezelfde complex conjugeerde relaties tussen de oplossingen y 1 en y 2 bestaan als tussen de oplossingen van de karakteristieke vergelijkingen λ 1 en λ 2. De reële oplossingen worden dus verkregen uit lineaire combinaties van de bovenstaande oplossingen, immers Re(y 1 ) = y 1 + y 1 2 = y 1 + y 2 2 en Im(y 2 ) = y 1 y 1 2i = y 1 y 2 2i (50) Op deze manier wordt de algemene reële oplossing van de gegeven differentiaalvergelijking y(x) = (C 1 cos( 1 2 4b a2 x) + C 2 sin( 1 2 Voorbeeld 16 Een gemakkelijk voorbeeld is 4b a2 x))e a 2 x, C 1, C 2 R. (51) y 2y + 10y = 0, y(0) = 1, y( π 2 ) = exp(π ). (52) 2 20

21 De vergelijking λ 2 2λ + 10 = 0 heeft als oplossingen λ 1 = 1 + 3i en λ 2 = 1 3i en zoals hierboven vermeldt wordt de algemene oplossing van de gegeven differentiaalvergelijking y h (x) = C 1 e x cos(3x) + C 2 e x sin(3x), C 1, C 2 R. (53) Indien wij de oplossing laten voldoen aan de randvoorwaarden dan wordt C 1 = 1 en C 2 = 1. Opmerking 7 De oplossing met de onbekende constanten, in het geval hierboven de C 1, C 2, worden vaak de algemene oplossing genoemd. Deze onbekende constanten kunnen worden gebruikt om de differentiaalvergelijking te laten voldoen aan bekende randvoorwaarden of beginvoorwaarden. Het aantal onbekenden hangt af van de orde van de desbetreffende differentiaalvergelijking. De bovenstaande oplossingsstrategie kan namelijk ook worden toegepast op hogere orde lineaire homogene differentiaalvergelijkingen met constante coëfficiënten. Voorbeeld 17 Voorbeelden van verschillende typen van problemen y 2y + 10y = 0, (54) y + 2y + 5y = 0, y(0) = 1, y (0) = 5 (55) y + y = 0, y(0) = 3, y (π) = 3 (56) Probleem (54) is een algemeen probleem, eventuele constanten kunnen geen waarde worden gegeven, omdat geen extra condities worden gegeven. Probleem (55) wordt een beginwaarde probleem genoemd, op tijdstip 0 worden condities gegeven en de vraag is wat de oplossing daarna allemaal doet? Het laatste probleem (56) wordt een randwaarde probleem genoemd, de vraag is wat de oplossing doet tussen de punten 0 en π in dit geval. Waarschuwing 4 Pas altijd op met het aantal voorwaarden, dat wordt opgelegd. Dit kunnen er nooit meer zijn dan het aantal vrije constanten dat de algemene oplossing bevat! Minder mag wel, met de mogelijke consequentie dat er niet één oplossing bestaat, maar meerdere oplossingen bestaan. De oplossing is niet langer uniek. 2.4 Inhomogene lineaire differentiaalvergelijkingen Een tweede orde lineaire inhomogene differentiaalvergelijking is te schrijven als y + p(x)y + q(x)y = r(x), (57) 21

22 Tabel 1: Probeer oplossingen termen in inhomogene term keuze particuliere oplossing ke γx kx n ke αx sin(γx) ke αx cos(γx) Ce γx K 0 + K 1 x + K 2 x K n x n Ce αx sin(γx) + De αx cos(γx) Ce αx sin(γx) + De αx cos(γx) de hierbij behorende homogene differentiaalvergelijking is y + p(x)y + q(x)y = 0. (58) Eigenschap 11 De oplossing van de differentiaalvergelijking zoals gegeven in (57) is van de vorm y(x) = y h (x) + y p (x). (59) Hierbij is y h de algemene oplossing van (58), het homogene deel van de gegeven oplossing en y p is een oplossing, welke voldoet aan vergelijking (57), het particuliere deel van de oplossing. Opmerking 8 Het verschil van twee oplossingen van het probleem (57) is een oplossing van probleem (58), mits de oplossingen worden bekeken op een open interval. Altijd oppassen met de randen van gebieden, de afgeleiden kunnen hier problemen opleveren. Indien vergelijking (57) constante coëfficiënten heeft dan is bekend, hoe de oplossing is te bepalen van de homogene vergelijking. Het particuliere deel van de oplossing is iets dat moet worden geraden, maar niet zomaar uit de losse pols, maar gericht gaan zoeken. Aan de hand van voorbeelden wordt geprobeerd te helpen bij dit zoeken naar deze oplossingen Basis regels Hier enkele regels, welke gelden als de inhomogene term niets gemeenschappelijk heeft met de oplossing van de homogene differentiaalvergelijking: Opmerking 9 De cos en sin functies zijn lineaire combinaties van complexe e-machten en in principe zouden wij genoeg hebben aan één regel voor de e- macht. Maar meestal is een vervelend karwei om de op die manier gevonden oplossingen weer om te schrijven naar de sin en cos functies, vandaar de extra regels van het produkt van e-machten en de sin en cos functies. 22

23 Voorbeeld Allereerst zoeken met polynomen Gebruik als probeer-oplossing y + 4y = 8x 2. (60) y p (x) = A + Bx + Cx Een inhomogene term, welke niets van doen heeft met de oplossing van de homogene vergelijking y 4y + 3y = 10e 2x, y(0) = 1, y (0) = 3. (61) Gebruik als probeer-oplossing y p (x) = Ae 2x. 3. Een inhomogene term, welke niets van doen heeft met de oplossing van de homogene vergelijking Gebruik als probeer-oplossing y + 4y + 3y = sin(2x). (62) y p (x) = A sin(2x) + B cos(2x). Het is overigens het verstandigst om eerst de oplossing van de homogene vergelijking te berekenen, alvorens met de particuliere oplossingen aan de gang te gaan. Het is namelijk mogelijk dat in de inhomogene term een uitdrukking staat, welke overeenkomt met een oplossing van de homogene vergelijking. Vandaar het volgende hoofdstukje met aanpassingsregels. Deze regels hebben veel overeenkomst met de situatie, waarin de wortels van de karakteristieke vergelijking samenvallen Aanpassings regels Hier enkele regels welke gelden als de inhomogene term iets gemeen heeft met de oplossing van de homogene differentiaalvergelijking. Indien de keuze van de particuliere oplossing gelijk zou zijn aan een oplossing van de homogene differentiaalvergelijking, vermenigvuldig dan de oplossing dan met x, danwel x 2. Het laatste is het geval, indien de oplossing correspondeert met de oplossing van de homogene vergelijking, waarvan de wortels van de karakteristieke vergelijking samenvallen. 23

24 Voorbeeld Een inhomogene term, welke iets van doen heeft met de oplossing van de homogene vergelijking Gebruik als probeer-oplossing y 3y + 2y = e x. (63) y p (x) = Axe x. 2. Een inhomogene term, welke iets van doen heeft met de oplossing van de homogene vergelijking, dan het vorige voorbeeld Gebruik als probeer-oplossing Som regel y 2y + y = e x. (64) y p (x) = Ax 2 e x. Deze regel zegt niets anders dan dat als het rechterlid een combinatie is van de verschillende gevallen zoals in de voorafgaande paragraafjes beschreven, dat de probeer oplossing een combinatie is van de verschillende regels. Voorbeeld De oplossing bepalen van Gebruik als probeer-oplossing 2. De oplossing bepalen van y + 2y + 5y = exp( x) sin(2x) + x. (65) y p (x) = Axe x sin(x) + Bxe x cos(x) + C + Dx. y + 2y + 5y = sin(2x). (66) Het rechter lid heeft hier niets te maken met de oplossing van de homogene vergelijking en kies dus niet de verkeerde probeeroplossing. 3 College en Practicum Week Introductie Toepassingen van differentiaalvergelijkingen. Dimensies tellen Bijzondere oplossingen. 24

25 3.2 Toepassingen van de voorafgaande theorie Een polynoom als inhomogene term exact: - 1 benadering: x Figuur 1: Exacte en benaderde oplossing. Een moeilijke inhomogene term kan worden vervangen door een benadering, bijvoorbeeld een stuk van zijn Taylorreeks, rond een zeker punt, wat op dat moment van belang is. Bijvoorbeeld bij het volgende voorbeeld y + 4y + 4y = exp(x), y(0) = 0, y (0) = 0, (67) waarbij de e macht wordt vervangen door een stuk Taylorreeks rond x = 0. Dit levert de grafiek van figuur 1 op, waarvan duidelijk is dat de benadering goed is, voor slechts een kleine omgeving rond x = 0. Naarmate er meer termen van de Taylorreeks worden meegenomen in dit voorbeeld zal de benadering steeds meer gaan lijken op de exacte oplossing De mathematische en fysische slinger Het model voor de mathematische slinger is als volgt Ml 2 d2 θ dt 2 = Mgl sin(θ), θ(0) = 0.05, θ (0) = 0, (68) 25

26 hierbij is θ de hoek van de slinger met de negatieve y-as, positief georiënteerd. Zie figuur 2 voor de krachten, welke op een slinger werken. Hierbij wordt de θ l M v g Figuur 2: Slinger. wrijving van de slinger met de lucht verwaarloosd en de uitslag van de slinger wordt klein verondersteld. Het fysiche model voor de slinger wordt verkregen door de sinus-functie te benaderen Ml 2 d2 θ dt 2 = Mglθ, θ(0) = 0.05, θ (0) = 0. (69) Duidelijk is het dat de benadering van beide modellen slechts bruikbaar zijn daar waar er een kleine uitwijking is en daar waar het gaat om een klein tijdsinterval De aardbevingsmeter Wordt de fysische slinger op zijn kop gezet en van een veer voorzien, dan is dit een prototype van een aardbevingsmeter, zie figuur 3. Indien evenals in het voorafgaande voorbeeld, wordt de wrijving verwaarloosd en wordt onder θ de hoek met de positieve y-as verstaan, ook weer positief georiënteerd. De veerconstante is C en de kracht van de veer wordt bij evenredig verondersteld met de uitwijking, mits deze klein is. Verder wordt er een beginvoorwaarde verondersteld om de aarbevingsmeter in werking te laten reageren op een 26

27 L M A C Figuur 3: Aardbevingsmeter. kleine beving. Het mathematische model ziet er dan als volgt uit ML 2 d2 θ dt 2 = MgL sin(θ) CAθA cos(θ), θ(0) = 0.05, θ (0) = 0. (70) De uitwijkingen worden klein verondersteld, zodat het fysische model als volgt wordt ML 2 d2 θ dt 2 = MgLθ CAθA, θ(0) = 0.05, θ (0) = 0, (71) aan dit model kan worden gerekend door gebruik te maken van de voorafgaande theorie. Allerlei vragen kunnen er worden gesteld, bijvoorbeeld: Hoe groot wordt A genomen? Misschien wordt de veer niet onder de massa gemonteerd maar er boven. Hoe stijf moet de veer zijn? De meter moet wel reageren op aardbevingen. Hoe groot dient de massa M te zijn? De lengte van de staaf, waar de massa op is bevestigd, en de stevigheid van deze staaf? Zo moet bijvoorbeeld in ieder geval MgL CA 2 < 0 om een trilling te behouden. Kortom naast het berekenen van de oplossing van de differentiaalvergelijking, zijn er genoeg problemen bij het modelleren. Wat mag er 27

28 worden weggelaten bij het uiteindelijke model, zodat de oplossing van dit model, de oplossing van het echte probleem redelijk beschrijft Aannamen maken De bedoeling is om differentiaalvergelijkingen van het type, zoals in de afgelopen weken behandeld te gebruiken bij het beschrijven van bepaalde problemen. Dit zullen problemen met een zekere fysische achtergrond, al is dit zeker niet altijd het geval. Belangrijk bij het beschrijven van problemen is het goed omschrijven van de beginsituatie. En het belangrijkste is natuurlijk de omgeving, waarin er zich het een en ander afspeelt. Niet veronderstellen dat er een sterke zwaartekracht is, terwijl de situatie zich afspeelt tussen de aarde en de maan Dimensies tellen Een handig hulpmiddel om te controleren of de eenheden in een differentiaalvergelijking kloppen, is het tellen van de dimensies. Hiermee wordt bedoeld, het nagaan of alle uitdrukkingen, welke in de differentiaalvergelijking staan, van dezelfde orde van grootte zijn. Oftewel nagaan of er geen kilo s met tonnen worden vergeleken, of meters met kilometers. Of dat bepaalde grootheden dimensieloos worden verondersteld, terwijl bij deze analyse blijkt dat ze wel een zekere eenheid zouden moeten bevatten. Voorbeeld 21 Het eenvoudigste voorbeeld is natuurlijk een vallend ei van de toren van Pisa. Hoe valt dit ei naar beneden, dat wil zeggen: met voor snelheid, hoe lang doet het ei erover om beneden te komen? Allereerst een aantal aannamen Met de variabele y wordt de hoogte beschreven van het vallende ei, dit alles gemeten in meters. En y = 0 wil zeggen dat wij aan de voet van de toren staan. De toren zelf is h meters hoog. De richting van de y-as is dus omhoog gericht. Onder de variabele t wordt de tijd verstaan en t 0. Onder t = 0 wordt verstaan, het moment dat het ei wordt losgelaten bovenaan de toren, de toren wordt h meters hoog verondersteld. Tevens wordt verondersteld dat op het moment het ei wordt losgelaten, het ei stil ligt, het wordt niet naar beneden gegooid. Het is op de dag dat het experiment wordt gedaan, windstil dus geen last van zijwind of anders. Het ei valt loodrecht naar beneden. 28

29 De wrijving van het ei met de lucht wordt nihil verondersteld. De tijd, met als variabele t, wordt gemeten in seconden, iets wat gebruikelijk is bij de Natuurkunde. De massa, met als variabele m, zullen wij uitdrukken in kilogrammassa. Dan moet er een differentiaalvergelijking worden opgesteld over het valgedrag van het ei. De vraag wordt dus wat voor krachten er allemaal op het ei werken. In dit geval is het wel simpel, de zwaartekracht is de enigste kracht, welke op het ei werkt. Kracht is zoiets als massa maal versnelling en op deze manier wordt de volgende differentiaalvergelijking verkregen my = mg, y(0) = h, y (0) = 0. (72) Het minteken is te verklaren, vanwege het feit dat de zwaartekracht tegengesteld is gericht aan de richting, waarin de variabele y wordt gemeten. Verder is y(0) = h de aanvangshoogte van het ei op tijdstip t = 0, en y (0) = 0 is omdat het ei in rust ligt op het moment van loslaten, het heeft geen snelheid. Nu is het handig om te controleren over de dimensies nog steeds kloppen. De versnelling is [m], oftewel de linkerkant van de vergelijking heeft de dimensie [s 2 ] [kg m] [s 2 ] en de rechterkant van de differentiaalvergelijking ook. Dus wat dimensies betreft is de vergelijking correct. Het gehele probleem wordt dus vertaald naar een tweede orde lineaire inhomogene differentiaalvergelijking, met zekere beginvoorwaarden. Dan nu een moeilijker probleem, waarin wordt geprobeerd een differentiaalvergelijking te verkrijgen, waarbij alle afgeleiden aan bod komen. Voorbeeld 22 Het volgende probleem is een massa hangende aan een veer, onder de massa is een demper bevestigd. Deze demper zit ondergedompeld in een visceuze ( stroperige) vloeistof. Misschien is het wel een mechanisme om de eerste schokken bij aardbevingen op te vangen. Wat er beschreven zou moeten worden is de trilling van de massa, indien deze uit zijn evenwichtstoestand wordt gebracht en vervolgens wordt losgelaten. Dus is het een beginwaarde probleem. Indien het systeem zich in rust bevindt, dan is de zwaartekracht net zo groot, maar tegengesteld gericht aan de kracht van de veer. Allereerst weer allerlei aannamen De grootte van de kracht van de veer wordt evenredig met de uitrekking in de lengte verondersteld. Dat houdt dus ook in dat de uitrekking klein wordt verondersteld, want bij erg grote uitrekking zal dit de werkelijkheid niet meer goed beschrijven. 29

30 plafond veer lichaam demper olie Figuur 4: Demper-veer systeem. In tegenstelling tot het vorige voorbeeld wordt de positieve y-richting naar beneden verondersteld. Alles wordt weer gemeten in de gewone eenheden. Onder het niveau y = 0 wordt verstaan, de plaats van de massa op het moment dat het systeem geheel in rust verkeert. De veer heeft dan een uitrekking ter grootte van s 0. Geen andere uitwendige krachten, dan de demper, de veer en de zwaartekracht, welke op de massa werken. De veer heeft een veerconstante k (> 0). De demping wordt evenredig met de snelheid verondersteld, en er is een dempingsconstante c (> 0). De massa wordt weergegeven met behulp van m. 30

31 Nu kan er weer met behulp van een krachtenplaatje, de kracht worden bepaald welke op de massa werkt Deze bestaat uit: my = ky cy. (73) de kracht die de veer uitoefent op de massa, met een min-teken, omdat de kracht tegengesteld is aan de positieve y-richting, de zwaartekracht, in de positieve y-richting, dus met een plus-teken, en als laatste de demper, de richting van deze kracht hangt af van de richting van de snelheid. Gaat de massa naar beneden dan is de snelheid in de positieve y-richting, maar de kracht lijkt tegengesteld aan die van de zwaartekracht. Gaat de massa naar boven dan is de snelheid gericht in de negatieve y-richting, dus y < 0, en werkt de kracht in dezelfde richting als de zwaartekracht, dus cy moet positief zijn. Op het moment dat gehele systeem in rust verkeert, is y = 0, er is geen snelheid y = 0 en er is geen versnelling y = 0. Dit houdt dus in dat ks 0 = mg. Oftewel er kunnen twee termen uit de differentiaalvergelijking worden geschrapt, omdat zij elkaar opheffen. De uiteindelijke differentiaalvergelijking wordt tenslotte my + cy + ky = 0, y(0) = y 0, y (0) = 0. (74) Hierbij opgemerkt dat er ook beginvoorwaarden aan zijn toegevoegd. De constanten in deze differentiaalvergelijking zijn niet dimensieloos! Om de variabele c maar eens te controleren. De uitdrukking my en cy moeten dezelfde dimensies hebben dit betekent [my ] = [kg m] [s 2 ] = [cy ] = Oftewel de dimensie van de constante c wordt [c] = [kg] [s] [c m]. (75) [s] (76) dus de constante c heeft iets te maken met massa per seconde. Evenzo verkrijgt men voor de constante k dat [k] = [kg]. [s 2 ] Dit voorbeeld wordt een vrij systeem genoemd, omdat de er geen externe krachten opwerken, dit is te zien aan het homogeen zijn van de bijbehorende differentiaalvergelijking. 31

32 3.3 Bijzondere oplossingen De homogene differentiaalvergelijking my + cy + ky = 0 (77) heeft een aantal bijzondere oplossingen. Allereerst wordt de vergelijking als volgt herschreven y + c m y + k m y = 0 (78) Vervolgens worden de volgende constanten gedefinieerd k ω e =, ζ = c m 2mω e. (79) Hierbij worden ω e de eigenfrequentie en ζ de relatieve demping van het probleem genoemd. Vervolgens kan vergelijking (78) geschreven worden als y + 2ζω e y + ω e 2 y = 0. (80) Afgesproken wordt dat alleen naar waarden van ζ 0 wordt gekeken. Indien de oplossing van de homogene vergelijking moet worden bepaald, moeten de nulpunten van de volgende vergelijking worden bepaald Deze vergelijking kan worden herschreven als λ 2 + 2ζω e λ + ω e 2 = 0. (81) (λ + ζω e ) 2 = ω e 2 (ζ 2 1). (82) Hierna kunnen er een aantal kritische waarden van ζ worden aangegeven a: 0 ζ < 1: een onderkritische demping b: ζ = 1: een kritische demping c: ζ > 1: een bovenkritische demping. Het is duidelijk dat hier de verschillende oplossingen van de differentiaalvergelijking weer in terug zijn te zien. Bij (a:) een gedempte trilling, mits 0 < ζ < 1. Bij [b] gedempte e machten, de wortels van deze vergelijking vallen samen! Bij [c] gedempte e machten. Indien c = 0 dan is ζ = 0, dus er is geen demping. Dit worden zogenaamde vrije trillingen genoemd, voorzover er van een trilling sprake is. 32

33 Voorbeeld 23 Voor een aantal speciale gevallen van de hierboven behandelde theorie worden in dit voorbeeld de bijbehorende plaatjes getekend. De ω e wordt steeds constant verondersteld, de ζ wordt gevarieerd. Zo is ω e = 2 en de begincondities zijn in alle voorbeelden y(0) = 1, y (0) = 0. De ongedempte trilling wordt verkregen voor het geval ζ = 0. De oplossing van het beginwaardeprobleem is dan y(t) = cos(2t). Zie figuur 5(a), voor de grafiek van deze oplossing. Een onderkritisch gedempte trilling wordt bijvoorbeeld verkregen voor het geval ζ = 1. De oplossing van het beginwaardeprobleem is dan 2 y(t) = exp( t) cos( 3 3t) + 3 exp( t) sin( 3t). zie figuur 5(b). De kritisch gedempte trilling, dat wil zeggen ζ = 1, heeft als oplossing y(t) = exp( 2t) + 2t exp( 2t) en geeft figuur 5(c). Het laatste voorbeeld is een bovenkritisch gedempte trilling, in dit geval ζ = 2. De oplossing is als volgt 3 y(t) = ( ) exp( 2( )t) + ( ) exp(2( 2 + 3)t), en de grafiek van deze oplossing staat in figuur 5(d). 3.4 Resonantie Bij een inhomogene differentiaalvergelijking kan de inhomogene term r(t) vaak worden gezien als een soort van uitwendige kracht. Hierbij kan worden gedacht aan de wind bij de tuien van de brug bij Rotterdam of aan hoogspanningsleidingen. Onder gunstige omstandigheden kan deze kracht periodiek van aard zijn en voor resonantie zorgen. Bij de brug in Rotterdam dienen trillingen die, onder andere door de wind, in de tuien kunnen ontstaan, zo snel mogelijk te worden gedempt. Gebeurt dit niet, dan bestaat er de mogelijkheid dat de trillingen worden versterkt. Dit is afhankelijk de eigentrillingen van de tuien en de brug als geheel. De brug van Rotterdam is dus een voorbeeld waar resonantie niet is gewenst. De aardbevingsmeter, zoals beschreven in paragraaf, is een voorbeeld, waar 33

34 t t 1 (a) Ongedempt (b) Onderkritisch t t (c) Kritisch (d) Bovenkritisch Figuur 5: Diverse gedempte trillingen 34

35 resonantie wel is gewenst. De eigenfrequentie van deze meter zal niet ver afliggen van de frequentie, welke aarbevingen hebben over het algemeen. Om de resonantie beter te begrijpen wordt er gekeken naar de volgende inhomogene differentiaalvergelijking my + cy + ky = r(t), y(0) = y 0, y (0) = 0. (83) Voor de inhomogene term wordt een periodieke functie genomen r(t) = F 0 cos(ωt), (F 0 > 0, ω > 0). (84) De oplossing van de homogene vergelijking is bekend. De vorm van de particuliere oplossing is ook bekend y p (t) = C 1 cos(ωt) + C 2 sin(ωt). (85) Alleen is het zaak of deze oplossing in alle gevallen goed is, of dat er uitzonderingen zijn? En resonantie zou wel eens tot die uitzonderingen kunnen behoren. De onbekenden zijn C 1 en C 2. De particuliere oplossing moet aan de differentiaalvergelijking (83) voldoen dus ( mc 1 ω 2 + cc 2 ω + kc 1 ) cos(ωt) + ( mc 1 ω 2 cc 1 ω + kc 2 ) sin(ωt) = F 0 cos(ωt). (86) Dit geeft twee lineaire vergelijkingen met de twee onbekenden C 1 en C 2. De oplossingen hiervan worden gegeven door k mω 2 C 1 = F 0 (k mω 2 ) 2 + ω 2 c, 2 (87) ωc C 2 = F 0 (k mω 2 ) 2 + ω 2 c, 2 (88) mits c 0 en ω 2 k m. Definieer ω 2 0 = k m. Twee speciale gevallen zijn er te onderscheiden c = 0 geen demping (89) c > 0 wel demping. (90) Voor het geval er geen demping is, c = 0, zijn er ook weer twee speciale gevallen en wel ω 2 ω 0 2 (91) ω 2 = ω 0 2. (92) 35

36 t Figuur 6: Resonantie Bij het geval ω 2 ω 0 2 wordt als particuliere oplossing verkregen y p (t) = De maximale amplitude van deze oplossing is met als ρ, de resonantiefactor, F 0 cos(ωt). (93) m(ω 02 ω 2 ) ρ = a 0 = F 0 ρ, (94) k 1 1 ( ω ω 0 ) 2. (95) Duidelijk is dat als ω ω 0 dat ρ en dus a 0. Voor het geval er echt resonantie optreedt, c = 0 en ω 2 = ω 0 2, is de particuliere oplossing y p (t) = F 0 2mω 0 t sin(ω 0 t). (96) 36

37 Duidelijk is dat de amplitude van de oplossing groeit, naar mate de tijd toeneemt. Een voorbeeld hiervan is te zien in figuur 6. Voor het geval er wel demping optreedt, c > 0, zal de oplossing van de homogene vergelijking uitdempen ( na verloop van tijd) en de particuliere oplossing zal blijven bestaan. Dit wordt ook wel de stationaire oplossing genoemd, de oplossing waar in de loop van de tijd niets meer aan verandert. Zie (85) en (87) voor een uitdrukking van de particuliere oplossing. Het geval c = 0 en ω 2 ω 2 0 wordt wel een ongedempte gedwongen trilling genoemd. Het geval c > 0 wordt een gedempte gedwongen trilling genoemd. Gedwongen in die zin dat de inhomogene term, de oplossing in beweging houden Slot De voorafgaande paragrafen zijn een aantal toepassingen gegeven van de tot nu toe behandelde theorie en ook een aantal fysische problemen gemodelleerd. Op het tentamen wordt alleen verlangd dat jullie van antwoorden kunnen uitrekenen van opgegeven opgaven en niet dat jullie fysische geformuleerde problemen kunnen omzetten in differentiaalvergelijkingen! Voor aller zekerheid vermeld ik dit in het diktaat. INDEX 37

38 38

39 Index complex geconjugeerde, 8 cosh, 14 demping bovenkritisch, 32 kritisch, 32 onderkritisch, 32 differentiaal verg. inhomogeen, 17 algemene opl., 22 gewone, 16 homogeen, 17 lineair, 17 orde, 16 partiële, 16 particuliere opl., 22 differentieerbaar, 12 driehoeksongelijkheid, 11 eigenfrequentie, 32 Euler, formule van, 10 hoofdwaarde, 9 hyperbolisch, 14 imaginair deel, 7 modulus, 9 reëel deel, 7 relatieve demping, 32 resonantie, 36 sinh, 14 trilling gedempt gedwongen, 37 ongedempt gedwongen, 37 vrije, 32 39