Trillingen en Golven

Transcriptie

1 College-aantekeningen Trillingen en Golven vijfde kwartaal Natuur- en Sterrenkunde, Natuurwetenschappen najaar 008 F. Filthaut Experimentele Hoge-Energie Fysica Institute for Mathematics, Astrophysics, and Particle Physics kamer HG03.808, tel syllabus door P.C.M. Christianen

2 Deze college-aantekeningen zijn deels gebaseerd op: boek Frank S. Crawford, Jr., Waves, Berkeley physics course vol. 3, McGraw-Hill Book Company, New York (1968) dictaat G. Vertogen, Mechanica II, Onderdeel: Golven en Trillingen (1984) dictaat C. Gielen, Trillingen en Golven (1999)

3 Hoofdstuk 1 De harmonische oscillator 1.1 De gedempte harmonische oscillator De differentiaalvergelijking De gedempte harmonische oscillator (Serway 15.6) is één van de belangrijkste modelsystemen uit de fysica en wordt gebruikt om een breed scala van fysische verschijnselen te beschrijven. De differentaalvergelijking luidt: ẍ + Γẋ + ω0x = 0 (1.1) x is een tijdsafhankelijke variabele, die de uitwijking van een puntmassa aan een veer kan zijn, maar ook de lading op een condensator in een elektrische stroomkring (zie onderstaande voorbeelden). Γ is de dempingsparameter. ω 0 bepaalt de terugvoerende kracht naar de evenwichtspositie Voorbeelden Enige voorbeelden die tijdens het college veelvuldig gebruikt gaan worden zijn: 1. Puntmassa M aan een veer met veerconstante K en wrijving volgens Stokes (figuur 1.1 a)). De kracht F op de puntmassa is gegeven door: F(x, ẋ) = Kx cẋ De eerste term in het rechterlid is de terugvoerende kracht volgens de wet van Hooke F = Kx (Serway 15.1). De tweede term is de wrijvingskracht volgens Stokes F = cẋ (c is een constante). 1

4 Figuur 1.1: Typische voorbeelden van een harmonische oscillator. a) Een massa aan een veer b) Een LCR stroomkring c) Een massa aan een slinger. Er geldt dus: Mẍ + cẋ + Kx = 0 ẍ + Γẋ + ω 0 x = 0 met Γ = c M en ω 0 = K M. Stroomcircuit met een weerstand R, condensator C en spoel L. Er moet gelden: dus: V C + V R + V L = 0 Q C + I R + L di dt = 0 de stroom I door de kring is gegeven door I = dq dt d.w.z. de tijdsafgeleide van de lading Q op de condensator (zie figuur 1.1 b)). Het probleem is op te schrijven op twee verschillende, gelijkwaardige manieren, in termen van hetzij de lading Q, hetzij de stroom I. L d Q dt + R dq dt + Q C = 0 Q + R L Q + 1 LC Q = 0 L d I dt + R di dt + I C = 0 Ï + R L I + 1 LC I = 0 met Γ = R L en ω 0 = 1 LC. 3. Massa M aan een slinger met lengte l (zonder wrijving). In evenwicht hangt het koord verticaal. De hoek α beschrijft de uitwijking uit evenwicht (figuur 1.1 c)). De terugdrijvende kracht F is de component van de zwaartekracht loodrecht op het koord: F = Mg sin α Mgα voor kleine hoeken

5 De afstand x(t) afgelegd door de massa is l α(t): F = Mẍ = Mgα = Mg x l dus: ẍ + g l x = 0 zodat ω 0 = g l De oplossing van de differentiaalvergelijking Deze oplossing is uitgebreid behandeld bij het college Mechanica en wordt hier slechts summier herhaald. De differentiaalvergelijking kan opgelost worden met behulp van de probeeroplossing x(t) = e βt y(t). Dan volgt: ẋ(t) = e βt ẏ + βe βt y = e βt (ẏ + βy) ẍ(t) = βe βt (ẏ + βy) + e βt (ÿ + βẏ) = e βt (ÿ + βẏ + β y) Invullen in vergelijking (1.1) levert: e [ βt ÿ + (β + Γ)ẏ + (β + Γβ + ω0 )y] = 0 Kiezen we vervolgens Γ = β dan voldoet y(t) aan de vergelijking: ÿ + (ω0 1 4 Γ )y = 0 (1.) We kunnen nu vier gevallen onderscheiden: 1. Γ = 0, het ongedempte geval: β = 0 ÿ + ω0y = 0 Dit geeft twee onhankelijke oplossingen voor x(t) = y(t): x 1 (t) = sin(ω 0 t); x (t) = cos(ω 0 t). Γ > ω 0, het overgedempte geval: Schrijf ω1 = 1 4 Γ ω0 > 0 omdat Γ > ω 0. Dus vergelijking (1.) wordt: ÿ ω1 y = 0 Dit geeft y(t) = e ±ω1t en dus twee onhankelijke oplossingen voor x(t): x 1 (t) = e ( 1 Γ+ω1)t ; x (t) = e ( 1 Γ ω 1)t 3. Γ < ω 0, het ondergedempte geval: Schrijf ω = ω Γ > 0 omdat Γ < ω 0. Dus vergelijking (1.) wordt: ÿ + ω y = 0 Dit geeft y(t) = e ±iωt of y(t) = sin(ω t) en y(t) = cos(ω t) en dus ook hier twee onhankelijke oplossingen voor x(t): x 1 (t) = e 1 Γt sin(ω t); x (t) = e 1 Γt cos(ω t) 3

6 4 Demping : uitwijking 3 1 Kritisch Zwaar Licht tijd Figuur 1.: Oplossingen voor de gedempte harmonische oscillator (vergelijking (1.1)) met achtereenvolgens: Γ = 4, ω0 = 4 (kritisch gedempt), Γ = 4, ω 0 = 3 (overgedempt) en c) Γ = 4, ω0 = 0 (ondergedempt) met als beginvoorwaarden x(0) = 4 en ẋ(0) = Γ = ω 0, het kritisch gedempte geval: Nu moet gelden dat: ÿ = 0 Dit geeft twee onafhankelijke oplossingen voor y(t), namelijk dat of y(t) =constant of y(t) = constante t. Kortom: x 1 (t) = e 1 Γt ; x (t) = te 1 Γt In alle gevallen is de algemene oplossing x(t) gegeven door een lineaire combinatie van x 1 (t) en x (t): x(t) = c 1 x 1 (t) + c x (t) De constanten c 1 en c worden bepaald door de beginvoorwaarden. In figuur 1. worden typische voorbeelden gegeven voor de laatste drie gevallen. Merk op dat de gedempte (vrije) harmonische oscillator uitdempt over een karakteristieke tijd τ 1 Γ (1.3) 4

7 1. De aangedreven gedempte harmonische oscillator 1..1 De algemene oplossing We beschouwen de differentiaalvergelijking van de aangedreven, gedempte harmonische oscillator (Serway 15.6): ẍ + Γẋ + ω0x = f(t) (1.4) M waarbij f(t) de externe tijdsafhankelijke kracht is. We nemen aan dat f(t) gegeven is door een harmonische functie f 0 cos(ωt). Dit is géén beperking omdat, zoals uit de Fourieranalyse zal blijken, krachten uitgedrukt kunnen worden als een superpositie van harmonische krachten. Tevens kan de algemene oplossing van bovenstaande vergelijking uitgedrukt worden als de superpositie van de oplossingen behorende bij de afzonderlijke krachten. De algemene oplossing is de som van de oplossing van de homogene vergelijking, die we reeds gezien hebben in de vorige paragraaf, en de particuliere oplossing x 0 (t): x(t) = x 0 (t) + c 1 x 1 (t) + c x (t) De constanten c 1 en c worden wederom bepaald door de beginvoorwaarden. 1.. De particuliere oplossing Rest ons nog om de particuliere oplossing x 0 (t) te vinden, de oplossing van: ẍ + Γẋ + ω 0 x = f 0 cos(ωt) M (1.5) We nemen aan de particuliere oplossing zich harmonisch gedraagt en wel met dezelfde frequentie als de kracht: x 0 (t) = A(ω) cos(ωt ϕ(ω)), waarbij A(ω) en ϕ(ω) bepaald dienen te worden. Invullen van deze probeeroplossing levert: ( ω 0 ω ) A(ω) cos(ωt ϕ(ω)) ΓωA(ω) sin(ωt ϕ(ω)) = f 0 cos(ωt) M Gebruik: cos(a b) = cosacosb + sin a sin b en sin(a b) = sin a cosb cosasin b: [( ω 0 ω ) A(ω) cosϕ(ω) + ΓωA(ω) sinϕ(ω) ] cos(ωt)+ [( ω 0 ω ) A(ω) sin ϕ(ω) ΓωA(ω) cosϕ(ω) ] sin(ωt) = f 0 cos(ωt) M 5

8 Ofwel: [( ω 0 ω ) cosϕ(ω) + Γω sin ϕ(ω) ] A(ω) = f 0 (1.6) [( M ω 0 ω ) sin ϕ(ω) Γω cosϕ(ω) ] A(ω) = 0 (1.7) Uit (1.7) volgt: tanϕ(ω) = M.b.v. sin ϕ(ω) + cos ϕ(ω) = 1 geeft dit sin ϕ(ω) cosϕ(ω) = Γω ω 0 ω (1.8) sin ϕ(ω) = Γω [(ω 0 ω ) + Γ ω ] 1 en cosϕ(ω) = ω 0 ω [(ω 0 ω ) + Γ ω ] 1 Wat leidt tot: A(ω) = f 0 /M (1.9) [(ω0 ω ) + Γ ω ] 1 In het geval dat er demping is (Γ 0) zal de invloed van de oplossing van de homogene vergelijking op de algemene oplossing na enige tijd verdwijnen (inschakeleffect). De uiteindelijke stationaire oplossing is dus gegeven door de particuliere oplossing x 0 (t) Frequentieafhankelijkheid van amplitude en fase Het geval zonder demping Γ = 0 De amplitude A(ω) en de fasehoek ϕ(ω) worden vastgelegd door: A(ω) = f 0/M ω 0 ω tan ϕ(ω) = 0, zodat sin ϕ(ω) = 0, en cosϕ(ω) = ±1 ϕ = 0 of ϕ = π De frequentie afhankelijkheid van de amplitude en fase is te zien in figuur 1.3, waarbij het volgende opvalt: 1. Voor ω = ω 0 wordt de amplitude oneindig groot (resonantie).. Voor ω = 0 geldt A(ω) = f 0. Mω0 3. Voor ω geldt A(ω) Voor ω < ω 0 geldt ϕ = 0 (trilling in fase met kracht), terwijl voor ω > ω 0 geldt ϕ = π (trilling uit fase met kracht). Het geval met demping Γ 0: A(ω) en ϕ(ω) worden nu vastgelegd door vergelijkingen (1.8) en (1.9): A(ω) = f 0 /M [(ω 0 ω ) + Γ ω ] 1 6 en tan ϕ(ω) = Γω ω 0 ω

9 Amplitude "blaast op" (resonantie) f 0 /Mω 0 Amplitude naar nul π Fase Amplitude 0 ω < ω 0 in fase ω > ω 0 uit fase Frequentie ( ω 0 ) Figuur 1.3: De frequentie afhankelijkheid van de amplitude en fase van een aangedreven harmonische oscillator zonder demping. De frequentieafhankelijkheid van de amplitude en fase is te zien in figuur 1.4 a), waarbij het volgende opvalt: 1. De amplitude blijft overal eindig ook op de resonantie.. Ook met demping geldt dat A(0) = f 0 Mω 0 3. tanϕ(ω 0 ) = ϕ(ω 0 ) = 1 π en dat A(ω ) = 0. tanϕ(0) = 0 ϕ(0) = 0 en tanϕ( ) = 0 ϕ( ) = π 4. Het maximum van A(ω) ligt niet bij ω = ω 0, maar is verschoven. De positie van het maximum x m volgt uit da(ω) = 0 te stellen, wat leidt tot: ω dω m = ω 0 1 Γ. ω0 Definieer de zogenaamde Q-factor als de verhouding tussen ω 0 en Γ: Q = ω 0 Γ (1.10) Dan vinden we: ω m = ω Q en A Q m = A(ω = 0) 1 1 4Q 7

10 Amplitude f 0 /Mω 0 a) demping: eindige amplitude verschoven maximum Amplitude b) Q = 30 Q = 10 Q = 4 Q = Q = 1 π π Fase π/ Fase π/ toenemende Q Frequentie ( ω 0 ) Frequentie ( ω 0 ) Figuur 1.4: De frequentieafhankelijkheid van de amplitude en fase van een aangedreven harmonische oscillator met demping. a) schematisch b) voor een aantal waarden van de Q-factor Q geeft dus een maat voor de scherpte van de resonantie, namelijk hoe hoger Q hoe scherper de resonantie, zoals te zien is in figuur 1.4 b). Met toenemende Q komt ook het maximum dichter bij ω 0 te liggen (ω m ω 0 ). In de limiet Q verkrijgen we weer de ongedempte harmonische oscillator Energiedissipatie Laten we vervolgens kijken wat de hoeveelheid arbeid W per tijdseenheid is die de externe kracht moet leveren voor het in stand houden van de trilling. Hiertoe rekenen we het instantane inputvermogen uit dat gegeven is door de uitwendige kracht maal de snelheid: Kortom: P in (t) = dw dt = f(t) dx(t) dt = f 0 cos(ωt) d (A(ω) cos(ωt ϕ(ω))) dt P in (t) = ωa(ω)f 0 cos(ωt) sin(ωt ϕ(ω)) = ωa(ω)f 0 cosϕ(ω)(sin(ωt) cos(ωt)) +ωa(ω)f 0 sin ϕ(ω) cos (ωt) 8

11 Vermogen a) Q = 30 Q = 10 Q = 3 Vermogen P max 1/ P max b) Q = 10 ω Q = Frequentie ( ω ) Frequentie ( ω ) 0 Figuur 1.5: a) Het gedissipeerd vermogen van een aangedreven gedempte harmonische oscillator als functie van de frequentie voor verschillende Q-factors. b) Definitie van het Full Width Half Maximum (FWHM) ω. Indien we het inputvermogen middelen over één of meer periodes dan geeft de eerste term altijd nul, want 1 T T 0 sin ωt cosωtdt = 0. De tweede term is niet nul, want 1 T T 0 cos ωtdt = 1. Het gemiddeld inputvermogen is: Definieer P 0 = P in (ω = ω 0 ) = f 0 ΓM P in (ω) = 1 ωa(ω)f 0 sin ϕ(ω) = en dan geldt: 1 Γf 0 ω /M (ω0 ω ) + Γ ω P in (ω) = P 0 Γ ω (ω 0 ω ) + Γ ω (1.11) Figuur 1.5 a) laat curves voor P in (ω) zien voor verschillende Q-waarden. Merk op dat: 1. met toenemende Q wordt P in (ω) steeds scherper.. Het maximum voor P in (ω), wat volgt uit dp in dω P max = P 0. = 0 ligt altijd bij ω = ω 0, dus 3. indien Γ = 0 P in = 0, d.w.z. dat er zonder wrijving geen energiedissipatie is. De halfwaardebreedte van de P in (ω) curve wordt bepaald (zie figuur 1.5 b)) door op zoek te gaan naar die waarden ω ± waarvoor geldt P(ω ± ) = 1P max. Hieruit volgt: ω ± = ω Γ ± 1 Γ 9

12 We vinden dus dat de breedte op halve hoogte (Full Width Half Maximum, FWHM) ω is gegeven door: ω = ω + ω = Γ De halfwaardebreedte ω voor de resonantiecurve van een gedreven oscillator maal de karakteristieke afvaltijd τ voor een vrije gedempte oscillator (zie vergelijking (1.3)) is constant: ω τ = Γ 1 Γ = 1 Dit is een manifestatie van een algemeen effect, wat niet alleen geldt voor een enkele oscillator, maar ook voor gekoppelde oscillatoren. Merk op dat de dempingsconstante Γ dus op twee manieren bepaald (= gemeten) kan worden: 1. bepalen van de resonantiecurve. bepalen van de karakteristieke afvaltijd 10