Interfacultaire Lerarenopleidingen, Universiteit van Amsterdam

Transcriptie

1 Naam auteur(s) Nijenhuis, N Vakgebied Natuurkunde Titel Wiskunde bij Natuurkunde: de afgeleide Onderwerp Wiskunde natuurkunde transfer Opleiding Interfacultaire Lerarenopleidingen, Universiteit van Amsterdam Doelgroep 4 VWO Sleuteltermen transfer, wiskunde, natuurkunde, afgeleide Bibliografische referentie Nijenhuis, N. (2015). Wiskunde bij Natuurkunde: de afgeleide. Amsterdam: Interfacultaire Lerarenopleidingen UvA. Studentnummer Begeleider(s) Peter Uylings Beoordelaar(s) indien bekend Peter Uylings Rijkje Dekker Datum 21 november 2015

2 Probleemomschrijving De vakken natuurkunde en wiskunde zijn onlosmakelijk met elkaar verbonden. Het is niet mogelijk natuurkunde in de bovenbouw met succes te volgen zonder wiskundig inzicht te hebben. Dit wiskundig inzicht verschilt van leerling tot leerling, en kan, mede doordat ook leerlingen met alleen wiskunde A in het pakket het vak kunnen kiezen, behoorlijk groot zijn. Dit is zowel voor de leerlingen als de docenten een probleem. Een probleem dat vergroot wordt doordat de twee vakken niet op elkaar zijn afgestemd. De afgeleide van een functie bepalen krijgen wiskunde A leerlingen helemaal aan het einde van de vierde klas, integreren en dus het inzicht waarom het oppervlak onder een v-,t-grafiek van een voorwerp gelijk is aan de afgelegde weg van dat voorwerp, krijgen zij helemaal niet. De overige leerlingen krijgen dit pas in de vijfde klas. Geen van de leerlingen hebben aan het begin van de vierde klas geleerd wat de afgeleide van een functie is. Dit gebrek aan kennis wordt bij natuurkunde aan het begin van dat lesjaar, wanneer de onderwerpen plaats, snelheid en versnelling worden behandeld, omzeild door leerlingen te leren dat de helling van de raaklijn aan een x-,t-grafiek de snelheid in dat punt geeft, en dat het oppervlak onder een v-,t-grafiek de afgelegde weg geeft. Er is in mijn klas geen leerling, die vraagt waarom dit zo is. Het is een trucje dat ze toepassen. En trucjes zonder inzicht zijn gemakkelijk te vergeten. Dit blijkt wanneer ik in de week voor het proefwerk de stof herhaal en vraag hoe je uit een x-,t-grafiek de snelheid kan bepalen. Veel leerlingen hebben het antwoord niet paraat en kunnen het ook niet bedenken. Op het proefwerk zelf hadden lang niet alle leerlingen een raaklijn getrokken bij de vraag om v(10) te bepalen aan de hand van de x-,tgrafiek. Een leerling had zelfs het oppervlak in plaats van de raaklijn bepaald. Dit gebeurt wanneer je niet precies weet waarom je iets doet. Dat dit geen uitzondering was, bleek na een gesprek met een mede-docent, waarin naar voren kwam dat ook bij hem meerdere leerlingen het toepassen van raaklijnen aan en oppervlaktes onder een grafiek door elkaar halen. Een andere docent pakt dit gebrek aan een goede transfer tussen wiskunde en natuurkunde pas in de zesde klas aan. Een wiskunde docent legt het probleem geheel bij de natuurkunde sectie aangezien deze ook wiskunde A leerlingen toelaat. Probleemanalyse De hierboven genoemde voorbeelden zijn niet losstaand. Al tijdens mijn stage in een 3 vwo-klas kwam ik erachter dat de leerlingen wiskundig achter liepen op wat ze bij natuurkunde nodig zouden hebben. Naast nog niet de juiste wiskundige vaardigheden te hebben, waren veel leerlingen niet voorbereid op het abstraheren dat bij natuurkunde zo belangrijk is. Veel leerlingen in de derde en vierde van het VWO gebruiken nog het driehoekje (bijlage 1) en : in plaats van breukstrepen. Leerlingen lijken moeite te hebben met breuken. Iets dat ze bij wiskunde geleerd zouden moeten hebben. Hun wiskundige basis laat dus te wensen over. Verder leren leerlingen nog te veel regeltjes uit het hoofd zonder door te hebben wat er precies gebeurt (zie voor een voorbeeld hiervan de vorige paragraaf). Dit komt mede doordat de vakken natuurkunde en wiskunde niet goed op elkaar afgestemd zijn. Hierbij vindt er geen transfer tussen de vakken plaats op het moment waarop dit nodig is. Dit gebrek aan transfer tussen wiskunde en een ander vakgebied is een algemeen bekend probleem, waar zelfs op de universiteit tegenaan wordt gelopen (Britton S., 2002). Het is dus belangrijk om dit in een zo vroeg mogelijk stadium op te lossen. De transfer, die nog niet tussen wiskunde en natuurkunde

3 plaatsvindt, komt ook aan de orde in het rapport Rijk aan betekenis van de Commissie Toekomst WiskundeOnderwijs (Ctwo, 2007). Hierin wordt voorgesteld om het wiskundeprogramma beter op het natuurkundeprogramma af te laten stemmen door differentiëren al in klas 4 en integreren al in klas 5 van het VWO in te voeren. Een ander rapport van dezelfde commissie gaat zelfs een stapje verder en stelt voor om al in de vierde klas de beginselen van het integreren te onderwijzen zodat een oppervlakte berekend kan worden (Van de Giessen et al. 2008). Deze rapporten zijn allen voor 2013 geschreven. Echter, in het eindexamen natuurkunde van dat jaar, had de examencommissie dusdanig weinig vertrouwen in het feit dat leerlingen zelf de transfer tussen wiskunde en natuurkunde zouden kunnen maken, dat zij expliciet in een opgave, waarin de afgeleide van een functie gebruikt moest worden, de algemene formule voor het nemen van de afgeleide vermeldt (zie bijlage 2). De formule werd als volgt in het examen geïntroduceerd: Haar leraar legt uit dat de snelheidsfunctie de afgeleide is van de plaatsfunctie en schrijft op hoe die afgeleide bepaald moet worden. Het is dus duidelijk dat we hier een probleem hebben, als zelfs de examencommissie natuurkunde er van uitgaat dat eindexamenleerlingen niet in staat zijn om zelf deze transfer tussen wiskunde en natuurkunde te kunnen maken, terwijl differentiëren tot de eindtermen van natuurkunde behoort (CvE, 2014). Verkenning van oplossingen Er zijn een aantal mogelijke oplossingen om de transfer tussen wiskunde en natuurkunde beter te maken: 1. De benodigde wiskunde wordt eerder aangeboden bij het vak wiskunde. 2. De volgorde van de onderwerpen bij het vak natuurkunde veranderen zodat ze wel in fase zijn met wiskunde 3. Voorbeelden van natuurkundige toepassingen in de bij wiskunde gebruikte methodes plaatsen zodat leerlingen op het moment dat ze de wiskunde krijgen, de koppeling kunnen maken. 4. De natuurkundedocent geeft de wiskunde zelf wanneer deze nodig is. Dit in overleg met de wiskundesectie. Oplossing 1 werd hierboven al naar voren gebracht met als voorbeeld het introduceren van integreren in de vierde klas (Van de Giessen et al. 2008). Dit zou betekenen dat integreren meteen aan het begin van het vierde jaar gegeven moet worden, waarvoor waarschijnlijk nog niet de juiste ondergrond is. Tevens ontbreekt dit onderwerp in het curriculum van de natuurkunde leerlingen die alleen wiskunde A in het pakket hebben. In het begin van het jaar omdat dan bij natuurkunde het bepalen van het oppervlak onder een grafiek aan bod komt. Dit brengt meteen oplossing 2 naar voren waarbij de natuurkunde, die gebruikt maakt van deze wiskunde, later gegeven zal moeten worden. Dit is lastig omdat verdieping volgt op de introductie van het begrip versnelling, dat volgt uit snelheid en plaats. Zonder kennis van

4 versnelling is het niet mogelijk om op krachten over te gaan. Dit is een duidelijk argument waarom deze stof aan het begin van het schooljaar gegeven wordt. Dit afstemmen tussen wiskunde en andere vakken zodat zij in fase lopen wordt ook als oplossing naar voren gebracht in (Ctwo, 2007). Een voorbeeld van oplossing 3 (natuurkundige toepassingen in de wiskunde methodes) wordt gegeven in (Van de Giessen et al. 2008). Uit dit voorbeeld blijkt dat het wiskundeboek (moderne wiskunde) en het natuurkundeboek (Newton), hetzelfde op verschillende manieren uitleggen wat tot verwarring bij de leerlingen leidt. Dit betekent dat op één school het beste methodes van dezelfde uitgeverij gebruikt kunnen worden, die helemaal op elkaar afgestemd zijn. Dit is nu nog niet het geval. Het herschrijven van de wiskunde en natuurkundemethodes zal niet op dusdanig korte termijn plaatsvinden, dat ik ze kan gebruiken voor dit onderzoek. Verder is oplossing 2 ook niet voor mij een mogelijkheid omdat ik niet uit fase kan gaan lopen met de andere natuurkundedocenten, door andere hoofdstukken eerst te behandelen. We werken als een team samen en geven dezelfde practica, proefwerken en overleggen over wat we in de lessen willen benadrukken. Dit betekent dat de enige haalbare aanpak de laatste oplossing is, waarbij de natuurkundedocent zelf de wiskunde geeft wanneer dit nodig is, en de transfer op het juiste moment plaatsvindt. Deze oplossing komt ook naar voren in (Van de Giessen et al. 2008) waarbij zelfs aanbevolen wordt om nascholingsprogramma s voor docenten te ontwikkelen waarbij de nadruk ligt op de samenhang tussen de vakken natuurkunde en wiskunde. Van de mogelijke wiskundige onderwerpen, kies ik voor de afgeleide (differentiëren) en het tekenen van de raaklijn aan een kromme om de snelheid/versnelling te bepalen. Beiden behoren tot de eindtermen van de natuurkunde (CvE, 2014) en passen precies bij de onderwerpen waarmee mijn vierde klas de komende tijd bezig zal zijn: eenparig versnelde beweging en de wetten van Newton. Ontwerphypothese en ontwerpregels ONTWERPHYPOTHESE Als leerlingen begrip krijgen van wat de afgeleide van een functie is binnen een natuurkundige context dan begrijpen zij waarom zij met behulp van een raaklijn aan een grafiek van de plaats of snelheid van een voorwerp als functie van de tijd, respectievelijk de snelheid of versnelling van dat voorwerp kunnen bepalen, en kunnen zij dit toepassen. ONTWERPREGELS LESSEN 1. Voorkennis over x-,t-, v-,t- grafieken ophalen. Hiervoor mede het software programma Coach inzetten. 2. Leren wat een afgeleide is. Hiervoor de x-,t- grafiek van een vallende bal gebruiken en het tekenen van een raaklijn aan een punt van deze grafiek. 3. In een natuurkunde context de raaklijn kunnen toepassen en de afgeleide kunnen nemen. 4. De lessen zijn dusdanig dat leerlingen het vooral zelf doen. Dit geldt ook voor punt 2.

5 5. De lessen zijn zodanig dat ze ook relevant zijn voor de onderwerpen waar de leerlingen op dat moment mee bezig zijn. ONTWERPREGELS ONDERZOEK 1. Voordat de afgeleide geïntroduceerd wordt en aan het einde van de lessenserie krijgen de leerlingen een opgave waarin de afgeleide moet worden toegepast. 2. Aan het begin en einde van de lessenserie moeten leerlingen uitleggen waarom je met behulp van een raaklijn in een punt van een x-,t-grafiek, de snelheid in dat punt kunt bepalen. 3. Resultaten van het proefwerk na de lessenserie vergelijken met de resultaten van andere klassen, die vier lessen extra voor het proefwerk hebben gehad. 4. Het proefwerk na de lessenserie zal een opgave bevatten waarin een raaklijn getekend moet worden en de helling van de raaklijn bepaald moeten worden. Resultaten van deze opgave vergelijken met de andere klassen, die niet de lessenserie hebben gehad. 5. Kort interview met een aantal leerlingen om te achterhalen hoe zij de lessenserie hebben ervaren. Evaluatie- en tijdsplan Het effect van de lessenserie zal op meerdere manieren getest worden. Allereerst maken de leerlingen een opgave waarin de afgeleide moet worden genomen. Deze opgave zal aan het begin van de lessenserie en aan het eind (in een iets andere vorm) worden afgenomen. Het percentage leerlingen dat de opgave goed heeft gemaakt zal vergeleken worden. Tevens zal het proefwerk, dat aan het eind van de lessenserie wordt afgenomen, een opgave bevatten waarin een raaklijn getrokken moet worden. Het percentage leerlingen in mijn klas, dat dat goed doet, zal vergeleken worden met de drie andere vierde klassen, die hetzelfde proefwerk krijgen, maar die niet de lessenserie over de afgeleide hebben gehad. Verder zal gekeken worden of de vier lessen, die mijn leerlingen minder hebben gehad, geen negatief effect op de resultaten op het proefwerk hebben gehad. Hiervoor zullen de resultaten van het proefwerk vergeleken worden met die van de andere vierde klassen. Resultaten van een eerder gemaakt proefwerk zullen ook vergeleken worden om na te gaan of er verschillen tussen de klassen zijn, die bij zouden kunnen dragen aan eventuele verschillende resultaten bij het tweede proefwerk. Het voordeel voor de leerlingen van de interventie, wat betreft het kunnen nemen van een afgeleide binnen een natuurkundige context, kan niet direct getest worden. Dit zal pas aan de orde komen wanneer zij in een hoger jaar verdieping krijgen. Tevens hebben ze nu een voorsprong bij wiskunde, maar of dit een positief effect heeft kan ook pas later getest worden.

6 Week Te doen Inleveren Opmerking 42 Herschrijven P1 + boeken van wiskunde sectie lenen 43 Lessenserie herfstvakantie uitschrijven 44 Schrijven P2 45 Les 1 & 2 5/11 en 6/11 46 Les 3 & 4, 5, 9/11, 12/11, 13/11 interview 47 Schrijven P3 + data lessen en interview analyseren. Leerlingen hebben proefwerk 48 Proefwerk nakijken OO1 23/11 voor Data proefwerken verzamelen en analyseren. Indien OO1 gehaald 50 Poster maken voor het ontwerpfestival 51 posterpresentatie ontwerpfestival 52 P4 schrijven kerstvakantie 53 P5 schrijven kerstvakantie 1 OO2 4/1 voor OO2 herschrijven Indien OO2 onvoldoende 3 OO2 herschrijven 4 OO2 herkansing 25/1 voor 9.00 Referenties Britton, S. (2012). Are students able to transfer mathematical knowledge? In: Proceedings of the 2nd International Conference on the Teaching of Mathematics. New York: Wiley College voor Examens (2014), natuurkunde VWO Syllabus centraal examen 2016 Commissie Toekomst WiskundeOnderwijs (2007). Rijk aan betekenis Visie op vernieuwd wiskundeonderwijs. Utrecht Van de Giessen, C., Hengeveld, T., Van der Kooij, H., Rijke, K., Sonneveld, W. (2008), Eindverslag van werkgroep Afstemming Wiskunde-Natuurkunde aan Vernieuwingscommissies Wiskunde ctwo en Natuurkunde NiNa, Commissie Toekomst WiskundeOnderwijs, Utrecht Commissie Vernieuwing Natuurkundeonderwijs, Amsterdam.

7 Bijlage 1 In plaats van s = v t te gebruiken en hieruit af te leiden dat v =

8 Bijlage 2