Omschrijven, formules, natuurkunde, stappenplan, begripspracticum

Transcriptie

1 ONTWERP ONDERZOEK FORMULES OMSCHRIJVEN BIJ NATUURKUNDE IN 3 VWO Naam auteur Margriet van der Laan, Msc Vakgebied Natuurkunde Titel & onderwerp Formules omschrijven bij natuurkunde Opleiding Interfacultaire Lerarenopleidingen, Universiteit van Amsterdam Doelgroep 3 VWO Sleuteltermen Omschrijven, formules, natuurkunde, stappenplan, begripspracticum Bibliografische referentie Laan, M. van der (2015). Formules omschrijven bij natuurkunde. Amsterdam: Interfacultaire Lerarenopleidingen UvA. Studentnummer Begeleider(s) Mariska Min-Leliveld Beoordelaars Vakdidacticus: Dhr. dr. P.H.M. Uylings, onderzoeker: mw. dr. R. (Rijkje) Dekker Datum 11 juni 2015

2 PAPER 1 ONTWERPPLAN 1. Probleembeschrijving Formules Omschrijven bij natuurkunde Vrijmaken bij wiskunde Het probleem 2. Probleemanalyse a) Samenhang wiskunde & natuurkunde b) Begrip van grootheden c) Het oplossen van een natuurkundig probleem 3. Verkenning van oplossingen a) Samenhang wiskunde & natuurkunde b) Begrip van grootheden c) Het oplossen van een natuurkundig probleem Keuze 4. Ontwerphypothese en ontwerpregels Ontwerphypothese Ontwerpregels 5. Evaluatie- en tijdsplan Literatuur BIJLAGE 1 Balansmethode BIJLAGE 2 Stappenplan Boltjes (2004) BIJLAGE 3 Overlap syllabi natuurkunde, wiskunde & rekentoets 1. Probleembeschrijving In de onderbouw klassen op het Hyperion Lyceum wordt science gegeven, een combinatie van natuurkunde, scheikunde en biologie. In de derde klas ligt de nadruk sterk op de vakken natuurkunde en scheikunde; de biologische onderwerpen zijn in de eerste en de tweede klas meer aanbod gekomen. Formules Ik geef dit jaar les aan een derde klas en er zijn al veel formules voorbij gekomen, voorbeelden zijn U = I x R, R = (ρ x l) / A en 1/f = 1/v + 1/b. Het boek dat wij gebruiken is Impact Natuurkunde 3VWO en de opbouw van het boek is zo dat leerlingen eerst worden aangezet tot begrijpen (het kennismaken met begrippen zoals beeldpunt en weerstand) en daarna tot beheersen (het leren gebruiken van de begrippen in natuurkundige theorie en er mee leren rekenen met o.a. bijpassende of achterliggende formules). Bij de vraag wat het lastigste onderwerp was in een enquête over het hoofdstuk 'Licht' gaven veel leerlingen aan 'het toepassen van formules'.

3 Ter verduidelijk volgt hier een voorbeeld (Impact Natuurkunde 3VWO, blz. 16): Vraag: De batterijen in een zaklamp kunnen J elektrische energie opleveren. Een lampje heeft een vermogen van 0,35 W. Bereken hoeveel seconden je de zaklamp kunt laten branden. Antwoord: E = P x t J = 0,35 W x t t = J / 0,35 W = s Omschrijven bij natuurkunde Bij de natuurkundige opgaven die leerlingen voorgeschoteld krijgen wordt verondersteld dat ze een formule kunnen omschrijven, onderdeel van het noodzakelijke werken met formules bij natuurkunde. In andere woorden kunnen leerlingen bij het gebruik van een formule met 3 óf 4 variabelen er één vrijmaken, en op deze manier de gevraagde onbekende kunnen uitrekenen. Het omschrijven of omrekenen 1 van een formule (soms ook genoemd 'variabele x naar de andere kant brengen') zijn termen die veelal bij natuurkunde onderwijs worden gebruikt, het vrijmaken van een variabele of het omzetten of omwerken van een formule 2 zijn termen die veelal bij wiskundig onderwijs worden gebruikt. Het omschrijven is een formulevaardigheid waar in natuurkunde schoolboeken nauwelijks of geen aandacht aan wordt besteed, maar waar veel leerlingen toch moeite mee hebben. Een opmerking die gemaakt moet worden is dat er een duidelijk onderscheid te maken is tussen leerlingen die hier geen enkele moeite hebben en leerlingen die dit absoluut niet van zelfsprekend kunnen. Navraag bij drie natuurkunde docent-collega's bevestigt dat veel leerlingen onwetend zijn als het gaat om formules omschrijven, en met name als het gaat om formules met vier variabelen. Er zijn twee gangbare 'trucjes' voor een vergelijking met drie onbekenden: 1. Het driehoekje: door bijv. de formule I=UxR in een driehoekje, zie hieronder, op te schrijven kun je afleiden dat U+I/R en R=I/U. 2. Het gebruik van getallen-voorbeeld: 5=10/2 (U=I/R), dus 10=5x2 (I=UxR) en 2=10/5 (R=U/I). Wanneer er een vergelijking met vier onbekenden in het spel komt, dan werken beide trucjes niet meer en is een nieuwe vaardigheid nodig. Bovendien weerhoudt het leerlingen ervan zelf na te denken en belemmert het (o.a. door het andere spraakgebruik) de noodzakelijke herkenning voor transfer vanuit de wiskunde. Vrijmaken bij wiskunde Bij de wiskunde sectie heb ik navraag gedaan wat leerlingen in de onderbouw aan formulevaardigheden krijgen: ze leren formules op te lossen, dus 'x' te achterhalen in bijv. 2x Youtube filmpje met uitleg: 2 Youtube filmpje met uitleg:

4 = 40. Dit gebeurt met behulp van de balansmethode (Getal & Ruimte 2 VWO deel 1, Hoofdstuk 3), zie ook bijlage 1. Bij de balansmethode vervang je een (lineaire) vergelijking stap voor stap door een eenvoudiger vergelijking. Je mag daarvoor aan beide kanten van de vergelijking hetzelfde getal optellen en aftrekken. door hetzelfde getal delen of met hetzelfde getal vermenigvuldigen. Het vrijmaken van variabelen (zie bijlage 1) leren leerlingen kort in de derde klas, zodat leerlingen er alvast aan kunnen wennen, en komt vervolgens uitgebreid in de bovenbouw terug. Leerlingen vinden het niet per se lastig om deze vaardigheid toe te passen, maar moeten het trucje wel kennen om het toe te kunnen passen. Door in de vergelijking 5x + y = 10 de term 5x naar het rechterlid te brengen, krijg je y = - 5x Hiermee is de variabele y vrijgemaakt. Soms zijn voor het vrijmaken van een variabele meer stappen nodig (Getal & Ruimte 3 VWO deel 1, Hoofdstuk 1). Het probleem Beide vaardigheden, het gebruiken van de balansmethode en het vrijmaken van variabelen, worden in de onderbouw kort behandeld bij wiskunde. De stap naar formules met abstracte letters die grootheden aangeven in de context van een natuurkundige theorie is een grote stap voor veel leerlingen waar weinig aandacht aan wordt besteed, omdat natuurkunde boeken in de onderbouw dit niet expliciet behandelen. Het is dan ook begrijpelijk dat leerlingen hier over struikelen, maar is wel ontzettend jammer. Het omschrijven van een formule is onderdeel van een probleem waar een deel van de leerlingen tegenaan loopt, namelijk het analyseren van dat wat er is gegeven, daar de juiste formule bij vinden, vervolgens de gegevens juist invullen en dan als laatste de onbekende op de juiste manier uitrekenen. Leerlingen vinden het dus lastig om van een context met gegevens naar het oplossen van de onbekende te gaan. Leerlingen die dit lastig vinden, vinden het vaak ook niet leuk om met formules te werken, kunnen onzeker worden en denken snel dat ze er totaal niets van begrijpen. Het dalen van zelfvertrouwen op dit gebied kan dus leiden tot een negatieve spiraal bij het vak. Ik denk dat leerlingen die zich de vaardigheid van het noodzakelijk werken met formules eigen kunnen maken er veel profijt van zullen hebben in hun volgende schooljaren en resulteert in betere resultaten. De bekende verschuiving naar een meer context-concept benadering neemt niet weg dat er nog steeds veel rekenkundige en wiskundige vaardigheden geleerd en beproefd worden bij natuurkunde. Deze vaardigheden worden ook genoemd als een van de zeven 'karakteristieke werkwijzen' in het leerplankader van de SLO voor de kennisbasis natuurwetenschappen en technologie voor de onderbouw VO (SLO, 2014). De karakteristieke werkwijzen worden in dit leerplan naast de vakinhouden en karakteristieke denkwijzen geplaatst, door de samenhang hiertussen kunnen integrale doelen behaald worden. Empirische gegevens Op school zijn twee derde klassen die het hoofdstuk 'Energie en technologie' al hebben behandeld en dus ook de formule Q = m! c! (T e - T b ). Vijf leerlingen heb ik gevraagd om twee oefenopgaven te maken waarin ze een variabele anders dan Q moesten uitrekenen. Twee van de vijf leerlingen hadden hier absoluut moeite mee, zie de afbeelding hieronder met hun antwoorden:

5 2. Probleemanalyse Er kunnen verschillende mogelijkheden zijn waarom het omschrijven van formules een probleem is bij leerlingen. a) Samenhang wiskunde & natuurkunde Bij wiskunde hebben leerlingen in de eerste en tweede klas de balansmethode geleerd, maar er wordt bij het formulegebruik bij natuurkunde niet op deze vaardigheid en kennis ingespeeld. Pas in de bovenbouw zien leerlingen vaak dat ze hun wiskundevaardigheden bij natuurkunde te pas en te onpas gebruiken. In de handreiking voor voorbeeldlesmateriaal 'Samenhang en afstemming tussen wiskunde en de profielvakken' (SLO, 2012) wordt het omzetten (vrijmaken) van variabelen genoemd als mogelijkheid tot samenhang en afstemming tussen wiskunde en natuurkunde in Domein B2 Algebra (bovenbouw havo, toepasbaar in 3 vwo). Bovendien wordt in het natuurkunde boek dat in de derde klas gebruikt wordt (Impact, natuurkunde 3 VWO) de nadruk in eerste instantie op de context en het begrip gelegd, niet op formules en op het oplossen van vraagstukken. Zo zijn er weinig rekenvoorbeelden te vinden die aansluiten bij het toepassen van formules, maar in de (toets)opgaven wordt er wel vanuit gegaan dat leerlingen dit beheersen. b) Begrip van grootheden Leerlingen kunnen vaak wel een vergelijking met getallen oplossen, maar bij een formule raken ze de draad kwijt. De letters in natuurkundige formules stellen grootheden voor, op het moment dat leerlingen daar geen beeld bij hebben en het verband van de formule niet inzien lopen ze vast. Als er een grootheid voor vermenigvuldigingsfactor speelt zien leerlingen dat niet snel. Sommige leerlingen willen misschien liever eerst de formule zien en aan de hand daarvan de materie begrijpen, maar sommige leerlingen willen misschien eerst een voorbeeld uit de praktijk zien en daarna me de formule aan de slag gaan (Riswick, 2012). c) Het oplossen van een natuurkundig probleem Leerlingen leren niet goed aan hoe ze een natuurkundig probleem oplossen en zien hierdoor niet het verband tussen gegevens, formule en de formulevaardigheid. Leerlingen zijn zich er niet van bewust of en wanneer ze de vaardigheid 'formule omschrijven' moeten toepassen. In 'Help, ik moet dit jaar de rekentoets halen! Didactische tips om leerlingen voor te bereiden op de rekentoets 3F' (Hoogland, 2012) worden denkstappen uiteengezet die leerlingen moeten zetten

6 om een probleem op te lossen: Waar gaat het probleem over? Wat wordt er precies gevraagd? Welke gegevens zijn er gegeven om het probleem op te lossen? Welke gegevens heb ik nodig? Hoe zou ik het dan uitrekenen? Nu ga ik het uitrekenen in één of meer rekenstappen. Ik heb het uitgerekend. Slaat dit ergens op? Is dit nu wat er gevraagd wordt? Is het antwoord zo goed of moet ik nog afronden of iets anders mee doen? Doordat leerlingen een context aangeboden krijgen en er vaak verschillende formules bij eenzelfde onderwerp horen weten leerlingen niet goed waar ze naar toe moeten werken. Wat is het dat ze moeten uitrekenen, wat is het doel van de opgave en hoe pak ik dat aan? Bovendien hebben leerlingen allemaal een eigen device en maken graag hun huiswerk op de computer. Hierdoor werken ze niet graag op papier en juist het oefenen met uitschrijven van uitwerkingen helpt bij het eigen maken van formules omschrijven. 3. Verkenning van oplossingen Om leerlingen het omschrijven van formules eigen te maken en ze meer zelfvertrouwen te geven om een opgave met een onbekende te laten oplossen zijn verschillende interventies mogelijk. Hieronder bespreek ik een aantal en daarna motiveer ik de gekozen interventie. a) Samenhang wiskunde & natuurkunde Om leerlingen bewust te maken van de samenhang tussen wiskunde en natuurkunde is het logisch om te zorgen voor een herkenning, transfer, van wiskunde tijdens de natuurkunde les. Hiervoor kun je zorgen door identiek woordgebruik. In dit geval gaat dit om de woorden vrijmaken, balansmethode, omzetten en omwerken die bij wiskunde worden gebruikt en gekoppeld zouden moeten worden aan de natuurkundige termen omschrijven, omrekenen en naar de andere kant brengen. De docenten wiskunde en natuurkunde spelen hier uiteraard een belangrijke rol in. Wiskunde docenten zouden op de hoogte moeten zijn van dat wat er van leerlingen wordt verwacht bij natuurkunde en andersom. Daarnaast zouden in ieder geval in een van beide vaklessen actief aandacht besteed moeten worden aan de transfer van het woordgebruik. Zoals eerder genoemd bij de probleemanalyse wordt het omzetten (vrijmaken) van variabelen genoemd als mogelijkheid tot samenhang en afstemming tussen wiskunde en natuurkunde. Ook is er een duidelijke overlap tussen subdomeinen genoemd in de syllabi voor het vwo centraal examen van natuurkunde, wiskunde B en de rekentoets. Zie bijlage III voor een overzicht van relevante subdomeinen. b) Begrip van grootheden Veelal wordt er in de literatuur gesproken en in discussies besproken dat wanneer er een goed begrip is van grootheden, het rekenen met formules sneller en gemakkelijker gaat. Ik bespreek

7 hier drie voorbeelden: Voorbeeld gestuurd onderwijs Het proefschrift van Elise Boltjes (2004, p217) stelt het volgende: 'Volgens de informatieanalysemethode vindt goede informatieoverdracht plaats in drie lagen, niet meer en niet minder. Passen we de lagenstructuur toe in het onderwijs, dan zijn die drie lagen de gegevens, de grote lijnen en de samenhang van de grote lijnen. Het stappenplan van voorbeeldgestuurd onderwijs 3 start met voorbeelden uit de bovenste laag die de samenhang weergeven. Vanuit de voorbeelden worden de abstract grote lijnen in de middelste laag afgeleid. Leren wordt zo nooit ingewikkelder dan het begrijpen van voorbeelden uit het dagelijks leven, de hoogste laag van informatieoverdracht. Uit de evaluaties van voorbeeldgestuurd leren en lesgeven volgt de gesignaleerde trend dat de herformulering van een informatieanalysemethode leidt tot een uitstekende, zelfstandig te gebruiken leermethode en lesmethode. Het stappenplan bied daarbij zekerheid.' Practicum Door leerlingen een begripspracticum aan te rijken kunnen zij een beter begrip voor dergelijke grootheden en concepten die in formules worden gebruikt krijgen, waardoor ze het omschrijven van formules als 'logisch' gaan zien (van den Berg & Buning, 1994). De inzichten van Van den Berg suggereren drie soorten practica te onderscheiden: vaardigheden- en apparatenpracticum, begripspracticum en onderzoekspracticum. In een begripspracticum kan de aandacht pas naar het begrijpen van de verschijnselen uit gaan als gewerkt wordt met bekende vaardigheden en apparatuur. Voor het begripspracticum kunnen we gebruik maken van de volgende fasering: oriënteren, voorspellen, waarnemen, verklaren. Veel nadruk wordt gelegd op het van te voren beargumenteerd voorspellen (Koops, 2009). Het boek Impact VWO 3 Kees Hooyman, auteur van Impact VWO 3 en docent op Het St. Bonifatiuscollege in Utrecht, vertelt in een mailwisseling het volgende over de opzet van het natuurkunde lesboek: Wij merkten dat bij de oude methode leerlingen formules niet alleen lastig vonden, ze begrepen eigenlijk niet waar die formules voor stonden. In feite leerden ze het maken van sommen uit hun hoofd (als er een A achter het getal staat dan moet je het bij I invullen) zonder te snappen wat I, U en R betekent. De vragen in het eerste deel zijn gericht op begripsontwikkeling: het verkennen van een concrete situatie die leerlingen herkennen biedt kapstokken om begrippen aan op te hangen. Pas in de tweede les komt de formule aan bod. Vaak horen we dan van de 3 Stap 1: baken het gebied af; stap 2: geef een relevant voorbeeld; stap 3: koppel het voorbeeld aan de grote lijnen; stap 4: geef de grote lijnen en de begrippen weer; stap 5: geef minstens twee relevante voorbeelden; stap 6: zoek overeenkomsten en verschillen; stap 7: plaats de grote lijnen in de ervaringswereld - zie ook bijlage 2 en

8 leerlingen Ja die formules hoeft u niet uit te leggen, we snappen wel waarom je het zo kunt uitrekenen. Op school merken we drie verschillen met vroeger: 1. De angst voor formules is veel minder dan vroeger 2. Veel meer leerlingen (en met name meisjes) kiezen natuurkunde 3. Bij het CE vallen er beduidend minder onvoldoendes, ondanks het hogere deelnamepercentage Ook vertelt Hooyman dat de opzet niet uit een gedegen onderzoek komt, maar de verschillen die hij merkt op school zijn niet gering. c) Het oplossen van een natuurkundig probleem Stappenplan Ebbens & Ettekoven (2013, blz ) beschrijft dat het aanleren van een vaardigheid in drie fasen verloopt: Fase 1: de docent geeft een voorbeeld en het nut van de vaardigheid, daarna geeft de docent het stappenplan voor de vaardigheid Fase 2: de docent geeft een aantal opdrachten aan de leerlingen waarin zij de kans krijgen te oefenen waardoor het belang van de vaardigheid langzamerhand helder wordt en zij zich de vaardigheid eigen kunnen maken Fase 3: de docent hangt het stappenplan op de muur en komt er regelmatig op terug. Voor het oplossen van een natuurkundig (of wiskundig of rekenkundig) probleem kun je veel verschillende stappenplannen opzetten, maar in essentie zullen deze op het zelfde neer komen. Een mogelijke opzet kan zijn: (1) wat zijn de gegevens, (2) wat wordt er gevraagd, (3) welke extra informatie of formules zijn er nodig het probleem op te lossen, (4) de juiste berekening uitvoeren met alle benodigde tussenstappen, en tot slot (5) het controleren van het antwoord. KEUZE Uit de beschreven interventies heb ik gekozen voor het aanleren van een stappenplan. Uit praktisch oogpunt lijkt mij dit een haalbare interventie. Bovendien kan ik het stappenplan makkelijk verspreiden onder de sectie science en wiskunde, en kan deze wellicht later in klas 2 ook gebruikt worden. Als het stappenplan bevalt kan ik het delen met mijn collega's, zodat er transfer ontstaat. In het stappenplan wil ik het woordgebruik van wiskunde wel degelijk gebruiken, omdat dit een wens van mij is. Om dezelfde reden zal ik mijn lessenserie ondersteunen met een zo goed mogelijk begripspracticum. Dit, omdat het begrip van de verschillende grootheden ook zal onderstreept worden in het stappenplan en het zal het gebruik van het stappenplan vergroten.

9 4. Ontwerphypothese en ontwerpregels Ontwerphypothese Als ik het probleem dat 3 vwo-leerlingen het omschrijven van een formule lastig vinden aanpak door ze een stappenplan aan te bieden, waarbij de transfer met wiskunde duidelijk wordt, zullen zij in eerste instantie beter in staat zijn om opgaven waarbij wordt gevraagd een onbekende uit te rekenen op te lossen (leerlinggedrag) en dit zal in tweede instantie leiden tot betere resultaten bij dit onderwerp (leerling resultaat). Ontwerpregels Lessen 1. De lessenserie bestaat uit vier lessen van 45 minuten, gegeven in twee blokuren. 2. Tijdens de lessenserie leren de leerlingen dat de balansmethode van wiskunde ook kan worden toegepast op natuurkundige formules. Termen die bij wiskunde worden genoemd, zoals 'omschrijven' worden genoemd tijdens de lessenserie. 3. De leerlingen zullen een begripspracticum doen waarbij de focus ligt op het zelf achterhalen van een belangrijke variabele in de formule die ze moeten kunnen omschrijven en waarin het verband duidelijk wordt tussen de variabelen. 4. Het begripspracticum besteed aandacht aan de woordformule. 5. Een samenwerking/ overleg met de sectie wiskunde lijdt tot minimaal een instemming in het stappenplan, waarbij het woordgebruik van wiskunde wordt gebruikt. Het gaat dus om een afspraak om de samenhang tussen de twee vakken bij leerlingen duidelijk te maken, specifiek gaat deze over het omschrijven van formules. Onderzoek 1. Zowel aan het begin als aan het einde van de lessenserie maken de leerlingen een (toets)opgave om het effect van de lessenserie te toetsen. Deze opgave zal geanalyseerd worden met behulp van een inhoudsanalyse. 2. De leerlingen vullen aan het einde van de lessenserie een learner report in om hun ervaringen te beschrijven.

10 5. Evaluatie- en tijdsplan Het effect van de lessenserie wordt op twee manieren geëvalueerd. Allereerst maakt een deel van de leerlingen aan het begin en aan het einde van de lessenserie een (toets)opgave waarin wordt getest of zij met gemak een formule met vier variabelen kunnen omschrijven. Deze opgaven worden geanalyseerd met behulp van inhoudsanalyse, waarmee kan worden gekeken of het beoogde leerresultaat behaald is. Daarnaast zullen de leerlingen een learner report invullen, om te kijken wat hun ervaringen zijn en of het stappenplan effect heeft op het leergedrag. Week Onderzoek Op school (lessen) Deadline 7 Verkennen probleem 8 Verkennen probleem Overleg sectie, verkennen probleem 9 Voorjaarsvakantie/ draft paper 1 10 Opstellen lesontwerp Paper 1 (4-03) 11 Opstellen lesontwerp 12 Opstellen stappenplan, oefenopg. 13 Opstellen learner report OO1 (25-03) 14 Opstellen begripspracticum 15 Verbeteren paper 1 t/m 3 (OO1) 16 Verbeteren paper 1 t/m 3 (OO1) Overleg TOA begripspracticum hoo1 (16-04) 17 Voormeting (21 april), les 1&2 (22 april) 18 Meivakantie/ analyseren voormeting 19 Meivakantie 20 Les3&4* (11 mei), learner report (13 mei) 21 Schrijven paper 4 22 Analyseren inhoudsanalyse & learner reports 22 Opzet paper 4 en 5, poster maken 23 Schrijven paper 4 en 5, ontwerpfestival (4 juni) 24 Schrijven paper 4 en 5 OO2 (11-06) *o.a. eindmeting

11 Literatuur Alink, N., Asselt, van R., Braber, den N. (2012). Samenhang en afstemming tussen wiskunde en de profielvakken. Handreiking voor voorbeeldmateriaal. Enschede: SLO (nationaal expertisecentrum leerplanontwikkeling). Bemmel, H. van, Blok, B., Hooyman, K., Philippens, M. (2013). Impact Natuurkunde 3VWO. Amersfoort: ThiemeMeulenhoff. Berg, E. van den, Buning, J. (1994). Practicum: leren ze er wat? NVOX, 19(6), Boltjes, E.G. (2004). VoorbeeldIG Onderwijs. Voorbeeldgestuurd Onderwijs, een opstap naar abstract denken, vooral voor meisjes. Maastricht: Proefschrift Universiteit Maastricht ( College voor Examens vwo, havo, vmbo (2013). Syllabus natuurkunde vwo centraal examen Utrecht: College voor Examens. College voor Examens vwo, havo, vmbo (2013). Syllabus wiskunde B vwo centraal examen Utrecht: College voor Examens. College voor Examens (2014). Rekentoetswijzer 3F 2015, rekentoets VO Utrecht: College voor Examens. Ebbens, S. & Ettekoven, S. (2013). Effectief leren. Basisboek. Groningen: Wolters-Noordhoff. Hoogland, K., Mark, van der J., Reeuwijk, van M. (2012). Help, ik moet dit jaar de rekentoets halen! Didactische tips om leerlingen voor te bereiden op de rekentoets 3F. Utrecht: APS. Koops, M.C. (2009). Fasering van verschillende soorten practica. Utrecht: Instituut Archimedes, Hogeschool Utrecht. Ottevanger, W., et al. (2014). Kennisbasis natuurwetenschappen en technologie voor de onderbouw vo. Een richtinggevend leerplankader. Enschede: SLO (nationaal expertisecentrum leerplanontwikkeling). Reichard, L.A., et al. (2013). Getal & Ruimte 2 VWO deel 1, tiende editie, eerste oplage. Groningen: Noordhoff Uitgevers bv. Reichard, L.A., et al. (2014). Getal & Ruimte 3 VWO deel 1, tiende editie, eerste oplage. Groningen: Noordhoff Uitgevers bv. Riswick, van J. (2011). Kracht- en energievraagstukken oplossen zonder trukendoos. NVOX december 2011.

12 BIJLAGE 1 Balansmethode Getal & Ruimte 2 VWO Hoofdstuk 3, blz. 114

13 Getal & Ruimte 3 VWO Hoofdstuk 1, blz. 29 BIJLAGE 2 Stappenplan Boltjes (2004) Boltjes (2014), blz. 136

14 BIJLAGE 3 Overlap syllabi natuurkunde, wiskunde & rekentoets Syllabus natuurkunde (vwo centraal examen 2015) Subdomein A2: Reken-/wiskundige vaardigheden 2. De kandidaat kan een aantal voor het vak relevante reken-/wiskundige vaardigheden toepassen om natuurwetenschappelijke problemen op te lossen. 2.1 basisrekenvaardigheden uitvoeren: rekenen met verhoudingen, procenten, machten, wortels; 2.2 berekeningen uitvoeren met bekende grootheden en relaties en daarbij de juiste formules en eenheden hanteren: formules zoals vermeld bij de vakinhoudelijke subdomeinen. 2.3 wiskundige technieken toepassen: omwerken van eenvoudige wiskundige betrekkingen; rekenen met evenredigheden (recht en omgekeerd); oplossen van lineaire en tweedegraadsvergelijkingen; twee lineaire vergelijkingen met twee onbekenden oplossen; 2.4 afgeleide eenheden herleiden tot eenheden van het SI. Syllabus wiskunde B (vwo centraal examen 2015) Specifieke vaardigheden F. 'Herleidingen' uitvoeren aan de hand van de elementen genoemd bij breukvormen, wortelvormen, bijzondere producten, exponenten en logaritmen en goniometrie 4. via het omwerken van formules Algemene vaardigheden O. Algebraïsche stappen om expressies te bewerken kunnen benoemen en afwegen 1. het vrijmaken van een variabele of expressie en daarmee verder werken 2. inverteren van formules en elimineren van variabelen en expressies 3. flexibel kunnen wisselen tussen betekenis toekennen aan symbolen en betekenisloos kunnen manipuleren Verder kwam ik ook tegen in Bijlage 5: Examen(werk)woorden - Algebraïsch: stap voor stap, zonder gebruik te maken van specifieke opties en de grafische mogelijkheden van de grafische rekenmachine; tussenantwoorden en eindantwoord mogen benaderd worden - Exact: stap voor stap, zonder gebruik te maken van specifieke opties en de grafische mogelijkheden van de grafische rekenmachine; de antwoorden mogen niet benaderd worden Syllabus rekentoets (Rekentoetswijzer 3F 2015, rekentoets VO 2015) 2.2 verhoudingen: - rekenen met verhoudingen; 2.4 verbanden: - betekenis beschrijven van variabelen in een (woord)formule; - waarden in een formule of vuistregel, in een betekenisvolle situatie, invullen en de waarde van de ontbrekende variabele berekenen; - de bewerkingen die voorkomen bij het rekenen met vuistregels en formules zijn de standaardbewerkingen (+, -,., : en eenvoudige machten en wortels); Opmerking: Bij het invullen van waarden in een formule is ook begrepen het 'terugrekenen' van een formule, alleen wanneer er geen hogere machten dan twee en/of tweede machts wortels in de formule voor komen.