VADEMECUM WISKUNDE LEON LENDERS

Transcriptie

1 VADEMECUM WISKUNDE LEON LENDERS L²

2 VADEMECUM WISKUNDE LEON LENDERS Merkwrdige lijnen in een driehoek : hoogtelijn issectrice middelloodlijn zwrtelijn De middelloodlijnen vn een driehoek zijn concurrent. De hoogtelijnen vn een driehoek zijn concurrent. De issectrices vn een driehoek zijn concurrent. De zwrtelijnen vn een driehoek zijn concurrent. Kenmerken vn congruente driehoeken : H Z H Z H Z Z Z Z Kenmerken vn gelijkvormige driehoeken : H, H Z Z, H, Z Z Z Z, Z Z, Z Z Middenprllel vn een driehoek c: A E is het midden vn [AB] D is het midden vn [AC] ED // BC en ED = ½ BC B E A D C Middelloodlijn vn een koorde AB vn een cirkel c(m,r) : C AB en CM AB C is het midden vn [AB] M C B Middelpuntshoek (α) en omtrekshoek (β,γ) op dezelfde oog : ˆα ˆβ = γ ˆ = γ β α Omtrekshoek (A) op een hlve cirkel : Â = 90 A Stelling vn Pythgors : ΔABC is recht in A BC ² = AB ² + AC ² B C

3 Betrekkingen in een rechthoekige driehoek : AC. AB = BC. AH AH = HC. HB AC = BC. HC AB = BC. HB C H cos(hoek) = nligg.zijde sch.zijde cos(β) = AB BC A β B sin(hoek) = overst.zijde sch.zijde sin(β) = AC BC tn(hoek) = overst.zijde nligg.zijde tn(β) = AC AB Meetkundige formules : Omtrek vn een cirkel : omtrek = πr Oppervlkte vn een rechthoek : A =.l Oppervlkte vn een prllellogrm : A =.h Oppervlkte vn een driehoek : A = ½.h Oppervlkte vn een trpezium : A = ½ (B + ).h Oppervlkte vn een cirkel : A = πr² Zijdelingse oppervlkte vn een cilinder : A = πr.h Totle oppervlkte vn een cilinder : A = πr(r + h) Oppervlkte vn een ol : A = 4πr² Inhoud vn een cilinder : V = πr².h Inhoud vn een kegel : V = /3 πr².h Inhoud vn een ol : V = 4/3 πr³ Mchten en mchtswortels : m. n = m+n ( m ) n = mn () m = m. m m = m m m = n m n 0 = p = p / = p = p m n = n m = = 9 = 3 3 = 3 ( 3) = 3 9 = 3 3 = 3 ( 3) = 3 x = x = ± x = x ls x > 0 x = x ls x < 0

4 Hoofdrekenen : De kwdrten vn de ntuurlijke getllen vn tot en met 0 De mchten vn tot en met De mchten vn 3 tot en met 3 6 De mchten vn 5 tot en met 5 4 Reële getllen :,,c,d R : en c d + c + d,,c,d R + : en c d.c.d, R, c R + 0 : <.c <.c, R, c R - 0 : <.c >.c Merkwrdige produkten : ( + )² = ² + + ² ( - )² = ² - + ² ( + )( - ) = ² - ² ( + )³ = ³ + 3² + 3² + ³ ( - )³ = ³ - 3² + 3² - ³ ³ + ³ = ( + )(² - + ²) ³ - ³ = ( - ) (² + + ²) 4-4 = ( - ) (³ + ² + ² + ³) ( + + c)² = ² + ² + c² + + c + c (x + )(x + ) = x² + (+)x + Oplossen en espreken vn de vergelijking x + = 0 : 0 : x = = 0 en 0 : geen oplossing = 0 : x is willekeurig. Oplossen vn lineire stelsels vn vergelijkingen met onekenden :. Comintiemethode: x y = 7 3x + 4y = 6 4 x y = 7 x = x = y = 3 x y = 7. Sustitutiemethode: 3x + 4y = 6 () () uit () : y = x + 7 in () : 3x + 8x + 8 = 6 x = x = en y = 3

5 Vergelijking vn de rechte met rico m door punt P(x,y ) : y - y = m (x - x ) Vergelijking vn de rechte door de punten P(x,y ) en Q(x,y ) met x x : y y = y y x x (x x ) Oplossen vn een vergelijking vn de tweede grd : x + x + c = 0 D = 4c D' = ' c met '= D > 0 x, x = ± D x, x = '± D' D = 0 x = x = x = x = ' er zijn geen oplossingen. Functie vn de eerste grd : y = mx + q Nulpunt : x 0 = q m Teken : x x 0 y teg.tek. vn m 0 teken vn m Grfiek : rechte stijgend ls m > 0, dlend ls m < 0, // x-s ls m = 0 snijpunt met de x-s : ( q m,0) snijpunt met de y-s : (0,q) Functie vn de tweede grd : y = = x + x + c Nulpunten : D > 0 x, x = ± D D = 0 x = x = geen '± D' (= ) (= ' ) Teken : D >0 x x x y tek.vn 0 teg.tek.vn 0 tek.vn D = 0 x x =x y teken vn 0 teken vn D < 0 x y teken vn

6 Grfiek : prool dlprool ls > 0, ergprool ls < 0 snijpunt(en) met de X-s : (x,0) en (x,0) ls D > 0 (x,0) ls D = 0 geen ls D < 0 snijpunt met de Y-s : (0,c) co(top) =, f ( ) Bewerkingen met veeltermen : Som vn twee veeltermen : = x 5x + 7 g(x) = 3x 5 ( f + g)(x) = + g(x) = x x + = (x x +) Produkt vn twee veeltermen: = x 5x + 7 g(x) = 3x 5 Euclidische deling vn f(x) door g(x) : 6x 3 +3x 3x x + x 3 6x 3 3x + 9x 3x + 5 0x + 6x 0x 5x +5 x + 4 ( f.g)(x) =.g(x) = (x 5x + 7)(3x 5) = 6x 3 +3x 3x ; g(x) = x + x 3; q(x) = 3x + 5; r(x) = x + 4 = 6x 3 0x 5x + 5x + x 35 = 6x 3 5x + 46x 35 = g(x).q(x) + r(x) 6x 3 +3x 3x = (x + x 3)(3x + 5) + (x + 4) r(x) = q(x) + g(x) g(x) 6x 3 +3x 3x x + x 3 = 3x x + 4 x + x 3 Deling vn een veelterm door x - met de methode vn HORNER : x 4 x + 7x x + = x 3 x + 3x ++ x Deelrheid door x - f(x) is deelr door x - zijn getlwrde voor x = is gelijk n 0 (x - ) f(x) f() = 0

7 Betrekkingen in een willekeurige driehoek : = + c ccosα = + c ccosβ c = + cosγ sinα = sin β = c sinγ α γ c β Goniometrische getllen : cosα = OB OA = OB = OB sinα = AB OA = AB = AB = OC tnα = sinα cosα = AB OB = DE OE = DE cotα = tnα = FG α I II III IV II III y F G C I A D α O B E X IV Teken vn sinα cosα tnα Goniometrische getllen vn merkwrdige hoeken : α sin α cos α 3 0 tn α 0 3 = 3 3 3?

8 Definitie vn de rdil : Eén rdil is de hoek, die hoort ij een oog, wrvn de lengte gelijk is n de strl vn de cirkel. r r omtrek vn de cirkel = πr 360 = π rd 80 = π (rd) x 0 = x.π 80 x.80 (rd) x(rd) = π Betrekkingen tussen nverwnte hoeken : 0 3r r 4r 5r 6r supplementire hoeken : ntisupplementire hoeken : sin(π α) = sinα cos(π α) = cosα tn(π α) = tnα sin(π + α ) = sinα cos(π + α ) = cosα tn(π + α ) = tnα tegengestelde hoeken : gelijke hoeken : sin( α ) = sinα cos( α ) = cosα tn( α ) = tnα sin(π + α ) = cos(π + α ) = tn(π + α ) = sinα cosα tnα complementire hoeken : π sin( α) = cosα π cos( α) = sinα π tn( α) = cotα De goniometrische getllen vn : π π-α π α 0 -α π π+α 3π π 3π 0,, π,,π π 3π 5π,, II π π 7π π ( = ) ( = ) π π π,, I π 5π 4π,, III π π ( = ) IV 6 6

9 Goniometrische formules : sin α + cos α = + tn α = cos α = sec α + cot α = sin α = csc α sin(α + β) = sinα.cosβ + cosα.sin β cos(α + β) = cosα.cosβ sinα.sin β sin(α β) = sinα.cosβ cosα.sin β tn(α + β) = tnα + tn β tnα.tn β cos(α β) = cosα.cosβ + sinα.sin β tn(α β) = tnα tn β + tnα.tn β cosα = cos α sin α = cos α = sin α = tn α + tn α sinα = sinα.cosα = tnα tnα = tnα + tn α tn α cosα + cosα sin α = cos α = sin x + sin y = sin x + y cos x y sin x sin y = cos x + y sin x y Grfiek en periode vn goniometrische functies : De grfiek vn y = sin x, y = cos x en y = tn x cos x + cos y = cos x + y cos x y cos x cos y = sin x + y sin x y De grfiek vn y =.sin[.(x c)]+ d : is de fctor vn de verticle uitrekking (mplitude) vn de functie y =.sin[.(x c)]+ d. is de omgekeerde fctor vn de horizontle uitrekking (frekwentie - periode). c veroorzkt een horizontle verschuiving door de vector v (c,0). d veroorzkt een verticle verschuiving door de vector v (0, d). π y = sin(x) en y = cos(x) is De periode vn y = tn(x) Goniometrische sisvergelijkingen : sin x = sinα x = α + kπ of x = π α + kπ cos x = cosα x = α + kπ of x = α + kπ tn x = tnα x = α + kπ Cyclometrische functies : sinα = (rcsin =)Bgsin = α met α [ π, π ] cosα = (rccos =)Bgcos = α met α [0,π ] tnα = (rctn =)Bgtn = α met α ] π, π [ is π

10 Anlytische meetkunde : co(a) = (x, y ) co(b) = (x, y ) x + y + c = 0 x + y + c = 0 y M A C. B c co(c) = (m, m ) x fstnd tussen twee punten : d(a, B) = AB = (x x ) + (y y ) midden vn een lijnstuk : co(m ) = x + x richtingen vn rechten :, y + y rico = rico = // rico = rico. -. = 0 rico. rico = = 0 fstnd vn punt tot rechte : d(a, ) = x + y + c + vergelijking vn de cirkel c(c,r) : ls ² + ² - c 0 (x m ) + (y m ) = r x + y m x m y + m + m r = 0 dn is c x + y + x + y + c = 0 een cirkel met middelpunt (-,-) en strl r = stelling vn Chsles-Möius : AB = AC + CB AB = OB OA M is het midden vn [ AB] OM!!!! " = OA + OB OA + OB + OC Z is het zwrtepunt vn ABC ΔABC OZ = 3! (ABP) = AP!!" OA k.ob = k OP = BP k co(v! ) = (x, y ) en co(w "! ) = (x, y ) co(rv! + sw "! ) = (rx + sx, ry + sy )! V.! W =! V.! W.cos(v!, w "! ) = x x + y y + c v! = v! = x + y

11 Rekenkundige en meetkundige rijen : R.R. : t, t, t 3,... = R.R. n N 0 : t n+ = t n + v n s n = Σ t i = n(t + t n ) i= M.R. t, t, t 3,... = M.R. n N 0 : t n+ = t n. q n s n = Σ t i = t (q n ) q i= Optelling, sclire vermenigvuldiging en product vn mtrices : A,B R m x n : A + B = C C R m x n i {,...,m}, j {,...,n} : c ij = ij + ij A R m x n, r R : r.a = C C R m x n i {,...,m}, j {,...,n} : c ij = r ij A R m x n, B R p x q : n = p A. B = C C R m x q i {,...,m}, j {,...,q} : c ij = = n(= p) Σ ik. kj k= Determinnt vn een x, 3 x 3 - mtrix A = det A = A = = 40 Anlytische!"!" meetkunde in de ruimte S 0 : AB = B A co(v " ) = (x, y, z ) v " = x " e + y " e + z " e3 co(a) = (x, y, z ), co(b) = (x, y, z ) co(m [ AB] ) = x + x, y + y, z + z = d(, ) = (x x ) + (y y ) + (z z ) vergelijking vn een ol Σ met middelpunt M(m,m,m 3 ) en strl r : (x - m )² + (y - m )² + (z - m 3 )² = r² ls ² + ² + c² - d > 0 dn is Σ x² + y² + z² + x + y + cz + d = 0 een ol met middelpunt (-,-,-c) en strl r = + + c d

12 Rekenen met complexe getllen C C = { +.i :, R } = reële gedeelte.i = het imginire gedeelte i = imginire eenheid met i² = - ( +.i) + (c + d.i) = ( + c) + ( + d).i ( +.i). (c + d.i) = (.c.d) + (.d +.c).i Goniometrische vorm +.i = r.(cos ϕ + i.sin ϕ) met r = en +. i = +. i = modulus tn ϕ = met ϕ = rgument. I r i ϕ o R Exponentiële en logritmische functie : y = x : functieverloop voor 0 < < en voor > (zie volgende ldzijde) y = log x y + = x met R \ { } en 0 + x R 0 log = 0 log = log y = y log x = x x,x,x 3 R + 0 : log (x.x.x 3 ) = log x + log x + log x 3 x,x R + 0 : log = log x - log x x R + 0, n R : log x n = n. log x, R + 0\{}, x R + 0 : log x = log x log y = log x : functieverloop voor 0 < < en voor > (zie volgende ldzijde) Decimle of Briggse logritme : = 0 Ntuurlijke of Neperinse logritme : = e =.788 e = grondtl vn de exponentiële functie zodt de richtingscoëfficiënt vn de rklijn in het vst punt (0, ) gelijk is n.

13 y = x met > x = 0 x x = + x + y = x met 0 < < x = + x x = 0 x + y = log x met > log x = x 0 log x = + x + y = log x met 0 < < log x = + x 0 log x = x +

14 Rtionle functies : Het domein vn een functie is de verzmeling vn de originelen, wrvoor een eeld estt, (de wrden vn x, wrvoor de noemer nul wordt, moeten uitgesloten worden). De nulpunten vn een functie zijn de originelen, wrvoor het eeld nul is, (de wrde vn x, wrvoor de teller nul wordt en de noemer niet nul wordt). Het tekenverloop vn een functie de nulpunten vn de teller (0) en vn de noemer ( ) uitzetten, teken uiterst rechts eplen, ij ieder nulpunt vn teken vernderen (ij een duel nulpunt tweeml vn teken vernderen : dus het teken ehouden). y = (x + x x 3 )(x x +) (x + 4x + 3)(x + 4)(x ) = x( + x x )(x x +) (x + 4x + 3)(x + 4)(x ) - nulpunten vn T : 0, -,,, x -3-0 nulpunten vn N : -, -3, y Rekenregels in R = R {, + } Oneplde gevllen : (+ ) (+ ), Bijzondere gevllen : 0 = 0 Limieten : * veeltermfuncties : = f ( ) (+ ) + ( ), r 0 =, 0 n n ( n x + n x x + 0) = n x x x x 0 0,, 0. = (teken eplen) n * rtionle functies : x n x n + n x n x + 0 m x m + m x m x + 0 ) n < m = 0 ) n = m = n m 3) n > m = + of -

15 x g(x) : volg het onderstnd schem. x g(x) einde := vls herhl ereken f () g() N g() = 0 J x g(x) = f () g() N f() = 0 J einde := wr x g(x) = ( ) het teken vn de teller is gekend; epl het teken vn de noemer; epl het teken vn de reuk, links en rechts vn g(x) = (x ). (x ).g (x) x g(x) = x f (x) g (x) x < g(x) = of + x > g(x) = of + vervng g(x) N l. = r. J door f (x) g (x) x g(x).n. x g(x) = of + einde := vls einde := wr totdt einde = wr

16 * irrtionle functies : dezelfde regels ls voor rtionle functies, mr : - let op het domein vn f (de rdicndus mg niet negtief worden) - het gevl voor x : teller en noemer rtionl mken door teller en noemer te vermenigvuldigen met dezelfde fctor formules : ( - )( + ) = ² - ² voor wegwerken vn ( - )(² + + ²) = ³ - ³ of ( + )(² - + ²) =³ + ³ voor wegwerken vn 3 - x = x ls x > 0 (x + ) x = x ls x < 0 (x - ) - het gevl (+ ) - (+ ) oplossen door te vermenigvuldigen met en te delen door de toegevoegde tweeterm Regel vn de l Hôpitl f ( x) f '( x) Als h : x en f ( ) = g( ) = 0 en R g( x) x g' ( x) dn geldt : x g(x) = f '(x) x g'(x) met f '( x) en g' ( x) is de fgeleide functie vn f ( x) en g( x) (zie lter). Asymptoten.. Verticle symptoot : x = V.A. : x = eplen vn :nulpunten vn de noemer, die geen nulpunt zijn vn de teller ligging : de (linker- en rechter)iet eplen vn f(x) voor x. Horizontle symptoot : = H.A. : y = x eplen vn : gr(teller) gr(noemer) = R x ligging : teken onderzoeken vn h(x) = f(x) - : h(x) > 0 f oven de symptoot h(x) < 0 f onder de symptoot 3. Schuine symptoot : = met gr(teller) = gr(noemer) + x - rtionle functie : eplen vn de vergelijking : r(x) = x + + S.A. : y = x + g(x) g(x) ligging : tekenonderzoek vn h(x) = r(x) (zie H.A.) g(x) - irrtionle functie : eplen vn de vergelijking : = x x ; = ( x) S.A. : y = x + x ligging : teken eplen vn h(x) = f(x) - (x+) (zie H.A.)

17 Afgeleiden : definitie : f '() = x f () x meetkundige etekenis : rico vn de rklijn n de kromme in het punt (, f()) D(c) = 0 D(x) = D(.x) = D(u+ v) = Du + Dv D(.f ) =.Df D(u.v) = Du.v + u.dv D(x n ) = n.x n- D(f n ) = n.f n-.df u D v = Du.v u.dv v D( x ) = x D x = x D(g o f) = Dg(. D of y = (g o f)(x) = g(u) met u = Dy = Dg(u). D met u = D(e x ) = e x D( x ) = x.ln D(e f(x) ) = e f(x).d D( f(x) ) = f(x).ln.d D(u v ) = v.u v-.du + u v.ln u.dv D(ln x) = D D(ln ) = x D D( log x) = D( log ) = x.ln.ln D(sin x) = cos x D(cos x) = - sin x D(tn x) = cos x D(Bgsin x) = D(Bgcos x) = D(Bgtn x) = x x + x Vergelijking vn de rklijn in het punt (, f()) : y - f() = f ().(x - ) Indien f () niet estt (noemer is nul), is de rklijn verticl in. Meetkundige etekenis vn de eerste en tweede fgeleide : x x x x 3 y y mx y p min

18 e = + x x sin x = x 0 x Integrlrekening : x F is een primitieve functie vn f F = f du f (u).du u n.du = u + c = [ F(u) ] = F() F() du = u u + c du u = un+ + c (n R \ { n + }) du u = u + c = ln u + c e u.du = e u + c u.du = u ln + c sinu.du = cosu + c cosu.du = sinu + c du du = tnu + c cos u = cotu + c sin u du = Bgsinu + c du = Bgtnu + c u + u du = Bgsin u k u k + c du = k + u k Bgtn u k + c du = ln u + u + k + c u + k [ + g(x) ].dx =.dx + g(x).dx..dx =..dx dx = d(x + ) d(x) =.dx of dx =.d(x) u.v'.dx = u. dv = u.v v.du = u.v v.u'.dx Oppervlkte (A) =. dx = y. dx Inhoud (V ) = π. y.dx Lengte (l) = + y'.dx Mntelopp.(A) = π y. + y'.dx y y = f(x) x

19 Comintieleer n! (n-fculteit) met n N 0 = n.(n-).(n-) ! = Een vritie vn p elementen uit n elementen (p < n ) is een geordend p-tl vn p verschillende elementen uit een verzmeling vn n elementen. n! Het ntl vrities vn p elementen uit n elementen V p n = (n p)!. Een permuttie vn n elementen is een vritie vn n elementen uit n elementen. Het ntl permutties vn n elementen P n = n! Een comintie vn p elementen uit n elementen (p < n ) is een deelverzmeling vn p (verschillende) elementen uit een verzmeling vn n elementen. n! Het ntl cominties vn p elementen uit n elementen C p n = (n p)! p!. Een herhlingsvritie vn p elementen uit n elementen is een geordend p-tl vn p (niet noodzkelijk verschillende) elementen uit een verzmeling vn n elementen. p Het ntl herhlingsvrities vn p elementen uit n elementen V n = n p. p n p n- n = Driehoek vn Pscl Ieder element uit de driehoek vn Pscl is dus C n p C n 0 = C n n = C n = C n n = n C n p = C n n p 7 n- n 0 C 7 C 7 C 7 0 C n C n C n p p p Cn = Cn + Cn C 7 3 C 7 4 C 7 5 C 7 6 C 7 7 C p p n + C n = p C n C n n C n n Formule vn Pscl : Binomium vn Newton : ( + ) n = n i=0 C n i. n i. i