HERHALING. Een verzamel ing is een aantal elementen die door een bepaald voorschrift gegeven zijn. Voorbeeld 1: ~ 0,1,2,3,4 ~,1,2,3,4~ \ 0.

Transcriptie

1 HERHALING. N = natuurl ijke getal len: 0, 1, 2, 3, Z = gehele getal len: ~.,_._~ , o, 1, 2, 3,... Q = rationale getallen '.~? '=-, -3-5/2, - 34R32, 0, 1, 3, 7,... R = reeel getal len: -3, - 5, , 0, 7, ~, 4, Enkele begrippen uit de verzamel ingenleer Een verzamel ing is een aantal elementen die door een bepaald voorschrift gegeven zijn. Voorbeeld 1: ~ 0,1,2,3,4 (eindige verz.) Voorbeeld 2: ~x/x is even} (oneindige verz.) Een verzamel ing kan grafisch voorgesteld worden d.m.v. een Venn-diagram..1 ~ = q ~ ~,1,2,3,4~ \ is een element van V: 2 E V 5 is Been element van V: 5 ~ V Het begrip doorsnede en vereniging: V n W V U W doorsnede van V en W vereniging van V en W Voor c geldt: c E V n c~ W ~ c~ V /1 W A ls voor een element x geldt: x E V v x E Wc ~ x E V U W Het begrip relatie en functie Een relatie tussen twee verzamel ingen is een voorschrift dat aan elk element van de ene verzamel ing een element van de andere verzamel ing toevoegt.

2 ~29~ ~6~

3 Voorbeeld 1: al le l / alle getrouwde R. vrouwen mannen _._-- van van Venlo. I Venlo ~ ~_ "~.. i R: voeg aan elke man zijn vrouw en gel iefde toe. Voorbeeld 2: R. R: voeg aan el k element van u?~:jn -~b~ol u~e~ wa~rde`~'~b~. ~t. -~. ~ ~ "' Voorbeeld 3~ Rel.: voeg aan elk getal van R zijn kwadraat toe. Door een relatie worden er paten gevormd, die een nieuwe verzamel ing vormen: Relatieverzamel ing. ad voorbeeld 3. R = ~~-3,9)~ ~3,9)~~1,1); ( 2,2);... De verzamel ing eerste elementen van de paten vormen het domein: D~ De verzamel ing tweede elementen het bereik B R Een functie is een relatie waarbij elk origineel slechts een beeld heeft. Voorbeeld 1: R = ~(x1,y1); (x2,y1); (x3,y1); (x1 y2)~ geen functie want x1 heeft 2 verschi ll.beelden. Voorbeeld 2: R = ~ (x1,y2); (x2,y1) ~ wel een functie. Voorbeeld 3: R = ~(x,y) / y = x2 ~: wel een functie ( / betekent waarvoor geldt) Voorbeeld 4: R = ~(x,y) / y = ~ x x E R+ ~ wel een functie. Voorbeeld 5~ R = ~(x,y) / x2 + y2 = 25~ geen functie. Begrip Interval zie Boek. _~ \ 2

4 .,~i.fl. sof ( un ~o ~ 6f 9e 9V91 3 i $Ott 9f0"I~ - f191/9 ~~rl fl

5 -- De ~ ~ X ~ ~y 3 ~ "3~~ x ) ~v2 2 _ nverse van ee = ~(y ~ ~ 1 ~~~~, De inverse van een Relatie (Rinv~ vinden we door de paren van de relatie om to keren~ Dr = Brinv. g = prinv. r '`~ ~~x3 y3) D ~ = Binv. B ~ = DRinv. Voorbeeld 2: R = ~(x,y) / y = x2n x E R Rinv = ~ ~y~x~ ~ y = x2 nx E R~ De inverse -van een functie. De inverse van een functie Levert niet altijd wederom een functie op. 2 Voorbeeld 1: f = ~(x,y) / y = x.. ~; enkele elementen zijn (1,1)(-1,1)(0,0) Door de functie to inverteren krijgen we de verzamel ing (1,1)(1,-1);... wat Been functie is (2 originelen gel ijk). Voorbeeld 2: De inverse van een functie f is wel een functie als bij de oorspronkel ijke functie elk beeld slechts een keer voorkomt. f = ~ (x, Y) / y = 2x + 3,~ (;`I' i nea is r~ fur~et i es) ` f ine = ~ ~Y~x) / y = 2x + 3J Omdat het eerste element van een paar op de x-as wordt uitgezet schrijft me t1 voor f~ nv. of -. De grafieken van f en f inv Zijn elkanders gespiegelde t.o.v. de lijn y = x. 3

6 (as itanu~~~~a~ i ari i~)

7 ;~ersle graaasrunclies. ; Eerste graadsfuncties zijn functies van de vorm. y =mx+n of fx =mx+n ~.r. m richtingscoefficient = -~o~..-oc o ~,~~ go y,~~«>b -~.r.c~o.-coo ~ of ~ o -~ -Ea,,,~ a <o -~ r- c ~o d d Evenwijdige l ijnen hebben dezelfde richtingscoefficient. Voorbeeld 1: y = 2x - 6 Bepaal snijpunt X-as: Voorbeeld 2: Lijn door 2 punten L ijn door (2,1) en (4,6) 1e oplos y2 - y '. c = tanv(= X2 _ X y =mx+n Y =2x+n Lijn door (2,1) : 1 = 2 2+n 1 =~5+ n n =-4 ~; y=2x- 4. 2e oplossing: y = mx + n Door (2,1) 1 = 2m + n Door (4,6) ~ _ ~m + n -5 = -2m,, m =2 ~ n=-4~~ y=2x-4

8 De inverse van een eerste graadsfunctie. ~ ~ Voorbeeld 1: f x - 3y + 6 = ~ L ~ v~. va v~ -~ ems. 7 ~,,.~. 0 2 /~ ~0~2) ~2~~) 3 3 (3,3) (3,3) -3 7 C-3,1) X1,-3) -6 0 (-6,0) (0,-6) f ~ n~ rechtstreeks uit f to vinden door x en y to verwisselen. f x-3y+6=o f ins y- 3x+6= 0 Voorbeeld 2: f y = 3 f inv x = 3 Voorbeeld 3: f y = x f inv x = y Voorbeeld 4: Van welk 1e graadsfuncties zijn f en f~ n~ hetzelfde? De functies waarvan de grafiek samenvalt met de l ijn y = x o f loodrecht staat op de l ijn y = x Dit zijh,: 1e 2e y = x y=-x+b 5

9 DE MODULUSFUNKTIE. Onder de modulus of absolute waarde van een getal verstaan we, op de getallenl ijn, de afstand van dat getal tot de oorsprong / 2/ = 2 /0/ = 0 /-1/ = 1 / - 2/ = 2 We zien dus: /2/ = 2 Dus als a > 0 dan /a/ = a Dus als a ~l 0 dan /a/ _ -a I n het algemeen geldt dus: /x/ = x als x ~ 0 _ -x als x 0 Dus geldt: /x-2/ = x-2 als x > 2 _ -(x-2) als x ~ 2 /x2-9/ = x2-g a 1 s x> 3 v x C - 3 Opmerking x2 = x als x ~ o (3) 2 = 3 Dus geldt: x2 = /x/ Vergel ijkingen en ongel ijkheden. /ax+b/ _ /cx+d/. Algemeen /a/ _ /b/ A ls /a/ _ /b/ dan geldt: a = b v a = -b Los x op uit: /x-3/ _ /2x-5/ /x-3/ _ /2x-5/ x-3 = 2x-5 ~ x = 2

10 Voor Welke x geldt: / ~ x-3/ > /2x-5/ Werkvolgorde: 1. De gel ijkheid oplossen 2. Teken de grafieken 3. Ongel ijkheid uit de grafiek aflezen. / 2x-5/. -3/ ~ 8/3 Voor Welke x geldt: /x-2/ > /x2-1/. 1e. /x-2/ _ /x2-1/ x-2 = x2-1~ x2-x+1 = 0 geen oplossing x-2 = -(x2-1).~ x2+x-3 = 0 x = -z+z t3 v x = -Z e. /x-2/. ~ V13 <~~ ~ z+z1t3t J Als /a/ = b geldt: b ~ 0 a =b v a= -b. Los x op uit: /x- 3/ = 2x-5. 7

11 Oplossing: 2x-5 ~ 0 e~i x > 2,5 x-3 = 2x-5 x = 2 (vervalt). Voor Welke x geldt: /x-3/ ~ 2x'5 /x-3/ < Zx-5 voor x ~ 8/3

12 Exponentiele functie. f (x) = ax met a~ 0 n a _# 1 a = 2 f (x) = 2X Df = 1R B f = 1R+ f (x) = 2" x o f (x) 1 Z ~+ g (X) = 3X x ,g(x) x f (x) g (x) x 1 2 ~ 2 ~ A ls a > 1 grafiek van f(x) = ax is monotoon stijgend. A ls 0 ~ a C1 grafiek van f(x) = ax is monotoon dalend. Verband tussen de arafieken: De grafiek van a X en a-x zijn elkanders gespiegelde t.o.v. de y-as. De grafiek van ax en (a) x zijn ook elkanders gespiegelde t.o.v. de y-as. 0

13 Logaritmische functies. f (x) = ax (a > 0 n a ~ 1) f ~= a x Eigenschappen logaritmen log a b = log a + log b log b = log a - log b re. 1 og a = rz 1 og a a log b = log b log a f inv = x = ay log x = log ay logx=y logy log x y log a Y = a ~~9 X Dus a gog X = y ~ ay = x f y= 2 logx Bf=R Df = R+ y = 21og 1 = 0_want 2~ = 1 y = 21og 2 = 1 want 2~ = 2 y = 21og ~ _ - 1 want 2 -~ _ ~ / 2 2 r1~1-~x f (x) = ax alle grafieken door (0,1) f~nv = a log x al ien door (1,0) f (x) = ax en f~~~~ = a log x:elkandersgespiegelde t.o.v. de lijn y = x m

14 Exponentiele vergel ijkingen. Los x op uit: 1) 3x = 9~3 3x = 32,3Z 3" = 352 ~ x = 5/2 2 ~ 3x+2 _ 5 log 3 x+2 _ log 5 ( x+2) log 3 = log 5 x+2= ~og3= 31og 5 x = 31og 5-2 (x = dog ) 4 3x-1 _ 9 x+2 log 43x- ~ = log g X+2 3x log 4 - log 4 = x log log 9 x (31og 4 - log 2) = log log 9 log 4+2 log 9,,,.x = 3 log 4 - tog 2 "' 4) g" - 3" - 2 = 0 9 = 3 2 9" _ ~ 3 Z) x Noem y = 3x 2 _ (3") y2 - y -2 = 0 = 2 3X = 2 x = ~ og 2 Y log 3 y = -1 3X = -1 geen oplossing Exponentiele ongel ijkheden los je op door: 1) De gel ijkheid op to lossen 2) De grafieken to schetsen 3) De oplossing van de ongel ijkheid uit de grafiek of to lezen. 1 1

15 Logaritmische vergel i jkingen. Bij logaritmische vergel ijkingen is het van belang eerst het domein op to sporen. Lox x op uit: 1) log (x+2) = log (2x-1). Voorwaarde: x+2 > 0 n 2x-1 ~ 0 x >-2 ~ xjz ~x>2. Oplossing: x+2 = 2x-1,~ x j 2 -x = -3 ^ x > Z x = 3. 2) log (-x+1) + log (2x-1) = log 2 Voorwaarde: -x+1 J 0 n 2x-1 ~ 0 -x ~ -1. 2x > 1 x ( 1. x > Z Z C x < 1 Oplossing: log (-x+1) (2x-1) = log 2 Z < x ~ 1-2x2+3x- 7 = 2 ~ '-z < x < 1 2x2-3x+3 = o ~ Z ~ x ~ 1 Ov=qS. 3) 21og (x+2) = 41og (x) 4~ og x., _ log x _ log x log 4 2 log 2 = Z. dog 2 = og x = 2 1og 1l x'. Voorwaarde: x+2 > 0 ~ x > 0 x > -2. x> 0 x > 0 Oplossing: 21og(x+2) = 21og ~x x+2 = ~ f x n x> 0 x > 0 x 2+4 x+4 = x ~ x> o x2+3x+4 = o ~ x ~ o Ov = ~ Logaritmische ongel ijkheden los je op door: 1) De gel ijkheid op to lossen 2) De grafiek to schetsen 3) De oplossing van de ongel ijkheid uit de grafiek of to lezen. 7 2

16 Voorbeeld. f (x) = 2 log (x - 3) Df= ~x/x)3~ Bf = R. Snijpunt x-as: 2 log (x-3) = 0 x-3 = 1 x = 4 Sni Opmerking: f (x) = ax heeft een horizontateasymptoot. f (x) = log (az+ b) heeft een vertikale asymptoot. Deze vind je door a z + b = 0 to stellen. Wat is de inverse van f y = Z loq (x - 3) f i nv ~ x _ 2 fag ~y - 3) f y=2"+3 f inv x=2y +3 21og ~Y - 3) = x 2x = y - 3 x - 3=2Y log (x- 3) = log Zy log (x-3) = y ~ og2 Y = 2x +3 Y _ log ~X'3) y = 21og ~x-3) log 2 13

17 Ongel ijkheden. Exponentiele en logaritmische ongel ijkheden hoef je alleen (3x ` 31-x~ grafisch to kunnen oplossen. Ongel ijkheden van de vorm: f (x) > 0 g x ` (f (x) en g(x) van hooguit de 2egraad; Voorbeeld 1: x - 3 2x + 8 Teken overzicht teller: 0 3 Teken overzicht noemer: Q Teken overzicht breuk: -4 3 X 3 > 0 voor 2x + 8 : 1) x ~ 3 v x < -4 2) c3, ---~~ v ~E--, - 4 ~ Voorbeeld 2: x2 - x - 2 ~ ~, 2x`+x- 6 Teken overzicht teller: x2-x-2=(x-2)(x+1) Teken overzicht noemer: ,5 2x2+x-6= (2x-3)(x+2) Teken overzicht breuk: +++? ? ~ ~ ~ ~ , x~ -6 ~ 0 voor: Ov ~x/1, 5 < x < 2 V -2 < x <-1 Voorbeeld 3= x2 - X ~ 4 (ongel ijkheid op nul herleiden). 2x2 + 3x +5 2 x - x _ 4 > 0 2x2 +3x+5 14

18 x2 - x 4 (2x2 + 3x + 5) ~ 0 2x2 + 3x +5 2x2 + 3x + 5 x2-8x2 - x - 12x - 20 ~ ~ 2x2 + 3x + 5-7x2-13x - 20 ~ o 2x2 + 3x + 5 Oplossing: volgens voorbeeld 1 en 2.,' -, ~,. i 1 ~ ~1._ ~ 1 y `~ 17 ~f ~ 0,f L~ j V 15

19 i L imieten. i D iverse schri ifwi ize van functie: 1.) f s ~ ~x~y) / y = x2 2.) f y = x2 3 ) f f (x) = x3 4.) f x -- x3 f (x) = 2x + 6 x - 3 a 1 s x ---+ ~ dan nadert f (x) tot 2 2x + 6 _ x-3 / Zx + 6 ~ 2 X 3 X-3 2x door x voldoende groot to kiezen kunnen we 12 ~0 klein maken als we wi llen. x- 3 Stel_ x~3 < ~ ( ~ is zeer klein) x-3 > 1 12 f. x-3 > ~E x > ~~ + 3 Stel E: 0, C 0, x " ~ O,0000l + 3 x > x + 6 _ ~ 2 x-3 x- 3 Al s x -~ ~+ dan f (x) ~ 2 A 1 s x ---~ ao d a n f (x) -~ 2 We_schri~v_en_ ~ ~ ~ m 2x ~,x-s o x-3 2 i _. m

20 Als x --~ - ~ dan f (x) T 2. A 1 s x --~ -~ da o f (x) --~ 2. l im 2x + 6 _ 2 X-e-~ X- 3 Samenvattin l im 2x + 6 ~ _ Hoe bereken je: l im f(x) a) lim x2-2x l im x3 x2 x --~ ~0 2x2 + 3x x-> o0 2 ~ ~ 1 i m 1 - x _; 1 ; x-~ ~ ' x ' ' x2 2x 2x x x x b) lim x l im x x -.~ ~ x- 2 x-9.o x _ x x l im 1 _ ' 1 ' x ~~ ~ -2 ~ ~ x2 A ltijd delen door de hoogste macht van de noemer. L imieten voor x ----~ a. Onder x --> a verstaan we dat x zowel van de boven- als van de onderkant Haar a kan naderen. Onder x ~ a. Verstaan we dat x van de bovenkant tot a nadert. Onder x T a. Verstaan we dat x van de onderkant tot a nadert. l im x --~ 5 l im x ~ 5 t im x ~ 5 l imiet. rechter l imiet (Hader 5 van rechts) l inker l imiet (Hader 5 van l inks) 77

21 . 7 ~fi190 fl 9

22 Voorbeeld 1: f(x) = x + 2 f(5) _ ~ 11 1 im f(x) _ ~ 1 1 x -~ 5 Voorbeeld 2: f(x) = 2x - 10 x+6 f (5) _ ~~ = 0 1 i m f (x) = 0 x~ 5 Voorbeeld 3: f(x) _ = 3x - 6 f(5) = 0 = bestaat niet x = 5 = wat wordt f(x) als x in de beurt van 5 wordt genomen. wat is l im 3x - 6 = x -s 5 x - 5 x = 5,1 f(5,1) = 0~~ = 93 x = 501 f~5,01) _ ~~o~ = 903 x = 4,99 f(4,99) =_90~~ = 807 l im 3X - 6 = bestaat niet x -~5 x-5 Voorbeeld 4: f(x) = x2-8x + 15 x2-3x- 10 wat is: l im f(x) x -~ 5 f ~ 5 ~ _ = ~ = bestaat niet i m x2-8x + 15 x -~ 5 X2 _ 3x - 10 l im x - 3 _; 2 x --~ 5 x+ 2 -' 7 ' 6 l im (x- 5) ~x-3) x ---~ 5 x- 5 x+2 7 8

23 Voorbeeld 5: f(x) = x2-8x + 15 x2 - lox + 25 f(5) _ ~ = bestaat niet l im x2-8x + 15 x --~ 5 x2-1 ox + 25 = l im ~X-5) ~x-3) x -~ 5 x-5 x-5 _ l im x = bestaat niet ( ) x --> 5 x- 5 0 Het oplossen van: lim f(x) x -s a 1e) f(a) = c (constant getal) l im f(x) = c x -a s~. (Vb. 1) 2e) f(a) = 0 l im f(x) = 0 (Vb. 2) x -~ a 3e) f(a) = 0 l im f(x): bestaat niet (Vb. 3) x --~ a 4e) f(a) _ ~ l im f(x) : bestaat wel (Vb. 4) x --~ a l im f(x): bestaat niet (Vb. 5) x -~ a Goniometrische l imieten. Voorbeeld 1: Xl i~mo si3x3x (f (o) = S 'o ~ bestaat niet) a 1 s x ~ 0 dan 3x -~ 0 l im sin 3x l im sin 3x x + 0 3x 3x --~ 0 3x = l im p --> 0 sin L P Voorbeeld 2: l im sin 2x l im sin 2x 2x x -~ 0 2 x -> 0 X 2 x 2x x" xl--~ 0 S2x 2x x X bestaat n i et want l im -~ bestaat niet. x 1g

24 Voorbeeld 3: l im sin 2x l im sin 2x 2x x ~ o x-3 x ~ 0 2x x-3 Voorbeeld 4: l im tan3 3x x -~ 0 x s i n2 2x 1 im 1 0 = ~0 x -> 0 1 s ing 2x tan, 3x tan 3x. tan-3x 3 1 3X 3x. 27x X. x--~ 0 3x l im tan 3x tan 3x tan 3x 2x3 1 2x.2x x -~ 0 3x 3x 3x x s i n 2x ' sin 2x 1 4x2 l im tan 3x tan 3x tan 3x 2x 2x 27x3 x --~0 3x 3x 3x ' sin 2x' sin 2x 3 4x, 27 _ ~ 27 Voorbeelden. 1 ) l im x - 3 ~ bestaat niet. x -~ 2 x CO 2) l im 2x4 + x2 lim = x (2x3 + x) x-~ 0 x3 _ x2 x --~ 0 X ~ X Z _ x ~ _ l im 2x3 + x _ l im = x (2x2 + 1) x -~ 0 2 x -~ 0 x x- 1 x - x l im 2x (na invulten van x = 0) ~ -~ 0 x - 1 3) t im 10 - x - 3 x -~3 3-x bestaat niet. 20

25 4) 1 i m x x( x+ g+ ~g - x) x --~ 0 - x +g - 9 -x ( x+9-9 -x) ( x+g + 9 -x) 1 im x (~+ 9 +Vg - x) _ l im x ( x + g x) x -~ o x+ g - g- x - x x x --~, _ 21

26 Her Uit deze eenheidscirkel is of to Leiden dat: tangy - sin a sin2a + costa = 1 cos a s in x = sin (x+k.2~) sinus heeft een periode van 2 ~ rad. cos x = cos (x+k. 2~r) cos i n:us " " " 2 ~r rad. tan x = tan (x+k.~r ) tangens " " " " ~r rad. s in (~r-x) = sin x cos (~r-x) = cos x tan (~r-x) _ -tan x sin (-x) _ -sin x cos (-x) = cos x tan (-x) _ -tan x. Som en verschi lformules. s in p + sin q = 2 sin Z (p+q) cos z (p-q) s in p - sin q = 2 sin 2 (p-q) cos Z (p+q). cos p + cos q = 2 cos Z (p+q) cos Z (p-q). cos p - cos q = -2 sin Z (p+q) sin 2 (p-q). s in (a+(3) = since co s(3 + cosy sin(3 s in (a-(3) = since cosh - cosa sin(3 cos (a+(3) = cosa cos( - s i na s i n(3 cos (a-s) = cosa cosq + since sing. 22

27 1 f (x) = sin x y f (x) =cos x -/ tan x = sin x is cos x n iet gedefinieerd als cos x = 0. D it geldt voor x =g0 + k. 180 ( u/2 + k 7i ). Onder periode verstaan we "het gebied" waarover de grafiek zich precies een keer herhaalt. Periode sin x is 2 i~' rad. of 360 Periode cos x is 2 T rad. of 360 Periode tan x is ~~ rad. of

28 Vergel ijkingen. I. sin v(= c A lso(= x voldoet, voldoet eveneens 180~x want sin (180-x) = sin x. Oplossing: of = x + k.36o (periode 360 ) a = 180-x + k.360. Voorbeeld: sin (2x-30) = Z 2x- 3~ = 30 + k.36o x = 30 + k.18o 2x-30 = k.36o x = 90 + k.180 cosol= c Oplossing: ac = x + k.36o (periode 360 ) Voorbeeld: cos Zx = 2 zx = 45 + k.36o Zx = k.36o x = 90 + k.72o x = -9~ + k.72o tanoc= c Oplossing: o(= x + k.180 (periode 180 ). Voorbeeld: tan 3x = 1 met o 1 ~ < 360 3x = 45 + k.18o x = 15 + k.6o De juiste waarden zijn nu: 15~; 75~; 735 ; 795 ; 255 ; 375 (k = 0, 1, 2, 3, 4~ 5) 25

29 I I sing =sin (3 Oplossing a = (3+k.36o ~a = Q+ k.360 Voorbeeld: sin x = sin 2x-60 x = 2x-60 + k.360 x = (2x - 60)+ k.360 -x = k.36o x = 60 + k.360 3x = k.36o ~ x = 80 + k.12o cos a= cos (3 Oplossing: a = ~ + k.360 a = -Q+ k.360 Voorbeeld: cos Zx = cos (x-10 ) - Zx = k.360 x = 20 + k.720 Z 0 x = 10 + k.36o x = 23 + k.240 tan a = tan Oplossing: a = (3 + k.180 Voorbeeld: tan(-x) = tan 2x -3x = k.180 x = k.60 r_r~,~r~i,on Hetgeen voor de sinus geldt, geldt eveneens voor cos en tangens met dit verschi l dat de tangens een periode van 180 heeft: 26

30 f(x) =sin x g (x) = 2 sin x Daar g(x) = 2 f(x) worden de funktiewaarden dus s teeds 2 maal zo groot. f(x) = sin x g (x) = sin 2 x. S tel 2x = y dan g(y) = sin y. Omdat de sinus een periode heeft van 360 zal, als we y over 360 varieren de kromme precies een maal voorkomen. Daar 2x = y zal x dus slechts over 0 3 2~ = 180 hoeven to varieren. De periode is dus 32~ = 180. A lgemeen: g (x) = sin ax heeft een periode van Sao 0 f (x) = sin x 3 1 g (x) = 2 + sin x.' Daar g(x) = 2 + f(x) ontstaat de:grafiek van g(x) door die van f(x) over 2 eenheden Haar boven to schu'iven. g (x) = s i n (n - 30 )~ s i n (x - ~ ) De grafiek van g(x) ontstaat uit die van f(x) door de grafiek van f over 30 Haar rechts to schuiven. Algemeen: g (x) = sin (x + a ) a positief --s over a Haar l inks a negatief ~, over a Haar rechts. A lgemeen: f(x) = a sin (bx + c) + d. Periode: 360 b Horizontale verschuiving: over b ~J'-haar l inks of rechts. Ampl itude: deze bedraagt a Vertikale verschuiving: over d Haar boven of beneden. 2 7

31 Voorbeeld: f(x) = z cos (2x - 60 ) + 1. Periode: 36~ = Horizontale verschuiving: 60 = 30 Haar rechts. f (o) = 2 cos (o - 60 ) = 2. cos 60 = Z z = 4. -i -2 S

32 Grafieken van goniometrische funkties. Gegeven f(x) = sin x g(x) = sin 2x h(x) = sin (2x - 60 ). Bereken de snijpunten met de x-as. Teken de grafieken f (x) = s i n x= 0 fi x= k. 180 g(x) = sin 2x = 0 2 x = k. 180 ~ x = k. 90 h(x) = sin (2x - 60 ) = 0 2x - 60 = k.180 ~ x = 30 + k. 900 I n het algemeen geldt dat als gegeven is dat: f (x) = s i n (a x+ b) + c dat: 0 de faktor a de periode verkleint tot 3a~ (frequentie). de faktor b de grafiek versohuift Haar l inks of rechts n.l. als b positief is: a Haar l inks 0 a ls b negatief is: a Haar rechts de faktor c de grafiek in vertikale richting verschuift. 29